Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete

Diskrete Strukturen
Marcel Erné
Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Vorlesung
für
Studierende des Bachelor-Studienganges
Angewandte Informatik
Sommersemester 2009
2. Relationen und Digraphen
1
Inhaltsverzeichnis
2 Relationen und Digraphen
2.1 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Digraphen und Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Relationenalgebra, Wege und Zusammenhang . . . . . . . . . . .
2
3
3
8
13
2
Relationen und Digraphen
2.1
Relationen
Bevor wir uns diesem wichtigen Grundkonzept der diskreten Mathematik zuwenden, wollen wir ein paar Definitionen und Notationen rekapitulieren, die
immer wieder gebraucht werden.
Was eine Menge ist, sagen wir nicht – diese Fragestellung gehört in den
Bereich der Logik und axiomatischen Mengenlehre. Wir interpretieren Mengen
als Gesamtheit gewisser Objekte, ihrer Elemente, und schreiben x ∈ X, falls x zu
der Menge X gehört; anderenfalls schreiben wir x 6∈ X. Die Menge, die genau aus
den Elementen x1 , ..., xn besteht, bezeichnen wir mit {x1 , ..., xn }. Allgemeiner
bedeutet {x | E(x)} die Menge aller Elemente x mit einer Eigenschaft E(x).
Aus gegebenen Mengen kann man mit einigen wohlbekannten Konstruktionen
neue bauen. So ist für zwei Mengen X und Y
X ∪ Y = {x | x ∈ X oder x ∈ Y } ihre Vereinigung,
X ∩ Y = {x | x ∈ X und x ∈ Y } ihr Durchschnitt,
X \ Y = {x | x ∈ X und x 6∈ Y } ihre Differenz,
X 4 Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X) ihre symmetrische Differenz.
Wir schreiben Y ⊆ X, falls Y eine Teilmenge von X ist (also jedes Element von
X auch zu Y gehört). Hingegen bedeutet Y ⊂ X, daß Y eine echte Teilmenge
von X ist, also Y ⊆ X und X 6= Y gilt. Die Potenzmenge besteht aus allen
Teilmengen von X:
PX = {Y | Y ⊆ X}.
Eine Teilmenge M von PX wird Mengensystem auf X genannt. Man setzt in
Verallgemeinerung der obigen Definitionen von ∪ und ∩:
S
M = {x | ∃ Y ∈ M (x ∈ Y )} (Vereinigung von M),
T
M = {x | ∀ Y ∈ M (x ∈ Y )} (Durchschnitt von M).
Dabei steht ∃ für den Existenzquantor (“es gibt ...”) und ∀ für den Allquantor
(“für alle ...”).
Einige Mengen haben festgewählte Symbole erhalten. Zum Beispiel ist
N die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... ausschließlich 0
N0 die Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ... einschließlich 0
Z die Menge der ganzen Zahlen 0, ±1, ±2, ±3, ...
Q die Menge der rationalen Zahlen (Brüche)
z
n
(z ∈ Z, n ∈ N)
R die Menge der reellen Zahlen.
Mit n bezeichnen wir die Menge {1, 2, ..., n} der ersten n natürlichen Zahlen.
Speziell ist 0 = ∅ die leere Menge, die kein Element enthält. Definitionsgemäß
ist {x1 , ..., xn } die Menge {x | ∃ i ∈ n (x = xi )}.
3
Das kartesische Produkt zweier Mengen X und Y ist die Menge
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
aller geordneten Paare (x, y), deren erste Komponente zu X und deren zweite
zu Y gehört. Dabei ist (x, y) von der Paarmenge {x, y} zu unterscheiden:
{x, y} = {y, x}, aber (x, y) 6= (y, x), falls x 6= y.
Allgemeiner hat man n-fache kartesische Produkte
X1 × ... × Xn = {(x1 , ..., xn ) | xi ∈ Xi (i ≤ n)}
und benutzt bei gleichen Faktoren X = X1 = ... = Xn die Potenzschreibweise
X n = {(x1 , ..., xn ) | xi ∈ X (i ≤ n)}.
Im Falle X = R ergibt sich so die Darstellung der Punkte des n-dimensionalen
Raumes Rn mit Hilfe kartesischer Koordinaten (nach Descartes) – daher der
Name “kartesisches Produkt”.
Anschaulich ist eine Relation ein Beziehung zwischen gewissen Objekten. Da
der Begriff “Beziehung” aber mengentheoretisch nicht fassbar ist, verstehen Mathematiker unter einer (binären) Relation einfach eine Menge R von geordneten
Paaren. Im Falle R ⊆ X × Y spricht man von einer Relation zwischen X und
Y , und im Spezialfall R ⊆ X ×X von einer Relation auf X. Jede Relation R
kann als Relation auf einer (nicht eindeutig bestimmten) Menge aufgefaßt werden. Statt (x, y) ∈ R schreibt man einfacher und suggestiver xR y und meint
damit “x steht in Relation zu y”; entsprechend bedeutet x R
| y das Gegenteil
(x, y) 6∈ R. Zu jeder Relation R auf X haben wir die komplementäre Relation
Rc = {(x, y) ∈ X × X | x R| y},
nicht zu verwechseln mit der dualen oder konversen Relation
Rd = {(x, y) ∈ X × X | y R x}.
Rcd
R
X
X
X
Rc
X
Rd
X
X
X
X
Sind mehrere Relationen R1 , ..., Rn gegeben (die auch übereinstimmen dürfen),
so schreibt man vereinfachend
x0 R1 x1 R2 ... xn−1 Rn xn statt x0 R1 x1 und x1 R2 x2 und ... xn−1 Rn xn .
Diese Konvention ist uns z. B. bei Ungleichungsketten der Form x0 ≤ ... ≤ xn
geläufig.
Für je zwei Relationen R und S ist deren Produkt definiert durch
RS = {(x, z) | ∃ y (xR y und y S z)}.
Statt RS schreiben wir auch S ◦ R, wobei man die Reihenfolge zu beachten
hat, denn im allgemeinen ist RS von SR verschieden! Dies verallgemeinert die
Verknüpfung G ◦ F zweier Funktionen F : X −→ Y und G : Y −→ Z , bei denen
es sich ja um spezielle Relationen handelt.
4
Das Relationenprodukt ist zwar nicht kommutativ, aber stets assoziativ:
R(ST ) = (RS)T .
Denn es gilt
x R(ST ) w ⇔ ∃ y (xR y ST w) ⇔ ∃ y∃ z (xR y S z T w) ⇔ ... x (RS)T w.
Die Diagonale, Identität oder Gleichheitsrelation
∆X = idX = 1X = {(x, x) | x ∈ X} = {(x, y) ∈ X ×X |x = y}
agiert als neutrales Element: Für jede Relation R auf X gilt
1X R = R 1X = R.
Zusammenfassend haben wir damit:
Satz 2.1 Die Relationen auf einer Menge X bilden zusammen mit dem Relationenprodukt ein Monoid RX, d.h. eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung
und dem neutralen Element 1X .
