Lösungs des Problems 2.3

MSG Zirkel 7d, TU MA 644
Lösungs des Problems 2.3
Wir bezeichnen die Folge, die wir nach k Zügen erhalten, mit Rk . Die Folge am Anfang ist dann R0 .
Zusätzlich bezeichnen wir die Zahl, die sich an der Stelle i in der Folge Rk befindet, mit Pk (i). Ein
Paar (i, j), mit 1 ≤ i < j ≤ n wird als ”verkehrtı̈n Rk definiert, wenn Pk (i) > Pk (j) gilt (das hei{sst
die weiter rechts stehende Zahl ist kleiner als die andere). Die Anzahl aller verkehrten Paare in Rk sei
Ik .
3 1 2
Beispiel (die blaue Reihe zeigt die Stellen, die schwarze ist die tatsc̈hliche Folge):
1 2 3
Hier P (1) = 3, P (2) = 1, P (3) = 2. Das liefert uns die folgenden verkehrten Paare: (1,2), (2,3).
!
.
Man nennt eine Vertauschung elementar, wenn sich die Zahlen, die umgetauscht werden, auf
benachbarten Stellen befinden. Das Problem wird nun in zwei Schritten gelöst:
0.0.1
Schritt 1: Wenn im Zug k + 1 zwei benachbarte Zahlen vertauscht werden, wie
ändert sich die Anzahl der verkehrten Paare?
Seien die benachbarte Zahlen in Rk , die vertauscht werden, auf den Stellen i und i + 1 (1 ≤ i ≤ n − 1),
das heisst nach unserer Bezeichnung sind es die Zahlen Pk (i) und Pk (i + 1). Es gilt also Pk+1 (i) =
Pk (i + 1) und Pk+1 (i + 1) = Pk (i). Mit der Ausnahme von dem Paar (i, i + 1) bleiben alle anderen
möglichen Paare im selben Verhältnis wie in Rk (also verkehrt oder nicht). Andererseits ist (i, i + 1)
genau dann verkehrt in Rk+1 , wenn es nicht verkehrt in Rk war. Die Anzahl der verkehrten Paare
wird also um genau 1 erhöht oder vermindert, das heisst Ik+1 = Ik ± 1. Zusammengefasst ändert sich
nach einem elementaren Umtausch die Parität der Anzahl verkehrter Paare.
0.0.2
Schritt 2: Wenn im Zug k + 1 zwei beliebige Zahlen vertauscht werden, kann dies
auch mit einer ungeraden Anzahl von elementaren Umtauschen erreicht werden.
Seien i und i + l + 1, l ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n − 1, die Stellen der Zahlen, die im Zug k + 1 vertauscht werden.
Die Reihe Rk ist unten abgebildet:
Pk (1) . . . Pk (i − 1) Pk (i) Pk (i + 1) . . . Pk (i + l) Pk (i + l + 1) Pk (i + l + 2) . . . Pk (n)
1
...
i−1
i
i+1
...
i+l
i+l+1
i+l+2
...
n
!
.
Statt der direkten Vertauschung kann man die gleiche Reihe auch auf folgende Weise erhalten:
Man vertauscht Pk (i) mit seinem jeweils rechten Nachbar l Mal. Das liefert folgende Reihe:


Pk (1) . . . Pk (i − 1) Pk (i + 1) Pk (i + 2) . . . Pk (i) Pk (i + l + 1) Pk (i + l + 2) Pk (i + l + 2) . . .


 Pk (n)
.
1
...
i−1
i
i+1
... i + l
i+l+1
i+l+2
...
n
1
Man vertauscht jetzt die Zahlen an den Stellen i + l und i + l + 1:


Pk (1) . . . Pk (i − 1) Pk (i + 1) Pk (i + 2) . . . Pk (i + l + 1)
Pk (i)
Pk (i + l + 2) Pk (i + l + 2) . . .


 Pk (n)

1
...
i−1
i
i+1
...
i+l
i+l+1
i+l+2
...
n
Letzlich vertauscht man Pk (i + l + 1) l Mal mit seinem jeweils linken Nachbar:
Pk (1) . . . Pk (i − 1) Pk (i + l + 1) Pk (i + 1) . . . Pk (i + l)
Pk (i)
Pk (i + l + 2) . . . Pk (n)
1
...
i−1
i
i+1
...
i+l
i+l+1
i+l+2
...
n
Jeder der oben beschriebenen Vertauschungen ist elementar und es sind insgesamt 2l + 1 solcher
Vertauschungen.
Aus Schritt 1 folgt, dass eine ungerade Anzahl von elementaren Zügen die Parität der Anzahl der
verkehrten Paare in der Reihe ändert. Da nach Schritt 2 jeder erlaubte Zug auf diese Art und Weise
dargestellt werden kann, schliesst man, dass Ik und Ik+1 immer verschiedene Parität haben. I0 = 0
ist gerade. Folglich kann man nach einer ungeraden Anzahl von Zügen nicht wieder R0 erhalten.
2
!
.