Absch atzungen der Hausdor -Dimension invarianter Mengen

Abschatzungen der Hausdor-Dimension
invarianter Mengen dynamischer Systeme auf
Mannigfaltigkeiten unter besonderer
Berucksichtigung nicht invertierbarer Abbildungen
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
vorgelegt
der Fakultat Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universitat Dresden
von
Dipl.-Math. Franz geb. Mirle, Astrid Ruth
geb. am 03.10.1971 in Lobau
Gutachter: Doz. Dr. V. Reitmann (Technische Universitat Dresden)
Priv.-Doz. Dr. J. Schmeling (Freie Universitat Berlin)
Prof. Dr. G. A. Leonov (St. Petersburg State University)
Eingereicht am:
10. September 1998
Tag der Verteidigung: 4. Dezember 1998
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Allgemeine Bezeichnungen
1 Grundlagen
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Singularwertfunktion einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente der Ma- und Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . .
Integration von Dichten auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten
Dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hausdor-Dimension und Abschatzung nach Douady und Oesterle .
Topologische Entropie und Bowen-Kugeln . . . . . . . . . . . . . .
Hyperbolische Mengen, Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . . . . .
Untere Dimensionsschranken nach Frostman und Shereshevskij . . .
2 Hausdor-Ma-expandierende Abbildungen
2.1
2.2
2.3
2.4
Eine Klasse von Hausdor-Ma-expandierenden Abbildungen .
Obere Dimensionsschranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einbeziehung von Lyapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . .
Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Stuckweise lineare Abbildungen in Rn . . . . . . . . . .
2.4.2 Modizierte Hufeisenabbildungen . . . . . . . . . . . .
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3 Dimensionsabschatzungen mit Hilfe der Vielfachheitsfunktion
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung . . . . . . . .
Einfuhrung subadditiver Integrale . . . . . . . . . . . . .
A uere Integrale unter Transformationen . . . . . . . . .
Obere Dimensionsschranken . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Stuckweise lineare Abbildungen in Rn . . . . . . .
3.5.2 Stuckweise lineare Abbildungen auf dem Zylinder
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35
38
40
43
43
44
47
47
56
63
74
78
78
80
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
Julia-Mengen von Polynomen in der komplexen Ebene
Iterierte Funktionensysteme . . . . . . . . . . . . . . .
Hufeisenabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Belykh-Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
85
89
93
4 Dynamische Systeme mit einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels
101
4.1
4.2
4.3
4.4
Invertierbare dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Klasse der k -1-Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . .
Obere Dimensionsschranken fur k -1-Endomorphismen . . . . .
Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Hufeisenabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Geodatische Flusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Stuckweise lineare Abbildungen auf dem Zylinder . . .
4.4.4 Julia-Mengen von Polynomen in der komplexen Ebene
4.4.5 Iterierte Funktionensysteme . . . . . . . . . . . . . . .
5 Untere Dimensionsschranken fur k -1-Endomorphismen
5.1 Untere Dimensionsabschatzung . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Zeltabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Stuckweise lineare Abbildungen auf dem Zylinder
5.2.3 Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis
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Einleitung
Dynamische Systeme sind mathematische Objekte zur Beschreibung der Zeitentwicklung physikalischer, biologischer und anderer real existierender Systeme. Das Langzeitverhalten des Systems wird durch asymptotische Grenzmengen charakterisiert,
an die sich die Bewegungen des Systems im Verlauf der Zeit immer mehr annahern.
Asymptotische Grenzmengen sind invariant unter dem dynamischen System. Eine
komplizierte geometrische Struktur dieser Mengen, beschrieben durch verschiedene
nichtganzzahlige Dimensionen, ist oftmals auch Ausdruck einer chaotischen Dynamik. Deshalb kommt Dimensionsuntersuchungen invarianter Mengen von dynamischen Systemen eine groe Bedeutung zu. Dabei ist die Hausdor-Dimension eine der
wichtigsten Dimensionsarten, die auch nichtganzzahlige Werte annehmen konnen.
Die exakte Bestimmung der Hausdor-Dimension von Attraktoren oder, allgemeiner, von invarianten Mengen dynamischer Systeme ist nur in Ausnahmesituationen
moglich. Dagegen lassen sich Oberschranken dieser Dimension fur die invarianten
Mengen vieler Klassen kontrahierender Systeme angeben. Zeigt man namlich, da das
auere Hausdorsche d-Ma der invarianten Menge unter dem dynamischen System
mit wachsender Zeit gegen Null geht, so ist die Hausdor-Dimension der invarianten
Menge nicht groer als d.
Erste Ergebnisse in dieser Richtung fur C 1-Abbildungen in Rn stammen von J. MalletParet ([50]), A. Douady und J. Oesterle ([18]) und Yu. S. Il'yashenko und A. N. Chetaev ([39]). Diese Ergebnisse wurden von R. Temam und P. Thieullen ([69, 70]) auf
Hilbert- und Banachraume und von A. Noack und V. Reitmann ([58]) sowie von
F. Ledrappier ([45]) auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten erweitert. Die Verallgemeinerung auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten schliet Ergebnisse von G. A. Leonov
und V. A. Boichenko ([46, 47]) unter Verwendung von Lyapunov-Funktionen mit ein.
Auf stuckweise glatte Abbildungen wurden diese Aussagen von V. Reitmann und
U. Schnabel ([63]) erweitert. In allen diesen Arbeiten wird gezeigt, da sich lokal das
auere Hausdorsche d-Ma des Bildes einer U berdeckungskugel im Tangentialraum
unter der Tangentialabbildung verkleinert. In diese Kontraktionsbedingung gehen die
Singularwerte der Tangentialabbildung ein. Da die Abbildung somit in allen Punkten
der invarianten Menge kontrahierend wirken mu, ergibt sich eine globale Kontraktionsbedingung fur das Hausdorsche d-Ma der gesamten Menge. Fur invariante
Mengen von Dieomorphismen und Flussen mit einer zusatzlichen hyperbolischen
Struktur sind von A. Fathi und X. Gu ([22, 29]) globale Kontraktionsbedingungen fur
1
das auere Hausdorsche d-Ma unter Verwendung globaler Lyapunov-Exponenten
und der topologischen Entropie entwickelt worden. Dabei wird die invariante Menge
durch sogenannte Bowen-Kugeln oder dynamische Kugeln uberdeckt.
Untere Dimensionsabschatzungen, die auch nichtganzzahlige Werte liefern konnen,
basieren oftmals auf potentialtheoretischen Aussagen wie dem Lemma von Frostman
([20, 32, 61]), das die Existenz eines speziellen aueren Maes, konzentriert auf der
invarianten Menge, ausnutzt. Fur Mengen in R und R2 ist von M. A. Shereshevskij
in [66] eine Methode der unteren Abschatzung der Hausdor-Dimension vorgestellt
worden, die ohne Verwendung eines aueren Maes auskommt.
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, fur obere Schranken der Hausdor-Dimension die
Kontraktionsbedingung fur das auere Hausdorsche d-Ma unter Ausnutzung der
Nichtinjektivitat der Abbildung, die das dynamische System erzeugt, abzuschwachen.
Geht man, wie in den oben zitierten Arbeiten, von einer Kugeluberdeckung der invarianten Menge aus und bildet jede dieser Kugeln durch die gegebene Abbildung
ab, dann gibt es bei nicht injektiven Abbildungen Regionen der invarianten Menge,
die mehrfach uberdeckt werden. Dadurch kann die Abbildung kontrahierend auf das
auere Hausdorsche d-Ma der gesamten invarianten Menge wirken, auch wenn die
globale Kontraktionsbedingung in Punkten mit mehreren Urbildern nicht erfullt ist,
da dort die Anzahl der zur U berdeckung notwendigen Kugeln reduziert werden kann.
Gleichzeitig soll fur eine spezielle Klasse von nicht injektiven Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine untere Dimensionsabschatzung hergeleitet werden.
Es sei bemerkt, da von B. R. Hunt in [37] fur C 1-Abbildungen in Rn die obere
Schranke fur die Hausdor-Dimension aus dem Satz von Douady und Oesterle sogar
fur die obere Kapazitive Dimension gezeigt wurde. Dabei wurde die Gitterstruktur des
Rn ausgenutzt. Basierend auf einer Arbeit von Z.-M. Chen ([15]) kann man die obere
Kapazitive Dimension von invarianten Mengen von C 1-Abbildungen auf allgemeinen
Riemannschen Mannigfaltigkeiten nach oben mit den Methoden von A. Douady und
J. Oesterle wie in [9] abschatzen. Auf diese Weise lassen sich zu allen in dieser Arbeit
entwickelten oberen Abschatzungen der Hausdor-Dimension analoge Schranken fur
die obere Kapazitive Dimension formulieren.
Geben wir nun einen kurzen U berblick uber den Inhalt der vorliegenden Arbeit. In
Kapitel 1 werden einige der im weiteren benotigten Grundlagen der multilinearen
Algebra, der Riemannschen Geometrie, der Integrationstheorie sowie die Denitionen der Hausdor-Dimension und der topologischen Entropie bereitgestellt. Bekannte
obere Dimensionsabschatzungen von A. Douady und J. Oesterle, A. Fathi und X. Gu
werden zitiert. In diesen Abschatzungen werden globale Kontraktionsbedingungen fur
das auere Hausdorsche d-Ma mittels der Singularwerte der Tangentialabbildung
oder fur hyperbolische Systeme mittels globaler Lyapunov-Exponenten und der topologischen Entropie der Abbildung formuliert. Fur die untere Dimensionsabschatzung
wird das Lemma von Frostman und ein Satz von Shereshevskij kurz dargestellt.
2
Die Kapitel 2 und 3 befassen sich mit allgemeinen nicht injektiven Abbildungen auf
Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Es wird gezeigt, wie durch Einbeziehung der Nichtinjektivitat die aus dem fur Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinerten Satz
von Douady und Oesterle stammende Kontraktionsbedingung fur das auere Hausdorsche d-Ma abgeschwacht werden kann. In Kapitel 2 wird eine Klasse von Abbildungen betrachtet, die expandierend bezuglich des aueren Hausdorschen d-Maes
wirkt. Der Expansionsfaktor a 1 kann dabei als "Grad der Nichtinjektivitat\ interpretiert werden. Fur solche Abbildungen existiert n
amlich eine Folge von Teilmengen
fKj gj2N der invarianten Menge, deren aueres Hausdorsches d-Ma jeweils um den
Faktor (1=a)j kleiner ist als das auere Ma der gesamten Menge K . Nach j Iterationen der Abbildung stimmen die aueren Hausdorschen d-Mae der Bilder von Kj
und K jedoch uberein. Unter diesen Voraussetzungen kann man zeigen, da die obere
Schranke 1 an die Singularwertfunktion, die die Kontraktion des aueren Hausdorschen d-Maes garantiert, auf a vergroert werden kann.
In Kapitel 3 wird die Vielfachheitsfunktion der Abbildung eingefuhrt, die zu einem
beliebigen Punkt jeweils die Anzahl der Urbilder unter der Abbildung innerhalb einer
bestimmten Menge angibt. Wenn die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit orientierbar
ist und die Determinante der Linearisierung der gegebenen Abbildung auf der gesamten Menge positiv ist, stimmt die Vielfachheitsfunktion mit dem lokalen Abbildungsgrad uberein ([68]). Fur kompakte Teilmengen Riemannscher Mannigfaltigkeiten ohne
kritische Punkte, d. h. ohne Punkte, in denen der Betrag der Determinante der Tangentialabbildung verschwindet, werden die Eigenschaften der Vielfachheitsfunktion
analysiert, und es wird unter anderem gezeigt, da die Vielfachheitsfunktion immer
nach oben beschrankt ist.
Weiterhin werden, in Anlehnung an H. Wegmann ([73]), auere Hausdor-Integrale
fur nichtnegative Funktionen deniert, die fur den Fall der Integration uber charakteristische Funktionen den gewichteten Hausdor-Maen aus [36] entsprechen. Diese
aueren Integrale weisen wichtige Integraleigenschaften auf, sind aber im Gegensatz
zu Integralen nicht additiv, sondern nur subadditiv. In Anlehnung an Aussagen zum
Verhalten von Integralen unter Variablentransformationen werden Schrankensatze fur
die Transformation der aueren Hausdor-Integrale unter nicht notwendigerweise injektiven Abbildungen entwickelt, die aufgrund der Subadditivitat keine Gleichungen,
sondern nur Ungleichungen sind. Diese Schrankensatze werden angewendet, um in die
obere Dimensionsabschatzung nach A. Douady und J. Oesterle die Vielfachheitsfunktion der Abbildung mit einzubeziehen und so eine schwachere Kontraktionsbedingung
zu erhalten. Da die Vielfachheitsfunktion der Abbildung vom jeweils betrachteten
Punkt der Menge abhangt, erhalt man anstelle der globalen Kontraktionsbedingung
fur die Singularwerte der Tangentialabbildung eine schwachere lokale Bedingung. Im
Falle der Nichtbeachtung der Vielfachheit der Abbildung geht diese in die bekannte
Bedingung nach A. Douady und J. Oesterle uber.
Kapitel 4 der Arbeit ist der Abschwachung des Konzepts der hyperbolischen Mengen gewidmet. Es werden Mengen mit einer aquivarianten Zerlegung des Tangen3
tialbundels betrachtet, d. h. mit einer Zerlegung, die unter der Tangentialabbildung
invariant bleibt. Eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels ermoglicht die
Betrachtung der auf die jeweiligen Teilbundel eingeschrankten Tangentialabbildung,
entweder in der ursprunglichen Zeitrichtung oder in umgekehrter Zeitrichtung. Im Gegensatz zu hyperbolischen Mengen werden hier aber keine Voraussetzungen bezuglich
der Streckungs- und Stauchungseigenschaften der Tangentialabbildung in den Teilraumen gestellt. Unter diesen abgeschwachten Bedingungen konnen fur invariante
Mengen von Dieomorphismen und Flussen ahnliche obere Dimensionsschranken wie
die von A. Fathi und X. Gu fur hyperbolische Mengen erreicht werden, die sowohl
in der Sprache der Singularwerte als auch der globalen Lyapunov-Exponenten der
Tangentialabbildung und der topologischen Entropie der Abbildung formuliert werden konnen. Analog zu [22, 29] werden hier zur U berdeckung der invarianten Menge
Bowen-Kugeln herangezogen. Aufgrund einer im Vergleich zu [29] anderen Beweistechnik kann die Glattheit der betrachteten Systeme von C 2 auf C 1 verringert werden. Auerdem erweist sich die "pinching condition\, die die stetige Abhangigkeit
der aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels vom Punkt der Mannigfaltigkeit
garantiert, als uberussig.
Anschlieend wird gezeigt, da sich diese Beweistechnik auch auf k -1-Endomorphismen als eine spezielle Klasse nicht injektiver Abbildungen anwenden lat. Bei diesen
in [54] eingefuhrten k -1-Endomorphismen handelt es sich um Abbildungen, bei denen
jeder Punkt genau k Urbilder hat. Dann kann der Faktor k ausgenutzt werden, um
die Kontraktionsbedingungen fur das auere Hausdorsche d-Ma im Vergleich zu
Dieomorphismen abzuschwachen.
Kapitel 5 setzt die Untersuchung von k -1-Endomorphismen fort. Hier wird unter Ausnutzung der U berlegungen von M. A. Shereshevskij ([66]) gezeigt, da sich aufgrund
der speziellen Struktur der invarianten Menge eines k -1-Endomorphismus sogar eine
untere Schranke der Hausdor-Dimension ableiten lat. Dazu wird die Vorgehensweise von M. A. Shereshevskij, die ursprunglich fur Mengen in R entwickelt wurde, auf
Teilmengen allgemeiner metrischer Raume verallgemeinert.
Am Ende jedes Kapitel wird eine breite Palette von Beispielsystemen betrachtet,
um die Leistungsfahigkeit der entwickelten Dimensionsabschatzungen im Vergleich zu
bekannten Dimensionsschranken zu demonstrieren. Es werden Hufeisenabbildungen
und iterierte Funktionensysteme analysiert, die bei der Modellierung vieler real existierender Systeme auftreten. Einige Systeme aus der Phasensynchronisation werden
durch Belykh-Abbildungen beschrieben ([8]). Diese sind in ihrer Grundform injektiv, konnen aber durch geeignete Faktorisierung in nicht invertierbare Abbildungen
uberfuhrt werden, so da die Vielfachheitsfunktion gewinnbringend ausgenutzt werden kann. An Julia-Mengen quadratischer Polynome in der komplexen Ebene lat
sich sowohl die Verwendung der Vielfachheitsfunktion und einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels als auch die Interpretation als 2-1-Endomorphismus
demonstrieren.
4
Allgemeine Bezeichnungen
bezeichne die Menge der naturlichen Zahlen f1; 2; 3; : : : g.
N0
= N [ f0g.
Z
bezeichne die Menge der ganzen Zahlen f: : : ; ?2; ?1; 0; 1; 2; : : : g.
Q
sei die Menge der rationalen Zahlen.
R
bezeichne die Menge der reellen Zahlen.
R+
= fx 2 R j x > 0g.
R0+
= fx 2 R j x 0g = R+ [ f0g.
R
bezeichne die Menge der erweitert reellen Zahlen R [ f?1; +1g. Dabei
gelten fur die uneigentlichen Zahlen ?1 und +1 die Rechenregeln +
(1) = 1 fur alle 2 R, (+1)+(+1) = +1, (?1)+(?1) = ?1,
(1) = 1 fur > 0, (1) = 1 fur < 0 und 0 (1) = 0.
Nicht erklart ist (?1) + (+1). Die Relation < (bzw. ) wird auf R
ausgedehnt durch ?1 < < +1 fur alle 2 R.
R+
= fx 2 R j x > 0g.
R0+
= fx 2 R j x 0g.
C
bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.
Mn;m (X ) mit einer Menge X bezeichne die Menge aller n m-Matrizen, deren Elemente aus X sind.
bdc
bezeichne zu einer Zahl d 2 R die grote ganze Zahl, die kleiner als d ist.
bdc
bezeichne zu einer Zahl d 2 R die grote ganze Zahl, die nicht groer als
d ist.
dde
bezeichne zu einer Zahl d 2 R die kleinste ganze Zahl, die nicht kleiner als
d ist.
N
5
Sind f : Xf ! Yf und g : Xg ! Yg zwei Abbildungen, dann bezeichne
die Funktion x 7! f (x) + g(x), falls Xf = Xg und Yf = Yg = R,
die Funktion x 7! f (x) g(x), falls Xf = Xg und Yf = Yg = R,
die Abbildung x 7! f (g(x)), falls Yg = Xf ,
die Abbildung f : : : f fur n 2 N0 , falls Xf = Yf ,
das Urbild unter der Abbildung f n fur n 2 N, falls Xf = Yf ,
die Funktion x 7! (f (x)) fur 2 R, falls Yf = R. Fur (f (x)) wird dabei
kurzer auch f (x) geschrieben. Falls aus dem Kontext eindeutig 62 Zn f1g
hervorgeht, dann wird fur f () kurzer f geschrieben.
f g fur zwei Funktionen mit Xf = Xg und Yf = Yg = R bedeutet f (x) g(x) fur
alle x 2 Xf .
f +g
fg
f g
fn
f ?n
f ()
6
Kapitel 1
Grundlagen
In diesem Kapitel werden die in der weiteren Arbeit benotigten Hilfsmittel zusammengestellt. Neben Elementen der multilinearen Algebra, der Riemannschen Geometrie,
der Ma- und Integrationstheorie, der Theorie dynamischer Systeme und der hyperbolischen Systeme werden Ergebnisse zur Dimensionsabschatzung zitiert, die im
Rahmen dieser Arbeit verallgemeinert werden.
1.1 Multilineare Algebra
In diesem Abschnitt sollen, in Anlehnung an [1, 40, 43], einige wichtige Begrie der
Tensoralgebra in Erinnerung gebracht werden.
Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum uber R. Dann bezeichne V den Dualraum
zu V , also den Raum der linearen Funktionale (Linearformen) uber V . Ein Tensor
der kontravarianten Ordnung k und der kovarianten Ordnung h (auch kurz vom Typ
(k; h)) ist eine Multilinearform a : V : : : V V : : : V ! R (mit dem k-fachen
Produkt von V und dem h-fachen Produkt von V ). Den Raum aller Tensoren vom
Typ (k; h) auf V bezeichnen wir mit Thk (V ).
Ein Tensor a 2 Th0(V ) heit symmetrisch, falls a((1); : : : ; (h) ) = a(1; : : : ; h), und
antisymmetrisch, falls a((1); : : : ; (h) ) = sign()a(1; : : : ; h ) fur alle Permutationen
2 h und beliebige 1; : : : ; h 2 V gilt. In analoger Weise ist die Symmetrie und
Antisymmetrie eines Tensors vom Typ (k; 0) erklart. Ein antisymmetrischer Tensor
vom Typ (0; h) heit auch h-Form auf V . Der Raum aller h-Formen auf V sei mit
hV bezeichnet. Eine Abbildung b : V : : : V ! R0+ (mit dem h-fachen Produkt
von V ), die als Betrag einer h-Form geschrieben werden kann, heit absolute h-Form.
Eine absolute n-Form wird auch als Dichte bezeichnet (siehe z. B. [40]). Die Menge
aller absoluten h-Formen auf V sei mit jjhV bezeichnet.
Es seien nun V und W zwei n-dimensionale Vektorraume und L : V ! W eine
7
lineare Abbildung. Dann ist das Pullback La eines Tensors a 2 Th0(V ) ein Element
aus Th0(W ), das durch
La(1; : : : ; h ) := a(L1; : : : ; Lh )
fur alle 1; : : : ; h 2 V deniert ist. In analoger Weise ist das Pullback einer absoluten
h-Form erklart. Die Abbildung L : Th0(V ) ! Th0(W ) ist linear.
Wir betrachten nun den Spezialfall V = W und h = n. Der Raum n V ist eindimensional. Die dadurch eindeutig bestimmte Konstante det L mit der Eigenschaft
La = (det L)a
fur alle a 2 nV heit Determinante von L. Betrachten wir anstelle der n-Formen
absolute n-Formen, erhalten wir die Konstante j det Lj.
1.2 Singularwertfunktion einer Abbildung
Es seien E und E 0 zwei n-dimensionale Euklidische Raume mit den Skalarprodukten
h; iE und h; iE0 , und es sei L : E ! E 0 ein linearer Operator. Dann bezeichne L
den zu L adjungierten Operator, d. h. den eindeutig bestimmten linearen Operator
L : E 0 ! E mit hLx; yiE0 = hx; LyiE fur alle x 2 E , y 2 E
p0. Die Singularwerte von L
sind die Eigenwerte des positiv semi-deniten Operators L L : E ! E . Sie werden
mit 1(L) : : : n(L) 0 bezeichnet, wobei jeder Eigenwert entsprechend seiner
Vielfachheit gezahlt wird. Fur d 2 [0; n] ist die Singularwertfunktion der Ordnung d
von L durch
8
>
>
<
!d (L) := >
fur d = 0;
1
(L) : : : bdc (L)bdc+1(L)d?bdc fur d 2 (0; n]
>
: 1
deniert. Fur E = E 0 stimmt der Wert !n (L) mit dem in Abschnitt 1.1 denierten
Ausdruck j det Lj uberein. Wir wollen die Bezeichnung j det Lj deshalb im weiteren
auch fur lineare Abbildungen zwischen zwei verschiedenen Euklidischen Raumen nutzen, da die Singularwertfunktion !n (L) auch fur eine solche Situation deniert ist.
Es bezeichne B (u; r) := fv 2 E j %(u; v) < rg zu einem Punkt u 2 E und einer Zahl
r 2 R+ die oene Kugel um u mit Radius r, wobei % die Euklidische Metrik ist. Diese
Bezeichnung wollen wir im weiteren auch fur allgemeine metrische Raume verwenden.
p
Nun sei u1; : : : ; un eine orthonormale Basis in E , so da ui ein Eigenvektor von LL
zum Eigenwert i(L) ist (i = 1; : : : ; n). Dann existiert in E 0 eine Orthonormalbasis
v1; : : : ; vn mit vi = 1i Lui fur jedes i = 1; : : : ; n mit i 6= 0. Das Bild der Einheitskugel
8
B (0; 1) E unter der Abbildung L ist die Menge
n
X
1in:i (L)6=0
aivi 2 E 0 X
1in:i (L)6=0
ai
i (L)
2
o
<1 ;
also ein Ellipsoid in E 0 mit den Halbachsenlangen 1(L); : : : ; n(L). Deshalb wird das
Konzept der Singularwertfunktion auf Ellipsoide ausgedehnt. Es sei E ein Ellipsoid in
einem n-dimensionalen Euklidischen Raum E , und 1(E) : : : n(E) 0 bezeichne die Langen der Halbachsen, d. h., es existiert eine orthonormale
Basis u1; : : : ; un
2
P
P
a
in E , so da E = f 1in:i(E)6=0 aiui 2 E j 1in:i (E)6=0 i(iE) < 1g gilt. Dann
denieren wir
8
>
>
<
!d (E) := >
fur d = 0;
1
(E) : : : bdc(E)bdc(E)d?bdc fur d 2 (0; n]:
>
: 1
Die Funktion !d hat einige interessante Eigenschaften, die wir aus [9, 18] zitieren.
Die erste Aussage geht dabei auf [45, 56] zuruck und wird auch als verallgemeinerte
Hornsche Ungleichung bezeichnet.
Lemma 1.2.1 Es seien E , E 0 und E 00 drei n-dimensionale Euklidische Raume und
L : E ! E 0 und L0 : E 0 ! E 00 zwei lineare Abbildungen. Dann gilt fur alle d 2 [0; n]
die Beziehung
!d (L0 L) !d (L) !d(L0);
d. h., !d ist eine submultiplikative Funktion fur jedes d 2 [0; n].
Lemma 1.2.2 Es seien E ein n-dimensionaler Euklidischer Raum und k > 0, m > 0,
> 0 und d 2 (0; n] Zahlen, die der Ungleichung k md genugen. Weiterhin sei
E E ein Ellipsoid mit 1 (E) m und !d (E) k . Dann ist E + B (O; ) in einem
Ellipsoid E0 E enthalten, und es gilt
"
bdc
!d (E0) 1 + mk
1=(d?bdc) #d
k:
Die folgende Aussage zeigt, wie fur ein Ellipsoid E die Anzahl der zur U berdeckung
hochstens benotigten Kugeln von konstantem Radius r > 0 durch die Singularwertfunktion abgeschatzt werden kann (siehe [18, 33]):
9
Lemma 1.2.3 Es seien E ein n-dimensionaler Euklidischer
Raum,
E E ein Elk
j l
2
!
(
E)
l
lipsoid und r > 0 eine Zahl. Dann kann E schon durch rl Kugeln vom Radius
pl + 1 uberdeckt werden, wobei l durch
r

8
>
>
>
>
>
>
<
0 fur r > 1(E);
l := > m fur m+1 (E) r m(E); m 2 f1; : : : ; n ? 1g;
>
>
>
>
>
:
n fur r n(E)
festgelegt ist.
Im weiteren sind in der Regel die betrachteten linearen Abbildungen Ableitungen
von C 1-Abbildungen ' auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M; g), die entsprechenden Euklidischen Raume sind also jeweils Tangentialraume. In Punkten u 2 M mit
j det(du ')j > 0 ist die Abbildung ' lokal invertierbar, und die Singularwerte der Ableitung d'(u)'?1 der lokalen Umkehrfunktion sind die Reziproken der Singularwerte
von du '. Deshalb ist es sinnvoll, eine inverse Singularwertfunktion einzufuhren.
Es seien E und E 0 zwei n-dimensionale Euklidische Raume mit den Skalarprodukten
h; iE und h; iE0 , und L : E ! E 0 sei ein linearer Operator mit j det Lj > 0, d. h.,
L ist invertierbar. Fur beliebiges d 2 [0; n] ist die inverse Singularwertfunktion der
Ordnung d von L durch
8
>
>
<
!d(L) := >
fur d = 0;
1
(L) : : : n?bdc+1(L)n?bdc(L)d?bdc fur d 2 (0; n]
>
: n
deniert. Diese Funktion entspricht der Inversen der Singularwertfunktion der Umkehrabbildung, d. h., es ist !d(L) = !d(L1?1) . Damit gilt, analog zu Lemma 1.2.1, die
folgende Aussage:
Lemma 1.2.4 Es seien E , E 0 und E 00 drei n-dimensionale Euklidische Raume und
L : E ! E 0 und L0 : E 0 ! E 00 zwei invertierbare lineare Abbildungen. Dann gilt fur
alle d 2 [0; n] die Beziehung
!d(L0 L) !d(L) !d (L0):
1.3 Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Da in dieser Arbeit C 1-Abbildungen auf glatten Riemannschen Mannigfaltigkeiten betrachtet werden, soll auf die wichtigsten Elemente der Riemannschen Geometrie kurz
10
eingegangen werden. Riemannsche Mannigfaltigkeiten konnen allgemein uber beliebigen Hilbert- oder Banachraumen erklart werden. Wir beschranken uns im weiteren
aber auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten uber dem Rn. Alle in diesem Abschnitt
aufgefuhrten Begrie sind [27, 34, 67] entnommen.
Es seien M eine beliebige nichtleere Menge und n 2 N beliebig. Eine n-dimensionale
Karte fur M ist eine Bijektion x : D(x) ! R(x) Rn, wobei R(x) oen in Rn ist und
D(x) eine Teilmenge von M ist. Ein n-dimensionaler Atlas der Klasse C r (r 2 N) von
M ist eine Familie A von n-dimensionalen Karten mit den folgenden Eigenschaften:
(A1)
[
x2A
D(x) = M .
(A2) Fur alle x; y 2 A ist die Menge x(D(x) \ D(y)) oen in Rn.
(A3) Fur alle x; y 2 A ist die Abbildung y x?1 : x(D(x) \ D(y)) ! y(D(x) \ D(y))
ein C r-Diffeomorphismus.
Eine beliebige n-dimensionale Karte x von M heit C r-vertraglich (r 2 N) mit dem
n-dimensionalen C r-Atlas A von M , wenn A[fxg auch ein n-dimensionaler C r-Atlas
von M ist. Ein n-dimensionaler Atlas der Klasse C r heit maximal, wenn jede mit A
C r-vertragliche Karte zu A gehort. Es seien M eine beliebige Menge und Amax ein
zugehoriger maximaler Atlas der Klasse C r (r 2 N). Das Paar (M; Amax) heit dann
n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit.
Fur jede n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit (M; Amax) bildet das Mengensystem
fD(x)gx2Amax die Basis fur eine Topologie, die kanonische Topologie der Mannigfaltigkeit heit. Ein topologischer Raum heit hausdorsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten stets disjunkte Umgebungen derselben gibt. Im weiteren seien alle betrachteten Mannigfaltigkeiten hausdorsch. Fur die Mannigfaltigkeit (M; Amax)
wird im weiteren kurz M geschrieben.
Es seien M und N zwei C r -Mannigfaltigkeiten (r 2 N) der Dimensionen n bzw. m,
und s r sei eine beliebige naturliche Zahl. Die Abbildung f : M ! N heit C sdierenzierbar, wenn fur jede Karte x von M und jede Karte y von N die Abbildung
y f x?1 : x(D(x) \ f ?1(D(y)) ! Rn
eine C s-Abbildung ist. Die Abbildung f : M ! N heit C s-Dieomorphismus, wenn
f bijektiv ist und f und f ?1 jeweils C s-dierenzierbar sind.
Fur eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit M (r 2 N) und einen beliebigen Punkt
u 2 M deniert
(u; x; ) (u; y; ) , = (y x?1)0(x(u))
eine A quivalenzrelation, wobei x und y beliebige Karten um u und ; 2 Rn beliebige
Vektoren sind. Die so denierte A quivalenzklasse [u; x; ] := [(u; x; )] heit Tangentialvektor in u. Es seien u 2 M ein beliebiger Punkt und x eine beliebige Karte um
11
u. Dann ist der Tangentialraum TuM an M in u die Menge aller Tangentialvektoren
f[u; x; ]g, versehen mit der linearen Struktur
[u; x; ] + [u; x; ] := [u; x; + ] fur alle ; 2 Rn;
[u; x; ] := [u; x; ] fur alle 2 Rn und alle 2 R:
Man kann zeigen, da diese Denition korrekt, d. h. unabhangig von der Wahl der
Karte x ist. Es seien e1; : : : ; en die Standard-Basis des Rn. Dann ist fur einen Punkt
u 2 M und eine Karte x um u
@1;x(u) := [u; x; e1]; : : : ; @n;x(u) := [u; x; en]
eine Basis in TuM , die als mobile Basis bezeichnet wird.
S
Die Vereinigung TM := u2M TuM heit Tangentialbundel von M . Der Zusammenhang zwischen TM und M ist durch die kanonische Projektion
: TM ! M; [u; x; ] 7! u
gegeben. Ist M eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit (r 2), so hat TM die
kanonische Struktur einer 2n-dimensionalen C r?1-Mannigfaltigkeit.
Fur zwei C r -Mannigfaltigkeiten M und N der Dimensionen n bzw. m und eine C sAbbildung f : M ! N (1 s r) ist das Dierential von f die Abbildung df :
TM ! TN , die durch
df ([u; x; ]) := [f (u); y; (y f x?1)0(x(u))]
fur beliebiges u 2 M , beliebige Karten x und y um u bzw. f (u) und beliebiges 2 Rn
deniert ist. Die lineare Abbildung duf : TuM ! Tf (u)N mit du f := df jTu M heit
Tangentialabbildung von f in u.
Es sei I = (a; b), mit zwei reellen Zahlen a < b, ein oenes Intervall und M eine
n-dimensionale Riemannsche C r-Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung : I ! M heit
C s-Kurve, wenn eine C s-Abbildung ist (1 s r). Fur eine C s-Kurve : I ! M
ist
_ (t) := [(t); x; (x )0(t)]
der Geschwindigkeitsvektor an zur Zeit t 2 I , wobei x eine beliebige Karte um (t)
ist. Im weiteren sei mit I immer ein oenes Intervall in R bezeichnet.
Auf der n-dimensionalen C r -Mannigfaltigkeit M (r 2 N) ist eine Riemannsche Metrik
g der Klasse C r?1 gegeben, wenn g jedem Punkt u 2 M und jeder Karte x um
u eine symmetrische positiv denite Matrix Gx(u) 2 Mn;n (R) zuordnet, so da die
12
Abbildung Gx () : D(x) ! Mn;n (R) eine C r?1-Abbildung ist und fur zwei beliebige
Karten x und y um u die Beziehung
(y x?1)0(x(u))T Gy (u)(y x?1)0(x(u)) = Gx(u)
gilt. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M; g) der Klasse C r ist eine zusammenhangende C r -Mannigfaltigkeit M , versehen mit einer Riemannschen Metrik g der Klasse
C r?1.
Ein C s-Tensorfeld vom Typ (k; h) Sauf der C r-Mannigfaltigkeit M (s r; r 2)
ist eine
C s-Abbildung T : M ! u2M Thk TuM , fur die hk T = idS
M gilt, wobei
S
k
k
h : u2M Th TuM ! M die kanonische Projektion bezeichne und u2M Thk TuM
als n1+k+h -dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C r?1 interpretiert wird. Eine
Riemannsche Metrik der Klasse C r?1 ist also ein symmetrisches C r?1-Tensorfeld vom
Typ (0; 2).
Es sei x eine beliebige Karte um u 2 M . Dann wird das Skalarprodukt in TuM durch
h[u; x; ]; [u; x; ]iTuM := hGx (u); iRn (; 2 Rn)
deniert. Die Norm eines Vektors aus TuM ist durch
p
k[u; x; ]kTuM := h[u; x; ]; [u; x; ]iTuM
gegeben. Im weiteren werden wir fur diese Norm kurzer kvk schreiben, wenn aus dem
Kontext eindeutig hervorgeht, da v ein Vektor aus dem Tangentialraum TuM ist.
Es sei : (a; b) ! M eine C 1-Kurve. Die Lange von ist
l() :=
Z b
a
k_ (t)kT(t)M dt:
Eine stuckweise C 1-Kurve auf M ist eine stetige Abbildung : (a; b) ! M , fur die
eine endliche Anzahl von Punkten a = t1 < t2 < : : : < tm = b existiert, so da
j(ti;ti+1) eine C 1-Kurve fur alle i = 1; : : : ; m ? 1 ist. Die Lange dieser stuckweisen
C 1-Kurve ist
l() :=
m
?1
X
i=1
l(j(ti;ti+1)):
Es bezeichne Cuv die Menge aller stuckweisen C 1-Kurven auf M von u nach v. Der
geodatische Abstand auf M ist eine Funktion % : M M ! R, deniert durch
l()
%(u; v) := inf
2C v
u
fur alle u; v 2 M . Der geodatische Abstand ist eine Metrik auf M . Die durch sie
erzeugte metrische Topologie stimmt mit der kanonischen Topologie von M uberein.
13
Eine C s-Abbildung F : M ! TM mit F = idM heit C s-Vektorfeld auf der C r Mannigfaltigkeit M (s < r 2). Ein C s-Vektorfeld ist also ein C s-Tensorfeld vom
Typ (0; 1). Eine C 1-Kurve c : I ! M mit 2 I heit Integralkurve des Vektorfeldes
F mit Anfang u 2 M zur Zeit t = , falls sie Losung des Cauchy-Problems
c_(t) = F (c(t)); c( ) = u
(1.3.1)
ist. Das Cauchy-Problem (1.3.1) heit lokal eindeutig losbar, falls fur beliebige zwei
Losungen c1 und c2 von (1.3.1) die Beziehung c1(t) = c2(t) fur eine hinreichend kleine
Umgebung von gilt. Unter bestimmten Voraussetzungen an das Vektorfeld ist die
Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven gesichert (siehe [1, 52]):
Satz 1.3.1 Es seien M eine n-dimensionale C r-Mannigfaltigkeit (r 2) und F :
M ! TM ein C s-Vektorfeld (1 s < r). Dann ist fur jedes u 2 M das CauchyProblem (1.3.1) lokal eindeutig losbar.
Wir bezeichnen eine Losung des Cauchy-Problems (1.3.1) mit Anfang u 2 M fur t = 0
mit '(; u) und schreiben 't(u) := '(t; u) fur beliebiges t 2 R, fur das die Losung
existiert.
Satz 1.3.2 Es seien M eine n-dimensionale C r-Mannigfaltigkeit (r 2) und F :
M ! TM ein C s-Vektorfeld (1 s < r). Dann existieren fur jedes u 2 M und
jedes 2 R eine oene Umgebung U M von u, ein " > 0 und eine C s-Abbildung
' : ( ? "; + ") U ! M mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Die Abbildung '(; u) ist auf ( ? "; + ") von der Glattheit C s+1 .
(2) Die Abbildung '(; u) ist Losung des Cauchy-Problems mit Anfang u zur Zeit
t = :
c_(t) = F (c(t)); c( ) = u:
(1.3.2)
(3) Das Cauchy-Problem (1.3.2) ist lokal eindeutig losbar.
Auerdem stimmen beliebige zwei Integralkurven c1 : I1 ! M und c2 : I2 ! M von
F mit 2 I1 \ I2 und c1( ) = c2( ) fur alle t 2 I1 \ I2 uberein.
Fur die von F erzeugte Dierentialgleichung
u_ = F (u)
(1.3.3)
kann man mit Satz 1.3.2 zeigen, da fur jedes u 2 M die maximale Integralkurve
'()(u) : I (u) ! M von (1.3.3) mit Anfang u zur Zeit t = 0 und mit dem maximalen
14
S
Zeitintervall I (u) := Ic existiert, wobei c : Ic ! M alle moglichen Integralkurven
von (1.3.3) durch u sind und '()(u)jIc = c ist.
Ein lokaler C s-Flu auf M (0 s < r) ist eine C s-Abbildung ' : U ! M , (t; u) 7!
't(u), wobei U eine oene Umgebung von f0g M in R M ist, so da die folgenden
Bedingungen erfullt sind:
(LF1) Fur alle u 2 M ist R fug \ U zusammenhangend.
(LF2) Es gilt '0 = idM .
(LF3) Es gilt 't1+t2 (u) = 't1 ('t2 (u)), falls (t2; u); (t1 + t2; u); (t1; 't2 (u)) 2 U .
Ist U = R M , so heit ' : U ! M globaler C s-Flu. Ein globaler C s-Flu ist also
eine einparametrige Gruppe von C s-Dieomorphismen auf M .
Anhand von Satz 1.3.2 lat sich zeigen, da jedem C s-Vektorfeld F : M ! TM
(1 s < r) durch die maximalen Intergalkurven eindeutig ein maximaler C s-Flu
zugeordnet ist, der jedoch nicht global sein mu. Das Vektorfeld F heit vollstandig,
falls der zugehorige maximale Flu ein globaler Flu ist. Die folgende Aussage aus
[10] zeigt, da ein gegebenes C s-Vektorfeld durch geeignete Skalierung stets in ein
vollstandiges Vektorfeld uberfuhrt werden kann, d. h., man kann sich auf die Betrachtung von globalen Flussen beschranken.
Satz 1.3.3 Ist F : M ! TM ein C s-Vektorfeld auf der n-dimensionalen C r-Mannigfaltigkeit M (1 s < r), so existiert eine C s?1 -Funktion p : M ! R+, fur die pF
ein vollstandiges Vektorfeld auf M ist.
Die Vektorfelder F und pF haben dabei die gleichen Bilder der Integralkurven, sind
aber unter Umstanden unterschiedlich parametrisiert.
Nun seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C r -Mannigfaltigkeit (r 3),
u 2 M ein Punkt und x eine Karte um u. Die durch den Metriktensor denierten
Matrizen Gx (u) und Gx(u)?1 seien in der Form Gx (u) = (gij (u))ni;j=1 und Gx(u)?1 =
(gjk (u))nj;k=1 dargestellt. Dann heien die n3 Funktionen ?kij : D(x) ! R, deniert
durch
?kij (u) := 21
n
X
s=1
gks(u)
h
? @(gij@xxs ?1) (x(u)) + @(gjs@xxi ?1) (x(u)) + @(gsi@xxj ?1) (x(u))
i
(i; j; k = 1; : : : ; n), Christoel-Symbole 2. Art in der Karte x. Da diese Symbole
Ableitungen der Riemannschen Metrik enthalten und die Metrik von der Klasse C r?1
war, sind die Christoel-Symbole nur noch von der Glattheit C r?2.
Ein C s-Vektorfeld auf M hat fur einen Punkt u 2 M und eine P
Karte x um u in der
mobilen Basis des Tangentialraumes die Darstellung F (u) = ni=1 f i (x(u))@i;x(u).
15
Fur v 2 TuM in der Form v =
rv F (u) :=
n
n "X
X
k=1 i=1
Pn
i
i=1 a @i;x(u)
ist
n
k
X
@f
i
i
a @xi (u) + a f j (u)?kij (u)
j =1
!#
@k;x(u)
die kovariante Ableitung des Vektorfeldes F in Richtung des Vektors v.
Fur eine C 1-Kurve : I ! M heit eine Abbildung F : I ! TM mit F (t) 2 T(t)M
fur alle t 2 I Vektorfeld langs . Das Vektorfeld F : I ! TM heit parallel langs ,
falls r_ (t)F (t) = 0 fur alle t 2 I gilt. Ist : I ! M eine C 1-Kurve und v 2 T(t0)M
(t0 2 I ), dann gibt es genau ein Vektorfeld Fv (T ) langs , das parallel langs ist und
fur das Fv (t0) = v gilt. Fur t1 > t0 (t0; t1 2 I ) heit die Abbildung
((tt01)) : T(t0)M ! T(t1)M;
die jedem v 2 T(t0)M den Vektor Fv (t1) zuordnet, Parallelverschiebung oder Paralleltransport entlang aus (t0) in (t1). Diese Abbildung ist eine Isometrie zwischen
den Tangentialraumen T(t0) und T(t1).
