Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 7

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 7
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
23. Mai 2016
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 7
Version: 9. Mai 2016
1
1.8.2 Stetige Gleichverteilung
endliches Intervall [a, b] ⊂ R .
I
Parameter:
I
Zufallsgröße X mit Dichtefunktion fX bzw. Verteilungsfunktion FX

1
 0, x < a;
x−a
b−a , a ≤ x ≤ b ;
, a ≤ x ≤ b;
fX (x) =
FX (x) =
0 , sonst ;
 b−a
1, x > b.
I
Kenngrößen:
EX =
I
Bezeichnung:
X ∼ U[a, b] .
I
Für Teilintervalle [c, d] ⊂ [a, b] gilt
a+b
2
= x0.5
P(c ≤ X ≤ d) =
und VarX =
(b−a)2
12
.
d −c
Länge von [c, d]
=
b−a
Länge von [a, b]
(wird genutzt bei der geometrischen Wahrscheinlichkeitsdefinition).
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2
Stetige Gleichverteilung II
Beispiel:
a = 0, b = 1 ,
Dichtefunktion fX (links)
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und
Verteilungsfunktion FX (rechts) .
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3
Pseudozufallszahlen
I
Um zufällige Modelle am Computer zu realisieren, erzeugen
Rechnerprogramme Pseudozufallszahlen (auch kurz Zufallszahlen
genannt), die sich wie Realisierungen von unabhängigen, auf dem
Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsgrößen verhalten. Diese werden
bei Monte-Carlo-Simulationen verwendet.
I
Daraus lassen sich z.B. mit Hilfe der folgenden Eigenschaft
Realisierungen von Zufallsgrößen mit anderen Verteilungen erzeugen.
I
Satz: Sind u1 , u2 , . . . gleichverteilte Zufallszahlen auf [0, 1] und ist
FX die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsgröße X mit der
Umkehrfunktion FX−1 , dann sind xi = FX−1 (ui ) , i = 1, 2, . . . nach
FX verteilte Zufallszahlen (Inversionsmethode).
I
Es existieren noch weitere Transformationsmethoden, um für häufig
gebrauchte Verteilungen, wie z.B. die Normalverteilung,
entsprechende Zufallszahlen zu generieren.
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4
1.8.3 Exponentialverteilung
I
Parameter:
I
Zufallsgröße X mit Dichtefunktion fX bzw. Verteilungsfunktion FX
0,
x ≤ 0;
0,
x ≤ 0;
fX (x) =
FX (x) =
−λx
−λx
λe
, x > 0;
1−e
, x > 0.
I
Bezeichnung:
I
Exponentialverteilte Zufallsgrößen nehmen nur nichtnegative Werte
an, daher sind sie prinzipiell zur Modellierung von zufälligen
Lebensdauern oder Wartezeiten geeignet.
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λ > 0.
X ∼ Exp(λ) .
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5
Exponentialverteilung II
,
VarX =
1
λ2
und x0.5 =
ln 2
λ
≈
0.693
λ
.
Kenngrößen:
I
Beispiel:
I
Beispielaufgabe: Die zufällige Lebensdauer eines Bauteils sei
exponentialverteilt, dabei betrage die erwartete Lebensdauer 3 Jahre.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil länger als 6
Jahre funktioniert ?
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EX =
1
λ
I
λ = 0.5 (blau), λ = 1 (rot), λ = 5 (grün)
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6
Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung
I
Wird die zufällige Lebensdauer eines Bauteils durch eine
Exponentialverteilung modelliert, dann werden Alterungseffekte
nicht mit berücksichtigt (sogenannte Gedächtnislosigkeit der
Exponentialverteilung).
I
Angenommen, das Bauteil hat schon das Alter x0 > 0 erreicht.
Dann gilt für die Restlebensdauer Xx0 und x > 0
P(Xx0 > x) = P (X > x0 + x|X > x0 ) =
P(X > x0 + x)
P(X > x0 )
=
I
Damit ist die Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung nur
dann ein gutes Modell, wenn äußere Ereignisse das Leben beenden
und keine Alterung vorliegt.
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7
1.8.4 Gammaverteilung
I
Parameter:
λ > 0, p > 0 .
(
I
Dichtefunktion:
I
Gammafunktion:
fX (x) =
0,
λp p−1 −λx
e
Γ(p) x
x ≤ 0;
, x > 0.
Γ(1) = 1 , Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1) ⇒ Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ N .
Z ∞
Allgemeine Definition: Γ(p) =
e−t t p−1 dt (p > 0) .
0
und VarX =
p
λ2
I
Kenngrößen:
I
Anwendung: Lebensdauerverteilung, flexibler als die
Exponentialverteilung (diese ergibt sich als Spezialfall wenn p = 1) .
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EX =
p
λ
.
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8
Gammaverteilung II
I
Beispiele: links p = 2 , λ = 0.5 (blau), λ = 1 (rot), λ = 5 (grün);
rechts λ = 1 , p = 0.9 (blau), p = 2 (rot), p = 5 (grün)
I
Bezeichnung:
I
Spezialfall:
I
Xi ∼ Gam(pi , λ) , i = 1, 2 , unabh. ⇒ X1 + X2 ∼ Gam(p1 + p2 , λ) .
I
Xi ∼ Exp(λ) , i = 1, ..., n , unabh. ⇒ X1 + . . . + Xn ∼ Gam(n, λ) .
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X ∼ Gam(p, λ) .
p=n∈N
⇒
Erlangverteilung.
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9
1.8.5 Weibullverteilung
I
I
I
I
I
α ∈ R, β > 0, m > 0.

