lieber die Anzahl der Lösungen gewisser

Research Collection
Doctoral Thesis
Ueber die Anzahl der Lösungen gewisser Kongruenzen nach
einem Primzahlmodul
Author(s):
Widmer, Adolf
Publication Date:
1919
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000107269
Rights / License:
In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more
information please consult the Terms of use.
ETH Library
lieber die Anzahl der Lösungen gewisser
Kongruenzen noch einem Prlmznhlmotlul.
VON DER
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
IN
ZÜRICH
ZUR ERLANGUNG DER
WÜRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
ADOLF WIDMER,
dipl. Fachlehrer
AUS HAUSEN b. B.
207.
(AARGAU)
Referent:
Herr Prof. Dr. A. Hurwitz
Korreferent:
Herr Prof. Dr. H.
gg
ZURICH 1919
Fachschriften-Verlag Bs Buchdruckerei A.-G.
Weyl.
Leer
-
Vide
-
Empty
Einleitung.
Die
vorliegende Arbeit zerfällt
betrachten wir nach dem
Formel
einer
Crelle's
oder
nun
(x),
/
zahlige Funktionen
zahlmodul p ein
Vorgange
der Theorie
aus
tingen 1906,
quadratischen
Bd. 132
Journal
darin
den
Quadraten
die für /
dargestellt
(x)
Primzahlen
—
der Form
Ueberlegungen
wie
es
Herr L.
so
6/7+1
hervor.
einer
geht
werden
(x2, + a)
x
von
die
hat,
durchlaufen
v.
auf
die
die
als Summe eines
Der Beweis
des
p
für
/(x)
ergeben
sie
die
Zerlegung
einfaches und ein
vollständig
Im
II.
dass
eine
Relationen
der
im
III.
eine
Zahl
Kapitel
x-f2
Zerlegung
Bd. 140
folgenden
wesentlich
in
im
Anschlüsse
Zahlen
verwendet,
mit
Rest
ihren
Formel herzuleiten.
x22
+
...
+ ar
so
in
der Basen
Prinzip
dem
hinreichend
(mod. p)
klein ist.
von
Herrn
Kongruenz
(mod. p)
betrachtet.
um
für
die
Diese
xr%
=
0
Resultate
Lösungsanzahl
Kongruenz
+ a2
worden.
8/7+1
eine Arbeit
an
der
diesen
Verwendung
Bestimmung
durch
0^=0
dazu
Quadrates
vereinfacht
Fällen
allen
bye +
durch
der Form
von
Die
schon
a
der Form
von
(x4, + a) durchgeführt,
x
=
;
der
werden
pag. 252 getan
und eines dreifachen
Lösungsanzahlen
zwischen
quadratischen
a1
wurde
werden,
xe +
eine
von
dass
(x's + a) übertragen,
x
ist, falls ihr absoluter Betrag
bekannt
a
werden
Jacobsthal zeigt,
=
Journal
doppeltes Quadrat.
Prof. Dr. A. Hurwitz die
und
(x)
der Primzahlen
Quadrate
Kapitel
/
Summen
als
Darstellung der Primzahlen
Moduls
Ueberlegungen
durchgeführt,
Funktion
(mod. p),
Diese Anzahlen
Quadrate ergeben
zwei
dieses Satzes ist im
Primitivwurzel
auftretenden
in
einfachen
die
der
+ 1
Schrutka in Crelle's
ihnen
aus
n
und untersuchen
auftreten.
Herr
:
dem Prim¬
der Nichtreste
gewisse Zahlen
können
Diss. Göt¬
nach
x
auftretenden Anzahlen
4
Werden
ein
dass
Nachweis,
Kapitel
238) ganze ganz¬
pag.
quadratischen Reste und
wie sie unter den erhaltenen Funktionswerten
ermöglichen
ersten
Reste",
die Variable
vollständiges Restsystem
die Anzahlen der
Im
Jacobsthal („Anwendungen
E.
von
der
lassen
drei Teile.
in
(mod. p)
_
Die
Herrn
auch
Arbeit
ist
an
—
Anregung
einer
Prof. Hurwitz,
4
entsprungen.
fühle
dieser Stelle für die wertvollen
liche Hilfe herzlich
zu
hochverehrten
meines
Ich
mich
Ratschläge
Lehrers,
verpflichtet,
ihm
und seine freund¬
danken.
An Literatur sei ferner erwähnt:
G. Eisenstein,
„Neuer
und
elementarer Beweis des
Reziprozitätsgesetzes". Crelle's Journal
G. Eisenstein,
„La
loi
Crelle's
Gauss ..."
V.-A.
Lebesgue, „Démonstration
réciprocité
de
Journal
nouvelle
Legendre,
et suivie de remarques
(Liouville),
V.-A.
tome
Lebesgue, „Recherches
tirée
réciprocité
de
sur
12
les
matiques (Liouville),
.
et
des
Eisenstein,
Journal
M.
de
précédée
Mathématiques
pag. 457.
Journal de Mathé¬
(1e série), pag. 253.
nombres",
2
de
élémentaire de la loi de
(Ie série),
tome
pag.322.
formules
Bd. 28, pag 41.
par M.
..".
Legendre'schen
Bd. 27
Kapitel
§
I.
i.
Wir stellen zunächst
einige Definitionen und Hilfssätze zusammen.
ungerade Primzahl. Für die ganze, nicht durch p
Es sei p eine
teilbare Zahl
—)
je nachdem
die
Legendre
wir mit
setzen
a
+ 1
=
oder
,
Symbol
das
•=
—
1
(1)
,
Kongruenz
x2
Lösungen zulässt,
oder
=
nicht,
resp. Michtrest der Zahl p.
a
und
Im
(mod. p)
nennen
Falle
einen
a
einer
quadratischen Rest
durch p
teilbaren Zahl
a
wir
setzen
(-»=•
In
beiden Fällen erfüllt das
Symbol
die
Kongruenz
p-'
(f)
Rechnung
Für die
Satz
1
:
Bedeutet
mit
a
Aus der Theorie der
Satz 3
:
o
Bedeuten
ganze
Zahl,
=
"i' (-£-)
und
ganze Zahl
positive
.=
v
I
die Sätze:
ist:
so
~~
^
zwei
(4)
=p-\
Kongruenzen reproduzieren
a=i
u
(2)
.
I
P
Es sei X eine
PiV=Pi1A'
/>
festgewählte
"i' (^-)
:
(mod. p)
Legendre'schen Symbolen gelten
eine
A=0V
Satz 2
2
: a
;
wir
dann ist
1
(mod-^'
wenn
A
0
(mod. p),
wenn
âe^eO (mod.
=
0
(mod./i- 1)
beliebige ganze Zahlen,
so
p—
1)
bilden
wir
die Summe
**«-:?. m hi
und
bemerken, dass
für
u = v
V
(mod. p)
nach
(u,u)=p—\
<«>
(4)
(7)
6
—
Rest
Den
der
Zahl
(u,
yj
die entsteht,
(mod. p)
v)
Kongruenz,
gemäss (2) nach dem Modul
(u, v)
p
,7
Sie lautet,
der
aus
die ihnen
ersetzen
:
Pzzl
2
(u 4- a)
wir
durch
2
(y-\- a)
(mod. p)
0
binomischen Satz entwickeln
nach dem
wir
wenn
=
die
"sil
2
~
bestimmen
(6)
Symbole
kongruenten Potenzen
wir in
wenn
p-l
yj
—
(m)„
Binominalkoeffizienten durch
bezeichnen
und
die
:
E=l
2
(u, v)
V
P
x/n—\\
—
2
S
=
Bei der Summation über
/
fi
=
0
=
einen
^
u
(u, v)
(mod. p)
v
a
zu
null,
=
(8)
nach
^
(w, v)
y
=
und
1
(6)
a=
:
x"
^
Es sei D
dass die
lösbar
Kongruenz:
—
< p
ist,
ist
ind. D=o
d
1
den
grössten gemeinschaftlichen
Ist diese
Bedingung erfüllt,
kommt
(8)
2
dürfen
so
die
fassen
wir
dieses
gilt
binomische
und
(mod. d) bestehe
genügt;
=
D
Kongruenz
hinreichend,
dh. die Zahl D
dabei
Teiler der Zahlen
besitzt x"
so
;
erforderlich
(mod. p)
Kongruenz
-
das Glied für
nur
also
(mod. p)
v
—
damit
;
der
D
;
die Summanden für
schliessen
(mod. p)
o
(mod. p)
D
=
(mod p).
Voraussetzung
(u, v) |
—
Beitrag
Resultat mit (7) in eine Formel zusammen,
Satz 5
—'—U+zO
a
(mod. p).
1
in
dass wir unter dieser
so
|
und
ez
—
werden
u,
—
v"
liefert nach Hilfssatz 3
a
nicht durch p teilbaren
y>
Falle
Im
P
/n—W
(£—i) ul
(*—i )
bedeutet
(p
1)
—
(mod. p)
und
d
n.
genau d
Lösungen.
Die Binomialkoeffizienten
(m)„
,
die für m=p
nach dem Modul p besonders einfache
zeitigen
te-D'
(n—W
U"
lP
indem wir
(/,+/)
=
=
«!(p-l-n)!
jeden
=
—
1
gebildet sind,
Reste; denn
es
folgt
aus
(g + D(g + 2)...(P-2)(p-l)
1 -2-
...
'
(p —n—2)(p—n-1)
Faktor des Zählers gemäss
(-!) (p~(/7+/))(mod.p)(für/= 1,2,... (p
—
n—
1))
ersetzen
/
(P
Caf7
c.
-
1n)n
(-D
1 -2-3... (p-n-1)
=
i-2-3...(p-l»-1)'
,
Und
,
.,
damlt
.
(/>-1),
=
(-1)" (mod.p)
(10)
7
—
§
Wir betrachten
/
mit
(x)
ganzzahligen
eine ganze
'-}-...
a0 xr -}- ax x''~
=
Koeffizienten.
zahlige Werte,
2.
folgenden
im
Funktion
-4- ar_ u + ar.
Erteilen
wir
der
Variabein
ganz¬
x
ganzzahlige Funktionswerte,
sie
erzeugt
so
—
die
je
einer der Zahlen
/(0), /(l), /(2),
(mod./?) kongruent
Gruppe vereinigen
die durch p teilbar sind
den
der
5t;
ihnen,
Legendre'schen
5ß ;
Gruppe gebildet sind, besitzen je
die
seien
die
unter
Zahlen
den
p) vereinigt ;
zugehörigen Symbole besitzen den
quadratischen Reste (mod.
In der dritten
Zahlen
Gruppe
zweiten
die ihnen
Gruppe
(mod. p),
Michtreste
ihre Anzahl
5ß,
5t, 5t ganze,
Wert
Wert
den
die
die
diesen
(—1).
negative Zahlen.
nicht
1.
Zahlen,
9t;
sei
(11)
ihre Anzahl
die verbleibenden
seien
vereinigt;
zugehörigen Symbole besitzen
Als Anzahlen sind
Zwischen
bestehen die Relationen:
$-f-!R
+ 9l
Aus ihnen schliessen
wir
unter
Wert 0.
In
ihnen
;
Gruppen:
drei
in
diejenigen
wir
ihre Anzahl sei
die mit ïah\tn dieser
auftretenden
sei
(11)
(11)
sind. Wir teilen diese Zahlen
In der ersten
Symbole,
f(p—\)
...
uns
im
(5l+5i=/>-5ß
=
p
also
und
\x_yt=Pz(fM)
{
A-olP
5t
wir für die Zahl
—
5t,
(12)
'
für welche Differenz
folgenden hauptsächlich interessieren,
i 5t
—
m\
<m +-m
=
P—$,
(i3>
ferner ist offensichtlich
5t-9t_5t-f5t
Wir
f(x)
,
spezialisieren
nun
=
—
bisher
unsere
«ß
(mod. 2)
allgemein gelassene
(13a)
Funktion
indem wir
f(x)
=
x(x*-ha)
setzen
und untersuchen die Differenz
Dabei
soll
(also
p
z.
B.
Bestimmung
die
die
Variable
Zahlen
der Anzahl
x
ein
0, 1, 2,
^ß
(14)
vollständiges
.
..
bemerken
(p
—
1))
wir, dass
Restsystem
durchlaufen.
(mod. p)
Für
die
8
—
(?)
dann
und
dann
nur
x2zz
(15)
besitzt
einzige Lösung
dagegen
verschiedene
Lösungen
1,
wenn a
3,
wenn
p
—
p
Wir
Lösung x=0;
eine
teilerfremd,
zwar
=
0
I
1
das
(mod. p)
auch die
ist
(16)
)
4-1
1
(—-1
oder
+ 1
=
besitzt
so
in der Anzahl
1
—
3
,
a
wenn
(-
bemerken,
wollen
=
wenn
,
9ft + 9*
Zahl ist,
(15)
(16)
=
Ist
a.
x~0
von
Folglich
.
ist
1
—
,
(12)
und nach
•
und
Kongruenzen
Falle einer durch p teilbaren Zahl
im
gegen den Modul p
a
eine der
(mod. p)
(mod. p)
a
—
die
stets
(16)
von
x
wenn
0
=
x
erfüllt.
(f) m
-
Null wird,
zu
—
I
-
J
=
—
1
(17)
-1=4-1
9i -f- 91
beiden Fällen
in
dass
(mod. p) oder
0
und dass dasselbe nach
(13a)
auch
von
eine
der Differenz
gerade
9t
—
9Î
Wir setzen
gilt.
9l-9l='fl(f)(->i!)=2-^a);
dann ist
99(a)
eine ganze Zahl und
befriedigt
nach
(13)
°8)
und
(17)
die
Ungleichung
| 2<p(a) | <pDie Zahlen
Reste
(a) liegen
<p
(mod. p).
Um sie
Rest
(mod.p)
enz,
die entsteht,
die
zu
<p
^=1
(a) \ £
System
im
der
absolut
(19)
kleinsten
völlig festzulegen, ist jetzt noch nötig,
Es
geschieht dies
mit
Hilfe der
ihren
Kongru¬
wir in
Legendre'schen Symbole
gruenten
|
also
,
demnach
berechnen.
wenn
1
nach
(2)
durch die ihnen
(mod. p)
kon¬
Potenzen ersetzen
<p
Wir setzen
(a)
zur
=
4"
2
x
2
•
(x2
4-
a)
2
(mod. p).
(20)
Abkürzung
=
p'
(21)
9
—
und entwickeln
~-PZ
tp(a)
Zuerst
*
Hilfssatz
3
Exponenten
£
p
erfüllen,
p'
2
so
(a)
<p
das
(23)
Im
—
stets
p
Ist die
sei
die
Ungleichung
(21)
P
=
—
v
0,\,2,...p.)
=
von
folglich
wird
(a)
-£-
v=
=
0 für
bestimmt mit
und
bemerkenswerte
es
ist
(a)
=
(19)
0
=
*
2/7
—
-j- (2 /7)„
für /
^
0
und
(25)
=
^—
•
a"
=
4
n
von
+ 1
zu
a.
;
als¬
n
in
(25)
(mod. p)
q>
(a).