Eine C 1-Kurve : I ! M heit Geodatische, falls das tangentielle Vektorfeld _ (t)
parallel langs ist, d. h., falls r_ (t)_ (t) = 0 fur alle t 2 I gilt. Fur v 2 TM bezeichne
v die maximale Geodatische mit Anfang v (0) = (v) und _ v (0) = v 2 T(v)M . Lokal
ist eine Geodatische v Losung des Dierentialgleichungssystems zweiter Ordnung
xk +
n
X
i;j =1
?kij x_ ix_ j = 0 (k = 1; : : : ; n):
Daraus folgt k_ v k = kvk, also sind die Geodatischen Kurven konstanter Geschwindigkeit.
Die Menge TM sei die Menge aller Vektoren v, fur die v (1) erklart ist. Die Exponentialabbildung exp : ! M ist durch exp(v) := v (1) fur alle v 2 deniert. Es
bezeichne expu := exp jTuM \
fur alle u 2 M die Einschrankung der Exponentialabbildung auf den Tangentialraum TuM . Da in die Dierentialgleichung zur Denition
der Exponentialabbildung die Christoel-Symbole eingehen, ist die Glattheit von exp
nur noch C r?2. Fur Riemannsche C r-Mannigfaltigkeiten (M; g) mit r 3 gelten fur
alle u 2 M die folgenden beiden Aussagen:
(E1) Es existiert ein > 0, so da expu ein C r?2-Dieomorphismus von B (Ou; ) auf
B (u; ) ist und %(expu v; u) = kvk fur alle v 2 B (Ou; ) gilt.
(Dabei ist B (Ou ; ) eine Kugel im Tangentialraum TuM und B (u; ) eine Kugel
in der Mannigfaltigkeit M .)
(E2) Die Ableitung der Abbildung expu im Ursprung Ou des Tangentialraumes TuM
stimmt mit der identischen Abbildung idTuM auf TuM uberein.
16
Mit der Exponentialabbildung kann man eine zur Taylor-Formel in Rn analoge Aussage zeigen (siehe [57]), die im weiteren auch als Taylor-Formel bezeichnet wird:
Satz 1.3.4 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
' : M ! M eine C 1-Abbildung und K M eine kompakte Menge. Dann existiert
ein "0 > 0, so da fur alle " 2 (0; "0), alle u 2 K und alle v 2 B (u; ") die folgende
Ungleichung gilt:
k exp?'(1u)('(v)) ? du '(exp?1(v))kT'(u)M sup k''((wu)) dw ' uw ? du 'k k exp?u 1(v)kTuM :
w2B (u;")
Dabei ist mit k''((wu)) dw ' uw ? du 'k die Operatornorm des linearen Operators
''((wu)) dw ' uw ? du' : TuM ! T'(u)M gemeint.
Fur eine Riemannsche C r -Mannigfaltigkeit M (r 2) wird durch den Riemannschen
Metriktensor g ein C r?2-Tensorfeld R vom Typ (0; 3) erzeugt, das fur beliebige C 2Vektorfelder F; G; H : M ! TM durch
R(F; G)H := rF rGH ? rGrF H ? r[F;G]H
deniert ist und Krummungstensorfeld heit. Dabei bezeichnet [F; G] := rF G ?
rGF die Lie-Klammer. Fur beliebige Vektoren v1; v2; v3 2 TuM schreibt man auch
Ru (v1; v2)v3 := Ru (F; G)H , falls F; G; H beliebige Vektorfelder mit F (u) = v1, G(u) =
v2 und H (u) = v3 sind. Fur einen Punkt u 2 M und zwei linear unabhangige Vektoren
v1; v2 2 TuM ist die Schnittkrummung in u bezuglich des durch das Paar (v1; v2)
aufgespannten Unterraumes die Zahl
R() := hv ; vhRihu (vv2;;vv1i)?v1;hvv2;i v i2 :
1 1 2 2
1 2
Diese ist von der Wahl des linear unabhangigen Paares (v1; v2) aus unabhangig.
Sind v1 und v2 sogar orthonormal, dann vereinfacht sich der Ausdruck zu
R() = hRu (v2; v1)v1; v2i:
1.4 Elemente der Ma- und Integrationstheorie
In der vorliegenden Arbeit werden Dimensionsabschatzungen unter Ausnutzung von
subadditiven Integralen beschrieben. Deshalb werden in diesem Abschnitt, in Anlehnung an [7, 19, 30, 35, 42, 71], einige grundlegende matheoretische Begrie bereitgestellt.
17
Es sei X eine beliebige Menge. Dann bezeichnet P (X ) die Potenzmenge von X , also
das System aller Teilmengen von X . Eine Teilmenge A von P (X ) heit -Algebra,
wenn
X 2 A,
fur alle A 2 A auch X n A 2 A gilt,
fur jede Folge fAigi2N von Mengen aus A auch S1i=1 Ai 2 A gilt.
Ein wichtiges Beispiel ist die -Algebra B(X ) der Borel-Mengen, die aus allen oenen
Teilmengen von X erzeugt wird, d. h., sie enthalt alle oenen Teilmengen des Rn
und alle Mengen, die aus oenen Mengen durch Komplementbildung und abzahlbare
Vereinigung erzeugt werden konnen.
Eine Mengenfunktion : A ! R0+, deniert auf einer -Algebra von Teilmengen von
X , heit Ma auf X , falls
(;) = 0,
furSjede
FolgePfAigi2N paarweise disjunkter Mengen aus A die Beziehung
1
1
(
i=1 Ai) =
i=1 (Ai )
gilt (-Additivitat).
Ein Tripel (X; A; ), bestehend aus einer beliebigen Menge X , einer -Algebra A aus
Teilmengen von X und einem Ma : A ! R0+ , heit Maraum. Die Mengen aus A
werden dann auch als mebare Mengen bezeichnet. Eine Funktion f : X ! R heit
mebar bezuglich der -Algebra A, wenn fur jedes 2 R die Menge aller Punkte
x 2 X mit f (x) < a in A liegt. Ein Ma auf der -Algebra B(X ) der Borel-Mengen
heit Borel-Ma.
Ein wichtiges Beispiel eines Maes ist das Lebesgue-Ma L in Rn, das fur Quader der
Form [a1; b1) : : : [an; bn) mit ai < bi (i = 1; : : : ; n) als L ([a1; b1) : : : [an; bn)) =
Qn
n
i=1 (bi ? ai) deniert ist und auf die -Algebra B (R ) der Borel-Mengen fortgesetzt
wird, so da die Maeigenschaften erfullt sind.
Eine Mengenfunktion : P (X ) ! R0+ heit aueres Ma auf X , falls
(;) = 0,
(A1) (A2) fur A1 A2 X gilt (Monotonie),
fPur1jede Folge fAigi2N beliebiger Teilmengen von X die Beziehung (S1i=1 Ai) i=1 (Ai ) gilt ( -Subadditivitat).
Ein auf einem metrischen Raum (X; %) deniertes aueres Ma heit metrisches
aueres Ma, falls zusatzlich (A1 [ A2 ) = (A1) + (A2) fur beliebige nichtleere
Teilmengen A1 und A2 von X mit %(A1; A2) := inf a12A1 ;a22A2 %(a1; a2) > 0 gilt.
18
Eine Menge A X heit mebar bezuglich des aueren Maes bzw. -mebar, falls
(A) = (A \ B ) + (A n B ) fur beliebige Mengen B X ist. Oenbar bildet die
Menge aller -mebaren Mengen eine -Algebra A und jA ist ein Ma. Ein aueres
Borel-Ma ist ein aueres Ma, bezuglich dem alle Borel-Mengen mebar sind. Man
kann zeigen ([21]), da jedes metrische auere Ma ein aueres Borel-Ma ist.
Ein Ma bzw. aueres Ma auf X heit endlich, wenn (X ) < 1 gilt. Es sei A eine
Teilmenge von X . Dann heit das Ma bzw. auere Ma auf A konzentriert, wenn
(B ) = 0 fur alle B 2 A bzw. B 2 P (X ) mit A \ B = 0 gilt.
Ein Integral auf einem Maraum (X; A; ), deniert fur eine Klasse F von Funktionen
X ! R bzw. X ! R0+, ist ein Funktional
a) I : A F ! R oder
b) I : A F ! R0+
mit folgenden Eigenschaften:
(I1) a) Fur alle A 2 A, alle f 2 F und alle 2 R gilt I (A; f ) = I (A; f ), d. h., fur
alle A 2 A ist I (A; ) : F ! R homogen.
b) Fur alle A 2 A, alle f 2 F und alle 2 R0+ gilt I (A; f ) = I (A; f ), d. h.,
fur alle A 2 A ist I (A; ) : F ! R positiv homogen.
(I2) Fur alle A 2 A und alle f; g 2 F mit fI (A; f ); I (A; g)g 6= f?1; 1g gilt I (A; f +
g) = I (A; f ) + I (A; g), d. h., fur alle A 2 A ist I (A; ) additiv.
(I3) Fur alle f 2 F und alle Folgen S
fA1igi2N A P
paarweise disjunkter Mengen mit
f?1; 1g 6 fI (Ai; f )gi2N gilt I ( i=1 Ai; f ) = 1i=1 I (Ai; f ), d. h., fur alle f 2 F
ist I (; f ) -additiv.
(I4) Fur alle A 2 A und alle f; g 2 F mit f g gilt I (A; f ) I (A; g), d. h., fur alle
A 2 A ist I (A; ) monoton.
(I5) Fur alle A 2 A gilt I (A; A) = (A), wobei A die charakteristische Funktion
der Menge A bezeichne.
Dabei ist fur den entsprechenden Integralbegri die Funktionenklasse F von entscheidender Bedeutung. Betrachtet man zum Beispiel die -Algebra der Borel-Mengen
uber einem abgeschlossenen Intervall [a; b] 2 R, dann gelangt man zum Begri des
Riemann-Integrals fur F = ff : [a; b] ! R j f stetigg und zum Begri des LebesgueIntegrals fur F = ff : [a; b] ! R j f beschrankt und mebarg.
Betrachtet man anstelle eines Maraums eine Menge X , zusammen mit einem aueren
Ma , und die zugehorige -Algebra A = P (X ), so erhalt man ein subadditives
19
Integral I : A F ! R bzw. I : A F ! R0+ , deniert fur eine Klasse F von
Funktionen X ! R bzw. X ! R0+, wenn man die Eigenschaften (I1) und (I4) fordert
und die Additivitatseigenschaften (I2), (I3) und (I5) durch die folgenden Forderungen
ersetzt:
(I2') Fur alle A 2 A und alle f; g 2 F mit fI (A; f ); I (A; g)g 6= f?1; 1g gilt I (A; f +
g) I (A; f ) + I (A; g), d. h., fur alle A 2 A ist I (A; ) subadditiv.
(I3') Fur alle f 2 F und alle Mengen A1; A2 2 A mit fI (A1; f ); I (A2; f )g 6= f?1; 1g
gilt I (A1 [ A2; f ) I (A1; f )+ I (A2; f ), d. h., fur alle f 2 F ist I (; f ) subadditiv.
(I5') Fur alle A 2 A gilt I (A; A) (A).
Der Zusammenhang zwischen subadditiven Integralen und Integralen ergibt sich, falls
F die Familie stetiger Funktionen ist, aus dem Satz von Hahn-Banach (siehe [14, 36]).
1.5 Integration von Dichten auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten
Die Integration auf n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten wird mittels
Karten und der Zerlegung der Eins auf die Integration in Rn zuruckgefuhrt (siehe
z. B. [1, 40, 68]). Die Integration wird dabei meist auf orientierbaren Mannigfaltigkeiten als Integration uber Dierentialformen eingefuhrt.
Es sei (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C r-Mannigfaltigkeit (r 3). Fur
ein beliebiges k 2 f1; : : : ; ng ist eine C s-glatte k-Form oder Dierentialform vom
Grade k auf M (s < r) eine C s-Zuordnung a, die jedem Punkt u 2 M ein Element
a(u) 2 k (TuM ) zuweist. Eine C s-Volumenform auf M ist eine C s-glatte n-Form auf
M , die nirgends verschwindet. Wenn es eine Volumenform auf M gibt, so impliziert
dies, da M orientierbar ist. Auf einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M; g) der Glattheit C r ist durch den Metriktensor eine kanonische Volumenform dM
gegeben.
Auf nicht notwendigerweise orientierbaren Mannigfaltigkeiten kann man anstelle von
Volumenformen auch Dichten betrachten. Eine C s-Dichte auf einer n-dimensionalen
Mannigfaltigkeit M ist eine C s-glatte Zuordnung , die jedem Punkt u 2 M eine
Dichte (u) 2 jjn(TuM ) im Tangentialraum TuM zuweist, die nirgends verschwindet. Eine spezielle Dichte auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist die kanonische
absolute Volumenform jdM j.
Eine Dichte auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M heit integrierbar, wenn
fur eine Zerlegung fAigi2N von M in abzahlbar viele disjunkte jeweils in einem Kartengebiet enthaltene Lebesgue-mebare Teilmengen und eine Folge fxigi2N von Karten
20
mit Ai D(xi ) fur jedes i 2 N die Funktion
ai := (@1;xi ; : : : ; @n;xi ) x?i 1 : R(xi) ! R
uber xi(Ai) Lebesgue-integrierbar ist. Der Wert
Z
M
:=
1 Z
X
i=1 xi (Ai )
ai(x)dx
heit dann Integral von uber M . Der Satz uber die Zerlegung der Eins (siehe z. B.
[1]) stellt sicher, da dieser Wert unabhangig von der betrachteten Zerlegung fAigi2N
von M ist.
Fur eine Teilmenge A M kann eine eingeschrankte Dichte A durch
8
>
>
<
(u) fur u 2 A;
>
:
0
A (u) := >
sonst
deniert werden. Das Integral von uber A ist dann deniert als
Z
A
:=
Z
M
A ;
falls A uber M integrierbar ist. Integriert man zum Beispiel uber die auf eine Menge
A M eingeschrankte
R absolute Volumenform jdM jA einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, dann liefert A jdM j das kanonische Volumen V (A) der Menge A. Ist speziell
M = Rn mit der Euklidischen Metrik, dann stimmt das kanonische Volumen mit dem
n-dimensionalen Lebesgue-Ma uberein.
Fur die Integration auf Mannigfaltigkeiten gibt es die folgende Transformationsformel,
die auch als Satz uber die Variablentransformation bezeichnet wird. Ist ' : M ! N
ein C 1-Dieomorphismus zwischen zwei n-dimensionalen C 3-Mannigfaltigkeiten und
A M , so ist eine Dichte auf A genau dann integrierbar, wenn ' auf '(A)
integrierbar ist, und es gilt dann
Z
A
=
Z
'(A)
';
(1.5.1)
wobei das Pullback ' fur Dichten auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten durch
(')(u)(v1; : : : ; vn) := ('(u))(du '(v1); : : : ; du '(vn))
fur alle u 2 M und alle v1; : : : ; vn 2 TuM deniert ist. Betrachtet man speziell
die absolute Volumenform jdM j einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die durch den
21
Riemannschen Metriktensor induziert wird, dann ist 'jdM j = jdet(d')jjdM j, also
ergibt sich
Z
'(A)
Z
jdM j = jdet(d')jjdM j:
(1.5.2)
A
Wahrend das Integral einer Dierentialform uber M also nur invariant bezuglich
der Untergruppe der orientierungserhaltenden Dieomorphismen von M ist, ist das
Integral einer Dichte uber M invariant bezuglich der gesamten Gruppe der Dieomorphismen von M .
1.6 Dynamische Systeme
Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt zur Beschreibung der Zeitentwicklung physikalischer, biologischer und anderer real existierender Systeme. Es wird,
in Anlehnung an [62], deniert durch einen Zustands- oder Phasenraum X , der zum
Beispiel ein metrischer Raum (X; %) oder allgemein ein topologischer Raum ist, und
eine einparametrige Familie '()() : ? X ! X von Abbildungen 't, wobei t 2 ? der
Zeitparameter aus einer Zeitmenge ? 2 fN0 ; Z; R0+; Rg ist. Sind fur t nur ganzzahlige
Werte zugelassen, d. h. ? = N0 oder ? = Z, so spricht man von einem zeitdiskreten oder kurz diskreten dynamischen System. Im Falle beliebiger reeller Zeitwerte,
also ? = R0+ oder ? = R, heit das dynamische System zeitkontinuierlich oder kurz
kontinuierlich. An die Familie von Abbildungen werden dabei folgende Bedingungen
gestellt:
(DS1) Es gilt '0(u) = u fur alle u 2 X , d. h., die Abbildung '0 : X ! X ist die
identische Abbildung idX .
(DS2) Es gilt 't('s(u)) = 't+s (u) fur alle t; s 2 ? und alle u 2 X .
(DS3) a) Ist das System zeitkontinuierlich, so ist die Abbildung '()() : ? X ! X
stetig.
b) Ist das System zeitdiskret, so ist fur jedes t 2 ? die Abbildung 't : X ! X
stetig.
Im Falle ? 2 fZ; Rg spricht man auch von einem invertierbaren dynamischen System,
denn fur s = ?t ergibt sich aus der Eigenschaft (DS2) die Beziehung '?t = ('t)?1
fur alle t 2 ?, jede Abbildung 't ist dann also invertierbar. Die Eigenschaft (DS2)
wird fur ? 2 fN0 ; R0+g auch Halbgruppeneigenschaft und fur ? 2 fZ; Rg Gruppeneigenschaft genannt, denn sie garantiert, da die Familie von Abbildungen f'tgt2? eine
Halbgruppe bzw. Gruppe ist.
U ber die Stetigkeitseigenschaft (DS3) hinaus werden an ein dynamisches System auf
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M; g), d. h. X M , oft auch Glattheitsfor22
derungen gestellt. Voraussetzung ist dabei im Fall X 6= M , da fur jedes t 2 ? die
Abbildung 't nicht nur auf X , sondern auf einer oenen Menge Ut M , die X enthalt,
deniert ist, damit uber die Dierenzierbarkeit in Punkten aus dem Phasenraum X
Aussagen gemacht werden konnen. Ein zeitkontinuierliches dynamisches System ist
von der Glattheit C s, wenn die Abbildung (t; u) 7! 't(u) mit (t; u) 2 ? X eine
C s-Abbildung ist. Ein diskretes dynamisches System heit C s-glatt, wenn fur jedes
t 2 ? die Abbildung 't : X ! X eine C s-Abbildung ist.
Eine Menge K X heit invariant unter dem dynamischen System ' (oder kurz
'-invariant), wenn sie 't-invariant fur alle t 2 ? ist, d. h., wenn 't(K ) = K fur
alle t 2 ? gilt. Im Falle eines diskreten dynamischen Systems reicht es dabei aus,
'1(K ) = K zu fordern, denn daraus folgt 't(K ) = K fur alle t 2 N0 bzw. alle t 2 Z.
Eine '-invariante Menge K X heit maximal, wenn fur jede '-invariante Menge
Ke X die Inklusion Ke K gilt. Eine Menge K X heit positiv bzw. negativ
invariant unter dem dynamischen System ', wenn 't(K ) K bzw. K 't (K ) fur
alle positiven Zeiten t 2 ? gilt.
Betrachten wir als erstes diskrete dynamische Systeme genauer. Ein diskretes dynamisches System wird vollstandig durch die Angabe einer stetigen Funktion '1 auf
einem topologischen Raum und einer '1-invarianten Menge X beschrieben. Aufgrund
von Eigenschaft (DS2) ergeben sich daraus die Abbildungen 't fur t 2 N als t-fache
Hintereinanderausfuhrung der Abbildung '1, und die Invarianz der Menge X garantiert, da jede dieser Abbildungen auf ganz X deniert ist. Um (DS1) zu erfullen,
mu '0 := idX festgelegt werden. Eine stetige Abbildung auf einer invarianten Menge X legt also immer ein dynamisches System mit Zeitmenge ? = N0 fest. Ist '1
zusatzlich ein Homoomorphismus, d. h. eine stetige und invertierbare Abbildung mit
stetiger Inverser, so lat sich durch '?t := ('?1)t das dynamische System sogar fur
die Zeitmenge ? = Zdenieren und wird somit zu einem invertierbaren dynamischen
System. Ist die Abbildung '1 von der Glattheit C s, dann erhalten wir ein C s-glattes
dynamisches System. Im weiteren wird im Falle diskreter dynamischer Systeme die
Abbildung '1 auch kurz als ' bezeichnet, da diese das gesamte dynamische System
bestimmt.
Betrachten wir nun kontinuierliche dynamische Systeme. Fur ? = R wird ein solches
System auch als Flu und fur ? = R0+ als Halbu bezeichnet. Die in Abschnitt 1.3
aufgefuhrten globalen Flusse, die durch ein C s-Vektorfeld auf einer Riemannschen
C r-Mannigfaltigkeit (M; g) (1 s < r) gegeben sind, sind spezielle kontinuierliche
dynamische Systeme, die sogar invertierbar sind. Damit ist die Bezeichnung Flu fur
diese Abbildungen also gerechtfertigt. Ein globaler C s-Flu ist ein C s-glattes kontinuierliches dynamisches System.
Fur ein dynamisches System ' deniert fur festes u 2 X die Abbildung t 7! 't(u)
(t 2 ?) eine Bewegung mit Anfang u zur Zeit t = 0. Das Bild einer Bewegung mit
Anfang u heit Orbit oder Trajektorie durch u und wird mit (u) bezeichnet. Es gilt
also (u) = f't(u) j t 2 ?g. Ist das dynamische System invertierbar, wird zwischen
23
dem positiven Semiorbit durch u, d. h. +(u) = f't(u) j t 2 ?; t 0g, und dem
negativen Semiorbit durch u, d. h. ?(u) = f't (u) j t 2 ?; t 0g, unterschieden.
Die Bewegung durch u heit konstant, wenn 't(u) = u fur alle t 2 ? gilt. Der
zugehorige Orbit heit auch Ruhelage. Eine Ruhelage u heit anziehend, falls es eine
Umgebung U X von u gibt, so da limt!1 't(v) = u fur alle v 2 U gilt. Sie heit
abstoend, wenn es eine Umgebung U X von u gibt, so da fur alle v 2 U n fug
ein tv > 0 aus ? existiert mit 't(v) 62 U fur alle t > tv .
Eine Bewegung durch u bzw. ihr Orbit heit periodisch, wenn es ein T > 0 aus ?
mit 'T (u) = u gibt. Die kleinste Zahl T mit dieser Eigenschaft heit Periode der
Bewegung. Ruhelagen und periodische Orbits sind spezielle invariante Mengen des
dynamischen Systems. Ist das dynamische System diskret, dann ist ein periodischer
Orbit (u) mit Periode T > 0 anziehend bzw. abstoend, falls die Ruhelage u des
durch die Abbildung 'T denierten dynamischen Systems anziehend bzw. abstoend
ist.
Betrachten wir nun nochmals speziell dynamische Systeme auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M; g) mit einer Menge X M . Es sei entweder das kanonische Volumen (siehe Abschnitt 1.5) oder ein aueres Ma. Ein dynamisches System ' heit
konservativ bezuglich oder -erhaltend, wenn fur beliebige Teilmengen A X , fur
die (A) erklart ist, die Beziehung ('t (A)) = (A) fur alle Zeiten t 2 ? gilt. Diese
Eigenschaft kann man im Fall = V auch durch ('t)jdM j = jdM j fur alle t 2 ? charakterisieren, wobei ('t) das Pullback bezeichnet (siehe Abschnitt 1.5). Hinreichende
Bedingung fur diese Eigenschaft ist j det du'tj = 1 fur alle t 2 ?. Das dynamische System heit dissipativ bezuglich oder -schrumpfend (in positiver Zeitrichtung), wenn
('t(A)) < (A) gilt, und es heit expansiv bezuglich oder -expandierend (in positiver Zeitrichtung), wenn ('t(A)) > (A) gilt, wobei fur A alle Teilmengen von X ,
fur die (A) erklart ist, und fur t alle positiven Zeiten t 2 ? betrachtet werden.
1.7 Hausdor-Dimension und Abschatzung nach
Douady und Oesterle
Die Hausdor-Dimension ist fur beliebige Teilmengen A eines metrischen Raumes
(X; %) erklart. Fur beliebige Zahlen " 2 R+ und d 2 R0+ wird ein aueres Ma
H (A; d; ") := inf
X
rid
deniert, wobei das Inmum uber alle abzahlbaren U berdeckungen von A durch oene
Kugeln B (ui; ri) mit Radien ri " genommen wird. Falls eine solche abzahlbare
U berdeckung nicht existiert, wird H (A; d; ") := 1 gesetzt. Dieses auere Ma wird
als aueres Hausdorsches (d; ")-Ma bezeichnet. Es ist fur kompakte Mengen K X
immer endlich.
24
Fur xiertes d und A ist die Funktion H (A; d; ) monoton nichtwachsend, also existiert der Grenzwert
H (A; d) := "!lim
(A; d; ")
0+0 H
in R0+. Fur jedes d 2 R0+ ist die Mengenfunktion H (; d) ein metrisches aueres
Ma, das aueres Hausdorsches d-Ma genannt wird. Fur jede Menge A existiert
ein kritischer Wert d 2 R0+ mit
8
>
>
<
H (A; d) = >
>
:
1 fur d 2 R0+; d < d;
0 fur d 2 R0+; d > d:
Dieser kritische Wert ist die Hausdor-Dimension von A, die mit dimH (A) bezeichnet
wird.
Eine analoge Konstruktion, bei der U berdeckungen durch Kugeln mit konstantem
Radius " betrachtet werden, liefert fur lim sup"!0+0 die obere Kapazitive Dimension
dimC (A) und fur lim inf"!0+0 die untere Kapazitive Dimension dimC (A) der Menge
A. Stimmen der obere und der untere Dimensionswert uberein, so spricht man von
der Kapazitiven Dimension dimC (A) = dimC (A) = dimC (A) der Menge A.
Zwischen der Hausdor-Dimension und der unteren und oberen Kapazitiven Dimension einer Menge A bestehen oensichtlich die Relationen
dimH (A) dimC (A) dimC (A):
Die Hausdor-Dimension hat auerdem folgende wichtige Eigenschaften, die wir aus
[62] zitieren:
Lemma 1.7.1 Es sei (X; %) ein beliebiger metrischer Raum. Dann gilt
(1) dimH (;) = 0,
(2) dimH (A) dimH (B ) fur beliebige Teilmengen A B X ,
S
(3) dimH ( i=1;2;::: Ai) = supi=1;2;::: dimH (Ai) fur beliebige hochstens abzahlbar viele
Teilmengen Ai X (i = 1; 2; : : : ),
(4) dimH (A) = 0, falls A eine hochstens abzahlbare Menge A X ist.
(5) Ist (X 0 ; %0) ein weiterer metrischer Raum und ist f : X ! X 0 eine Lipschitzstetige Abbildung, d. h. eine stetige Abbildung, fur die es eine Konstante L > 0
mit %0 (f (x); f (y)) L%(x; y) fur alle x; y 2 X gibt, dann gilt dimH (f (A)) dimH (A) fur beliebige A X . Existiert die Umkehrabbildung f ?1 : X 0 ! X
und ist diese ebenfalls Lipschitz-stetig, so gilt sogar dimH (f (A)) = dimH (A) fur
alle A X .
25
In [18] haben A. Douady und J. Oesterle fur kompakte negativ invariante Mengen
K von C 1-Abbildungen ' : U Rn ! Rn eine obere Schranke fur die HausdorDimension hergeleitet, die in [58] fur Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten verallgemeinert wurde. Dazu wurde in [58] das Verhalten des aueren Hausdorschen d-Maes unter der Abbildung analysiert:
Lemma 1.7.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge und ' : U ! M eine C 1-Abbildung. Weiterhin seien
K und Ke kompakte Mengen mit den Eigenschaften K Ke U und 'j (K ) Ke fur
alle j 2 N. Dann gilt fur alle d 2 (0; n], alle l 2 R+ mit
!d (du') < l fur alle u 2 Ke
(1.7.1)
und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 die Beziehung
H ('(K ); d; l d1 ") 2bdc (bdc + 1) 2d lH (K; d; "):
Auf dieser Aussage basiert auch die obere Dimensionsschranke aus [58], die hier nur fur
den Fall einer invarianten Menge zitiert wird. Eine analoge Aussage fur nur stuckweise
dierenzierbare Abbildungen ndet sich in [63].
Satz 1.7.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine kompakte
'-invariante Menge. Falls es eine Zahl d 2 (0; n] gibt, so da
!d (du') < 1 fur alle u 2 K
(1.7.2)
gilt, dann ist dimH (K ) d.
Der Beweis basiert darauf, fur alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 eine Folge von
U berdeckungen
fUpgp2N von Kugeln mit Radien hochstens " zu konstruieren, so da
P
limp!1 B2Up rBd = 0 gilt. Dabei wird von einer festen U berdeckung U1, bestehend
aus Kugeln mit hinreichend kleinen Radien, ausgegangen. Die Bilder der Kugeln unter ' bilden wegen '(K ) = K wieder eine U berdeckung von K . Diese Bilder sind, im
entsprechenden Tangentialraum betrachtet, naherungsweise Ellipsoide, die aus den
in den Tangentialraum isometrisch abgebildeten Kugeln durch die Tangentialabbildung d' entstanden sind. Die Halbachsenlangen dieser Ellipsoide entsprechen den
Singularwerten der Tangentialabbildung. U berdeckt man jedes Ellipsoid durch Kugeln und geht man vom Tangentialraum wieder auf die Mannigfaltigkeit, dann erhalt
man eine neue Kugeluberdeckung von K . Die Anzahl solcher Kugeln hangt dabei
von den Singularwerten der Tangentialabbildung ab. Die Bedingung (1.7.2) stellt sicher, da fur die neue Kugeluberdeckung U2 die Summe der Radien zur Potenz d um
einen gewissen Faktor 2 (0; 1) kleiner als die entsprechende Summe der ursprunglichen U berdeckung U1 ist und stellt damit eine Kontraktionsbedingung fur das auere
26
Hausdorsche d-Ma unter der Abbildung ' dar. Durch fortlaufende Wiederholung
desselben Verfahrens entsteht eine U berdeckungsfolge fUpgp2N mit der oben erwahnten Eigenschaft.
Es sei bemerkt, da die Bedingung (1.7.2) fur ein d 2 (0; n] impliziert, da !n(du ') =
j det(du ')j < 1 fur alle u 2 K gelten mu. Das durch die Abbildung ' auf K denierte
dynamische System mu also dissipativ bezuglich des kanonischen Volumens sein
(siehe Abschnitt 1.6).
1.8 Topologische Entropie und Bowen-Kugeln
Die topologische Entropie als Ma fur die dynamische Komplexitat eines diskreten
dynamischen Systems wurde in [2] eingefuhrt. Sie mit fur wachsende p die Wachstumsrate der Anzahl von verschiedenen Orbits der Lange p, die sich um mehr als eine
Genauigkeitsschranke " > 0 voneinander unterscheiden. Das kommt in der folgenden
Charakterisierung der topologischen Entropie zum Ausdruck, die auf [12] zuruckgeht.
Es seien (X; %) ein metrischer Raum, ' : X ! X eine stetige Abbildung, K X eine
kompakte Teilmenge und p 2 N und " > 0 Zahlen. Eine Teilmenge G K heit (p; ")aufspannend fur K in bezug auf ', wenn fur beliebiges u 2 K ein v 2 G existiert, so
da %('j (u); 'j (v)) < " fur alle 0 j p ? 1 gilt. Es bezeichne Np(K; ") die kleinste
Machtigkeit einer Menge G, die (p; ")-aufspannend fur K ist. Da K kompakt ist, ist
Np(K; ") immer endlich. Falls die kompakte Menge K invariant unter der Abbildung
' ist, d. h., falls '(K ) = K gilt, so ist
1 ln N (K; p)
htop('jK ) := "!lim
lim
sup
"
0+0 p!1 p
die topologische Entropie von ' auf K . Diese Groe ist immer nichtnegativ.
Es seien (X; %) und (X 0 ; %0) zwei metrische Raume und ' : X ! X und '0 : X 0 ! X 0
zwei stetige Abbildungen. Die Abbildungen ' und '0 heien topologisch konjugiert
zueinander, wenn es einen Homoomorphismus h : X ! X 0 gibt, d. h. eine stetige
Bijektion mit stetiger Umkehrabbildung, so da '0 = h ' h?1 gilt. Fur eine 'invariante Menge K und eine '0-invariante Menge K 0 mit K 0 = h(K ) gilt unter
diesen Voraussetzungen htop('jK ) = htop('0jK0 ) (siehe z. B. [13]).
Die Denition der topologischen Entropie kann auf allgemeine dynamische Systeme
'()() : ? K ! K auf einer kompakten Menge K ausgedehnt werden, indem die
topologische Entropie des dynamischen Systems ' als
htop('()()jK ) := htop('1jK )
festgelegt wird. Fur die topologische Entropie der Abbildungen 't (t 2 ?) gilt dann
nach [62] die folgende Aussage:
27
Lemma 1.8.1 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, K X eine kompakte Teilmenge und '() () : ? K ! K ein dynamisches System. Dann gilt fur alle Zahlen
t 2 ? die Beziehung
htop('tjK ) = jtjhtop('jK ):
Gehen wir nun wieder zum ursprunglich betrachteten Fall eines diskreten dynamischen Systems zuruck, das durch eine stetige Abbildung ' : X ! X auf einem
metrischen Raum (X; %) und eine kompakte '-invariante Menge K X festgelegt
ist. Zu jedem p 2 N kann man in X eine dynamische Metrik
%p(u; v) := j=0max
%('j (u); 'j (v))
;:::;p?1
einfuhren. Dabei stimmt %1 mit der ursprunglichen Metrik % uberein. Mit Hilfe der
Metrik %p lat sich eine (p; ")-aufspannende Menge G K fur eine kompakte Menge
K X auch dadurch charakterisieren, da fur beliebiges u 2 K ein v 2 G existiert,
so da %p(u; v) < " ist. Im metrischen Raum (X; %p ) ist also das Mengensystem
fB (v; ")gv2G eine U berdeckung von K . Die Anzahl Np(K; ") ist damit die kleinste
Anzahl der zur U berdeckung von K benotigten Kugeln vom Radius " im metrischen
Raum (X; %p ).
Ist die Abbildung ' sogar invertierbar, so kann fur jedes p 2 N eine weitere Metrik
j (u); 'j (v )):
%ep(u; v) := j=max
%
(
'
?p;::: ;p
durch zusatzliche Einbeziehung der Umkehrabbildung '?1 gebildet werden. Die kleinste Anzahl von Kugeln vom Radius " im metrischen Raum (X; %ep), die zur U berdeckung von K notig ist, ist dann N2p+1(K; "). Kugeln bezuglich der Metrik %ep heien dynamische Kugeln oder Bowen-Kugeln der Ordnung p. Sie werden mit B p(u; ")
bezeichnet, wobei u 2 X der Mittelpunkt der Bowen-Kugel und " > 0 der Radius in
der Metrik %ep ist. Eine Bowen-Kugel der Ordnung p um u 2 X mit Radius " > 0 ist
also durch
B p(u; ") := fv 2 X j %('j (u); 'j (v)) < " (j = ?p; : : : ; p)g
=
p
\
j =?p
'j (B ('?q (u); "))
(1.8.1)
deniert.
1.9 Hyperbolische Mengen,Lyapunov-Exponenten
Hyperbolische Mengen fur Dieomorphismen und Flusse wurden zum ersten Mal in [4]
eingefuhrt. Wir wollen hier die Begrie allgemein fur dynamische Systeme denieren.
28
Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, K M eine
kompakte Menge, ? 2 fN0 ; Z; R0+; Rg eine Zeitmenge und '()() : ? K ! K ein
C 1-glattes dynamisches System auf K , so da die Menge K invariant unter ' ist.
Aufgrund der Glattheitsforderung an ' mu es dann fur jede Zeit t 2 ? eine oene
Umgebung Ut M von K geben, so da 't auf U t als C 1-Abbildung deniert ist.
Die Menge K besitzt eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels TK M = E 1 : : : E p bezuglich des dynamischen Systems ' in p Teilbundel (p 2 N), wenn fur jedes
u 2 K und jedes j 2 f1; : : : ; pg der Raum Euj := E j \ TuM ein nj -dimensionaler
Teilraum von Tu M ist und
du 't(Euj ) = E'j t(u) fur alle t 2 ?
(1.9.1)
gilt. Dabei sind die Zahlen n1; : : : ; np 2 N0 konstant fur alle Punkte u 2 K und
erfullen die Gleichung n1 + : : : + np = n. Sie werden im weiteren auch als Dimensionen
der Bundel E 1; : : : ; E p bezeichnet.
A quivariante Zerlegungen des Tangentialraumes in Ebenen wurden zum Beispiel auch
in [59] betrachtet. Eine triviale aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels besitzt
jede kompakte '-invariante Menge K ohne kritische Punkte, d. h. ohne Punkte u 2 K
mit j det(du')j = 0, wenn als ein Bundel der Zerlegung das gesamte Tangentialbundel
gewahlt wird und die anderen Bundel jeweils das triviale Bundel fOu j u 2 K g sind.
Fur diskrete dynamische Systeme sei bemerkt, da es anstelle von (1.9.1) ausreichend
ist, du '1(Euj ) = E'j 1 (u) zu fordern, denn daraus ergibt sich dann induktiv die Eigenschaft (1.9.1).
Es sei nun '()() : ? K ! K ein C 1-glattes invertierbares dynamisches System auf
der kompakten '-invarianten Menge K M . Im Falle eines kontinuierlichen Systems
wird zusatzlich gefordert, da K keine Ruhelagen des Systems enthalt. Dann heit
die Menge K hyperbolisch fur ', falls es eine in bezug auf ' aquivariante Zerlegung
des Tangentialbundels TK M = E 0 E s E u mit
1 ln max kd 'tj k < 0;
lim
t!1 t
u2K u Es
1
?
t
kd ' jEu k < 0
lim ln max
t!1 t
u2K u
gibt, wobei t 2 ? betrachtet wird. Das Bundel E 0 besteht dabei fur kontinuierliche
dynamische Systeme jeweils aus der Geraden in derRichtung tangential zur Flulinie,
die aufgrund der Forderung, da K keine Ruhelagen des Systems enthalten darf,
immer deniert ist. Fur diskrete dynamische Systeme ist E 0 = fOu j u 2 K g das
triviale Bundel, das jeweils nur den Ursprung jedes Tangentialraumes enthalt. Dieses
Bundel kann deshalb in der Zerlegung auch weggelassen werden. Wir haben hier diese
Formulierung gewahlt, um diskrete und kontinuierliche Systeme gleichbehandeln zu
konnen. Es gilt damit n0 = 1 im kontinuierlichen Fall und n0 = 0 im diskreten Fall.
29
Das Bundel E s wird auch als stabiles Bundel bezeichnet, da die Tangentialabbildung
auf diesem Bundel stauchend wirkt, und E u wird als instabiles Bundel bezeichnet, da
die inverse Tangentialabbildung auf diesem Bundel stauchend wirkt.
Fur die so denierten hyperbolischen Mengen ist in [22] die folgende obere Schranke
der Hausdor-Dimension unter Verwendung der topologischen Entropie des dynamischen Systems angegeben worden:
Satz 1.9.1 Es seien (M; g) eine glatte n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, K M eine kompakte Menge, ? 2 fZ; Rg eine Zeitmenge und '()() : ? K !
K ein C 1-glattes dynamisches System auf K , so da die Menge K hyperbolisch fur '
ist. Weiterhin sei die Zahl
1
1
t
?
t
:= max tlim
ln max
kd ' j s k ; tlim
ln max
kd ' jEuu k
!1
!1
u2K u Eu
u2K u
t
t
deniert. Dann gilt dimH (K ) 2 htopj('j jK ) + n0.
Diese obere Abschatzung wurde in [29] dadurch verbessert, da anstelle der Zahl ,
die die maximale Streckung der Tangentialabbildung im stabilen Bundel bzw. der
inversen Tangentialabbildung im instabilen Bundel beschreibt, das gesamte Spektrum der globalen Lyapunov-Exponenten betrachtet wird. Die globalen LyapunovExponenten sind dabei uber Grenzwerte der Singularwertfunktion deniert, wobei in
E s die Singularwerte der Tangentialabbildung in der ursprunglichen Zeitrichtung und
in E u die Singularwerte der Tangentialabbildung in umgekehrter Zeitrichtung betrachtet werden. Wir wollen hier diese Singularwertfunktion und die globalen LyapunovExponenten nicht nur fur hyperbolische Mengen, sondern allgemein fur Mengen mit
einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels in drei Teilbundel einfuhren.
Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine
oene Menge, ' : U ! M ein C 1-Dieomorphismus und K U eine kompakte 'invariante Menge mit der bezuglich ' aquivarianten Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3,
wobei E j ein nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Fur beliebige Punkte u; v 2 K seien 11(u); : : : ; 1n1 (u) die Singularwerte von du 'jEu1 und
21(v); : : : ; 2n2 (v) die Singularwerte von dv '?1jEv2 . Die Menge f11(u); : : : ; 1n1 (u);
21(v); : : : ; 2n2 (v)g werde zu f1(u; v); : : : ; n1 +n2 (u; v)g mit 1(u; v) : : : n1 +n2 (u; v) umgeordnet. Fur eine Zahl d 2 [0; n ? n3] ist die Singularwertfunktion
der Ordnung d von ' auf K bezuglich der Zerlegung E 1 E 2 E 3 durch
8
>
>
<
1
>
:
sup [1(u; v) : : : bdc(u; v)bdc+1(u; v)d?bdc] fur d 2 (0; n ? n3]
E 1;E 2;E 3(') :=
!d;K
>
fur d = 0;
u;v2K
deniert. Dabei sei bemerkt, da auf dem Bundel E 1 die Singularwerte der Tangentialabbildung in der ursprunglichen Zeitrichtung und auf E 2 die Singularwerte der
30
Tangentialabbildung in umgekehrter Zeitrichtung betrachtet werden, wogegen das
Bundel E 3 uberhaupt keinen Anteil fur die Singularwertfunktion liefert. Kontraktionsbedingungen, die eine obere Schranke der Hausdor-Dimension liefern, sind obere
Schranken an die Singularwertfunktion. Also soll die Singularwertfunktion moglichst
kleine Werte annehmen. Fur hyperbolische Mengen ist es deshalb sinnvoll, E 1 = E s,
E 2 = E u und E 3 = E 0 zu wahlen. Im weiteren betrachten wir fur hyperbolische
Mengen immer diese Zerlegung des Tangentialbundels.
Fur invertierbare dynamische Systeme kann die Singularwertfunktion fur die Hintereinanderausfuhrung zweier Abbildungen 't1 und 't2 (t1; t2 2 ?) betrachtet werden.
