Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 6
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
9. Mai 2016
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
1
1.8 Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1.8.1 Normalverteilung (Gauß-Verteilung)
µ ∈ R , σ2 > 0 .
I
Parameter:
I
Zufallsgröße X mit Dichtefunktion fX bzw. Verteilungsfunktion FX
Z x
(x−µ)2
(t−µ)2
1
1
−
2
2σ
e
, FX (x) = √
fX (x) = √
e− 2σ2 dt , x ∈ R .
2πσ
2πσ −∞
I
Kenngrößen:
EX = µ
I
Bezeichnung:
I
Eigenschaft:
X ∼ N(µ, σ 2 ) .
und
VarX = σ 2 .
X1 ∼ N(µ1 , σ12 ) , X2 ∼ N(µ2 , σ22 ) , unabhängig,
a1 , a2 ∈ R ⇒ a1 X1 + a2 X2 ∼ N(a1 µ1 + a2 µ2 , a12 σ12 + a22 σ22 )
(Additionssatz).
I
Die Dichtefunktion ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = µ ,
deshalb gilt für den Median auch x0.5 = µ .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
2
Dichtefunktion Normalverteilung
Quelle:
http://images0.dhd.de/61107000 xl.jpg
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
3
Dichte- und Verteilungsfunktionen Normalverteilung
links: µ = 0, σ = 0.5 (blau), σ = 1 (rot), σ = 2 (grün)
rechts: µ = −2, σ = 0.5 (blau), µ = 0, σ = 1 (rot), µ = 1, σ = 2 (grün)
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
4
Standardnormalverteilung
I
Die Zufallsgröße X ist standardnormalverteilt, falls X normalverteilt
ist mit µ = EX = 0 und σ 2 = VarX = 1, d.h. X ∼ N(0, 1).
I
Die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion sind dann
Z x
t2
1
1 − x2
2
bzw. Φ(x) = √
φ(x) = √ e
e− 2 dt,
2π
2π −∞
I
x ∈ R.
Ist die Zufallsgröße X normalverteilt mit Erwartungswert µ und
X −µ
Varianz σ 2 , dann ist die standardisierte Zufallsgröße Z :=
σ
standardnormalverteilt, d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0
und Varianz 1.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
5
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
I
Geg.:
I
Ges.:
I
X ∼ N(µ, σ 2 ) , a < b .
P(a ≤ X ≤ b) .
X −µ
Wegen Z =
∼ N(0, 1) gilt
σ
X −µ
b−µ
a−µ
≤
≤
P(a ≤ X ≤ b) = P
σ
σ
σ
a−µ
b−µ
=P
≤Z ≤
σ
σ
b−µ
a−µ
=Φ
−Φ
.
σ
σ
I
Die Funktionswerte von Φ können aus einer Tabelle abgelesen
werden oder z.B. mit einem Taschenrechner berechnet werden.
I
Es gilt Φ(−x) = 1 − Φ(x) für reelle Zahlen x .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
6
Tabelle Verteilungsfunktion Standardnormalverteilung
Quelle Beispiel:
G. Bourier; Statistik-Übungen; Gabler
Verlag / Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden; 2012 (E-Book Bibliothek TUBAF)
Eine entsprechende Tabelle ist
auch in der Formelsammlung zu
dieser Vorlesung zu finden.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
7
Rechenbeispiel
I
Geg.: X ∼ N(30, 25) .
I
Ges.: P(28 ≤ X ≤ 35).
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
8
k · σ−Regeln für Normalverteilung
I
I
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert
einer Zufallsgröße X ∼ N(µ, σ 2 ) um mehr als 3 · σ vom
Erwartungswert ( Sollwert“) µ abweicht ?
”
Antwort:
|X − µ|
> 3 = P(|Z | > 3)
P(|X − µ| > 3σ) = P
σ
= 2P(Z > 3) = 2 (1 − Φ(3)) = 2(1 − 0.9987) = 0.0026 .
I
3σ−Regel:
2σ−Regel:
1σ−Regel:
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Innerhalb von µ ± 3σ liegen 99.74% der Messwerte.
Innerhalb von µ ± 2σ liegen ca. 95.5% der Messwerte.