(0)
=
Diese
besitzen
(26)
0
beliebige
zu
=
cp-
(a)
(27)
.
p teilerfremde
Zahl,
so
wird
nach
(2)
p~
1
1
(p(al2)-—-^(2n)n-(al2)"=—~(2n)„a"-/
=
cp{a)
(—J
welcher
2
(mod. p)
daraus schliessen wir mit Rücksicht auf
aus
-f- 3,
(mod. p)
bedeutet / eine
und
n
(25)
q? (a /2)
Denn
4
:
<p
und
=
jeden Wert
p—1
=
die Zahlen
zusammen
Eigenschaften
zufolge (19)
(24)
Kongruenz (22)
die
der Form p
von
^p-
=
der Form p
setzen, und die Kongruenz (22) geht über
<p
(23)
;
(24)
l
-y-
p—
Primzahl
<p
nicht
wenn
also
die Primzahl
und
1)
(mod.
(19)
werden.
einen
Exponent
(für
eintreten ;
Terme
Q
eintreten,
nur
dh. nach
folgenden
dann ist nach
zu
nicht
(mod. p)
=0
2v
2v=p—\=2p',
—
(22)
.
vollzogen
x
diejenigen
<: 3 p
v
eine ganze Zahl wird.
kann
—
(22)
in
—
kann
so
Sp'
3 p
(mod. p)
a»
•
Index
den
nur
für die der
Beitrag,
3
über
dabei
liefern
durch p teilbaren
da die
P2 (p)rx3p'-2r
x=0v=0
Summation
die
soll
Nach
binomischen Satz
dem
nach
—
(27) hervorgeht.
(19)
die
Gleichung
(mod. p)
10
—
Bezeichnet
1);
die Zahl
/?
—
beliebiger quadratischer Rest (mod. p) (z.
ein
(R 12), (R22), (R32),
(Rp'2)
...
(mod. p) inkongruenten quadratischen Reste
alle
nimmt
für
(mod. p),
dieser
jedes
die
Bedeutet
an.
Zahl
Argumente
N
Funktion
<p2 (x)
Berechnung
.
(N p'2)
.
die
Wir
.
-=
qß (0) + ?-±{<f(\)
der Summe S kann
wir in
<f
(/Y)}
=
S den Wert
aber
von
(a)
cp
direkt
auch
aus
durchgeführt
(18) eintragen:
'i' U)(^Yi'(*±L)(!?±!)
S-44
+
^i{9'2(1)4V(")}.
=
Die
.
Nichtreste
für die Summe
2y (a)
werden, indem
(p2 (x)
<p2 (1)
(mod. p), und
Argumente je den Wert <pa (7Y).
/>-!
•=
=
beliebigen quadratischen Nichtrest
einen
besitzt für diese
infolgedessen
S
cp2 (7?)
bilden die Zahlen
dann
vollständiges System quadratischer
erhalten
die Funktion
;
denselben Wert
(N l2), (N 22), (N 32),
ein
B.
liefern die Zahlen
dann
\
x,x-=0
P
'\P /a=0\
)\
P
P
!
darin
ergibt
5
-5-2(f)£ (f)[M^)i -4-;i:(f)S(f)
-
die Summation
der zweite Term
Faktor
1
ist nach
(3) gleich
f
/X2_x<2x2
—
1
(
über den
=
s
Summationen, erstmalig
-
Die
•
Null
wenn
\
I
die
]
Index
0
,
=
4
/7
über x,
-4- 1
nach
(9)
setzen; der
x'=±x (mod.p)
für alle andere Werte
dann
ri(f ) (t ) [(in?)]
Festsetzung /?
zu
a
bewirkt
-
nun
über
x
von
ergeben
x
;
:
^ m+m
11
—
so
dass für S der Ausdruck
—
entsteht
S=p-P-^;
dessen
y(1)
ganzen Zahlen
(28) zeigt zwischen
(N) die Relation
mit
Vergleichung
Satz:
Jede
Primzahl
Die
Bestimmung
(19)
(26)
und
<7>(1)
:
p
=
41
p
=
41
der Form p
Quadrate.
durch die
4
(mod.
7>(1)= —y(20)io(mod.41)=-5(mod.41)
52 +- 42
ax=x(x1
+
Wieder beschränken wir die Variable
x
/(^
Restsystem (mod. p).
und
bemerken,
-
=
x4 +
9t
V
=
(-f) (*' a)
+
(mod. p)
dass für a^O
Für die weiteren
erledigten Falle,
<ä)
=P2
xp'
Ueberlegungen
Aus
(31) geht
die
Kongruenz
(x3 + ä)P'
p teilbaren
=
0
Beitrag,
9t,
wie sie
liefert
wenn
der
auf ein
vollständiges
=
<Z>
(31)
(a)
offenbar
Paragraphen
vermittelst
(32)
(2)
sei
und
a
=£
0
(mod./?)
(21) analog
dem
(mod. p)
(33)
hervor
2
_
(30)
a)
VA'-'
dieses
x==0i<
X=0
der einzelne Summand
—
4- )=p-l.
2x
vorausgesetzt.
51
(12)
nach
Wir bezeichnen
#(0)=
$
3.
Funktion
ganzzahlige
SR
{\) geschieht
4/7+1)
=
zweiter Stelle untersuchen wir die Differenz
für die ganze
<p
«=10
§
auftritt.
p
10 -f- 1
•
< 20
=
Quadratzahl
Bedingungen
(2 n)„
2"
=
-f / ist darstellbar als
4n
=
der Basis der einen
=
| qp(l) |
An
den
<p*(\) + cp*-(N)
=
von
Summe zweier
Beispiel
und
den
die
nach
der Primzahl p
und '),.
2
=
nach
x^p'-31
a'
;
0
(5)
Exponent
nur
von
dann
x
einen
nicht
durch
12
—
(33)
die in
auftretenden
//<: 4p—
Die
Kongruenz (34)
(mod.p
3v~0
4p—
—
Exponenten
2>v< 4 p
kann
für
v
(34)
genügen der Ungleichung
x
von
1);
—
0,\,2,
=
p.
...
durch zwei Werte vv v2 erfüllt werden,
nur
für welche
4p' —3^
p'
4
Je nachdem
(6n-f-l)
v2
3 r2
—
=
2
(p—1)
=
1
(p
•
sind
)
4p'
dh.
p'
dh.
2
(grösser 3)
die Primzahl p
ist,
1
—
=
—
=
c2
=
0
—5—
(6
der Form
von
der erste Wert v1
nur
vx
n
-4-
5)
oder beide Werte
v1
oder
und
ganzzahlig.
A) es sei p
(33) <P(a)=—
durch den einen
5 (mod. 6); unter dieser Voraussetzung wird nach
(mod.p). Die Kongruenz ;r=0 (mod.p) ist stets
0 erfüllt, und es besitzt xB + a
Wert x
0 (mod. p)
=
1
=
=
nach Hilfssatz 5 stets eine und
teilbar werden kann.
eine
nur
5ß
Somit ist
Wurzel, die hier
nicht durch p
und wir schliessen
2,
=
aus
(13)
| 0(a) | <p-$=p-2.
Ungleichung
B)
und
sei p
es
p'
(33) geht
6
=
n
-+- 1
3
=
(a)
0
Kongruenz besagen
=
1, für jeden Wert
—
folglich
;
/7
i>j
=
0
>'2
=
-l(1+(3 /j)2B a2")
(mod.p) gesetzt
kann a=^"
Kongruenz x3 +
andern: x3
=
^a
3"
(mod. p)
=
=
—
Null
verschiedene
oder nicht.
Lösungen
oder
Bezeichnet
xi^g*1 (mod.p)
Lösungen,
so
sind
x2E=gê'+2n,
Für die
setzen
(mod.p)
0
(mod. p) inkongruente,
q = 0 (mod. 3)
zu
^
besitzt nach Hilfssatz 5
keine, je nachdem
dargestellt.
wegen
;
0
(mod.p), gleichbedeutend mit der
(d der grösste
Zahlen (p
6/7
und
3
ist gleich 3)
1)
a
von
die eine dieser
(35)
a
werden.
(mod. p)
gemeinschaftliche Teiler der
ist
n
über in
$(a)
drei
2
=
Ferner bedeute g eine Primitivwurzel des Moduls p
Die
von a.
Anzahl
die beiden
xi=g^ +
der in
(31)
4n
zu
andern durch
(mod.p)
Null werdenden
:
m
f
4
\
1
,
,
wenn
a
wenn
a
Daraus schliessen wir nach
\ 0(a) \
=
—
^
0
(mod. 3)
0
(mod. 3)
(13)
\ 0(gu) | <p—
1
für
jedes
a
und
Glieder
13
—
—
<Pf^=fl-»=//'~4=1 (mod-2)'
V£ )
In
-P-
P
j
^_ 1
^
xzzg* (mod. p)\
system (mod. p),
wenn
für die drei Werte
£1
(/= 1,2,3.)
fa]Is
«
Q
0
(mod. 3).
_^ 0
(mod_ 3)_
=
\oo)
(31)
der Summe
setzen wir
falls
(mod_ 2)>
0
=
£, #2
durchläuft dann
x
|
ich
1,2,3,
=
(p
...
f -f 2/7, £3
=
ein reduziertes Rest¬
—
1)
=
6/7. setze:
f + 4 // wird
=
(.g^ ''-+- a)
(mod. p) kongruent; also
derselben Zahl
nbn\
(^\
und weil offenbar:
•«
0
-j-
(a)
=
(mod. p)
und sind

(38)
folgende Eigenschaften :
(a)
 vollständig
Kongruenz
a2"} (mod. p)
(3 n)n
(40)
berechnen sind.
Zwischen den Zahlen <p
für die
(a)
gleichbezeichneten Zählen
abgeleitet
Nach
die
entsteht
,
ist:
|
zu
+ 1
=
(a)
y
Diese zahlentheoretische Funktion besitzt
36)
(~"\
=
%£,(£) (^
=
Wir bezeichnen
(~\
=
wurden ;
(32)
wir wenden
und
ähnliche
bestehen
Relationen,
im Falle der Funktion
uns
(36) gelten
zu
für
deren
spezielle
/(x)
=
x
wie sie
(x2
+ a)
Herleitung.
Werte
des
Argumentes
Beziehungen
(mod. p):
0
für
a
für
3=1,2,3,
cp
=
(g")
<p(g")
=
=
...
(41)
<p(0)=2n
(p—1)
wurde
azzg"
(mod. p)
1
(mod. 2),
wenn
a zzz
(mod. 3)
1
0
(mod. 2),
wenn
a^O (mod. 3)
j
0
gesetzt
'
'
14
—
Aus
cp
(ga)
^- {l
=
gbn
schliessen wir wegen
dene Werte annehmen
für
(mod. 3)
^zO
a
den
(mod.3)
(mod. p),
1
=
r
=
(42)
5=Pi
^2(a)
die direkte
Die
=
=
<p(0) -i
drei verschie¬
|
(px
^ {]+(2>n)n g2"} (mod.p), l(43)
—
j
9?2
—
2/7
<
{l
~
| cp3 |
<
2
+
(3n)ngin} (mod./?),
/7
gerade, q?x
<p3
(mod.p),
2/7
<
eine
zwischen diesen
ungerade Zahl sein.
Zahlen, indem
i>iga) ==2/7 + 2/7 [Vh
-
wir uns
von
+ ^ +
y.3} (44)
J (/>2(^")=(2/7)2-F2/7-{^124-%2+'P32};
Ç'2(0)+
von
T liefert nach
(45)
(3)
5 liefert schrittweise
a
9
(ga)
nur
(39)
S bilden
Berechnung
Berechnung
q>2,
Relationen
T und
i <p(a)
|
r/<3^
„
wo
die Summen
[
q>2=
„
„
Wir erhalten
und
r{l-f (3n)„}
Wert^^
wo
dabei werden nach
dass q>
(mod- P)
kann, nämlich
„
füra-;2(mod.3)
(g2n)a)
+ (3 n)„
WO
füra=1
—
*,Jr-
=
=
o|
3
o\/>
,/\
P
))
/\^ /-~o\
P
)\
*
=
o\
P
P
ergibt nach (9)
-^(f):f:(f)[>-(^r]-j-2:(f)5:(f)
der zweite Term verschwindet nach
wenn
\
"
/
|
x3
=
(3)
yj dh.
0 für alle andern
;
der Faktor
x
_ijc,
Werte
die Summationen erst über den Index x,
x-g2", x-gin (mod.p)
von
x
dann über
x
ergeben
nach
(4)
15
—
—
tmm-rhOH^}p-^p^-p-2„;
=
die
Gleichsetzung
der Werte
T
von
und durch
=
—
1
Quadrieren
<Pi2
diejenige
(44), (46) ergibt
aus
9°1 + <P2 + '/>3
(47)
H-
<P22 +
der Werte
[gjj
9V + 2
von
S
<Pi2
'
7>22
qj2 + cp2 9-3 -+ ^ 9
(45)
aus
+
J
^
-(- 1
;
(48}
.
(47)
und
?82=/>-2/7
(49)
Die
Kombination der Gleichungen (48) und (49) liefert die
Die
Primzahl
neue
Ti T2 + 9?2 <Ps + % 9>i =-2fl
p
kann
durch die Zahlen <pv <p2,
p
(49)
nach
/>
Setzen wir
=
^7
{ (2<Pi
—
<Pz
~
(50)
dargestellt
<p3
| (p-12 -f- <7'22 + r/v
=
und
(«ft
—
auf
werden
ergibt
<Ps)2
+ 3
(?'2
Jede
Primzahl
eines
Die Basen
~
Bedingungen
in
=
b,
von
der Form p
=
und
folgen
damit der
6n + / /s£ als die Summe
wegen
Quadrates
(39)
und
darstellbar.
(43)
aus
den
:
l-{^n)n(g2n-gin)}
-*±*--
(mod.p)
*-(3 n)„ (mod./?)
0<±B^2n
0
< ±
A < 4
n
,
denen g eine Primitivwurzel des Moduls p bedeutet.
Beispiel:
p
A
=
61 =6.10-1
=
j0= 61
i-(30)10
=
n
=7
den
dritter Stelle
72~{-3.22
wir
setzen
Ausdruck:
„,
,
f(x)
dem
a
=10
(mod. 61)
§
An
(in
—
(f'i)2}
Äl -\~ 3 ß2
=
Quadratzahlen
B=^-^=
A =9l
|
Zahlen
einfachen und eines dreifachen
der
Weise
die Relation
p
Satz :
9j)
<p2 + <p2 <fz -+- <p3
jetzt die zufolge (42) ganzen
sich
folgende
:
(Vl-*.-*-) Ja. {±--±)
so
(50)
die
eine ganze Zahl
4.
für die
,
=
.
,
ganze
ganzzahlige
Funktion
,
x(^ + a),
bedeuten
mag)
und
untersuchen die Zahlen
16
—
—
*-*='f!(f)(^)=*(a>;
für
=
a
(mod. p)
0
(5i)
nimmt diese zahlentheoretische Funktion den Wert
*(o)=21(f),=s0
Für die weitern
an.
sei
^
a
(mod. p)
0
(51) herstellen,
aus
durch
X
=
uns
xP'(x4
a)P—P2
+
0
X
—
r
(5)
das einzelne Glied
teilbaren
Beitrag,
der
In
(53)
von
den
Legendre'schen Symbole
die
—
Index
dann und
Exponent
der
wenn
5p
erfüllt.
in
4
vorliegenden
v
=
x5p~4'
a*
von
p
(53)
(mod. p)
so
liefert nach
dann einen nicht durch p
die
x
(53)
Summe
vollziehen,
x
nur
(mod.
0
:
0
=
Wenn wir die Summation über den
Fällen)
(wie
(p')„
2
0
(a) ge¬
erledigten
Funktionswerte
(2)
indem wir nach
$
Die
kongruenten Potenzen ersetzen
die ihnen
<P{a)=PS
die wir
gegenwärtigen Paragraphen
des
vorausgesetzt.