Außerdem können wir natürlich Vereinigung und Durchschnitt von Relationen
bilden. Wir stellen eine Liste von nützlichen Rechenregeln zusammen.
Satz 2.2 Für beliebige Relationen R, S, T gelten die Distributivgesetze:
(R ∪ S)T = RT ∪ ST, T (R ∪ S) = T R ∪ T S ,
(R ∩ S)T ⊆ RT ∩ ST, T (R ∩ S) ⊆ T R ∩ T S ,
aber in den letzten beiden Fällen kann die Inklusion echt sein.
Die Operatoren
c
und
d
erfüllen folgende Gleichungen:
Rcc = R, Rdd = R, Rcd = Rdc , (RS)d = S d Rd ,
(R ∪ S)c = Rc ∩ S c , (R ∩ S)c = Rc ∪ S c ,
(R ∪ S)d = Rd ∪ S d , (R ∩ S)d = Rd ∩ S d .
Entsprechendes gilt für unendliche Vereinigungen und Durchschnitte.
Wie in jedem Monoid definiert man induktiv Potenzen von Relationen auf einer
Menge X:
R 0 := 1X , Rn+1 := Rn R.
Vorsicht: Man muß die Potenzen bezüglich des Relationenprodukts sorgfältig von kartesischen Potenzen unterscheiden; deshalb schreibt man für letztere auch nX statt X n .
Wegen des Assoziativgesetzes darf man bei Relationenprodukten mit mehreren Faktoren Klammern weglassen. Die Relation R1 R2 ...Rn besteht anschaulich
aus allen Paaren (x, y), für die ein Weg (x0 , x1 , ..., xn ) der Länge n existiert mit
x = x0 R1 x1 R2 ... xn−1 Rn xn = y .
Im Spezialfall einer einzigen Relation R = R1 ... = Rn spricht man von R-Wegen.
xRn y bedeutet also, dass es einen R-Weg von x nach y der Länge n gibt. Ein
Weg der Länge 0 ist von der Form (x), in Übereinstimmung mit x R0 y ⇔ x = y.
5
Für Relationen auf einer endlichen Menge hat man zwei wichtige Darstellungsmöglichkeiten: Die eine, mittels Inzidenzmatrizen, ist von grundlegender
Bedeutung bei der Implementierung im Computer. Die andere, mittels Diagrammen, dient der Veranschaulichung und Intuition.
Es seien X = {x1 , ..., xm } und Y = {y1 , ..., yn } endliche Mengen. Die
Inzidenzmatrix (auch Darstellungsmatrix oder Adjazenzmatrix) einer Relation
R ⊆ X × Y ist diejenige m×n-Matrix DR , bei der in der i-ten Zeile und j-ten
Spalte eine 1 steht, falls xi R yj gilt, und sonst eine 0. Speziell ist die Inzidenzmatrix einer Relation auf X eine quadratische 0-1-Matrix.
Die Darstellungsmatrix DR hängt natürlich nicht nur von der Relation R, sondern
auch von der Nummerierung der Elemente ab. Man sieht aber leicht, dass sich je zwei
Darstellungsmatrizen der gleichen Relation nur durch eine Transformation mit einer
Permutationsmatrix unterscheiden.
In einem (Pfeil-)Diagramm einer Relation R auf X = {x1 , ..., xm } wählt
man für die m Elemente x1 , ..., xm ebenso viele Punkte (oder kleine Kreise) in
der Ebene und zeichnet einen Pfeil von dem Punkt, der xi entspricht, zu dem
Punkt, der xj entspricht, falls xi R xj gilt.
Beispiel 2.3 Ein Pfeildiagramm der Teilbarkeitsrelation auf der Menge 12:
k
i
P
P
12H
11k
Y
H1k
K
A
I
@
6
"A"
9
R2k
H
CA@
10k
" A@
C
@
"
A A
I
@
"
AU
C@
@
"
9k
A C 3k
@
A
ACCW ?
@
+
k
@ 8
4k
@ ?
5k
7k k
6
Die Inzidenzmatrix zur natürlichen Nummerierung sieht so aus:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
5
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
6
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
6
7
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
8
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
9
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
10
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
12
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
Darstellungsmatrizen sind sehr gut geeignet, um verschiedene Operationen
auf Relationen auszuführen (auch mit dem Computer). Offensichtlich gilt für
jede Relation R ⊆ X × Y = {x1 , ..., xm } × {y1 , ..., yn }:
DRc = 1mn − DR , wobei alle Koeffizienten der Matrix 1mn gleich 1 sind,
DRd = (DR )t , wobei generell At die Transponierte der Matrix A bedeutet.
Besonders hilfreich sind Darstellungsmatrizen bei der Berechnung von Produkten und Potenzen. Wir setzen für beliebige Zahlen a und Matrizen A = (aij ):
s(a) = 0, falls a ≤ 0, und s(a) = 1, falls a > 0,
s(A) = (s(aij )).
Nun definieren wir ein “reduziertes Matrizenprodukt” durch
A B = s(AB), wobei AB das gewöhnliche Matrizenprodukt ist.
Satz 2.4 Für endliche Mengen X, Y, Z sowie beliebige Relationen R ⊆ X ×Y
und S ⊆ Y ×Z ist die Darstellungsmatrix des Relationenprodukts das reduzierte
Produkt der einzelnen Darstellungsmatrizen:
DRS = DR DS .
Insbesondere gilt im Falle X = Y für alle natürlichen Zahlen l:
DRl = s(DR l ).
(l)
Genauer gibt der Koeffizient dij in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von DR l
die Anzahl der R-Wege der Länge l von xi nach xj an.
Beweis. Es sei X = {x1 , ..., xm }, Y = {y1 , ..., yn } und Z = {z1 , ..., zp }. Dann
gilt für R ⊆ X×Y , S ⊆ Y ×Z und das Produkt RS ⊆ X×Z mit den zugehörigen
R
S
RS
Darstellungsmatrizen DR = (dij
), DS = (djk
) und DRS = (dik
):
RS
R
S
dik
= 1 ⇔ xi RS zk ⇔ ∃ j (xi R yj S zk ) ⇔ ∃ j (dij
= djk
= 1)
Pn
P
n
R S
R S
⇔
j=1 dij djk 6= 0 ⇔ s(
j=1 dij djk ) = 1.
Dies ist aber gerade der entsprechende Koeffizient in der Matrix DR DS .
In der Einheitsmatrix DR 0 = E = (δij ) gibt δij die Anzahl der R-Wege der
Länge 0 von xi nach xj an, nämlich δij = 1 für i = j und δij = 0 für i 6= j.