Fur diese Hintereinanderausfuhrung gilt, analog zur verallgemeinerten Hornschen Ungleichung (siehe Lemma 1.2.1), die folgende Aussage:
Lemma 1.9.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 2-Mannigfaltigkeit, K M eine kompakte Menge, ? 2 fZ; Rg eine Zeitmenge und '()() : ? K ! K ein C 1-glattes dynamisches System auf K , so da fur K eine bezuglich '
aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, wobei
E j ein nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Dann gilt fur alle
d 2 [0; n ? n3] und alle t1; t2 2 ? die Beziehung
E 1 ;E 2 ;E 3 ('t1 +t2 ) ! E 1 ;E 2 ;E 3 ('t1 ) ! E 1 ;E 2 ;E 3 ('t2 ):
!d;K
d;K
d;K
E 1 ;E 2 ;E 3 ('t ) in Abhangigkeit von t 2 ? eine SubexDiese Eigenschaft bedeutet, da !d;K
ponentialfunktion ist. Nach [69] existiert damit der Grenzwert
1 ln !E1;E2;E3 ('t)
d := tlim
(1.9.2)
d;K
!1 t
fur alle d 2 [0; n ? n3], der aufgrund der Eigenschaften einer Subexponentialfunktion
in R [ f?1g liegt. Wir wollen nun zeigen, da fur den vorliegenden Fall der Wert
?1 nicht moglich ist. Dazu fuhren wir fur alle t 2 ? die Groe
(d 'tj 1 ); min (d '?tjEv2 )g
EK1;E2;E3 ('t) := minfmin
u2K n1 u Eu v2K n2 v
ein. Da 't auf einer1 oenen
Umgebung Ut der kompakten Menge K ein Dieomor2 ;E 3 t
E
;E
phismus ist, gilt K
(' ) > 0 fur alle t 2 ?. Fur die Hintereinanderausfuhrung
zweier Abbildungen 't1 und 't2 (t1; t2 2 ?) gilt
EK1;E2;E3 ('t1+t2 ) EK1;E2;E3 ('t1 ) EK1;E2;E3 ('t2 ):
Also existiert der Grenzwert
1 ln E1;E2;E3 ('t) 2 R [ f1g:
EK1;E2;E3 := tlim
K
!1 t
31
i
E 1 ;E 2;E 3 ('t ) fur alle i = 1; : : : ; n ? n
Aufgrund der Beziehung EK1;E2;E3 ('t) !i;K
3
1 2 3 i
gilt i EK ;E ;E . Damit sind alle in (1.9.2) denierten Grenzwerte d groer als
?1 und somit samtlich aus R.
Aus diesen Grenzwerten konnen, analog zu [29], globale Lyapunov-Exponenten deniert werden. Dazu werden die Zahlen i ? i?1 (i = 1; : : : ; n ? n3) der Groe nach als
1u 2u : : : nu?n3 angeordnet. Die Zahlen iu (i = 1; : : : ; n ? n3) heien globale
Lyapunov-Exponenten des dynamischen Systems ' auf K bezuglich der aquivarianten Zerlegung E 1 E 2 E 3. Diese Lyapunov-Exponenten sind samtlich reell und im
Falle einer hyperbolischen Menge K sogar samtlich negativ. Das hochgestellte u in
der Bezeichnung der globalen Lyapunov-Exponenten geht dabei auf den englischen
Begri "uniform\ zuruck.
Unter Verwendung dieser globalen Lyapunov-Exponenten wurde in [29] die folgende
obere Schranke fur die Hausdor-Dimension einer hyperbolischen Menge hergeleitet:
Satz 1.9.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale glatte Riemannsche Mannigfaltigkeit, K M eine kompakte Menge, ? 2 fZ; Rg eine Zeitmenge und '()() : ? K !
K ein C 2-glattes dynamisches System auf K , so da die Menge K hyperbolisch fur '
ist. Weiterhin seien die Zahlen
A := tlim
max
!1
B := tlim
max
!1
t k 1t ; max kd '?t k 1t
max
k
d
'
u
u2K
u2K u
;
max
kd 'tj s k 1t ; max
kd '?tjEuu k 1t
u2K u Eu
u2K u
deniert, und D 2 f0; : : : ; n ? n0 ? 1g sei die kleinste Zahl mit der Eigenschaft
2htop ('jK ) + 1u + : : : + Du + Du +1 < 0:
u
u
+:::+D
.
Unter der Voraussetzung AB 2 < 1 gilt dimH (K ) D + n0 + 2htop ('jKj)+
u 1
D+1 j
Die Bedingung AB 2 < 1 wird auch als "pinching condition\ bezeichnet und stellt
sicher, da die aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels im Fall K = M stetig
vom Punkt u 2 M abhangt. In einigen Arbeiten sind an den Begri der hyperbolischen Menge starkere Voraussetzungen gestellt worden, so da sich diese Stetigkeit
automatisch ergibt (siehe z. B. [31]). Die "pinching condition\ wird in [29] auch dazu benotigt, im Beweis von Satz 1.9.2 die Kontraktion des aueren Hausdorschen
d-Maes nachzuweisen.
Wir kommen nun nochmals auf die Singularwertfunktion bezuglich einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels zuruck. Analog zu Abschnitt 1.2 kann auch dieses
Konzept auf Ellipsoide ausgedehnt werden. Da fur Mengen mit einer aquivarianten
32
Zerlegung des Tangentialbundels die Tangentialabbildung jeweils eingeschrankt auf
einen Teilraum Euj des Tangentialraumes Tu M betrachtet wird, ergeben sich in jedem
Teilraum Ellipsoide, so da insgesamt direkte Summen von Ellipsoiden betrachtet
werden mussen. Es seien also n und p naturliche Zahlen und E1; : : : ; Ep Euklidische
Raume der Dimensionen n1; : : : ; np (n1 + : : : + np = n). Fur j = 1; : : : ; p sei Ej Ej
ein Ellipsoid mit den Halbachsenlangen aj1; : : : ; ajni . Die Menge fa11; : : : ; a1n1 ; a21; : : : ;
a2n2 ; : : : ; ap1; : : : ; apnp g werde zu fa1; : : : ; ang mit a1 : : : an umgeordnet. Dann
denieren wir
8
>
>
<
!dE1;:::;Ep (E1 : : : Ep) := >
fur d = 0;
1
a : : : abdcadbd?cb+1dc fur d 2 (0; n]:
>
: 1
Fur solche direkten Summen von Ellipsoiden gilt die folgende Aussage, analog zu
Lemma 1.2.2:
Lemma 1.9.2 Es seien p und n naturliche Zahlen und E1; : : : ; Ep Euklidische Raume der Dimensionen n1 ; : : : ; np (n1 + : : : ; np = n). Weiterhin seien k > 0, m > 0,
> 0 und d 2 (0; n] Zahlen, die der Ungleichung k md genugen, und Ej Ej
(j = 1; : : : ; p) Ellipsoide mit 1(Ej ) m und !dE1 ;:::;Ep (E1 : : : Ep) k. Dann
existieren Ellipsoide E0j Ej (j = 1; : : : ; p), so da die Menge (E1 : : :Ep)+ B (O; )
in E01 : : : E0p enthalten ist und
"
bdc
m
E1 ;:::;Ep 0
0
(E1 : : : Ep) 1 + k
!d
1=(d?bdc) #d
k
gilt.
1.10 Untere Dimensionsschranken nach Frostman
und Shereshevskij
Untere Dimensionsschranken, die nichtganzzahlige Werte liefern konnen, basieren oftmals auf dem Lemma von Frostman (siehe z. B. [61]). Hier zitieren wir eine modizierte Variante aus [20]:
Lemma 1.10.1 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, K X eine Teilmenge und ein endliches aueres Borel-Ma auf X , das auf K konzentriert ist. Weiterhin gelte
(K ) > 0. Falls es Zahlen d 0, c > 0 und "0 > 0 gibt, so da fur alle r 2 (0; "0]
und alle x 2 K die Beziehung (B (x; r)) crd gilt, dann gilt dimH (K ) d.
33
Das in Lemma 1.10.1 verwendete auere Ma ist bis auf einen Faktor c eine Minorante fur das auere Hausdorsche (d; ")-Ma fur alle " 2 (0; "0] und damit auch fur
das auere Hausdorsche d-Ma. Da (K ) > 0 vorausgesetzt wurde, mu damit auch
H (K; d) > 0 gelten.
Fur geometrische Konstruktionen auf der reellen Achse, die auch von L. Barreira
in [6] betrachtet wurden, hat M. A. Shereshevskij ([66]) eine untere Schranke fur
die Hausdor-Dimension zusammen mit einer oberen Schranke angegeben. Es sei
bemerkt, da die obere Schranke im weiteren keine Verwendung ndet, da sie im
Rahmen dieser Arbeit durch andere Abschatzungen verbessert werden kann. Deshalb
wird hier nur die untere Abschatzung zitiert:
Satz 1.10.1 Es sei k > 1 eine naturliche Zahl, und fur jedes p 2 N und jedes p-Tupel
(!1; : : : ; !p) 2 f1; : : : ; kgp existiere ein abgeschlossenes Intervall D!1;:::;!p R mit
den folgenden Eigenschaften:
1) Fur zwei p-Tupel (!1 ; : : : ; !p ) 6= (!10 ; : : : ; !p0 ) gilt D!1 ;::: ;!p \ D!10 ;::: ;!p0 = ;.
2) Fur jedes (!1; : : : ; !p ; !p+1 ) 2 f1; : : : ; kgp+1 gilt D!1 ;:::;!p+1 D!1 ;:::;!p .
Falls es Zahlen > 0 und r 2 (0; 1) gibt, so da
jD!1 ;:::;!p j rp
fur alle p 2 N; (!1 ; : : : ; !p ) 2 f1; : : : ; kgp gilt, dann kann die Hausdor-Dimension
der Menge
D=
1
\
[
p=1 (!1 ;:::;!p)2f1;:::;kgp
D!1 ;:::;!p
nach unten durch dimH (D) ? lnln kr abgeschatzt werden.
In dieser Abschatzung mu kein aueres Ma mit bestimmten Eigenschaften konstruiert werden. Es werden nur die Durchmesser von Teilmengen von D analysiert, also
Eigenschaften der Metrik verwendet. Naturlich setzt diese Vorgehensweise eine sehr
spezielle Struktur der betrachteten Menge voraus. M. A. Shereshevskij verwendet diese Abschatzung in R, um fur Mengen im R2, die bei Bifurkationen entstehen, untere
Dimensionsschranken (zusammen mit oberen Abschatzungen) herzuleiten.
34
Kapitel 2
Hausdor-Ma-expandierende
Abbildungen
In diesem Kapitel wird eine Klasse von im allgemeinen nicht injektiven Abbildungen
betrachtet, die auf einer Teilmenge der invarianten Menge das auere Hausdorsche
d-Ma pro Iteration um einen Faktor a 1 vergroert. Unter dieser Voraussetzung
kann die obere Schranke 1 an die Singularwertfunktion, die im Satz von Douady
und Oesterle eine Kontraktion des aueren Hausdorschen d-Maes garantiert, auf a
vergroert werden. Die wesentlichen Ergebnisse dieses Kapitels sind Bestandteil der
Arbeit [9].
2.1 Eine Klasse von Hausdor-Ma-expandierenden Abbildungen
Als erstes mochten wir die Klasse der Abbildungen, die auf einer invarianten Menge
expandierend bezuglich des aueren Hausdorschen d-Maes mit Expansionsfaktor a
wirkt, denieren.
Denition 2.1.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine Abbildung, K U eine kompakte
Menge und a 1 und d 2 [0; n] reelle Zahlen. Die Abbildung ' heit H ( ; d)expandierend mit dem Faktor a auf K , falls es eine Zahl j0 2 N gibt, so da fur
alle naturlichen Zahlen j > j0 eine Teilmenge Kj K mit den Eigenschaften
(AE1) aj H (Kj ; d) H (K; d),
?
(AE2) H 'j (Kj ); d = H ('j (K ); d)
existiert.
35
Das auere Hausdorsche d-Ma der Menge Kj wird im Verhaltnis zum d-Ma der
Menge K unter der Abbildung 'j mindestens um den Faktor aj vergroert. Das
entspricht einer mittleren Vergroerung um wenigstens den Faktor a pro Iteration
der Abbildung. Die einfachste Moglichkeit, die Eigenschaft (AE2) zu erfullen, besteht
darin, Mengen Kj mit 'j (Kj ) = 'j (K ) zu wahlen.
Eine H (; d)-expandierende Abbildung mit Faktor a ist auch H (; d)-expandierend
mit Faktor ea fur alle ea 2 [1; a]. Da die Zahl a aber als obere Schranke an die Singularwertfunktion in Dimensionsabschatzungen nach A. Douady und J. Oesterle eingehen soll, ist es sinnvoll, die Zahl a so gro wie moglich zu wahlen.
Beispiel 2.1.1 Betrachten wir als einfachsten Vertreter einer H (; d)-expandieren-
den Abbildung eine Zeltabbildung in M = R. Diese Abbildung sei durch
8
>
>
<
'(x) = >
>
:
3x
fur x < 12 ;
3 ? 3x fur x 21 :
deniert. Der Graph dieser Abbildung ist in Abb. 2.1 dargestellt.
'(u)
1
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
u
1 B
B
Abbildung 2.1: Zeltabbildung
36
BB
Fur Punkte x < 0 oder x > 1 gilt limp!1 'p(x) = ?1, also mu eine kompakte
invariante Menge dieser Abbildung in [0; 1] enthalten sein.
Es bezeichne K Tdie maT1
ximale kompakte
invariante Menge von ', d. h. K := p=0 '?p ([0; 1]) = 1p=0 K p
T
mit K p := pi=0 '?i([0; 1]). Die Mengen K p haben dabei die Form K 0 = [0; 1],
K 1 = [0; 31 ] [ [ 32 ; 1], K 2 = [0; 91 ] [ [ 92 ; 31 ] [ [ 23 ; 97 ] [ [ 98 ; 1] und so weiter (siehe Abb. 2.2).
Die durch diesen Grenzproze entstehende Menge K wird auch als Standard-CantorMenge bezeichnet.
K0
K1
K2
K3
K4
0
1
0
0
1
9
0
1 2 1
27 27 9
2
9
1
3
2
3
1
3
2
3
2 7 8 1
9 27 27 3
1
7
9
2 19 20 7
3 27 27 9
8
9
1
8 25 26
9 27 27
1
Abbildung 2.2: Konstruktion der invarianten Menge
Es seien Kj := K \ [0; 31j ] (j 2 N). Diese Mengen sind jeweils eine "lineare Kopie\
der Menge K mit dem Faktor 31j . Damit liefert fur jede Zahl " > 0 eine U berdeckung
der Menge Kj durch Kugeln mit Radien hochstens " eine U berdeckung von K durch
Kugeln mit Radien hochstens 3j " und umgekehrt. Es sei bemerkt, da in diesem
eindimensionalen Fall Kugeln immer oene Intervalle sind. Fur beliebiges d 2 [0; 1]
gilt damit fur das auere Hausdorsche (d; ")-Ma von K j die Beziehung
H (Kj ; d; ") = 31j
d
H (K; d; 3j "):
Durch Grenzubergang " ! 0 + 0 erhalt man daraus
H (Kj ; d) = 31d
j
H (K; d):
Also gilt (AE1) fur beliebiges d 2 [0; 1] mit dem Faktor a = 3d . Auerdem ist 'j (Kj ) =
'j (K ) = K fur alle j 2 N, also ist (AE2) erfullt. Damit ist die Zeltabbildung ' fur
beliebiges d 2 [0; 1] eine H (; d)-expandierende Abbildung auf der invarianten Menge
K mit dem Faktor 3d .
37
2.2 Obere Dimensionsschranken
Als erstes wollen wir, analog zur Vorgehensweise von [18], analysieren, wie sich das
auere Hausdorsche d-Ma fur kompakte, nicht notwendigerweise invariante Mengen
unter einer H (; d)-expandierenden Abbildung verhalt.
Satz 2.2.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge und ' : U ! M eine C 1-Abbildung. Weiterhin seien K
und Ke kompakte Mengen mit den Eigenschaften K Ke U und 'j (K ) Ke fur alle
j 2 N und a 1 und d 2 (0; n] Zahlen, so da ' auf K eine H (; d)-expandierende
Abbildung mit Faktor a ist und H (K; d) < 1 gilt. Unter der Voraussetzung
(2.2.1)
!d (du') < a fur alle u 2 Ke
gilt dann jlim
('j (K ); d) = 0.
!1 H
Beweis Aufgrund der Eigenschaft 'j (K ) Ke fur alle j 2 N gilt mit Lemma 1.2.1
!d (dv 'j ) sup !d(du ')
!j
u2Ke
fur alle v 2 K und alle j 2 N. Nun sei > 0 eine beliebige Zahl. Aus (2.2.1) folgt
supu2Ke !d (du ')
< 1. Dann existiert ein j 2 N, das groer als die durch Denition 2.1.1
a
festgelegte Zahl j0 ist, so da
j
d supu2Ke !d (du ')
b
d
c
2 (bdc + 1) 2
a
fur alle j > j gilt. Mit Lemma 1.7.2 und den Eigenschaften der H (; d)-expandierenden Abbildung ' ergibt sich daraus
?
H ('j (K ); d) = H ('j (Kj ); d) 2bdc(bdc + 1) 2d supu2Ke !d(du ') j H (Kj ; d)
2bdc(bdc + 1) d2
supu2Ke !d (du ') j
H (K; d)
a
H (K; d)
fur alle j > j . Da > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, folgt daraus die Behauptung.
Um eine obere Schranke fur die Hausdor-Dimension der Menge K zu nden, konnen
wir nicht H (K; d) < 1 wie in Satz 2.2.1 voraussetzen. Deshalb ist es notwendig,
anstelle des aueren Hausdorschen d-Maes das (d; ")-Ma zu betrachten, da dieses
fur kompakte Mengen immer endlich ist. Deshalb mu fur die H (; d)-expandierende
Abbildung ' zusatzlich eine Bedingung gestellt werden, die beschreibt, wie sich das
auere Hausdorsche (d; ")-Ma unter der Abbildung verhalt.
38
Satz 2.2.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine kompakte
'-invariante Menge. Weiterhin seien a 1 und d 2 (0; n] Zahlen, so da
!d (du') < a fur alle u 2 K
(2.2.2)
gilt und auerdem Zahlen l 2 (supu2K !d (du '); a) und j0 2 N existieren, so da es
fur alle naturlichen j > j0 eine Menge Kj K und eine Zahl "j > 0 gibt mit
1 ?j ?
j
a H Kj ; d; (bdc + 1) 2 l d " H (K; d; ")
(2.2.3)
und
H ('j (Kj ); d; ") = H ('j (K ); d; ")
fur alle " 2 (0; "j ]. Dann gilt dimH (K ) d.
(2.2.4)
Beweis Aufgrund von Lemma 1.2.1 gilt hier
sup !d (du
u2K
'j ) j
sup !d (du ') < lj
u2K
l < 1 existiert fur beliebiges > 0 eine naturliche Zahl j > j
fur alle j 2 N. Wegen
0
a
?
d l j
b
d
c
2
mit 2 (bdc + 1) a < fur alle j > j . Fur hinreichend kleine Zahlen " 2 (0; "j )
folgt mit Lemma 1.7.2 und den Beziehungen (2.2.2), (2.2.3) und (2.2.4)
H (K; d; ") = H ('j (K ); d; ") = H ('j (Kj ); d; ")
2bdc(bdc + 1) 2d lj H (Kj ; d; (bdc + 1)? 12 l? dj ")
2bdc(bdc + 1) 2d ? al j H (K; d; ") H (K; d; "):
Da die Zahl > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, bedeutet das H (K; d; ") = 0
fur alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 und damit H (K; d) = 0. Daraus ergibt sich
dimH (K ) d.
Bemerkung 2.2.1 Im Grenzubergang " ! 0 + 0 geht Bedingung (2.2.3) in (AE1)
uber, und aus (2.2.3) ergibt sich (AE2). Also sind die Abbildungen, die die Voraussetzungen des Satzes 2.2.2 erfullen, spezielle H (; d)-expandierende Abbildungen mit
Faktor a.
In Anwendungsbeispielen erweist es sich als sehr schwierig, die Bedingung (2.2.3) zu
uberprufen, besonders dann, wenn die Abbildung nicht stuckweise linear ist. Deshalb
wollen wir nun starkere Bedingungen an die Abbildung formulieren, die sich aber
leichter uberprufen lassen.
39
Folgerung 2.2.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine
kompakte '-invariante Menge. Weiterhin seien a 1 und d 2 (0; n] Zahlen, so da
(2.2.2) erfullt ist und auerdem Zahlen l0 > 0 und j1 2 N existieren, so da es fur
alle j j1 eine kompakte Menge Kj K mit 'j (Kj ) = K , eine naturliche Zahl Nj
und C 1-Abbildungen fi;j : U ! M (i = 1; : : : ; Nj ) mit folgenden Eigenschaften gibt:
Kj =
Nj
[
i=1
fi;j (K );
(2.2.5)
max ! (d f ) < l0j fur alle
i=1;:::;Nj d u i;j
Nj < 2?bdc (bdc + 1)? d2 (al0)?j :
u 2 K;
(2.2.6)
(2.2.7)
Dann gilt dimH (K ) d.
Beweis Aus Lemma 1.7.2 und den Beziehungen (2.2.5) und (2.2.6) folgt, da es fur
jedes j 2 N mit j > j1 eine Zahl "j > 0 mit
H (Kj ; d; (bdc + 1) d2 ")
Nj
X
i=1
2bdc (bdc + 1) 2d l0j H (K; d; ")
= Nj 2bdc (bdc + 1) d2 l0j H (K; d; ")
fur alle " 2 (0; "j ] gibt. Mit (2.2.7) folgt daraus
j
H (Kj ; d; (bdc + 1) 12 l0d ") a?j H (K; d; "):
Wegen Nj 1 folgt aus (2.2.7) die Ungleichung 2?bdc (bdc + 1)? d2 (al0)?j 1 fur alle
j j1. Aufgrund von (2.2.2) mu damit l0 supu2K !d(du ') < 1 gelten. Also existieren
Zahlen l 2 (supu2K !d (du '); a) und j0 j1, so da (l0l)j < (bdc + 1)?d fur alle j > j0
gilt. Fur alle j > j0 gilt damit
j
j
H (Kj ; d; (bdc + 1)? 12 l? d ") H (Kj ; d; (bdc + 1) 12 l0d ") a?j H (K; d; "):
Damit sind alle Voraussetzungen von Satz 2.2.2 erfullt, und wir erhalten die Abschatzung dimH (K ) d.
2.3 Einbeziehung von Lyapunov-Funktionen
In [48] sind in die Dimensionsabschatzungen nach A. Douady und J. Oesterle fur
Abbildungen in Rn Lyapunov-Funktionen mit einbezogen worden, um bessere Dimensionsschranken zu erhalten. Lyapunov-Funktionen sind dabei stetige reellwertige
40
Hilfsfunktionen, die vorwiegend in der Stabilitatstheorie Einsatz nden und hier dazu
verwendet werden, die Singularwertfunktion zu verkleinern und dadurch eine Kontraktionsbedingung fur das auere Hausdor-Ma zu erhalten. Wir wollen hier diese
Vorgehensweise an den Satzen aus Abschnitt 2.2 demonstrieren. Ist eine LyapunovFunktionen hinreichend glatt, kann ihre Einfuhrung als A nderung des Metrik-Tensors
interpretiert werden.
Satz 2.3.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine kompakte
'-invariante Menge. Weiterhin seien p : K ! R+ eine stetige Funktion und a 1
und d 2 (0; n] Zahlen, so da
p('(u)) ! (d ') < a fur alle u 2 K
(2.3.1)
p(u) d u
gilt und auerdem Zahlen l 2
so da es fur alle naturlichen j
folgenden Eigenschaften gibt:
supu2K p(p'((uu))) !d(du ')
> j0 eine Menge Kj ; a und j0 2 N existieren,
K und eine Zahl "j > 0 mit
1 !
inf u2K p(u) d " (K; d; ")
aj H Kj ; d; (bdc + 1)
H
supu2K p(u)
und (2.2.4) fur alle " 2 (0; "j ]. Dann gilt dimH (K ) d.
? 12
j
l? d
(2.3.2)
Beweis Wegen l 2 supu2K p(p'((uu))) !d(du ') ; a gilt !d (du') < l p(p'((uu))) fur alle
u 2 K . Damit gilt mit Lemma 1.7.2
j ?1
!d(du 'j ) !d (d'j?1 (u)') : : :!d (du ') l pp('('j (u(u)))) l : : : p(p'((uu)))
u2K p(u)
= lj p('p(ju(u) )) lj sup
inf u2K p(u)
fur alle j 2 N und alle u 2 K . Nun sei > 0 beliebig gewahlt. Aufgrund von al < 1
existiert eine Zahl j > j0 mit
j
d l
u2K p(u) b
d
c
2 (bdc + 1) 2 a sup
inf u2K p(u)
fur alle j > j . Fur alle hinreichend kleinen Zahlen " 2 (0; "j ) folgt mit Lemma 1.7.2
sowie den Beziehungen (2.3.1), (2.3.2) und (2.2.4)
H (K; d; ") = H ('j (K ); d; ") = H ('j (Kj ); d; ")
u2K p(u)
2bdc (bdc + 1) d2 lj sup
inf u2K p(u) H
2bdc (bdc + 1) d2
1
1 ? j inf u2K p(u) d
?
Kj ; d; (bdc + 1) 2 l d supu2K p(u) "
? l j sup
u2K p(u)
a inf u2K p(u) H
(K; d; ") H (K; d; "):
41
Da die Zahl > 0 beliebig klein gewahlt werden kann, bedeutet das H (K; d; ") = 0
fur alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 und damit H (K; d) = 0. Daraus ergibt sich
dimH (K ) d.
Folgerung 2.3.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine
kompakte '-invariante Menge. Weiterhin seien p : K ! R+ eine stetige Funktion
und a 1 und d 2 (0; n] Zahlen, so da (2.3.1) erfullt ist und auerdem Zahlen
l0 > 0 und j1 2 N existieren, so da es fur alle j j1 eine kompakte Menge Kj K mit 'j (Kj ) = K , eine naturliche Zahl Nj und C 1-Abbildungen fi;j : U ! M
(i = 1; : : : ; Nj ) mit den Eigenschaften (2.2.5), (2.2.6) und (2.2.7) gibt. Dann gilt
dimH (K ) d.
Beweis Aus Lemma 1.7.2 und den Beziehungen (2.2.5) und (2.2.6) folgt, da es fur
jedes j 2 N mit j > j1 eine Zahl "j > 0 mit
H Kj ; d; (bdc + 1) d2 "
Nj
X
i=1
2bdc (bdc + 1) 2d l0j H (K; d; ")
= Nj 2bdc (bdc + 1) d2 l0j H (K; d; ")
fur alle " 2 (0; "j ] gibt. Mit (2.2.7) folgt daraus
j H Kj ; d; (bdc + 1) 21 l0d " a?j H (K; d; "):
?j
Wegen Nj 1 folgt aus (2.2.7) die Ungleichung 2?bdc (bdc + 1)? d2 (al
ur alle
0) 1 f
j j1. Aufgrund von (2.3.1) mu damit l0 supu2K p(p'((uu))) !d(du ') < 1 gelten. Also
p
(
'
(
u
))
existieren Zahlen l 2 supu2K p(u) !d(du ') ; a und j0 j1, so da (l0l)j <
inf u2K p(u) f
ur alle j > j0 gilt. Fur alle j > j0 gilt damit
(bdc + 1)?d sup
u2K p(u)
H Kj ; d; (bdc + 1)
? 12
j
l? d
inf u2K p(u)
supu2K p(u)
1 !
d
j " H Kj ; d; (bdc + 1) 12 l0d "
a?j H (K; d; "):
Somit sind alle Voraussetzungen von Satz 2.3.1 erfullt, und wir erhalten die Abschatzung dimH (K ) d.
42
2.4 Anwendungsbeispiele
2.4.1 Stuckweise lineare Abbildungen in Rn
Fur stuckweise lineare Abbildungen lassen sich die Bedingungen der Dimensionsabschatzungen aus den Abschnitten 2.2 und 2.3 am einfachsten uberprufen, denn die
Singularwerte der Tangentialabbildung sind stuckweise konstant und die invarianten
Mengen lassen sich oftmals als Cantor-Mengen konstruieren.
Wir betrachten als speziellen Vertreter einer stuckweise linearen Abbildung in R die
in Beispiel 2.1.1 eingefuhrte Zeltabbildung, deren invariante Menge K die StandardCantor-Menge ist. Wie in Beispiel 2.1.1 erlautert wurde, ist diese Abbildung H (; d)expandierend auf K mit dem Faktor a = 3d fur alle d 2 [0; 1]. Da der einzige Singularwert dieser Abbildung 3 ist, stimmt hier a mit !d uberein, so da sich die Bedingung (2.2.2) nicht erfullen lat. Bei konstanter Singularwertfunktion kann dieses
Problem auch nicht durch Einbeziehung einer Lyapunov-Funktion gelost werden. Wir
konnen diese Abbildung aber zu einer stuckweise linearen Abbildung 'e : R2 ! R2
durch die Vorschrift
'e(x; y) = ('(x); y) fur alle (x; y) 2 R2
fortsetzen, in der 2 (0; 1) ein Parameter ist. Dann ist die Menge Ke = K f0g
invariant unter der Abbildung 'e. Es seien Kej := Kj f0g mit den in Beispiel 2.1.1
denierten Mengen Kj (j 2 N). Somit ergibt sich auch fur d 2 (1; 2] die Beziehung
1
dj
e d; ")
e
(2.4.1)
3 H Kj ; d; 3j " = H (K;
fur alle " > 0. Auerdem gilt 'e(Kej ) = Ke . Also ist 'e auf Ke eine H (; d)-expandierende
Abbildung mit dem Faktor 3d fur d 2 (1; 2]. Auerdem gilt in diesem Bereich fur d die
Beziehung !d(du 'e) = 3d?1 fur alle u 2 Ke , damit ist die Bedingung (2.2.2) erfullt.
Wir betrachten nun eine beliebige Zahl l 2 (3d?1 ; 3d ). Dann gibt es ein j0 2 N mit
l 1d
3
!j
< (bdc + 1)? 12
fur alle j > j0 und damit (bdc + 1)? 12 l? dj > 31j . Zusammen mit (2.4.1) ergibt sich
daraus aufgrund der Monotonie von H (Kej ; d; ) die Ungleichung
j e d; "):
3dj H Kej ; d; (bdc + 1)? 12 l? d " H (K;
Damit sind alle Bedingungen von Satz 2.2.2 erfullt, und wir erhalten fur alle d 2 (1; 2]
die Abschatzung dimH (Ke ) d. Im Grenzubergang d ! 1 heit das dimH (Ke ) 1.
43
In [21] ist der exakte Dimensionswert der Standard-Cantor-Menge als dimH (Ke ) =
ln2 0; 631 angegeben worden, so da wir hier nur eine obere Schranke erhalten.
ln3
Im Vergleich zum Satz 1.7.1 sei bemerkt, da sich hier die Dimensionsschranke 1
fur beliebige Parameter 2 (0; 1) erreichen lat, wogegen Satz 1.7.1 bei analoger
Vorgehensweise nur fur < 13 anwendbar ist und in diesem Fall eine groere Schranke
dimH (Ke ) 1 ? lnln3 liefert.
2.4.2 Modizierte Hufeisenabbildungen
Wir betrachten eine Klasse von Abbildungen ', deniert auf dem Einheitswurfel
Q = [0; 1] : : : [0; 1] Rn. Solch eine Abbildung ' soll Q in den ersten (n ? 1)
Koordinatenrichtungen x1; : : : ; xn?1 mit einem Faktor < 21 stauchen und in der
Koordinatenrichtung xn mit dem Faktor 1 > 1 strecken, falls xn < h gilt, bzw. mit
dem Faktor 2 > 1, falls xn > h gilt (0 < h < 1). Das entstehende Rechteck wird
anschlieend an der Hyperebene f(x1; : : : ; xn) 2 Rn j xn = hg gefaltet und schlielich
zu einem n-dimensionalen Hufeisen gebogen. Abb. 2.3 illustriert solch eine Abbildung
im zweidimensionalen Fall.
?h)2
(1
x2D
D
1
h
0
?!
1
x1
h1
?!
?? ???
?
?! ?? ??
??? ???
Abbildung 2.3: Eine modizierte Hufeisenabbildung
Weiterhin nehmen wir an, da dieseTAbbildung stetig dierenzierbar auf eine oene
Umgebung U Rn der Menge K = 1i=?1 'i(Q) fortgesetzt werden kann.
Bis auf die Faltung entlang der Hyperebene f(x1; : : : ; xn) 2 Rn j xn = hg gehoren
solche Abbildungen zur Klasse der Hufeisenabbildungen, die in Abschnitt 3.5.5 eingefuhrt werden. Wir bezeichnen sie deshalb als modizierte Hufeisenabbildungen.
44
Wir werden uns im weiteren auf den in Abb. 2.3 dargestellten zweidimensionalen Fall
beschranken und auerdem nur Parameterwerte 2 1 betrachten, denn in diesem
Fall ist das durch ' und K denierte dynamische System nicht dissipativ bezuglich des
Lebesgue-Maes in R2, und somit ist der Satz 1.7.1 nicht anwendbar. Die Menge K ist
invariant unter der Abbildung '. Es sei K1 := f(x; y) 2 K j x < hg der Teil von K , in
dem der Streckungsfaktor von ' den kleineren Wert 1 annimmt. Fur diese Menge gilt
'(K1) = K . Iterativ denieren wir Kj := Kj?1 \ '?1 (Kj?1) (j 2). Induktiv kann
man '(Kj?1 ) = Kj zeigen, damit gilt 'j (Kj ) = K = 'j (K ). Also ist die Bedingung
(2.2.4) fur beliebige Zahlen " > 0 und d 2 [0; 2] erfullt. Auerdem besteht jede
Kontraktion mit
Menge Kj aus 4j "linearen Kopien\ von K , die durch horizontale
j
1
dem Faktor j , durch vertikale Kontraktion mit dem Faktor 1 und entsprechende
Verschiebung erhalten werden. Die so erhaltenen 4j Teile von Kj sind kompakt und
paarweise disjunkt und haben damit einen Mindestabstand 2"j > 0 zueinander. In
einer U berdeckung von K durch Kugeln mit Radien hochstens "j kann jede Kugel
Punkte aus hochstens einer der 4j Teilmengen von Kj enthalten. Mit = minf; 11 g
erhalten wir daraus fur alle " < "j und alle d 2 [0; 2] die Ungleichung
H (Kj ; d; j ") (4 d )j H (K; d; "):
(2.4.2)
Fur " ! 0 + 0 heit das, da ' auf K eine H (; d)-expandierende Abbildung mit
dem Faktor 41d fur alle d 2 [0; 2] ist.
Wir wollen nun mit Hilfe von Satz 2.2.2 die Hausdor-Dimension von K nach oben
abschatzen. Dazu betrachten wir als erstes die Bedingung (2.2.2). Da wir 2 1
vorausgesetzt hatten, lat sich (2.2.2) fur d < 1 nicht erfullen. Wir konnen uns also
im weiteren auf den Fall d 2 [1; 2] beschranken. In diesem Fall hat (2.2.2) die Form
2 ) ur jedes solche d sei eine Zahl
2d?1 < 41d , das
ist aquivalent zu d > lnln?ln(4
+ln . F
l 2 2d?1 ; 41d beliebig gewahlt. Dann gilt l d < 1, also existiert eine Zahl j0 2 N
mit (l d1 )j < (bdc + 1)? 12 fur alle j > j0. Zusammen mit (2.4.2) und der Monotonie
von H (Kj ; d; ) heit das
1 j (K ; d; (bdc + 1)? 12 l? dj ") (K; d; ")
H
4 d H j
fur alle hinreichend kleinen " > 0. Damit sind alle Bedingungen von Satz 2.2.2 erfullt,
2 )
und wir erhalten dimH (K ) d fur alle d 2 ( lnln?ln(4
+ln ; 2] und somit
2 ) :
dimH (K ) lnln ?+ln(4
ln Beispielsweise ergibt sich fur die Parameter = 31 , 1 = 3 und 2 = 5 die Abschatzung
dimH (K ) 21 ( ln20
ln3 + 1) 1; 863.
Dieselbe obere Dimensionsschranke erhalten wir im Fall = 11 = mit Folgerung 2.2.1 mit wesentlich weniger Aufwand, da wir die Bedingung (2.2.3) dann nicht
45
uberprufen mussen. Da fur jedes j 2 N die Menge Kj jeweils aus 4j "linearen Kopien\ von K besteht, konnen wir die Abbildung fi;j jeweils als die lineare Abbildung wahlen, die die Menge K auf den i-ten Teil von Kj abbildet (i = 1; : : : ; 4j ).
Dann gilt Nj = 4j und !d (dufi;j ) = jd fur d 2 [1; 2]. Fur jede beliebige Zahl
a 2 [1; 41d ) gilt (2.2.2). Fur jede Zahl l0 2 ( d; 41a ) sind dann die Bedingungen von
Folgerung 2.2.1 erfullt, und wir erhalten im Grenzubergang a ! 41d die Abschatzung
2 ) ln ?ln(42) . Da die Bedingungen der Folgerung 2.2.1 starker
dimH (K ) lnln?ln(4
+ln =
2ln sind als die von Satz 2.2.2, ist an diesem Beispiel daran zu erkennen, da Folgerung 2.2.1 nur im Fall = 11 die gleiche Abschatzung wie Satz 2.2.2 liefert.
Da wir die hier betrachteten modizierten Hufeisenabbildungen so gewahlt haben,
da in der Koordinatenrichtung x2 zwei verschiedene Streckungsfaktoren 1 und 2
wirken, lat sich durch Verwendung einer Lyapunov-Funktion die obere Schranke fur
die Hausdor-Dimension verbessern. Da die Singularwertfunktion in K1 und K n K1
jeweils konstant ist, ist die einfachste Form einer sinnvollen Lyapunov-Funktion auch
konstant auf K1 und K nK1. Zwei Lyapunov-Funktionen, die sich um einen konstanten
Faktor unterscheiden, liefern dieselbe Dimensionsabschatzung. Also konnen wir
8
>
>
<
p(u) = >
>
:
1 fur alle u 2 K1;
P fur alle u 2 K n K1
mit einer positiven Konstante P annehmen. Da K1 und K n K1 zwei disjunkte kompakte Mengen sind, ist eine solche Funktion p stetig
auf K . Die Konstante P mu
p
(
'
(
u
))
nun so gewahlt werden, da supu2K p(u) !d (du') minimal wird. Fur d 2 [1; 2] gilt
8
>
>
1
>
>
2 d?1
P
>
>
<
fur alle u 2 K n K1 ;
p('(u)) ! (d ') =
P1d?1 fur alle u 2 K; '(u) 2 K n K1;
>
p(u) d u
>
>
>
>
>
: 1d?1
fur alle u 2 K; '(u) 2 K1:
q
Fur ein optimales P mu also P1 2 = P1 1 gelten und damit P = 21 . Mit der
p
so gewahlten Lyapunov-Funktion gilt supu2K p(p'((uu))) !d (du ') = 12d?1 . Dieser
p )
1 2 sind
Wert ist kleiner als supu2K !d(du ') = 2d?1 . Fur jede Zahl d > ln ?lnln(4
+ln die Bedingungen von Satz 2.3.1 erfullt, und wir erhalten die verbesserte Abschatzung
p )
ln
?
ln(4
dimH (K ) ln + ln 1 2 :
Fur die
Parameterwerte = 31 , 1 = 3 und 2 = 5 zum Beispiel gilt somit dimH (K ) p
1 ln(4 15)
2 ( ln3 + 1) 1; 747.
46
Kapitel 3
Dimensionsabschatzungen mit
Hilfe der Vielfachheitsfunktion
Dieses Kapitel befat sich mit allgemeinen nicht injektiven Abbildungen. Die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung, die zu einem Punkt und einer Teilmenge des Denitionsbereiches jeweils die Anzahl der Urbilder in dieser Menge angibt, kann gewinnbringend in die Douady-Oesterle-Methode zur Dimensionsabschatzung einbezogen werden und fuhrt zur Abschwachung der Kontraktionsbedingung fur die Singularwerte der Tangentialabbildung. Eine Kurzfassung dieser Vorgehensweise ist in
[25] dargestellt.
Die Beispiele zeigen, da sich auch eine Reihe injektiver Abbildungen, wie Hufeisenabbildungen oder Belykh-Abbildungen, auf nicht injektive Abbildungen zuruckfuhren
lat, so da auch fur solche Abbildungen verbesserte Oberschranken der HausdorDimension der invarianten Menge erreicht werden konnen.
3.1 Die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung
Die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung wurde z. B. in [23] eingefuhrt. Sie gibt
zu einem gegebenen Punkt u und einer gegebenen Menge K die Anzahl der in K
liegenden Urbilder von u unter der Abbildung ' an und ist damit ein Ma fur die
Nichtinjektivitat.
Denition 3.1.1 Es seien M1 und M2 beliebige Mengen und ' : M1 ! M2 eine
Abbildung. Die Vielfachheitsfunktion N ('; K; u) der Abbildung ' bezuglich einer
Teilmenge K M1 im Punkt u 2 M2 ist deniert als die Machtigkeit der Menge
fv 2 K j '(v) = ug.
Im weiteren werden wir C 1-Abbildungen ' : M ! M auf hinreichend glatten n-
dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M; g) betrachten. Wenn die zu47
grundeliegende Mannigfaltigkeit orientierbar ist und die Determinante det du ' der Linearisierung der gegebenen Abbildung auf der gesamten Menge positiv ist, stimmt die
Vielfachheitsfunktion mit dem lokalen Abbildungsgrad uberein (siehe z. B. [16, 68]).
In dieser Arbeit soll die Einbeziehung der Vielfachheitsfunktion in Dimensionsabschatzungen invarianter Mengen von C 1-Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten demonstriert werden. Deshalb wird im folgenden die Vielfachheitsfunktion
von Abbildungen ' : U ! M , deniert auf einer oenen Teilmenge U einer Riemannschen C 1-Mannigfaltigkeit (M; g), genauer untersucht.
Bemerkung 3.1.1 Die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung mu nicht unbedingt
endliche Werte liefern. Es kann aber gezeigt werden, da fur C 1-Abbildungen ' ohne
kritische Punkte auf kompakten Teilmengen K von n-dimensionalen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten eine obere Schranke fur die Vielfachheitsfunktion existiert. Wir
werden im weiteren immer voraussetzen, da j det(du ')j > 0 fur alle Punkte u 2 K
gilt. Unter dieser Bedingung gibt es fur C 1-Abbildungen in Rn Zusatzbedingungen,
so da die Abbildung dann sogar ein C 1-Dieomorphismus, also auch invertierbar ist.
In [53] wird zum Beispiel gezeigt, da fur eine C 1-Abbildung ' : U ! Rn, deniert
auf einer oenen Menge U Rn, und eine kompakte Menge K U , die keine
kritischen Punkte enthalt, unter der Voraussetzung, da ' auf dem Rand von K
injektiv ist, die Abbildung dann sogar auf ganz K injektiv ist. Wir mochten hier
bemerken, da Dimensionsabschatzungen nur dann sinnvoll sind, wenn die betrachtete
Menge keine inneren Punkte enthalt, da Mengen mit inneren Punkten immer die
Dimension der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit besitzen. Also stimmt der Rand
von K in allen hier relevanten Fallen mit K uberein. Die Einschrankung auf Mengen
ohne kritische Punkte ist damit nicht gleichbedeutend damit, da unter geringen
Zusatzvoraussetzungen an die Abbildung die Nichtinjektivitat verloren geht.
Wir wollen nun die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung ' auf kompakten Mengen ohne bezuglich ' kritische Punkte analysieren. Dazu benotigen wir die folgende
Hilfsaussage:
Lemma 3.1.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine
kompakte Menge, so da j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K gilt. Dann existiert ein "K > 0,
so da fur alle u 2 K die eingeschrankte Abbildung 'jB(u;"K) ein C 1-Dieomorphismus
ist.
Beweis Zunachst sei " > 0 so klein gewahlt, da fur alle u 2 K die Kugel B (u; ")
vollstandig in U enthalten ist. Wegen j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K liefert der Satz
uber die implizite Funktion (siehe z. B. [34]), da fur jedes u 2 K eine Zahl 0 < "u "
existiert, so da 'jB(u;"u) ein C 1-Dieomorphismus ist. Das Mengensystem fB (u; "u)g
48
ist eine oene U berdeckung der kompakten Menge K . Also existiert eine endliche
Teiluberdeckung fB (ui; "ui )gpi=1 mit einer gewissen naturlichen Zahl p.