Kongruenz,
einer
nügen
Ueberlegungen
(52)
—
1
Kongruenz
)
diese
genügen
Exponenten
Ungleichung
der
p
und
die
<^
5p
4
—
<C 5 p
v
für
geforderte Kongruenz
für
ist
v
0, 1, 2,
=
...
,
p.
und v2
die Werte vl
befriedigt,
wenn
4p
dh
Vl=-£~
(p-\)=2p'
dh
Vi=^rß
5p'-4-v1=2(p—\)
5p
Damit
und
dass p
v1
=
1
Für p
früheren
-4
ganzzahlig werden,
v%
(mod. 8).
^= 1 (mod. 8)
von
folglich
P
setzen.
jetzt
P
~'
1
An Stelle
(a)
Ä
0
(mod. p)
von
hinreichend,
und wie
0 für
=
von
=
—
)'j=/7,
=4/7,
2
=
Die
=
ab die Primzahl p
=
0
Für die
(a)
und
notwendig
jeden
eine den
Wert
der Form p
=
8
von a.
n
-+-1
ist
'
zu
$
wird
ist
Ueberlegungen analoge ergibt <P (a)
Wir setzen
voraus ;
v2=
=
(-
(53)
1
tritt die
) { (4 n)„
(4 ri)n
•
a"
{1
x~0
(mod. p)
3/7
(4 n)3„ a3"}
a2n} (mod. /?)
Berechnung der Anzahl ^ bemerken
Kongruenz
Q
=
Kongruenz
a" +
+
^
(54)
wir:
besitzt die
einzige Lösung x=0;
17
—
—
(mod. p),
Bezeichnen wir wieder mit g eine Primitivwurzel
Verabredung
nach
gruenz a-4 -|-
(mod. p)
liche
und die
(d,
besitzen nach Hilfssatz 5
der
Teiler
Zahlen
p— 1
von
Null verschiedene
nachdem
indg
a
—
a
=
g? (mod. p) irgend
A-2=£è+
gleich 4)
ist
oder
nicht.
keine,
so
'
bn
für die Anzahl
( 5,
wenn
a ^
0
(mod. 4)
\
wenn
a
^
0
(mod. 4)
1,
jedem
ist daher in
Falle
zu
;
schliessen
Aussagen (54) und (55) vermögen
deutig festzulegen.
wir
jetzt
'
Eine dritte
=
"-1
21
die Variable
x
<
o\
x
=
1, 2, 3
'x*+a\_V/
v\
!\
P
J
P
x-\\
gemäss der Kongruenz
...,
(p
—
1)
8
=
«w-S
Für die vier Werte
g^i
+
die vier
in
(56)
a
=
die Zahl
0(a)
dieser Zahlen
Eigenschaft
nicht ein¬
ergibt sich,
£,
=
f, f2
=
£4«- (^2")4('-1)
wollen wir
derartige
-+a
Restsystem (mod. p),
setzen
2 /7,
=
—
£j
=
g4$ +
Sie
wenn
:
(»,
£ 4- 4
a
/7,
£4
=
£
+ 6
/7
wird
(mod.p); (/= 1,2,3,4.)
) (/'
=
1, 2, 3, 4) sind gleich
Glieder zusammenfassen:
*wj:'ï(^)(f)
S= !
ersetzen.
(£) (*£-<)
f 4-
Legendre'schen Symbole (
n.
x
P
x=g$ (mod.p)
durchläuft das ihr zugewiesene reduzierte
f
(55)
in
0(a)
wir
sind
a.
Die
wenn
je
(mod.p)
|<Z>(a)|^p-1
jedes
für
vier
Bezeichnet
möglichen Lösungen,
An, x±=gs
+
xz=g*
.
~,
(13)
4,
oder
Ueberlegungen ergeben
Diese
+ 4n
durch
die drei andern
dargestellt.
eine der
Kon¬
g«
=
grösste gemeinschaft¬
Lösungen
(mod. 4)
0
=
der
8/? und
=
kann
so
die
gleichbedeutende x4
unter sich und
x1
nach
(mod. p) gesetzt werden;
ga
(mod.p)
0
=
a
=
a
;
Wir setzen
Dann
diese
besitzt
schaften
(a)
cp
=
(a)
(57
.
(a)
zahlentheorerische Funktion cp
neue
(55)
nach
:
<P
-j
(54)
und
die
Eigen¬
ist
1^)1^^=2/7.
(a)
cp
—
~
(4 ri)„
~
darin sei
—
Für
Argumentwerte
a
a
=
Argumentwerte
(mod. p)
£a
her, indem
wir
1,2,3,
=
0
=
(g")
=
c
.g"-"[\
nun
zwischen
a
ß
=
-4- AI
(52)
aus
(61)
(p—1).
(59) und (60)
wollen
wir
stets
ga-2n] (mod. p)
Zahlen cp
den
(60)
.
...,
+
(59)
;
.
setzen; dann ist nach
cp
Wir leiten
a
gesetzt
c
=
(mod. p) folgt
0
(^(0)
Für
[1 -f a2"] (mod. p)
a"
(4 ri)„
—
=
(58)
und
eintragen,
(a) gewisse Beziehungen
uns
die Existenz
an
der
Kongruenzen
gSn
(mod. p)
1
=
gin
und
=
—
(mod. p)
1
erinnern, welche die Primitivwurzel g der Primzahl p
—
8
n
-f- 1
er¬
füllt.
(ga)
[1 -+-g2 (4 ' ß)]
c
ig')"' §" ß l1 + §ß 2"] (mod. p)
g"(4 '
=
also
=
(-—)
+1,
darf
9"te°)
der
Sie
Symbol 1
Kongruenz
cp
(g")
zeigt
:
=
—
1
=
auf die
[—)
dass
•
die
-V(gß) (mod.p)
Berücksichtigung
in
Gleichung geschlossen
<P
(gß)
=
+
<P
(gß),
(mod. p)
werden
wenn
zahlentheoretische
Vorzeichen höchstens 4
vom
•
(2)
nach
Da das
+
"
a
=
Funktion
von
(58)
aus
:
ß (mod. 4).
cp
(ga) abgesehen
verschiedene Werte
annehmen
kann:
für
a
für
a
=
—
0
(mod. 4)
:
1
(mod. 4)
:
für a-2
(mod. 4):
cp
(ga)
=
-j-
cp
(ga)
=
+
99
(g*)
=
±
—
q0
ç?j
=
2
c
-
c
?2
c
•
(mod. p)
g" [I -+g'2''] (mod. p)
-^2" [1 ^£4"]
—
für «=e3
(mod. 4):
i (mod.p)
r
=
(62)
19
—
(58)
nach
|
ist
und Ç93
<px
folgt daraus,
(p2 (ga) folgendes
cp2 (ga)
ç,2 (£«)
<P2 (£")
Aehnlich
in
wie
dass
]
wenn
a
0
(mod. 4)
0,
wenn
a
=
2
(mod. 4)
|
=
«Pi2»
wenn
a
=
1,3 (mod. 4)
)
=P2
cp2 (à)
Fällen
=
<p02
Zahlen
:
cp02,
früheren
definierten
die
gleich sind. Infolgedessen
Verhalten
=
den
S
und
0
=
=
—
(62)
Für die in
dass cp2
bis auf das Vorzeichen einander
die Werte
zeigen
(/= 0,1,2,3).
\ <^2n
cp,-
Zahlen q)0 çjj çj2 cp&
—
bilden
wir die
(63)
Summe 5:
<p2 (£«)
+ 2
(64)
und finden
S
=
2
W
n
9?i2
+
+
gültigen
Sätze
indem wir <p
;
S
%2]
S
=
-+ 2
:
cp,2]
(65)
Legendre'schen Symbole
die
(57)
[<p02
n
in
(64) eintragen,
entsteht
16v.=0\p/lp/a=0\
)\
P
über den Index
a
)
P
(9):
liefert
^,(*)V(^|l-^)2l-lPi,(iL)Pi,(^;
16x
=
0
VP/y^oVW L
der zweite Term
V
x^
II,
0 für alle
durch Ausführen
=
/J
P
ergibt zufolge (3)
wenn
x
(a)
aus
2
=
iï'^(ï)'ï'(ï±l)(!î±i)
=
das Resultat der Summation
Null
übrigen
16X
=
0\P/X'
=
0VW
der Faktor
;
x^ d.h. x'
der Summationen
=
Werte
x,
von
x-g2", x-gin, x-gb"
(mod./,)
x'.
über den
zuerst
Index
x',
dann
entsteht
darin ist offenbar den
Symbolen je
S
Die
+
berechnen wir S mit Hilfe der für
Jetzt
über
%2
Gleichsetzung
=
den
damit den
von
ganzen
P
erkennen und
zu
erteilen
p-^-4=p.2n
der Werte
der Primzahl p und
der Wert + 1
=
<Pq2
S
(65)
aus
Zahlen
+ 2
•
q>0
Ti2
und
und
:
(66)
(66)
(pt
lässt zwischen
die
Gleichung
20
—
Satz:
Jede
Primzahl
von
eines einfachen
Die
nach
Berechnung
(58), (60)
Vo
=
<Pi
=
der
und
—
—
Beispiel
:
der Form p
und eines
Basen
(62)
—
<p0
aus
ist als die Summe
doppelten Quadrates darstellbar.
und Ç9X
den
8/7-f-l
=
der
Quadratzahien geschieht
Bedingungen:
~2 i4")" (mod- P)
I
X (4ü)» (£" + £3") (mod. /,)
1^1^2/1
/?
=
^o
41
41
=
=
—
=
8
I
=
2/7
5 + 1
•
y(20)5
32 + 2
9?o
•
42
(mod. 41)
=
3
(mod. 41)
21
—
—
Kapitel
gegenwärtigen Kapitels bildet die Verallgemeinerung
Ein Teil des
einer Arbeit
a
xe -f- b
+-
ze
c
(mod. p)"
0
=
Während dort der
pag. 272 ff.
gesetzt wird, soll
gelassen
kationen
begründet.
§
Es sei p eine Primzahl
b,
a,
drei
c
soll
setzungen
Zahlen x, y,
zu
axe+
Prof. Hurwitz bedienen
Bedeutet
darf,
solcher
n
(1)
Zahlen.
cze
nachdem
(2)
zitierte Arbeit
die
an
von
Herrn
negativ oder Null sein
oder
n
cp
(a
Xe -+- b
die Summationsbuchstaben x, y,
vollständiges System
...
dann
(p
)
1
—
und
nur
n
cp
x',
y
—
so
(k ri)
q>
(n)
Begriff
indem wir zwei
fa 4 4
y',
z
=
und
der
die
ze)
z'
(4)
z.
einander
B.
die
und
angesehen,
je
ein
Zahlen
(x',y, z)
wenn
(mod. p)
k eine
und
aus
der
<p(p n)
•
Kongruenz
tr), (t\ t\ t'B
...
ganze,
Bedeutung
=
1
der Zahlen
Systeme
...
2t der
,
von
also
Anzahl
Lösungen (x,y, z)
schliessen wir
=
•
den
Reste,
ganze Zahl
beliebige
Zahl,
Wir erweitern
systeme,
—
c
als nicht verschieden
dann
eine
durch p teilbare
Zwei
ye +
unabängig
z
p teilerfremder
zu
durchlaufen.
x
Bedeutet
Diese zahlentheoretische
Weise
q>
2
(3)
0,
=
durch p teilbar ist oder nicht.
21=
sind
Voraus¬
keine der drei
(mod. p)
0
=
(n) gestattet es, in bequemer
Lösungen von (2) auszudrücken :
1, 2, 3,
diesen
die
setzen wir:
so
Funktion
wo
Unter
für
Zahl, die positiv,
<p(n)=\
je
Bedingung fallen
angebrachten Modifi¬
die
folgender Bezeichnungen.
uns
eine ganze
136,
voraus¬
ist, der Kongruenz
bye +
wir
sind
Lösungen,
Im Anschlüsse
untersucht werden.
als eine Primzahl
e
e/-M
=
durch p teilbar
z
Band
Crelle,
1.
teilerfremde
p
die Anzahl
Kongruenz:
der Form
von
p
die
diese einschränkende
Umstände
diesem
in
;
Journal
im
Exponent
folgenden
im
werden
und
„Ueber
Herrn Prof. Dr. A. Hurwitz:
von
ye
II.
t'r)
von
nicht
95
(n)
(5)
auf Zahl¬
22
—
von
je
kongruent
die
als die
—
sind.
t\, 4
Die
{t\, t'2
gruent ist,
wenn
und
tr)
...
nur
bilden.
ergibt
Hieraus
„Die
..
.
.
zz
t'r (mod. m)
(7)
also
bedeutet
nichts
anderes,
Zahlsystemen
fr),
.
.
(*\, &\
.,
Zahlsysteme (8)
.
.
*<»>,) (8)
.
nach
dem
tr)
m
kon¬
von
den
Modul
Kongruenz
(*<'')„ *<'">„
Zahlen
tx
.
t«\) (mod. m)
..
t2
.
tr unabhängig
.
.
Restsystems (mod. m),
..
tr),
sich
die
so
entstehen im ganzen
vollständiges System (8)
offenbar ein
leicht der Satz:
Zahlsysteme (8)
s
(6)
den
.
tr
...
Index / besteht.
der
andern die Glieder eines
Zahlsysteme (tx 4
t's
Von
=
einen
jede
Durchläuft
mr
(6)
jedes beliebig gewählte Zahlsystem (tx t2
also die
wenn
(tv 4
für einen
t'r) (mod. m),
...
vollständiges System inkongruenter Zahlsysteme
der
einem
nur
-z
Kongruenz
t'r), (t'\, t\
...
(mod. tri) bilden,
und
(t'lt t\, t'3
=
t\, ts
=5
eine
sagen wir, dass sie ein
einem
tr)
...
Kongruenzen (7).
r
als Modul
m
Kongruenzen
r
tx
erfüllt
positiven ganzen Zahl
der
in Zeichen
nennen,
{tv ta, ta
wenn
nach
ganzen Zahlen
r
—
werden stets und
nur
dann ein voll¬
ständiges System inkongruenter Zahlsysteme (mod. m) bilden,
wenn
(mod. m)
kon¬
ihre Anzahl
s
mr
=
ist,
und unter ihnen keine zwei
gruente vorhanden sind."
Eine
spezielle Folgerung dieses Satzes ist,
systeme (txti.... tr)
ein
und
(4.
+ t„ ti + tr.
.
..
dass die beiden Zahl¬
tr—\ + tr, tr) gleichzeitig
vollständiges System inkongruenter Zahlsysteme (mod. m)
durch¬
laufen.
§
2.
Es sei g eine Primitivwurzel der Primzahl p, dann bilden die Potenzen
g*-2
g"=hg\g2,gs,
ein
vollständiges System durch
Restsystem,
ein reduziertes
Nach
Voraussetzung sind
a
gesetzt werden
(4)
auch
=
ga,
kann.
a,
p nicht teilbarer Reste
wie wir
b,
c
zu
b=gV,
es
(mod. p)
auch
gelegentlich
p teilerfremde Zahlen,
c
=
gf (mod.p)
Die Anzahl 21 der
Lösungen
von
oder
bezeichnen.
so
dass
(9)
(2)
wird nach
durch
%
=
Z<p(get+"- + ger>
+ li
+
geS+7)
(10)
23
—
ausgedrückt,
—
die Summationsbuchstaben
wo
Restsystem (mod.