Innerhalb von µ ± σ liegen ca. 68.3% der Messwerte.
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
9
Umgekehrte Fragestellung
I
I
I
Frage: In welchem Intervall I = [µ − c; µ + c] liegen im Mittel
(z.B.) 90% der Messwerte für X ∼ N(µ, σ 2 ) ?
Ges.:
Lsg.:
c , so dass P(|X − µ| ≤ c) = 0.9 .
c
|X − µ|
≤
0.9 = P(|X − µ| ≤ c) = P
σ
σ
c
c c
c
= P |Z | ≤
=P − ≤Z ≤
= 2Φ
−1
σ
σ
σ
σ
c 0.9 + 1
Φ
=
= 0.95
σ
2
c
= z0.95 = 1.645 (0.95-Quantil)
σ
c = 1.645 · σ .
⇒
I
D.h., zwischen µ − 1.645σ und µ + 1.645σ liegen im Mittel 90% der
Messwerte.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
10
Tabelle Quantile Standardnormalverteilung
Quantile zα der Standardnormalverteilung N (0, 1)
Ablesebeispiel: z0.95 = 1.6449.
Erweiterung der Tafel: z1−α = −zα
1
Φ(z) = √
2π
Z
z
e−z
2 /2
dz
Verteilungsfunktion
α
−∞
0
α
0.9999
0.9998
0.9997
0.9996
0.9995
0.9994
0.9993
0.9992
0.9991
0.9990
0.9989
0.9988
0.9987
0.9986
0.9985
0.9984
0.9983
0.9982
0.9981
0.9980
0.9979
0.9978
0.9977
0.9976
0.9975
0.9974
0.9973
0.9972
0.9971
0.9970
0.9969
0.9968
0.9967
0.9966
0.9965
0.9964
0.9963
0.9962
0.9961
0.9960
zα
3.7190
3.5401
3.4316
3.3528
3.2905
3.2389
3.1946
3.1559
3.1214
3.0902
3.0618
3.0357
3.0115
2.9889
2.9677
2.9478
2.9290
2.9112
2.8943
2.8782
2.8627
2.8480
2.8338
2.8202
2.8070
2.7944
2.7821
2.7703
2.7589
2.7478
2.7370
2.7266
2.7164
2.7065
2.6968
2.6874
2.6783
2.6693
2.6606
2.6521
α
0.9955
0.9950
0.9945
0.9940
0.9935
0.9930
0.9925
0.9920
0.9915
0.9910
0.9905
0.9900
0.9895
0.9890
0.9885
0.9880
0.9875
0.9870
0.9865
0.9860
0.9855
0.9850
0.9845
0.9840
0.9835
0.9830
0.9825
0.9820
0.9815
0.9810
0.9805
0.9800
0.9795
0.9790
0.9785
0.9780
0.9775
0.9770
0.9765
0.9760
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
zα
2.6121
2.5758
2.5427
2.5121
2.4838
2.4573
2.4324
2.4089
2.3867
2.3656
2.3455
2.3263
2.3080
2.2904
2.2734
2.2571
2.2414
2.2262
2.2115
2.1973
2.1835
2.1701
2.1571
2.1444
2.1321
2.1201
2.1084
2.0969
2.0858
2.0749
2.0642
2.0537
2.0435
2.0335
2.0237
2.0141
2.0047
1.9954
1.9863
1.9774
α
0.975
0.970
0.965
0.960
0.955
0.950
0.945
0.940
0.935
0.930
0.925
0.920
0.915
0.910
0.905
0.900
0.895
0.890
0.885
0.880
0.875
0.870
0.865
0.860
0.855
0.850
0.845
0.840
0.835
0.830
0.825
0.820
0.815
0.810
0.805
0.800
0.795
0.790
0.785
0.780
zα
1.9600
1.8808
1.8119
1.7507
1.6954
1.6449
1.5982
1.5548
1.5141
1.4758
1.4395
1.4051
1.3722
1.3408
1.3106
1.2816
1.2536
1.2265
1.2004
1.1750
1.1503
1.1264
1.1031
1.0803
1.0581
1.0364
1.0152
0.9945
0.9741
0.9542
0.9346
0.9154
0.8965
0.8779
0.8596
0.8416
0.8239
0.8064
0.7892
0.7722
α
0.780
0.770
0.760
0.750
0.740
0.730
0.720
0.710
0.700
0.690
0.680
0.670
0.660
0.650
0.640
0.630
0.620
0.610
0.600
0.590
0.580
0.570
0.560
0.550
0.540
0.530
0.520
0.510
0.500
zα
zα
0.7722
0.7388
0.7063
0.6745
0.6433
0.6128
0.5828
0.5534
0.5244
0.4959
0.4677
0.4399
0.4125
0.3853
0.3585
0.3319
0.3055
0.2793
0.2533
0.2275
0.2019
0.1764
0.1510
0.1257
0.1004
0.0753
0.0502
0.0251
0.0000
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
11
Beispielaufgabe zum Additionssatz
I
Erinnerung Additionssatz:
X1 ∼ N(µ1 , σ12 ) , X2 ∼ N(µ2 , σ22 ) , unabhängig, a1 , a2 ∈ R
⇒ a1 X1 + a2 X2 ∼ N(a1 µ1 + a2 µ2 , a12 σ12 + a22 σ22 ) .