Nun zeigen wir indirekt, da ein "K > 0 existiert, so da fur alle u 2 K die Kugel B (u; "K ) vollstandig in einer der Kugeln B (ui; "ui ) (i = 1; : : : ; p) enthalten ist.
Da 'jB(ui;"ui ) jeweils ein C 1-Dieomorphismus ist, ist dann auch 'jB(u;"K ) ein C 1Dieomorphismus. Angenommen, es gibt kein solches "K > 0, dann existiert eine
Folge von Punkten fvj gj2N K mit
!1
0:
max ("ui ? %(vj ; ui)) j?!
(3.1.1)
i:vj 2B (ui;"ui )
Da der mogliche Bereich fur i endlich ist, enthalt die Folge fvj gj2N eine Teilfolge
fvjk gk2N, so da das Maximum immer fur ein festes i0 angenommen wird, d. h.
!1 0:
("ui0 ? %(vjk ; ui0 )) k?!
Da fvjk gk2N K gilt und K kompakt ist, enthalt fvjk gk2N eine konvergente Teilfolge
fvjkl gl2N, und fur den Grenzwert v 2 K dieser Folge gilt
"ui0 ? %(v; ui0 ) = 0:
Somit ist v 62 B (ui0 ; "ui0 ), also mu ein iv 2 f1; : : : ; pg existieren mit iv 6= i0 und
v 2 B (uiv ; "uiv ). Damit gilt %(v; uiv ) < "uiv , und fur die Folge fvjkl gl2N existiert
ein Index l0 mit %(v; vjkl ) < "uiv ?%2(v;uiv ) fur alle l > l0. Fur diese l gilt dann auch
vjkl 2 B (uiv ; "uiv ) und
"uiv ? %(v; uiv )
;
2
im Widerspruch zu (3.1.1).
"uiv ? %(vjkl ; uiv ) Lemma 3.1.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine
kompakte Menge, so da j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K gilt. Dann ist N ('; K; v) auf
M nach oben beschrankt, d. h., es gibt eine Zahl k 2 N, so da N ('; K; v) k fur
alle v 2 M gilt.
Beweis Nach Lemma 3.1.1 existiert eine Zahl "K > 0, so da 'jB(u;"K ) ein C 1-Diffeomorphismus fur alle u 2 K ist. Das Mengensystem fB (u; "K )gu2K ist eine oene U ber-
deckung der kompakten Menge K und enthalt somit eine endliche Teiluberdeckung
fB (u1; "K ); : : : ; B (uk ; "K )g mit einer bestimmten Zahl k 2 N. Da 'jB(ui;"K ) fur jedes
i = 1; : : : ; k ein Dieomorphismus ist, kann jeder Punkt v 2 M in jeder der Mengen
B (ui; "K ) (i = 1; : : : ; k) hochstens ein Urbild haben. Damit gilt N ('; K; v) k fur
jedes v 2 M .
49
Unter den Voraussetzungen von Lemma 3.1.2 ist damit N ('; K; u) fur Punkte u 2
'(K ) eine von Null verschiedene naturliche Zahl, also sind Ausdrucke der Form
1
N (';K;u) sinnvoll. Fur die Betrachtung von Iterierten einer gegebenen Abbildung ist
die folgende Aussage wichtig:
Lemma 3.1.3 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine
kompakte '-invariante Menge, so da j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K gilt. Dann gilt
fur jedes v 2 K und jedes p 2 N die Gleichung
X
u2K :'p (u)=v
p
Y
!
1
= 1:
i
i=1 N ('; K; ' (u))
Beweis Diese Aussage kann durch vollstandige Induktion bewiesen werden. Fur
p = 1 gilt
1
1
=
N
(
';
K;
v
)
= 1:
N
(
';
K;
v
)
N
(
';
K;
v
)
u2K :'(u)=v
X
Wir nehmen nun an, da die Aussage fur ein p 2 N gilt. Dann erhalten wir fur p + 1
!
pY
+1
1
N ('; K; 'i(u))
u2K :'p+1 (u)=v i=1
!
p
Y
X
1
1
=
N ('; K; v) i=1 N ('; K; 'i(u))
u2K :'p+1 (u)=v
!
p
X
X
Y
1
1
= N ('; K; v)
N ('; K; 'i(u)) :
w2K :'(w)=v u2K :'p (u)=w i=1
X
Da wir
P
u2K :'p (u)=w
X
u2K :'p+1 (u)=v
Q
pY
+1
p
1
i=1 N (';K;'i(u))
= 1 vorausgesetzt hatten, gilt
!
1
1
=
i
N ('; K; v) N ('; K; v) = 1:
i=1 N ('; K; ' (u))
Also ist die Behauptung auch fur p + 1 erfullt.
Obwohl die in dieser Arbeit betrachteten C 1-Abbildungen ' als nicht injektive Abbildungen im allgemeinen keine Dieomorphismen sind, sollen im weiteren auch Umkehrfunktionen betrachtet werden. Nach Lemma 3.1.1 ist das lokal immer moglich,
nur mussen in einem Punkt u 2 '(K ) immer N ('; K; '(u)) verschiedene Umkehrabbildungen betrachtet werden. Diese sind dann jeweils auf einer gewissen Umgebung
50
des Punktes deniert. Wendet man diese Umkehrabbildungen auf eine gesamte Umgebung des Punktes an, dann ist im allgemeinen nicht garantiert, da alle Urbilder
dieser Umgebung unter der Abbildung ' erreicht werden. Ein Grund dafur ist unter
anderem, da die Vielfachheitsfunktion nicht unbedingt stetig ist, da es also in einer
Umgebung eines Punktes einen Punkt mit mehr Urbildern geben kann. Das folgende
Beispiel zeigt eine Abbildung mit unstetiger Vielfachheitsfunktion.
Beispiel 3.1.1 Wir betrachten als Mannigfaltigkeit R mit der Euklidischen Metrik
und die stuckweise lineare Abbildung ' : R ! R, deniert durch
8
>
>
<
'(u) = >
>
:
fur u 127 ;
2u
2u ? 43 fur u > 127 :
Der Graph dieser Abbildung ist in Abb. 3.1 dargestellt. Auf jeder oenen Menge
'(u)
7
6
1
5
6
2
3
1
2
1
3
1
6 0
1
6
1
3
1
2
2
3
5
6
1
u
Abbildung 3.1: Beispiel einer Abbildung mit unstetiger Vielfachheitsfunktion
U R, die den Punkt 127 nicht enthalt, ist ' eine C 1-Abbildung. Es bezeichne K
die maximale invariante
Menge dieser Abbildung
im Intervall [0; 1]. Dann gilt K =
T1
T1
Tp
?
p
?
j
p=0 ' ([0; 1]) = p=0 Kp mit Kp := j =0 ' ([0; 1]). Es ist K0 = [0; 1], K1 =
[0; 21 ] [ [ 32 ; 1], K2 = [0; 14 ] [ [ 31 ; 12 ] [ [ 32 ; 11
12 ] [f1g und so weiter. Dabei ergeben sich2 iterativ
1
11 ] aus
Kp \ [0; 2 ] aus allen Punkten u 2 [0; 1], fur die 2u 2 Kp?1 gilt, und Kp \ [ 3 ; 12
51
allen Punkten u 2 [0; 1], fur die (4u ? 83 ) 2 Kp?2 gilt (p = 2; 3; : : : ). Im Grenzubergang
p ! 1 erhalten wir daraus die Beziehungen
K \ [0; 21 ] = fu 2 [0; 1] j 2u 2 K g;
11 ] = fu 2 [0; 1] j (4u ? 8 ) 2 K g;
K \ [ 32 ; 12
3
?
?
11 ] [ f1g:
K = K \ [0; 21 ] [ K \ [ 23 ; 12
Die Menge K entsteht also als eine Cantorartige Menge ausgehend vom Intervall [0; 1],
indem in jedem Schritt jedes Intervall [a; b] positiver Lange durch
1 a + 11 b [ fbg
a; a +2 b [ 13 a + 23 b; 12
12
ersetzt wird. Der Punkt 23 ist damit Haufungspunkt von K . Es existiert eine Folge
fuigi2N K mit ui > 32 fur alle i 2 N und1 limi!1 ui = 23 . Der Punkt 32 hat, wie
aus Abb. 3.1 ersichtlich ist, zwei Urbilder 3 und 1, die beide in K liegen. Also ist
N ('; K; 32 ) = 2. Fur alle ui gilt aber wegen ui > 32 oensichtlich N ('; K; ui) = 1
(i 2 N). Damit ist die Vielfachheitsfunktion N ('; K; ) von ' bezuglich K im Punkt
2 nicht stetig.
3
Abhilfe fur dieses Problem schat die Betrachtung einer oenen Menge Ue , die K
enthalt. Um trotzdem Aussagen fur kompakte Mengen anwenden zu konnen, wird
weiterhin gefordert, da cl(Ue ) U kompakt ist, wobei cl() den Abschlu der entsprechenden Menge bezeichne. Im weiteren werden die Eigenschaften der Vielfachheitsfunktion bezuglich dieser Menge Ue untersucht.
Betrachtet man die Anzahl der Urbilder in Ue , dann hat unter der Zusatzforderung
'?1(Ue ) Ue jeder Punkt aus Ue mindestens ein Urbild in Ue . Deshalb sind Ausdrucke
der Form N (';1Ue;u) fur u 2 Ue sinnvoll. Fur die Iteration der Abbildung ' betrachten
wir wieder Produkte dieser Ausdrucke.
Lemma 3.1.4 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und Ue eine oene Menge, so da cl(Ue ) U kompakt ist, j det(du ')j > 0 fur alle u 2 cl(Ue ) und
'?1(Ue ) Ue gilt. Dann gilt fur jedes p 2 N und jedes v 2 Ue die Gleichung
p
Y
1
= 1:
i (u))
N
(
';
U;
'
i
=1
p
e
u2U ;' (u)=v
X
e
52
Beweis Dieses Lemma kann analog zu Lemma 3.1.3 bewiesen werden, indem K durch
Ue ersetzt wird. Im Induktionsschritt ist zu beachten, da aufgrund von '?1(Ue ) Ue
jeder Punkt w mit '(w) = v (v 2 Ue ) auch in Ue liegen mu.
e u) verschiedene Umkehrfunktionen zu ', die
In einem Punkt u 2 Ue gibt es N ('; U;
?
1
e u)) bezeichnet werden. Das folgende Lemma
im weiteren mit 'u;j (j = 1; : : : ; N ('; U;
garantiert dann, da es eine vom Punkt u unabhangige Zahl " gibt, so da diese
Umkehrfunktionen jeweils auf der Umgebung B (u; ") existieren.
Lemma 3.1.5 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und Ue eine oene
Menge, so da cl(?Ue ) U kompakt ist und j det(du ')j > 0 fur alle u 2 cl(Ue ) gilt.
Weiterhin sei 2 0; inf u2Ue n (du') beliebig. Dann existiert eine hinreichend kleine
Zahl " > 0 mit
B ('(u); r) '(B (u; r))
fur alle u 2 Ue und alle r 2 (0; "].
Beweis Da cl(Ue ) kompakt ist und j det(du ')j > 0 fur alle u 2 cl(Ue ) gilt, ist
inf u2Ue n(du ') > 0 und somit das Intervall fur nichtleer. Es sei 0 :=infu2Ue n(du ')?
> 0, und " 2 (0; "cl(Ue)) mit der in Lemma 3.1.1 denierten Zahl "cl(Ue) sei hinreichend
klein gewahlt, so da es kleiner als das in Satz 1.3.4 eingefuhrte "0 ist und es eine
oene Menge V mit cl(Ue ) V U gibt, bezuglich der
k''((vu))dv 'uv ? du 'k 0
fur alle u; v 2 V mit %(u; v) " gilt und auerdem jede Kugel B (u; ") um einen
Punkt u 2 Ue vollstandig in V enthalten ist. Dann ist die Abbildung ' fur alle u 2 Ue
jeweils auf der gesamten Kugel B (u; ") erklart. Aufgrund der Taylor-Formel (siehe
Satz 1.3.4) fur die dierenzierbare Abbildung ' gilt dann fur jedes u 2 Ue und jedes
v 2 B (u; ") die Ungleichung
k exp?'(1u) '(v) ? du '(exp?u 1(v))k
sup k''((wu))dw 'uw ? du 'k k exp?u 1(v)k:
w2B (u;")
Damit ist fur jedes r 2 (0; "]
B (O'(u); r) exp?'(1u)('(B (u; r)))
und somit
B ('(u); r) '(B (u; r))
53
erfullt.
Die folgende Aussage verdeutlicht die Notwendigkeit der Einfuhrung der oenen Menge Ue , die die eigentlich interessierende Menge K enthalt: Wenn wir in einem Punkt
e u)) auf eine hinu 2 '(Ue ) die lokalen Umkehrabbildungen '?u;j1 (j = 1; : : : ; N ('; U;
reichend kleine Kugel um u anwenden, dann sind mit den Bildern der Kugel unter
diesen Umkehrabbildungen auf jeden Fall alle Urbilder der Kugel unter der Abbildung
' in K uberdeckt.
Lemma 3.1.6 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1 -Abbildung, K U eine
kompakte Menge und Ue K eine oene Menge, so da cl(Ue ) U kompakt ist und
j det(du ')j > 0 fur alle u 2 cl(Ue ) gilt. Dann existiert eine hinreichend kleine Zahl
> 0 mit
'?1(B (u; r)) \ K
N (';
Ue ;u)
[
j =1
'?u;j1 (B (u; r))
fur alle u 2 '(Ue ) und alle r 2 (0; ).
Beweis Aufgrund von Lemma 3.1.5 gibt es Zahlen > 0 und " > 0, so da fur jedes
v 2 K und jedes r 2 (0; ") die Beziehung
B ('(v); r) '(B (v; r))
gilt. Auerdem kann " so klein gewahlt werden, da " < "cl(Ue) mit der in Lemma 3.1.1
denierten Zahl "cl(Ue ) und B ('(v); ") Ue fur jedes v 2 K gilt. Nun setzen wir
:= " und wahlen einen beliebigen Punkt u 2 '(Ue ), ein r = r mit r < " und einen
beliebigen Punkt v 2 '?1 (B (u; r)) \ K . Dann mu wegen u 2 B ('(v); r) eines der
in Ue gelegenen Urbilder uj von u unter ' in der Kugel B (v; r) liegen. Aufgrund von
'(v) 2 B (u; r) und Lemma 3.1.5 ist '?u;j1 ('(v)) 2 B (uj ; "cl(Ue)), und da 'jB(uj;"cl(Ue ))
wegen Lemma 3.1.1 ein Dieomorphismus ist, mu v = '?u;j1 ('(v)) gelten. Also ist
S
v 2 Nj=1(';Ue;u) '?u;j1 (B (u; r)).
Wie in Beispiel 3.1.1 erlautert, ist die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung bezuglich
einer kompakten Menge K im allgemeinen nicht stetig. Fur die Vielfachheitsfunktion
bezuglich der oenen Menge Ue gilt jedoch die folgende Aussage:
Lemma 3.1.7 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1 -Abbildung, K U eine kompakte
Menge und Ue K eine oene Menge, so da cl(Ue ) U kompakt ist, j det(du ')j > 0
54
fur alle u 2 cl(Ue ), '(Ue ) Ue und 'p (K ) Ue fur alle p 2 N gilt. Dann gibt es fur
jedes p 2 N eine Zahl "p > 0, so da fur alle u 2 Ue mit 'p(u) 2 'p(K ) und alle
v 2 B (u; "p) mit 'p(v) 2 'p(K ) die Gleichung
p
Y
p
Y
1
1
=
e i
e i
i=1 N ('; U; ' (v )) i=1 N ('; U; ' (u))
gilt.
Beweis Dieses Lemma kann wieder durch vollstandige Induktion bewiesen werden.
e v ) = N ('; U;
e u) f
Fur p = 1 ist N ('; U;
ur hinreichend nahe beieinander liegende
p
Punkte u; v 2 ' (K ) zu zeigen. Wir betrachten einen beliebigen Punkt u 2 'p(K ).
e u))
Dieser Punkt hat unter der Abbildung ' die Urbilder uj (j = 1; : : : ; N ('; U;
in Ue . Nach Lemma 3.1.5 gibt es Zahlen ; " > 0 mit B (u; ") '(B (uj ; ")) (j =
e u)), und diese Zahlen k
1; : : : ; N ('; U;
onnen unabhangig vom Punkt u so klein gewahlt werden, da die Kugeln B (u; ") und B (uj ; ") vollstandig in Ue liegen, die Abbildung 'jB(uj;") jeweils ein Dieomorphismus ist und die Kugeln B (uj ; ") paarweise
disjunkt sind. Dann hat jeder Punkt v 2 B (u; ") in jeder der Kugeln B (uj ; ") genau
e v ) N ('; U;
e u) f
ein Urbild, das in Ue liegt, also gilt N ('; U;
ur alle v 2 B (u; ").
e v ) N ('; U;
e u). Damit gilt die
Durch Vertauschung von u und v erhalt man N ('; U;
Behauptung fur p = 1 mit "1 = ".
Nun nehmen wir an, da die Behauptung fur ein p 2 N erfullt ist. Fur p +1 betrachten
wir Punkte u; v 2 Ue mit 'p+1(u); 'p+1(v) 2 'p+1(K ). Dann gilt
p+1
Y
1
1
1
=
:
e i
e
e i
i=1 N ('; U; ' (v )) N ('; U; '(v )) i=2 N ('; U; ' (v ))
pY
+1
Wegen '?1(Ue ) Ue liegen '(u) und '(v) in Ue , da sie Urbilder von Punkten aus
'p+1(K ) unter der Abbildung 'p sind. Damit kann die Induktionsvoraussetzung
auf
Q +1
1
die Punkte '(u); '(v) angewendet werden. Somit erhalten wir pi=2
N (';Ue ;'i (v)) =
Qp+1
1
e
i=2 N (';Ue ;'i (u)) , falls '(v ) 2 B ('(u); "p) gilt. Da ' auf der kompakten Menge cl(U )
eine C 1-Abbildung ist, gibt es eine "Zahl a > 0 mit %('(u); '(v)) a%(u; v). Damit
ist %('(u); '(v)) < "p fur %(u; v) < ap garantiert.
Weiterhin liefert der Induktionsanfang eine Zahl "1, so da N (';Ue1;'(v)) = N (';Ue1;'(u))
fur alle v 2 B (u; "1) mit '(v) 2 '?p (K ) gilt.
Damit
gilt mit "p+1Q:= minf "ap ; "1g fur alle v 2 B (u; "p+1) mit 'p+1(v) 2 K sowohl
Qp
p
1
1
1
1
i=1 N (';Ue;'i (v)) = i=1 N (';Ue;'i (u)) als auch N (';Ue ;'p+1 (v)) = N (';Ue ;'p+1 (u)) und damit
die Behauptung fur p + 1.
55
Bemerkung 3.1.2 Die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung geht in Transformati-
onsformeln fur Integrale ein, wenn es sich nicht wie in (1.5.1) und (1.5.2) um Diffeomorphismen, sondern um dierenzierbare Abbildungen handelt, die nicht notwendigerweise injektiv sind. Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung, K U
eine kompakte Menge ohne kritische Punkte bezuglich ' und eine Dichte auf M .
Dann ist nach [68] die Vielfachheitsfunktion N ('; K; ) genau dann bezuglich uber
 ber K integrierbar ist, und es
'(K ) integrierbar, wennR die Konstante 1 bez
R uglich ' u
gilt, analog zu (1.5.1), '(K) N ('; K; ) = K '. Da es nach Lemma 3.1.2 eine Zahl
k 2 N mit N ('; K; v) k fur alle v 2 '(K ) gibt, konnen wir die Menge K in endlich viele Teilmengen K1 ; : : : ; Kk so zerlegen, da N ('; K; v) = i fur alle v 2 '(Ki)
(i = 1; : : : ; k) ist. Fur jedes i 2 f1; : : : ; kg gilt dann N ('; Ki ; v) = N ('; K; v) = i
'(Ki) eine
Dichte. Fur diese Dichte gilt
fur alle v 2 '(Ki). Also
ist i := N (';K
i;) auf
R
R
R
R
1
'(Ki) N ('; Ki ; )i = Ki ' i und damit '(Ki ) = Ki N (';Ki;'()) ' (i = 1; : : : ; k ),
vorausgesetzt,R da alleR diese Integrale existieren. Aus der Additivitat des Integrals
1
folgt daraus '(K) = K N (';K;'
()) ' . Betrachtet man wieder speziell das Volumenelement jdM j der Riemannschen Mannigfaltigkeit, so ergibt sich, analog zu (1.5.2),
Z
Z
d')j jdM j:
(3.1.2)
jdM j = N (jdet(
'; K; '())
'(K )
K
Die Integration der Konstanten 1 bezuglich jdM j uber einer mebaren Menge liefert
das n-dimensionale Volumen oder Lebesgue-Ma V () dieser Menge. Falls es eine Zahl
2 (0; 1) gibt, so da
jdet(du ')j < (3.1.3)
N ('; K; '(u))
fur alle u 2 K ist, so gilt V ('(K )) V (K ). Also ist (3.1.3) auf K eine Art Kontraktionsbedingung fur das Volumen unter der Abbildung '. Falls K eine '-invariante
Menge ist, ist das durch ' auf K denierte dynamische System damit dissipativ
bezuglich des Volumens V , und es gilt V (K ) = 0.
3.2 Einfuhrung subadditiver Integrale
Wesentliches Hilfsmittel der Dimensionsabschatzungen in diesem Kapitel sind auere Integrale, die in Anlehnung an [73] deniert werden konnen. Im Unterschied zu
[73] betrachten wir aber beliebige metrische Raume (X; %), die nicht notwendigerweise ultrametrisch sind. Ein metrischer Raum (X; %) heit ultrametrisch, wenn die
verscharfte Dreiecksungleichung
%(x; z) maxf%(x; y); %(y; z)g
(3.2.1)
fur alle x; y; z 2 X gilt. Auerdem beschranken wir uns auf Kugeluberdeckungen der
betrachteten Mengen.
56
Denition 3.2.1 Es seien (X; %) ein metrischer Raum und d 2 R0+ und " 2 R+
reelle Zahlen. Fur beliebige Teilmengen A X und alle nichtnegativen Funktionen
f : X ! R0+ ist
(
IH (A; f; d; ") := inf
X
B 2U
cB rBd j 0 cB < 1;
X
B 2U
cB B fA
)
das auere Hausdorsche (d; ")-Integral der Funktion f auf A, wobei das

Inmum uber alle abzahlbaren Uberdeckungen
U von A durch Kugeln B mit Radien

rB " genommen wird. Existiert keine solche abzahlbare Uberdeckung,
dann wird
IH (A; f; d; ") := 1 gesetzt. Weiterhin ist
IH (A; f; d) := lim sup IH (A; f; d; ")
"!0+0
das auere Hausdorsche d-Integral der Funktion f auf A.
Die so denierten aueren Integrale entsprechen den oberen Integralen bezuglich des
aueren Hausdorschen (d; ")-Maes bzw. d-Maes, die in [23] eingefuhrt wurden. Fur
kompakte Mengen K und beschrankte Funktionen f ist IH (K; f; d; ") immer endlich.
Fur die spezielle Funktion f 1 erhalt man
(
IH (A; 1; d; ") = inf
X
B 2U
cB rBd j 0 cB < 1;
X
B 2U
)
cB B A :
Mengen von Paaren (ci; Bi) mit nichtnegativen Zahlen ci und beliebigen Teilmengen
Bi X werden auch in [36]Pbetrachtet und dort als gewichtete U berdeckungen einer
Menge A bezeichnet, falls ciBi A gilt. Groen analog zu IH (A; 1; d; ") werden
dann mit allgemeinen Hausdor-Funktionen deniert und als gewichtete HausdorMae bezeichnet. Fur stetige Funktionen f wird in [36] ein Funktional analog zu
IH (X; f; d; ") eingefuhrt.
Die oben denierten Groen IH (; ; d; ") und IH (; ; d) sind fur feste Zahlen d und "
Funktionale P (X ) F ! R0+, wobei F die Menge aller nichtnegativen reellwertigen
Funktionen auf X bezeichnet. Fur diese Funktionale weisen wir im weiteren die Eigenschaften (I1), (I2'), (I3'), (I4) und (I5') nach. Der Wertebereich der Funktionale
IH (; ; d; ") und IH (; ; d) ist R0+, d. h., fur die Eigenschaft (I1) ist der Teil b) zu
betrachten.
Lemma 3.2.1 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge, f : X ! R0+ eine nichtnegative Funktion und d; 2 R0+ und " 2 R+ beliebige
Zahlen. Dann gilt
IH (A; f; d; ") = IH (A; f; d; "):
57
Beweis Falls keine abzahlbare U berdeckung von A durch Kugeln mit Radien hochstens " existiert, ist IH (A; f; d; ") = 1 und IH (A; f; d; ") = 1, also ist die Be-
hauptung in diesem Fall erfullt. Fur = 0 gilt IH (A; f; d; ") = 0 und damit die
Behauptung. Also konnen wir uns im weiteren auf > 0 und Mengen A X , fur
die eine abzahlbare U berdeckung durch Kugeln mit Radien hochstens " existiert,
beschranken.
Wir betrachten nun eine beliebige abzahlbare U berdeckung U = fB (ui; ri)gi2N von A
durch Kugeln mit Radien ri " und eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen fcigi2N,
so da
X
ciB(ui;ri) fA
(3.2.2)
gilt. Dann sind eci := ci (i 2 N) nichtnegative Zahlen, die
X
c
ei B (ui;ri )
fA
(3.2.3)
P
P
erfullen. Fur diese Zahlen gilt ecirid = cirid, damit ist das Inmum dieser Summe
uber alle moglichen U berdeckungen von A und alle
moglichen Zahlenfolgen fecig, die
P
(3.2.3) erfullen, kleiner oder hochstens gleich cirid . Da dieses fur jede beliebige
U berdeckung von A und jede beliebige Zahlenfolge fcig, die (3.2.2) erfullt, gilt, folgt
daraus
IH (A; f; d; ") IH (A; f; d; "):
Startet man mit einer beliebigen endlichen U berdeckung von A durch Kugeln mit
Radien hochstens " und einer beliebigen Zahlenfolge fecigi2N, die (3.2.3) erfullt, folgt
analog die umgekehrte Ungleichung.
Folgerung 3.2.1 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge, f : X ! R0+ eine nichtnegative Funktion und d; 2 R0+ beliebige Zahlen.
Dann gilt
IH (A; f; d) = IH (A; f; d):
Lemma 3.2.2 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge, f; g : X ! R0+ zwei nichtnegative Funktionen und d 2 R0+ und " 2 R+ beliebige
Zahlen. Dann gilt
IH (A; f + g; d; ") IH (A; f; d; ") + IH (A; g; d; "):
Beweis Falls keine abzahlbare U berdeckung von A durch Kugeln mit Radien hochstens " existiert, ist IH (A; f + g; d; ") = IH (A; f; d; ") = IH (A; g; d; ") = 1 und damit
die Behauptung erfullt. Es seien nun U = fB (ui; ri)gi2N und Ue = fB (uei; eri)gi2N zwei
58
U berdeckungen von A durch Kugeln mit Radien ri; rei " und fcigi2N und fecigi2N
zwei Folgen nichtnegativer reeller Zahlen, so da (3.2.2) und
X
gA
gilt. Dann ist U [ Ue eine U berdeckung von A durch Kugeln mit Radien hochstens ",
c
ei B (uei;rei )
und es gilt
X
X
ciB(ui;ri) + eci B(uei;rei) (f + g)A:
P
P
Damit ist IH (A; f + g; d; ") cirid + ecierid. Da dieses fur beliebige U berdeckungen
U und Ue gilt, folgt daraus die Behauptung.
Folgerung 3.2.2 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge, f; g : X ! R0+ zwei nichtnegative Funktionen und d 2 R0+ eine beliebige
Zahl. Dann gilt
IH (A; f + g; d) IH (A; f; d) + IH (A; g; d):
Lemma 3.2.3 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A1 und A2 zwei Teilmengen
von X , f : X ! R0+ eine nichtnegative Funktion und d 2 R0+ und " 2 R+ beliebige
Zahlen. Dann gilt
IH (A1 [ A2; f; d; ") IH (A1; f; d; ") + IH (A2; f; d; "):
Beweis Falls es fur A1 oder A2 keine abzahlbare U berdeckung durch Kugeln mit
Radien hochstens " gibt, ist IH (A1 [ A2; f; d; ") = 1 und IH (A1; f; d; ") = 1 oder
IH (A2; f; d; ") = 1 und damit die Behauptung erfullt. Fur i = 1; 2 sei nun Ui =
fB (ui;j ; ri;j )gj2N eine U berdeckung von Ai und fci;j gj2N eine Folge nichtnegativer
reeller Zahlen mit
X
ci;j B(ui;j ;ri;j ) fAi :
(3.2.4)
j 2N
Dann ist U1P
[ U2 eine U berdeckung von A1 [ A2, und es gilt IH (A1 [ A2; f; d; ") d
c1;j r1;j + c2;j r2d;j . Da diese Ungleichung fur je zwei beliebige U berdeckungen U1,
U2 und Zahlenfolgen fc1;j gj2N, fc2;j gj2N mit (3.2.4) gilt, folgt IH (A1 [ A2; f; d; ") IH (A1; f; d; ") + IH (A2; f; d; ").
P
Folgerung 3.2.3 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A1 und A2 zwei Teilmengen
von X , f : X ! R0+ eine nichtnegative Funktion und d 2 R0+ eine beliebige Zahl.
Dann gilt
IH (A1 [ A2; f; d) IH (A1; f; d) + IH (A2; f; d):
59
Bemerkung 3.2.1 Fur kompakte disjunkte Teilmengen Riemannscher Mannigfal-
tigkeiten gilt in Folgerung 3.2.3 sogar die Gleichheit: Zwei kompakte disjunkte Teilmengen K1 und K2 einer Riemannschen Mannigfaltigkeit haben stets einen Mindestabstand "0. U berdeckt man K1 [ K2 durch Kugeln mit Radien hochstens "20 ,
dann kann eine solche U berdeckung in zwei disjunkte Mengensysteme zerlegt werden,
wovon eines die Menge K1 uberdeckt und das andere die Menge K2. Auf diese Weise
kann IH (K1 ; f; d; ") + IH (K2; f; d; ") IH (K1 [ K2 ; f; d; ") fur alle " 2 (0; "20 ) und
damit IH (K1; f; d) + IH (K2; f; d) IH (K1 [ K2; f; d) gezeigt werden.
Lemma 3.2.4 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge, f g : X ! R0+ zwei nichtnegative Funktionen und d 2 R0+ und " 2 R+
beliebige Zahlen. Dann gilt
IH (A; f; d; ") IH (A; g; d; "):
Beweis Falls es keine abzahlbare U berdeckung von A durch Kugeln mit Radien
hochstens " gibt, gilt IH (A; f; d; ") = IH (A; g; d; ") = 1, damit ist die Behauptung
erfullt. Wir betrachten nun eine beliebige abzahlbare U berdeckung U = fB (ui; ri)gi2N
von A durch Kugeln mit Radien ri " und eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen
fcigi2N, so da
X
ciB(ui;ri) gA
gilt. Dann ist aufgrund von f g auch die Ungleichung
X
ciB(ui;ri) fA
erfullt, aus der die Behauptung folgt.
Folgerung 3.2.4 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge, f g : X ! R0+ zwei nichtnegative Funktionen und d 2 R0+ eine beliebige
Zahl. Dann gilt
IH (A; f; d) IH (A; g; d):
Die von Wegmann in [73] angefuhrte Gleichheit
IH (A; 1; d; ") = H (A; d; ");
(3.2.5)
die der Integraleigenschaft (I5) entspricht, lat sich in allgemeinen metrischen Raumen
nicht so leicht nachweisen. Der Grund dafur ist, da die in [73] verwendete verscharfte
Dreiecksungleichung (3.2.1) im allgemeinen nicht erfullt ist. In allgemeinen metrischen
60
Raumen ergibt sich aber fur IH und H die Eigenschaft (I5') sofort aus der Denition
des aueren Integrals IH .
Damit ist nachgewiesen, da es sich bei den aueren Hausdorschen (d; ")-Integralen
und den aueren Hausdorschen d-Integralen um subadditive Integrale im Sinne von
Abschnitt 1.4 handelt.
In Erganzung zu (I5') gelten fur das auere Hausdorsche (d; ")-Integral und das
auere Ma H (; d; ") auf kompakten Mengen K die folgenden Relationen, zu deren
Beweis wir auf eine Idee aus [51] zuruckgreifen.
Lemma 3.2.5 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, K X eine kompakte Menge
und d 2 R0+ sowie " 2 R+ beliebige Zahlen. Dann gilt
IH (K; 1; d; 3") H (K; d; 3") 3d IH (K; 1; d; "):
Beweis Die erste Ungleichung ist oensichtlich erfullt. Wir zeigen nun die zweite. Es
seien " > 0 eine beliebig xierte Zahl, U = fB (ui; ri)gki=1 eine beliebige endliche U berdeckung der Menge K durch Kugeln mit Radien ri " und c1; : : : ; ck nichtnegative
Zahlen, so da
k
X
i=1
ciB(ui;ri) K
(3.2.6)
gilt. Da es nur endlich viele Werte ci (i = 1; : : : ; k) gibt, konnen wir annehmen, da
alle ci rational sind, denn fur eine
vorgegebene U berdeckung ist die Bestimmung der ci
P
so, da (3.2.6) erfullt ist und cirid minimal wird, ein lineares Optimierungsproblem
der Form
rT c = min bei Ac 1
mit r = (r1d ; : : : ; rkd ), c = (c1; : : : ; ck ) und A 2 Mk;k (f0; 1g). Da A nur rationale Zahlen
enthalt, existiert fur dieses Problem auch eine rationale Losung.
Kugeln mit Wichtungsfaktor ci = 0 konnen von vornherein weggelassen werden. Im
weiteren gelte also ci > 0 fur alle i = 1; : : : ; k. Es sei p 2 N der Hauptnenner der
rationalen
Zahlen ci (i = 1; : : : ; k). Dann kann man (3.2.6) mit p multiplizieren und
P
erhalt pci B(ui;ri) pK , wobei pci 2 N fur alle i = 1; : : : ; k gilt. Fur pci > 1
kann man die Kugel fB (ui; ri)g auch pci -mal in der U berdeckung betrachten, wobei
jede mit dem Gewichtsfaktor 1 eingeht. Also konnen wir ohne Beschrankung der
Allgemeinheit annehmen, da pci = 1 (i = 1; : : : ; k) gilt. Damit hat die Bedingung
(3.2.6) die Form
k
X
i=1
B(ui;ri) pK :
61
Nun konstruieren wir ausgehend von der U berdeckung U = fB (ui; ri)gki=1 insgesamt
p neue U berdeckungen U1; : : : ; Up mit Radien 3". Dazu sei I = f1; : : : ; kg und
I1 = U1 = ;. Solange I nichtleer ist, wird der Index i1 2 I der Kugel mit maximalem
Radius zu I1 und die Kugel B (ui1 ; 3ri1 ) zu U1 dazugenommen. Diese Kugel enthalt
alle Kugeln von U , die sich mit B (ui1 ; ri1S) schneiden. Aus der Indexmenge I werden
alle Indizes i entfernt, fur die B (ui; ri) j2I1 B (uj ; 3rj ) gilt. Da I zu Beginn endlich
war und in jedem Schritt wenigstens der Index i1 aus I entfernt wird, ist nach endlich
vielen Schritten I = ; erreicht. Die Menge U1 ist dann eine U berdeckung von K .
Wir setzen nun I = f1; : : : ; kg n I1. Die Kugeln B (ui; ri) mit i 2 I1 sind paarweise
disjunkt. Deshalb gilt nun
X
B(ui;ri) (p ? 1)K ;
i2I
so da fur p > 1 das Mengensystem fB (ui; ri)gi2I immer noch eine U berdeckung
von K ist. Deshalb kann das eben beschriebene Verfahren insgesamt p-mal angewendet werden, wobeiSzur Bestimmung der U berdeckung Uj immer von der Indexmenge
?1 I ausgegangen wird (j = 2; : : : ; p). Wir erhalten dadurch p
I = f1; : : : ; kg n ji=1
i
U berdeckungen U1; : : : ; Up von K , wobei die Indexmengen
I ; : : : ; Ip paarweise disP 1

junkt sind. Fur jede Uberdeckung Uj (j = 1; : : : ; p) gilt i2Ij (3ri )d H (K; d; 3").
Damit erhalten wir
p X
k
X
X
X
(3ri)d 1 (3ri)d = 3d cirid ;
H (K; d; 3") p1
p i=1
j =1 i2Ij
i=1
da wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit pci = 1, also ci = p1 fur alle i = 1; : : : ; k,
angenommen hatten. Da wir diese Ungleichung ausgehend von jeder beliebigen U berdeckung U von K durch Kugeln mit Radien ri " und jede beliebige Folge c1; : : : ; ck
nichtnegativer Zahlen erhalten, ist damit die zweite Ungleichung der Behauptung
gezeigt.
Folgerung 3.2.5 Es seien (X; %) ein metrischer Raum, K X eine kompakte Teilmenge und d 2 R0+ eine beliebige Zahl. Dann gilt
IH (K; 1; d) H (K; d) 3d IH (K; 1; d):
Aus der Folgerung 3.2.5 ergibt sich, da IH (K; 1; d) = 0 genau dann gilt, wenn
H (K; d) = 0 ist. Auerdem ist IH (K; 1; d) = 1 aquivalent zu H (K; d) = 1. Fur
jede kompakte Teilmenge K X existiert also fur IH (K; 1; ) ein kritischer Wert
dI 2 R0+ mit
8
>
>
<
IH (K; 1; d) = >
>
:
1 fur d 2 R0+; d < dI ;
0 fur d 2 R0+; d > dI ;
62
und dieser Wert dI stimmt mit dem kritischen Wert d fur H (K; ) und damit mit der
Hausdor-Dimension von K uberein. Fur obere Hausdor-Dimensionsabschatzungen
konnen somit auch die aueren Hausdorschen d-Integrale uber die charakteristische
Funktion anstelle der aueren Hausdorschen d-Mae verwendet werden. Zu Folgerung 3.2.5 analoge Aussagen sind auch in [23, 36] angefuhrt.
3.3 A uere Integrale unter Transformationen
In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich die in Abschnitt 3.2 eingefuhrten
aueren Integrale unter C 1-Transformationen verhalten. Aufgrund der Subadditivitat dieser Integrale lassen sich keine zu (3.1.2) analogen Transformationsgleichungen, sondern nur Ungleichungen erhalten. Satze, die das Transformationsverhalten
der aueren Integrale mittels Ungleichungen beschreiben, bezeichnen wir, analog zu
[44], als Schrankensatze. Aus diesen Schrankensatzen lassen sich zu (3.1.3) analoge
Kontraktionsbedingungen fur das auere Ma H (; d; ") bzw. fur das auere Integral
IH (; 1; d; ") herleiten, die sich fur obere Abschatzungen der Hausdor-Dimension verwenden lassen.
Wie schon in Abschnitt 1.3 erwahnt wurde, ist die Exponentialabbildung fur eine
Riemannsche C r-Mannigfaltigkeit von der Glattheit C r?2. Da im weiteren eine C 1Exponentialabbildung benotigt wird, mu die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit wenigstens von der Glattheit C 3 sein.
Satz 3.3.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine kompakte
Menge, so da j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K gilt. Weiterhin sei f : K ! (0; 1] eine
nichtnegative Funktion, so da
X
v2K :'(v)=u
f (v) 1 fur alle u 2 '(K )
(3.3.1)
erfullt ist. Dann gilt fur alle d 2 (0; n] und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 die
Abschatzung
n
o
IH ('(K ); 1; d; ") 16n nnIH K; max f!d (d') nd ; f nd !d(d') ; d; " :
Beweis Es sei d 2 (0; n] eine beliebige, aber im weiteren festgehaltene Zahl. Da K
kompakt und ' stetig dierenzierbar ist, existiert eine hinreichend groe Zahl m > 0
mit
sup !d (du ') < md und sup kdu'k m;
u2K
u2K
63
(3.3.2)
wobei kdu 'k die Operatornorm des linearen Operators du ' : TuM ! T'(u)M bezeichnet. Nun sei > 0 die Losung der Gleichung
"
1=(d?bdc) #n
bdc
m
= 2n?bdc:
(3.3.3)
1+
supu2K !d (du')
Dabei sei bemerkt, da sich aus der Voraussetzung j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K die
Beziehung supu2K !d(du ') > 0 ergibt und damit alle Ausdrucke in Gleichung (3.3.3)
wohldeniert sind. Fur jedes u 2 K sei lu > 0 durch
"
1=(d?bdc) #n
bdc
m
n
n
(3.3.4)
lu := 2n?bdc!d (du ') d = !d (du ') d 1 + sup ! (d ')
v2K d v
deniert. Dann existiert fur jedes u 2 K eine Zahl u 2 (0; ] mit
#n
"
bdc 1=(d?bdc)
n
m
lu = !d(du ') d 1 + ! (d ')
u :
(3.3.5)
d u
Da j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K vorausgesetzt wurde und ' auf K eine C 1-Abbildung
ist, ist inf u2K !d (du') > 0. Also gilt
1=(d?bdc)
inf
v2K !d (dv ')
>0
u e := sup ! (d ')
v2K d v
fur alle u 2 K . Nun sei r1 > 0 so klein gewahlt, da es kleiner als das in Satz 1.3.4
eingefuhrte "0 ist und es eine oene Menge V mit K V U gibt, so da die
Ungleichung
k''((vu))dv 'uv ? du 'k e
(3.3.6)
fur alle u; v 2 V mit %(u; v) r1 erfullt ist. Dabei bezeichnet die in Abschnitt 1.3
eingefuhrte Parallelverschiebung. Auerdem existiert eine Zahl r2 > 0, die kleiner als
das in Lemma 3.1.1 denierte "K fur die Abbildung ' ist, so da jede Kugel B (u; r2)
mit Radius r2 um einen Punkt u 2 V , die Punkte aus K enthalt, vollstandig in V
enthalten ist.
Aufgrund der in Abschnitt 1.3 zitierten Eigenschaft (E2) der Exponentialabbildung
gibt es fur jeden Punkt u 2 M eine Zahl ru > 0, so da kdv expu k 2 fur jedes
v 2 B (Ou ; ru) erfullt ist, und diese Zahl ru hangt stetig vom Punkt u 2 M ab. Da K
kompakt ist, gibt es eine Zahl r3 := minu2K ru > 0 mit kdv expu k 2 fur alle u 2 K
und alle v 2 B (Ou ; r3). Damit gilt
(3.3.7)
%(expu v; expu w) 2%(v; w)
fur beliebiges u 2 K und alle v; w 2 B (Ou; r3). Wir setzen
8
<
"
mbdc
r0 := min :r1; r2; 21 + m 1 + sup ! (d ')
u2K d u
64
1=(d?bdc) #!?1
9
=
r3 ;
und betrachten ein festes " 2 (0; r20 ). Es sei fB (uei; ri)gi2I eine beliebige endliche
U berdeckung von K durch Kugeln mit Radien ri ", so da jede Kugel mindestens
einen Punkt aus K enthalt. Weiter seien ci 0 (i 2 I ) beliebige Zahlen mit der
Eigenschaft
X
i2I
o
n
ciB(uei;ri) max f!d (d') nd ; f nd !d(d') K :
(3.3.8)
Da !d(d') stetig auf K ist, gibt es fur jedes i 2 I einen Punkt ui 2 cl(B (uei; ri)) \ K
mit
!d (dui ') = u2B(inf
!d (du '):
ue ;r )\K
(3.3.9)
i i
Dann ist das Mengensystem fB (ui; 2ri)gi2I auch eine U berdeckung von K . Wegen
2ri r2 ist jede der Kugeln dieser neuen U berdeckung vollstandig in V enthalten.