1)
p~
durchlaufen.
i
je
tj, ç
;,
Wir lassen
vollständiges
ein
in
nun
r1f-\-r
=
die Zahl rt
ein vollständiges Restsystem (mod. e) und r ein vollstän¬
diges Restsystem (mod. /) durchlaufen ; auf diese Weise entstehen dann
e-f
=
p—1 Zahlen,
daher
und
sprechend
r(
die unter einander
vollständiges Restsystem (mod.
ein
=
si
/+
tt,
s
st
=
0, 1, 2,...
t.s^O, 1,2,
Primitivwurzel erfüllt g die
sind
bilden.
1)
Ent¬
51
=
e3
e
(mod. e)
1
—
./
..
—
1
(mod./).
(mod./?).
eingeführten Substitutionen geht
die
.
Kongruenz
gp-i =g*f=\
Durch
p
—
setzen wir
ç^^f+t
Als
(mod. p—1) inkongruent
die
Gleichung (10)
über in
Z<p(ger-ra-hges+fS+get+7),
(11)
r,s,t
wobei
die Summationsbuchstaben r, s, t
nun
system (mod. /) durchlaufen
(mod.
sich
p) nicht,
Zahlen
Das
müssen.
je
ein
die Werte r, s, t durch
wenn
vollständiges Rest¬
Argument
ihnen
tf ändert
von
(mod. /)
kon¬
gruente
werden;
(11)
allgemeiner über irgend ein vollständiges System (mod. /) inkongru¬
Zahlentripel (r,
enter
Wir setzen
t)
s,
nun
7
dass die
<p(ger + «+ges + ß+ge' + r),
Gleichung (11)
ersetzt werden kann.
durch
die
durch
Das durch
die
Summation
zeichnet
[«i
(ti t%...
tr)
.
r
beliebige
ganze Zahlen alt
a3....
ar]
a2..
..
ar
den Ausdruck
2<p(g">i*i 4-£e^+a2 + ....+£e-''
Zahlsysteme
gruenz
(13)
+
tt'j,(14)
hh...t,
gruenter
oj.
(p-1).e2[«,/3,y]
Symbol [at
verstehen wir unter dem
wobei
=
(12) eingeführte Symbol verallgemeinern
Für
Festsetzung:
[aio,....ar]=y
(12)
r, s, t
2I=e3-/[(M?,y]
wir
darf daher
in
erstreckt werden.
W,ß,y\=^jS
so
Summation
die
ersetzt
...
ar]
über
(4 4
den
eines solchen
ein
•
•
•
•
vollständiges System (mod. /)
4)
/-ten
zu
Teil
erstrecken
ist.
der Anzahl
vollständigen Systems,
inkon¬
Offenbar be¬
derjenigen
Glieder
für welche die Kon¬
24
.—
—
geh + a^geh+Ot^geW-a^
+0,
_|_ get,
__
(moà. p)
Q
(15)
erfüllt ist.
den Fällen
In
r
und
1
=
(14) anzugeben.
bols
r
2
=
Da nämlich
ge/^"
W
Um
die
wir
den
(mod. p)
0
—
Wert
=
0
(16)
Symbols [cq <x3]
des
bestimmen, betrachten
zu
Kongruenz
gett + o^ge^ + Ovgleichbedeutend
oder
leicht, den Wert des Sym¬
es
Kongruenz
wird
niemals erfüllt ist,
sein.
ist
die
damit
^e
sie ist dann
und
(mod p)
0
tx
+
get2 +
a, ^
dann erfüllt,
nur
'-=!
a2 +
(mod p)
.
wenn
1
e^-i-a!
e^t
und
es
=zr
^
—
Wir setzen f
ist.
/ eine
gerade
ef3-t-«s +
=
die ganze Zahl
=
10
=
—
\
2
erklärt ist.
«l
Ist diese
-f
5
Zahl
,
1,
=
je
nachdem
ist; alsdann ist
(mod.e),
(18)
wenn
/=0
(mod. 2)
wenn
/= 1
(mod. 2)
/^q\
( 7) erfordert
1
von
so
oder
0
=
(17)
folgende durch
(äquivalent
rc
Bedingung erfüllt,
bestimmte Zahl tv
,
(mod. e-f)
—
wo
g
2
Die Lösbarkeit
== « 2
e/
--2=*
für das
r.
+
,
ungerade
ei(y
TT
«i
—
2 f -\- d
=
oder eine
P7*
worin
a2
(mod. p—1)
-
mit a2
wird
entsprechen,
o, -f-
zz
jedem
Werte
ff)
(mod. e).
von
4 eine (mod./)
Kongruenz (17) genügt:
die der
„Das Symbol
L«! «2]
je
nachdem die Zahlen
at
=
^
=
a2
oder
1
und
+
JT
«2
=
die
0
(20)
,
Bedingung
(mod. e)
erfüllen oder nicht."
§ 3.
Die Zahlen
die
[at
jetzt abgeleitet
«2
....
«,]
besitzen eine Reihe
werden sollen.
von
Eigenschaften,
25
-
Satz 1
Der Wert
:
den
von
diese Zahlen
Satz 2
ßi
sich
also nicht,
wenn
Permutation unterworfen werden.
einer
«2
>
[Kl
=
a2
..
.
.
ßz
«,-) und (ßt ß2
«r ^
die
ß,
Zahlen
[«! +
die
ment
von
—
.
.
.
ßi) (mod. e)
.
(mod. e),
ar]
.
=
[ß, ßa
a,
as
aa, «j,
+
p
(22)
,
(21)
werden,
+ «]
unter
ar -+-
e
[«i
Wert
teilerfremden
..
kr
Dies kommt aber darauf
(mod. e)
die ihnen bez.
=
ttt2.... tr
kx A2..
,
o.2
nicht,
Zahl
kr
.
.
zu
ersetzen.
ar]
(22)
ist
so
,
e
kon¬
.
.
,
Argu¬
wir das
wenn
ga multiplizieren.
Für
0]
(23)
:
ar]
[at
ßr]
.
ganze Zahl,
ändert ihren
zu
ar„i,
£2
beliebige
«r
(14)
Satz 4: Die Zahl
a3 -+-
e,
a
aus
....
.
.
ersetzt
durch
a,
.
..
eine
«
(f> mit der
folgt
.
dürfen die Summationsbuchstaben
-)- ^
ax
Summe
ar
.
ax «3.
Bezeichnet
Denn
.
ganze Zahlen verstanden.
gruenten Zahlen
:
.
klt t2 + k2.... tr-\-kr
beliebig gewählte
hinaus,
a2
(14)
Denn in der Summe
durch tx +
[at,
symmetrischer Weise
in
ändert
ab,
gilt
so
fit
.ar] hängt
.
ar
Zahlsysteme (at
«l =
=
..
..
d. h. ist
kongruent,
Satz 3
a%
at a2..
irgend
Sind die
:
[ax
von
Zahlen
—
=
[a1
—ar,a2
«2
—
aT
ar^t— ar,
aj gibt
an,
wie viele
tr-\)
die
Kongruenz
gruente Zahlsysteme (tx t2..
..
g"tl + o1+get, + a,+ ,.../^-'+«—+/-
=
0
(mod. /)
inkon¬
(modip)
(24)
befriedigen.
Nach der
Bemerkung
gleichung (14) ti tt
es
.
.
am
.
§
tr
1
dürfen wir in der Definitions¬
t±-\-tr, t$-\-tr..
•
tr~\ + tr, tr
;
entsteht dadurch
[«!
«J
a2
=
-
E
+
=
wo
Schluss des
ersetzen durch
nun
(f[g r(g
/*-«+*'-+/'))
^^(//l + ai + ^ + a2 + ....-+-^-,+a-'+^),
die
Summation
über
kongruenter Zahlsysteme (^ 4
stellung
+
+g
von
[%
«2.
.
..
aj
vollständiges System (mod. /)
ein
...
.
tr-\)
beweist
die
auszudehnen
ist.
in¬
Diese Dar¬
aufgestellte Behauptung;
sie
26
—
zeigt auch, dass die Zahlen [at
ct.,
—
...
«J
.
ganze, nicht
negative
Zahlen
sind.
Satz 5
[at
Die Zahl
:
a2,.... ar_i
,
ar-\-~] gibt an, wie viele (mod. /)
tr-\) die Kongruenz
,
inkongruente Zahlsysteme (ti t2.
get^
+ <h
.
+
+ «,_i
gett <h+m^m+ getr-i
+
=-
g*r
(mod_p)
(25)
befriedigen.
Da
gar
—
Rede stehende
die in
Satz
[«!
durch
«2,.
,
g'Lr -1—2~ (mod. p),
=
..
6V-i
.
«i «2
Sa^z 6
.
Es seien
.•
Zahlen.
[«!
ar-\
.
.
a2
.
.
ar,
.
H
ar
,
,3V ß2
-f 2 K ö2
.
•
^-0
•
Satz 2
nach
und
[«!
«2
..
.
;5i /?2.... &
ar_,,
.
ar-|- ;r]
(r -f- s) beliebige
ganze
Gleichung
.
..
ausgedrückt;
=
2~~
die
gilt
Zahlsystemen (4 4
von
P^r\
vorhergehenden
dem
Gleichung
die
at a2.... ar,
Dann
.
ar-\-
,
Kongruenz (18) besteht
Anzahl
ist nach
ar,
.
ßs] ==/[«!
ar] [^ /?2
a2
p] [/?, /?2
ßs.Q
/?J
+ n],
(26)
p
wobei
(mod. e)
Um
den
Summationsbuchstabe
der
durchlaufen
zu
Beweis
hierfür
Lösungssysteme (4 t2
tr ux u2
....
_j_ gtr
e
-j-£«se+0s
Gruppen,
in p
indem wir ein
e
+ ttt
_|_ gt, e
+ o2
__|_
_
_
_
_
=
ist.
Für
Lösungssysteme
gu,e+ßt _|_£u2e+ft._|_
der
-\-g"i
Kongruenz
+ ß\
e
_j_ g"î
e+ ft
_|_
....
(mod. p)
O
Lösungssystem
_|_
—
g*r
e
+
gP-~2
ar
in die
Q( oder
~
erste, zweite,
....
.
.
..
i£=e
-\-g"s
+
-"^
—
g°
....
oder
(mod. p)
innerhalb derselben
oder
In
+ ttr
=
ßs\
us)
•
wir die
p-te Gruppe rechnen, je nachdem für dasselbe
oder
gti
ßx ß2
ar
a2
+ (L2
^e+ (*!_!_ gt2e
hat.
erbringen, zerlegen
zu
[a,
/
ç ein vollständiges Restsystem
e
+
gp~2
Ps
Gruppe
ist dann
=0, oder
=
bezüglich
+ ;?0
....
(mod. p)
Rücksicht auf die Sätze 4 und 5 und die Definitionsgleichung
(14)
finden wir
/
[«!
a2
ar,
ft ;52
+1 [ai
i
/3S]
a2.... ar
=
f2
:
[«!
a2
aj [ßt ß2
X] [ßx ß2....ßs,l + r],
ßs]
27
—
Restsystem (mod.
X ein
wo
p
\
und
(mod. e)
solches
in
die
1
r=
oders
s
=
Division durch /
=
bezw. durch
[cti
werden
a4 bezeichnet
a8
a2 a3
aj
dieser
„dreigliedrige"
durch
[at a2]
Zahlen
mit Hilfe der
für
2g
r
Safe 7:
4
durch
Es
Dann
gilt
ott a2...
a2
a2 a3
aj
Offenbar kann
alle Zahlen
[o^
<x2
•
•
•
«J
ß„ irgend (r+s)
..
..
Restsystem
ein
ganze
Modul
nach dem
e.
folgende Gleichung
die
Zfai + Q,
1-(-ff].
„zweigliedrigen"
der
(20) bekannt.)
ßr ß%
ar
.
e
(27)
—
ausdrücken.
durchlaufe ç
es
I][as,a4,
«2le-
nach
sind
„dreigliedrige"
und
0] [a3 a4 ff] +
«2
Gleichung (26) überhaupt
seien
Zahlen,
[a3 a4]
ßx ß2
die Zahlen
wenn
(Die Werte
dargestellt.
und
man
nichtssagende Iden¬
„viergliedrigen" Zahlen [«i
werden die
Gleichung
wenn
:
[«i a2] [as aj + [%
/
=
vor
Gleichung
die
geht
bietet, entspricht der Annahme
[«i,«2, lj[as,a4, 1+ff]+ ....+[«!,
Vermöge
(16)
der Relation
eine
Gleichung (26) lautet jetzt,
Die
2.
eben¬
ein
(j
Gleichung gibt übrigens,
Diese
über.
Der erste Fall, welcher Interesse
tität.
r
(26)
vermöge
1
—
und
Nach Satz 2 tritt ein Faktor / auch
der
nach
;
erweisende
zu
Wir setzen
t-e-\- q
=
durchlaufen.
Summenzeichen
das
durchläuft.
vollständiges Restsystem (mod. /)
t ein
lassen
)
1
—
-
+Ç
>
0-9
+Q
ßs]
ß\. ß*
+ Ç,
a-r
•
(28)
--=
9
(p— 1 )[«!
+ (/'-'
...
...
otr] [/5j ß2... ßs]
aJ ) (/«-'
linken Seite
der
Bezeichnet S die auf
a2
K «2
-
-
[ß, ßt
stehende
...
ß,] ).
Summe,
ist nach
so
Satz 4
S
-=
2 <p
(^ 'i + a' + * + £e<2
"2 + C
"*
_|_ ge«s_!
wobei
die
Summation
durch ti +
Beweise die
über
Wir ersetzen
dehnen ist.
tr, 4 -f- tr,.
getr
+ p
_
l
ge"i
+
..
nun,
.
..
Abkürzungen
4
+
ßs_
t2
1
-f-
^e'/'
-f-
£"s )
...
was
.
tr
nach
+
ut
§
ttr + P
-|- ge"i +
0i
_|_
,
u.2.
..
1 erlaubt
.
us—\,
auszu¬
q
ist, ttt2...
:
get, + a, _j_ getr,
ßi _|_
geua+ßs
+
«2
_)-.... 4-
_]_... + ^
dadurch wird
S
=
lg>(\-A+B).
=
g"-,B
.
tr—\
gegenwärtigen
tr^\ + tr und verwenden im
;
=
A
•
;
28
—
Durchläuft
=
p nicht
je
ein
(mod. p).
p
—
(tr
gleichzeitig
e
+
q)
q ein Rest¬
Restsystem
ein
vollständiges System
ein
durch
Die Summe S lässt sich demnach
Restsystem (mod. p) (also
1 ) und die Zahlen
44.... tr-\
Restsystem (mod. /)
vollständiges
und
Zahl
l
folglich
X ein solches
man
1, 2, 3,....
Zahlen
und
Reste
teilbarer
die
durchläuft
—
bilden, dass
so
(mod. /)
tr ein Restsystem
nun
system (mod. e), so
1)
(mod. e •/
/?
—
für eine
bestimmte Kombination 11 U.
durch
teilbar sein
tr—\
«1 «2..
..
us-\
.
Nun wird
durchlaufen lässt.
..
B. die
z.
ux u2.
"s—1 die
Zahl
X-A+B
p
a)
(p
für alle
:
1)
—
A
b)
für einen
für keinen
0
=
(p
der
A
c)
Werte
=ß
,
1)
—
0
wenn
(mod. p)
0
=
Werte
Werte
l
von
B =é 0
,
(p— 1 )
der
l,
von
B
(mod. /?)
X in
von
Rücksicht auf Satz 4 können wir sagen
In
a)
der Fall
[%
b)
jedem andern Fall.
