Tutorium zur Analysis I - Lehrstuhl Numerische Mathematik

11. November 2009
Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Dr. M. Rheinländer
Tutorium zur Analysis I
5. Aufgabenserie
Die Aufgaben sind als Anregung und nicht als Pflichtprogramm für das Tutorium zu verstehen.
Aufgabe 5.1: Intervallschachtelungen
a) Betrachten Sie analog zu der Gruppenübung 2 (Blatt 5) die beiden rekursiv definierten Folgen (cn )
und (dn ), welche über das harmonische und arithmetische Mittel miteinander verquickt sind.
(
−1 −1
c0 = c, cn+1 = H(cn , dn ) = 2(c−1
n + dn )
d0 = d,
dn+1 = A(cn , dn ) = 12 (cn + dn )
Für die Startwerte gelte 0 < c < d. Zeigen Sie, daß
i) Per vollständiger Induktion weise man zunächst nach: ∀n ∈ N0 :
ii) Sodann zeige mann die Abschätzung ∀n ∈ N : dn − cn <
Lösungsvorschlag:
dn+1 − cn+1
=
≤
1n
2 (d0
8
<
cn < cn+1
dn+1 < dn
:
c n < dn
.
− c0 )
´
2
1`
cn + dn − −1
2
cn + d−1
n
´
´
´
1`
2
1`
1`
cn + dn − −1 =
cn + d n − c n =
dn − c n
2
2
2
2cn
Nun weiter per vollständiger Induktion.
iii) Ferner bestätige man ∀n ∈ N : cn dn = cd.
Da die Folgen (cn ), (dn ) wegen ii) einen gemeinsamen Grenzwert besitzen, läßt sich die Rekursion dazu verwenden, Quadratwurzeln √numerisch
√ zu berechnen. Geben Sie an, wieviele
Iterationen höchstens notwendig sind, um 2 und 11 mit einem Fehler kleiner 10−3 zu berechnen.
iv) Man finde eine Konstante K, so daß ∀n ∈ N: |dn+1 − cn+1 | ≤ K|dn − cn |2
Welche praktischen Auswirkungen bringt diese Abschätzung mit sich?
Lösungsvorschlag:
dn+1 − cn+1
=
=
=
=
≤
A(cn , dn ) − H(cn , dn )
`
´
2cn dn
1
cn + d n −
2
cn + d n
´
`
1
(cn + dn )2 − 4cn dn
2(cn + dn )
1
(dn − cn )2
2(cn + dn )
1
(dn − cn )2
4c
b) Diskutieren Sie in ähnlicher Weise die beiden rekursiven Folgen, welche sich mit dem harmonischen
und geometrischen Mittel bilden lassen.
c) Es bestehen weitere Variationsmöglichkeiten. So läßt sich beispielsweise die Rekursion in Aufgabe
2 der Gruppenübungen (Blatt 5) leicht modifizieren:
p
an+1 = 12 (an + bn ), bn+1 = an+1 bn
Denkbar wäre auch eine Verkopplung von mehr als zwei Folgen. Versuchen Sie deratig modifizierte
Folgen zu analysieren. Wo stoßen Sie auf Schwierigkeiten.
Aufgabe 5.2: Weitere Ergänzungen zu den Gruppenübungen und Hausaufgaben (5. Blatt)
a) Bekanntlich divergiert die Reihe der Stammbrüche (harmonische Reihe). Wie steht es mit der Reihe
der reziproken Quadratzahlen. Versuchen Sie zunächst das Quotienten- und Wurzelkriterium zur
Anwendung zu bringen. Warum scheitern Sie?
Pn
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Verdichtungssatzes, daß die Reihe ( k=1 k12 ) trotz Versagens
des Quotientenkriteriums konvergiert.
Pn
Pn
c) Die Reihe ( k=1 a2k ) sei konvergent. Folgern Sie daraus die Konvergenz der Reihe ( k=1 ank ).
Vervollständigen Sie die folgende Lösungsskizze durch erklärende Kommentare:
˛ n
˛
»
–
n
n r
n
˛X a ˛
X
X
X
|ak |
1 2
1
1
˛
k˛
=
a2k 2 ≤
ak + 2 .
˛
˛ ≤
˛
k ˛
k
k
2
k
k=m
k=m
k=m
k=m
d) In den Gruppenübungen wurde gezeigt, daß sich aus der Konvergenz des geometrischen Mittels
einer konvergenten, Folge (an ) (mit positiven Folgengliedern) die Implikation
lim
n→∞
an+1
=b
an
⇒
lim
n→∞
√
n
an = b
(1)
beweisen läßt. Zeigen Sie, daß sich die Implikation (1) auch dazu nutzen läßt, um umgekehrt die
Konvergenz des geometrischen Mittels nachzuweisen.