 0,
x ≤ α;
m−1 x−α m
Dichtefunktion: fX (x) =
− β
x−α
 m
e
, x > α.
β
β
(
0,
x ≤ α;
m
Verteilungsfunktion: FX (x) =
− x−α
β
1−e
, x > α.
1
Erwartungswert: EX = α + βΓ 1 +
.
m
2
1
2
2
Varianz: VarX = β Γ 1 +
−Γ 1+
.
m
m
Parameter:
x0.5 = α + β (ln 2)1/m .
I
Median:
I
Spezialfälle: α = 0 : zweiparametrische Weibullverteilung;
α = 0 , m = 1 , β = λ1 : Exponentialverteilung Exp(λ) .
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Weibullverteilung II
I
Beispiele: α = 0 ,
links: m = 1.5 , β = 0.5 (blau), β = 1 (rot), β = 5 (grün),
rechts: β = 1 , m = 0.9 (blau), m = 1 (rot), m = 5 (grün)
I
Die Weibullverteilung ist durch die Parameter sehr anpassungsfähig.
I
Die Weibullverteilung kann als Grenzverteilung für das Minimum
einer großen Zahl von unabhängigen Zufallsgrößen auftreten
(Verteilung des schwächsten Kettengliedes). Deshalb sind
Lebensdauern von Systemen oft weibullverteilt.
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1.8.6 Lognormalverteilung
µ ∈ R , σ2 > 0 .
I
Parameter:
I
Bezeichnung:
I
X ∼ N(µ, σ 2 )
⇔
I
Kenngrößen:
EX = eµ+
I
Beispiele:
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X ∼ LN(µ, σ 2 ) .
eX ∼ LN(µ, σ 2 ) .
σ2
2
,
VarX = e2µ+σ
2
µ = −2 , σ = 0.5 , µ = 0 , σ = 1 ,
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2
eσ − 1 .
µ = 1, σ = 2
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Anwendungen der Lognormalverteilung:
I als Verteilung von Aktienkursen in der stochastischen
Finanzmathematik;
I bei Zeitstudien und Lebensdaueranalysen in ökonomischen,
technischen und biologischen Vorgängen;
I bei Untersuchungen in der analytischen Chemie, wie Konzentrationsund Reinheitsprüfungen;
I für wirtschaftsstatistische Merkmale, wie den Bruttomonatsverdienst
von Angestellten oder Umsätze von Unternehmen.
1.8.7 Weitere stetige Verteilungen
I
Statistische Prüfverteilungen (später).
I
I
I
χ2 -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung).
t-Verteilung (Student-Verteilung).
F -Verteilung (Fisher-Verteilung).
I
Logistische Verteilung (siehe Formelsammlung).
I
...
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