:
tritt für
a,] [ft ft
a2
Kombinationen (ti t2ti
der Fall
wenn
,
..
....
tr-\ ux w2..
..
ft]
us—\) ein,
..
für
{/'-'- [ax
a2
..
..
ar]}{fs
'-
[ft ft
('mod. f) inkongruente Zahlsysteme (tt t2.
ft]}
....
tr—\
.
ai u2..
..
us^\)
.
Demnach ist
S
=
(p— 1) [at
{/i-i- [ai
w. z.
In
den
b.
..
«,]} {/*-'
—
ft] 4-
[ft ft
ft]}
....
w.
Fällen
sichtigung
«,..
ar] [ft ft
«2
r
von
=
1
(16)
und
und
r
=
nimmt die
2
(20) folgende
Gleichung (28)
Formen
in Berück¬
an:
e—1
£
K +Q,ßiß*-.'-ß.]
fs~'-
=
ßs]
ißi ßt
(29)
(r-\)-f*-1+(p-f)[ßifr..~ß.],
e—/
-2
p
=
wenn
[ai + ç,
a2
+ p, ft ft
•
•
•
ft]
§
Unter
nun
m
und
«
die Summe
irgend
=
a2 +
/{A*-1- [ft
o
wenn
wir
ax
tt
(mod. e)
=
zwei
ax
^é
ft....
a2
-[-
f
ft]},
(30)
(mod. e)
4.
ganze Zahlen verstanden, betrachten
29
—
a„,m
—
l[Q,m-\-
=
q,0],
n
(31)
9
in
Restsystem (mod. e) (also
welcher ç ein
...
e
.
tive
1)
—
durchlaufen
Zahl
ganze
und
offenbar
graphen
aa,m
und
1
—
die
[0,
-\-
m
n
ç
ç,
—
ç]
—
=
Summe
letzte
geht,
n
Gleichung (29),
s
wenn
ç,
-\-
m
ç
n
—
ç,
0]
(—ç) ersetzt,
durch
ç
0 entstehenden Zahlen a0,m
=
ci!
=
in
a\,m
=
f—[m,0]-=
jedem Falle
0,
ergeben
sich
ihr
ßl
—
ß%
m,
0
=
so
I /
In
[—
man
indem wir in
2, und
=
Wir finden
setzen.
=
1
p
Die Werte der für
a0,m
(mod.e)
über.
m
der
aus
vorigen Para¬
ihnen bez.
Gleichung (22)
»
a\-n,
durch
m
des
2
üeberdies besteht zwischen diesen
ersetzt werden,
ist nach
es
ist eine nicht nega¬
a„>m
Gleichung
Zahlen die
Denn
und
n
wenn
B. die Zahlen 0, 1, 2, 3,
z.
von
infolge Satz
sich
ändert
nicht,
kongruente Zahlen
Der Wert
soll.
1,
—
\
(/
(mod. e)
wenn iti^et:
wenn m
,
^ä
(mod. e)
r.
(33)
ist:
9
Daraus
wir für den einzelnen Summanden
folgern
Satz 4 des
Paragraphen
vorigen
[ç,m, 0]
0 <
[q,
Die Zahl
wo
a,
System
ß,
m,
0],
<
f<p—
die nach Satz 3 daselbst mit
der kleinsten nicht
0],
m,
1
jedem Symbol [a, ß, y],
negativen Reste (mod. p)
kann, liegt
jeden
Index
n
gilt ferner
an,o + a»,i +
die
(34)
Gleichung:
+ a„,e-\ =p
a„,2+
—
2
.
e—1
Denn für die Summe E an,o
ergibt
sich
nach
(31)
(7=0
e—1
(7=0
die Summation
e—1
e—1
S a„j(T= I
(7,
p=0
[ç
über den
6
,
+
n
q,
0]
=
I
a, g
Index
ö
im
:
0^[a,ß,y]<p-\.
Für
der nach
negative Zahl ist:
Zahlen sind, zusammenfallen
beliebige ganze
y
[q,
eine ganze nicht
leistet
=
[n
0
(29):
Q-f- ö,
q,0];
(35)
30
—
e—I
e—1
2
<r
Für die
=
{/-[p,0]}
an,<j=^
o
p
=
nicht
ganzen
ganze Zahlen
Zahlen an,m
negativen
bedeuten)
(35)
ist nach
System
der
(wo
2.
—
und
n
schliessen
zu
<a„,„,</>—
sie im
liegen auch
e./-l =/>
=
0
0
also
—
beliebige
m
:
(36)
1;
negativen Reste
nicht
kleinsten
(mod. p).
Zahlen an,m herrschen noch bemerkenswerte qua¬
den
Zwischen
Relationen, die sich auf folgende
dratische
Sn, m
^
==
3n,
'
p
In,
+
m
Weise
r.
+ p
Wir bilden
ergeben.
W '
i
)
P
wo
vollständiges Restsystem (mod. e)
ein
p
der Definition
(31)
ist darin
a„tP=l [0,Q-\-n6,0],
setzen
zu
[ö—
2
Gleichung (27)
die
und setzen darin
=
—
[ßi ß<i\
Sn.m
der Sätze
no,
—
m
—
=
und in
s„,m
2
—
:
o^
[ r> 0].
p] [r
den
|[<J
=
—
17
ö
—
6,
—
nô,
nz,
—
—m
Symbole:
nr,
—
q-\- rr],
/?
vorzunehmen, verwenden wir
p
:
=
tf,
[a,
a2
«2
=
A >?a]
—
T
—
HT
t
—
m-\-(a
Darin ist die Summation über ein
solches
/77
/
n0
—
ßi
>
[«i ß2] [& #s]
=
[at a2]
T
wr
—
=
zu
und
—
—
IX 0]
w,
und
/
-f- 2 [ö, 0,
a,
t
ö
/
[ö, OJ [t,
0]}
(22)
r)-n, (o
—
r)-n
tri].
—
vollständiges System inkongruenter
erstrecken.
Da
System durchläuft, dürfen
—
m]
—Tl T
,
Gleichungen (20)
der
f+1 [ö, 0,
sn,m=
auf beide
3
m
—
Index
der Form
=
und
Als Resultat der Summation über p entsteht
Anwendung
ein
+K-\-q +m, 0]
m
für diese Werte erhalten wir
nr;
Zahlenpaare (mod. e)
(ö, t)
[t,
vollständige Restsysteme (mod. e) durchlaufen.
über
in
1
(X ,a2,c][ß1,ßi,Q-hri]
2
^2
o,
n
Summation
Um die
l
=
[6,ç-+-n6,0][z,m-\-K-\-Q + nT,0]
2
Indices <J, r, p
die
worin
=
Anwendung
und nach
=
a„,m+7:+9
:
s„,m
sn,m
Gemäss
durchlaufen soll.
—
r
—
(ö,
tf
wir
r
—
r) gleichzeitig
durch
m-\r m,
m
ö
—
—
t
mit
ersetzen
m].
:
31
—
Für die Summation nach
gebracht,
ß1
tir
=
und
darin
ß%
m
—
K»J
=
[ßi ßi]
=
und für s„,m die
Sn,m
=
welcher
[" T
2
a2
nr
=
Zahlen
0,
ent¬
[(n— \)r,m]
(nt,m],
=
1
—
) [(/7
1)r, 777] [77 7, 777]
-
(38)
l)r,/n])(/-[iiT,m])},
Zahlen haben nach
zweigliedrigen
(20)
die
Die
folgenden
Kongruenz
1
—
nachdem
die
)
r
[(n
=
—
1),
Berechnung,
und
e
[n
jeden
scheiden
1
-4-
)
der
0
Zahl
m]
t,
nach
tretenden
jetzt
die
.
1, oder
=
der
=
0
n
zu.
Wir
1
—
und
den
77
Zahlen
der
treten
deren
an
Teiler der Zahlen
mit 4 bezeich¬
e
4 und 4 relativ prim
ergibt
1
—
.
Beschaffenheit
Rest
1.
;
denn
Wir unter¬
+
n
so
=£
0
(mod. e), dagegen
Kongruenz (39) 4 (mod. e)
besitzt die
die alle
(40) erfüllen,
von
den 4
(mod. e) inkongruenten
verschieden sind.
Die in
(38)
auf¬
Symbole
also
gleichzeitig.
=
0
(mod. e)
m
(mod. 4 4),
[(/7
haben
==
(40)
grössten gemeinsamen
n
inkongruente Lösungen,
Zahlen 1,
1, oder
Fälle
Wenn
rzE
=
(39)
(mod. e)
Offenbar sind diese Zahlen
die drei
tri]
t,
4, denjenigen der Zahlen
Divisor
s„,m
1)
verschiedene Werte
777
77^0,77-1^0
m
je
nachdem wir den
mit
net haben.
kommen
und
e
—
(mod. e)
*
-4- K
777
erfüllt ist oder nicht, ist
Summe sn,m
+
777
=
Kongruenz
77 T
A)
-\-
m
Anwendung
zur
zweigliedrigen
=
0]
{(/?
(/_[(/,-
nachdem die
je
für
—
Gleichung
erfüllt ist oder nicht, ist
n
m,0]
—
m,
—
/-!
—
(/7
(n
Für die
gesetzt.
r
:
Je
77,
al=
—
vollständiges Restsystem (mod. e) durchläuft.
ein
r
darin auftretenden
Der
2,
=
{{n— 1)7
neue
+
Werte
0
=
Gleichung (28)
wird die
o
s
=
die Werte
stehen
in
/•
—
—
für
4
)
r,
resp.
4
—
1
Unter diesen
f+ef*
—
777]
und
Zahlen
[77
t
r
den Wert
,
tn]
1
Voraussetzungen ergibt
tit—
inne, aber
nie
sich:
t%f=t\p-2 -4-4}
(41)
32
-
—
für die modifizierten Voraus¬
Entsprechende Ueberlegungen ergeben
setzungen die Resultate:
m
+
^
r.
0
(mod. e)
:
+
m
Sn,m
m
/»
+
^O-(mod.e):
n
;te^
+
0
f{p~
=
^
A,
/{/>-
=
(mod. e): m-\-K^
2)
Wenn
dagegen
Kongruenzen
erfüllt,
t
m
m
0
2
e^ 0 (mod. 4)
k
m-\-r.
0
zz
'•
(mod. 4)
4}
-
(mod. 4)
0
-f-
4}
—
(42)
m-\-K^ 0(mod. ^):
und
/{p— 2}
=
-f-
m
r
(mod. e),
0
=
(mod. ^)
0
r zr
gemeinsame Lösung
0 ist
=
+
2
(mod. ti)
m-\-k
s„,m
die
(mod. ^)
0
=
k
und
m
so
sind
+
r.
(39)
von
=
gleichzeitig
0
(mod. ^)
(40);
und
die üb¬
(39) befrie¬
(^—1) (mod. e) inkongruenten Zahlen,
1), nicht durch e teilbaren Lösungen
digen, sind von den (t1
der Kongruenz (40) verschieden.
Folglich kommt:
die
rigen
—
sn,m
=
/+ (p— 1) + (/— l)3 + (e
-
p +
=
Im
B)
Falle
)
/t?
-j-
eeé 0
k
(mod. e)
s„,m
2)
4
für
+
/77
1
=
Ç)
Falle
B)
«
=
ti
/{/>
aus
{tx
—
1)
/-
(4
und
1)/
—
(43)
t1-t9)
e
=
t2
—
\
zu
setzen ;
es
tx und t2,
diese
;
die
2-
(43),
indem wir dort ty
=
und
e
1}=
e-
+/(/?—3)
1
werden dieselben Werte s„)tn wie bei
(mod. e)
1 5- 0
—
aus
1}=/{p-3}
:
=/>+/{/?-
auftreten
(42)
2—
—
(mod. e)
0
tt=
eintragen
s«,m
Im
ist
—
-
für
folgt
1
f{p-2
(mod. e)
0
=
n
1) P
-
bewirkt
Voraussetzung
neue
Werte
speziellen
und
e
1,
offenbar,
dass
die sie soeben
inne¬
hatten, gegeneinander tauschen.
Aus den
Gleichungen (41)
Es sei der
und
(43)
schliessen
Teiler der Zahlen
grösste gemeinschaftliche
tx bezeichnet, derjenige der Zahlen ((n
kleiner als
(31)
•S/7, m
=
<3fl,
e
0
3-n,m
+
JT "T"
an,
=
wenn
Dann
vorausgesetzt.
definierten Zahlen a„im die
m
+
r.
durch
I 3 „_
/{p
m
_|_
—
(^ ^2)
x
wir:
-
1), e)
bestehen
mit
(n, e)
mit
tit und beide
zwischen den durch
quadratischen Relationen:
-f 1
-\-
....
3n>
e
_
]
3n,
m
2-^-4},
teilbar ist,
und die andere
+
5f +
e
—
1
(41)
33
-
s„,n
a\0-\-a\,
=
wenn
a„,m +
—
•
welcher
in
\
eine
wird
darum
sich
es
ti—t*},
—
(43)
Symbole zurückgeführt.
Sowohl
Zahlen a„im
(34)
nach
liegen
(mod. p) ;
Reste
herstellen
a„,m+x+2 )2+
2p
=
muss.
Anzahl
gewisse
von
Quadratzahlen.
e
lassen,
zu
a„im,
aus
berechnen.
sie
auf die dreigliedrigen
Symbole [«, ß, y], als auch die
(36) im System der kleinsten nicht
die
und
und
Dar¬
von
die Zahlen
handeln,
sind
....
(44)
,
Quadratzahlen herstellen lassen,
Definitionsgleichung (31)
die
e_i)2
der Zahl 2 p als Summe
folgenden
gruenzen
* +
teilbar sein
ergeben
a„/m
denen sich die Basen der
negativen
2
—
n+\Y-\-{an>2—
+
a„,m +
—
(4 4)
durch
Zahlen
a„im
—
(an<e_i
n
stellungen
Durch
p+f{p
teilbar ist.
e
7t)2 -f-(a„,i
.+
•
m
Satz: Die
Im
=
e_,
Relationen folgt unmittelbar die weitere
Aus diesen
(a„,0
+a2„,
....
durch
-4- n
m
H-
—
sind
sie
bestimmt, sobald
denen ihre Reste
aus
sich
(mod. p)
Kon¬
berechnet
werden können.
§
Paragraphen
diesem
In
der die
Gleichzeitig
=
b,
mit a,
c
Modul teilerfremd
gruenzen zx'
=
51
;
Kongruenz hergestellt werden,
=
2
ergibt
sich
31
=
c-
sind auch die Zahlen a'
a
=
b'
—,
b
=
—
y' gemäss
(mod.p) bestimmen;
y
(4)
nach
ze).
ferner wollen wir x' und
dann
(mod.p)
den
Kon¬
durchlaufen
Restsysteme (mod.p):
<p({a'x'e + b'-y'e+\)z'!);
z
daraus nach
a', b', x', y'
Wir haben
(a xe + b-yc -+-
x, y reduzierte
x', y',
von
E <p
zy'=
x,
*' y' gleichzeitig mit
es
die
dreigliedrigen Symbole genügen.
21
zum
soll
5.
(5) (wenn
überall a, b, x, y
im
folgenden
geschrieben wird)
00-1)2 <p(axe+b-ye+\)
=
wieder
an
Stelle
:
(p—\)W,
(45)
*,y
wo
x, y
genügt
voneinander
unabhängig
durchlaufen.
