Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 1
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
4. April 2016
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1
1
Organisatorisches
I
Vorlesung: Mo, 11:00-12:30, KKB-2030.
I
Übungen:
I
I
I
I
Di, 7:30-9:00, RAM-1085, Dr. Wünsche, 2.BBL, 2.BWLRW.
Di, 7:30-9:00, MIB-1113, Dr. Lorz, 2.BBWL.
Di, 14:00-15:30, MIB-1113, Dipl.-Math. Baaske, 2.BBWL.
Do, 14:00-15:30, LED-1105, Dr. Lorz, 2.BWIW.
I
Selbststudium (Laut Modulbeschreibung zusammen für beide
Semester 120h Präsenzzeit und 150h Selbststudium.)
I
Information: http://www.mathe.tu-freiberg.de/wiwistat
I
Prüfung: Klausur 120 Minuten, zugelassen sind Taschenrechner,
Bücher, Mitschriften; nicht zugelassen sind Laptops, Handys.
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2
Themen
I
Wahrscheinlichkeitsrechnung (ca. 6 Vorlesungen).
I
I
I
I
I
Beschreibende (deskriptive) Statistik (ca. 3 Vorlesungen).
I
I
I
I
I
Beispiele und Grundbegriffe.
Eindimensionale Merkmale.
Zweidimensionale Merkmale.
Indexzahlen.
Schließende (induktive) Statistik (ca. 4 Vorlesungen).
I
I
I
Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten, bedingte
Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit.
Zufallsgrößen, Typen, Charakterisierung und Kenngrößen.
Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Stichproben.
Parameterschätzungen.
Fortsetzung im folgenden Semester: Statistik für Betriebswirte II.
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1. Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.1 Einleitung
I
I
Im praktischen Leben, in den Wissenschaften, usw. hat man es oft
mit Situationen, Versuchen, Beobachtungen, etc., zu tun, bei denen
Ergebnisse nicht genau vorausberechnet werden können, eine
Unsicherheit besteht, bei denen aber Aussagen und/oder
Entscheidungen getroffen werden sollen.
Beispiele:
I
I
I
I
I
I
Versicherungswesen (Zeitpunkte von Schadensfällen, Höhe von Einbzw. Auszahlungen).
(Statistische) Qualitätskontrolle (notwendige Änderungen von
Produktionsparametern wegen zu mangelhafter Qualität der
Erzeugnisse).
Produktionsplanung (Entwicklung der Nachfrage).
Finanzmärkte (Entwicklung von Aktienkursen, Wechselkursen).
Wetter- und Klimavorhersagen.
Physikalische Grundgesetze (statistische Physik, Quantenphysik).
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4
Quantifizierung der Unsicherheit
I
Unterschiedliche Ereignisse haben im Allgemeinen unterschiedliche
Chancen einzutreten, das Wissen darüber kann genutzt werden.
I
Eine Möglichkeit der Quantifizierung der Unsicherheit besteht in der
Nutzung stochastischer mathematischer Modelle. Die Nutzung
derartiger Modelle hat sich in vielen Situationen bewährt.
I
Die Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik,
Theorie der Zufallsfunktionen, . . . ) als mathematische Disziplin
liefert die Grundlagen für konsistente und korrekte Berechnungen im
Zusammenhang mit stochastischen Modellen.
I
Ob ein konkretes stochastisches Modell gute Erklärungen und/oder
Entscheidungen für eine konkrete reale Situation liefert ist keine
mathematische Fragestellung.
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5
1.2 Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
I
Ideales Zufallsexperiment, zufälliger Versuch, Zufallssituation:
I
I
I
Genau festgelegte Bedingungen.
Ausgang bzw. Ergebnis des Experiments ist nicht vorhersehbar, die
möglichen Ausgänge sind vor Durchführung des Experiments bekannt.
Es ist zumindest gedanklich beliebig oft wiederholbar und eine
statistische Regularität kann beobachtet oder angenommen werden.
I
In einfachen Fällen:
Menge aller möglicher Ergebnisse (Ergebnismenge, Grundmenge) Ω.
I
Elemente ω1 , ω2 , . . . der Ergebnismenge sind die
Elementarereignisse, Versuchsausgänge oder Grundrealisierungen.
I
Die vorfügbare Information spielt eine große Rolle.
Beispiele:
Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln.
Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/Spielwürfel
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6
Zufällige Ereignisse
I
Zufälliges Ereignis oder kurz Ereignis A zu einem betrachteten
Zufallsexperiment:
nach Durchführung des Zufallsexperiments muss man mit Sicherheit
sagen können, ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht.
