Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 3
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
18. April 2016
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
Version: 13. April 2016
1
1.6 Zufallsgrößen
1.6.1 Zufallsgrößen und deren Verteilung
I
Oft sind Ergebnisse von Zufallsversuchen in Form von Zahlen
gegeben oder es ist für eine mathematische Behandlung günstig, den
elementaren Versuchsausgängen Zahlen zuzuordnen. Diese vom
”
Zufalls abhängigen Zahlenwerte“ werden durch eine Zufallsgröße X
(oder mehrere Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . , Xn ) modelliert.
I
Beispiele:
I
I
I
I
Zufällige Anzahl X (von Schadensfällen, Konkursen,. . . )
mit möglichen Werten {0, 1, 2, . . .}.
Zufällige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeit,. . . )
mit möglichen Werten {x ∈ R : x ≥ 0}.
Messergebnis X (Geldmenge, Temperatur, . . . ) mit entsprechenden
Zahlenwerten (ohne Maßeinheit) als möglichen Werten.
Augenzahl X beim Würfeln mit möglichen Werten {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Mathematische Definition einer Zufallsgröße
I
Mathematische Definition einer Zufallsgröße:
Eine Abbildung (Funktion) X : Ω → R heißt Zufallsgröße (reelle
Zufallsvariable, kurz: ZG), falls für jedes Intervall (a, b) ⊂ R, a < b
die Menge {ω ∈ Ω : a < X (ω) < b} ein zufälliges Ereignis ist (dies
ist die sogenannte Messbarkeitsbedingung, dabei wird ein System A
von zufälligen Ereignissen mit den Eigenschaften aus den Axiomen
als gegeben vorausgesetzt).
I
Sind X , Y Zufallsgrößen zu einem Zufallsversuch, dann sind auch
X + Y , X − Y , X · Y , X /Y falls Y 6= 0, a · X mit a ∈ R und
ähnliche durch mathematische Operationen gebildete Größen
Zufallsgrößen.
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Grundtypen von Zufallsgrößen
I
Für Zufallsgrößen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten der
Art P(X ≤ b), P(a < X < b) oder P(a ≤ X ≤ b) für reelle
Zahlen a < b (diese bilden die Verteilung“ der Zufallsgröße) sowie
”
abgeleitete Kenngrößen, wie Erwartungswerte, Varianzen usw.
I
Es gibt zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgrößen, die sich zum
Teil mit unterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln untersuchen
lassen:
I
I
diskrete Zufallsgrößen“ (Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung) und
”
stetige Zufallsgrößen“ (Zufallsgrößen mit (absolut) stetiger
”
Verteilung).
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Diskrete Zufallsgrößen
I
I
Definition: Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich
oder abzählbar unendlich viele Werte x1 , x2 , . . . annehmen kann.
Die Zuordnung pi := P(X = xi ), i = 1, 2, . . . heißt
Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße. Sie wird
meistens durch eine Verteilungstabelle gegeben:
Werte
xi x1 x2 x3 . . .
Wahrscheinlichkeiten pi p1 p2 p3 . . .
X
Für die Wahrscheinlichkeiten pi gelten: 0 ≤ pi ≤ 1 ,
pi = 1 .
i
xi
I
Beispiel:
Gerechtes Würfeln
pi
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6
1 .
6
5
Die Verteilung diskreter Zufallsgrößen
I
Es gelten z.B.
P(a < X < b) =
X
pi
i : a<xi <b
für reelle Zahlen a < b bzw. allgemein für eine Menge B ⊆ R
X
P(X ∈ B) =
pi .
i : xi ∈B
I
Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten pi efolgt durch
Berechnung aus Grundannahmen (oft für typischen Situationen
bzw. Verteilungen) oder experimentell mittels statistischer
Methoden.
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Zufallsgrößen mit stetiger Verteilung
I
Definition: Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine
integrierbare reelle Funktion fX (x) gibt, so dass
Z
P(a ≤ X ≤ b) =
b
fX (x) dx
a
für beliebige reelle Zahlen a ≤ b gilt.
I
Die Funktion fX heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der
Zufallsgröße X und besitzt die Eigenschaften:
1. fX (x) ≥ 0 für alle x ∈ R ;
Z ∞
2.
fX (x) dx = 1 .
−∞
I
Sie gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse“ auf der
”
reellen Achse an.
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Beispiel Zufallsgröße mit stetiger Verteilung
I
Beispiel: Rein zufällige Auswahl eines Punktes (Wertes) X aus
dem Intervall [0, 1] ( auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte oder
”
gleichmäßig verteilte Zufallsgröße“).
I
Für 0 ≤ a < b ≤ 1 gilt P(a ≤ X ≤ b) = b − a .
1 , für 0 ≤ x ≤ 1 ,
Die Dichtefunktion ist fX (x) =
0 , sonst .
I
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Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
I
Die Verteilungen von diskreten oder stetigen Zufallsgrößen (oder
anderen Typen) können vollständig durch die Verteilungsfunktion
der jeweiligen Zufallsgröße beschrieben werden.
I
Definition: Die Funktion FX einer reellen Variablen mit reellen
Funktionswerten, die durch
FX (x) = P(X < x) = P(−∞ < X < x),
x ∈ R,
definiert wird, heißt Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X .
Der Funktionswert ist für jede reelle Zahl x die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der kleiner als x
ist.
I
Bemerkung: Mitunter wird die Verteilungsfunktion einer
Zufallsgröße X auch durch FeX (x) = P(X ≤ x), x ∈ R, definiert,
insbesondere in der Zuverlässigkeitstheorie.
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Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
I
Für diskrete Zufallsgrößen mit endlich vielen möglichen Werten ist
die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion mit Sprüngen der
Höhe pi an den Werten xi .
I
Beispiel: X Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten
Würfel: Verteilungsfunktion FX .
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Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße
I
Für stetige Zufallsgrößen ist die Verteilungsfunktion eine in allen
Punkten stetige Funktion.
I
Beispiel: Zufallsgröße X auf [0, 1] gleichverteilt:
Verteilungsfunktion FX .
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Allgemeine Eigenschaften von Verteilungsfunktionen
I
Eine Verteilungsfunktion FX ist monoton nicht fallend.
Es gilt
lim FX (x) = 0 .
I
Es gilt
I
Es gilt für beliebige reelle Zahlen a < b :
I
x→−∞
lim FX (x) = 1 .
x→+∞
P(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) .
I
Für eine stetige Zufallsgröße X gelten
P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) .
I
Außerdem gelten für stetige Verteilungen
Z x
FX (x) =
fX (t) dt, x ∈ R
und fX (x) = FX0 (x)
−∞
in den Werten x, in denen die Ableitung existiert.
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