Die in
nach dem
je
ein reduziertes
(3) eingeführte
Fermat'schen Satze der
y
(n)
;=
l
_
np
-1
Restsystem (mod.p)
zahlentheoretische Funktion
(p(n)
Kongruenz
(mod. p)
(46)
34
—
Sie wollen
ST
je
x, y
wo
der
2
=
benutzen,
dazu
{1
(a^ + i/+])p-i\
—
vollständiges System durch
wie
letzten
Rest der Summe 21' in
den
um
bestimmen.
zu
ein
durchlaufen,
aus
jetzt
wir
(45) (mod. p)
—
stets
den
in
(mod. p),
p nicht
teilbarer
folgenden Ueberlegungen.
Zahlen
Wir
folgern
Kongruenz
W==(p— 1)2
S(ax' + b'y'-\-\)P-x
—
-21"
\
=
und
setzen darin für die Summe der rechten Seite
wir
dazu
über,
sie
dem
nach
2t".
Satze
binomischen
(mod./j),
Dann
Binomialkoeffizienten seien dabei wie im Hilfssatz 6 bezeichnet
W~ï(p-\Uaxe+àyy
x,y
t,s
wo
t,
s
gehen
entwickeln; die
zu
:
ï(p-\)t(t)s(axey-s-(by7(mod.p),
=
x,y
=
0,\,2...(p—\)
t,s
unabhängig voneinander
die
Zahlen
(p
0, 1,2,....
—
1
)
durchlaufen
W
l
=
{p
^)t-(t)s-at-s'bs-xe^-^-ye-s
—
(48)
(mod.p).
*,y
t,s
Wenn wir
0,\,...
=
darin
p
—
1
Summation
die
liefert
nach
Hilfssatz
3
einen
nicht
durch
teilbaren
Exponenten
p
und
x
von
das
e(/-s)=0 (mod.
sie sind
h.
Beitrag,
durch
y
durch
p
1
—
/ teilbar.
wo
nun
laufen
x,
und
können.
y in
(48)
offenbar
a
Das
e/)
=
=
2
T,
die
laufen.
31
=
der
die
31"-
hängt
Gleichung
teilbar sind: für
Kongruenzen
s
=
0
(mod. e/)
daher:
(49)
<?•/,
=
0,
1,
e—1,
2
Summation
(ef)Tf{zf)afaf«-a^bt(T
Summationsbuchstaben
Für
zukommenden
über
e
durch¬
die
Buchstaben
(mod. p),
(50)
a
1
Anzahl
={-
1
mit dem
r,
o
die
21 schliessen
h
2
T,c
Sie
s
die Zahlen
•
so
dann
nur
lautet
31"
wo
e
Wir setzen
Resultat
(p— I)
vollziehen,
stets
die ihm
die
s
(48)
von
wenn
die Zahl
t=T-f,
z
Indizes x, y
Glied
Glieder erfüllen die Zahlen t und
solche
d.
über die
einzelne
angegebenen
wir
nach
Zahlen
(50) (47)
(ef)Tf(Tf)cfaf(r-°> .bf*}
=
0, 1...
durch¬
und
(45)
(mod.p).
e
dreigliedrigen Symbol [a, fi, 0]
nach
(13)
durch die
35
—
21
(9)
Indem wir ferner nach
zusammen.
(51
die Zahlen
a
und b durch die
kongruenten Potenzen der Primitivwurzel g darstellen, entsteht
ihnen
e3
-/[a, ß,0]
e8
=
—
/
•
[a, ß, 0]
=-
(e /), , (z f)fffgf^ (t-*) + ß
1 + 2
{-
Multiplikation dieser Kongruenz
Nach
gerung
(e/)3
dass
tigen wir,
=
(p
(ef)rf
dem Hilfssatz 6
aus
[«,/?, 0]=
—
1)8=
—
(
=
(mod. p)
und ferner die Fol¬
1)T (mod./?);
—
(mod. p).
Faktor f2 berücksich¬
mit dem
1
—
")}
dadurch entsteht
/2{-l+2(— \)Tf(Tf)cfgf(a<r-<r) + ß<r)} (mod.jo) (52)
0,1,2
<r, r=
...
e
Gleichung
Aus der
(e Ot/ (T f)af=
schliessen
wir, dass
koeffizienten)
«
=
ß
0
ö) /}
_
In
sind.
gleich
=
((r
(52)
aus
den
Fällen
niedrigsten
folgen
die Formeln
[o, o, o] <;
o <;
(ö /);
7
Koeffizienten (Trinomial-
der auftretenden
einige
einander
für
deswegen
J^_T) f)l
e
=
3
/=0
(mod. 2)
[0, 0, 0]
e
=
4
/e=0, 1 (mod.2)
[0, 0, 0]
—
=
=
/
/2
{8
+ (2
f)f)
(mod. p)
{5-f-3(2/^+6 (-1)'}
—/2
(mod. p)
Beispiel
e
:
=
4
/»
[0, 0, 0]
Die
=
=
3
+ 1
4
•
{5
9
—
+ z4
Kongruenz x4-\-y*
21
=
43- 3
2
•
(6),
^
a„m
nun
leicht,
aus
[c,m-+-nQ,ö)
{P—f2
und daraus entsteht für an
_
an,m
=
efi
—
=
T
=
0,
=
\ ...(e
(mod. 13)
p
=
0, 1,2
=
0,1, 2
..
...
Q, /S
;
(mod. 13)
hat
=
die Zahlen
+ n()
(31):
-/22....)
—
—
m
e
\) (mode)
e
(e
3
Lösungen.
er,
r
fil{—\)xf{Tf)„fgt<'»'r-<I)
o, t
2
l)t'(r/)ff/^(p(T-^ + ( + np)o-)} (mod./?)
nach
m
6}
ze
6.
0, 1, 2...
2(/2
an,m=
p
a
Z {—
ff,
0
^ [0, 0, 0] ^
0
—
Kongruenz (52) diejenige für
der
herzuleiten; sie ergibt für
=
:
384
=
§
Es ist
13
=
+ 3
1j
(mod. e)
..
+
fmod.p;
.
C" + n9)^
(mod.p)
(53)
36
—
Dabei sollen die
Anmerkungen
durchlaufen
t
e.
meinen
Voraussetzungen :
den
Die
ein Divisor
e
Faktor
/ im
von
dass
m,
Exponenten
in
(t + {n
-\- (n
) 6) -+-
1
—
Wir setzen
m 6
Kongruenz
1)ii^//
—
ganze Zahlen
diskutiert werden.
die Form
die Zahl p. durch die
r
(n—\) beliebige
n,
(p— 1) sei,
von
q
und definieren
der Index
:
und die Buchstaben
unabhängig von einander die Zahlen 0, 1,2
Kongruenz (53) soll im folgenden unter den allge¬
(e—1),
bedeuten,
Summenzeichen bedeuten
am
vollständiges Restsystem (mod. e)
q durchläuft ein
0,
—
(mod. e).
(54)
Dadurch kommt
an,m^{efi~fil{~\)Tf{Tf)afgfm'J^gf^9}{moA.p)
0-,
Wir führen
erhalten,
darin
=
T
0,
1
Summation
die
zuerst
p
e
...
da g eine Primitivwurzel
/i
wenn
1
=
gff*t
=
9
0
(mod. e)
2
g(» 0 /*•»
von
über
...
(e
—
(55)
\) (mod. e)
den Index q
=
aus
und
/u'-e:
(mod. p)
e
0, 1
p bedeutet:
also /u
==
=
.
9
}i
wenn
igt/»
(mod. e) dagegen
0
^=
=
(gfn°
(gfni+•
+
•.
•
+
(^^)e-1
p
0<fe)u
=
(55)
baren
liefern
also
1
-
diejenigen
nur
Terme
für welche die Zahlen o,
Beitrag,
(mod.p)
0
=
*"*
In
j
_
^
r
einen
die
nicht durch p teil¬
Kongruenz /t
0
=
(mod.e)
erfüllen; also kommt
a„,m
e/2(l-2 (-1)r/(r/W""0=-/(l-S)
=
er, T
j«
Wir
zerlegen
=
=
0
o, 1...
(mod. e)
die Summe
nun
{-\)Tf(Tf)0fgfm(I
93=2
C, T
fi
indem wir
33= 1
a,t
jU
=
=
0
gewisse
=
0,
=
0
Werte
1
fmorf. e)
—
1
.
..
(mod./?),
e
(mod. ej
o
von
(-\)xt{rf)<rrgfm°
\,2...e
(mod./») (56)
e
und
r
auszeichnen, in folgender Weise
+2....
=
1, 2...e—1
ff—1,2..
T
=
0
T
=
0
,«
("mod. ej
+2....
+1....
17
,«
=
e
=
0
e—I
(7
T
fmorf. ej
j«
=
0,
=
0,
=
0
e
e
('woi ej
37
—
—
und bezeichnen die Teilsummen in der
23i 23a 23s 234
; somit besteht die
SB
33, + 5Bt
+
mit
Kongruenz
(mod. p)
Teilsumme setzen wir wegen /i
erste
Die
(mod. e)
SBx + SB,
=
angeschriebenen Reihenfolge
=
r
(57)
.
+ (n— 1)
ö
=
0
in die Form
93t
(-\)rf(rf)af -gfma
2
=
ff
1,2...
=
T
=
(n
—
e
—
—
\)
(58)
(mod.p)
1
(mod.
ff
ej
0< T<e
der
In
zweiten
332
Teilsumme
dass die Binominalkoeffizienten
bewirkt
der feste Wert
232 gleich
daher
und
t
=
0,
null werden.
In der dritten Teilsumme
333£s=
(-l)T'(i/).-/«""'
1
(T'=
T
kann
tf'
<[
<^
(/7
(n
Zahlen
—
1
)
und
—
Cmod. e)
(//
—
l)tf'
=
ö'
Wir können
=
(59),
tf'
nur
solche
Kongruenz
(mod. e)
0
der
und wird
e
=
(60)
ddx
&
sind das offenbar die Zahlen
so
(mod. e),
d'
1)
—
grössten gemeinschaftlichen Teiler
e
gesetzt,
0
die der andern
d den
Bezeichnet
genügen.
=
e=
annehmen,
e
(59)
(mod. p)
Ce— î;
..
^
e
Forderung
wegen der
Werte 0
=
\, 2.
tftfi,
(— \)ef
=
und
1
(mod. tfi),
also
(tf— 1)
fl=1,2,
wo
wegen
0
=
dem
liilfssatz 6 ersetzen
durch
233
=
1 (—
o-
Wenn
=
\ykr*.gn-dif°
1,2,
Wert
0
/77=
von
o
(mod. c/),
und
man
_
verifiziert für
2(-l)<^ff:
=
1,2.
..
rf-1
m
—
gm'(p~V"^\
m' d,
so
gilt
für
jeden
/
i
(mod. p)
23« leicht das Resultat
er—1
ff
also etwa
(60)
nach
gm'ddifo-
=
(61)
nun
I)
233
(mod./?).
c<*— i;
(mod./>),
w—i
——„
wenn
di/=0 (mod. 2)
(62Ï
i
(mod.p),
wenn
dt f= 1 (mod. 2)
v
'
38
—
Im
-
Falle
^à
(mod. d)
0
benutzen wir die
Kongruenz
tf
m
ef
H)
welchedie
welchedie
0
5T(mod.p),(mod./?),
(—1)=gT
PrimPrimitivwurzel g
=
(61)
urn
Hinzufügen
nach
35,== —1+2
ff
=
£(m+ ¥)*"
2
Ö,\,2...
umzuformen.
,
gleichzeitig
tf
^0
*(-+*>«_,
Indem
.
auf
man
ergibt
o»
=
{
In
(19)
=
/n-f
/?
=
ft
p),
(mod. e)
e/+l
I 0
,
tf: der
wenn
wenn
Teilsumme 23 4 ist
0
=
X(-l)T/(r/)(7/^-
Ist:
+
der
—
0
(mod. tf)
^0 (mod. of)
Zahl
zurückgreift,
n
(mod. d)
=
/n
ot
(mod. d)
0
+
?r
+
tt^O (mod.*/)
=
durch die Werte d,
immer erfüllt;
r
=
0,
e
ergibt
sie
(0)0 + (e/)o+(e/)e/
eine
(63)
=
3
(mod./?) (64)
beliebige Primzahl,
,wenn/=0(mod.2)
=
/?7
e/
=
sich in diesem Falle II:
vierten
/.i
nachdem
,wenn/=0(mod.2)
234
der
Bedingung
die
m-|--~2~
wenn
Definition
(—1) (mod./?),
[
ergibt, je
Kongruenz
Ud—1) (mod.
m
(mod-PÎ
sä
ef
ef
es
^
wenn
(mod./?),
m+—-
und
erfüllt,
auch der Nenner durch p teilbar wird
(mod./?),
die
die
man
stets
in
Der darin auftretende Quotient
2y--I-_1
verifiziert
1
1 -*-
=
,
r(m+T)/d'd_l
...
-^
d—\
der Zähler oder
nur
von
wenn
(mod. 2),
/= 1
grösste gemeinschaftliche
Teiler
von e
und
(n— 1),
«--5-.
so
ergeben
sich
die Teilsummen
(63)
und
(64)
in
für
die Zahlen
Q S2 33 S4
a„,m
aus
erhaltenen
den verschiedenen
(56)
und
(57)
und den für
Resultaten (58)
Fällen die
Kongruenzen
(59) (62)
:
39
-
1. Wenn
a„,m-/J
m
0
—
(mod. d)
yfm o
\)r'(tf)afgrma
2+T(a
=
T
=
1,2.
—
—
(fj
.
.
—
d~ 1
+
—1
e
\)
0
C— i )rf—,
(mod. c)
—
i
(mod. p),
2
dJ=Q
(mod. 2)
wenn
dt
11.
3n,
Wenn
*
m
^^
m
^à
(mod. c/)
0
(mod. 2)
f= 1
:
2+Z(— \)^{jî)„fgfm" +
o=
T
=
1,2.
—
fn
I^T^e
.
.
—
e-1
1,)
a
(mod. /?),
(mod. e)
—1
m
-f-
r
=
/w
-f-
n
=^
wenn
Die Zahlen a„,m selber
(— 1)
0
0
liegen nach (36)
negativen Reste mod. (p).
(mod. tf)
(mod. d)
im
System
der kleinsten nicht
40
—
—
III.
Kapitel
soll
Es
in
sich
Lösungssysteme (xt
Kapitel
diesem
x2 xB
.
.
.
handeln, die Anzahl der
darum
x„) anzugeben,
.
quadratische
welche die
Kongruenz
at
befriedigen,
x\ -j-
0
(mod. p)
und welche keine durch p teilbare Zahl
enthalten.
xt2 +
a2
bedeuten ax a% az
.
.
.
e
Es sei p eine
<p
(n)
Kapitel
§
II
=
des zweiten Kapitels
Bezeichnungen weiter; doch ist
1.
(1)
2/-+-1,
zahlentheoretische
Lösungssysteme {xl
x^ -{-
Genüge
und
leisten
9t
..
.
.
+ an x2
keine durch p
von
<f
ç(a1^12
2'
=
x22 -f-
a.i
gemäss der Definition
wurzel
.
xn),
.
.
welche
(mod. p)
0
Zahlen
enthalten,
so
ist
(n)
+
a2V+....+a„x„2)
(2)
,
x„ unabhängig von einander
Restsysteme (mod. p) durchlaufen, g bedeute eine Primitiv¬
der Primzahl p,
so
...
.
dass die Potenzen
g°=Ug\g2,gs
vollständiges System
Koeffizienten
ax a2.
p teilerfremde
*/
.
.
