¨Ubungsblatt 1 Laplace

UNIVERSITÄT WIEN
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Einführende Statistik
Übungsblatt 1
Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1
Neun Personen besteigen einen Zug mit drei Wagen. Jede Person wählt zufällig und unabhängig von den anderen Personen einen Wagen. Wie groß ist unter geeigneter LaplaceAnnahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) genau drei Personen in den ersten Wagen steigen,
b) jeweils drei Personen in jeden Wagen steigen,
c) die neun Personen sich in Gruppen zu zwei, drei und vier Personen auf die drei
Wagen aufteilen?
Aufgabe 2
Beim “Doppelkopf-Spiel” wird ein Kartenspiel mit 48 Karten durchgemischt und es werden an vier Spieler je zwölf Karten verteilt. Acht der 48 Karten heißen “Damen”, zwei
der acht Damen heißen “Kreuz-Damen”. Man berechne unter der Laplace-Annahme die
Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis: Ein Spieler erhält beide Kreuz-Damen.
Aufgabe 3
In Fortsetzung der vorangegangenen Aufgabe berechne man unter der Laplace-Annahme
die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis: Ein Spieler erhält beide Kreuz-Damen und
mindestens drei weitere Damen.
Aufgabe 4
In Fortsetzung der vorangegangenen Aufgabe berechne man unter der Laplace-Annahme
die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis: Zwei Spieler erhalten je eine Kreuz-Dame
und mindestens zwei weitere Damen.
Aufgabe 5
Aus einer Tabelle (einstelliger) Zufallsziffern werden nacheinander Ziffern entnommen.
Wie viele Ziffern muss man mindestens entnehmen, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit ≥ 0.95 mindestens eine ungerade ist.
Aufgabe 6
Ein Produktionsverfahren zur Herstellung von bestimmten elektronischen Bauteilen liefert
im Mittel 10% Ausschuss, 40% Produkte zweiter und 50% Produkte erster Wahl. Aus
der laufenden Fertigung werden 4 Bauteile entnommen. Unter geeigneten Annahmen
(“Ziehen mit Zurücklegen”) berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter
den 4 entnommenen Bauteilen
a) ausschließlich Bauteile erster Wahl befinden,
b) kein Ausschuss und höchstens ein Bauteil zweiter Wahl befindet,
c) mindestens drei Bauteile erster Wahl befinden.
Aufgabe 7
Bei einer Nikolausfeier im Kindergarten bringt jedes der 12 Kinder ein Päckchen mit,
das der Nikolaus in seinen Sack steckt. Später verteilt er die 12 Päckchen wieder zufällig
an die Kinder. Wie groß ist (unter geeigneter Laplace-Annahme) die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass keines der Kinder sein eigenes Päckchen zurückbekommt?
Aufgabe 8
Das Ergebnis eines Roulette-Spieles ist eine der Zahlen 1 bis 36 oder die 0, die alle mit
gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Man kann bei einfacher Gewinnchance auf die
geraden Zahlen (2, 4, . . . , 36; “Pair”) oder die ungeraden Zahlen (1, 3, 5, . . . , 35; “Impair”)
setzen. Ein Spieler setze immer auf “Pair”.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei 10 Spielen genau 2-mal bzw.
genau 3-mal Erfolg hat?
b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass der Spieler beim k-ten Spiel
(k ∈ N) zum ersten Erfolg kommt, und berechne diese Wahrscheinlichkeit für k =
1, 2, 3 bzw. k = 10.
c) Das Einsatzlimit betrage 5000 Euro. Der Spieler beginnt mit einem Einsatz von 5
Euro und nimmt sich vor, bei Verlust seinen Einsatz im jeweils nächsten Spiel zu
verdoppeln und bei Gewinn aufzuhören. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass er wegen Überschreitung des Limits aufhören muss, bevor er einen Gewinn
realisieren kann?
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