I
Im Sinne der (mathematischen) Logik: ”Das Ereignis A ist
eingetreten.” ist entweder eine wahre oder falsche Aussage.
I
Im Fall einer Ergebnismenge Ω: Teilmenge A der Ergebnismenge Ω;
das Ereignis A tritt ein, falls das realisierte Ergebnis des zufälligen
Versuchs in der Menge A enthalten ist.
Beispiele:
I
Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln.
I
Tägliche DAX-Schlusskurse.
Bildquelle: www.boerse.de
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Wahrscheinlichkeiten
I
Jedem zufälligen Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment
wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die sogenannte
Wahrscheinlichkeit (für das Eintreten) des Ereignisses P(A).
I
P(A) ist ein quantitatives Maß für die Chancen, dass das zufällige
Ereignis A bei einer Realisierung des Experiments eintritt, z.B.
P(A) ≈ 0 ⇒ sehr geringe; P(A) ≈ 1 ⇒ sehr große Chancen.
I
Hintergrund sind Eigenschaften von relativen Häufigkeiten
hn (A) =
Hn (A)
≈ P(A)
n
(falls n groß) ;
Hn (A) Häufigkeit des Eintretens von A in n (unabhängigen)
Realisierungen des Zufallsexperiments.
I
Häufigkeitsinterpretation für P(A): bei n Realisierungen des
Zufallsexperiments wird (oft) das zufällige Ereignis A ungefähr
n · P(A) mal eintreten und n · (1 − P(A)) mal nicht eintreten.
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Stabilisierung von relativen Häufigkeiten – Beispiel
Quelle: N.Henze, Stochastik für Einsteiger, 2013, 10.Auflage, Kap.4 .
Ergebnisse von 300 Würfen einer Reißzwecke auf einen Steinboden mit
den beiden möglichen Ergebnissen ”Spitze nach oben” =
b ”1” und ”Spitze
schräg nach unten” =
b ”0”.
Fortlaufend notierte relative Häufigkeiten für ”1”:
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Einige elementare mathematische Fragestellungen
1. Wie können mathematische Definitionen für Wahrscheinlichkeiten
gegeben werden?
2. Wie kann man bei bekannten Wahrscheinlichkeiten für bestimmte
zufällige Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten für andere zufällige
Ereignisse berechnen, welche Rechenregeln und Eigenschaften
können genutzt werden?
3. Was ändert sich in der Modellierung, wenn zusätzliche
Informationen zu einem Zufallsexperiment verfügbar werden (oder
hypothetischerweise angenommen werden)?
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Verknüpfungen von Ereignissen
Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen
Ereignissen A, B .
I
Vereinigung A ∪ B : A oder B (oder beide) treten ein.
I
Durchschnitt A ∩ B : A und B treten beide ein.
I
Differenz A \ B : A tritt ein, aber B nicht.
I
Das zu A komplementäre (entgegengesetzte) Ereignis
A = Ac = ¬A : tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt;
A = Ω \ A.
I
Unmögliches Ereignis ∅ : tritt niemals ein.
I
Sicheres Ereignis Ω : tritt immer ein (gleich Ergebnismenge).
I
A und B sind unvereinbar (sind disjunkt, schließen einander aus) : sie
können nicht gemeinsam eintreten, d.h. A ∩ B = ∅.
I
Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich : A ⊂ B (wenn A
eintritt, dann tritt auch B ein).
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Rechenregeln für Verknüpfungen von Ereignissen
Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen
Ereignissen A, B, C . Dann gelten wie allgemein für Teilmengen A, B, C
einer Menge Ω die folgenden Rechenregeln.
I
Kommutativität : A ∪ B = B ∪ A ,
I
Assoziativität : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ,
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) .
I
Distributivität : (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) ,
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) .
I
Regeln von de Morgan :
I
A ∪ A = Ω,
A ∪ ∅ = A,
I
Entsprechend können auch Vereinigungen und Durchschnitte von
mehr als zwei Ereignissen definiert werden und auch die
Rechenregeln können entsprechend verallgemeinert werden.
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A ∩ B = B ∩ A.
A∩B =A∪B,
A ∩ A = ∅,
A ∩ ∅ = ∅,
A∪B =A∩B.
A\B =A∩B,
A = A,
A ∪ Ω = Ω, A ∩ Ω = A.
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Übungsbeispiel
Entwicklung von 3 konkreten Aktienkursen in einem festen Zeitraum an
einer bestimmten Börse.
Si = {Wert der Aktie i steigt} .