=
21
=
.
wo
so
(/
Die Anzahl
% wird
(g2^ +
5.
5
31
Isa
nun
Kongruenz
seien
zum
Die
Modul
dass
(mod. p)
£"<
2>
gp~2
nicht durch p teilbarer Reste darstellen.
a„ der betrachteten
Zahlen,
gesetzt werden darf.
gegeben,
=
teilbaren
die Summationsbuchstaben x1 x2
reduzierte
ein
x2
Funktion.
Kongruenz
ax
wo
Darin
diejenigen
eingeführte
1
Bezeichnet 31 die Anzahl der
der
=
ungerade Primzahl
p
im
xn2
gesetzt.
2
=
§
die
an
a„
nicht durch p teilbare Zahlen.
beliebige, ganze,
die dort benutzten
und verwenden
jetzt durchweg
4-
Ueberlegungen
Wir schliessen diese
an
a„
.
x2s +
a3
^
+
g^
=
+ ^
1, 2, 3,
auch
+
.
..
.
n).
(3)
durch
+^zl, «»)
+
....
(4)
<•
*"
in
die Summationsbuchstaben
vollständige Restsysteme durchlaufen.
^ $2
Setzen wir
%n (mod. p— 1)
41
—
£,
durchläuft
so
(mod.
p
1),
—
die
Zahl
t\
wenn
(/= 1,2,3.... n),
flf+tl
=
ein
ein
;,
solches
Restsystem
vollständiges
vollständiges Restsystem (mod.2), tt dagegen
Dann ist die Anzahl
(mod. /) durchläuft.
ein solches
—
31 auch gegeben
durch
21
(*i t2 4
wo
.
Zahlsysteme
für
e
2
=
2" Z <p
=
•
(4
U
t„)
..
-hg2t"+"*),
-+
vollständiges System
ein
(mod. /)
durchlaufen. Wir definieren endlich das
inkongruenter
Symbol [ax
an] =-j Z<p (g2U + <h-Jrg2h + ai+__ +g2t°
t„)
..
..
(mod. /)
(5)
a2...
«„]
durch
[ata2aa
wo
(g2t^ai+ g2t* + a*
ein
+ a»
)
,
(6)
vollständiges System inkongruenter Zahlsysteme
durchlaufen.
Alsdann wird die
gesuchte Anzahl 31 dargestellt
durch
2I
2"-/[a1a.2....a„]
=
Die Zahl
ff
wollen
-
(p —\)-2"~
entsprechend Kap.
wir
»
[«!
(19)
II
«„]
...
(7)
durch
10,
wenn
/=0
(mod. 2)
11
wenn
/= 1
(mod. 2)
,
a2.
erklären; dann gilt die dem früheren Falle analoge Kongruenz
-~-=r
Sätze
Die
halten
des
jetzt
§ 3 Kap. II über
Gültigkeit;
ihre
Rekursionsgleichung (26)
die
von
[at
auch
r
jetzt (r— 1) gesetzt
ft ft]
ar__i
a2
+
p
zeigt,
wie
derjenigen
der
und
[«i
«2
(mod. 2)
sie
«2
ar_i
=
aus
der
der Kenntnis
(r-\- l)-gliedrigen gelangt.
=
s
/ [«i
«*] [ft ft] 4-
speziell den Uebergang
gliedrigen Symbolen.
gilt
=
2,
a2
•
•
•
für die
wenn
•
««]
be¬
Symbole
an
Stelle
] [ft ft]
+
(10)
n]
o, 1
von
„r—gliedrigen" Zahlen
zu
Die Relation
[«i
2"
P=0,
vermittelt
für
lautet
2[(h«*.---ar-iÇ'][fafrQ
man
ft ft]
Symbol [at
insbesondere
wird:
/[a,
=
;
das
(9)
«2
?] [ft ft
Q + «•]
(11)
1
den
dreigliedrigen
zu
den vier-
42
—
und
(20)
f 1
I
\
wenn
,
'
=
0
wenn
,
a2 -f-
ut
=
ax
^k
tt
-\-
fl2
n
at
4- a2 4-
x
also
ax -(- a2 +
;r
zusammengefasst
Um
=
3t3
Lösungen
der
c
=
werden
(12)
[a, ß, y]
der
für
wir
(mod. p)
setzen
(13)
bestimmen,
zu
welche
z2
=
(mod. p)
0
Ueberlegungen ga
=
a,
g&
=
b,
—
(14)
(mod. p)
cz2~0
die Relation
(15)
2l3=-(p-l)-22[a,/?,y]
zusammenhängen, bemerken wir,
2I3=(p-l I>(a^
gesetzt
mit
Kongruenz
nächsten
die
ax2-+-by2 +
durch
(mod. 2)
(mod. 2).
1
f
=
g°-x2+gß y2 +gy
wenn
=
0
{{l-+^fa241
dreigliedrige Zahl
die
=
Dadurch entsteht
[«1«2]
gy
(16)
soll stets
folgenden
gesetzt werden.
—
II
;
also
(-1)
oder
Kapitel
=,1^-^11
[al«2]
der Anzahl
0
=
Beide Fälle können ïn die Formel
Im
aus
:
[a]
lö-i 6E
der Wert
Symbole folgt
einfachsten
die
Pur
—
werden
durchlaufen.
darf,
wo
x,
dass
*/+c)
+
y
(Kapitel
ein
Nun ist die
\ax*
•
(16)
2
Restsystem (mod. p)
c
=
(17)
(mod. p).
s
Kongruenz
nur
—
=
gleichzeitig
§ 5)
(p-l)
reduziertes
ax2-\-by'i-\-c^0
jÄy
=
Ferner sei
—
stets und
II
dann
erfüllt,
wenn
(mod. p)
(,_p) (mod.p)
sind.
Wir
a-ä
\,
Kongruenzen
x
,
(P
bestimmen
=
die zwei
es
Q
(mod. p)
=
0,1,2....(p-1))
(18)
die Zahlen a' und A' derart, dass
b-b'=\
(mod.p)
(19)
43
—
Kongruenzen (18)
und ersetzen die beiden
x2
y2
Indem
wieder
wir
wir sagen
a' p
=
wir
0 und
besitzt
wo
(>
(16)
in
solche
nur
nicht durch p teilbar
ausschliessen.
s
(21)
(mod.p).
Legendre'schen Symbole heranziehen,
die
(21 ) besitzt
Da
(20)
resp.
1,2,3,
=
p
(^A
1
(
+
-1
Lösungen
sind,
Lösungen
—^
p-^
x, y
Lösungen.
zählen, für welche
wir für p
müssen
Darin
1
die
die zwei Werte
Es wird also
s—l,s+l....p—
0, \,2...(p-\)
=
1 +
oder
1
-H£)M'+(")l-
Wir führen die Summation über den Buchstaben p aus, indem
Hilfssatz
können
:
(20)
Zahlen
durch
(mod. p.)
b'{s-Q)
=
—
wir den
verwenden:
ergibt
der
Hilfssatz 3
(u
—
0,
v
=
—
s)
-'+(V)(T)H-'(i)"H,+(T-)}
*-'—'t)(t)-(?)-(t)-
(22>
44
—
-
Für die Primitivwurzel g der Primzahl p sind offenbar die Gleich¬
ungen
p-1
2
(î)—-(?HV-)
und
erfüllt,
a', b' gebildet sind,
für die Zahlen
die Relationen
(tK)-(*H
(7)-en*M
und
an
und
(14)
(22)
tritt
(17)
nach
Stelle
von
Z
folgt
daraus
=
p
—
—
f.-t(f«
+
schliesslich vermittelst
[«.?,y]=-^-{p
Als
f—\ =/—\
2
ß
^_
(16)
+ 0
2-^(ea
-
=e
Legendre'schen Symbolen,
bestehen zwischen den
es
(- 1)
=
(19)
f ^i»-\
f y
«
f
:
wegen
=
welche
=
(14);
und
pV +
7T :
6/3+r)
_|_
und
(15)
+ ftt
+ r
+ ^
'')}
+
(23)
Abkürzung sei künftig
(24)
p—\-=k
Wir
gesetzt.
(11)
gehen jetzt
Ausdruck
den
(23),
steht nach
[a,
a,
p]
Indem wir
und p
2
1
=
[«i
für
indem
dazu
die
über, vermittelst der Rekursionsgleichung
viergliedrigen Zahlen herzuleiten;
wir sofort die Zahl
=-!-{*-
1
-
berücksichtigen,
f*
•
p
f">+"•_ e*. e*
•
+
p] [fa /?,
(ea<
anderseits nach
+
p +
tu]
dass der Faktor e*> für die Werte p
ea*) (*A
(13),
=1U(A:-l)2 + £ai
+
e^)
e*
-
indem wir /=
fi3r
/j
^
}
=
—
wir
=
;
ft + ft
+ ^ +
(£— l ) (£<*i +
}
(ea> + ^)
entgegengesetztes Vorzeichen annimmt, erhalten
a,
ent¬
es
auszeichnen
<H
_|_ eA
+
berücksichtigen:
0
45
—
/[«i a«] [ft ft]
-*-(
—
«2
_)_
etf
ft ft]
(f at
ft=«8> ft
a2
+
_j_
(£«i
+ «2
a2_j_ fft
1 + p
-+-
+
=
a3
oc2
+ ou
_j_ ^
irgend
ar
+
+ "• +
^ + ä
|8,
=
setzen)
p
+
_j_ £a2
\
a3 + /3, + &
_
1
+
_|_ fa2
£a,
(A -f-
eai
J^1/ +pf«'
~
+
02
•
&) _j_
+
/32
_j_ £ßi
+
)Y
fo
viergliedrige Zahl [ax ß2 «8 4a] die Formel
für die
_|_ £a,
Es seien «t
A-
-
ffti +/»!_)_ 6aj
ergibt
ß4
=
i- (A2
=
K«2o,o4]
e.-r
+
Resultaten entsteht schliesslich
Aus diesen
[«i
f.T(eai
1 -f-
a=)(1 +f*cft + A)
+
=^(1+^-fa>
—
+
a3
_j_ fa2
_j_ fa2 +
ganze Zahlen
r
(25)
^u+H
+ cu
_
j_ ga3
dann
;
[
+ o.i
bilden
wir
die Summe
a; 4-
v
;', /',...
in
-4-
a,
laufen.
der
sr,i
e"2.... ear
S
2
S
=
=
,
,
Zahlen
r
ist
also
die
£ai + <*2_|_ eai
e"l +
Um in srj
+
«2
+ «S +
z.
B.
..
1, 2, 3,
/-te
Beispielsweise
.
a,
;'z
der die Summationsbuchstaben /j i\
binationen
...
..
/•
i) alle verschiedenen Kom¬
je
zu
symmetrische
1
Elementen durch¬
Grundfunktion
f«i,
von
ist
+ou_i_
a«_)_ f«,
f
«2 + <*3
+ a4
_j_ £a2
_|_ £a3
+ a4
«4
das Element «r
auszuzeichnen, können wir offen¬
bar setzen
s?,
wo
«!
in
a2,
a3.
zeichnen,
Sr,I
und
£,-_],/
=
..
so
.
i
=
sr-i,
a/-_i
s,_i,
/_i
/
+
Wenn wir
Kl a2 a3
ar_2
(sar-' + ear)gebildet
sind.
(27)
,
auf
nur
analog
die
Zahlen
ar_i und ar
aus¬
s,,Adie Gleichung
Sr-2,
in welcher die Summen sr-2,1, sr-2,
teilt den
/_i
Kombinationen
die
bezogen sind.
erfüllen die Zahlen
Sr-2J
+ A sr_i,
Die
/- 1
/-i>
+
^r-t+ar
sr-2,
1-2 nur
Benutzung
bisherigen Gleichungen (13) (23) (25)
dieser
die
Sr_2,
,_2,
(28)
mit den Zahlen
Abkürzung
Form
er¬
46
—
=-2"{1+f*S2.«/
[«î aa]
j
k«s«»]
=
*
j
>
irr
,_~f**S!"2l
=
§
Bedeutet
jetzt
wir
—
den
r
eine
beliebige
f
A2 + (
l)3
1
e3r,-s3>2j
~2M—JT+i
2.
natürliche Zahl
grösser
als
2,
ro
.
:5
—
durchlaufen
soll.
sionsgleichung (10) genügt,
und r,
diejenige
Wir setzen
[«t
=
der Summationsbuchstabe
welchem
...
azccz
für
dass also
—
ßr-1J
=
^~r
|
[<*!
a2
CCr-lç>]
seiner
dass
er
Gültigkeit
Zahlen
für
.fS ^
....
+ (— 1)'-C* i
=
(r
—
1
)
kann.
ar—i
ea)-iS,_,j2„l
(p
1, 2.
,
.
I
.
9]
,
wenn
wir die letzte
(27) zerlegen
-^r\
m
1,
der Rekur¬
fA'-'-H-l)'-
1
=
«2
nach
2m
natürlichen
^q—j
m=
Zahl p auszeichnen und sr,
die
werden
(30)
,
)
.
(r—l)-gliedrige Symbol
das
r-gliedrige Zahl [at
.
beweisen,
aus
(r-f-1) gefolgert
gemäss (30)
l,2.
m
Wir
_|_(_l)r-l
und für die
machen
|A'-'-(-(-1)'
+ (—ir-f*-2(p.C*)m-'s,,2m}
2, 3
so
Ansatz
1
in
(29)
(/»•C*)m-1S,_i,2/
1, 2
(_l)'.e*.ÉP
m
..
2"
=
.
(/»-«»r-'s,-!^»-!
l...
47
—
wir in
Wenn
at a2.
zum
aus
..
den
Unterschied
(29)
(26) gebildeten
in
Zahlen
die
ar
für die
ß1 ß2
dreigliedrige
:
Im
folgenden
*]
=
/' bezeichnet.
und ç
=
S
p
=
.
U
-
1
so
wollen
wir
p
**
—
+ r],
in
Verabredung folgt
der wir sofort ç +
(4,2 + ep+:r
Zahl,
Vorzeichen
] [/S, &
sie
:
die
•
h,
in
+ f]
<?
annimmt
r.
i)}
-=-
enthaltenist,
berücksichtigen, dass der Faktor ep für ç
Wir
«r-i ç
a2
Stelle der Zahlen
an
lassen,
Durch diese
natürliche
grösste
entgegengesetztes
[«i
Summen
treten
ßr
.
[ßt ß2
Zahl
^r
sei die
durch
1
.
tr,i
zweigliedrige Zahl
hervorheben
9 +
.
bezeichnen.
mit
und für die
[ßx ß*
—
und erhalten
=
0
für
(31 )
=
o, 1
+
(-l)'(Ä
_
i) .e*s (pe-tJ-'-'sr-i^i»
m=
1,
.
.
.
r'
+
(-l)r
+
14,SI(pf,)""'Sr-l,2»
171
+
=
1
(—1)'+'.f*.fa>12;(/>e»)»'-,s,_i,2,n-i
m=
Für
den
ersten
Term
der rechten Seite
k
/[«,«,....«,_,][£ ft]
+
1
(— 1)r-'
=
—
-e*2;
tkr
{
—
von
2-V- (
(10)
—
}
•
'
entsteht
IV*-1
j^-1
(32)
(/»«»y-'s,-^»
m=l
frr-2
H
i
C
f
i\f-l
^X^
é*
•**,,+(-!)'-%,
2
.
