1 Verteilungsfunktionen, Zufallsvariable etc.

4. Test M3 ET 2007 6.6.2007
14. Dezember 2007
1
Regelung für den 1.ten Übungstest:
1. Wer bei den Professoren Dirschmid, Blümlinger, Vogl oder Langer die UE aus Mathematik 2 gemacht hat, sollte dort die WTH und Statistik gehabt haben und ich
rechne seine Übungsnote als Anhaltspunkt für die Wertung des 1.ten Tests.
Es wird gebeten, das Übungszeugnis bei der Abschlußprüfung zur M3 ET mitzunehmen.
Gesonderte email-Nachricht (Abmeldung vom 1. Test) an mich ist nicht erforderlich.
2. Wer die Vorlesungsprüfung aus Mathematik 2 bei Dirschmid, Langer oder Vogl,
jedoch ohne Absolvieren der Übungen gemacht hat, sollte den 1.Test unbedingt
mitmachen, weil dieser praktischen Umgang (zumindest in bescheidenem Maße)
berücksichtigt.
1
Verteilungsfunktionen, Zufallsvariable etc.
Beispiel 1 Mehrfachantworten sind möglich, jede korrekte Antwort ergibt einen Punkt.
1. Welche der in der linken Spalte skizzierten Funktionen sind keine Verteilungsfunktionen?
a)
b)
c)
d)
Lediglich a). Bei b) und d) ist die Monotonieeigenschaft verletzt, und in c) liegt keine
Funktionsgraph vor
2. Welche der in der rechten Spalte skizzierten Funktionen kommen als Dichten kaum
in Frage?
a)
b)
c)
d)
Lediglich c) sieht wie eine Dichte aus. (Korrektur d Antwort von a) am 31.10.07) a) ist
keine Funktion, b) ist auch negativ und scheidet aus. Bei d) weiß man das nicht genau,
2
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weil nur ein endlicher Ausschnitt gezeichnet ist.
1)
2)
1
1
a
a
0
0
1
1
b
b
0
0
1
1
c
c
0
0
1
1
d
d
0
3. Durch welche der nachstehenden Eigenschaften ist die stochastische Unabhängigkeit
der Zufallsvariablen X, Y : Ω → R charakterisiert?
a) E(X)E(Y ) = E(XY )
b) FX (x)FY (y) = F(X,Y ) (x, y) gilt
für alle x, y ∈ R
c) FX (x)FY (y) = FXY (x, y)
d) P (X(ω) < x))P (Y (ω) < y)) =
P (X(ω) < x ∧ Y (ω) < y)
b) und d). a) tut dies nur, falls F eine Gaußsche Normalverteilung ist. In c) kann
auf der rechten Seite die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen nicht von 2
Argumenten abhängen
0
3
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4. Welche der folgenden Aussagen ist zutreffend?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Identisch verteilte Variable Xi können unterschiedliche Erwartungswerte besitzen
Der Erwartungswert von 3X + 5Y ist 3E(X) +
5E(Y )
Sind die Variablen X und Y unabhängig, so ist
die Varianz von Z = 3X + 5Y gleich 9V (X) +
25V (Y ) (Angabe abgeändert am 30.10.07)
Die Normalverteilung N (7, 25) hat Varianz 25
F2X−3 (x) = P (X < x+3
2 )
2
V (2X − 3) = 4V (X ) − 6V (X) + 9
a) F.
b) T. E ist lineare Abbildung.
c) T. Es ist V (3X +5Y ) = E((3X +5Y )2 )−E(3X +5Y )2 = E(9X 2 +30XY +25Y 2 )−
(3E(X) + 5E(Y ))2 = 9E(X 2 ) + 30E(XY ) + 25E(Y 2 ) − 9E(X)2 − 30E(X)E(Y ) −
25E(Y )2 = 9E(X 2 ) + 25E(Y 2 ) − 9E(X)2 − 25E(Y )2 (wobei E(XY ) = E(X)E(Y )
wegen der st.Unabh. benützt worden ist) und hieraus ergibt sich die Behauptung.
1 x−7
1
d) F. Die Verteilungsdichte der N (7, 25) ist √2πσ
e− 2 ( 25 ) , insbesondere ist σ = 25.
Demnach ist V (X) = σ 2 = 625, wobei X die unter Betracht stehende N (7, 25)verteilte Zufallsvariable ist.
e) T. Es ist F2X−3 (x) = P (2X − 3 < x) laut Definition. Weil die Ungleichung
2X − 3 < x (eigentlich 2X(ω) − 3 < x) zu X < x+3
2 äquivalent ist, erhält man aus
der DN der Verteilungsfunktion von X die behauptete Gleichung.
f) F. Es ist
V (2X − 3) = E((2X − 3)2 ) − E(2X − 3)2
= E(4X 2 − 12X + 9) − (4E(X)2 − 12E(X) + E(9)
= 4E(X 2 ) − 12E(X) + E(9) − 4E(X)2 + 12E(X) − E(9)
= 4(E(X 2 ) − E(X)2 )
= 4V (X).
Wäre die obige Formel nun richtig, so müßte die Gleichung
4V (X) = 4V (X 2 ) − 6V (X) + 9
gültig sein. Ist X nun etwa die Zufallsvariable, die konstant gleich Null ist, so ist
E(X) = V (X) = V (X 2 ) = 0 und man bekommt den Widerspruch 0 = 9.
2
Statistische Tests aller Art
Beispiel 2 Fragen hiezu.