Ges.: Darstellung der folgenden Ereignisse durch die Ereignisse Si .
I
A = {Wert aller 3 Aktien steigt} .
I
B = {Wert keiner der 3 Aktien steigt} .
I
C = {Wert mindestens einer der 3 Aktien steigt} .
I
D = {Wert genau einer der 3 Aktien steigt} .
I
E = {Wert aller 3 Aktien fällt oder bleibt gleich} .
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Axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Kolmogorow)
I
Mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment ist ein
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) .
I
Ω ist eine nichtleere Menge (Grundraum, Ergebnismenge), sie wird
in komplizierteren Situationen oft nicht explizit angegeben.
I
A ist eine Menge von Teilmengen von Ω, so dass endlich viele oder
abzählbar unendliche Verknüpfungen von Elementen aus A wieder
zu einem Ergebnis in A führen (Ereignisalgebra, σ−Algebra).
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jeder Menge A aus A die
reelle Zahl P(A) zu, so dass die folgenden Axiome gelten:
I
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 .
2. P(Ω) = 1 .
3. P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) falls A1 ∩ A2 = ∅ .
!
∞
∞
[
X
4. P
Ai =
P(Ai ) falls die Ereignisse Ai paarweise unvereinbar
i=1
i=1
sind, d.h. Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j) .
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Bemerkungen zu und Folgerungen aus den Axiomen
I
Man benutzt oft weiter die Wahrscheinlichkeitsterminologie (z.B.
”Ereignis” statt ”Teilmenge”).
I
Axiome 1.-3. spiegeln Eigenschaften der relativen Häufigkeiten wider.
I
Alle Zuordnungen von Wahrscheinlichkeiten die den Axiomen
genügen sind mathematisch gesehen erst einmal korrekt
(insbesondere auch subjektive Zuordnungen).
I
P(∅) = 0 .
I
P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . + P(An ) falls die
Ereignisse Ai paarweise unvereinbar sind.
I
P(A) = 1 − P(A) ,
I
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) ,
I
Additionsgesetz:
I
Siebformel: P(A ∪ B ∪ C ) =
P(A)+P(B)+P(C )−P(A∩B)−P(A∩C )−P(B ∩C )+P(A∩B ∩C ) .
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P(A) = 1 − P(A) .
(Oft sehr nützlich!)
P(B \ A) = P(B) − P(A) .
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .
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Übungsbeispiel
Für die Ereignisse A und B zu einem Zufallsexperiment seien folgende
Wahrscheinlichkeiten bekannt:
P(A) = 0.25 , P(B) = 0.45 , P(A ∪ B) = 0, 5 .
Berechnen Sie P A ∩ B , P A ∩ B und P A ∩ B ∪ A ∩ B !
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Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Laplace-Modell)
I
I
I
Gilt für Zufallsversuche mit
I
endlich vielen möglichen Versuchsergebnissen (n elementare
Versuchsausgänge oder Elementarereignisse),
I
die alle gleichwahrscheinlich sind (keines wird bevorzugt, alle haben
dieselbe Chance einzutreten).
Beispiele:
I
Würfeln mit einem fairen oder gerechten Würfel,
n = 6, Elementarereignisse sind 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
I
Zahlenlotto 6 aus 49“ ,
”
n = Anzahl der möglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen.
Aus den Axiomen für Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige
mögliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation (die
sogenannte klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition).
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Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
I
Für jedes der n Elementarereignisse gilt unter obigen Bedingungen:
P(Elementarereignis) =
I
I
1
.
n
Für ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen:
P(A) =
Anzahl der Elementarereignisse in A
n
P(A) =
Anzahl der für A günstigen Fälle
.
Anzahl aller möglichen gleichwahrscheinlichen Fälle
bzw.
Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der
klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische
Formeln genutzt (siehe später).
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1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
I
Sind zusätzliche Informationen zu einem Zufallsexperiment verfügbar
(oder werden diese hypothetisch angenommen), können sich die
Wahrscheinlichkeiten für die zufälligen Ereignisse ändern.
I
Geg.: Zufallsexperiment mit Ereignissen A, B wobei P(B) > 0 .
Es sei jetzt zusätzlich bekannt, dass B eingetreten ist.
Def.: Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
I
Auch diese Begriffsbildung basiert auf den Eigenschaften der
relativen Häufigkeiten.
I
Beispiel:
C = {Neugeborenes wird 5 Jahre alt}, z.B. P(C ) = 0.96 .
D = {Neugeborenes wird 50 Jahre alt}, z.B. P(D) = 0.87 .
Ges.: P(D|C ) .
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