(pe*)*-1*--1,2»,}
48
—
(31)
Die Addition
von
2r[a1a2....
ar_ i
for
_|_
t
und
ft ft]
(32) ergibt
nach
(10):
(33)
=
+ 1
\y
—
r'
+
(—l)r
+
jkÄTi
1e*Z(pe*)m-1Sr-i.2m
m
=
1
r'
m=\
r'
(-1)r+'f* .^,a+/»-(— O'
+
Die beiden
zuvor
letzten
wollen
Terme
zusammenziehen, nachdem wir
wir
verabredet, dass
Sr—1,0
gesetzt
dieser
Zusammenfassung
2r[a1
«a
.
.
,ar_i
.
1
=
ergibt
alsdann
werden soll ;
(—l)'We*-(pe*)°-fai8 +
Nach
'-^tpf*) -'S,-!,^^,,.
+
sich
die
Gleichung
(p e*)m
e* S
s,„1)2m
•
t%, A
=
(33):
lautet
ä'+(— i)r+>
ft ft]
Ä+l
_)_(_ !)/•+! .e»2,(/7C*)m-1(s/._i)2n,H-S/--l,2m-l 4,1+Sr_1,2fm-1;4,2)
m
=
1
+
(—1)'+l •e*(pe*)r's,_iJ2r'fa„.
/5,
Setzen wir schliesslich
fä,l
so
ergibt
2r[a1ai
sich wegen
ar«r + ij
ar_i
«r+i
'2)2
—
und
folglich
6
>
(28)
kr+(—\y+i
-,
....
=
r
-]-£
£
/?2
ar
—
=
r'
_(_(_1)r+l.e*
4-(_!)/• +
Aus der Definition
von
!
.
r' folgt
X
f*.
(/»É*)m-1
(pf*)''
S^,^»,
sr +1,2^ + 1;
•
49
—
das Summenzeichen
Das letzte Glied wird in
[«x
«3
.
.
.
ar+,
.
]
=
j
—
—
einbezogen
(35)
—-
Sr+\,2m\
{pe*)-'
+ (-l)' + lf* £
'
m=\,2...
Genau
dasselbe
überall
an
Resultat
Stelle
(29) zeigt,
für
von
r
=
3
(r+1)
§
Symbol [«!
Zahlen % «2
tiven Reste
1
«2...
Dieses
ersetzen.
•
•
•
.
ccr]
Ersetzen
«/•
•
derart
schliesslich im
(mod. 2) liegt,
zusammenfällt.
durch ihnen
sei
also
Rest der
der
zahl
a,
[«i
k2
Koeffizient
q
die
...
.
x22 +
ihnen,
ar]
a8
er
in
ist
der
der
und
es
offenbar
sF/k
Entwicklung
"
dann
stets
dieser
quadratischer
Gleichung
Indices,
so
ist q
die unter den Koeffizienten der
x32 +
ist
so
und
immer
..
..
+
ar
xr2
=
die Anzahl
at
Einsen
o
Kongruenz
(36)
quadratischen
der
=
die An¬
(mod. p)
0
die die Anzahl der
v
auch
v
im
Nicht-
Symbol
ist offensichtlich
ç +
Nun
jede
der beiden Zahlen 0 oder
("1,2,s
Anzahl
bezeichnen wir mit
unter
dass
...
.
Zahlen
der kleinsten nicht nega¬
für seinen Index / die
quadratischen Reste,
a2
5, 6, 7,....
(mod. 2) kongruente
vorgenommen,
einer
mit
a,-
wenn
Bezeichnet
auftreten ;
reste
der
Xl2 +
=
Da
Primzahl p,
erfüllt ist.
r
die Zahlen «t a2 «8
System
î)-(ir)"*
ist offenbar
für
3.
(Kapitel II, § 3)
Wir dürfen nach Satz 2
ar im
wir
wenn
Der Ansatz ist, wie
setzen.
auch
daher
richtig,
4
,
(30),
der Induktionsansatz
liefert
die Zahl
r
:
gerade
der
v
=
(37)
r.
Koeffizient
der
Potenz xr~k
,
wie
des Produktes
(jf+i)p -{x~\y
auftreten wird.
Bilden wir
f(x,q)
so
die Funktion
uns
=
(x+qy-(x-qy,
lässt sie sich mit Hilfe der Zahlen sr,k
f(x,q)
=
'"
Z sr,k xr~k
k
=
0,
1
...
r
der Form
-qk
(38)
50
—
in
darstellen,
getrennt
die
jetzt
der
werden sollen
+ 2sr,2m
0
=
m
q durch
Argument
Indem wir das
=
m
Die Addition
m
(39)
von
und
(40)
=
x
=
2 H
m
zur
Berechnung
(39)
entsteht
+
ixr-i2m
+ l>
•q2"' + l
0
liefert für
t(\,q) + f(\,-q)
jetzt
q
(4°)
S Sr,2m
=
die wir
1.
^T
0
=•
tXr-<2m + i)q2n' +
+
(—q) ersetzen,
sr,2mxt~2m-q2m-
S
von
0
=<7
/(*,_ q)=
Potenzen
ungeraden
2
—
f(x,q)^2sr,2n,x'--2"'-q2m
m
und
geraden
:
2
=
—
der Summe in
=
=
1
die Formel
:
2
Sr,2mq2m
(41)
,
0
(30)
heranziehen.
Zu diesem
Zwecke setzen wir
f
<_L
=
S
=
2
(p.ex^-tsr,
S
m
=
2
m=——\-
1
I
P'E'
1
5
Durch
<JL
=
j
2
(ps*)m
fl
m
=
sr,2,
0
^|-1+S'l
=
(42)
die Substitution
2
]/ p
+
f*
(43)
q
=
geht das durch (42) definierte S' über
S'
IsfJmY"=| {/(l,?)
=
m
nach
(41).
in
=
+
/(!,-<?)}
0
Wir könnten
nun
diese
Darstellung
S'=}{(l+9)ni— ^+(1+^(1 -?)'}
im
Hinblick
weiter
auf
entwickeln,
S'={(1
S'=0
also eine
die
praktische
und wir
-q*y
Berechnung
der
Zahl
würden etwa im Falle q
=
[at
(44)
«2.
..
.
ar]
v
{(1+9)p-»+(1-9)*-v|
-?,)'{l+(p-v)9-?ï + ((.-v)^4 + ....}
Reihenentwicklung erhalten,
die wegen
Binomialkoeffizienten sicher einmal abbricht.
(45)
der verschwindenden
51
-
Wir
gelangen
wir
wenn
zu
—
theoretisch mehr
einem
befriedigenden Resultat,
der Zahlen
uns
2
(46)
2
T]
-=
1
—
Alsdann lautet
bedienen.
+
f^~p~
=
—
0
-
9)
')
(44)
(47)
S^yt-ir^-V+^T/}
und als Ausdruck für die
(24), (30), (42)
[Œl«a....or]
Sate
=
nach
(7)
aus
den
Gleichungen
Bezeichnet q die Anzahl der
quadratischen
(48)
der
folgt
:
der
folgt
J(p-1)f-' + {(gPV+rTiP)}
2J
Es
nun
Zahl
giiedrige
r
(47)
und
quadratischen Reste,
den
unter
Nichtreste
v
diejenige
der
Koeffizienten
Kongruenz
x12 +
ax
a2
x22 +
2Ir,p
...
so
ist die Anzahl
zu
p teilerfremder Zahlen
der
ar
.
xr2
—
(mod. p)
0
,
(mod. p) inkongruenten Systeme
fa
x2.
..
xr),
welche die
Kongruenz
befriedigen:
2ir<p
=
2tp+v,p=^{(p-ir+^(^v
+
r^)}2).
(49)
i^F—-'mW') Die Zahlen § und y treten in der Theorie der Kreisteilung auf. Vgl.
Bachmann : Die Lehre von der Kreisteilung und auch die in der Einleitung
zitierten Abhandlungen von Lebesgue.
2) Ersetzen wir
p-\
P
2l,.0=<
*',p
in der
Berechnung
von
{(p-\y->+(—\y'\
+
2tr, p
(47) durch (45)
so
kommt:
-pe.T)v[i_|_(p_v)aPe*
(q—"Up^)' + (q-v)6(p^)3+
-]}
(v-^(pf)! + ("-?U/'f*)s
...])
fa»s
ç^v
\p-\
+
+
falls
i/^p
52
—
§
Herr
J. Klotz
braischen
in
Zahikörper" 1) ebenfalls
lautet auf den Fall des
Bezeichnungen übertragen
:
Kongruenz (36)
j
Or,p
p
.
•(/»-!),
p
Or,p=pr-1
Es ist
nun
,
leicht diese Resultate vermittelst
Kongruenz (36)
sei die
Bezeichnung
(mod. p)
die Nichtreste
aber auch solche
bedeuten.
(mod. 2)
für /-eesI
(mod. 2)
(49)
quadratischen Reste unter ihren Koeffizienten, a9
zu
+ /
bestätigen.
dass
a9
+ 2
,
beliebiger,
Unter IS ein
a9
in
+
=
=
n
denen
l2m
(mod. p)
N-I29
+
Ig
die lm,
(mod. p)
n
+
„
dann
=
reduzierte
system
ein
fa
x%....
und
.
•
•
umgekehrt
bare Zahlen in
•
;
=
wenn
x9 x9
xm
+.,)
von
y^.... y9 z^ z^
Anzahl.
q
+,
der Form
'
{
\
,
v;\
gleichzeitig
mit x„ und xp +
„
respektiv
z„ stets und nur
ist.
Jedem Lösungs¬
+
n
es
(36) entspricht
z^) von
vermittelst
....
....
+
entsprechenden Systeme
gleicher
') Zürich 1913.
1,2,
=
respektiv xg
x9
a9
aber fest¬
\
\
as die
=
geltenden Voraussetzungen
und'es ist ym
+ /....
ç
\,2,....v
/7=-1,2,
+y%-hN(zl2 + z22 +
diese
1, 2, 3,
(51)
jetzt
m
Zahlen ym und zn
Lösungssystem {yx
yi2 + y22 +
n
Setzen wir
Restsysteme,
teilbar,
dann durch p
für
(mod. p)
zn
die
durchlaufen
(mod. p)
(53)
n
=
(mod. p)
L-xm=ym
+
m
wegen der für die a,
,
nicht durch p teilbar sind.
I9 + n-x9
für
von
ar
xr
In der
a1 a%...
gewählter Nichtrest verstanden, bestehen Kongruenzen
am
(p-l)(50)
.
für r—O
gewählt,
so
unsere
Zahlen xl x%..
.
(-l)p(—V
/>'-,+
=
(pag. 30)
und in
besitzt
(mod. p) inkongruente Lösungssysteme ; dabei sind
Lösungssysteme (xx x%.
xr) mitgezählt, in denen die
durch p teilbar sind.
Die Formel (50) ergibt
.
alge¬
Lösungssysteme
rationalen Zahlen
L.(_1)p./
±\
O^p-p'-'H
endlichen
betreffende Resultat
Das
Die
„Anzahl der Lösungen
beliebigen
einem
der
Körpers
:
mit der Anzahl der
Kongruenz (36) beschäftigt.
der
4.
hat sich in seiner Dissertation
quadratischen Kongruenz
einer
—
z\)
=
0
(mod. p) (54)
enthalten durch p teil¬
53
—
Nun
bezeichne
h
—
beliebige
eine
der
Zahlen
1, 2,... p
und
mxm^... mh
irgend
Kombination
eine
bedeute k eine
h Elementen
von
beliebige
nl /72
irgend
eine
Kombination
Wir nehmen
nun
eine
vor,
indem
welche
(p
h)
—
y*
Sind
ymt ym2
y2mi+yL+
—
teilerfremd,
Modul p
—
z,
....+
v
.
(55)
Gruppe Gh.k zusammenfassen,
ym„ z„x z„2
so
...
)
gleichzeitig (v
(55) beispielsweise
in
2, 3,
Lösungssysteme
zi z*
die
in
der Reihe 1,
aus
der Zahlen ym und
durch p teilbar sind.
zum
jp
—
diejenigen
wir
der
Einteilung
( y\
ferner
Reihe;
nk
k Elementen
von
dieser
aus
und
Zahl
—
erfüllen sie die
—
k)
für
der Zahlen zn
die Zahlen
(56)
z„k
Kongruenz
j£A+ tf« +<+....
<^)
+
=
(mod. p).
0
(mod. p) inkongruenten Systeme (56)
alle in der Gruppe Gt,,k enthaltenen
Zahlen
die
wenn
(mx m2.... mh) die (p)A möglichen
Lösungssysteme,
Kombinationen und die Zahlen (nt n2.., nh) die {v)k möglichen Kom¬
Der Gruppe G/,,k gehören daher
binationen durchlaufen.
Mach
(49)
ist die Anzahl
gleich 2Ia+a,
der
Es entstehen
h
.
(p)ä M* -%h + k,h
•
(mod./?) inkongruente Lösungssysteme (yiy*
yfz1z2Die Anzahl aller Lösungen von (54) wird dargestellt durch
...
Or,9
2Xh
S-(9)h(v)k
-
+ Kh
S(Q)k
-
{V)k
U(PP
h,k
h,k
..
z)
\)h + k
y
4-^Vv+!V)}
in
welcher
Buchstabe
Summe
k
die
Index h
der
Zahlen
0, 1,
die
2
Zahlen
v
an.
0, 1, 2,
durchläuft.
....
Zur
p
und
,
der
Summation
über diese Indices h und k wird der binomische Satz z. B. in der Form
2
h
herangezogen
Or/P=-J=
2
;
=
(ç)k ïh
=
(1 + £)*
0
dadurch kommt
\(p-
\y-(v)k-
pP+^-ivU^O+t-y+S'V+ru»]}
^{pr+ ^-[(1+1)^(1 4^+0
+
^0+^}
.
—
—
(46)
und nach
°'.p
Daraus
54
=
folgt,
j{ P' + ^-^K-
wenn
l)p+ (- m (e*
•
pf^}
wir wieder
"(?)
berücksichtigen,
im
Falle
r ^
(mod. 2), folglich
0
(>
-
im
Falle
(mod. 2), folglich
r=\
/•
—
1
Or,9=P
w. z.
b.
w.
Zürich,
im Mai
1918.
p
=
i>
(mod. 2)
:
~-i
=
i>+ 1
(mod. 2)
Lebensabriss.
Ich, Adolf Widmer,
1893 in Zürich
von
Hausen b. B.
(Aargau),
bin
am
23.
April
Daselbst habe ich die Primär- und Sekundär¬
geboren.
schule durchlaufen und bin 1907 in die kantonale Industrieschule ein¬
welche ich 1911
getreten,
habe ich
an
Diplom abgeschlossen.
lande als
Lehrer
Prof. Rudio
in
tätig, und habe
Physik obgelegen
Im Sommer
im Winter
höherer Mathematik
Winterthur
Oktober
Allen
Bildung
am
kantonalen
bin
ich
als
1917
Herrn Prof.
Hirsch,
und
1916
Anschliessend
am
Gymnasium
Assistent
für
und sie
war
Während des darauf¬
kantonalen Technikum
in Zürich inne.
Darstellende Geometrie
Seit
bei
Grossmann tätig.
meinen
Lehrern, und insbesondere den Herren Professoren
Grossmann und Hurwitz, bin ich für ihren Anteil
zu
1915
ich im Aus¬
gleichen Jahres bei Herrn
assistiert.
folgenden Sommers hatte ich Stellvertretungen
in
verliess.
Technischen Hochschule den Studien
für Mathematik und
eines Fachlehrers
mit dem
Reifezeugnis
mit dem
Eidgenössischen
der
grossem
Zürich,
im
Mai
Dank
1918.
verpflichtet.
an
meiner