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5. Ausgangssituation: Gewisse Aussagen über die Verteilungsfunktion gewisser Kenngrößen U , I und R eines Bauteils sollen durch 100 Messungen getroffen werden (z.B.
wie gut U = IR erfüllt ist“). Es sollen folgende Behauptungen entschieden werden,
”
von denen sich die meisten auf korrekte Verwendung der Terminologie beziehen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Die Verteilungsfunktion der Kenngrößen hat 3 Argumente
Die Messungen bescheren einem eine Stichprobe im
(R3 )10
Jede einzelne der 100 Messungen ist eine Stichprobe
Der Wahrscheinlichkeitsraum Ω darf als R3 angenommen werden und X : Ω → R3 ist die Zufallsvariable mit den Koordinaten“ X = (U, I, R), welche die
”
tatsächlichen Werte der dem Messenden zunächst unbekannten Kenngrößen des Bauteils zusammenfaßt
Der Erwartungswert µ ist ein Element des R3
~ i für i = 1, . . . , n die Meßpunkte, so ist im
Sind X
~ i ∈ R3 und n = 100
vorliegenden Fall X
1 Pn
~ i ein erwartungstreuer Punktschätzer
Es ist n i=1 X
für µ
~
P
~ i ein konsistenter Punktschätzer für µ
Es ist n1 ni=1 X
~
a) T. Die Argumente sind (U, I, R).
b) F. Sie liegt im (R3 )100 .
c) F. Jede einzelne Messung der drei Koordinaten ist eine R3 -wertige Koordinate der
Stichprobe.
d) T. Das wahrscheinlichkeitstheoretische Setting ist korrekt.
e) T.
f) T. Jeder Meßpunkt entspricht den 3 Werten (U, I, R).
g) h) beide T. Der Nachweis besteht darin, sich zu überlegen, daß jede Koordinate von
~ ∈ R3 Erwartungswert der entsprechenden Koordinate der zu messenden vektoriellen
X
~
Zufallsgröße ist. Damit überträgt sich die Erwartungstreue bzw. Konsistenz auf das X.
6. Jetzt eine 1-dimensionale Situation.
5
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Es werde die Länge l eines Stabes vermessen und 100 Messungen ausgeführt. Man
entscheide die Richtigkeit der nachstehenden Aussagen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Der Wahrscheinlichkeitsraum Ω kann als R genommen
werden und es ist gerechtfertigt, als Verteilungsfunktion jene zu nehmen, die für x ≤ l den Wert Null, und
ab x ≥ l den Wert 1 hat.
Es ist gerechtfertigt, als Länge des Stabes den Erwartungswert µ von l anzunehmen.
Es handelt sich um eine diskrete Verteilung
Die Messungen dienen einer Parameterschätzung,
nämlich jener von µ
Die Messungen dienen einer Parameterschätzung,
nämlich jener von σ, d.i. die Streuung von l
Die Streuung der Zufallsvariablen l ist Null
Unter der Annahme, daß der Stab bei Temperaturschwankungen geringfügig seine Länge ändern kann,
ist die Annahme σ = 0 ungerechtfertigt
1 Pn
2
2 ist ein konsistenter Punktschätzer
i=1 Xi − X̄
n
2
von σ (korrigiert am 5.11.07)
Die Formel für die Stichprobenvarianz lautet
n
1 X 2
Xi .
S =
n−1
2
i=1
a) – d) T. Brauchbares Setting.
d), e) beide T. allerdings könnte man auch andere Größen damit zu schätzen versuchen,
etwa Konfidenzintervalle.
f) g) Es kommt auf die Situation an. Beide Annahmen könnten gerechtfertigt sein.
h) T. allerdings, er ist nicht erwartungstreu.
i) F. (bitte selber nachsehen)
3
Diverses
7. Die Stichprobenvarianz der Messung {11, 9, 11, 9, 11, 9} beträgt a) 56 , b) 1, c)
d) keiner der vorangegangenen Werte. (4 Punkte)
a)
q
6
5,
6
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8. Jemand testet einen Würfel. Er findet absolute Häufigkeiten 15, 20, 14, 16, 17, 18 für
die Ereignisse 1, 2, 3, 5, bzw. 6 fällt. Die empirische Verteilungsfunktion hat an der
Stelle 4 den Wert a) 16, b) 0.65 c) 0.49 d) keinen dieser Werte? (4 Punkte)
c)
9. Herr St. Atistiker will aus den obigen Daten, der Kenntnis von z0.95 = 1.645, dem
1− 0.05
2 Quantil der Normalverteilung (die er z.B. Bronstein Semendjajew entnimmt)
und der Annahme, daß σ ≤ 0.04 ist (das ist eine Schätzung für die stärkste Abweichung von 61 in den Daten), folgendes ableiten:
Ein Intervallschätzer für die Wahrscheinlichkeit, daß eine 6 geworfen wird und gibt
eine Garantie mit Konfidenzniveau 0.95 ab, daß diese Wahrscheinlichkeit im Intervall
liegt, wobei α := 0.05 eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit ist.
Er kommt zu dem Ergebnis, daß mit Konfidenzniveau 0.95 die Wahrscheinlichkeit,
mit diesem Würfel eine 6 zu werfen, zwischen 0.173 und 0.187 liegt.
Ist das O.K.? (5 Punkte)
Ist O.K. Wenn z das obige Quantil ist, so benötigt er
und x̄ =
18
100 ,
um das angegebene Intervall durch
zσ
zσ
(x̄ − √ , x̄ + √ )
n
n
anzugeben.
zσ
√
n
=
.04×1.645
10
= · · · = .00658