(l)
Nehmen wir nun an, wir hätten für alle i und j schon gezeigt, daß dij die
Anzahl der R-Wege der Länge l von xi nach xj angibt. Ist xi0 R xi1 R ....R xil
ein beliebiger Weg der Länge l mit Start xi = xi0 und Ziel xil = xj , so kann
dieser genau dann zu einem Weg xi0 R xi1 R ....R xj R xk der Länge l + 1 von xi
nach xk verlängert werden, wenn djk = 1 gilt. Die Summe
Pn
(l+1)
(l)
dik
= j=1 dij djk
ist also die Anzahl der R-Wege der Länge l + 1 von xi nach xk , und der Induktionschluss von l auf l + 1 ist vollzogen.
Analog zeigt man, daß die Anzahl der Wege xi = xi0 R1 xi1 R2 ...Rl xil = xj der
Länge l von xi nach xj durch den Koeffizienten in der i-ten Zeile und j-ten
Spalte der Produktmatrix DR1 ...DRl gegeben ist.
7
2.2
Digraphen und Ordnungsrelationen
Ein Digraph ist ein Paar (X, R), bestehend aus einer Menge X (von Knoten oder
Ecken) und einer beliebigen Relation R auf X (der Inzidenzrelation); die auf
der Diagonale liegenden Paare (x, x) ∈ R heißen Schleifen. Ein (ungerichteter)
Graph hat eine symmetrische Inzidenzrelation S; die Paare (x, y) ∈ S, oder
vereinfachend die entsprechenden Zweiermengen {x, y}, nennt man in diesem
Fall Kanten; von einem schlichten oder schleifenlosen Graphen spricht man,
wenn seine Relation irreflexiv und symmetrisch ist. Graphen und Digraphen
sind ein wesentliches Werkzeug der Informatik.
Nicht nur in mathematischen Zusammenhängen, sondern auch in fast allen
Bereichen des täglichen Lebens spielen Ordnungsrelationen eine zentrale Rolle.
Die wichtigste Eigenschaft solcher Relationen ist die Transitivität, die besagt,
dass man “weiterschließen” kann: steht x in Relation zu y und y in Relation
zu z, so steht auch x in Relation zu z. (Nicht alle Relationen haben diese Eigenschaft: z.B. folgt aus x 6= y und y 6= z nicht x 6= z!) Daneben sind einige
weitere relationentheoretische Eigenschaften von Interesse, die wir im Folgenden
zusammenstellen wollen. Wir sagen, eine Relation R auf X sei
• reflexiv, falls xR x für alle x ∈ X gilt,
• irreflexiv, falls xR x für kein x ∈ X gilt,
• symmetrisch, falls aus xR y stets y R x folgt,
• antisymmetrisch, falls xR y und y R x nur für x = y möglich ist,
• transitiv, falls aus xR y und y R z stets xR z folgt,
• total, falls xR y oder y R x für beliebige x, y ∈ X gilt.
Alle diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe der Operatoren
des Relationenprodukts sehr einfach “elementfrei” beschreiben:
c
und
d
Satz 2.5 Für eine Relation R auf X, R 0 = idX und R6= = R \ R 0 gilt:
R
R
R
R
R
R
ist
ist
ist
ist
ist
ist
reflexiv
irreflexiv
transitiv
symmetrisch
antisymmetrisch
total
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
R0
R0
R2
Rd
d
R6=
Rc
⊆R
⊆ Rc
⊆R
⊆R
⊆ Rc
⊆ Rd .
Man nennt eine Relation R auf X
• Quasiordnung, falls R reflexiv und transitiv ist,
• Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist,
• (Halb-)Ordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist,
• lineare Ordnung, falls R eine totale Ordnung ist.
8
sowie
Das Paar (X, R) heißt quasi-, halb- oder linear geordnete Menge, je nachdem,
ob R eine Quasi-, Halb- oder lineare Ordnung ist. Nichtleere linear geordnete
Mengen heißen auch Ketten.
Beispiele 2.6 (1) Auf jedem System von Mengen ist die Teilmengenrelation ⊆
eine Ordnung, aber meist nicht linear (d.h. total). Im Prinzip kann man alle
Ordnungen R mit Hilfe von ⊆ beschreiben: Für die “Hauptideale”
Ry = {x|xR y}
gilt nämlich:
xR y ⇔ x ∈ Ry ⇔ Rx ⊆ Ry.
(2) Die Relation ≤ auf der Menge R der reellen Zahlen oder einer beliebigen Teilmenge, z.B. N, Z oder Q, ist eine lineare Ordnung. Die Relation <
(“echt kleiner”) ist transitiv und irreflexiv, also keine Ordnung (sondern eine
sogenannte strikte Ordnung).
(3) Auf einer endlichen Menge X = {x1 , ..., xm } gibt es genauso viele lineare
Ordnungen wie Permutationen: Ist σ eine Permutation von m, so wird durch
xi ≤σ xj ⇔ σ(i) ≤ σ(j)
eine lineare Ordnung auf X definiert, und jede lineare Ordnung entsteht auf
diese Weise aus genau einer Permutation (Beweis durch Induktion).
(4) Auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Teilbarkeitsrelation | eine Quasiordnung, aber keine Ordnung: Die Antisymmetrie ist wegen z | −z und −z | z
verletzt. Hingegen ist die Teilbarkeitsrelation auf jeder Menge von positiven
ganzen Zahlen eine Ordnung, da für x, y ∈ N aus x | y stets x ≤ y folgt (man
beachte aber x | 0 im Gegensatz zu 0 ≤ x).
(5) Für eine beliebige Abbildung f : X −→ Y wird durch
x ∼f y ⇔ f (x) = f (y)
eine Äquivalenzrelation auf X definiert. So ergibt sich beispielsweise für
f : [−1, 1] −→ [−1, 1], x 7−→ x4 − x2
die Äquivalenzrelation
x ∼f y ⇔ (x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 1) = 0 ⇔ x = ± y oder x2 + y 2 = 1.
'$
@
@
@
@
&%
Daß man auf die in Beispiel 2.6 (5) beschriebene Weise alle Äquivalenzrelationen erhält, zeigt
9
Satz 2.7 Für jede Äquivalenzrelation S auf X ist die Menge der Äquivalenzklassen xS = {y |xS y} eine Partition von X (d.h. eine Zerlegung in paarweise
disjunkte nichtleere Teilmengen von X). Umgekehrt entsteht jede Partition Z auf
diese Weise aus genau einer Äquivalenzrelation: Die “kanonische Surjektion”
f : X −→ Z mit f (x) = Z, falls x in Z liegt, induziert eine Äquivalenzrelation
∼f , deren Klassen genau die ursprüngliche Partition bilden.
Der Beweis dieses und des nächsten Satzes ist eine Übungsaufgabe.
Satz 2.8 Für eine beliebige Quasiordnung Q ist Q ∩ Qd eine Äquivalenzrelation. Jede Quasiordnung entsteht auf genau eine Weise aus einer Äquivalenzrelation S und einer Ordnung R auf der zugehörigen Partition, indem man
die Quasiordnung durch Q = {(x, y)|(xS, yS) ∈ R} festlegt. Man kann also
jede Quasiordnung auf eindeutige Weise aus einer Äquivalenzrelation und einer
Ordnung zusammensetzen.
