Winkelfunktionen

Winkelfunktionen
Dr. H. Macholdt
21. September 2007
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1
Altgrad, Bogenmaß und Neugrad
Die Einteilung eines Kreises in 360 Grad ist schon sehr alt und geht auf die Sumerer zurück,
die offensichtlich von der Tatsache begeistert waren, dass ein regelmäßiges Sechseck von
einem Kreis umschlossen ist. Die Teilung der sechs Dreiecke in diesem Sechseck in sechs
gleiche Abschnitte führte dann zur Einteilung des Kreises in 360 Teilstücke.
Jedes Grad ist nochmal unterteilt in 60 Minuten und diese wiederum in 60 Sekunden.
Altgrad oder Grad:
Einheitenzeichen Grad
Einheitenzeichen Minute
Einheitenzeichen Sekunde
Beispiel
: ◦
: 0
: 00
: α = 43◦ 260 1500
90°
R
α
180°
s
0°
360°
270°
Um eine Vorstellung von der Feinheit der Aufteilung zu bekommen, stelle man sich einen
Kreis mit einem Radius von R = 10 m vor. Der Umfang dieses Kreises ist also
U = 2 · R · π = 62, 83 m
Ein Winkel von einem Grad entspricht also einer Bogenlänge s von 62, 83 m/360 =
17, 45 cm, ein Winkel von einer Minute entspricht einer Bogenlänge von 17, 45 cm/60 =
2, 91 mm und ein Winkel von einer Sekunde ist nur 2, 91 mm/60 = 0, 048 mm lang.
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Zur Umrechnung des Winkels in die Dezimalschreibweise benutze man die alltägliche Erkenntnis, dass eine Stunde sechzig Minuten oder 3600 Sekunden hat.
260
1500
+
= 46, 4375
60
3600
Will man umgekehrt einen Winkel in Dezimalschreibweise in Grad, Minuten und Sekunden
angeben, so ergibt sich der Minuten- und der Sekundenwert durch Multiplikation der
Nachkommastellen mit 60.
z.B. ist 43◦ 260 1500 = 46◦ +
z.B. ist 43, 4375◦
0, 4375 · 60
0, 250 · 60
also ist 43, 4375◦
=
=
=
=
3
43◦ + 0, 4375◦
26, 250
1500
43◦ 260 1500
Die Einteilung des Kreises in 360 Grad mag zunächst einmal als recht willkürlich erscheinen und in der Tat kann man auch von eine andere Teilung vornehmen, die sich mehr
am Dezimalsystem orientiert. Diese Einteilung in 400 Grad für einen vollen Kreis wird
Neugrad genannt und besitzt die Einheit ’Gon’, abgekürzt durch ein hochgestelltes g. Bis
auf Nischenanwendungen konnte sich diese Einteilung aber nicht durchsetzen, der Mensch
ist halt ein Gewohnheitstier.
Die Umrechnung von ’Grad’ in ’Neugrad’ ist recht einfach, da der Winkel in ’Neugrad’
lediglich um einen Faktor 400
= 10
größer ist. Jedes ’Neugrad’ ist nochmal unterteilt in
360
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100 ’Neuminuten’. Eine weitere Unterteilung gibt es nicht, man erreicht diese durch entsprechende Nachkommastellen. Im Prinzip ist damit die Einführung von ’Neuminuten’
eigentlich überflüssig.
Neugrad oder Gon:
Einheitenzeichen Neugrad : g
Einheitenzeichen Neuminute : c
Beispiel : α = 43g 79c = 43, 79 gon
1 gon = 100 Neuminuten
100gon
R
α
200gon
s
0 gon
400gon
300gon
Um den Beispielwinkel umzurechnen in Altgrad multipliziert man mit dem Faktor
α = 43g 79c = 43, 79 gon =
4
9
· 43, 79 gon = 39, 41◦
10
9
,
10
also
In den Natur- und Ingenieurwissenschaften wird bei den meisten Berechnungen die Winkelfunktionen (sin, cos und tan) beinhalten der Winkel im Bogenmaß (rad) angegeben.
Diese Einteilung des Kreises beruht auf der Vorstellung das ein Kreis mit dem Radius von
R = 1 m einen zahlenmäßigen Umfang von 2 · π besitzt.
Die Umrechnung von einem Winkel in Bogenmaß in Gradmaß ist eine einfache Dreisatzrechnung.
Bogenmaß:
Einheitenzeichen : rad
Beispiel : α = 1, 456 rad
360◦ = 2 · π ≈ 2 · 3, 14159265 rad ≈ 6, 2831853 rad
π/2
R
α
π
s
0
2π
3/2π
Um den Beispielwinkel umzurechnen in Altgrad multipliziert man mit dem Faktor
180◦
=, also
π
180◦
α = 1, 456 rad ·
= 83, 42◦
π
5
360◦
2·π
=
2
Rechtwinklige Dreiecke
Wir betrachten zunächst ein rechtwinkliges Dreieck wie unten dargestellt, bestehend aus
den Punkten A, B und C, wobei der rechte Winkel am Punkt C liegen soll.
