1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen

Übungsbeispiele Statistik II für VolkswirtInnen — SS 2004
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.18 Ein Multiple-Choice Test besteht aus 10 Fragen, mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten. Ein Student, der die Antwort zufällig ankreuzt, hat also eine
Chance von 14 die richtige Antwort zu treffen.
Wie wahrscheinlich ist es, dass der Student höchstens zwei Fragen falsch beantwortet.
1.19 Aus einem Personenkreis von 11 Frauen und 7 Männern soll ein Funktionärskomitee von 4 Personen zusammengestellt werden. Beantworten Sie die
folgenden Fragestellungen jeweils unter der Annahme, dass (i) die 4 Funktionäre alle gleichberechtigt sind bzw. die gleichen Funktionen ausüben und
(ii) die 4 Funktionäre unterschiedliche Funktionen in nicht gleichberechtigter
Weise ausüben.
• Wieviele 4er-Komitees sind insgesamt möglich?
• Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn das Komitee aus 2 Frauen und 2
Männern zusammengesetzt sein soll?
• Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig zusammengestelltes Komitee nicht gemischt-geschlechtlich ist, d. h. nur aus Frauen oder nur aus
Männern besteht?
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ZUFALLSVARIABLEN
(b) Angenommen man ist an der Unterscheidung zwischen HAK- und HTLAbsolventInnen nicht interresiert, sondern nur an der Unterscheidung
zwischen AHS und BHS (Berufsbildende Höhere Schulen). Wie sieht dann
die kleinste σ-Algebra für die Mengen der
Männer {MAHS , MHAK , MHT L },
Frauen {WAHS , WHAK , WHT L },
AHS-AbsolventInnen {MAHS , WAHS },
BHS-AbsolventInnen {MHAK , MHT L , WHAK , WHT L } aus?
(c) Bilden Sie eine Zufallsvariable (Funktion), die jedem Ereignis aus Ω eine
ganze Zahl zuordnet.
(d) Geben Sie zu Ihrer Zufallsvariablen auch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
(für das zufällige Ziehen einer Person) unter der Annahme, dass jedes
Ereignis gleich Wahrscheinlich ist, an.
(e) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte
Person (i) weiblich ist, (ii) an einer AHS maturiert hat?
2.2 Die Wochennachfrage nach einer bestimmten Zeitschrift und die dazugehörige
diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion der Nachfrage ist in folgender Tabelle
gegeben:
x
P (X = x)
0
0.20
1
0.40
2
0.15
3
0.15
4
0.10
Zufallsvariablen
2.1 Eine Population an Studierenden soll hinsichtlich zweier Merkmale unterschieden werden: dem Geschlecht (M, W) und der Vorbildung (Matura an AHS,
HAK, HTL). Der Stichprobenraum ist somit gegeben durch
(a) Zeichnen Sie ein Schaubild der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
(b) Geben Sie die Verteilungsfunktion an und stellen Sie auch diese graphisch
dar.
Ω = {MAHS , MBHS , MHT L , WAHS , WHAK , WHT L },
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wochennachfrage (i) mehr
als zwei Zeitschriften beträgt, (ii) zwischen einer und drei Zeitschriften
liegt?
wobei beispielsweise MAHS bedeutet, dass die studierende Person männlichen
Geschlechts ist und an einer AHS maturiert hat.
(d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Wochennachfrage.
(a) Finden Sie die kleinste σ-Algebra welche die Mengen der
Männer {MAHS , MHAK , MHT L },
Frauen {WAHS , WHAK , WHT L },
AHS-AbsolventInnen {MAHS , WAHS },
BHS-AbsolventInnen {MHAK , WHAK } und
HTL-AbsolventInnen {MHT L , WHT L } enthält.
2.3 Betrachten Sie folgendes Glücksspiel: Aus dem Wurf zweier Würfel erhalten
Sie den Absolutbetrag der Ausgensummendifferenz in Euro ausbezahlt. Als
Einsatz für dieses Spiel müssen Sie aber zwei Euro leisten. Würden Sie dieses
Glücksspiel spielen? Ermitteln Sie dazu den Erwartungswert Ihres Gewinnes
bzw. Verlustes aus dem Glücksspiel.
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Übungsbeispiele Statistik II für VolkswirtInnen — SS 2004
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ZUFALLSVARIABLEN
2.4 Eine stetige Zufallsvariable habe folgende Dichtefunktion:

x
0≤x≤4
f (x) = 8
 0
sonst
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz für
diese Zufallsvariable.
(b) Zeichnen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion.
(c) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: P (X ≤ 3), P (X > 3),
P (1.5 ≤ X ≤ 3.2).
2.5 Eine stetige Zufallsvariable weist folgende Dichte auf:
(
ax(1 − x)
0 ≤ x ≤ 1,
f (x) =
0
sonst
(a) Bestimmen Sie die Konstante a?
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz für
diese Zufallsvariable.
(c) Zeichnen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion.
(d) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: P (X ≥ 0.7),
P (0.3 ≤ X ≤ 0.6).
2.6 Eine Zufallsvariable X habe E[X] = 25 und Var[X] = 25.
(a) Welchen Wert hat Erwartungswert und Varianz von Y = 4X − 30?
(b) Wie muss X transformiert werden, um eine Zufallsvariable Z mit E[Z] =
0 und Var[X] = 1 zu erhalten (Z = aX + b)?
2.7 Man zeige, dass folgende Gleichungen gelten:
Var[X] = E[(X − µ)2 ] = E[X 2 ] − E[X]2
Var[aX + b] = a2 Var[X]
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