Statt mit Buchstaben bezeichnet man Ordnungen oft mit dem suggestiveren
Symbol ≤, darf dies aber natürlich nicht mit der üblichen “kleiner-oder-gleich”Relation auf den reellen Zahlen durcheinander bringen. Zur Vermeidung von
Verwechslungen bietet sich das neutrale Symbol v an. Man schreibt
x < y für x ≤ y 6= x, x ≥ y für y ≤ x und x > y für y < x, bzw.
x @ y für x v y 6= x, x w y für y v x und x A y für y @ x.
Betrachtet man auf einer Menge simultan mehrere Ordnungen, so sollte man für
diese tunlichst unterschiedliche Symbole verwenden. Für Äquivalenzrelationen
sind Symbole wie ∼, ≈ oder ≡ gebräuchlich.
Anstelle von Ordnungen untersucht man häufig auch sogenannte strikte Ordnungen; das sind irreflexive und transitive (und folglich auch antisymmetrische)
Relationen. Der Übergang von Ordnungen zu strikten Ordnungen und umgekehrt geschieht einfach durch den Wechsel zwischen ≤ und <, bzw. zwischen v
und @, oder im Falle einer durch R bezeichneten Ordnung zwischen R und
R6= = R \ R 0 .
Wie wir in Beispiel 2.3 sahen, können Pfeildiagramme schnell recht unübersichtlich werden. Für endliche Ordnungsrelationen benutzt man daher eine andere, wesentlich ökonomischere Darstellung mit Hilfe von sogenannten (Hasse-)
Diagrammen. In einem solchen Diagramm zeichnet man für jedes Element der
Grundmenge einen “Knoten”, d.h. einen Punkt, einen kleinen Kreis oder ein
ähnliches Symbol in die Ebene, und zwar so, dass der einem Element x entsprechende Knoten stets niedriger liegt als ein dem Element y entsprechender
Knoten, falls x in der Ordnungsrelation zu y steht. Man verbindet die den Elementen x und y entsprechenden Knoten genau dann durch eine Kante, falls x ein
unterer Nachbar von y (bzw. y ein oberer Nachbar von x) ist. Konkret bedeutet
dies für eine Ordnunsgrelation R, dass xR6= y gilt, aber kein z mit xR6= z R6= y
existiert. Die Pfeilspitzen lässt man meist weg, da alle Pfeile aufwärts zeigen.
Aber ist eine solche Zeichnung überhaupt möglich, und wie legt man sie an?
10
Zunächst zeichnet man alle minimalen Elemente, also solche, unter denen
keine weiteren liegen (formal: diejenigen y, zu denen es kein anderes x mit xR y
gibt), in eine Reihe nebeneinander. (Warum hat jede endliche geordnete Menge solche minimalen Elemente?) Im zweiten Schritt bestimmt man alle oberen
Nachbarn der minimalen Elemente, zeichnet sie in die nächsthöhere Reihe, verbindet sie durch Kanten mit ihren unteren Nachbarn, usw. Falls man die Höhe
eines Diagramms nicht von vorneherein abschätzen kann, empfiehlt sich manchmal ein Aufbau von oben nach unten, beginnend mit den maximalen Elementen.
Aus dem Diagramm kann man ablesen, wann ein Element x bezüglich der
Ordnung unter einem anderen Element y liegt: das ist genau dann der Fall, wenn
man von x aus durch einen aufwärts verlaufenden Kantenzug zu y gelangt.
Beispiel 2.9 Im Fall unseres durch Teilbarkeit geordneten “Ziffernblatts” 12
aus Beispiel 2.3 bekommen wir das folgende, erheblich besser strukturierte Diagramm, unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine natürliche Zahl x genau dann
ein unterer Nachbar von y ist, wenn y/x eine Primzahl ergibt:
d
d
8@
12@
@d
@d d
d
10 9
4@
6@
@
@ d
@d @d d d
5
2@
3
7 11
@ d
1
Mit Hilfe von Satz 2.8 kann man auch Diagramme von Quasiordnungen
zeichnen: Die Äquivalenzklassen der Symmetrisierung Q ∩ Qd stellt man durch
“Klumpen” aus sich gegenseitig berührenden oder überlappenden Knoten dar.
Beispiel 2.10 Diagramm der ganzen Zahlen von −3 bis 6, quasigeordnet durch
die Teilbarkeitsrelation. (Man beachte, dass jede Zahl ein Teiler von 0 ist!)
d
H
0@HH
@dH
d
HH
4@
6@
@ dd
@ dd HH d
-2,2 @
-3,3
5
@dd
-1,1
Außer der offensichtlichen Tatsache, dass totale Relationen stets reflexiv
sind, bestehen keinerlei Implikationen zwischen den zuvor eingeführten sechs Eigenschaften. Wir wollen das anhand eines mit Beispielen angereicherten Implikationsdiagramms belegen. Schleifen deuten wir durch schwarz ausgefüllte Kreise
an. In dem großen Diagramm enthält jeder quadratisch gezeichnete “Knoten”
wieder ein kleines Pfeildiagramm einer Relation, die alle auf absteigenden Linien
des großen Diagramms erreichbaren Eigenschaften inklusive der zum jeweiligen
Quadrat gehörigen besitzt, aber keine der übrigen in dem Gesamtdiagramm
vorkommenden Eigenschaften.
11
Beispiele 2.11 Eigenschaften von Relationen
!
!!
!
!
aa
@
@ aa
aa
!
@
t
t
d
t
lineare
GleichheitsAllA
A
K
Ordnung t-U t
-U t
d d
t t relation
relation t
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K
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K
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t
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X
X
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X
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X
total
! Quasiordnung
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X
t
d
d
d
d
A
A
t
-t
d
-d
t AU d
t KUA d
t
-AK t
!
a
!transitiv
irreflexiv
reflexiv a
aa @
@antisymm. symm.
!!
!
aa@
!
d
t
-d
Relation
Rein rechnerisch kann man eine endliche Ordnung aus ihrem Diagramm mit
Hilfe der Darstellungsmatrizen zurückgewinnen: Ist A eine (m × m)-Inzidenzmatrix zum Hasse-Diagramm, so bildet man ihre Potenzen und addiert diese.
Die Matrix s(E + A + A2 + ... + Am−1 ) ist dann die Inzidenzmatrix DR der
zugehörigen Ordnung R (siehe auch 2.4, 2.15 und 2.17).