Zum weiteren Nachdenken: Wie ließe sich (1) unabhängig von der Konvergenz des geometrischen
Mittels begründen.
e) (Anwendung zu GÜ 5, Parallele zu HA 27c) Betrachten Sie die arithmetische Progression (a n ) mit
an = a0 + nd wobei a0 ≥ 0 und d > 0. Bestimmen Sie das Verhältnis zwischen dem geometrischen
und arithmetischen Mittel der ersten n Folgenglieder im Grenzwert n → ∞:
√
n n a1 · ... · an
lim
.
n→∞ a1 + ... + an
f) (siehe auch GÜ 6 – Irrationalität von e) Jede rationale Zahl läßt sich als Summe endlich vieler,
paarweise verschiedener Stammbrüche darstellen.
g) (Anwendung zur Fehlerabschätzung der Exponetialreihe) Wieviele Summanden müssen jeweils in
P
xk
5
der Exponentialreihe ex = ∞
k=0 k! berücksichtigt werden, um e und e mit einem Fehler kleiner
−8
10 zu berechen.
Aufgabe 5.3: Etwas Epsilontik im Umgang mit Folgen
Es sei φ : N → N mit φ(n) ≤ n für alle n ∈ N. Ist (an ) eine Folge reeller Zahlen, so gilt:
an n→∞
−−−−→ 0
n
⇒
aφ(n) n→∞
−−−−→ 0.
n
Diskutieren Sie den folgenden
Lösungsvorschlag: Es ist zu zeigen, daß für alle > 0 ein N := N () ∈ N gefunden werden kann, so daß
˛
˛a
˛ φ(n) ˛
für alle N 3 n > N gilt: ˛
˛ < .
n
Sei nun > 0 beliebig aber fest vorgegeben. Gemäß der Voraussetzung existiert ein M1 := M1 () ∈ N mit
˛a ˛
˛ n˛
˛ ˛ < für alle n > M1 .
n
Setzt man N 3 M2 > −1 maxk∈{1,...,M1 } |ak |, so gilt für alle n > M2
˛ ˛
˛ ak ˛
max
˛ ˛ < .
k∈{1,...,M1 } n
(2)
(3)
(4)
Jetzt sind wir am Ziel. Man wählt das zu gesuchte N so, daß N ≥ max{M1 , M2 }. Dann ist (2) tatsächlich
erfüllt. Ist nänlich φ(n) ≤ M1 , so gilt (2), aufgrund von (4) und n > N > M2 . Im Falle φ(n) ≥ M1 folgt ebenfalls
˛
˛a
˛ ˛
˛ φ(n) ˛ ˛˛ aφ(n) ˛˛
≤
˛
˛≤˛
n
φ(n) ˛
wegen (3).
Aufgabe 5.4: Zusammenhang zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel
a1 , ..., ak seien k reelle Zahlen. Zeigen Sie:
p
n→∞
n − G (n − a1 ), ..., (n − ak ) = n − k (n − a1 ) · ... · (n − ak ) −−−−→ A(a1 , ..., an ).
Rechtfertigen Sie jeden Schritt der folgenden
Beweisskizze: Einerseits gilt
n−
p
k
(n − a1 ) · ... · (n − ak )
q
h
n 1 − k (1 − an1 ) · ... · (1 −
»
(1 − an1 ) + ... + (1 −
n 1−
k
=
≥
ak
n
)
i
1 ak
k n
)
–
"
= n 1−
=
Andererseits erhält man:
p
n − k (n − a1 ) · ... · (n − ak )
q
h
n 1 − k (1 −
=
≤
»
n 1−
≤
n
»
a1
)
n
· ... · (1 −
ak
n
k
(1 − an1 )−1 + ... + (1 −
(1 + an1 ) + ... + (1 +
(1 − an1 )−1 + ... + (1 −
i
)
ak −1
)
n
ak
)
n
ak −1
)
n
−
k
X
ai
1−
n
i=1
!#
k
1X
ai = A(a1 , ..., ak )
k i=1
–
k
(1 − an1 )−1 + ... + (1 −
ak −1
)
n
Also
n−
p
k
(n − a1 ) · ... · (n − ak )
≤
≤
Warum folgt jetzt die Behauptung?
(1 −
a1
a1 −1
)
n
(1 +
a1
a1
)
n
+ ... + ak
+ ... + (1 −
+ ... + ak
+ ... + (1 +
ak −1
)
n
n→∞
ak
n
)
−−−−→
a1 + ... + ak
= A(a1 , ..., ak )
k
–