Das Mengensystem f'(B (ui; 2ri))gi2I ist eine U berdeckung von '(K ). Wir betrachten
im weiteren eine beliebige, aber zunachst festgehaltene Zahl i 2 I . Da 2ri r1 < "0
gilt und ' eine C 1-Abbildung ist, gilt fur jedes v 2 B (ui; 2ri) nach Satz 1.3.4 die
Ungleichung
k exp?'(1ui ) '(v) ? dui '(exp?ui1 (v))k
sup k''((wu)i)dw 'uwi ? dui 'k k exp?ui1(v)k:
w2B (ui ;2ri)
Daraus ergibt sich unter Nutzung von (3.3.6)
exp?'(1ui )('(B (ui; 2ri))) dui '(B (Oui ; 2ri)) + B (O'(ui); 2eri)
dui '(B (Oui ; 2ri)) + B (O'(ui); 2ui ri):
Die Menge dui '(B (Oui ; 2ri)) ist ein Ellipsoid in T'(ui)M . Wegen Lemma 1.2.2 sowie den Beziehungen (3.3.2) und (3.3.5) existiert ein Ellipsoid Ei, das die Menge
exp?'(1ui)('(B (ui; 2ri))) enthalt und fur das
d
!d (Ei) (2ri )dluni
(3.3.10)
gilt. Da in Ei die Kugel B (O'(ui); 2ui ri) eingeht, sind alle Halbachsenlangen, insbesondere bdc+1 (Ei), positiv. Aufgrund von Lemma 1.2.3 kann das Ellipsoid Ei schon
durch
bdc
2
!
d (Ei )
Ni = (E )d
bdc+1 i
65
p
Kugeln vom Radius bdc+1(Ei) bdc + 1 uberdeckt werden. Ist dieser Radius groer als
ri , so kann jede Kugel durch
2
p
n
bdc+1 (Ei ) bdc + 1
e
Ni =
ri
Kugeln vom Radius r2i uberdeckt werden. Dabei liegen alle Kugeln, die Punkte der
Menge exp?'(1ui )('(B (ui; 2ri))) enthalten, innerhalb einer Kugel vom Radius
22nn n2
"
bdc
m
ri + 2ri m 1 + sup ! (d ')
u2K d u
1=(d?bdc) #
< r3
um Oui . Aufgrund von (3.3.7) ist dann die Menge '(B (uei; ri)) wieder durch Kugeln
vom Radius hochstens ri uberdeckt.
Wenn wir diese Vorgehensweise fur alle i 2 I anwenden, erhalten wir eine Kugeluberdeckung fBj gj2J von '(K ) durch Kugeln mit Radien hochstens ". Dabei liefere die
Funktion i(j ) zu jedem j 2 J jeweils den Index i 2 I der Kugel aus der U berdeckung
von K , aus der die Kugel Bj entstanden ist. Wegen Lemma 3.1.1 und den Ungleichungen ri < r2 (i 2 I ) ist die Einschrankung der Abbildung ' auf die Kugel B (uei; ri)
jeweils ein Dieomorphismus. Somit liegen Punkte mit gleichen Bildern unter ' in
verschiedenen Kugeln. Da j det(du')j > 0 fur alle u 2 K vorausgesetzt wurde, konnen
wir fur alle j 2 J Zahlen
(
n?d
c
c
i(j )[supu2K f (u)] n
i(j )
;
e
cj := min
!d(dui(j) ')
!d (dui(j) ') nd
)
denieren. Dann gilt aufgrund von (3.3.9) die Abschatzung
X
j 2J :u2Bj
c ej
=
X
v2K :'(v)=u
X
n?d
c
c
i [supu2K f (u)] n
i
min
n;
d
!d (dui ')
!
(
d
'
)
d
u
i
i2I :v2B (uei;ri)
(
n?d )
X
c
c
i
i [supu2K f (u)] n
min
n;
d
!d (dv ')
!
(
d
'
)
d
v
i2I :v2B (uei;ri)
v2K :'(v)=u 0
X
v2K :'(v)=u
)
(
X
@
(
min
1 ;
!d (dv ') nd
)
[supu2K f (u)] n?n d
!d (dv ')
X
i2I :v2B (uei;ri )
fur alle u 2 '(K ). Wegen (3.3.8) gilt
X
i2I :v2B (uei;ri )
ci maxff (v)!d(dv ') nd ; f nd (v)!d(dv ')g;
und da fur beliebige positive reelle Zahlen a1; a2; b1; b2 die Beziehung
minfa1; a2g maxfb1; b2g minfa1b1; a2b2g
66
1
ciA
erfullt ist, folgt mit (3.3.1)
(
d
n
n?d
f
(
v
)
!
d (dv ') d f n (v )!d (dv ')[supu2K f (u)] n
e
cj min
n ;
d
!d(dv ')
!
(
d
'
)
d
v
j 2J :u2Bj
v2K :'(v)=u
X
X
X
v2K :'(v)=u
)
f (v)
1:
Das ist gleichbedeutend mit
P
cj Bj
j 2J e
IH ('(K ); 1; d; ")
X
p
i2I :bdc+1 (Ei ) bdc+1 r2i
+
Ni min
X
n?d
ci n ; ci [supu2K f (u)] n
!d (dui ')
!d (dui ') d
NiNi min
p
r
i
i2I :bdc+1 (Ei) bdc+1>
e
2
'(K). Damit gilt die Abschatzung
p
(2bdc+1 (Ei) bdc + 1)d
n?d
ci n ; ci [supu2K f (u)] n
!d (dui ')
!d (dui ') d
rid
ci[supu2K f (u)] n?n d 2bdc!d (Ei) (2 (E )pbdc + 1)d
!d(dui ')
bdc+1(Ei )d bdc+1 i
ri
X
p
i2I :bdc+1 (Ei ) bdc+1 2
p
n
bdc ! (E )
2
c
d i 2n n2 bdc+1 (Ei ) bdc + 1
i
2 n
rid
+
n
d
d
(
E
)
r
!
(
d
'
)
p
b
d
c
+1
i
i
d ui
i2I :bdc+1 (Ei) bdc+1> r2i
X
ci[supu2K f (u)] n?n d 2d+bdc(bdc + 1) 2d ! (E )
=
d i
!d(dui ')
p
ri
X
i2I :bdc+1 (Ei ) bdc+1 2
+
X
p
i2I :bdc+1 (Ei) bdc+1> r2i
ci 22n+bdc n n2 (bdc + 1) n2 !d(Ei )bdc+1(Ei )n?d :
!d(dui ') nd
rin?d
Mit (3.3.10) und der Beziehung bdc+1(Ei ) !d (Ei) d1 fur alle i 2 I ergibt sich daraus
IH ('(K ); 1; d; ")
X
p
ci[supu2K f (u)] n?n d 22d+bdc (bdc + 1) d2 l nd rd
ui i
!d (dui ')
ri
i2I :bdc+1 (Ei ) bdc+1 2
+
ci 23n+bdc n n2 (bdc + 1) n2 l rd:
n
ui i
!
p
d (dui ') d
r
i
(E ) bdc+1>
X
i2I :bdc+1 i
2
67
Wegen supu2K f (u) 1 und (3.3.4) folgt schlielich
IH ('(K ); 1; d; ") X
p
i2I :bdc+1 (Ei ) bdc+1 r2i
+
ci16n (bdc + 1) d2 rid
X
p
i2I :bdc+1 (Ei ) bdc+1> r2i
16n nn
X
i2I
ci16n n n2 (bdc + 1) n2 rid
cirid:
Da diese Abschatzung fur jede beliebige U berdeckung fB (uei; ri)gi2I von K durch
Kugeln mit Radien ri " und jede beliebige Zahlenfolge fcigi2I , die (3.3.8) erfullt,
gilt, liefert sie die Behauptung.
Eine spezielle Funktion f : K ! (0; 1], die in den Voraussetzungen von Satz 3.3.1 die
1
Bedingung (3.3.1) erfullt, ist N (';K;'
()) . Mit ihrer Hilfe ergibt sich eine Folgerung aus
Satz 3.3.1:
Folgerung 3.3.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine
kompakte Menge, so da j det(du ')j > 0 fur alle u 2 K erfullt ist. Dann gilt fur jedes
d 2 (0; n] und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 die Abschatzung
IH ('(K ); 1; d; ") 16n nnIH
)
(
n
!
d (d') d
K; max N ('; K; '()) ; !d (d') d ; d; "
N ('; K; '()) n
!
und demzufolge auch
IH ('(K ); 1; d) 16n nn IH
(
)
!
n
!
d (d') d
K; max N ('; K; '()) ; !d (d') d ; d :
N ('; K; '()) n
Bemerkung 3.3.1 Das auere Hausdorsche n-Ma stimmt auf glatten Mannigfaltigkeiten bis auf Normierung mit dem Lebesgue-Ma oder n-dimensionalen Volumen
V uberein. Folgerung 3.3.1 fur d = n liefert
!
n (d')
n
n
IH ('(K ); 1; n) 16 n IH K; N ('; K; '()) ; n :
(3.3.11)
Diese Ungleichung lat sich mit (3.1.2) vergleichen: Auf der linken Seite wird jeweils die Konstante 1 uber die Menge '(K ) integriert, und auf der rechten Seite
steht wegen !n(d') = j det(d')j (siehe Abschnitt 1.2) jeweils das Integral der Funkd')
tion Nj(det(
';K;'()) uber die Menge K . Da das auere Hausdor-Integral aber im Vergleich
68
zum Lebesgue-Integral nur ein subadditives Funktional ist und zwischen dem aueren
Hausdor-Ma einer Menge und dem aueren Hausdor-Integral uber die charakteristische Funktion dieser Menge nur eine Ungleichungsbeziehung mit Korrekturfaktoren
(siehe Lemma 3.2.5) und keine Gleichheit gilt, ergibt sich auch fur die Transformation des aueren Hausdor-Integrals unter einer C 1-Abbildung im allgemeinen nur eine
Ungleichung mit zusatzlichen Faktoren und keine Gleichheit.
Unter Verwendung lokaler Umkehrabbildungen fur die betrachtete Abbildung ' kann
noch ein weiterer Schrankensatz fur die Transformation der aueren Hausdor-Integrale abgeleitet werden:
Satz 3.3.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung, K U eine kompakte
Menge und Ue K eine oene Menge, so da cl(Ue ) U kompakt ist, j det(du ')j > 0
fur alle u 2 cl(Ue ) und '?1 (Ue ) Ue gilt. Weiterhin sei f : Ue ! (0; 1] eine nichtnegative Funktion, fur die es eine Zahl a > 0 gibt, so da
f (u) = f (v) fur alle u; v 2 Ue mit '(u); '(v) 2 '(K ) und %(u; v) < a (3.3.12)
erfullt ist, und die der Beziehung
X
v2Ue :'(v)=u
f (v) 1 fur alle u 2 '(K )
(3.3.13)
genugt. Dann gilt fur jedes d 2 (0; n] und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 die
Abschatzung
IH (K; f minf!d (d') nd ; !d(d')g; d; ") 16n nnIH ('(K ); 1; d; ") :
(Hierbei ist ! d die in Abschnitt 1.2 denierte inverse Singularwertfunktion.)
Beweis Es sei d 2 (0; n] eine beliebige, aber im weiteren xierte Zahl. Da cl(Ue ) U
eine kompakte Menge ist und ' stetig dierenzierbar mit j det(du ')j > 0 fur alle
u 2 cl(Ue ) ist, existiert eine hinreichend groe Zahl m > 0 mit
infe !d(du ') > m1d und
u2U
infe n(du ') m1 :
(3.3.14)
u2U
Nun sei > 0 so klein gewahlt, da
< m1 und
"
1 + mbdc infe !d(du ')
u2U
69
1=(d?bdc) #n
2n?bdc
(3.3.15)
gelten. Fur jedes u 2 Ue seien Zahlen lu > 0 durch
h
lu :=
1+
?
mbdc inf
v2Ue ! d (dv ')
1=(d?bdc) in
!d(du ') nd
(3.3.16)
deniert. Wegen (3.3.14) ist dabei !d(du ') > 0. Dann existiert fur jedes u 2 Ue eine
Zahl u 2 (0; ] mit
h
lu =
1+
?
mbdc !
d (du ')
1=(d?bdc)
!d(du ') nd
u
in
;
(3.3.17)
und es gilt
inf v2Ue ! d(dv ') 1=(d?bdc)
>0
u e := sup ! (d ')
v2Ue d v
fur alle u 2 Ue .
e u) Urbilder uj (j = 1; : : : ; N ('; U;
e u))
Fur jeden Punkt u 2 '(K ) gibt es N ('; U;
unter der Abbildung ' in der Menge Ue . Da cl(Ue ) U kompakt ist, liefert Lemma 3.1.1 eine Zahl "cl(Ue), so da 'u;j := 'jB(uj ;"cl(Ue )) ein C 1-Dieomorphismus ist. Dabei kann "cl(Ue ) so klein gewahlt werden, da fur jedes u 2 Ue die Kugeln B (uj ; "cl(Ue))
e u)) paarweise disjunkt sind und " e < "K gilt. Auerdem ist
(j = 1; : : : ; N ('; U;
cl(U )
e ) aufgrund von Lemma 3.1.2 nach oben beschr
N ('; U;
ankt. Weiterhin gilt fur alle
e u) > 0, da jedes solche u wenigstens ein Urbild in
u 2 '(K ) die Ungleichung N ('; U;
e u)g ist die Abbildung
K Ue hat. Fur jedes u 2 '(K ) und jedes j 2 f1; : : : ; N ('; U;
?
1
1
'u;j auf '(B (uj ; "cl(Ue))) als C -Dieomorphismus erklart. Aufgrund der Ungleichungen (3.3.14) und (3.3.15) ist := inf u2Ue n(du ') ? > 0. Nach Lemma 3.1.5 existiert
eine hinreichend kleine Zahl r 2 (0; "cl(Ue)) mit
'(B (u; "cl(Ue))) '(B (u; r)) B ('(u); r)
(3.3.18)
fur jedes u 2 '(K ). Also ist fur jedes u 2 '(K ) jede Umkehrabbildung '?u;j1 jeweils
auf B (u; r) erklart. Auerdem gilt fur alle " 2 (0; r) und alle u 2 '(K ) aufgrund
von Lemma 3.1.6 die Beziehung
'?1(B (u; ")) \ K
N (';
Ue;u)
[
j =1
'?u;j1 (B (u; ")):
(3.3.19)
Die Menge ' ist kompakt als Bild der kompakten Menge K unter der stetigen Abbildung '. Es sei nun r1 2 (0; 23 r) so klein gewahlt, da es kleiner als das in Satz 1.3.4
70
e u)) ist und es eine
eingefuhrte "0 fur die Abbildungen '?u;j1 (u 2 K; j = 1; : : : ; N ('; U;
oene Menge V mit '(K ) V '(U ) gibt, so da
?1
e u))
k''?u;ju;j1 ((vu))dv '?u;j1 uv ? du '?u;j1 k e (j = 1; : : : ; N ('; U;
(3.3.20)
fur alle u 2 '(K ) und v 2 V mit %(u; v) r1 erfullt ist. Auerdem existiert eine Zahl
r2 > 0, so da jede Kugel B (u; r2) mit Radius r2 um einen Punkt u 2 V , die Punkte
aus '(K ) enthalt, vollstandig in V enthalten ist. Die Zahl r3 sei analog zum Beweis
von Satz 3.3.1 gewahlt. Wir setzen
a
r0 := min r1; r2; r3; inf (d ')
u2Ue n u
und betrachten ein festes " 2 (0; r20 ). Es sei fB (uei; ri)gi2I eine beliebige endliche
U berdeckung von '(K ) durch Kugeln mit Radien ri ", so da jede Kugel mindestens
einen Punkt aus '(K ) enthalt, und ci 0 (i 2 I ) seien beliebige Zahlen mit
X
i2I
ciB(uei;ri) '(K):
(3.3.21)
e uei )
Da ' stetig dierenzierbar ist, gibt es fur jedes i 2 I und jedes j = 1; : : : ; N ('; U;
einen Punkt ui;j 2 cl(B (uei; ri)) \ '(K ) mit
!d(d'?ufi1;j (ui;j )') =
sup
!d(d'?ufi1;j (v)'):
(3.3.22)
v2B (uei ;ri )\'(K )
Wir betrachten ein zunachst festgehaltenes i 2 I und die Kugeln B (ui;j ; 2ri) (j 2
e uei )g). F
f1; : : : ; N ('; U;
ur diese gilt B (uei; ri) B (ui;j ; 2ri ), und wegen 2ri r2 ist
jede dieser Kugeln vollstandig in V enthalten. Auerdem ist B (ui;j ; 2ri) B (uei; 3ri),
und wegen 3ri < 23 r1 < r sind die Abbildungen '?uei1;j jeweils auf der gesamten Kugel
B (ui;j ; 2ri ) deniert. Aufgrund der Taylor-Formel (Satz 1.3.4) fur die dierenzierbare
Abbildung '?uei1;j gilt fur jedes v 2 B (ui;j ; 2ri) die Ungleichung
k exp'?ui1;j (ui;j ) 'u?ei1;j (v) ? dui;j 'u?ei1;j (exp?ui;j1 (v))k
e
sup
w2B (ui;j ;2ri )
?1
k''u?u1i;j;j((wu)i;j )dw 'u?ei1;j uwi;j ? dui;j 'u?ei1;j k k exp?ui;j1 (v)k:
e
ei
Wegen 2ri < r1 ergibt sich damit aufgrund von (3.3.20) die Inklusion
exp'?uei1;j (ui;j )('u?ei1;j (B (ui;j ; 2ri ))) dui;j 'u?ei1;j (B (Oui;j ; 2ri )) + B (O'?uei1;j ui;j ; 2u ri):
Da die Menge dui;j 'u?ei1;j (B (Oui;j ; 2ri)) ein Ellipsoid in T'?uei1;j (ui;j )M ist, gilt
!d (dui;j 'u?ei1;j (B (Oui;j ; 2ri))) = !d(dui;j '?uei1;j )(2ri)d = ! (d ?11 ') (2ri )d:
d 'ue ;j (ui;j )
i
71
Aufgrund von Lemma 1.2.2 und (3.3.17) ist also exp'?uei1;j (ui;j )('u?ei1;j (B (ui;j ; 2ri ))) in
einem Ellipsoid Ei;j mit
d
!d (Ei;j ) (2ri )dl'n?ue 1;j (ui;j )
(3.3.23)
i
enthalten. Analog zum Beweis von Satz
3.3.1 uberdecken wir nun jedes Ellipsoid
Ei;j
p
p
r
r
i
i
mit Kugeln vom Radius bdc+1(Ei;j ) bdc + 1 2 bzw. 2 , falls bdc+1(Ei;j ) bdc + 1 >
ri ist. Dazu benotigen wir hochstens
2
bdc
2
!
d (Ei;j )
Ni;j = (E )d bzw.
bdc+1 i;j
(3.3.24)
2n+bdc n
n
n
?
d
n 2 (bdc + 1) 2 !d (Ei;j )bdc+1(Ei;j )
Ni;j Nei;j = 2
rn
i
solche Kugeln.
Da das Mengensystem f'u?ei1;j (B (ui;j ; 2ri ))gi2I;j2Ji aufgrund von (3.3.19) eine U berdeckung von K ist, erhalten wir auf diese Weise eine U berdeckung fBlgl2L von K
durch Kugeln mit Radien hochstens ". Dabei liefern die Funktionen i(l) und j (l) zu
jedem l 2 L jeweils den Index i 2 I der Kugel aus der U berdeckung von '(K ) und
1
e u
den Index j 2 f1; : : : ; N ('; U;
ei )g der Umkehrfunktion 'u?
ei ;j , aus denen die Kugel
Bl entstanden ist. Wir denieren nun die Wichtungsfaktoren
e
cl := ci(l)f ('u?ei1(l) ;j(l)(ui(l);j(l)))minf!d(d'?ue 1 ;j(l) (ui(l);j(l) )') nd ; !d(d'u?e 1 ;j(l)(ui(l);j(l) )')g:
i(l)
Fur alle u 2 K und alle i 2 I mit '(u) 2 B (uei; ri) gilt
%('(u); ui;j ) < 2" < r0 inf a (d ')
i(l)
u2Ue n u
e u
und damit %(u; '?uei1;j (ui;j )) < a fur alle j = 1; : : : ; N ('; U;
ei ). Also folgt wegen
(3.3.12), (3.3.21) und (3.3.22) fur alle u 2 K
X
l2L:u2Bl
=
c
el
X
l2L:u2Bl
ci(l)f ('u?ei1(l) ;j(l)(ui(l);j(l)))
X
minf!d (d'?ue 1
i2I :'(u)2B (uei;ri)
g
n
(u
) ') d ; ! d (d'?uei1(l) ;j(l) (ui(l);j(l) ) ')
i(l) ;j(l) i(l);j(l)
ci f (u) minf!d(du ') nd ; !d (du')g
X
n
= f (u) minf!d(du ') d ; !d (du')g
i2I :'(u)2B (uei;ri )
f (u) minf!d(du ') nd ; !d(du ')g:
72
ci
Letzteres ist gleichbedeutend mit der Ungleichung
X
l2L
c f minf!d(d') nd ; !d(d')gK :
el Bl
Damit ergibt sich die Abschatzung
IH (K; f minf!d(d') nd ; !d(d')g; d; ")
X
p
Ni;j cif ('u?ei1;j (ui;j ))!d(d'?uei1;j (ui;j )')(2bdc+1 (Ei;j ) bdc + 1)d
p
i2I :bdc+1 (Ei;j ) bdc+1 r2i
+
X
p
i2I :bdc+1 (Ei;j ) bdc+1> r2i
Ni;j Nei;j cif ('?uei1;j (ui;j ))! d(d'?uei1;j (ui;j )') nd rid :
1
Mit (3.3.16), (3.3.23), (3.3.24) und unter Berucksichtigung von bdc+1(Ei;j ) !dd (Ei;j )
folgt daraus
n
IH (K; f minf!dd (d'); ! d(d')g; d; ")
X
p
X
p
cif ('?uei1;j (ui;j ))!d(d'?uei1;j (ui;j )') nd 23n+bdcn n2 (bdc +1) n2 l'?uei1;j (ui;j )rid
i2I :bdc+1 (Ei;j ) bdc+1> r2i
X
p
i2I :bdc+1 (Ei;j ) bdc+1 r2i
+
i
i2I :bdc+1 (Ei;j ) bdc+1 r2i
+
=
d
cif ('u?ei1;j (ui;j ))!d (d'?uei1;j (ui;j )')22d+bdc(bdc +1) 2d l'n?ue 1;j (ui;j )rid
X
p
cif ('?uei1;j (ui;j ))22d+bdc+
n?bdc d
d
n (bdc +1) 2 rid
cif ('u?ei1;j (ui;j ))16n n n2 (bdc +1) n2 rid
i2I :bdc+1 (Ei;j ) bdc+1> r2i
';Ue;uei )
X N (X
n
n
cif ('u?ei1;j (ui;j ))rid :
16 n
i2I j =1
e u
Wegen (3.3.12) gilt f ('?uei1;j (ui;j )) = f ('u?ei1;j (ui;k )) fur alle j; k 2 f1; : : : ; N ('; U;
ei )g.
Also ergibt sich mit (3.3.13) aus der vorangehenden Ungleichung
IH (K; f minf
g; d; ") 16n nn
!d(d') nd ; !d(d')
16n nn
73
e
';U ;uei )
X N (X
i2I
X
i2I
j =1
cirid:
ci f ('u?ei1;j (ui;1))rid

Da diese Abschatzung fur jede beliebige Uberdeckung
fB (uei; ri)gi2I von '(K ) durch
Kugeln mit Radien ri " und jede beliebige Zahlenfolge fcigi2I , die (3.3.21) erfullt,
gilt, folgt daraus die Behauptung.
Wird fur die Funktion f : Ue ! (0; 1] aus Satz 3.3.2 speziell N (';Ue1;'()) eingesetzt,
dann sind die Bedingungen (3.3.12) und (3.3.13) aufgrund von Lemma 3.1.4 und
Lemma 3.1.7 erfullt. Somit ergibt sich aus Satz 3.3.2 die folgende Aussage:
Folgerung 3.3.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung, K U eine
kompakte Menge und Ue K eine oene Menge, so da cl(Ue ) U kompakt ist,
j det(du ')j > 0 fur alle u 2 cl(Ue ) und '?1(Ue ) Ue gilt. Dann gilt fur alle d 2 (0; n]
und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0 die Abschatzung
!
n
min
f
!
d (d') d ; ! d (d')g
IH K;
; d; " 16n nn IH ('(K ); 1; d; ")
e
N ('; U; '())
und demzufolge auch
!
IH
n
!
min
f
d (d') d ; ! d (d')g
K;
; d 16n nnIH ('(K ); 1; d):
e
N ('; U; '())
3.4 Obere Dimensionsschranken
Der Schrankensatz 3.3.1 fur das Verhalten des aueren Hausdorschen (d; ")-Integrals
unter Transformationen kann fur abbildungsinvariante Mengen zur oberen Abschatzung der Hausdor-Dimension ausgenutzt werden.
Satz 3.4.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung und K U eine kompakte
'-invariante Menge, so da j det(du')j > 0 fur alle u 2 K gilt. Falls es Zahlen
d 2 (0; n] und 2 (0; 1) gibt, so da
(3.4.1)
!d (du') d1 N ('; K; '(u)) n1 fur alle u 2 K
gilt, dann ist dimH (K ) d.
Beweis Da < 1 vorausgesetzt wurde, existiert eine hinreichend groe Zahl p 2 N
mit
p
< 161n
n
d
:
(3.4.2)
74
Dieses p werde im weiteren festgehalten. Dann gilt fur alle u 2 K aufgrund von
Lemma 1.2.1 und der Beziehung (3.4.1)
!d(du 'p)
p
Y
j =1
p
Y
j =1
= pd
!d (d'j?1(u)')
d N ('; K; 'j (u)) nd
" p
Y
j =1
N ('; K; 'j (u))
#d
n
und damit
p ) nd
!
(
d
'
d
u
pn
Qp
j (u)) :
N
(
';
K;
'
j =1
(3.4.3)
1
Die Funktion Qpj=1 N (';K;'
ullt aufgrund von Lemma 3.1.3 die
j ()) : K ! (0; 1] erf
Bedingung (3.3.1) bezuglich der Abbildung 'p. Damit konnen wir Satz 3.3.1 auf
die Abbildung 'p anwenden und erhalten fur alle hinreichend kleinen " > 0 die
Ungleichung
IH ('p(K ); 1; d; ")
16n nnIH K; max
(
p ) nd
!d (d'p )
Qp !Nd ((d'
;
d
j
Q
';K;'
(
u
))
j=1
[ pj=1 N (';K;'j(u))] n
)
!
d; " :
Da K invariant unter der Abbildung ' ist, gilt auch 'p(K ) = K . Also erhalten wir
aus der letzten Beziehung
IH (K; 1; d; ") 16n nn IH K; max
(
p) nd
!d (d'p )
Qp !Nd ((d'
;
d
j
Q
';K;'
(
u
))
j=1
[ pj=1 N (';K;'j(u))] n
)
!
d; " :
Mit (3.4.3) folgt daraus aufgrund von Lemma 3.2.4
IH (K; 1; d; ") 16n nn IH (K; pd; d; ")
fur alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0. Daraus ergibt sich mit Lemma 3.2.1
IH (K; 1; d; ") 16n nn pdIH (K; 1; d; "):
Da wegen (3.4.2) die Ungleichung 16n nn pd < 1 gilt und IH (K; 1; d; ") aufgrund der
Kompaktheit von K endlich ist, folgt daraus IH (K; 1; d; ") = 0. Da letzteres fur alle
hinreichend kleinen " > 0 gilt, ergibt sich IH (K; 1; d) = 0 und somit dimH (K ) d. 75
Bemerkung 3.4.1 Die Bedingung (3.4.1) stellt eine Abschwachung der Bedingung
(1.7.2) des Satzes 1.7.1 dar, denn die Vielfachheitsfunktion N ('; K; '(u)) nimmt nur
Werte 1 an. Da zur Abschwachung dieser Kontraktionsbedingung fur das auere
Hausdorsche d-Ma aber Eigenschaften der Vielfachheitsfunktion verwendet wurden,
die aus der Forderung resultieren, da die invariante Menge K keine kritischen Punkte
enthalt, mu hier zusatzlich det jdu'j > 0 fur alle u 2 K gefordert werden.
Bemerkung 3.4.2 Im Unterschied zum verallgemeinerten Satz von Douady und
Oesterle (Satz 1.7.1)
wird in der Singularwertbedingung (3.4.1) von Satz 3.4.1 der
1
Ausdruck !d (du ') d anstelle von !d (du ') betrachtet. Der Grund dafur ist, da eine
Bedingung an d, die zu dimH (K ) d fuhrt, sinnvollerweise auch fur alle d0 2 (d; n]
erfullt sein sollte, denn wenn d eine obere Schranke fur die Hausdor-Dimension von
K ist, dann ist auch jedes d0 > d eine obere Schranke. Im Satz von Douady und Oesterle ist das der Fall, denn aus !d (du ') < 1 fur ein festes u 2 K folgt, da !d0 (du ')
fur d0 2 [d; n] streng monoton fallend ist, so da auch !d0 (du ') < 1 fur alle d0 2 (d; n]
ist. Ziel der Einbeziehung der Vielfachheit war es, die obere Schranke fur !d (du ') zu
vergroern. Im Fall !d (du ') > 1 ist aber !d0 (du ') fur d0 2 [d; n] nicht mehr notwendigerweise monoton fallend, so da es vorkommen kann, da obwohl !d (du ') kleiner als
eine vorgegebene Schranke a > 1 ist, es Zahlen d0 2 (d; n] mit !d0 (du ') a gibt. In
Kapitel 2 ist solch eine Situation durch Zusatzbedingungen an die Abbildung und die
Menge K ausgeschlossen
worden. Im Satz 3.4.1 ist dieses Problem durch den U ber1
gang zu !d (du ') d gelost worden, denn diese Funktion ist bei festem u in Abhangigkeit
von d im gesamten Intervall [0; n] monoton fallend. Die
Bedingung (1.7.2) von Douady
1
d
und Oesterle kann auch in dieser Form als !d (du ') < 1 angegeben werden.
Unter Verwendung der lokalen Umkehrabbildungen fur die betrachtete Abbildung '
ergibt sich aus Satz 3.3.2 die folgende Dimensionsabschatzung:
Satz 3.4.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
U M eine oene Menge, ' : U ! M eine C 1-Abbildung, K U eine kompakte
Menge und Ue K eine oene Menge, so da cl(Ue ) U kompakt ist, j det(du ')j > 0
fur alle u 2 cl(Ue ) ist und '?1 (Ue ) Ue gilt. Falls es Zahlen d 2 (0; n] und 2 (0; 1)
gibt, so da
e '(u)) f
ur alle u 2 K
!d (du') N ('; U;
(3.4.4)
gilt, dann ist dimH (K ) d.
Beweis Da < 1 gilt, existiert eine hinreichend groe Zahl p 2 N mit
p
< 161n
n
:
(3.4.5)
76
Dieses p werde im weiteren festgehalten. Dann gilt fur alle u 2 K aufgrund von
Lemma 1.2.4 und der Beziehung (3.4.4)
!d(du 'p) p
Y
j =1
!d (d'j?1(u)') p
e 'j (u))
1Y
N ('; U;
e 'j (u))
N ('; U;
=
p
j =1
j =1
p
Y
und damit
1:
!d (du 'p)
p
e j
j =1 N ('; U; ' (u)) (3.4.6)
Qp
Die Funktion Qpj=1 N (';1 Ue;'j ()) : Ue ! (0; 1] erfullt aufgrund von Lemma 3.1.7 die
Bedingung (3.3.12) und wegen Lemma 3.1.4 die Bedingung (3.3.13) bezuglich der
Abbildung 'p. Damit konnen wir Satz 3.3.2 auf die Abbildung 'p anwenden und
erhalten fur alle hinreichend kleinen " > 0 die Beziehung
!
IH
n
min
f
!
d (d'p ) d ; ! d (d'p )g
K; Qp
; d; " 16n nn IH ('p(K ); 1; d; "):
j
e
j =1 N ('; U; ' ())
e 'j (u)) 1 f
Aus (3.4.6) folgt wegen 2 (0; 1) und N ('; U;
ur nalle u 2 K und alle
p
j = 1; : : : ; p die Ungleichung !d(d' ) > 1 und damit ! d(d'p) d !d(d'p). Da K
invariant unter der Abbildung ' ist, gilt auerdem 'p(K ) = K . Also ist die obige
Ungleichung gleichbedeutend mit
!
IH
p
K; Qp !d(d'e ) j ; d; " 16n nnIH (K; 1; d; "):
j =1 N ('; U; ' ())
Aus (3.4.6) und Lemma 3.2.4 folgt
(3.4.7)
!
p
IH K; Qp !d(d'e ) j ; d; " IH (K; 1p ; d; "):
j =1 N ('; U; ' ())
Mit Lemma 3.2.1 heit das
!
p
1 I (K; 1; d; "):
!
d (d' )
;
d;
"
IH K; Qp
j
e
p H
j =1 N ('; U; ' ())
Zusammen mit (3.4.7) ergibt sich daraus
IH (K; 1; d; ") 16n nn pIH (K; 1; d; "):
Da wegen (3.4.5) die Ungleichung 16n nn p < 1 gilt und IH (K; 1; d; ") aufgrund der
Kompaktheit von K endlich ist, folgt daraus IH (K; 1; d; ") = 0. Da dieses fur alle
hinreichend kleinen " > 0 gilt, heit das IH (K; 1; d) = 0 und damit dimH (K ) d. 77
Bemerkung 3.4.3 Die Satze 3.4.1 und 3.4.2 konnen nicht auf dieselbe Abbildung
angewendet werden, da sich die Bedingungen (3.4.1) und (3.4.4) gegenseitig ausschlieen: Falls (3.4.1) mit einem d 2 (0; n] erfullt ist, dann mu !n (du ') < N ('; K; '(u))
fur alle u 2 K gelten, wogegen aus (3.4.4) !n (du ') > N ('; K; '(u)) fur alle u 2 K
folgt. Damit erganzen sich die Anwendungsbereiche dieser beiden Satze und uberschneiden sich nicht. Fur injektive Abbildungen ist Satz 3.4.1 im volumendissipativen
Fall und Satz 3.4.2 im volumenexpansiven Fall anwendbar.
3.5 Anwendungsbeispiele
3.5.1 Stuckweise lineare Abbildungen in Rn
Analog zum Satz von Douady und Oesterle gibt es fur Satz 3.4.1 keine nichttrivialen
eindimensionalen Beispiele, da im Eindimensionalen nur ein Singularwert existiert
und damit die Bedingung (3.4.1) die Form 1(du') N ('; K; '(u)) hat, sie ist also
unabhangig von d. Damit ist fur jede invariante Menge einer Abbildung im Eindimensionalen, fur die die Bedingung (3.4.1) erfullt ist, die Hausdor-Dimension gleich Null.
Deshalb betrachten wir hier als einfachstes Beispiel eine stuckweise lineare Abbildung
in R2, und zwar eine modizierte Backerabbildung. Es sei ' auf dem Einheitsquadrat
[0; 1] [0; 1] durch
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
'(x; y) = >
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
(6x; y)
fur 0 x < 16 ;
(6x ? 1; y + 21 ) fur 61 x < 31 ;
(6x ? 2; y)
fur 31 x < 21 ;
(6x ? 3; y + 21 ) fur 21 x < 32 ;
(6x ? 4; y)
fur 32 x < 65 ;
(6x ? 5; y + 21 ) fur 65 x 1
deniert, wobei 2 T(0; 21 ) ein Parameter ist. Die maximale invariante Menge dieser
Abbildung ist K = p2N0 'p([0; 1] [0; 1]). Dabei haben alle Punkte aus K jeweils
drei Urbilder in K , es gilt also N ('; K; u) = 3 fur alle u 2 K . Die Menge K ist
das Kreuzprodukt aus dem Einheitsintervall mit einer gleichmaigen Cantor-Menge
(siehe [21]), wie in Abb. 3.2 dargestellt ist. Deshalb gilt fur ihre Hausdor-Dimension
nach [21]
dimH (K ) = 1 + ?lnln2 :
78
1
0
1
Abbildung 3.2: Struktur der invarianten Menge K fur = 13
In R2 ist die Abbildung ' nicht stetig. Wir konnen sie aber auf dem Torus T betrachten, der durch die A quivalenzrelation
(x1; y1) (x2; y2) , x2 = x1 + b; y2 = y1 + a ? 2b (a; b 2 Z)
deniert ist und mit der achen Metrik
p
(u ? x1)2 + (v ? x2)2
%((x1; y1); (x2; y2)) = (u;v)min
(x ;y )
2 2
versehen ist. Auf diesem Torus ist ' auf Ke = (K ) stetig dierenzierbar, wobei
: R2 ! T die kanonische Projektion bezeichne. Da dimH (K ) = dimH (Ke ) gilt,
konnen wir im weiteren auch die Menge Ke betrachten.
Auf dem Torus T kann ' auf eine oene Umgebung U von Ke als C 1-Abbildung
fortgesetzt werden. Diese Fortsetzung sei mit 'e bezeichnet. Die Singularwerte der
Tangentialabbildung du 'e sind 6 und , unabhangig vom Punkt u 2 Ke . Die Bedingung
(3.4.1) kann damit fur d 2 (0; 1] nicht erfullt werden, fur d 2 (1; 2] hat sie aufgrund
e u) = 3 f
von N (';
e K;
ur alle u 2 Ke die Form
p
(6d?1 ) d1 < 3:
(3.5.1)
Das ist gleichbedeutend mit d > lnln6p3??lnln fur beliebiges 2 (0; 21 ). Satz 3.4.1 kann
damit auf diese Abbildung angewendet werden und liefert
1
ln6
?
ln
fur beliebiges 2 0; 2 :
dimH (Ke ) = dimH (K ) p
ln 3 ? ln Dieser Wert ist im Vergleich zur exakten Dimension dimH (K ) = 1 + ?lnln2 nur eine
obere Schranke. Satz 3.4.2 ist hier nicht anwendbar, da die Bedingung (3.4.4) nicht
erfullt werden kann, wenn die Bedingung (3.4.1) fur ein d 2 (0; n] gilt (siehe Bemerkung 3.4.3).
79
Fur diese Beispielabbildung kann fur geeignete Parameterwerte auch der Satz 1.7.1
angewendet werden. Die Bedingung (1.7.2) kann fur d 2 (0; 1] nicht erfullt werden, fur
d 2 (1; 2] hat sie die Form 6d?1 < 1. Also ist Satz 1.7.1 fur Parameterwerte 2 (0; 61 )
anwendbar und liefert im Grenzubergang die Abschatzung dimH (K ) 1 + ?lnln6 .
Damit ist Satz 3.4.1 in diesem Beispiel eine wesentliche Verbesserung der Dimensionsabschatzung des Satzes 1.7.1, denn er ist auch fur Parameterwerte 2 [ 16 ; 21 )
anwendbar und liefert auerdem im Fall 2 (0; 61 ) eine kleinere obere Schranke. Beispielsweise erhalten wir fur = 81 mit Satz 1.7.1 die obere Abschatzung dimH (K ) ln6 1; 862, wogegen Satz 3.4.1 den Wert dim (K ) lnp6+ln8 1; 473 liefert,
1 + ln8
H
ln 3+ln 8
ln2 = 1; 3 liegt.
der wesentlich naher am exakten Wert dimH (K ) = 1 + ln8
3.5.2 Stuckweise lineare Abbildungen auf dem Zylinder
Als Beispiel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die nicht trivialerweise der Rn ist,
betrachten wir den achen Zylinder
Z = R R=Z= fu = (x; y) j x 2 R; y 2 [0; 1)g;
versehen mit dem konstanten Metriktensor, der die Metrik
q
%((x1; y1); (x2; y2)) = (x1 ? x2)2 + min
f(v ? x2)2g
vy2
liefert. Wir wollen hier eine spezielle stuckweise lineare Abbildung ' betrachten, die
auf den Mengen A1 := f(x; y) 2 M j x 2 [0; 31 ]g und A2 := f(x; y) 2 M j x 2 [ 32 ; 1]g
durch
8
>
>
<
'(x; y) = >
>
:
(3x; y)
fur (x; y) 2 A1;
(3x ? 2; y) fur (x; y) 2 A2:
deniert ist. Diese Abbildung kann stetig dierenzierbar auf eine oene Umgebung
U von A1 [ A2 fortgesetzt werden. Diese Fortsetzung sei auch mit ' bezeichnet. Wie
auch
die ursprungliche Abbildung ist diese Fortsetzung nicht injektiv. Es sei K :=
T1
?j
j =0 ' (A1 [ A2) die maximale invariante Menge, K1 := K \ A1 und K2 := K \ A2.
Dann hat jeder Punkt aus K in jeder der beiden Mengen K1; K2 genau ein Urbild, es
gilt also N ('; K; '()) = 2. Die Singularwerte der Tangentialabbildung sind konstant
1 = 3 und 2 = 1.
Die Bedingung (3.4.1) aus Satz 3.4.1 lat sich hier nicht erfullen. Die Bedingung
(3.4.4) kann fur d 1 ebenfalls nicht erfullt werden. Fur d 2 (1; 2] hat sie die Form
3d?1 > 2
80
und ist damit aquivalent zu d > 1 + ln2
Werte liefert Satz 3.4.2 die
ln3 . Fur alle diese ln2
Abschatzung dimH (K ) d. Im Grenzubergang d ! 1 + ln3
heit das
ln 2 :
dimH (K ) 1 + ln
3
Diese Dimensionsabschatzung ist sogar scharf. Die invariante Menge K ist namlich
das Kreuzprodukt einer gleichmaigen Cantor-Menge (siehe [21]) der Hausdor- und
ln2 mit einer Kreislinie, so da dim (K ) = 1 + ln 2 gilt (siehe
Kapazitiven Dimension ln3
H
ln 3
[21]).
Im Vergleich zum verallgemeinerten Satz von Douady und Oesterle (Satz 1.7.1) sei
bemerkt, da die Abbildung ' nicht volumendissipativ ist, so da Satz 1.7.1 nicht anwendbar ist. Eine Dimensionsabschatzung wird hier also erst durch die Einbeziehung
der Vielfachheitsfunktion moglich.
3.5.3 Julia-Mengen von Polynomen in der komplexen Ebene
Eine bekannte Klasse nicht injektiver Abbildungen sind Polynome in der komplexen
Ebene. Als Beispiel betrachten wir hier quadratische Polynome ' : C ! C der Form
'(z) = z2 + c;
wobei c 2 C ein Parameter ist. Der Abschlu K der Menge der abstoenden periodischen Orbits dieser Abbildung wird als Julia-Menge bezeichnet (siehe z. B. [21, 64]).
Diese Menge ist kompakt, nichtleer und invariant unter der Abbildung '. Einige Beispiele fur Julia-Mengen der Abbildung '(z) = z2 + c fur verschiedene Parameterwerte
c sind in Abb. 3.3 dargestellt ([21]).