Beispiel 2.12 Diagramm der Teiler von 12 und Darstellungsmatrizen
12
d
@ 6
@d
d
4@
@ 3
@d
@d
2@
@d
1
A
1
2
3
4
6
12
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
12
d
I
6@
@6
d
d@
4@
I@ d 6 @d3
2@
@ d
1
A2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
12
d
BMB
d
4
B
A3
0
0
0
0
0
0
12
d3
d B
2
0
2
1
0
0
0
d6
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Bd
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
12
t
I
@
6
I
BM@
@6
B@
t
t@
B
4@
I
@
I@ 3
@
6
I
@t B
@t
@
B
@
I
2 @
@B t
@
1
DR
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2.3
Relationenalgebra, Wege und Zusammenhang
Aus einer gegebenen Relation R kann man durch einfache Konstruktionen neue
Relationen mit erwünschten Eigenschaften gewinnen. Von fundamentaler Bedeutung sind hierbei die Potenzen Rn , welche genau diejenigen Paare (x, y)
enthalten, für die ein R-Weg von x nach y existiert. Sehr hilfreich in Theorie
und Praxis sind daneben die Hyperpotenzen
S
S
R≥k = {Rn : n ∈ Nk } = {Rn : n ∈ N0 : n ≥ k} (k ∈ N0 ).
Unter Anwendung des Distributivgesetzes
S
S
{Ri : i ∈ I}S = {Ri S : i ∈ I}
(siehe Satz 2.2) beweist man per Induktion die folgenden Potenzgesetze:
Satz 2.13 Für eine beliebige Relation R und natürliche Zahlen k, m ∈ N gilt:
Rk+m = Rk Rm , R≥k+m = Rk R≥m = R≥k Rm = R≥k R≥m ,
R k·m = (Rk )m , R≥ k·m = (Rk )≥m = (R≥k )m = (R≥k )≥m .
Nun kann man eine beliebige Relation R folgendermaßen “verbessern”:
Konstruktion
=
0
R =R∪R
R6= = R \ R 0
Rs = R ∪ Rd
Rs = R ∩ R d
→
R = R≥1
∧
R = R≥0
Name
Beschreibung
reflexive Hülle
irreflexiver Kern
symmetrische Hülle
symmetrischer Kern
xR y
x R6= y
x Rs y
x Rs y
transitive Hülle
x R y ⇔ ∃ xi (x = x0 R x1 ... R xn = y)
reflexiv-transitive Hülle
x R y ⇔ x R y oder x = y
=
⇔ x R y oder x = y
⇔ x R y und x 6= y
⇔ x R y oder y R x
⇔ x R y und y R x
→
∧
→
Diese Namensgebungen werden motiviert durch den folgenden
Satz 2.14 Für eine beliebige Relation R auf X gilt:
(1) Die reflexive Hülle ist die kleinste R umfassende reflexive Relation.
(2) Der irreflexive Kern ist die größte in R enthaltene irreflexive Relation.
(3) Die symmetrische Hülle ist die kleinste symmetrische Relation S ⊇ R.
(4) Der symmetrische Kern ist die größte symmetrische Relation S ⊆ R.
(5) Die transitive Hülle ist die kleinste R umfassende transitive Relation.
(6) Die reflexiv-transitive Hülle ist die kleinste R umfassende Quasiordnung.
∧
(7) Die Relation Rs ist die kleinste R umfassende Äquivalenrelation.
Beweis: (1) und (2) sind offensichtlich und leicht zu begründen: Man nimmt
einfach alle Schleifen hinzu bzw. weg.
(3) Wegen (Rs )d = (R∪Rd )d = Rd ∪Rdd = Rd ∪R = Rs ist Rs symmetrisch. Für
beliebige symmetrische Relationen S ⊇ R ergibt sich Rs = R∪Rd ⊆ S ∪S d = S.
13
(4) beweist man analog.
→
(5) R = R≥1 ist transitiv wegen (R≥1 )2 = R≥2 ⊆ R≥1 .
Ist T eine beliebige transitive Relation mit R ⊆ T , so ergibt sich induktiv Rn ⊆ T ,
da ausS
Rn ⊆ T auch Rn+1 = Rn R ⊆ T T ⊆ T folgt. Daher ist die transitive Hülle
→
R = {Rn : n ∈ N} ebenfalls in T enthalten.
∧
→
→
→
→
∧
(6) Aus (5) folgt: (R )2 = (R 0 ∪ R )2 = R 0 ∪ R ∪ (R )2 ⊆ R 0 ∪ R = R . Ist
∧
→
Q eine beliebige Quasiordnung mit R ⊆ Q, so schließen wir R = R 0 ∪ R ⊆ Q.
→
∧
(7) Wir zeigen zuerst: Ist S symmetrisch, so auch S und folglich auch S :
S
S
S
→
→
(S )d = ( {S n |n ∈ N})d = {(S n )d |n ∈ N} = {S n |n ∈ N} = S .
∧
Nach (3) ist S = Rs symmetrisch, und nach (6) ist Q = S eine Quasiordnung;
nach dem zuvor Gezeigten ist Q auch symmetrisch. Für jede Äquivalenzrelation
∧
∧
T mit R ⊆ T folgt Rs ⊆ T s = T und daraus Rs ⊆ T = T .
Im Prinzip muss man zur Berechnung der (reflexiv-)transitiven Hülle beliebig
hohe Potenzen der Relation berechnen. Im Falle einer endlichen Grundmenge
X = {x1 , ..., xm } genügt es allerdings, bis zur (m−1)-ten Potenz zu gehen:
Satz 2.15 Die reflexiv-transitive Hülle einer Relation R auf X = {x1 , ..., xm } ist
∧
R = R 0 ∪ R ∪ R2 ∪ ... ∪ Rn = (idX ∪ R)n für alle n ≥ m−1.
Ihre Darstellungsmatrix ist daher gleich s((E + DR )n ) für jedes n ≥ m−1.
Beweis: Es reicht zu zeigen, dass zu (x, y) ∈ Rn mit n ≥ m ein k < n mit
(x, y) ∈ Rk existiert (durch Iteration erreicht man dann schließlich k < m).
Es gelte also x = x0 R x1 ...xn−1 R xn = y; wegen n ≥ m sind mindestens zwei
der n + 1 Folgenglieder gleich, etwa xi = xj für i < j. Aber dann gilt bereits
x = x0 R x1 ...xi = xj R xj+1 ...R xn = y, also (x, y) ∈ Rk für k = n−(j −i) < n. In der Praxis wird man versuchen, mit möglichst wenigen Matrizenmultiplikationen auszukommen. Am ökonomischsten ist es, das kleinste k mit 2k ≥ m−1
zu wählen und dann k-mal zu quadrieren:
D0 = E + DR , Dj+1 = Dj 2 ⇒ s(Dk ) = s((E + DR )n ) mit n = 2k ≥ m−1.
Man braucht demnach höchstens log2 (m−1) Multiplikationen, um die Darstellungsmatrix der transitiven Hülle zu berechnen. Manchmal reichen sogar noch
weniger Multiplikationen: Siehe Beispiel 2.12!
Die praktische Bedeutung der reflexiv-transitiven Hülle besteht u. a. darin,
dass man durch sie sofort die Existenz von Wegen feststellen kann:
∧
xR y gilt genau dann, wenn ein R-Weg von x nach y existiert.
