Aufgaben zu 17: Logik und Aussagen

Aufgaben zu den Abschnitten 17 { 19
S. 1
Aufgaben zu 17: Logik und Aussagen
Aufgabe 70:
Beweisen Sie mit einer Wahrheitswerttabelle
(i) A _ (B ^ C )
(ii)
:(A _ B)
() (A _ B) ^ (A _ C )
() :A ^ :B
Aufgabe 71:
Gilt :(A ! B )
() :B ! :A ?
Aufgabe 72:
Untersuchen Sie die nachfolgenden Satze darauf, ob sie (mathematische) Aussagen enthalten und
geben Sie ggf. den Wahrheitswert an.
(i) 33 = 27
(ii) 44
27 = 7
(iii) Manner sind kluger als Frauen.
(iv) Die Erde ist ach.
(vii) Wenn x 2 N Teiler von 12 ist, ist x auch
Teiler von 4.
(viii) Wenn x 2 N Teiler von 4 ist, ist x auch
Teiler von 12.
(v) x + 4 = 12
(ix) ist eine rationale Zahl.
(vi) Es gibt eine naturliche Zahl x mit x 2 = 25.
(x) x + x = 2x
Aufgabe 73:
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(i) (4 = 2 + 6) _ (6 = 2 + 4)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
:(4 = 2 + 6) _ (6 = 2 + 4)
(4 = 2 + 6) _ :(6 = 2 + 4)
:(4 = 2 + 6) _ :(6 = 2 + 4)
(4 = 2 + 6) ^ (6 = 2 + 4)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
:(4 = 2 + 6) ^ (6 = 2 + 4)
(4 = 2 + 6) ^ :(6 = 2 + 4)
:(4 = 2 + 6) ^ :(6 = 2 + 4)
:((4 = 2 + 6) _ (6 = 2 + 4))
:((4 = 2 + 6) ^ (6 = 2 + 4))
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S. 2
Aufgaben zu 18: Aussageformen
Aufgabe 74:
Es sei S = fs1 ; s2 ; : : : ; sn g eine Menge von Studenten und V = fv1 ; v2 ; : : : ; vm g eine Menge von
Vorlesungen. Weiter sei Da(s; v ) die Aussageform, dass der Student s in der Vorlesung v anwesend
war.
Finden Sie Formulierungen zu:
(i) Ein Student war in allen Vorlesungen da.
(ii) Einmal waren alle Studenten da.
(iii) Jeder Student war einmal da.
(iv) Jedesmal war mindestens ein Student da.
(v) Alle Studenten waren immer da.
Aufgabe 75:
Bilden Sie die Negationen von:
(i) x < 4
(ii) x
(iii) jx
3
2j < 4
(iv) jx + 2j 3
(v) x ist durch 6 teilbar.
(vi) A B (A, B Mengen)
(vii) A ist eine unerfullbare Aussageform.
(viii) A ist eine allgemeingultige Aussageform.
Aufgabe 76:
Es seien ? 6= G1 G Grundmengen und A eine Aussageform uber
Welche Beziehung besteht zwischen
G.
A ist erf
ullbar uber G1 .
A ist unerf
ullbar uber G.
A ist unerf
ullbar uber G1 .
G.
G.
A ist allgemeing
ultig uber G1 .
(i) A ist erfullbar uber
(v) A ist allgemeingultig uber
(ii)
(vi)
(iii)
(iv)
G.
A ist nicht allgemeing
ultig uber G1 .
(vii) A ist nicht allgemeingultig uber
(viii)
Aufgabe 77:
Es seien A, B und C Aussageformen uber der Grundmenge G. Machen Sie sich an Hand der Erfullungsmengen folgende Aussagen klar:
(i) Gilt (A _ B ) =) C , so gilt sowohl A =) C wie auch B =) C .
(ii) Gilt A =) C , so gilt auch (A ^ B ) =) C .
(iii) Es gilt A =) :A genau dann, wenn A unerfullbar ist.
(iv) Gilt A =) B und B =) C , so gilt auch A =) C .
Aufgabe 78:
Formulieren Sie mathematisch:
Alle Tage ist kein Sonntag.
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Aufgaben zu 19: Beweise
Aufgabe 79:
Die Grundmenge fur x und y sei R.
Beweisen oder widerlegen Sie
(i) 8x 9y : x < y
(ii) 8x 9y : x
y
(iii) 9x 8y : x < y
(iv) 9x 8y : x
y
Aufgabe 80:
Beweisen oder widerlegen Sie
(i) 8" > 0 9 > 0 : 0 < < "
(ii) 9 > 0 8" > 0 : 0 < < "
(iii) 8 > 0 9" > 0 : 0 < < "
(iv) 9" > 0 8 > 0 : 0 < < "
Aufgabe 81:
1
Beweisen Sie: Ist lim an = 1 und an > 0 fur alle n, so ist lim
= 0.
n!1
n!1 an
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