Fur c = 0 ist die Julia-Menge die komplexe Einheitskreislinie. Ist c 6= 0 eine betragsmaig kleine komplexe Zahl, so hat ' eine anziehende Ruhelage nahe Null. Fur
betragsmaig kleine Zahlen z konvergiert die Folge f'p(z)gp2N fur p ! 1 gegen diese
Ruhelage. Wenn z betragsmaig gro ist, divergiert dagegen die Folge fj'p(z)jgp2N
fur p ! 1 gegen 1. Die Julia-Menge ist der Rand zwischen diesen beiden Verhaltenstypen (siehe z. B. Abb. 3.3 (a),(b)). Wenn c betragsmaig gro ist, dann ist
die Julia-Menge total unzusammenhangend (siehe Abb. 3.3 (g)). Dazwischen gibt
es Parameterbereiche, in denen anziehende periodische Orbits existieren (siehe Abb.
3.3 (c)-(f)). Spezielle Formen der Julia-Menge treten auf, wenn eine Iterierte des
kritischen Punktes z = 0 periodisch ist (siehe Abb. 3.3 (h)). Aufgrund dieser verschiedenen Moglichkeiten fur das Aussehen der Julia-Menge ist es interessant, ihre
Hausdor- Dimension zu untersuchen.
Betrachten wir C als zweidimensionale C 1-Mannigfaltigkeit mit einem konstanten
Metriktensor, der die Metrik
p
%(z1; z2) = jz1 ? z2j = (Re(z1) ? Re(z2))2 + (Im(z1) ? Im(z2))2
81
Abbildung 3.3: Julia-Mengen des quadratischen Polynoms '(z) = z2 + c fur
(a)c = ?0; 1 + 0; 1i (b)c = ?0; 5 + 0; 5i (c)c = ?1 + 0; 5i (d)c = ?0; 2 + 0; 75i
(e)c = 0; 25 + 0; 52i (f)c = ?0; 5 + 0; 55i (g)c = 0; 66i (h)c = ?i
82
erzeugt, wobei Re und Im den Realteil bzw. Imaginarteil der jeweiligen komplexen
Zahl bezeichnen. Dann berechnen sich die Singularwerte der Tangentialabbildung von
' im Punkt z als Singularwerte der Jacobi-Matrix der Abbildung
0
B
B
@
1
0
C
A
B
B
@
Re(z) C
Im(z)
7!
1
Re(z)2 ? Im(z)2 + Re(c) C
2Re(z)Im(z) + Im(c)
C
A
;
d. h. als Eigenwerte der Matrix
p
JzT Jz =
v0
u
u
uB
uB
u@
t
0
B
=B
@
10
1
CB
A@
C
A
2Re(z) 2Im(z) C B 2Re(z) ?2Im(z) C
?2Im(z) 2Re(z)
1
p
2 Re(z)2 + Im(z)2
0
2Im(z) 2Re(z)
0
p
2 Re(z)2 + Im(z)2
C
C
A
:
Eine direkte Rechnung ergibt
p
1(dz ') = 2(dz ') = 2 Re(z)2 + Im(z)2 = 2jzj:
Deshalb ist fur d 2 (0; 2] und beliebiges z 2 C
!d (dz ') = !d (dz ') = (2jzj)d :
Fur die Vielfachheitsfunktion der Abbildung ' bezuglich K und jeder beliebig gewahlten oenen Umgebung Ue von K gilt hier
e '(z )) = 2 f
N ('; K; '(z)) = N ('; U;
ur alle z 2 K;
falls der Nullpunkt nicht in der Julia-Menge K enthalten ist.
Um die Hausdor-Dimension der Julia-Menge mit Hilfe der Satze aus Abschnitt 3.4
abschatzen zu konnen, mussen fur die Punkte der Julia-Menge obere und untere
Abschatzungen des Betrages gefunden werden, d. h., die Julia-Menge mu in einen
Kreisring um den Koordinatenursprung eingeschlossen werden.
Betrachten wir zunachst kleine Werte fur jcj, namlich jcj < 41 . In diesem Fall kann
man den Radius R1 eines Kreises K1 um den Koordinatenursprung angeben, fur den
'(K1) K1 gilt: Der grotmogliche Kreis mit dieser Eigenschaft mu die Gleichung
q
1
2
R1 + jcj = R1 erfullen, die grote Losung dieser Gleichung ist R1 = 2 + 14 ? jcj.
Da R1 < 1 gilt, ist f'p(K1)gp2N eine Folge von Kreisen, deren Radien Rp1 gegen Null
konvergieren. Aufgrund von '(K1) K1 gilt 'p+1(K1) 'p(K1 ) fur alle p 2 N,
83
T
also besteht p2N 'p(K1) aus genau einem Punkt. Alle Punkte aus K1 konvergieren
unter der Abbildung ' gegen diesen Punkt, der eine anziehende Ruhelage ist. Damit
konnen Punkte aus K1 nicht in der Julia-Menge liegen. Es gilt somit
r
jzj > 21 + 14 ? jcj fur alle z 2 K:
(3.5.2)
Analog kann man den Radius R2 eines Kreises K2 um den Koordinatenursprung
berechnen, fur den '(K2) K2 gilt: Der kleinste solche Radius mu die Gleichung
R22 = R2 + jcj erfullen, diese Gleichung
q hat im Bereich der nichtnegativen reellen
Zahlen genau eine Losung R2 = 21 + 14 + jcj. Fur Punkte z 2 C mit jzj > R2 ist
j'(z)j > jzj, damit ist die Folge fj'p(z)jgp2N streng monoton wachsend. Ein Punkt
z 2 C mit jzj > R2 kann also nicht beliebig nah an einem periodischen Orbit liegen
und damit nicht zum Abschlu der Menge der abstoenden periodischen Orbits, also
zur Julia-Menge, gehoren. Damit gilt
r
jzj 21 + 14 + jcj fur alle z 2 K:
(3.5.3)
Mit den Abschatzungen (3.5.2) und (3.5.3) kann nun uberpruft werden, ob die Voraussetzungen der Satze aus Abschnitt 3.4 erfullt werden konnen. Da die Vielfachheitsfunktion konstant ist, kann auf die Zahl in den Bedingungen (3.4.1) und (3.4.4)
p
verzichtet werden. Die Bedingung (3.4.1) aus Satz 3.4.1 hat damit die Form 2jzj < 2
fur alle z 2 K . Diese Eigenschaft kann mit der Abschatzung (3.5.3) nicht nachgewiesen werden. Um Satz 3.4.2 anwenden zu konnen, sei bemerkt, da eine Umgebung Ue
mit den geforderten Eigenschaften gefunden werden kann. Die Bedingung (3.4.4) hat
hier die Form (2jzj)d > 2 fur alle z 2 K . Aufgrund von (3.5.2) ist diese Bedingung
erfullt, wenn
d
p
1 + 1 ? 4jcj > 2
p
gilt. Fur jcj < 22?1 ist diese Ungleichung fur Zahlen d < 2 wahr, namlich fur alle d >
pln2 . Fur alle solchen Zahlen d liefert Satz 3.4.2 die Abschatzung dimH (K ) ln(1+ 1?4jcj)
ln2
heit das
d. Im Grenzubergang d ! ln(1+p
1?4jcj)
p
ln 2
p
dimH (K ) fur jcj < 22? 1 :
ln(1 + 1 ? 4jcj)
Nun betrachten wir betragsmaig groe Parameterwerte, namlich jcj > 2. In diesem
Fall ist im Beweis von Satz 14.5 aus [21] gezeigt worden, da
q
p
q
p
jcj ? j2cj jzj jcj + j2cj fur alle z 2 K
84
(3.5.4)
p
gilt. Die Bedingung (3.4.1) aus Satz 3.4.1 hat wieder die Form 2jzj < 2 fur alle
z 2 K , das ist aufgrund von (3.5.4) fur Parameterwerte jcj > 2 nicht erfullt. Die
Bedingung (3.4.4) aus Satz 3.4.2 in der Form (2jzj)d > 2 ist wegen (3.5.4) wahr, falls
q
p
2 jcj ? j2cj
d
>2
p
(3.5.5)
gilt. Diese Ungleichung kann im Falle jcj > 32 + 2 fur Zahlen d < 2 erfullt werden, namlich fur alle d > q ln 2p . Fur alle solchen Zahlen d erhalt man mit
ln 2 jcj? j2cj
Satz 3.4.2 dimH (K ) d, also gilt
p
dimH (K ) q ln 2 p fur jcj > 23 + 2:
ln 2 jcj ? j2cj
Das ist dieselbe obere Schranke fur die Hausdor-Dimension
der Julia-Menge, die fur
p
1
einen etwas groeren Parameterbereich jcj > 4 (5 + 2 6) auch in [21] erreicht wurde.
3.5.4 Iterierte Funktionensysteme
Iterierte Funktionensysteme wurden zum ersten Mal in [5] als allgemeine Konstruktionsmoglichkeit fur Fraktale beschrieben. Wichtige Aspekte solcher Funktionensysteme werden in [21, 38] dargestellt. So ist die im vorangegangenen Abschnitt hergeleitete
obere Schranke fur die Hausdor-Dimension von Julia-Mengen in [21] unter Betrachtung eines iterierten Funktionensystems abgeleitet worden. Ein iteriertes Funktionensystem auf einem metrischen Raum (X; %) ist eine endliche Familie von Abbildungen
S = fSi : X ! X gki=1. Eine Menge A X heit S -invariant, wenn
A=
k
[
i=1
Si(A)
gilt. Falls das iterierte Funktionensystem nur aus einer einzigen Abbildung S1 besteht,
ist S -invariant gleichbedeutend mit S1-invariant, in diesem Fall stimmt die Invarianz
bezuglich eines iterierten Funktionensystems also mit dem in Abschnitt 1.6 eingefuhrten Begri uberein. Setzt man voraus, da X vollstandig ist und die Abbildungen Si
Kontraktionen sind, dann existiert nach [38] eine eindeutig bestimmte kompakte invariante Menge K des iterierten Funktionensystems S = fSigki=1, und diese ist der
Abschlu der Menge der Ruhelagen si1 ;:::;ip endlicher Kompositionen Si1 : : : Sip von
Abbildungen aus S . Wir wollen im weiteren aber nicht notwendigerweise voraussetzen, da die Abbildungen Si Kontraktionen sind.
Wir betrachten nun iterierte Funktionensysteme S = fSi : M ! M gki=1 auf ndimensionalen Riemannschen C 3-Mannigfaltigkeiten (M; g). Um fur invariante Mengen solcher iterierter Funktionensysteme Dimensionsabschatzungen aus Abschnitt 3.4
85
anwenden zu konnen, mu das Funktionensystem auf eine einzige Abbildung zuruckgefuhrt werden, die auerdem noch stetig dierenzierbar ist. Das ist immer dann
moglich, wenn fur eine kompakte invariante Menge K eines iterierten Funktionensystems S = fSigki=1 die folgende Bedingung erfullt ist:
(IF) Die Mengen Si (K ) (i = 1; : : : ; k) sind paarweise disjunkt, und die Abbildungen
Si sind jeweils auf einer oenen Umgebung Ui von K ein C 1-Dieomorphismus.
Da unter der Bedingung (IF) die Mengen Si(K ) kompakte disjunkte Mengen sind,
konnen die Umgebungen Ui so klein gew
ahlt werden, da auch die Mengen Si(Ui)
Sk
paarweise disjunkt sind. Die Menge U = i=1 Si(Ui) ist damit eine oene Umgebung
von K , und auf dieser Umgebung kann eine Abbildung ' : U ! M durch
'(u) = Si?(u1)(u)
(3.5.6)
deniert werden, wobei i : U ! f1; : : : ; kg zu jedem Punkt u 2 U den eindeutig
bestimmten Index i mit u 2 Si (Ui) liefert. Diese Abbildung ' ist damit eine C 1Abbildung, deniert auf einer oenen Umgebung von K , und K ist invariant unter
'. Fur alle Punkte u 2 K ist N ('; K; '(u)) = k, und fur jede oene Menge Ue mit
e '(u)) = k . Also sind die in
K Ue U , fur die cl(Ue ) kompakt ist, gilt N ('; U;
den Voraussetzungen der Satze in Abschnitt 3.4 benutzen Vielfachheitsfunktionen
jeweils konstant. Somit ergeben sich fur iterierte Funktionensysteme, analog zu Abschnitt 3.5.3, globale Bedingungen an die Singularwerte der Abbildung '. Fur Punkte
u 2 U gilt nach der Denition der inversen Singularwertfunktion in Abschnitt 1.2
!d (du') = ! (d 1 S ) ; !d(du ') = ! (d 1 S ) :
d '(u) i(u)
d '(u) i(u)
Die Bedingungen der Satze aus Abschnitt 3.4 an die Abbildung ' konnen somit zu
Bedingungen an die Abbildungen aus S umformuliert werden. Damit ergeben sich als
Folgerungen aus den Satzen aus Abschnitt 3.4 fur iterierte Funktionensysteme mit
der Eigenschaft (IF) die folgenden Dimensionsabschatzungen fur deren invariante
Mengen:
Folgerung 3.5.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, S = fSi : M ! M gki=1 ein iteriertes Funktionensystem und K M eine
kompakte S -invariante Menge, so da die Eigenschaft (IF) gilt. Falls es eine Zahl
d 2 (0; n] gibt, so da
1
n
!d(d S ) > k1
fur alle u 2 K und alle i 2 f1; : : : ; kg erfullt ist, dann gilt dimH (K ) d.
1
u i d
86
(3.5.7)
Beweis Wir betrachten die oben eingefuhrte Abbildung '. Diese ist auf der oenen
Menge U M deniert, und K ist eine kompakte Teilmenge von U . Da K als S -
invariant vorausgesetzt wurde, ist K auch '-invariant. Aufgrund der Eigenschaft (IF)
ist j det(du ')j > 0 fur alle u 2 U . Auerdem gilt
!d (du') = ! (d 1 S )
d '(u) i(u)
fur alle u 2 U . Wegen (3.5.7) gilt damit fur alle u 2 K
1
1
!d (du') 1d =
1 < kn:
!d(d'(u) Si(u)) d
Da ' eine C 1-Abbildung ist, ist !d (d') auf K stetig. Aufgrund der Kompaktheit von
K gibt es also eine Zahl 2 (0; 1) mit
!d (du') d1 k n1 :
Damit ist die Bedingung (3.4.1) fur die Abbildung ' erfullt, und Satz 3.4.1 liefert
dimH (K ) d.
Folgerung 3.5.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, S = fSi : M ! M gki=1 ein iteriertes Funktionensystem und K M eine
kompakte S -invariante Menge, so da die Eigenschaft (IF) gilt. Falls es eine Zahl
d 2 (0; n] gibt, so da
!d (duSi) < k1
(3.5.8)
fur alle u 2 K und alle i 2 f1; : : : ; kg erfullt ist, so gilt dimH (K ) d.
Beweis Unter den Bedingungen (IF) und (3.5.8) konnen die Abbildungen SijK auch
so zu C 1-Dieomorphismen Sei auf eine oene Umgebung Uei von K fortgesetzt werden,
da die Mengen Sei(Uei ) paarweisedisjunkt sind
Umgebung Ue von
und es eine oene
Sk
Tk
Sk
K gibt, so da cl(Ue ) i=1 Uei \ i=1 Sei(Uei ) kompakt ist und i=1 Sei(Ue ) Ue gilt.
S
Wir betrachten nun die Abbildung 'e : ki=1 Sei(Uei) ! M , deniert durch
'e(u) = Sej?(u1)(u);
S
S
wobei j : ki=1 Sei(Ue ) ! f1; : : : ; kg zu jedem Punkt u 2 ki=1 Sei(Uei) den eindeutig bestimmten Index j mit u 2 Sej (Uej ) liefert. Diese
Abbildung 'e ist damit eine
Sk
1
C -Abbildung, deniert auf der oenen
Umgebung i=1 Sei(Uei ) von K , und K ist
Sk
invariant unter 'e. Weiterhin ist Ue i=1 Sei(Uei) eine oene Umgebung von K , die
87
die Bedingungen des Satzes 3.4.2 fur die Abbildung 'e erfullt. Fur alle u 2 K gilt
aufgrund von (3.5.8)
1
1
> k:
!d(du 'e) =
=
!d(d'e(u)Sei(u)) !d (d'e(u)Si(u))
Da 'e stetig auf der kompakten Menge K ist, gibt es eine Zahl 2 (0; 1) mit
!d (du'e) k
fur alle u 2 K . Damit ist die Bedingung (3.4.4) fur die Abbildung 'e erfullt, und
Satz 3.4.2 liefert dimH (K ) d.
Viele bekannte selbstahnliche Mengen lassen sich durch ein iteriertes Funktionensystem beschreiben, bei dem die Abbildungen Si kontrahierende A hnlichkeitsabbildungen sind (siehe z. B. [21]). Als einfaches Beispiel wollen wir hier die StandardCantor-Menge C betrachten, die ausgehend vom Einheitsintervall [0; 1] R dadurch
entsteht, da in jedem Schritt aus jedem Intervall das oene mittlere Drittel entfernt
wird, d. h., C entsteht als Durchschnitt von Mengen K i (i 2 N0 ) mit K 0 = [0; 1],
K 1 = [0; 31 ] [ [ 23 ; 1], K 2 = [0; 91 ] [ [ 29 ; 31 ] [ [ 23 ; 79 ] [ [ 98 ; 1] usw. und stimmt damit mit der
invarianten Menge K der in Beispiel 2.1.1 betracheten Zeltabbildung uberein.
Die Standard-Cantor-Menge C kann als invariante Menge des iterierten Funktionensystems S = fS1; S2g beschrieben werden, wobei Si : R ! R (i = 1; 2) durch
S1(x) = 31 x und S2(x) = 31 x + 32
(3.5.9)
deniert sind. Die Eigenschaft (IF) ist hier oensichtlich erfullt. Betrachtet man in R
die Euklidische Metrik, dann ist der einzige Singularwert der Tangentialabbildungen
1 = 31 fur alle Punkte aus R. Die Bedingung (3.5.7) hat damit die Form 31 > 12 ,
das ist oensichtlich nicht erfullt. Also kann Folgerung 3.5.1 hier nicht angewendet
werden. Bedingung (3.5.8) lautet fur die Standard-Cantor-Menge
d
1
3
< 21 ;
dieses ist fur alle Zahlen d >
rung 3.5.2 also
2:
dimH (C ) ln
ln 3
(3.5.10)
ln2
ln3
erfullt. Im Grenzubergang d !
Bekanntlich gilt fur die Standard-Cantor-Menge dimH (C ) =
mit Folgerung 3.5.2 hier eine scharfe Abschatzung.
88
ln 2 ,
ln 3
ln2
ln3
liefert Folge-
also erhalten wir
3.5.5 Hufeisenabbildungen
Durch Streckung, Kontraktion und Faltung konnen bei Flussen invariante Mengen mit
einer sehr komplizierten geometrischen Struktur entstehen. Da Faltungen bei Flussen
injektiv und meist auch dierenzierbar sind, konnen sie nur in Form von hufeisenartigen Poincare-Abbildungen auftreten. Bei dreidimensionalen dynamischen Systemen
sind solche Hufeisenabbildungen schon nachgewiesen worden. Zum Beispiel untersuchte B. Deng in [17] das Faltungsverhalten dreidimensionaler Systeme und zeigte dabei,
da das Rossler-System bei bestimmten Parameterwerten eine Hufeisenabbildung generiert. Auch aus diesem Grund ist es sinnvoll, die Dimension invarianter Mengen von
Hufeisen-Abbildungen abzuschatzen. Die folgende Denition lehnt sich an [11] an.
Es bezeichne I R das Einheitsintervall [0; 1] und I m = I : : : I Rm den
m-dimensionalen Einheitswurfel fur m 2 N. Eine Hufeisenabbildung in Rm+1 ist eine
injektive Abbildung f : I m+1 ! Rm+1 mit der folgenden Eigenschaft:
I m , die die Vereinigung
(H1) Es existiert eine Menge I I mit f ?1(I m+1) = IS
endlich vieler nichtleerer disjunkter Intervalle I = ki=1 Ii (k 2) ist, so da f
in den Punkten (x; y) 2 I I m in der Form
f (x; y) = ('(x); (x) + A(x)y)
mit einem Parameter 2 (0; 1) und C 1-Abbildungen ' : I ! I , : I ! I m
und A : I ! Mm;m(f?1; 1g) dargestellt werden kann. Dabei ist A(x) fur jedes
x 2 I eine m m-Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale nur die Zahlen 1 und
?1 enthalt.
Die x-Komponente stellt dabei die eindimensionale Streckungsrichtung dar, und in
der y-Komponente werden alle anderen m Raumrichtungen zusammengefat, in denen
eine Stauchung erfolgt. Da die Abbildung A stetig sein soll, mu A auf jedem Intervall
Ii (i = 1; : : : ; k) konstant sein.
Als Beispiel betrachten wir die in Abb. 3.4 dargestellte Abbildung in R2. Dabei wird
das Einheitsquadrat vertikal mit dem Faktor 3 gestreckt, horizontal mit dem Faktor 25
gestaucht und anschlieend zu einem Hufeisen gebogen. Da in (H1) die x-Komponente
die Streckungsrichtung beschreibt, ist im Beispiel die x-Koordinate vertikal und demzufolge die y-Koordinate horizontal, also genau entgegengesetzt zur ublichen Bezeichnung. Die Menge I besteht hier aus den zwei Intervallen I1 = [0; 31 ] und I2 = [ 56 ; 1].
In den Punkten (x; y) 2 I I lat sich die Abbildung als
8
>
>
<
f (x; y) = >
(3x; 52 y)
fur (x; y) 2 I1 I;
( 2 ? 3x; 1 ? 52 y) fur (x; y) 2 I2 I
>
: 7
89
3
1
?!
0
1
?!
2
5
0
1?? ??
? ?
1
2
0
?? ??
???? ?
???
??
1
Abbildung 3.4: Beispiel einer Hufeisenabbildung
darstellen. Damit gilt hier = 52 , und die Abbildungen ', und A haben die Form
8
>
>
<
'(x) = >
3x
2
? 3x fur x 2 I2;
1
fur x 2 I1;
>
:7
8
>
>
<
A(x) = >
>
:
fur x 2 I1;
8
>
>
<
(x) = >
>
:
0 fur x 2 I1;
1 fur x 2 I2;
und
?1 fur x 2 I2:
Fur die Abbildung ' gilt hier '(I1) = I , '(I2) I , und dx' hat in I1 und I2 jeweils
konstantes Vorzeichen. Die Abbildung ist auf I1 und I2 jeweils konstant. Diese
Eigenschaften wollen wir allgemein fur die hier betrachteten Hufeisenabbildungen
voraussetzen:
(H2) Es gilt '(Ii) = I fur i = 1; : : : ; k ? 1, '(Ik ) I und dx' hat in jedem Intervall
Ii (i = 1; : : : ; k) konstantes Vorzeichen.
In dieser Formulierung ist enthalten, da dx' 6= 0 fur alle x 2 I gilt. Daraus ergibt
sich, da jeder Punkt aus I unter der Abbildung ' genau ein Urbild in jeder der
Mengen I1; : : : ; Ik?1 und hochstens ein Urbild in Ik hat, wobei mindestens ein Punkt
aus I ein Urbild in Ik hat. Fur die Vielfachheitsfunktion gilt damit N ('; I ; x) 2
fk ? 1; kg fur alle x 2 I .
90
(H3) Die Abbildung ist auf den Intervallen I1; : : : ; Ik jeweils konstant.
Unter dieser Voraussetzung existieren Funktionen i : I m ! I m (i = 1; : : : ; k) mit
i (y ) = (x) + A(x)y fur beliebiges x 2 Ii und jedes y 2 I m . Jede Abbildung i
ist linear und invertierbar und kann damit zu einem C 1-Dieomorphismus auf eine
oene Umgebung von I m fortgesetzt werden. Da f injektiv ist, gilt i(I mS)\ j (I m) = ;
fur 1 i < j k. Damit existiert eine Art Umkehrabbildung e : ki=1 i(I m) !
I m mit j i(I m) = i?1. Zum Beispiel ergibt sich fur die in Abb. 3.4 dargestellte
Hufeisenabbildung e : [0; 52 ] [ [ 53 ; 1] ! [0; 1] in der Form
8
>
>
<5
(y) = >
e
2y
>
:5
2
fur y 2 [0; 52 ];
? 52 y fur y 2 [ 35 ; 1]:
T
Die maximale invariante Menge K := 1p=?1 f p(I I m) der Hufeisenabbildung ist
in einer Menge Ke enthalten, die sich als Kreuzprodukt
K=
e
1
\
p=?1
'p(I ) 1
\
p=?1
ep
(I m) =
0
\
p=?1
'p(I ) 0
\
p=?1
ep
(I m)
schreiben lat. Da Ke K gilt, ist eine obere Schranke fur die Hausdor-Dimension
von
Ke auch eine obere Absch
atzung fur die Dimension von K . Es bezeichne Ke' :=
T0
T
0
p e
ep m
e
p=?1 ' (I ) und K e := p=?1 (I ). Dann ist K' eine '-invariante Menge,
und Ke e ist e-invariant. Deshalb konnen die Dimensionen dieser Mengen separat abgeschatzt werden.
Betrachten wir zuerst die Abbildung '. Da diese Abbildung auf einer Teilmenge
der eindimensionalen Mannigfaltigkeit R wirkt, hat ihre Tangentialabbildung genau
einen Singularwert 1(dx') = jdx'j. Wie schon im Abschnitt 3.5.1 erwahnt wurde,
kann Satz 3.4.1 im Eindimensionalen nur im trivialen Fall einer nulldimensionalen
invarianten Menge angewendet werden. Deshalb betrachten wir hier Satz 3.4.2. Die
Abbildung ' ist Seine C 1-Abbildung auf der Vereinigung disjunkter abgeschlossener
Intervalle I = ki=1 Ii mit dx ' 6= 0 fur alle x 2 I , und jeder Punkt aus I hat
hochstens k Urbilder. Damit kann ' in geeigneter Weise auf eine oene Menge U I fortgesetzt werden, so da dx' 6= 0 fur alle x 2 U gilt und es eine oene Menge Ue I e x) k f
gibt, so da cl(Ue ) U kompakt ist und '?1(Ue ) Ue und N ('; U;
ur alle
e
x 2 '(U ) gilt. Bedingung (3.4.4) hat damit die Form
jdx'jd > k
fur alle x 2 Ke' , das ist fur alle d >
ln k
ln inf x2Ke ' jdx 'j
91
erfullt. Satz 3.4.2 liefert im
Grenzubergang d ! ln infx2lnKek' jdx 'j also
dimH (Ke') ln inf ln k jd 'j :
x2Ke ' x
(3.5.11)
Dabei kann inf x2Ke' jdx'j durch inf x2I jdx 'j ersetzt werden, falls Ke' nicht explizit
bekannt ist, dadurch wird die obere Schranke nur vergrobert. Voraussetzung fur diese
Abschatzung ist inf x2Ke' jdx'j > k bzw. inf x2I jdx'j > k.
Bemerkung 3.5.1 In Spezialfallen kann diese Abschatzung fur die Hausdor-Die ) nicht glomension noch verbessert werden, wenn die Vielfachheitsfunktion N ('; U;
bal durch k abgeschatzt wird, sondern genau berucksichtigt wird, welche Punkte der
Menge Ke' nur (k ? 1) Urbilder in Ue haben. Das hangt aber von der jeweiligen Konstruktion der Menge Ue ab.
Nun betrachten wir die Menge Ke e. Diese Menge besteht aus k "linearen Kopien\ von
sich selbst mit Kontraktionsfaktor . Damit gilt nach [21] fur ihre Dimensionswerte
dimH (Ke e) = dimC (Ke e) = ln k :
(3.5.12)
? ln Fur die Hausdor-Dimension liefert Satz 3.4.2 denselben Wert als obere Schranke.
Fur Kreuzprodukte beliebiger Mengen A R, B Rm gilt nach [21] die Beziehung
dimH (A B ) dimH (A) + dimC (B ):
(3.5.13)
Fur die invariante Menge K der Hufeisenabbildung als Teilmenge von Ke = Ke' Ke e
ergibt sich damit aus (3.5.11) und (3.5.12)
dimH (K ) ?lnlnk + ln inf ln k jd 'j :
x2Ke ' x
Diese Abschatzung kann auf die Beispielabbildung aus Abb. 3.4 angewendet werden.
Hier ist k = 2, = 52 und inf x2Ke' jdx'j = 3. Damit ergibt sich fur die invariante
Menge der Beispielabbildung die obere Schranke
2 1; 387:
dimH (K ) ln 5ln?2ln 2 + ln
ln 3
Dieser Wert ist hier der exakte Hausdor-Dimensionswert fur die Menge Ke , aber nur
eine obere Schranke fur die Hausdor-Dimension der invarianten Menge K , die hier
eine echte Teilmenge von Ke ist.
92
3.5.6 Belykh-Abbildungen
In [8] werden Abbildungen g : R2 ! R2 der Form
g('; y) = (' + y ? p(F (') ? ); y(1 ? ) ? s(F (') ? ));
'; y 2 R;
(3.5.14)
betrachtet, die aus dem Dierentialgleichungssystem
'_ = y ? (F (') ? )
(3.5.15)
y_ = ?y ? s(F (') ? )
durch Diskretisierung nach dem Eulerverfahren entstehen. Im Dierentialgleichungssystem (3.5.15), das ein System der Phasensynchronisation darstellt, sind p; s; 2 R0+
Parameter und F : R ! R ist eine 2-periodische Funktion. Die Zahl > 0 in (3.5.14)
ist die Diskretisierungsschrittweite. Da ' eine Winkelvariable ist, kann die Abbildung
(3.5.14) auf einem durch Faktorisierung des R2 entstandenen Zylinder betrachtet werden. Durch Substitutionen
:= p; := 2s; := 1 ? ; y := y
(3.5.16)
lat sich die Abbildung (3.5.14) in die Form
g('; y) = ((' + y ? (F (') ? )) mod 2; y ? (F (') ? ))
(3.5.17)
bringen. In [8] wurde fur F speziell die Sagezahnfunktion
F (') = 1 ? ' (' mod 2); ' 2 R;
betrachtet (siehe Abb. 3.5).
F (')
1
?2
?
0
?1
Abbildung 3.5: Sagezahnfunktion
93
'
2
Dann lat sich die Abbildung (3.5.17) durch die weiteren Substitutionen
' := ' ? (12? ) ; y := 2y ; c := 1 ?2 ; := + 1; := zur Abbildung
g('; y) = (' + y; ' + y) ((' + c) mod 1)
(3.5.18)
(3.5.19)
vereinfachen. Es seien a und (?b) die Nullstellen der Gleichung
x2 + ( ? )x ? = 0:
(3.5.20)
Beschranken wir uns im weiteren auf den Fall s > 0. Dann ergibt sich aus den Substitutionsvorschriften (3.5.16) und (3.5.18) die Beziehung > 0. Somit sind die Nullstellen der Gleichung (3.5.20) reell und haben verschiedenes Vorzeichen, also kann
a; b > 0 gewahlt werden. Durch die erneuten Substitutionen
(3.5.21)
u := ' ? ay ; v := ' + yb ; := ? a; := + b
erhalt man die Abbildung (3.5.19) in der kanonischen Form
au + bv + c mod 1 :
g(u; v) = (u; v)
(3.5.22)
a+b
Falls zusatzlich ? 6= 0 vorausgesetzt wird, sind und ungleich Null. Die
Abbildung (3.5.22) wird im weiteren auch als Belykh-Abbildung bezeichnet. Eine etwas
modizierte Form dieser Abbildung wurde auch in [65] untersucht. Es sei bemerkt,
da die maximale invariante Menge K dieser Abbildung, an die sich die Bewegungen
des Systems mit wachsender Zeit immer mehr annahern, im Fall < 1 und > 1 ein
quasihyperbolischer Attraktor im Sinne von [3] ist.
Fur die Abbildung (3.5.22) wurden in der Literatur bisher nur im volumendissipativen
Fall obere Schranken fur die Hausdor-Dimension der Grenzmenge K angegeben. In
[8] wurde der Fall < 1 mit < 21 , 2 betrachtet und dafur die obere Schranke
dimH (K ) 1 ? lnln2 ermittelt.
?
Wir betrachten nun die Faktorisierungsbedingung aua++bvb + c mod 1, die aus der Betrachtung von ' als Winkelvariable in (3.5.14) entstanden ist. Diese Bedingung bedeutet, da die Abbildung (3.5.22) nur auf dem Streifen
(1
?
c
)(
a
+
b
)
?
au
?c(a + b) ? au
;
v<
(u; v) 2 R b
b
d. h. auf einem Zylinder Z , zu betrachten ist (siehe Abb. 3.6).
94
v
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
(1?c)(a+b)
b
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
?c(a+b@
)
a
@
@
@
@
@
@
@
?c(a+b@
)
b
(1?c)(a+b)
a
@
@
u
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Abbildung 3.6: Denitionsgebiet der Belykh-Abbildung
Durch diese Faktorisierung wird in R2 die A quivalenzrelation
(u; v) (u0; v0) , u0 = u + k; v0 = v + k; k 2 Z
(3.5.23)
induziert. Durch diese Faktorisierung wird aber nicht erreicht, da die Abbildung g auf
dem gesamten Zylinder Z stetig ist. Die Unstetigkeitsstellen liegen auf der Geraden
G := f(u; v) 2 Z j v = ?c(a+bb)?au g.
Die invariante Menge der Belykh-Abbildung des in Abb. 3.6 dargestellten Streifens ist
nicht kompakt. Durch eine weitere Faktorisierung kann die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit aber kompaktiziert werden, indem vom Zylinder zum Torus ubergegangen
wird. Fur diese zweite Faktorisierung werden Zahlen d 6= e gesucht, fur die
g(u + d; v + e) g(u; v) fur alle u; v 2 R
mit der in (3.5.23) denierten A quivalenzrelation gilt. Die kleinstmoglichen solchen
95
Zahlen erhalt man fur
g(u + d; v + e) = ((u + d); (v + e)) = (u + 1; v + 1);
woraus sich d = 1 und e = 1 ergeben. Da a 6= ?b vorausgesetzt wurde, ist 6= und folglich auch d 6= e. Diese Eigenschaft ist notwendig, damit durch die zusatzliche
Faktorisierung wirklich ein Torus entsteht. Wir erhalten insgesamt also die A quivalenzrelation
(u; v) (u0; v0) , u0 = u + k + l ; v0 = v + k + l ; k; l 2 Z
(3.5.24)
in R2, die diesen Raum in einen Torus T uberfuhrt. Als Metrik auf T betrachten wir
die durch den R2 induzierte ache Metrik
p
jw ? u0j2 + jx ? v0j2:
%([(u; v)]; [(w; x)]) = (u0 ;vmin
0 )(u;v)
Im weiteren werden Punkte [(u; v)] des Torus T auch kurz mit (u; v) bezeichnet.
Es bezeichne eg die durch g induzierte Abbildung auf dem Torus T . Aufgrund der
Auswahl von d und e gilt
(u; v) (u0; v0) ) g(u; v) g(u0; v0);
so daTeg wirklich als Abbildung auf dem Torus T betrachtet werden kann. Die Menge
K = 1i=0 eg(T ) ist als abzahlbarer Durchschnitt kompakter Mengen wieder kompakt
und auerdem invariant unter der Abbildung g. Es bezeichne Ke das Bild von K
unter der Inversen der kanonischen Projektion : R2 ! T , eingeschrankt auf einen
maximalen Teil des in Abb. 3.6 Streifens, so da diese Einschrankung injektiv ist.
Dann ist Ke beschrankt, aber nicht notwendigerweise abgeschlossen. Es gilt jedoch
dimH (Ke ) = dimH (K ).
Fur jede invariante Menge K 0 der ursprunglichen Abbildung auf dem in Abb. 3.6
dargestellten Streifen gilt
[
l
l
0
e
K + ; :
K l2Z
Es sei Kl = Ke + l ; l (l 2 Z), und d sei die Hausdor-Dimension von K . Dann
gilt dimH (Kl ) = d fur alle l 2 Z. Die Menge K 0 ist also in einer abzahlbaren Vereinigung von kompakten Mengen der Hausdor-Dimension d enthalten. Nach Lemma 1.7.1 gilt somit dimH (K 0) d. Das bedeutet also, da eine obere Schranke fur
die maximale invariante Menge K der auf den Torus T eingeschrankten BelykhAbbildung immer auch eine obere Schranke fur jede invariante Menge der ursprunglichen Belykh-Abbildung ist. Deshalb werden wir nun die Hausdor-Dimension der
Menge K abschatzen.
96
Zur Anwendung der Dimensionsabschatzungen aus Abschnitt 3.4 auf diese Abbildung
mu die Anzahl der Urbilder abgeschatzt werden. Fur zwei Punkte (u; v) und (u0; v0)
des Torus gilt eg(u; v) = eg(u0; v0) genau dann, wenn
u0 = u + l + k und v0 = v + l + k
fur zwei Zahlen k; l 2 Zist. Das heit
u0 ? u = l2 + k und v0 ? v = l2 + k :
Dabei kann k = 0 gesetzt werden, da Punkte, die sich um k ; k unterscheiden, nach
(3.5.24) aquivalent sind, also dem gleichen Punkt des Torus entsprechen. Es bleibt
also noch zu untersuchen, wieviele verschiedene Punkte
(u0; v0) des Torus existieren,
die sich von einem vorgegebenen Punkt (u; v) um l2 ; l2 mit einer ganzen Zahl l
unterscheiden. Dazu kann man fur einen beliebigen Punkt (u; v) 2 R2 die Gerade
n
o
1
1
0
G := (u; v) + t 2 ; 2 t 2 R
betrachten und bestimmen, welche Lange das Geradenst
uck innerhalb des Streifens
1
1
(siehe Abb. 3.6) im Verhaltnis zum Vektor w = 2 ; 2 hat. Die zwei Geraden, die
den Streifen begrenzen, sind
n
?c(a+b) ; 0
?
+t ?
o
1 ; 1 t
a b
2 R und
o
n
?
Ge := (1?c)(a a+b) ; 0 + t ? a1 ; 1b t 2 R :
G=
a
?
Ein senkrecht auf diesen Geraden stehender Vektor ist 1b ; 1a . Einen Vektor in derselben Richtung, der genau die Streifenbreite als Lange hat, erhalt man mit Hilfe der
Gleichung
?c(a + b) ; 0 + t 1 ; 1 = (1 ? c)(a + b) ; 0 + s ? 1 ; 1 ;
a
b a
a
a b
d. h. mit Hilfe des Gleichungssystems
?c(a + b) + t = (1 ? c)(a + b) ? s ;
a
b
a
a
t = s;
a b
2
senkrecht
zu G und Ge,
dessen Losung t = aba2(a++b2b) und s = ba2(a++b2b) ist. Der Vektor
dessen Lange die Streifenbreite ist, lautet damit w0 = aa(2a++bb2) ; ba(2a++bb2) . Mit Hilfe dieses
97
Vektors ergibt sich die Lange des Geradenstucks von G0 im Streifen im Verhaltnis zum
Vektor w einfach als
hw; w0iR2 = 2a((aa2++bb)2 ) + 2b((aa2++bb)2 ) = a2 + b2 :
a2 (a+b)2 + b2 (a+b)2
kw0k2
a+b
(a2+b2 )2 (a2 +b2 )2
Da a und (?b) Nullstellen der Gleichung (3.5.20) sind, gilt ab = und b ? a = ? .
Zusammen mit den Substitutionsvorschriften (3.5.21) ergibt sich
b
a
2 + :
2 + 2
=
a + b 2 + 2
l
2 +2
2 +
m
Damit hat jeder Punkt des Torus T unter der Abbildung eg hochstens
Urbilder.
Eine analoge Abschatzung der Vielfachheitsfunktion nach unten ist so einfach nicht
moglich, da dafur die invariante Menge K bekannt sein mute und Urbilder nur in
dieser Menge betrachtet werden durften. Wir konnen die Anzahl der Urbilder deshalb
nur durch 1 nach unten abschatzen.
Auf dem Torus T ist die Abbildung eg in den Punkten der Linie (G) nicht stetig.
Deshalb konnen die Satze aus Abschnitt 3.4 nicht angewendet werden. Wir konnen
aber auch fur die Abbildung ge, analog zu Abschnitt 3.3, Schrankenaussagen fur die
Transformation der aueren Hausdor-Integrale herleiten. Die Abbildung ge ist links
und rechts der Linie (G) stetig und kann stetig dierenzierbar uber die Linie (G)
hinaus fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen seien mit egl und egr bezeichnet. Auf
einer Kugel, die Punkte aus (G) enthalt, sind somit beide Abbildungen egl und egr
zu untersuchen. Auf jeder beliebigen Kugel sind also hochstens zwei Abbildungen zu
betrachten. Mit einer Funktion f : K ! (0; 1], die (3.3.1) erfullt, erhalten wir dann,
analog zu Satz 3.3.1, die Schrankenaussage
n
o
IH ('(K ); 1; d; ") 2 16n nn IH K; max f!d (d') nd ; f nd !d (d') ; d; " :
fur alle d 2 (0; n] und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0. Fur Ue := T und eine
Funktion f : T ! (0; 1], die (3.3.12) und (3.3.13) erfullt, gilt, analog zu Satz 3.3.2,
IH (K; f minf!d (d') nd ; !d(d')g; d; ") 2 16n nn IH ('(K ); 1; d; ") :
fur alle d 2 (0; n] und alle hinreichend kleinen Zahlen " > 0. In die Beweise der Satze
aus Abschnitt 3.4 gehen Iterierte der Abbildung ein. Fur egp sind dabei im ungunstigsten Fall in jedem Iterationsschritt die zwei Abbildungen egl und ger einzubeziehen. Fur
jede Kugel sind dabei zur Ermittlung ihres Bildes unter der Abbildung ge hochstens
2p verschiedene Abbildungen zu betrachten. Diese Anzahl lat sich allerdings nicht
unabhangig von der Zahl p nach oben abschatzen, so da wir nicht analog zu [63] vorgehen konnen. Damit mussen die Bedingungen (3.4.1) und (3.4.4) in der vorliegenden
Situation durch
(3.5.25)
!d (du') 1d < 12 N (eg ; K; eg(u)) n1 fur alle u 2 K
98
bzw.
e e
!d(du ') > 2N (eg; U;
g(u)) fur alle u 2 K
(3.5.26)
ersetzt werden. Auf die Konstante 2 (0; 1) kann man verzichten, da die Singularwerte von eg sowie von egl und egr konstant und auf dem gesamten Torus sind.
e e
Betrachten wir als erstes (3.5.25). Da wir N (eg ; U;
g(u)) nach unten nur durch 1
abschatzen konnen, hat diese Bedingung die Form
8
>
>
<
fur d 2 (0; 1];
1> 2 >
1
1
>
: d 1? d f
ur d 2 (1; 2]:
Diese Bedingung kann nur fur < 21 erfullt werden und liefert in diesem Fall d >
ln ?ln . Fur alle diese Zahlen d bekommen wir, analog zu Satz 3.4.1, die Abschatzung
ln +ln2
dimH (K ) d. Im Grenzubergang d ! lnln ?+lnln 2 heit das
? ln fur < 1 :
dimH (K ) ln
ln + ln 2
2
Diese Schranke ist groer als diejenige aus [8], da in dieser Situation die Vielfachheit
nicht ausgenutzt werden konnte.