∧
R entsteht also durch Ergänzen aller Pfeile, die “indirekte” Wege beschreiben.
In gewissem Sinne umgekehrt verfahren wir, wenn wir alle Pfeile weglassen,
zu denen es auch “Umwege“ gibt. Insbesondere entsteht so aus einer Ordnung
∨
R ihre Nachbarschaftsrelation R , die man beim Zeichnen von Diagrammen
benutzt. Allgemeiner kann man bei einer beliebigen Relation R das Weglassen
14
aller Pfeile, die “Umwege überbrücken”, formal kurz beschreiben durch den
Übergang zu ihrer Nachbarschaftsrelation
∨
R = R6= \ R6=≥2 .
Eine Relation R ist genau dann transitiv, wenn folgende Inklusion erfüllt ist:
R≥2 ⊆ R.
Sinnvollerweise wird man deshalb eine Relation R intransitiv nennen, falls gilt:
R≥2 ⊆ Rc .
Diese Bedingung besagt R ∩ Rn = ∅ für n ≥ 2, und für n = 0 ist diese Gleichung
dann automatisch auch erfüllt (wegen S ∩ S 0 ⊆ S ∩ S 2 . Konkret bedeutet dies,
dass R keine Schleifen hat, also irreflexiv ist, und dass niemals xRy gilt, wenn
es einen “indirekten” R-Weg von x nach y gibt.
d
d- d AU d
d. . . k. .. d
Da eine intransitive Relation S irreflexiv und disjunkt zu S ≥2 ist, erfüllt sie
∨
die Gleichung S = S. Genauer gilt:
∨
Satz 2.16 Für jede Relation R ist die Nachbarschaftsrelation R intransitiv.
Die intransitiven Relationen sind also diejenigen, die mit ihrer Nachbarschaftsrelation übereinstimmen.
∨
∨
∨
Beweis: Für n ≥ 2 gilt definitionsgemäß (R )n ∩ R ⊆ R6=n ∩ R = ∅.
Es liegt nun nahe, einen Digraphen (X, S) mit eine intransitive Relation S
ein (Ordnungs-)Diagramm zu nennen. Während gezeichnete Diagramme geordneter Mengen natürlich nicht eindeutig bestimmt sind, haben die mathematisch
definierten Diagramme mehrere eklatante Vorteile:
• sie sind eindeutig durch die jeweilige Relation bestimmt,
• man kann mit ihnen (oder ihren Darstellungsmatrizen) rechnen,
• die entsprechende Ordnung läßt sich aus ihnen rekonstruieren.
Und nun der exakte Zusammenhang zwischen Ordnungen und Diagrammen:
Satz 2.17 (1) Jede endliche Ordnung R ist die reflexiv-transitive Hülle ihrer
∨∧
Nachbarschaftsrelation: R = R .
∧
(2) Für jede intransitive Relation S ist die reflexiv-transitive Hülle S eine Ord∧∨
nung und S deren Nachbarschaftsrelation: S = S .
(3) Vermöge (1) und (2) entsprechen endliche geordnete Mengen und endliche
Diagramme einander bijektiv.
Wir verzichten hier auf einen Beweis, da wir in 2.23 eine stärkere Aussage zeigen.
15
Beispiele 2.18 (1) Für die Relation ≤ auf N oder Z ist die Nachbarschafts∨
relation gegeben durch x ≤ y ⇔ x+1 = y. Offenbar ist < die transitive und
≤ die reflexiv-transitive Hülle dieser Relation (trotz unendlicher Grundmenge).
Für die Ordnung ≤ auf Q oder R ist die Nachbarschaftsrelation hingegen leer!
(2) Auf jeder Teilmenge X des n-dimensionalen Raumes Rn ist die komponentenweise Ordnung ≤ erklärt durch
x = (x1 , ..., xn ) ≤ (y1 , ..., yn ) = y ⇔ ∀ i ∈ n (xi ≤ yi ).
Dies ist für n ≥ 2 eine nichtlineare Ordnung. Im Falle X = Nn oder X = Zn ist
die Nachbarschaftsrelation gegeben durch
x ≤∨ y ⇔ ∃ j ∈ n (xj + 1 = yj und ∀ i ∈ n \ {j} (xi = yi )).
In Qn und Rn gibt es hingegen wieder überhaupt keine benachbarten Punkte.
(3) Bezüglich der Mengeninklusion ⊆ als Ordnung auf einer Potenzmenge
PM ist eine Teilmenge von M (also ein Element von PM ) dann und nur dann
oberer Nachbar einer anderen, wenn sie genau ein Element mehr hat. Auf PM
∨∧
stimmt ⊆ daher nur dann mit ⊆ überein, wenn M endlich ist.
Tabelle: Relationen und Darstellungsmatrizen
Wir listen alle Operationen auf, die wir auf Relationen angewandt haben, und
geben die jeweils entsprechende Operation auf den Darstellungsmatrizen an.
Relationen
R ⊆ X ×Y
S ⊆ Y ×Z
Matrizen
DR = A = (aij )
DS = B = (bij )
Operation
Beschreibung
Operation
Beschreibung
Dualisierung
Rd = {(x, y)|(y, x) ∈ R}
Transposition
At = (aji )
Komplement
Rc = {(x, y)|(x, y) 6∈ R}
Negation
Ac = (1 − aij )
Diagonal-Addition
s(A + E)
=
R =R∪R
0
irreflexiver Kern
R6= = R \ R
0
Durchschnitt
R∩S
Vereinigung
Differenz
reflexive Hülle
Diagonal-Subtraktion
s(A − E)
elementweises Produkt
A u B = (aij bij )
R∪S
reduzierte Summe
A t B = (s(aij +bij ))
R\S
reduzierte Differenz
A ¬ B = (s(aij −bij ))
R =R∪R
d
obere Symmetrisierung
A t At
symmetr. Kern
Rs = R ∩ R
d
untere Symmetrisierung
A u At
Produkt
RS = {(x, z)|∃ y (xR ySz)}
reduziertes Produkt
A B = s(AB)
Potenz
Rk = R...R (k-mal)
reduzierte Potenz
k
A
= s(Ak )
Einheitsmatrix
E = (1−s(|i−j|))
P
s( l≥k Al )
P
s( l≥1 Al )
P
s( l≥0 Al )
P
A ¬ k6=1 s(A − E)k
s
symmetr. Hülle
nullte Potenz
Hyperpotenz
transitive Hülle
R
≥k
R 0 = idX
S
= {Rl : l ≥ k}
R
refl.-trans. Hülle
Nachbar-Relation
→
= R≥1
∧
≥0
R =R
Geometr. Reihe ab k
Geometr. Reihe ab 1
Geometr. Reihe ab 0
∨
R = R6= \ R6=≥2
negierte geometr. Reihe
16
Bei Wegen (x0 , ..., xn ) in Digraphen unterscheidet man zwischen offenen Wegen, deren Anfangs- und Endpunkte verschieden sind (x0 6= xn ), und geschlossenen Wegen, die wieder zum Anfangspunkt zurückführen (x0 = xn ).