I
Geg.:
I
Ges.:
Abfüllmenge in ml Flasche:
Flaschenvolumen in ml:
X ∼ N(1000, 100)
Y ∼ N(1020, 25)
Wahrscheinlichkeit, dass Flasche beim Abfüllen überläuft.
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
12
Zentraler Grenzwertsatz I
I
Die Summe Sn =
n
P
Xi von n unabhängigen N(µ, σ 2 )-verteilten
i=1
Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn ist normalverteilt mit Erwartungswert nµ
und Varianz nσ 2 .
I
Näherungsweise gilt eine ähnliche Aussage auch für Zufallsgrößen
mit anderen Verteilungen.
I
Für unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . mit
EXi = µ , VarXi = σ 2 > 0 konvergiert die Verteilung der
standardisierten Summe gegen die Standardnormalverteilung, d.h. es
gilt für z ∈ R
Sn − nµ
Sn − ESn
√
√
<z =P
< z −−−→ Φ(z) ,
P
n→∞
VarSn
nσ 2
x − nµ
bzw. für große n gilt: P (Sn < x) ≈ Φ √
.
nσ 2
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
13
Zentraler Grenzwertsatz II
I
Häufig ergeben sich Zufallsgrößen (z.B. Messfehler) durch (additive)
Überlagerung vieler kleiner stochastischer Einflüsse. Der zentrale
Grenzwertsatz bewirkt dann, dass man diese Größen
(näherungsweise) als normalverteilt ansehen kann.
I
Spezialfall: Sind X1 , ..., Xn identisch Bernoulli-verteilt, d.h.
Xi ∼ Bin(1, p) , so gilt für die Summe Sn ∼ Bin(n, p) und nach dem
zentralen Grenzwertsatz gilt für z ∈ R :
!
Sn − np
< z −−−→ Φ(z)
P p
n→∞
np(1 − p)
bzw. für große n (np(1 − p) > 9) gilt
!
x − np
P (Sn < x) ≈ Φ p
(Satz von Moivre-Laplace).
np(1 − p)
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
14
Beispiel Zentraler Grenzwertsatz I
I
Eine Weinkellerei lädt 200 Kunden zur Weinverkostung ein.
Erfahrungsgemäß kommt es mit 60% der Kunden zu einem
Verkaufsabschluss. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass
genau 130 Kunden abschließen und dass mehr als 130 Kunden
abschließen ?
I
ZG X = Anzahl der Abschlüsse ∼ Bin(200, 0.6)
⇒
E(X ) =
Var(X ) =
I
P(X = 130) =
I
P(X > 130) = 0.0639 .
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
15
Beispiel Zentraler Grenzwertsatz II
I
Approximation mittels Normalverteilung
P(X = 130) = P(129.5 < X < 130.5)
=
I
P(X > 130) = 1 − P(X ≤ 130) = 1 − P(X < 130.5)
=
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 6
Version: 2. Mai 2016
16