Nun betrachten wir die Bedingung (3.5.26). Mit der obigen Abschatzung der Vielfachheitsfunktion hat diese Bedingung die Form
8
>
>
< d
2
fur d 2 (0; 1];
+
2 2 + < >
>
: d?1 f
ur d 2 (1; 2]:
2
Damit erhalten wir, analog zu Satz 3.4.2, die Dimensionsabschatzung
8 2 +2
>
ln
2
>
2
+
>
<
dimH (K ) >
>
>
:
1+
ln 2 2 ln 2 2++ ?ln ln fur > 2
fur 2
l 2 2m
+
2 +
l
2 +2
2 +
m
;
< :
(3.5.27)
Beispielsweise ergibt sich fur die Parameterwerte = 3, = 5, = 2 und die daraus
resultierenden Werte al = 1, mb = = 2, =l 5 die mAbschatzung der Vielfachheitsfunktion N (eg; T; ) 22++2 = 4, so da 2 22++2 < erfullt ist. Somit ergibt
sich
m
l
ln 22++2 ? ln ln 8 ? ln 2 = 1 + ln 4 1; 861:
dimH (K ) 1 +
=
1
+
ln ln 5
ln 5
99
Es sei bemerkt, da die zu Satz 3.4.2 analoge Abschatzung (3.5.27) der HausdorDimenion invarianter Mengen von Belykh-Abbildungen die Ergebnisse aus [8] erganzt,
da zur Anwendung von (3.5.27) immer 2 gelten mu, die Abbildung also volumenexpansiv sein mu.
100
Kapitel 4
Dynamische Systeme mit einer
aquivarianten Zerlegung des
Tangentialbundels
In diesem Kapitel werden zunachst invertierbare dynamische Systeme betrachtet. Es
wird gezeigt, wie das Konzept der hyperbolischen Mengen fur Dieomorphismen und
Flusse fur den Zweck der Dimensionsabschatzung abgeschwacht werden kann, indem
nur noch vorausgesetzt wird, da eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels
existiert, wie sie in Abschnitt 1.9 eingefuhrt wurde. Die in [72] betrachteten pseudohyperbolischen Mengen sind zum Beispiel Mengen mit einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels, die nicht im klassischen Sinne hyperbolisch sind. Fur
solche Mengen mit einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels sind in Abschnitt 1.9, in Analogie zu hyperbolischen Mengen, eine Singularwertfunktion und
globale Lyapunov-Exponenten deniert worden, die nun im weiteren Verwendung
nden. Es wird gezeigt, wie unter diesen abgeschwachten Voraussetzungen analoge
Dimensionsabschatzungen wie fur hyperbolische Mengen (siehe [29]) erreicht werden
konnen. Im zweiten Teil des Kapitels wird diese Vorgehensweise auf eine spezielle Klasse von nicht injektiven Abbildungen, die sogenannten k -1-Endomorphismen,
ausgeweitet. Der wesentliche Inhalt dieses Kapitels ist in [26] dargestellt.
4.1 Invertierbare dynamische Systeme
Fur invariante Mengen invertierbarer dynamischer Systeme mit einer aquivarianten
Zerlegung des Tangentialbundels lat sich die Hausdor-Dimension nach oben mit
Hilfe der Singularwertfunktion und der topologischen Entropie abschatzen:
Satz 4.1.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit,
K M eine kompakte Menge, ? 2 fZ; Rg eine Zeitmenge und '()() : ? K ! K
101
ein C 1-glattes dynamisches System auf K , so da fur K eine aquivariante Zerlegung
des Tangentialbundels TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, wobei E j ein nj -dimensionales
Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Falls fur Zahlen d 2 (0; n ? n3 ] und t 2 ?
die Ungleichung
E 1 ;E 2 ;E 3 ('t ) < e?2htop ('t jK ) ;
!d;K
(4.1.1)
erfullt ist, so gilt dimH (K ) d + n3 .
Beweis Es bezeichne der Kurze halber := h1 top2('3tjK ) die topologische Entropie des
E ;E ;E ('t ) gilt also laut Voraussetzung
C 1-Diffeomorphismus 't auf K . Fur l~ := !d;K
~l < e?2, und da 't ein Dieomorphismus auf einer oenen Menge Ut K ist, ist
~l > 0. Also existiert eine Zahl l mit ~l < l < e?2. Nach Lemma 1.9.1 gilt dann
E 1 ;E 2 ;E 3 ('pt) ~lp < lp
!d;K
fur alle p 2 N.
Nun sei p 2 N eine beliebige, aber festgehaltene Zahl. Dann existiert eine hinreichend
groe Zahl m > 1, so da die Ungleichungen
l~p < md; sup kdu'ptk m und sup kdu '?ptk m
(4.1.2)
u2K
u2K
gelten, wobei kdu 'ptk bzw. kdu '?ptk die Operatornorm des linearen Operators du 'pt :
TuM ! T'pt(u) bzw. du '?pt : TuM ! T'?pt(u) bezeichne. Die Zahl > 0 sei die Losung
der Gleichung
"
bdc
1 + m~p
l
1=(d?bdc) #d
l~p = lp:
(4.1.3)
Weiterhin sei r1 > 0 so klein gewahlt, da es kleiner als das in Satz 1.3.4 eingefuhrte
"0 fur die Abbildung 'pt ist und es eine oene Menge V mit K V Ut gibt, so da
k''ptpt((vu))dv 'ptuv ? du 'ptk und k''??ptpt((vu))dv '?ptuv ? du'?ptk (4.1.4)
fur alle u; v 2 K mit %(u; v) r1 gelten. Analog zum Beweis von Satz 3.3.1 gibt es
Zahlen r2; r3 > 0, so da jede Kugel B (u; r2) mit Radius r2 um einen Punkt u 2 V ,
die Punkte aus K enthalt, vollstandig in V enthalten ist und
%(expu v; expu w) 2%(v; w)
(4.1.5)
fur beliebiges u 2 K und alle v; w 2 B (Ou; r3) gilt. Wir setzen
r
3
r0 := min r1; r2; p
6 bdc + 1 + 3m + 102
und betrachten ein festes " 2 (0; r0). Es sei fB p(ui; ri)gi2I eine endliche U berdeckung
von K mit Bowen-Kugeln der Ordnung p bezuglich der Abbildung 't um Punkte ui 2
K und mit Radien ri ". Aufgrund der Beziehung (1.8.1) gilt B p(ui; ri) B (ui; ri)
und damit
exp?ui1 (B p(ui; ri)) exp?ui1(B (ui; ri))
fur alle i 2 I . Wegen ri r2 ist fur alle i 2 I die Bowen-Kugel B p(ui; ri) vollstandig in
V enthalten. Weiterhin folgt aus (1.8.1) die Inklusion B p(ui; ri) 'pt(B ('?pt(ui); ri)),
und die Taylor-Formel (Satz 1.3.4), angewandt auf die dierenzierbare Abbildung 'pt,
liefert
k exp?ui1 'pt(v) ? d'?pt(ui)'pt(exp?'?1pt(ui)(v))k
'pt (ui )
pt w
pt
?1
sup
k
pt (w) dw ' ui ? dui ' k k exp'?pt (ui ) (w)k
'
?pt
w2B ('
(ui );ri )
fur alle v 2 B ('?pt(ui); ri). Zusammen mit (4.1.4) ergibt sich daraus
exp?ui1(B p(ui; ri)) exp?ui1('pt(B ('?pt(ui); ri)))
d'?pt (ui)'pt(B (O'?pt(ui); ri)) + B (Oui ; ri):
Analog gilt
exp?ui1 (B p(ui; ri)) d'pt(ui )'?pt(B (O'pt(ui ); ri)) + B (Oui ; ri):
Also erhalten wir
exp?ui1(B p(ui; ri))
?d'?pt(ui)'pt(B (O'?pt(ui); ri)) \ d'pt(ui )'?pt(B (O'pt(ui); ri)) \ exp?ui1(B (ui; ri))
+B (Oui ; ri)
?
?
?1 d'?pt(ui)'pt(B (O'?pt(ui ); ri)) 2 d'pt(ui)'?pt(B (O'pt(ui); ri))
?
3 exp?ui1(B (ui; ri)) + B (Oui ; ri);
wobei j die Projektion von TK M auf E j bezeichnet (j = 1; 2; 3). Fur jedes i 2 I ist
die Menge
?
E1i = 1 d'?pt (ui )'pt (B (O'?pt (ui ) ; ri ))
103
als Projektion eines Ellipsoids auch ein Ellipsoid und liegt in Eu1i . Analog ist
?
E2i = 2 d'pt (ui )'?pt (B (O'pt (ui ); ri ))
ein Ellipsoid in Eu2i , und
?
E3i = 3 exp?ui1 (B (ui; ri ))
ist eine Kugel vom Radius ri in Eu3i , also kann diese Menge auch als Ellipsoid beE 1 ;E 2 ;E 3 ('pt ) ~lp gilt ! Eu1i ;Eu2i (E1 E2 ) ~lp rd , und
trachtet werden. Aufgrund von !d;K
i
i
i
d
p
e
wegen l < 1 ergibt sich daraus
1 2 3
!dE+uni ;E3 ui ;Eui (E1i E2i E3i ) ~lprid+n3 :
Aus (4.1.2) folgt, da die Langen der Halbachsen von E1i , E2i und E3i hochstens mri
betragen.
Aufgrund von Lemma 1.9.2 und der Beziehung (4.1.3) existieren Ellipsoide
E1i 0 Eu1i , E2i 0 Eu2i und E3i 0 Eu3i mit
exp?ui1 (B p(ui; ri)) E1i 0 E2i 0 E3i 0
und
1
2
3
!dE+uni ;E3 ui ;Eui (E1i 0 E2i 0 E3i 0 ) lprid+n3 :
(4.1.6)
Die Anzahl der Bowen-Kugeln der Ordnung p, die zur U berdeckung von K notwendig
sind, ist gleich der kleinsten Machtigkeit N2p+1(K; ") einer (2p + 1; ")-aufspannenden
Menge fur K bezuglich 't. Also kann K schon durch N2p+1(K; ") Mengen expui (E1i 0 E 1 ;E 2 ;E 3
0
E2i E3i 0 ) mit !d ui ui ui (E1i 0 E2i 0 E3i 0 ) lprid+n3 u berdeckt werden, d. h. jI j N2p+1(K; ").
Wir betrachten nun ein festes i 2 I . Es seien aj1 aj2 : : : ajnj die Langen der
Halbachsen des Ellipsoids Eji 0 (j = 1; 2; 3). Da jedes dieser Ellipsoide eine Kugel vom
Radius ri enthalt, sind alle Halbachsenlangen positiv. Die Menge fa11; : : : ; a1n1 ; a21;
: : : ; a2n2 ; a31; : : : ; a3n3 g werde zu fa1; : : : ; ang mit a1 : : : an umgeordnet. Die Zahlen
d1; d2; d3 mogen die Anzahl der Halbachsenl
angen aus fa1; : : : ; abdc+n3 g bezeichnen,
die jeweils zu den Ellipsoiden E1i 0 , E2i 0 und E3i 0 gehoren. Weiterhin sei := abdc+n3 +1.
Mit (4.1.6) erhalten wir
1 2 3
!dE+uni ;E3 ui ;Eui (E1i 0
0
E2i
1
0 d+n3
3
Ei )
(lprid+n3 ) d+1n3 < ri ":
dj
(4.1.7)
j0
Aufgrund von Lemma 1.2.3 kann das Ellipsoid Eji durch Nj = 2 !ddjj(Ei ) Kugeln vom
p
Radius dj + 1 uberdeckt werden (pj = 1; 2; 3). Damit kann E1i 0 E2i 0 E3i 0 schon
durch N1N2N3 Kugeln vom Radius 3 bdc + 1 uberdeckt werden. Jede dieser Kugeln,
0
104
die Punktepder Menge exp?ui1(B p(ui; ri)) enthalt, liegt dabei innerhalb einer Kugel vom
Radius (6 bdc + 1 + 3m + )" < r3 um Oui . Aus
(4.1.5) folgt dann, da die Menge
p
p
B (ui; ri) durch N1N2N3 Kugeln vom Radius 6 bdc + 1 uberdeckt werden kann. Mit
(4.1.7) folgt daraus
p
H (B p(ui; ri); d + n3; 6" bdc + 1)
N1N2N3(6 pbdc + 1)d+n3
d1 !d (E10 ) 2d2 !d (E20 ) 2d3 !d (E30 )
2
1 i
2 i
3 i 6d+n3 d+n3 (bdc + 1) d+2n3
=
d
d
d
1
2
3
bdc+n3
d+n
= 2 ab1dc:+:n:3abdc+n3 6d+n3 d+n3 (bdc + 1) 2 3
= 6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1)
d+n3
2 a1 : : : abdc+n3 s
= 6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1)
d+n3 Eu1i ;Eu2i ;Eu3i 10
2 !
(Ei
d+n3
E2i 0 E3i 0 ):
Unter Ausnutzung von (4.1.6) erhalt man aus der letzten Beziehung
p
H (B p(ui; ri); d + n3; 6" bdc + 1)
6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) d+2n3 lprid+n3
6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) d+2n3 lp"d+n3 :
Da diese Ungleichung fur alle i 2 I gilt, ergibt sich
p
H (K; d + n3; 6" bdc + 1)
X
i2I
p
H (B p(ui; ri); d + n3; 6" bdc + 1)
N2p+1(K; ")6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) d+2n3 lp"d+n3 :
Aufgrund der Denition der topologischen Entropie von 't auf K gibt es zu beliebigem
> 0 Zahlen "0() > 0 und p0(; ") 2 N, so da
N2p+1(K; ") < ep(2+)
fur 0 < " < "0() und p > p0 (; ") gilt. Also ist
p
H (K; d + n3; 6" bdc + 1) < ep(2+)6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1)
105
d+n3 p d+n
3:
2 l "
Da wegen l < e?2 auch 2 + ln l < 0 ist, konnen wir > 0 so klein wahlen, da auch
2 + ln l + < 0 gilt. Dann ist fur 0 < " < minfr0; "0()g und p > p0(; ")
p
d+n
H (K; d + n3; 6" bdc + 1) < ep(2+ln l+)6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) 2 3 "d+n3 :
Fur p ! 1 gehtpdie rechte Seite dieser Ungleichung gegen Null, so da sich daraus
H (K; d + n3; 6" bdc + 1) = 0 und damit H (K; d + n3) = 0 ergeben. Letzteres
bedeutet dimH (K ) d + n3.
Betrachtet man das Langzeitverhalten des dynamischen Systems, so lat sich eine zu
Satz 4.1.1 analoge Aussage in der Sprache der bezuglich einer aquivarianten Zerlegung
des Tangentialbundels gebildeten globalen Lyapunov-Exponenten aus Abschnitt 1.9
formulieren:
Folgerung 4.1.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit, K M eine kompakte Menge, ? 2 fZ; Rg eine Zeitmenge und '()() :
? K ! K ein C 1-glattes dynamisches System auf K , so da fur K eine aquivariante
Zerlegung des Tangentialbundels TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, wobei E j ein nj -
dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Weiterhin seien 1u ; : : : ; nu?n3
die globalen Lyapunov-Exponenten von ' auf K bezuglich der Zerlegung E 1 E 2 E 3,
und D 2 f0; : : : ; n ? n3 ? 1g sei die kleinste Zahl mit der Eigenschaft
2htop('jK ) + 1u + : : : + Du + Du +1 < 0:
(4.1.8)
u
u
1 +:::+D
Dann gilt dimH (K ) D + n3 + 2htop('jKj)+
.
u
D+1 j
Beweis Wie in Abschnitt 1.9 bemerkt wurde, sind die dort denierten globalen
Lyapunov-Exponenten reelle Zahlen. Es sei wieder := htop('jK ). Wegen 0 folgt
aus Bedingung
(4.1.8) Du +1 < 0 und idamit mu < 0 fur alle m = D + 1; : : : ; n ? n3.
u
u
Nun sei d 2 D + 2+j1Du++1:::j+D ; n ? n3 eine beliebige Zahl. Dann gilt
2 + d 2 + 1u + : : : + budc + sbudc+1 < 0:
Also konnen wir eine Zahl " > 0 so klein wahlen,1 da
d + " < ?2 gilt. Wegen
2 ;E 3 t
E
;E
1
(1.9.2) gibt es eine positive Zahl t 2 ? mit t ln !d;K (' ) < d + ". Fur dieses t
gilt demzufolge
E 1 ;E 2 ;E 3 ('t ) < et(d +") < e?2t:
!d;K
Aufgrund von Lemma 1.8.1 sind damit die Bedingungen
4.1.1 fur diei Ab von Satz
2+1u +:::+Du
t
bildung ' erfullt, und wir erhalten fur jedes d 2 D + jDu +1 j ; n ? n3 die
u
u
Abschatzung dimH (K ) d + n3. Im Grenzubergang d ! D + 2+j1Du++1:::j+D heit
u +:::+Du
das dimH (K ) D + n3 + 2htop('jKj)+
.
u 1j
D+1
106
Bemerkung 4.1.1 Die Folgerung 4.1.1 stellt eine zum Satz 1.9.2 aus [29] analoge
Dimensionsabschatzung dar. Im Unterschied zu [29] werden hier allerdings wesentlich
schwachere Bedingungen an das dynamische System gestellt: Das dynamische System
mu nicht im strengen Sinne hyperbolisch sein, sondern es ist ausreichend, da eine
aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels existiert. Der Fall der hyperbolischen
Mengen ist fur E 1 = E s, E 2 = E u und E 3 = E 0 in der Folgerung 4.1.1 mit enthalten.
Aber auch fur streng hyperbolische Mengen ergeben sich in Folgerung 4.1.1 schwachere
Voraussetzungen als in Satz 1.9.2. So kann aufgrund einer anderen Beweistechnik
auf die "pinching condition\ verzichtet werden. Da die Taylor-Formel im Beweis nur
bis zum Restglied erster Ordnung verwendet wird, ist es auerdem ausreichend, die
Glattheitsforderung C 1 an das dynamischen System ' zu stellen.
4.2 Die Klasse der k -1-Endomorphismen
Im weiteren Verlauf dieses Kapitels soll nun gezeigt werden, wie sich die Dimensionsabschatzung fur Mengen mit einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels
auch auf eine spezielle Klasse nicht invertierbarer dynamischer Systeme, die sogenannten k -1-Endomorphismen, anwenden lat. Die Klasse der k -1-Endomorphismen
ist in [54] eingefuhrt worden und in [24, 26, 55] weiter untersucht worden.
Denition 4.2.1 Es sei (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Ein k -1-Endomorphismus-System ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ist ein (k + 2)-Tupel (k 2
N), bestehend aus einer Abbildung ' : KS! M und (k + 1) kompakten Mengen
K M , K1 M; : : : ; Kk M mit K = ki=1 Ki , '(Ki) = K fur alle i = 1; : : : ; k
und Ki \ Kj = ; fur alle 1 i < j k. Die Abbildung ' heit dann k -1Endomorphismus.
Aus dieser Denition folgt '(K ) = K , d. h., die Menge K ist invariant unter der
Abbildung '. Desweiteren hat jeder Punkt der Menge K mindestens k verschiedene
Urbilder, namlich jeweils mindestens eins in jeder der Mengen Ki (i = 1; : : : ; k). Diese
Eigenschaft ist ausschlaggebend fur die Bezeichnung k -1-Endomorphismus, denn k
verschiedene Punkte werden jeweils auf denselben Bildpunkt abgebildet. Falls die
Mannigfaltigkeit wenigstens C 1-glatt ist, konnen wir fur ein k -1-EndomorphismusSystem die folgende Eigenschaft denieren, die sicherstellt, da jeder Punkt der Menge
K genau k Urbilder in K besitzt:
(C1) Jede Teilabbildung 'jKi kann zu einem C 1-Dieomorphismus 'i auf eine oene
Umgebung Ui M von Ki fortgesetzt werden (i = 1; : : : ; k).
Da die Mengen K1; : : : ; Kk kompakt und paarweise disjunkt sind, konnen die in (C1)
denierten Umgebungen U1; : : : ; Uk auch paarweise disjunkt gewahlt werden. Damit
107
S
kann die Abbildung ' zu einer C 1-Abbildung auf der oenen Menge U = ki=1 Ui
fortgesetzt werden, die auf der Menge Ui jeweils mit 'i ubereinstimmt (i = 1; : : : ; k).
Diese Fortsetzung soll im weiteren auch mit ' bezeichnet werden. Da diese Fortsetzung auf einer Umgebung von K eine C 1-Abbildung ist, ist fur k -1-Endomorphismen
mit der Eigenschaft (C1) eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels TK M
wie in Abschnitt 1.9 deniert.
Die folgenden Beispiele zeigen Vertreter der Klasse der k -1-Endomorphismen, fur die
eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels existiert.
Beispiel 4.2.1 Betrachten wir als einfachsten Vertreter wieder die Zeltabbildung in
M = R aus Beispiel 2.1.1 mit der dort konstruierten invarianten Menge K .
Es seien K1 := K \ [0; 31 ] und K2 := K \ [ 23 ; 1]. Als Durchschnitt zweier kompakter
Mengen sind diese Mengen auch kompakt. Sie sind disjunkt, bilden in ihrer Vereinigung die gesamte Menge K , und es gilt '(K1) = '(K2) = K . Damit ist ('; K; K1; K2)
ein 2-1-Endomorphismus-System.
Jede Teilabbildung 'jKi (i = 1; 2) ist linear und invertierbar und kann damit zu einem
C 1-Dieomorphismus auf eine oene Umgebung von Ki fortgesetzt werden. Damit ist
die Eigenschaft (C1) erfullt. Da die Mannigfaltigkeit M hier nur eindimensional ist,
ist nur eine triviale aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels moglich, bei der
ein Teilbundel das gesamte Tangentialbundel ist und jedes weitere Teilbundel jeweils
nur aus den Ursprungen Ou (u 2 K ) der Tangentialraume TuM besteht.
Beispiel 4.2.2 Die in Beispiel 4.2.1 betrachtete Zeltabbildung ' kann zu einer Abbil-
dung 'e in M = R2 erweitert werden, so da eine nichttriviale aquivariante Zerlegung
des Tangentialbundels existiert. Wir betrachten dazu
8
>
>
<
'e(x; y) = >
>
:
(3x; y)
fur x < 21 ;
(3 ? 3x; y) fur x 21 :
Die Menge Ke = K [0; 1] (siehe Abb. 4.1) ist invariant unter der Abbildung 'e, wobei
K die '-invariante Menge aus Beispiel 2.1.1 und Beispiel 4.2.1 ist.
Mit Ke1 := K1 [0; 1] und Ke2 := K2 [0; 1] erhalten wir das 2-1-Endomorphismuse K
e1 ; K
e2 ), f
System (';
e K;
ur das die Eigenschaft (C1) erfullt ist. Hier konnen wir das
e v 2 R2g 
Tangentialbundel TK M = f[u; v] j u 2 K;
aquivariant in die zwei Teibundel
e a 2 Rg f[u; (0; b)] j u 2 K;
e b 2 Rg
f[u; (a; 0)] j u 2 K;
zerlegen.
108
1
0
1
Abbildung 4.1: Struktur der invarianten Menge Ke
Beispiel 4.2.3 Eine bekannte Abbildungsklasse, die jeweils k verschiedene Punkte
auf denselben Bildpunkt abbildet, sind Polynome vom Grad k in der zweidimensionalen Mannigfaltigkeit C . Wir wollen hier als spezielle Vertreter wie im Abschnitt 3.5.3
quadratische Polynome der Form
'(z) = z2 + c
(4.2.1)
betrachten, wobei c 2 C ein Parameter ist. Wir betrachten als invariante Menge wieder die Julia-Menge K . Wir setzen im weiteren voraus, da der Koordinatenursprung
nicht in K enthalten ist. Da jeder Punkt aus K in diesem Fall genau zwei Urbilder
in K hat, konnen wir K immer in zwei disjunkte Mengen K1 und K2 so zerlegen,
da '(K1 ) = '(K2) = K gilt. Damit ('; K; K1; K2) jedoch ein 2-1-EndomorphismusSystem ist, mussen die Mengen K1 und K2 auch kompakt sein. Fur c = 0 kann
das zum Beispiel nicht erreicht werden, denn K ist in dem Falle die komplexe Einheitskreislinie und K1 und K2 sind jeweils halboene Halften dieser Kreislinie. Fur
hinreichend groe c, namlich jcj > 2, ist aber im Beweis des Satzes 14.5 aus [21]
gezeigt worden, da die Mengen K1 und K2 so gewahlt werden konnen, da sie in disjunkten abgeschlossenen Kreisscheiben liegen und damit kompakt sein mussen. Diese
Kreisscheiben enthalten den Nullpunkt nicht. Somit ist unsere Voraussetzung, da
der Koordinatenursprung nicht in K enthalten ist, erfullt. Also ist im Falle jcj > 2
die Abbildung (4.2.1) auf der Julia-Menge K ein 2-1-Endomorphismus.
Auch im vorliegenden Beispiel ist die Eigenschaft (C1) erfullt, da auf jeder der Mengen
K1 und K2 die Abbildung ' invertierbar ist und der Nullpunkt in keiner der beiden
Mengen enthalten ist. Also ist die Ableitung von ' an jeder Stelle von K invertierbar.
Da die Ableitung von ' in jedem Punkt u 2 K jeweils zwei gleiche Singularwerte
besitzt (siehe Abschnitt 3.5.3), ist es hier sinnvoll, die triviale aquivariante Zerlegung
des Tangentialbundels zu betrachten, bei der ein Teilbundel das gesamte Tangentialbundel TK M und die anderen Teilbundel jeweils nur aus den Ursprungen Ou (u 2 K )
der Tangentialraume TuM bestehen.
109
Der Begri der aquivarianten Zerlegung ist in Abschnitt 1.9 fur C 1-Abbildungen eingefuhrt worden und konnte deshalb fur invariante Mengen von k -1-Endomorphismen
einfach ubernommen werden. Aber zur Denition der Singularwertfunktion bezuglich
der Zerlegung und der daraus resultierenden Denition der globalen Lyapunov-Exponenten in Abschnitt 1.9 mute ein C 1-Dieomorphismus vorausgesetzt werden, da in
diese Denitionen die inversen Tangentialabbildungen eingehen. Ein k -1-Endomorphismus ist im allgemeinen kein Dieomorphismus, da er nicht injektiv sein kann (fur
k 2). Unter der Voraussetzung (C1) lassen sich jedoch fur k -1-Endomorphismen
analoge Groen wie fur Dieomorphismen denieren.
Denition 4.2.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfal-
tigkeit und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft
(C1) und der aquivarianten Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3, in der jedes E j ein
nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Fur jede Zahl i =
1; : : : ; k und beliebige Punkte u; v 2 K seien 11(u); : : : ; 1n1 (u) die Singularwerte
von du 'jEu1 und 21(v; i); : : : ; 2n2 (v; i) die Singularwerte von dv '?i 1 jEv2 . Die Menge
f11(u); : : : ; 1n1 (u); 21(v; i); : : : ; 2n2 (v; i)g werde zu f1(u; v; i); : : : ; n1+n2 (u; v; i)g
mit 1(u; v; i) : : : n1 +n2 (u; v; i) umgeordnet. Fur jede Zahl d 2 [0; n ? n3] ist
die Singularwertfunktion der Ordnung d von ' auf K bezuglich der Zerlegung
E 1 E 2 E 3 durch
8
>
>
>
>
<
E 1 ;E 2 ;E 3(') =
!d;K
>
fur d = 0;
1
sup [1(u; v; i) : : : bdc+1(u; v; i)d?bdc] fur d 2 (0; n ? n3]
>
>
>
: u;v2K
i=1;:::;k
deniert.
Nun wollen wir Iterierte von k -1-Endomorphismen betrachten. Es wird zunachst gezeigt, da die p-te Iterierte 'p eines k -1-Endomorphismus ' fur jedes p 2 N ein
kp-1-Endomorphismus ist.
Bezeichnung Fur jedes p 2 N bezeichnen wir die Teilmengen von K bezuglich 'p
und die entsprechenden Teilabbildungen mit
Ki1 ;:::;ip := '?(p?1)(Ki1 ) \ : : : \ '?1(Kip?1 ) \ Kip ;
'i1;:::;ip := 'pjKi1;::: ;ip :
Lemma 4.2.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft
110
(C1). Dann ist fur jedes p 2 N das (kp + 2)-Tupel ('p; K; fKi1 ;:::;ip g(i1;:::;ip)2f1;:::;kgp )
ein k p -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft (C1).
Beweis Dieses Lemma kann durch vollstandige Induktion bewiesen werden. Offensichtlich ist die Behauptung fur p = 1 erfullt. Wir nehmen nun an, da fur
ein beliebiges p 2 N das (kp + 2)-Tupel ('p; K; fKi1 ;:::;ip g(i1;:::;ip)2f1;:::;kgp ) ein kp-1-
Endomorphismus-System ist, und wollen die Behauptung fur p + 1 zeigen. Dazu sei
(i1; : : : ; ip; ip+1) 2 f1; : : : ; kgp+1 ein beliebiges (p +1)-Tupel. Die Menge '?1(Ki1 ;:::;ip )
ist als Urbild der kompakten Menge Ki1;:::;ip unter der stetigen Abbildung ' mit
kompaktem Denitionsbereich K auch kompakt. Weiterhin gilt
'?1(Ki1 ;:::;ip ) = '?1 ('?p+1(Ki1 ) \ : : : \ Kip ) = '?p(Ki1 ) \ : : : \ '?1(Kip ):
Damit ist die Menge Ki1 ;:::;ip+1 als Durchschnitt der kompakten Mengen Kip+1 und
'?1(Ki1 ;:::;ip ) kompakt. Oensichtlich sind zwei Mengen Ki1 ;:::;ip+1 und Kj1 ;:::;jp+1 mit
(i1; : : : ; ip+1) 6= (j1; : : : ; jp+1) disjunkt. Auerdem gilt
[
(i1 ;:::;ip+1 )2f1;:::;kgp+1
[
Ki1 ;:::;ip+1 =
?
'?1(Ki1 ;:::;ip ) \ Kip+1
(i1 ;:::;ip+1 )2f1;:::;kgp+1
k ?
[
[
'?1(K
=
(i1 ;:::;ip )2f1;:::;kgp ip+1 =1
=
[
(i1 ;:::;i0p )2f1;:::;kgp
i1 ;:::;ip ) \ Kip+1
'?1(Ki1 ;:::;ip )
[
= '?1 @
(i1 ;:::;ip )2f1;:::;kgp
1
Ki1 ;:::;ip A
= '?1(K ) = K:
Aus der Beziehung
?
'(Ki1;::: ;ip+1 ) = ' '?1 (Ki1;:::;ip ) \ Kip+1 = Ki1 ;:::;ip \ '(Kip+1 )
= Ki1 ;:::;ip \ K = Ki1 ;:::;ip
und der Annahme 'p(Ki1 ;:::;ip ) = K folgt die Gleichheit 'p+1(Ki1 ;:::;ip+1 ) = K . Damit
ist gezeigt, da ('p+1; K; fKi1 ;:::;ip+1 g(i1;:::;ip+1)2f1;:::;kgp+1 ) ein kp+1-1-EndomorphismusSystem ist.
Nun ist noch die Eigenschaft (C1) fur die Abbildung 'p+1 nachzuweisen. Fur jede
Teilabbildung gilt
'i1;:::;ip+1 = 'i1 ;:::;ip 'ip+1
111
auf der Menge Ki1;::: ;ip+1 . Wegen (C1) fur die Abbildung ' kann 'ip+1 zu einem C 1Dieomorphismus auf eine oene Umgebung Uip+1 von Kip+1 fortgesetzt werden. Dasselbe gilt fur 'i1;:::;ip und eine Umgebung Ui1;:::;ip von Ki1 ;:::;ip . Damit ist die Menge
Ui1;::: ;ip+1 = Uip+1 \ '?ip1+1 (Ui1;:::;ip ) eine Umgebung von Ki1 ;:::;ip+1 , auf die die Abbildung
'i1;:::;ip;ip+1 als C 1-Dieomorphismus fortgesetzt werden kann.
Damit ist die Behauptung fur p + 1 gezeigt und, nach dem Prinzip der vollstandigen
Induktion, Lemma 4.2.1 fur alle p 2 N bewiesen.
Aufgrund von Lemma 4.2.1 ist die in Denition 4.2.2 eingefuhrte Singularwertfunktion
auch auf Iterierte von k -1-Endomorphismen anwendbar. Fur die Singularwertfunktion
der Iterierten eines k -1-Endomorphismus gilt, analog zu Lemma 1.9.1, die folgende
Aussage.
Lemma 4.2.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltig-
keit und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft
(C1), fur das eine aquivariante Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, in der
jedes E j ein nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Dann gilt
fur alle d 2 [0; n ? n3] und alle t1; t2 2 N die Beziehung
1 2 3
1 2 3
1 2 3
E ;E ;E ('t1 +t2 ) ! E ;E ;E ('t1 ) ! E ;E ;E ('t2 ):
!d;K
d;K
d;K
Aufgrund von Lemma 4.2.2 existiert, analog zu (1.9.2), der Grenzwert
1 ln !E1;E2;E3 ('t)
d := tlim
(4.2.2)
d;K
!1 t
fur jedes d 2 [0; n ? n3], und es kann wieder, analog zu Abschnitt 1.9, gezeigt werden,
da dieser Grenzwert immer reell ist. Damit sind fur k -1-Endomorphismen globale
Lyapunov-Exponenten wie in Abschnitt 1.9 erklart:
Denition 4.2.3 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft
(C1), fur das eine aquivariante Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, wobei E j
ein nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Die Zahlen i ? i?1
(i = 1; : : : ; n ? n3) seien der Groe nach als 1u 2u : : : nu?n3 angeordnet.
Die Zahlen iu (i = 1; : : : ; n ? n3) heien globale Lyapunov-Exponenten von
('; K; K1; : : : ; Kk ) bezuglich der Zerlegung E 1 E 2 E 3.
Die Dimensionsabschatzungen des Abschnitts 4.1 nutzen U berdeckungen der invarianten Menge mit Bowen-Kugeln. Diese sind aber nur fur invertierbare Abbildungen
deniert (siehe Abschnitt 1.8). Deshalb mussen wir fur k -1-Endomorphismen spezielle
Bowen-Kugeln einfuhren:
112
Denition 4.2.4 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfal-
tigkeit, % die durch g erzeugte Metrik, ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-EndomorphismusSystem mit der Eigenschaft (C1) und p 2 N eine Zahl. Dann ist fur jedes p-Tupel
(i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp und jeden Punkt u 2 K die Bowen-Kugel der Ordnung
(i1; : : : ; ip ) vom Radius r > 0 um u durch
B i1;:::;ip (u; r) = v 2 M j %('j (u); 'j (v)) < r (j = 0; : : : ; p);
%('?i11;:::;ij (u); '?i11;:::;ij (v)) < r (j = 1; : : : ; p)
deniert. Dabei werden nur Punkte aus M betrachtet, fur die die Abbildungen 'j und
'?i11;:::;ij erklart sind.
Bezeichnung Fur ein k -1-Endomorphismus-System ('; K; K1; : : : ; Kk ) mit der Eigenschaft (C1), ein p-Tupel (i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp und eine Zahl " > 0 bezeichne
Ni1;:::;ip (K; ")
die kleinste Anzahl von Bowen-Kugeln der Ordnung (i1; : : : ; ip) mit Radius " > 0 um

Punkte aus K , die zur Uberdeckung
von K notwendig sind.
Die Zahlen Ni1;:::;ip (K; ") ((i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp) haben folgende Eigenschaft:
Lemma 4.2.3 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltig-
keit, ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft (C1)
und p 2 N eine Zahl. Dann gilt fur alle " > 0 die Gleichung
X
(i1 ;:::;ip )2f1;:::;kgp
Ni1;:::;ip (K; ") = N2p+1(K; "):
Beweis Fur ein festes " 2 (0; "0) wahlen wir zu jedem (i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp

eine Uberdeckung
fB i1;:::;ip (ui;i1;:::;ip ; ")g von K kleinster Machtigkeit Ni1;:::;ip (K; ")
mit Bowen-Kugeln der Ordnung (i1; : : : ; ip) vom Radius " um Punkte ui;i1;:::;ip 2 K .
?1
Da die Punkte 'i1;:::;ip (ui;i1;:::;ip ) eine (2p + 1; ")-aufspannende Menge fur K bilden,
gilt
X
(i1 ;:::;ip )2f1;:::;kgp
Ni1;:::;ip (K; ") N2p+1(K; "):
Andererseits konnen wir fur ein festes " 2 (0; "0) von einer (2p + 1; ")-aufspannenden
Menge G fur K kleinster Machtigkeit N2p+1(K; ") ausgehen. Es sei Gi1 ;:::;ip := G \
Ki1 ;:::;ip . Dann ist fur jedes p-Tupel (i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp die Menge 'p(Gi1 ;:::;ip )
113
eine (p + 1; ")-aufspannende Menge fur K und fur j = 0; : : : ; p ? 1 die Menge
'j (Gi1 ;:::;ip ) eine (2p ? j; ")-aufspannende Menge fur Ki1 ;:::;ip?j , wobei fur Punkte u 2
Gi1 ;:::;ip die Beziehung 'j (u) = '?i11;:::;ip?j ('p(u)) gilt. Also ist B i1;:::;ip ('j (Gi1;:::;ip ); ")
eine U berdeckung von K mit Bowen-Kugeln der Ordnung (i1; : : : ; ip). Somit gilt
X
(i1 ;:::;ip )2f1;:::;kgp
Ni1;:::;ip (K; ") N2p+1(K; "):
Aus diesen beiden Ungleichungen folgt die Behauptung.
Fur k -1-Endomorphismen mit der Eigenschaft (C1) kann, wie das folgende Lemma
zeigt, die topologische Entropie nach unten abgeschatzt werden.
Lemma 4.2.4 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 1-Mannigfaltigkeit und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft
(C1). Dann gilt
htop('jK ) ln k:
Beweis Es seien p > 1 eine naturliche Zahl, " > 0 eine reelle Zahl, die kleiner als
die Halfte des minimalen Abstands zwischen zwei Mengen Ki und Kj (1 i < j k) ist, und G eine (p; ")-aufspannende Menge fur K in bezug auf ' mit minimaler
Machtigkeit Np(K; "). Dann ist das Mengensystem ffv 2 M j %('j (u); 'j (v)) "; j = 0; : : : ; p ? 1ggu2G eine U berdeckung von K . Es sei nun der Kurze halber
Gi := G\Ki (i = 1; : : : ; k). Da '(Ki) = K gilt und " hinreichend klein gewahlt wurde,
ist jedes Mengensystem ffv 2 M j %('j (u); 'j (v)) "; j = 0; : : : ; p ? 2ggu2'(Gi ) eine
U berdeckung von K . Damit ist '(Gi ) jeweils eine (p ? 1; ")-aufspannende Menge fur
K bezuglich '. Also gilt
N"(K; p) kN" (K; p ? 1)
und damit
1 ln N (K; ")
htop('jK ) = "!lim
lim
sup
p
0+0 p!1 p
"!lim
lim sup 1 ln(kp?1N1(K; "))
0+0 p!1 p
p
?
1
1
= "!lim
lim sup p ln k + p N1(K; ")
0+0
p!1
= "!lim
ln k
0+0
= ln k:
114
4.3 Obere Dimensionsschranken fur k -1-Endomorphismen
Mit Hilfe der in Abschnitt 4.2 eingefuhrten Begrie der Singularwertfunktion und
der globalen Lyapunov-Exponenten bezuglich einer aquivarianten Zerlegung des Tangentialbundels lassen sich fur k -1-Endomorphismen ahnliche obere Schranken fur die
Hausdor-Dimension der invarianten Menge wie in Abschnitt 4.1 angeben. Im Unterschied zu Abschnitt 4.1 geht hier zusatzlich die Zahl k mit in die Dimensionsschranke
ein.
Satz 4.3.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit
und ('; K; K1; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft (C1),
fur das eine aquivariante Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, in der jedes E j
ein nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Falls es eine Zahl
d 2 (0; n ? n3] mit
1 2 3
E ;E ;E (') < ke?2htop ('jK )
!d;K
(4.3.1)
gibt, gilt dimH (K ) d + n3.
Beweis Es bezeichne
:= htop('jK ) wieder die topologische Entropie von ' auf K .
1 2 3
E ;E ;E (') die Ungleichungen 0 < e
Da fur el := !d;K
l < ke?2 gelten, gibt es eine Zahl l
E 1 ;E 2;E 3 ('p ) e
mit el < l < ke?2. Nach Lemma 4.2.2 gilt dann !d;K
lp < lp fur alle p 2 N.
Nun sei p 2 N eine beliebige, aber festgehaltene Zahl. Da 'p nach Lemma 4.2.1 einen
kp-1-Endomorphismus
mit der Eigenschaft (C1) darstellt, ist 'p auf einer oenen
S
Umgebung U = (i1;:::;ip)2f1;:::;kgp Ui1;:::;ip von K als C 1-Abbildung deniert, so da
die Mengen Ui1 ;:::;ip paarweise disjunkt sind. Nun werden die Zahlen m, , r1, r2, r3
und r0 und die Menge V wie im Beweis von Satz 4.1.1 so gewahlt, da (4.1.2), (4.1.3),
(4.1.4) und (4.1.5) fur die Abbildung 'p anstelle von 'pt erfullt sind. Aufgrund der
speziellen Struktur von U ist jede Kugel vom Radius r2, die Punkte aus K enthalt,
vollstandig in einer der Mengen Ui1;:::;ip ((i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp) enthalten.
Wir betrachten ein festes " 2 (0; r0) und zunachst ein festgewahltes p-Tupel (i1; : : :; ip)
2 f1; : : : ; kgp. Es sei fB i1;:::;ip (ui; ri)gi2I eine endliche U berdeckung von K kleinster
Machtigkeit jI j = Ni1 ;:::;ip (K; ") mit Bowen-Kugeln der Ordnung (i1; : : : ; ip) um Punkte ui 2 K und mit Radien ri ". Es sei i 2 I zunachst festgehalten. Aufgrund der
Denition 4.2.4 gilt
expu?i1 (B i1;::: ;ip (ui; ri)) exp?ui1(B (ui; ri)):
Wegen ri r2 ist somit die Bowen-Kugel B i1;:::;ip (ui; ri) vollstandig in V \ Ui1;:::;ip
enthalten. Auerdem gilt B i1;:::;ip (ui; ri) 'p(B ('?p(ui); ri)), und die Anwendung
115
der Taylor-Formel fur die dierenzierbare Abbildung 'p liefert die Ungleichung
k exp?ui1 'p(v) ? d'i?11;::: ;ip (ui )'p(exp?'?i111;::: ;ip (ui)(v))k
sup
?1
w2B ('i1;::: ;ip (ui );ri)
k''pp((wu)i)dw 'puwi ? dui 'pk k exp?'?i11;::: ;ip (ui)(w)k:
1
fur alle v 2 B ('?i11;:::;ip (ui); ri). Zusammen mit (4.1.4) ergibt sich daraus
exp?ui1(B i1;:::;ip (ui; ri)) exp?ui1('p(B ('?i11;:::;ip (ui); ri)))
d'?i11;::: ;ip (ui)'p(B (O'?i11;::: ;ip (ui ); ri)) + B (Oui ; ri):
In analoger Weise erhalt man
exp?ui1 (B i1;::: ;ip (ui; ri)) d'p(ui)'?i11;:::;ip (B (O'p(ui ); ri)) + B (Oui ; ri):
Also erhalten wir insgesamt die Inklusion
exp?ui1(B i1;:::;ip (ui; ri))
?d'?i11;::: ;ip (ui)'p(B (O'?i11;::: ;ip (ui); ri)) \ d'p(ui )'?i11;:::;ip (B (O'p(ui); ri))
\ exp?ui1(B (ui; ri)) + B (Oui ; ri)
(E1i E2i E3i ) + B (Oui ; ri);
wobei, analog? zum Beweis von Satz 4.1.1, E1i ?Eu1i , E2i Eu2i und E3i Eu3i die
Ellipsoide 1 d'?i11;::: ;ip (ui )'p(B (O'?i11;::: ;ip (ui ); ri)) , 2 d'p(ui)'?i11;:::;ip (B (O'p(ui ); ri)) und
?