d
d
A
d- d U d
d- d AU d
offen
geschlossen (Zykel)
dxn−1
x0 d xn−1 d - dxn
x0 d
Einen geschlossenen Weg (x0 , x1 , ..., xn ), dessen Knoten x1 , ..., xn paarweise
verschieden sind, nennt man (in Verallgemeinerung der Permutationszykel)
einen Zykel der Länge n ; er hat n Knoten und n Pfeile. In einem Zykel darf also
kein Knoten “mehrfach durchlaufen werden”, während dies bei geschlossenen
Wegen durchaus erlaubt ist.
dx3
dx8
x
A
x
2
4
U
x1 d- d d d AK d
geschlossen,
x10 x9 x7
aber kein Zykel
d
-d
d
x6
x11 x5
x0 = x12
Ein Digraph (X, R) oder seine Relation R heißt azyklisch, falls er keine echten
Zykel, d.h. Zykel positiver Länge hat. Algebraisch bedeutet das
R6=≥1 ∩ R0 = ∅
denn ein geschlossener Weg minimaler positiver Länge ist stets ein Zykel.
d
d
A
U
d- d d
d- d AU d
intransitiv d. . . k. .d. . k. . . . d azyklisch
. d
In Programmabläufen, Algorithmen und Beweisen ist die Vermeidung von Zykeln (Laufschleifen, Zirkelschlüssen) essentiell. Eine einfache Überlegung zeigt:
Satz 2.19 Eine Relation ist genau dann azyklisch, wenn ihre transitive Hülle
antisymmetrisch, ihre reflexiv-transitive Hülle also eine Ordnung ist.
Jede Ordnung, erst recht jede strikte Ordnung ist also azyklisch, aber Ordnungen sind nie intransitiv, und strikte Ordnungen sind es nur im Falle R2 = ∅.
Um Satz 2.17 auch auf gewisse unendliche Ordnungen erweitern zu können,
nennen wir einen Digraphen (X, R) oder seine Relation R maximal verlinkt, falls
zu jedem (x, y) ∈ R ein maximaler R6=-Weg von x nach y existiert, d.h. einer,
der nicht Teilfolge eines anderen R6=-Weges ist. Die maximalen R6=-Wege sind
∨
∨
offenbar genau die R -Wege (wobei R wieder die Nachbarschaftsrelation ist).
x1 d - dx2
(x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ) maximal
6 ?
d - d - d (x0 , x3 , x4 ) nicht maximal
x0
x3 x4
17
Eine Relation R ist definitionsgemäß genau dann maximal verlinkt, wenn
sie in der reflexiv-transitiven Hülle ihrer Nachbarschaftsrelation enthalten ist,
in Zeichen:
∨∧
R⊆R .
Jede endliche Ordnung ist sicher maximal verlinkt (da sich jeder Weg nur endlich
oft verfeinern läßt), aber nicht umgekehrt: Wie wir in den Beispielen 2.18 (1)
und (2) sahen, sind Nn und Zn maximal verlinkt, Qn und Rn dagegen nicht.
td
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d d
d
d d d
d
d
td
Ein Weg durch benachbarte Punkte im Gitter N3
In der angewandten Mathematik meint man mit “Diskretisierung” grob gesprochen die Zurückführung auf endliche Strukturen, Prozesse oder Algorithmen. Deshalb kann man maximal verlinkte Ordnungen auch diskret nennen,
denn man gelangt von einem Element zu einem größeren stets über einen endlichen Weg, dessen einzelne Schritte benachbarte Elemente verbinden. Das bedeutet allerdings nicht, dass alle Ketten zwischen zwei Punkten endlich sind!
Beispiel 2.20 Auf der Teilmenge { na , nb ) : n ∈ N, a, b ∈ {−1, 1}} der Ebene
R2 ist die komponentenweise Ordnung maximal verlinkt, da je zwei Elemente
x ≤ y durch einen maximalen endlichen Weg verbunden sind. Trotzdem ist
{(− n1 , − n1 ) : n ∈ N}∪{( n1 , n1 ) : n ∈ N} eine maximale unendliche Kette zwischen
(−1, −1) und (1, 1).
d(1, 1)
@
@
d @
d@
@
p
d d p p p pp @
p@
pp @
d d @ d(1, −1)
(−1, 1) d
pp
@@
@
@d
@
@d
@
@
@d
(−1, −1)
Im Gegensatz zu den endlichen geordneten Mengen gibt es viele endliche
Digraphen, die nicht maximal verlinkt sind, nämlich solche mit echten Zykeln.
Satz 2.21 Jede intransitive Relation ist maximal verlinkt. Jede maximal verlinkte Relation ist azyklisch, und umgekehrt ist jede endliche azyklische Relation
auch maximal verlinkt.
18
Beweis: Bei intransitiven Relationen R ist jeder R6=-Weg schon maximal.
Ist (x0 , x1 , ... , xk = x0 ) ein echter Zykel, so ist kein R6=-Weg von x0 nach x1
maximal, denn durch Einschieben des Zykels entsteht ein längerer R6=-Weg. Bei
maximal verlinkten Relationen sind also echte Zykel ausgeschlossen.
Sei nun R eine endliche azyklische Relation. Zu (x, y) ∈ R gibt es dann eine
maximale endliche Menge {x0 , ..., xn } mit x = x0 R6= ... R6= xn = y. Dieser Weg
(x0 , x1 , ..., xn ) ist bereits maximal, denn wäre (x0 , x1 , ..., xk , y1 , ..., xk+1 , ..., xn )
ein längerer Weg, so müßte y1 mit einem der xi übereinstimmen, und man hätte
einen echten Zykel, nämlich
(xi , ..., xk , y1 = xi ) für i < k bzw. (xi , y2 , ..., xk+1 , ..., xi = y1 ) für k < i. Aufgrund der bisherigen Überlegungen bestehen folgende Implikationen:
endliche Ordnung ⇒ diskrete Ordnung ⇒ Ordnung ⇒ transitiv
⇓
⇓
intransitiv ⇒ maximal verlinkt ⇒ azyklisch ⇒ antisymmetrisch
Satz 2.22 Für eine beliebige Relation R gilt:
∧
(1) R = R
(2) R = R
(3) R = R
∨∧
∧∨
∨∧
∨
∧∨
⇔ R ist maximal verlinkt ⇒ R ist azyklisch ⇒ R = R .
⇔ R ist intransitiv.
⇔ R ist eine diskrete Ordnung.
∨∧
∧
∨∧
Beweis: (1) R ist genau dann maximal verlinkt, d.h. R ⊆ R , wenn R ⊆ R
∨
∨∧
∧
gilt (siehe 2.14 (6)); aus der allgemeingültigen Inklusion R ⊆ R folgt R ⊆ R .
Nach Satz 2.21 ist eine maximal verlinkte Relation R azyklisch, d.h.
