Lösungen 3.1 - 3.3 Mathematische Methoden 06.10.04

Lösungen 3.1 - 3.3
Mathematische Methoden
06.10.04
3.1 Wenn wir eine Regel für die Teilbarkeit durch 5 aufstellen wollen, spalten wir von der
Dezimaldarstellung der natürlichen Zahl a die letzte Ziffer ab:
a = b · 10 + c a, b, c nicht negative ganze Zahlen c ≤ 9
Da b · 10 durch 5 teilbar ist, ist a genau dann durch 5 teilbar, wenn c gleich 0 oder
5 ist. Entsprechend verfahren wir, wenn wir eine Teilbarkeitsregel durch 625 aufstellen
wollen. Wir wissen, dass 10000 durch 625 teilbar ist. Also zerlegen wir die natürliche
Zahl a wie folgt:
a = b · 10000 + c a, b, c nicht negative ganze Zahlen c ≤ 9999
Da b · 10000 von 625 geteilt wird, ist a genau dann durch 625 teilbar, wenn c durch 625
teilbar ist.
Teilbarkeitsregel:
a ist genau dann durch 625 teilbar, wenn in der Dezimaldarstellung von a die Zahl, die
aus den letzten vier Ziffern gebildet wird, durch 625 teilbar ist.
3.2 Wir rechnen zuerst ein paar Beispiele aus:
71
72
73
74
75
76
77
78
79
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
100
100
100
100
100
100
100
100
100
=
7
=
49
=
343
=
2401
=
16807
=
117649
=
823543
= 5764801
= 40353607
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
100
100
100
100
100
100
100
100
100
=
=
=
=
=
=
=
=
=
7
49
43
1
7
49
43
1
7
Diese Berechnungen legen die folgende Vermutung nahe:
Für natürliche Zahlen x und n gilt
7x mod 100 = 7x+4·n mod 100
oder in anderer Schreibweise: 7x ≡ 7x+4·n ( mod 100)
(Beweis siehe Theorieteil)
Also ist 74 ≡ 74+4·500 ( mod 100). Da 74 den Rest 1 hat, muss auch 74+4·500 = 72004 den
gleichen Rest modulo 100 haben. Demnach müssen 0 und 1 die beiden letzten Ziffern
von 72004 sein.
3.3 Ist x die Zahl der richtigen Antworten, y die Zahl der falschen Antworten und z die
Zahl der unbeantworteten Fragen, so gilt
(I)
(II)
x + y + z = 30
13x − 5y + 0 · z = 122 oder 13x − 5y = 122
Aus Gleichung II ergibt sich:
13x − 5y ≡ 122 mod 5
Da 5y durch 5 teilbar ist, gilt: 5y mod 5 = 0. Außerdem ist 122 mod 5 = 2. Also gilt
13x ≡ 2
mod 5
oder
(13x) mod 5 = 2
Nach unserer Produktregel für die Restrechnung ist dann
((13 mod 5) · (x mod 5)) mod 5 = 2 , also (3 · (x mod 5))
mod 5 = 2.
Da x mod 5 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} können wir diese Gleichung durch Probieren lösen und
erhalten x mod 5 = 4. Nach Aufgabenstellung ist 0 ≤ x ≤ 30. Deshalb kommen nur
folgende Werte für x in Frage:
x ∈ {4; 9; 14; 19; 24; 29}.
Setzen wir diese Werte in die Gleichung II ein, stellen wir fest, dass nur x = 14 ein
vernünftiges Ergebnis liefert. Also ist x = 14; y = 12; z = 4 die einzige mögliche Lösung.
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