3 expu?i1(B (ui; ri)) und j die Projektion von TK M auf E j bezeichnen (j = 1; 2; 3).
1 2
E 1 ;E 2;E 3 ('p ) e
Aufgrund von !d;K
lp gilt !dEui ;Eui (E1i E2i ) elprid , und wegen el < 1 folgt
daraus
1
2
3
!dE+uni ;E3 ui ;Eui (E1i E2i E3i ) elprid+n3 :
Aus (4.1.2) ergibt sich, da die Langen der Halbachsen von E1i , E2i und E3i ho0chstens
mr0 i betragen. Aufgrund
von Lemma 1.9.2 und (4.1.3) existieren Ellipsoide E1i Eu1i ,
0
E2i Eu2i und E3i Eu3i mit den Eigenschaften
exp?ui1 (B p(ui; ri)) E1i 0 E2i 0 E3i 0
und (4.1.6). Betrachten wir diese Inklusion fur alle i 2 I , so 1kann
die Menge K durch
Eui ;Eu2i ;Eu3i 10
0
0
0
1
2
3
Ni1;:::;ip (K; ") Mengen der Form expui (Ei Ei Ei ) mit !d
(Ei E2i 0 E3i 0 ) 116
lprid+n3 uberdeckt werden. Fur einen festen Index i 2 I gilt dabei, analog zum Beweis
von Satz 4.1.1,
p
d+n
H (B i1;:::;ip (ui; ri); d + n3; 6" bdc + 1) 6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) 2 3 lp"d+n3
und damit
p
d+n
H (K; d + n3; 6" bdc + 1) Ni1;:::;ip (K; ")6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) 2 3 lp"d+n3 :
Da diese Ungleichung fur jedes p-Tupel (i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp gilt, folgt mit Lemma 4.2.3
p
d+n
kpH (K; d + n3; 6" bdc + 1) N2p+1(K; ")6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) 2 3 lp"d+n3 :
Aufgrund der Denition der topologischen Entropie von ' auf K gibt es zu beliebigem
> 0 Zahlen "0() > 0 und p0(; ") 2 N, so da
N2p+1(K; ") < ep(2+)
fur 0 < " < "0() und p > p0 (; ") gilt. Also ist
p
d+n
H (K; d + n3; 6" bdc + 1) < k?pep(2+)6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) 2 3 lp"d+n3 :
Wegen l < ke?2 ist 2 ? ln k + ln l < 0. Also konnen wir ein > 0 so klein wahlen,
da auch 2 ? ln k + ln l + < 0 gilt. Dann ist fur 0 < " < minfr0; "0()g und
p > p0(; ") die Ungleichung
p
d+n
H (K; d + n3; 6" bdc + 1) < ep(2?ln k+ln l+)6d+n3 2bdc+n3 (bdc + 1) 2 3 "d+n3
erfullt. Betrachten wir den p
Grenzubergang p ! 1, so ergibt sich aus der letzten
Ungleichung H (K; d+n3 ; 6" bdc + 1) = 0 und damit H (K; d+n3 ) = 0. Das bedeutet
dimH (K ) d + n3.
Betrachtet man das Langzeitverhalten des durch die Abbildung ' denierten dynamischen Systems, so lat sich auch Satz 4.3.1 in der Sprache der globalen LyapunovExponenten formulieren:
Folgerung 4.3.1 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfal-
tigkeit und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit der Eigenschaft
(C1), fur das eine aquivariante Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3 existiert, wobei
jedes E j ein nj -dimensionales Bundel ist (j = 1; 2; 3; n1 + n2 + n3 = n). Es seien
1u ; : : : ; nu?n3 die globalen Lyapunov-Exponenten von ' auf K bezuglich der Zerlegung
E 1 E 2 E 3, und D 2 f0; : : : ; n ? n3 ? 1g sei die kleinste Zahl mit der Eigenschaft
(4.3.2)
2htop('jK ) ? ln k + 1u + : : : + Du + Du +1 < 0:
u
u
Dann gilt dimH (K ) D + n3 + 2htop('jK )?jlnDu +1k+j 1 +:::+D .
117
Beweis Wie in Abschnitt 4.2 bemerkt wurde, sind fur einen k -1-Endomorphismus
mit der Eigenschaft (C1) alle globalen Lyapunov-Exponenten reelle Zahlen. Es bezeichne wiederum := htop('jK ). Wegen 0 und Lemma 4.2.4 folgt aus Bedingung (4.3.2) Du +1 < 0 und damit
mu < 0 fur alle m = D + 1; : : : ; n ? n3. Nun sei
i
u
u
d 2 D + 2+j1Du++1:::j+D ; n ? n3 eine beliebige Zahl. Dann gilt
2 ? ln k + d 2 ? ln k + 1u + : : : + budc + (d ? bdc)budc+1 < 0:
Wir wahlen eine Zahl " > 0 so klein,1 da
d + " < ?2 + ln k gilt. Wegen (4.2.2) gibt
2 3
E ;E ;E ('t) < + ". Fur dieses t gilt
es eine naturliche Zahl t mit 1t ln !d;K
d
E 1 ;E 2 ;E 3 ('t ) < et(d +") < k t e?2t:
!d;K
Aufgrund von Lemma 1.8.1 und Lemma 4.2.1 sind damit die Bedingungen von
Satz 4.3.1fur die Abbildung 't erf
d + n3 fur
iullt. Somit erhalten wir dimH (K ) 2+1u +:::+Du
2+1u +:::+Du
jedes d 2 D + jDu +1j ; n ? n3 . Im Grenzubergang d ! D + jDu +1j folgt
die Behauptung.
4.4 Anwendungsbeispiele
4.4.1 Hufeisenabbildungen
Als Beispiel eines diskreten invertierbaren dynamischen Systems betrachten wir erneut die in Abschnitt 3.5.5 eingefuhrten Hufeisenabbildungen f : I m+1 ! Rm+1 mit
den Eigenschaften (H2) und (H3). Punkte aus I m+1 werden wieder in der Form (x; y)
mit x 2 I und y 2 I m geschrieben. Da Hufeisenabbildungen als injektiv vorausgesetzt
wurden, folgt aus den Eigenschaften (H1) - (H3), da sie auf eine oene Umgebung der
maximalen invarianten Menge K als C 1-Dieomorphismus fortgesetzt werden konnen.
Fur Hufeisenabbildungen liegt naturlicherweise eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels TK M vor, namlich in das Bundel E 1 tangential an die Komponente
y 2 I m und in das Bundel E 2 tangential an die Komponente x 2 I . Das Bundel E 3
sei das triviale Bundel, das nur aus den Ursprungen Ou der Tangentialraume TuM
(u 2 K ) besteht. Damit ist n3 = 0. Die Singularwerte bezuglich dieser Zerlegung
betragen inf(x;y)21K jdx 'j und m-mal .
Da die Dimensionsabschatzung aus Abschnitt 4.1 durch Fallunterscheidungen bezuglich der Groenverhaltnisse von inf (x;y)2K jdx'j, und htop(f jK ) fur allgemeine
Hufeisenabbildungen sehr unubersichtlich wurden, soll hier nur ein spezieller Vertreter
betrachtet werden, der in Abb. 4.2 dargestellt ist.
Dabei wird, ahnlich wie in der in Abb. 3.4 dargestellten Abbildung, das Einheitsquadrat vertikal mit dem Faktor 3 gestreckt, horizontal mit dem Faktor 52 gestaucht
118
3
1
?!
0
1
?!
2
5
0
1 ?? ??
? ?
1
2
0
??
?????
??
??
??
?????
??
??
1
Abbildung 4.2: Beispiel einer Hufeisenabbildung
und anschlieend zu einem Hufeisen gebogen. Die Menge I besteht dann aus den
Intervallen I1 = [0; 31 ] und I2 = [ 23 ; 1], und in den Punkten (x; y) 2 I I lat sich die
Abbildung als
8
>
>
<
f (x; y) = >
>
:
(3x; 52 y)
fur (x; y) 2 I1 I;
(3 ? 3x; 1 ? 52 y) fur (x; y) 2 I2 I
darstellen. Damit gilt hier = 52 , und die Abbildungen ', und A haben die Form
8
>
>
<
'(x) = >
>
:
8
>
>
<
A(x) = >
>
:
3x
fur x 2 I1;
3 ? 3x fur x 2 I2;
1
8
>
>
<
(x) = >
>
:
0 fur x 2 I1;
1 fur x 2 I2;
und
fur x 2 I1;
?1 fur x 2 I2:
Diese Hufeisenabbildung erfullt die Eigenschaften (H2) und (H3), und die Funktion
119
e
: [0; 25 ] [ [ 53 ; 1] ! [0; 1] ergibt sich als
8
>
>
<5
(y) = >
e
2y
>
:5
2
fur y 2 [0; 52 ];
? 52 y fur y 2 [ 53 ; 1]:
T
Die maximale invariante Menge K = 1p=?1 f p (I I ) dieser Hufeisenabbildung ist in
Abb. 4.3 dargestellt. Sie stimmt hier sogar mit dem Kreuzprodukt Ke' Ke e uberein,
wobei Ke' und Ke e wie in Abschnitt 3.5.5 deniert sind.
1
0
1
Abbildung 4.3: Invariante Menge K der Hufeisenabbildung
Die topologische Entropie der Hufeisenabbildung auf K betragt ln 2, da diese Abbildung topologisch konjugiert zur Shiftabbildung im Raum der zweiseitig unendlichen
Folgen mit zwei Symbolen ist. Der Ausdruck e?2htop ('jK) in der Bedingung (4.1.1) hat
damit den Wert 14 . Demzufolge kann Bedingung (4.1.1) fur Zahlen d 1 nicht erfullt
werden. Fur d 2 (1; 2] hat sie die Form
2 1 d?1 < 1 ;
5 3
4
was gleichbedeutend mit d > 1 + ln8ln?3ln 5 ist. Fur alle diese Zahlen d liefert Satz 4.1.1
?ln5 ergibt sich daraus
dimH (K ) d. Im Grenzubergang d ! 1 + ln8ln3
(4.4.1)
dimH (K ) 1 + ln 8ln?3ln 5 1; 428:
Das gleiche Ergebnis wird mit Folgerung 4.1.1 erreicht, da hier die globalen LyapunovExponenten mit den Logarithmen der Singularwerte ubereinstimmen.
In Abschnitt 3.5.5 ist gezeigt worden, da es fur Hufeisenabbildungen auch sinnvoll
sein kann, Methoden fur nicht injektive Abbildungen anzuwenden. Dazu betrachten
120
wir hier die Darstellung der invarianten Menge als Kreuzprodukt Ke' Ke e, wobei
die Menge Ke' bzw. Ke e invariant unter der Abbildung ' bzw. e ist. Wie ebenfalls in
Abschnitt 3.5.5 erwahnt, gilt dimH (Ke e) = dimC (Ke e) = ?lnlnk = lnln 225 . Die Abbildung
' ist genau die in den Beispielen 2.1.1 und 4.2.1 betrachtete Zeltabbildung, deren
invariante Menge Ke' die Standard-Cantor-Menge ist. Mit K1 := Ke' \ I1 und K2 :=
Ke' \ I2 ist ('; Ke' ; K1; K2) ein 2-1-Endomorphismus-System, das die Eigenschaft (C1)
erfullt. Der einzige Singularwert der Tangentialabbildung betragt hier konstant 1 =
3. Da 1 > 1 gilt, ist es sinnvoll, den Tangentialraum TKe' M als Bundel E 2 in der
aquivarianten Zerlegung TKe' M = E 1 E 2 E 3 zu wahlen und die Bundel E 1 =
E 3 = fOu j u 2 Ke' g anzusetzen. Die Singularwertfunktion von ' auf Ke' bezuglich
dieser Zerlegung hat dann die Form
!d;EK1e;E' 2;E3 (') =
d
1
3
fur alle d 2 [0; 1]. Die topologische Entropie dieser Abbildung ist ln 2, da die Zeltabbildung topologisch konjugiert zur Shiftabbildung im Raum der zweiseitig unendlichen
Folgen? mit
zwei Symbolen ist. Damit hat die Bedingung (4.3.1) aus Satz 4.3.1 die
d
1
ln2 . F
Form 3 < 2e?2 ln2, das ist aquivalent zu d > ln3
ur alle diese Zahlen d liefert
ln2 .
e
Satz 4.3.1 die Abschatzung dimH (K') d, im Grenzubergang also dimH (Ke') ln3
Folgerung 4.3.1 liefert denselben Wert, da der einzige globale Lyapunov-Exponent mit
dem Logarithmus des Singularwerts ubereinstimmt. Mit (3.5.13) erhalten wir damit
ln2
fur die invariante Menge K der Hufeisenabbildung dimH (K ) ln5ln2
?ln2 + ln3 1; 387,
also eine bessere Abschatzung (4.4.1).
4.4.2 Geodatische Flusse
Als Beispiel eines kontinuierlichen invertierbaren dynamischen Systems sollen hier
geodatische Flusse auf glatten kompakten n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M; g) betrachtet werden. Geodatische Flusse haben ein breites Anwendungsspektrum, da jedes volumenkonservative mechanische System im Rahmen des
Lagrange-Formalismus als geodatische Dierentialgleichung auf einer geeignet gewahlten Mannigfaltigkeit betrachtet werden kann (siehe z. B. [43, 60]). Die Geodatischen
v (v 2 TM ) auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit sind, wie in Abschnitt 1.3
erwahnt wurde, Losungen der Dierentialgleichung r_ (t)_ (t) = 0 mit den Anfangsbedingungen v (0) = (v) und _ v (0) = v. Der geodatische Flu '()() : R TM ! TM ,
der wegen der Kompaktheit von M existiert, ist ein Flu auf dem Tangentialbundel,
deniert durch (v; t) = _ v (t). Da die Geodatischen mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen werden, kann der geodatische Flu auf das Einheitstangentialbundel
T 1M = fv 2 M j kvk = 1g eingeschrankt werden, er wirkt damit auf einer (2n ? 1)dimensionalen Mannigfaltigkeit.
121
Es sei K T 1M eine kompakte invariante Menge des geodatischen Flusses. Dann
existiert nach Proposition 3.2.1 aus [43] eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels TK T 1M in ein eindimensionales Teilbundel E 3 tangential zum Flu und ein
(2n ? 2)-dimensionales Teilbundel transversal zum Flu.
Wir nehmen nun an, da alle zweidimensionalen Unterraume von TuM (u 2 M )
eine negative Schnittkrummung R() besitzen. Da M glatt und K kompakt ist, gibt
es positive Konstanten k1; k2 mit
?k12 R() ?k22
fur alle Ebenen TuM (u 2 (K )). Dann existiert nach Theorem 3.2.17 aus [43]
eine aquivariante Zerlegung des (2n?2)-dimensionalen Teilbundels von TK T 1M trans-
versal zum Flu in ein stabiles Teilbundel E 1 und ein instabiles Teilbundel E 2, so da
in jedem Punkt u 2 K die Ungleichungen
k2 k ke?k1 t kd 't( )k k1 k ke?k2 t
u
k1
k2
fur alle 2 Eu1;
k1
k1 t
k2 k ke
fur alle 2 Eu2
kdu 't()k kk12 kkek2t
erfullt sind. Mit dem zuvor eingefuhrten Bundel E 3 ist E 1 E 2 E 3 eine aquivariante
Zerlegung von TK M . Die globalen Lyapunov-Exponenten von ' auf K bezuglich der
Zerlegung E 1 E 2 E 3 genugen der Abschatzung
?k1 iu ?k2 (i = 1; : : : ; 2n ? 2):
Damit gilt fur alle naturlichen Zahlen D < 2n ? 3 die Ungleichung
2htop('jK ) + 1u + : : : + Du + Du +1 2htop('jK ) ? (D + 1)k2:
(4.4.2)
Wir nehmen nun an, da (n ? 1)k2 > htop('jK ) erfullt ist. Es sei D 2 f0; : : : ; 2n ? 3g
die kleinste Zahl mit (D +1)k2 > 2htop('jK ). Aus (4.4.2) folgt 2htop('jK )+ 1u + : : : +
Du + Du +1 < 0. Folgerung 4.1.1 liefert dann die Abschatzung
u
u
dimH (K ) D + 1 + 2htop('jK )j+u 1 j+ : : : + D
D+1
2
h
top ('jK ) ? Dk2
D+1+
k1 2
h
(
'
j
)
k
top K
2
=1+
+D 1? k
k
1
1
fur (n ? 1)k2 > htop('jK ). Es sei bemerkt, da wir, im Vergleich zu Satz 1.9.2,
diese Abschatzung unter schwacheren Voraussetzungen erhalten haben, da an die
Krummung der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit keine "pinching condition\ gestellt werden mu.
122
Falls die Schnittkrummung konstant ?k2 ist, erhalt man aus der obigen Ungleichung
dimH (K ) 1 + 2htopk('jK ) ;
falls (n ? 1)k > htop('jK ) gilt. Das ist dieselbe Schranke, die in [22] mit Hilfe des dort
gezeigten Satzes 1.9.1 abgeleitet wurde.
4.4.3 Stuckweise lineare Abbildungen auf dem Zylinder
Wir betrachten wieder wie in Abschnitt 3.5.2 als Mannigfaltigkeit (M; g) den achen Zylinder und die darauf denierte nicht injektive Abbildung '. Mit den in Abschnitt 3.5.2 eingefuhrten Mengen K; K1; K2 ist ('; K; K1; K2) ein 2-1-Endomorphismus-System, fur das die Eigenschaft (C1) erfullt ist. Die Singularwerte der Tangentialabbildung sind mit 1(du ') = 3 und 2(du ') = 1 konstant fur alle u 2 K .
Fur jeden Punkt u 2 K bezeichne Eu1 TuM den
p Teilraum, der von den Eigenvektoren bezuglich des Eigenwerts 2(du ') von (du ')du ' aufgespannt wird,
und Eu2 TuM
uglich des Eigenwerts
p den Teilraum, der von den Eigenvektoren bez
1(du ') von (du ') du ' aufgespannt wird. Dann ist TK M = E 1 E 2 E 3 eine aquivariante Zerlegung des Tangentialbundels, wenn fur E 3 wieder das triviale
Bundel betrachtet wird, das nur aus den Ursprungen Ou der Tangentialraume TuM
(u 2 K ) besteht.
Die Singularwertfunktion von ' auf K bezuglich dieser Zerlegung hat dann die Form
8
>
>
<
E 1 ;E 2 ;E 3 (') = 1
!d;K
>?
fur d 2 [0; 1];
>
: 1 d?1
3
fur d 2 (1; 2]:
Die topologische Entropie dieser Abbildung ist ln 2, da diese Abbildung wie die in Abschnitt 4.4.1 betrachtete Hufeisenabbildung topologisch konjugiert zur Shiftabbildung
im Raum der zweiseitig unendlichen Folgen mit zwei Symbolen ist.
Die Bedingung (4.3.1) aus ?Satz
4.3.1 kann fur Zahlen d 1 nicht erfullt werden. Fur
d?1
ln2
1
d 2 (1; 2] hat sie die Form 3 < 2e?2 ln 2 = 12 , was gleichbedeutend mit d > 1+ ln3
ist. Fur alle diese Zahlen d liefert Satz 4.3.1 die Abschatzung dimH (K ) d. Im
ln2 heit das dim (K ) 1 + ln2 .
Grenzubergang d ! 1 + ln3
H
ln3
Folgerung 4.3.1 liefert hier dieselbe Abschatzung, da die globalen Lyapunov-Exponenten mit den Logarithmen der Singularwerte ubereinstimmen.
123
4.4.4 Julia-Mengen von Polynomen in der komplexen Ebene
Wie schon in Beispiel 4.2.3 untersucht wurde, sind Polynome der Form '(z) = z2 + c
fur Parameter c 2 C mit jcj > 2 auf ihrer Julia-Menge K C jeweils ein 2-1Endomorphismus mit der Eigenschaft (C1). Die topologische Entropie von ' auf K
betragt ln 2 (siehe [28]). Als aquivariante Zerlegung des Tangentialraumes in bezug
auf K betrachten wir die triviale Zerlegung TK M = E 1 E 2 E 3 mit E 1 = E 3 =
f0u j u 2 K g und E 2 = TK M .
Die Singularwertfunktion der Ordnung d 2 [0; 2] von ' auf K bezuglich der Zerlegung
TK M = E 1 E 2 E 3 ist
d
1 ;E 2 ;E 3
1
E
!d;K (') = 2 min jzj :
z2K
Mit der Abschatzung (3.5.4) gilt
0
1 2 3
E ;E ;E (') @
!d;K
1
1d
:
2 jcj ? j2cj
Die Bedingung (4.3.1) aus Satz 4.3.1 ist damit erfullt, falls
0
@ q
1
q
1d
p
A
p
A
< 2e?2ln 2 = 12
2 jcj ? j2cj
gilt. Die letzte Ungleichung ist aquivalent zu (3.5.5). Damit erhalten wir mit Satz 4.3.1
die gleiche Abschatzung
p
dimH (K ) q ln 2 p fur jcj > 32 + 2
ln 2 jcj ? j2cj
wie mit Satz 3.4.2 in Abschnitt 3.5.3.
Die U bereinstimmung des Ergebnisses mit dem aus Abschnitt 3.5.3 resultiert daher, da in der hier betrachteten aquivarianten Zerlegung das Bundel E 2 das einzige
nichttriviale Teilbundel ist. Damit werden jeweils auf dem gesamten Tangentialraum
nur die Tangentialabbildungen zu den Umkehrabbildungen '?1 1 und '?2 1 betrachtet.
Dieselben Abbildungen werden in die Anwendung von Satz 3.4.2 als Tangentialabbildungen zu den lokalen Umkehrfunktionen einbezogen.
4.4.5 Iterierte Funktionensysteme
Die in Abschnitt 3.5.4 betrachteten iterierten Funktionensysteme mit der Eigenschaft
(IF) lassen sich auf eine Abbildung ', deniert durch (3.5.6), zuruckfuhren, die ein
124
k -1-Endomorphismus mit der Eigenschaft (C1) ist. Die Mengen Ki sind dabei durch
Ki := Si(K ) (i = 1; : : : ; k)
deniert. Diese Mengen sind aufgrund von (IF) paarweise disjunkt und kompakt. Wegen von (3.5.6) gilt '(Ki ) = K , und die Eigenschaft (C1) folgt aus (IF). Damit konnen
die Dimensionsabschatzungen aus Abschnitt 4.3 fur invariante Mengen von iterierten
Funktionensystemen angewendet werden, falls fur K bezuglich ' eine aquivariante
Zerlegung des Tangentialbundels existiert.
Im Gegensatz zu Abschnitt 3.5.4 ist es hier nicht sinnvoll, die Bedingungen an die
Abbildung ' zu Bedingungen an die Abbildungen aus dem System S = fSigki=1 umzuformulieren. Singularwerte von ' konnen duch Singularwerte der Abbildungen Si
dargestellt werden. In die Satze aus Abschnitt 4.3 geht jedoch zusatzlich die topologische Entropie mit ein, so da die Abbildung ' auf jeden Fall bestimmt werden mu,
um die topologische Entropie zu ermitteln.
Betrachten wir als Beispiel wieder das iterierte Funktionensystem (3.5.9), fur das die
Standard-Cantor-Menge C invariant ist. Die Abbildung ' hat hier die Form
8
>
>
<
'(x) = >
>
:
3x
fur x 2 C \ [0; 31 ];
3x ? 2 fur x 2 C \ [ 23 ; 1]:
Da ' auf C , wie auch die in Abschnitt 4.4.1 betrachtete Hufeisenabbildung und
die in Abschnitt 4.4.3 analysierte stuckweise lineare Abbildung auf dem Zylinder,
topologisch konjugiert zur Shiftabbildung im Raum der zweiseitig unendlichen Folgen
mit zwei Symbolen ist, gilt htop(') = ln 2. Die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit R
ist eindimensional, somit kommt nur eine triviale Zerlegung des Tangentialbundels in
Frage. Da die Abbildung streckend wirkt, ist es sinnvoll, E 2 = TC M und E 1 = E 3 =
fOu j u 2 C g zu setzen. Bezuglich dieser Zerlegung hat die Singularwertfuntkion die
Form
d
1 ;E 2 ;E 3
E
!d;K (') = 31
fur alle d 2 [0; 1]. Bedingung (4.3.1) geht in die Ungleichung
d
1
3
< 2e?2 ln 2 = 12
uber, die fur alle d > lnln 23 erfullt ist. Also liefert Satz 4.3.1 im Grenzubergang d ! ln2
ln3
die Abschatzung
2:
dimH (C ) ln
ln 3
125
Die Folgerung 4.3.1 fuhrt hier zum gleichen Ergebnis, da der einzige globale Lyapunov-Exponent (? ln 3) betragt und somit mit dem Logarithmus des Singularwerts
ubereinstimmt.
Wie schon in Abschnitt 3.5.4 erwahnt, gilt fur die Standard-Cantor-Menge
2;
dimH (C ) = ln
ln 3
so da wir hier eine scharfe Abschatzung erhalten.
126
Kapitel 5
Untere Dimensionsschranken fur
k -1-Endomorphismen
Im Vergleich zu oberen Abschatzungen der Hausdor-Dimension sind untere Dimensionsabschatzungen verhaltnismaig schwer zu nden. Eine Zahl d ist eine obere
Schranke fur die Hausdor-Dimension einer Menge, wenn das auere Hausdorsche
d-Ma dieser Menge gleich Null ist. Das kann, wie in den vorangegangenen Kapiteln,
dadurch gezeigt werden, da fur alle hinreichend kleinen " > 0 eine Folge fUpgp2N
von U berdeckungen durch Kugeln mit Radien hochstens " konstruiert wird, so da
die Summe uber alle Radien zur Potenz d gegen Null geht. Zu jedem hinreichend
kleinen " > 0 sind also nur abzahlbar viele Kugeluberdeckungen zu betrachten, die
iterativ konstruiert werden konnen.
Dagegen ist eine Zahl d eine untere Schranke fur die Hausdor-Dimension einer Menge, wenn das auere Hausdorsche d-Ma dieser Menge groer als Null ist. Damit
mu es eine Zahl > 0 geben, so da fur jedes " > 0 das auere Hausdorsche
(d; ")-Ma groer als ist. Fur jede Kugeluberdeckung der Menge durch Kugeln mit
Radien hochstens " mu also die Summe der Radien zur Potenz d groer als sein.
Es mussen daher zu jedem " alle moglichen Kugeluberdeckungen betrachtet werden.
Aussagen uber untere Schranken der Hausdor-Dimension fur invariante Mengen allgemeiner Abbildungen sind daher sehr selten. Eine Ausnahme bilden ganzzahlige
untere Schranken, die man uber die Betrachtung von instabilen Mannigfaltigkeiten
von Ruhelagen oder periodischen Orbits erhalten kann ([49, 69]). Haben invariante
Mengen Zusatzeigenschaften wie Hyperbolizitat oder Selbstahnlichkeit, sind Dimensionsabschatzungen von unten hauger ableitbar (siehe z. B. [41]).
Auch invariante Mengen von k -1-Endomorphismen haben eine sehr spezielle geometrische Struktur. Deshalb kann fur diese Mengen eine im allgemeinen nichtganzzahlige untere Dimensionsschranke in Abhangigkeit vom groten Singularwert der
Tangentialabbildung angegeben werden. Zusammen mit den Abschatzungen aus Abschnitt 4.3 kann man damit den exakten Dimensionswert in ein Intervall einschlieen. Ist in diesem Intervall kein ganzzahliger Wert enthalten, so mu die Hausdor127
Dimension der betrachteten Menge nichtganzzahlig sein, diese Menge hat dann also
eine komplizierte geometrische Struktur.
5.1 Untere Dimensionsabschatzung
Fur abbildungsinvariante Mengen, fur die ein aueres Borel-Ma mit den in Lemma 1.10.1 vorausgesetzten Eigenschaften existiert, kann mit Hilfe des aus der Potentialtheorie stammenden Lemmas von Frostman (Lemma 1.10.1) eine untere Abschatzung der Hausdor-Dimension angegeben werden. In diesem Abschnitt wollen
wir zeigen, da eine untere Dimensionsschranke auch ohne Konstruktion eines solchen
aueren Maes erreicht werden kann. Dazu wollen wir ahnlich wie M. A. Shereshevskij
im Beweis von Satz 1.10.1 in [66] vorgehen. Die Struktur der invarianten Menge K eines k -1-Endomorphismus ist ahnlich wie die Struktur der Menge D in Satz 1.10.1: Die
Bedingungen 1) und 2) aus Satz 1.10.1 sind fur die Mengen Ki1 ;:::;ip erfullt, wenn wir
die Reihenfolge der Indizes umkehren. Das eigentliche Problem besteht hier darin, da
wir fur die Mengen Ki1 ;:::;ip keine Groe analog zur Intervallange jD!1;:::;!p j haben, die
im Beweis von Satz 1.10.1 in [66] dazu benutzt wird, die Anzahl der Mengen D!1 ;:::;!p
abzuschatzen, die hochstens von einer Kugel mit vorgegebenem Radius uberdeckt
werden konnen. Das n-dimensionale Volumen V lat sich anstelle der Intervallange
nicht verwenden, da im allgemeinen die Menge K eine Dimension kleiner als n hat
und damit das Volumen der Mengen Ki1 ;:::;ip stets Null ist. Wir konnen aber in allgemeinen metrischen Raumen eine Aussage analog zu Satz 1.10.1 zeigen, die anstelle
der Intervallangen die Abstande der Teilmengen verwendet.
Satz 5.1.1 Es seien (X; %) ein metrischer Raum und k 2 eine naturliche Zahl. Fur
jede Zahl p 2 N und jedes p-Tupel (!1; : : : ; !p ) 2 f1; : : : ; kgp existiere eine nichtleere
kompakte Menge D!1 ;::: ;!p X mit den folgenden Eigenschaften:
1) Fur zwei p-Tupel (!1 ; : : : ; !p ) 6= (!10 ; : : : ; !p0 ) gilt D!1 ;::: ;!p \ D!10 ;::: ;!p0 = ;.
2) Fur jedes (!1; : : : ; !p ; !p+1 ) 2 f1; : : : ; kgp+1 gilt D!1 ;:::;!p+1 D!1 ;:::;!p .
Falls es Zahlen > 0 und r 2 (0; 1) gibt, so da
%(x; y) rp
(5.1.1)
fur alle x 2 D!1 ;:::;!p , alle y 2 D!10 ;:::;!p0 , alle p 2 N und alle p-Tupel (!1; : : : ; !p ) 6=
(!10 ; : : : ; !p0 ) 2 f1; : : : ; kgp gilt, so kann die Hausdor-Dimension der Menge
D=
1
\
[
p=1 (!1 ;:::;!p)2f1;:::;kgp
D!1 ;:::;!p
nach unten durch dimH (D) ? lnln kr abgeschatzt werden.
128
Beweis Fur jedes p 2 N seien die Mengen D!1 ;:::;!p ((!1; : : : ; !p) 2 f1; : : : ; kgp) im
weiteren als Mengen vom Rang p bezeichnet. Mit d := ? lnln kr gilt die Beziehung
k = r?d :
(5.1.2)
Es sei fB (ui; ri)gi2Ie eine beliebige U berdeckung von D durch Kugeln mit Radien
ri r2 , wobei Ie eine beliebige Indexmenge ist. Die Menge D ist als abzahlbarer
Durschnitt kompakter Mengen auch kompakt. Also konnen wir eine endliche Menge

I Ie auswahlen, so da fB (ui; ri)gi2I immer noch eine Uberdeckung
von D ist. Fur
jedes i 2 I existiert eine Zahl pi 2 N mit
rpi +1 < r rpi :
i
2
2
Es sei P := maxi2I pi , und Np := jfi 2 I j pi = pgj (p = 1; : : : ; P ) sei die Anzahl der
Indizes aus I , fur die pi = p gilt. Dann ist
X
i2I
rid
>
X
i2I
P
P
d
d X
rpi+1d = X
r
pd
p
+1
N
N
r
=
pr :
p
2
2
2 p=1
p=1
Mit (5.1.2) folgt daraus die Ungleichung
X
i2I
rid
P
d X
r
> 2
Npk?p :
p=1
(5.1.3)
Wegen ri 2 rpi kann eine Kugel vom Radius ri Punkte aus hochstens einer Menge
vom Rang pi uberdecken. Jede Menge vom Rang pi besteht aus kP ?pi Mengen vom
Rang P . Also kann eine Kugel vom Radius ri Punkte aus hochstens kP ?pi Mengen
vom Rang P uberdecken. Da fB (ui; ri)gi2I eine U berdeckung von D ist, mussen durch
fB (ui; ri)gi2I Punkte aus allen kP Mengen vom Rang P uberdeckt werden, denn es
gilt D!1;::: ;!P \ D 6= ; fur alle P -Tupel (!1; : : : ; !P ) 2 f1; : : : ; kgP . Also mu
X
i2I
kP ?pi
=
P
X
p=1
NpkP ?p kP
gelten. Diese Ungleichung ist aquivalent zu
folgt daraus
d
X
rid > r
2 :
i2I
PP
p=1 Npk
?p
1. Zusammen mit (5.1.3)
Da diese Beziehung fur jede beliebige U berdeckung von D mit Kugeln vom Radius
hochstens r2 gilt, heit das
d
r > 0:
H D; d; r
2
2
129
Aufgrund der Monotonie von H (D; d; ) folgt daraus H (D; d) > 0 und somit
dimH (K ) d.
Unter Nutzung von Satz 5.1.1 konnen wir nun die folgende untere Schranke der
Hausdor-Dimension fur invariante Mengen von k -1-Endomorphismen nachweisen:
Satz 5.1.2 Es seien (M; g) eine n-dimensionale Riemannsche C 3-Mannigfaltigkeit
und ('; K; K1 ; : : : ; Kk ) ein k -1-Endomorphismus-System mit k 2 und der Eigen-
schaft (C1) aus Abschnitt 4.2. Falls fur den groten Singularwert von du ' die Ungleichung
1(du') k n1 fur alle u 2 K
(5.1.4)
gilt, dann kann die Hausdor-Dimension der invarianten Menge K nach unten durch
dimH (K ) ln sup ln k (d ')
u2K 1 u
abgeschatzt werden.
Beweis Wie schon bemerkt, erfullen die Mengen Ki1 ;:::;ip ((i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; kgp;
p 2 N) die Bedingungen 1) und 2) von Satz 5.1.1, wenn wir die Reihenfolge der Indizes
umkehren. Um Satz 5.1.1 anwenden zu konnen, mussen wir nun noch die Eigenschaft
(5.1.1) nachweisen.
Es sei d 2 0; lnsupu2lnKk1(du ') eine beliebige Zahl. Da wir k 2 vorausgesetzt hatten,
ist dieses Intervall fur d nichtleer. Aus (5.1.4) und k 2 ergibt sich supu2K 1(du ') >
1. Somit existiert eine Zahl > supu2K 1(du') mit
k = d :
(5.1.5)
Dann gibt es eine oene Menge V mit K V U , so da 1(du ') fur alle u 2 V
gilt. Es sei 1 := inf f%(ui; uj ) j ui 2 Ki ; uj 2 Kj ; 1 i < j kg der Mindestabstand
zwischen den Mengen K1; : : : ; Kk . Da die Mengen K1; : : : ; Kk paarweise disjunkt
sind, gilt 1 > 0. Weiterhin existiert eine Zahl 2 > 0, so da jede Kugel vom Radius
2, die Punkte aus K enthalt, vollstandig in V enthalten ist.
Es sei nun 2 (0; minf1; 2g) eine beliebige Zahl. Weiterhin seien p 2 N eine beliebige Zahl, (i1; : : : ; ip); (j1; : : : ; jp) 2 f1; : : : ; kgp zwei beliebige, aber voneinander
verschiedene p-Tupel und u 2 Ki1 ;:::;ip und v 2 Kj1 ;:::;jp zwei beliebige Punkte. Induktiv wollen wir zeigen, da dann %(u; v) > 1?p gilt. Fur p = 1 ist das oensichtlich erfullt. Wir nehmen nun an, da diese Behauptung fur ein p 2 N erfullt
ist und wollen sie fur p + 1 nachweisen. Dazu betrachten wir zwei Falle. Im ersten
Fall sei ip+1 6= jp+1. Dann ist u 2 Kip+1 und v 2 Kjp+1 mit ip+1 6= jp+1, also gilt
130
%(u; v) 1 > . Wegen > 1 ist dann auch %(u; v) > ?p. Im zweiten Fall betrachten wir nun ip+1 = jp+1 . Dann mu (i1; : : : ; ip) 6= (j1; : : : ; jp) gelten. Wegen
'(u) 2 Ki1;::: ;ip und '(v) 2 Kj1 ;:::;jp gilt dann aufgrund der Induktionsvoraussetzung
%('(u); '(v)) > 1?p. Fur %(u; v) > ist die Behauptung oensichtlich erfullt. Wir
betrachten deshalb im weiteren %(u; v) . Dann gilt v 2 B (u; 2) V U , also
ist die Abbildung ' auf der gesamten Kugel B (u; 2), die v enthalt, deniert. Da '
eine C 1-Abbildung auf U ist, konnen wir die Taylor-Formel anwenden und erhalten
%('(u); '(v)) %(u; v). Also gilt %(u; v) > ?11?p = ?p.
Damit ist die Bedingung (5.1.1) in der Form %(u; v) > 1?p fur jedes p 2 N, beliebige voneinander verschiedene p-Tupel (i1; : : : ; ip); (j1; : : : ; jp) 2 f1; : : : ; kgp und
beliebige Punkte u 2 Ki1 ;:::;ip und v 2 Kj1 ;:::;jp erfullt. Daraus folgt mit Satz 5.1.1 die
Abschatzung dimH (K ) lnln k = d. Im Grenzubergang d ! lnsupu2lnKk1(du') heit das
dimH (K ) ln supu2lnKk1(du') .
Bemerkung 5.1.1 Die Bedingung
(5.1.4) stellt keine echte Einschrankung dar, da
1
im Fall supu2K 1(du') < k n die Haudor-Dimension der invarianten Menge K explizit bekannt ist: Wir betrachten dazu die Abbildung ' als allgemeine nicht injektive
Abbildung. Die Menge K enthalt wegen (C1) keine kritischen Punkte. Die Vielfachheitsfunktion dieser Abbildung ist konstant k. Im Fall supu2K 1(du ') < k n1 sind
damit alle Voraussetzungen von Satz 3.4.1 fur beliebiges d 2 (0; 1] erfullt, und wir
erhalten dimH (K ) = 0.
5.2 Anwendungsbeispiele
Wir wollen hier die untere Dimensionsabschatzung auf einige Beispielabbildungen aus
Abschnitt 4.4 anwenden, um die untere Dimensionsschranke mit der oberen Schranke
vergleichen zu konnen.
5.2.1 Zeltabbildung
Gegeben sei die in den Beispielen 2.1.1 und 4.2.1 sowie in Abschnitt 4.4.1 betrachtete
Zeltabbildung '. Eine invariante Menge K dieser Abbildung ist die Standard-CantorMenge. Wie in Abschnitt 4.4.1 erwahnt wurde, ist ('; K; K1 ; K2) mit K1 = K \ [0; 13 ]
und K2 = K \[ 32 ; 1] ein 2-1-Endomorphismus-System, das die Eigenschaft (C1) erfullt.
Hier gilt 1(du ') = 3 unabhangig vom Punkt u 2 K , also ist die Bedingung (5.1.4)
erfullt. Mit Satz 5.1.2 erhalten wir die untere Schranke dimH (K ) ln2
ln3 .
In Abschnitt 4.4.1 ist derselbe Wert als obere Schranke erhalten worden, also haben
ln2 nachgewiesen.
wir damit sogar dimH (K ) = ln3
131
5.2.2 Stuckweise lineare Abbildungen auf dem Zylinder
Wir betrachten erneut das 2-1-Endomorphismus-System ('; K; K1; K2) aus den Abschnitten 3.5.2 und 4.4.3 auf dem achen Zylinder. Fur dieses System ist die Eigenschaft (C1) erfullt. Der grote Singularwert der Tangentialabbildung ist 1(du ') = 3
unabhangig vom Punkt u 2 K . Damit ist die Bedingung (5.1.4) aus Satz 5.1.2 erfullt,
ln2 .
und wir erhalten dimH (K ) ln3
Zusammen mit
atzung aus Abschnitt 4.4.3 ergibt sich hier mit
Absch
ln2der oberen
ln2
dimH (K ) 2 ln3 ; 1 + ln3 nur ein Intervall, in dem der Wert fur die HausdorDimension liegt.
Wie in Abschnitt 3.5.2 erwahnt wurde, stimmt die obere Schranke mit dem exakten
Dimensionswert uberein, wobei die untere Schranke noch sehr weit vom tatsachlichen Wert entfernt ist. Der Grund dafur ist, da in die untere Abschatzung nur der
grote Singularwert eingeht, so da der Fehler um so groer wird, je mehr sich die
Singularwerte voneinander unterscheiden.
5.2.3 Julia-Mengen
Betrachtet werden die Julia-Mengen quadratischer Polynome in der komplexen Ebene
aus den Abschnitten 3.5.3 und 4.4.4. Wie in Beispiel 4.2.3 gezeigt wurde, sind Polynome der Form '(z) = z2 + c fur Parameter c 2 C mit jcj > 2 auf ihrer Julia-Menge
K C jeweils ein 2-1-Endomorphismus mit der Eigenschaft (C1). Hier haben wir fur
jedes z 2 C die zwei ubereinstimmenden Singularwerte
1(dz ') = 2(dz ') = 2jzj:
Insbesondere gilt also supz2K 1(dz ') = 2 supz2K jzj. Mit (3.5.4) folgt daraus
q
q
p
p
2 jcj ? j2cj sup 1(dz ') 2 jcj + j2cj:
z2K
q
p
p
Damit ist Bedingung (5.1.4) aus Satz 5.1.2 erfullt, falls 2 jcj ? j2cj 2 gilt, d. h.
p
fur alle Parameter c mit jcj 32 + 2. In diesem Fall kann Satz 5.1.2 angewendet
werden und liefert
p
dimH (K ) q ln 2 p fur jcj 32 + 2:
ln 2 jcj + j2cj
Zusammen mit der unteren Abschatzung aus Abschnitt 4.4.4 erhalten wir damit fur
die Hausdor-Dimension der Julia-Menge K der Abbildung '(z) = z2 + c die Einschlieung
ln 2
ln2
3 + p2:
q
q
dimH (K ) f
u
r
j
c
j
>
p
p
2
ln 2 jcj + j2cj
ln 2 jcj ? j2cj
132
Dies sind dieselben oberen und unteren Schranken, die auch in [21] erhalten wurden.
Fur betragsmaig groe Parmeterwerte ergibt sich daraus das asymptotische Verhalten dimH (K ) 2lnln2
jcj (siehe auch [64]).
133
134
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Versicherung
Hiermit versichere ich, da ich die vorliegende Arbeit ohne unzulassige Hilfe Dritter
und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe; die
aus fremden Quellen direkt oder indirekt ubernommenen Gedanken sind als solche
kenntlich gemacht. Die Arbeit wurde bisher weder im Inland noch im Ausland in
gleicher oder ahnlicher Form einer anderen Prufungsbehorde vorgelegt.
Erklarung
Die Dissertation mit dem Thema "Abschatzungen der Hausdor-Dimension invarianter Mengen dynamischer Systeme auf Mannigfaltigkeiten unter besonderer Berucksichtigung nicht invertierbarer Abbildungen\ wurde an der Technischen Universitat
Dresden an der Fakultat Mathematik und Naturwissenschaften im Institut fur Analysis (Fachbereich Mathematik) unter der Betreuung von Doz. Dr. V. Reitmann angefertigt.