R6=≥1 ∩ R 0 = ∅ und R
Hieraus ergibt sich nun R
∧
6=
∧∨
= R6=≥1 (da R
∧
6=
⊆ (R6= ∪ R0 )≥1 \ R0 ⊆ R6=≥1 ).
∨
= R6=≥1 \ (R6=≥1 )≥2 = R6= \ R6=≥2 = R .
∧∨
∨
(2) Nach (1), 2.16 und 2.21 gilt: R = R ⇔ R = R ⇔ R ist intransitiv.
∧
∨∧
(3) Für eine diskrete (maximal verlinkte) Ordnung gilt nach (1): R = R = R .
∨∧
Wird umgekehrt die Gleichung R = R vorausgesetzt, so ist R sowohl eine
∨∧
Quasiordnung (da R nach 2.14 (6) eine ist) als auch maximal verlinkt, insbesondere azyklisch (siehe 2.21) und damit antisymmetrisch, also eine Ordnung.
Zusammenfassend gelangen wir zu folgendem Hauptergebnis, welches in Verallgemeinerung von Satz 2.17 den umkehrbaren Wechsel zwischen diskreten Ordnungen und intransitiven Relationen erlaubt:
∨
Satz 2.23 (1) Die Nachbarschaftsrelation R einer diskreten Ordnung R ist
∨∧
intransitiv, und R ist ihre transitive Hülle: R = R .
∧
(2) Die reflexiv-transitive Hülle S einer intransitiven Relation S ist eine dis∧∨
krete Ordnung, und S ist deren Nachbarschaftsrelation: S = S .
∨
∧
(3) Die Zuordnungen R 7→ R und S 7→ S liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen diskreten Ordnungen und intransitiven Relationen.
19
Neben den “gerichteten“ Wegen (x0 , ..., xn ) mit x0 R x1 ... R xn , bei denen
alle Pfeile die gleiche Richtung haben, betrachtet man in der Graphentheorie
häufig auch “ungerichtete” Wege, bei denen es nicht auf die Richtungen der
einzelnen Pfeile ankommt. Formal sind das genau die Rs -Wege, wobei Rs =
R ∪ Rd die symmetrische Hülle von R ist (siehe 2.14(3)). Im Falle xRs y sagt
man, x und y seien (bezüglich R) vergleichbar. Man nennt Rs deshalb auch
Vergleichbarkeitsrelation. Sie “vergißt die Richtung der Pfeile” und gibt nur an,
ob zwei Elemente zueinander in Relation stehen (egal in welcher Richtung).
Wie wir in Satz 2.14 (7) gezeigt haben, ist die reflexiv-transitive Hülle von
∧
Rs die kleinste Äquivalenzrelation, die R umfaßt. Also bedeutet x Rs y, dass
x und y durch einen ungerichteten Weg verbunden sind. Die Äquivalenzklassen
∧
der Relation Rs nennt man Zusammenhangskomponenten, Wegkomponenten
oder einfach Komponenten des Digraphen (X, R). Zwei Elemente liegen also
genau dann in der gleichen Komponente, wenn sie durch einen ungerichteten
Weg verbunden sind. Gibt es nur eine einzige Komponente, nennt man den
Digraphen oder seine Relation zusammenhängend. Dies bedeutet offenbar, daß
Rs∧ die Allrelation X ×X ist.
Eine geordnete Menge mit einem größten oder einem kleinsten Element ist
stets zusammenhängend. Unter den Äquivalenzrelationen ist natürlich nur die
Allrelation zusammenhängend.
Beispiele 2.24 Quasiordnungen auf einer 3-elementigen Menge
Diagramme
s
s
s
s
s s
sB s oder BBs
s
ss
s
ss
ss oder s
Ordnungstyp
Anzahl Komp.
lineare Ordnungen (zusammenhängend)
6
1
nichtlineare zusammenhängende Ordnungen
6
1
nichtlineare unzusammenhängende Ordnungen
6
2
totale, nicht antisymmetrische Quasiordnungen
6
1
s ss
nichttriviale Äquivalenzrelationen (unzusammenh.)
3
2
sss
Gleichheitsrelation (unzusammenhängend)
1
3
s
ss
Allrelation (zusammenhängend)
1
1
Es gibt also insgesamt 29 Quasiordnungen, von denen 19 Ordnungen und 19
zusammenhängend sind. Aber das ist ein Zufall! Auf 4 Elementen gibt es schon
355 Quasiordnungen,
233 zusammenhängende Quasiordnungen und
219 Ordnungen.
20
Allgemeiner nennt man eine Teilmenge Y eines Digraphen zusammenhängend,
wenn je zwei ihrer Elemente durch einen ganz in Y verlaufenden ungerichteten
Weg verbunden sind.
Beispiel 2.25 In dem nachfolgend dargestellten Digraphen ist die Teilmenge
Y total unzusammenhängend, d.h. keine zwei ihrer Punkte sind innerhalb von
Y durch einen Weg verbunden, obwohl es zwischen je zwei ihrer Elemente sogar
einen gerichteten Weg in dem gesamten Digraphen gibt.
d d
AU d AU d
Y
AU d
d
Satz 2.26 Die Komponenten eines Digraphen sind die maximalen zusammenhängenden Teilmengen. Diese bilden also eine Partition des Digraphen.
Beweis: Sei K eine Komponente des Digraphen (X, R), d.h. eine Äquivalenz∧
klasse xS bezüglich der Relation S = Rs . Dann sind je zwei Elemente dieser
Klasse äquivalent, d.h. durch einen Rs -Weg verbunden. Da Elemente außerhalb
der Komponente nicht mit x verbunden sind, müssen diese Wege ganz in K
verlaufen, und K ist maximal zusammenhängend.
Sei umgekehrt K eine maximale zusammenhängende Teilmenge. Da einpunktige Mengen sicher zusammenhängend sind, können wir ein x aus K wählen. Nun
ist jedes Element aus K mit x durch einen Rs -Weg verbunden, also jedenfalls in
der Komponente xS enthalten. Da diese ebenfalls zusammenhängend ist, folgt
aus der Maximalität von K bereits K = xS.
Abschließend wollen wir kurz andeuten, wann und wie man zusammenhängende Teilstücke “zusammenkleben” kann. Dazu definieren wir für jeden
Digraphen (X, R) die Zusammenhangsrelation ./R auf dem System PX \ {∅} aller nichtleeren Teilmengen durch
Y ./R Z ⇔ es gibt y ∈ Y und z ∈ Z mit y = z oder y R z oder z R y.
Dann kann man folgendes allgemeine Resultat beweisen (was wir hier nicht tun):
Satz 2.27 (X, R) sei ein beliebiger Digraph, und X sei die Vereinigung eines
Systems Z zusammenhängender nichtleerer Teilmengen. (X, R) ist genau dann
zusammenhängend, wenn Z bezüglich der Relation ./R zusammenhängend ist.
l
s sl
@w
s sH
s s
s
s s s s
H
s
s
s
21
s