B’
β
B
a’
c
a
α
A
b
C
C’
Vergrößert man dieses Dreieck auf die Punkte B’ und C’, so dass ein rechtwinkliges Dreieck erhalten bleibt, erkennt man leicht (man denke nur an die Strahlensätze), dass beide
Dreiecksseiten im gleichen Verhältnis größer geworden sind, d.h. wird die Seite b in ihrer
Länge verdoppelt, dann wird auch die Seite a’ doppelt so lang sein wie die Seite a. Daraus
folgt, dass bei gleichbleibenden Winkel die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
konstant sind. Bezüglich des Winkels α ist die Seite a die dem Winkel gegenüberliegende
Seite. Wir nennen sie deshalb Gegenkathete und die am Winkel liegende Seite b bekommt
den Namen Ankathete. Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck c liegt immer gegenüber dem rechten Winkel, wir wollen sie Hypotenuse nennen. Da das Verhältnis zweier
beliebiger Seiten im rechtwinkligen Dreieck bei gleichen Winkeln konstant ist, geben wir
diesen Seitenverhältnissen ebenfalls Namen und sagen:
Das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse heiße SINUS.
Das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse heiße COSINUS.
Das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete heiße TANGENS.
Um deutlich zu machen, das diese Verhältnisse abhängig vom zugehörigen Winkel sind,
schreiben wir die Gleichungen wie folgt:
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a
sin α = Gegenkathete
=
Hypotenuse
c
b
Ankathete =
cos α = Hypotenuse
c
a
Gegenkathete
tan α =
Ankathete = b
Bezüglich des Winkels β ergeben sich drei ähnliche Gleichungen:
sin β = Gegenkathete
Hypotenuse =
Ankathete =
cos β = Hypotenuse
tan β = Gegenkathete
Ankathete =
b
c
a
c
b
a
Um in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge aller Seiten zu berechnen, benötigt man
also nur die Kenntnis von einem Winkel (außer dem rechten Winkel, der immer gegeben
ist) und einer Seite.
Beispiel 1: Um die Höhe eines Turmes zu messen, messe man den Winkel α zwischen der
Waagerechten und der anvisierten Spitze des Turmes sowie den Abstand l vom eigenen
Standpunkt zum Turm.
h=?
α=68°
l=50m
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In diesem rechtwinkligen Dreieck ist also die Ankathete gegeben und die Gegenkathete
wird gesucht. Wir suchen also eine Gleichung in der diese Größen vorkommen und finden:
tan α =
h
l
nach h umstellen liefert
h = l · tan α
= 50 m · tan 68◦
= 50 · 2, 475 = 123, 7 m
Bei der Berechnung von tan α mit dem Taschenrechner achte man darauf, das der Winkel
im Gradmaß eingegeben wird, der Taschenrechner also im Modus ’deg’ eingestellt ist.
Beispiel 2: Sind nur zwei Seiten gegeben, so kann die dritte Seite immer mit dem Pythagoras und die Winkel durch die zugehörigen Umkehrfunktionen berechnet werden.
h=18m
?
c=
α=?
l=33m
Da im obigen rechtwinkligen Dreieck beide Katheten gegeben sind, kann man die Hypotenuse mit dem Pythagoras berechnen:
c=
√
q
l2
+
h2
=
(33 m)2 + (18 m)2 = 37, 6 m
Jetzt ergibt sich der SINUS des Winkels α durch:
sin α =
h
18 m
=
= 0, 479
c
37, 6 m
Das Ergebnis wurde an der dritten Stelle hinter dem Komma gerundet. Wenn der SINUS eines Winkels gegeben ist dann ist natürlich auch der zugehörige Winkel durch die
Umkehrfunktion gegeben. Bei den meisten Taschenrechnern sind die Funktionen sin und
sin−1 auf der gleichen Taste belegt. Der Winkel ist also:
α = sin−1 0, 479 = 28, 6◦
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Beispiel 3: Eine Anwendung aus der geometrischen Optik.
Wir betrachten nun eine Linse, die einen Gegenstand der Größe G auf einem Schirm
in der Größe B abbildet. Wir kennen dieses Prinzip z.B. von einem Dia-Projektor. Da
in diesem Falle das Bild auf dem Kopf stehend abgebildet ist, werden die Dias immer
’verkehrt’ herum in das Projektormagazin eingelegt. Aus der Physik ist vielleicht noch
die Konstruktion des Strahlenganges in Erinnerung. In der folgenden Skizze sind nur
zwei charakteristische Strahlen eingezeichnet. Ein Strahl, der parallel den Gegenstand zur
optischen Ebene verläßt wird durch die Linse in den Brennpunkt gebeugt. Ein Strahl,
der durch den Mittelpunkt der Linse geht, wird nicht abgelenkt. Das Bild entsteht an der
Stelle, wo sich die beiden Strahlen schneiden.
f
b−f
G
β
a
β
a
B
Gegenstandsweite=g
Bildweite=b
Betrachten wir nun die physikalischen Überlegungen als abgeschlossen und schauen auf die
Skizze, so erkennen wir zwei rechtwinklige Dreiecke, die von den beiden Strahlen gebildet
werden. Da der Winkel α in beiden Dreiecken gleich groß ist gilt die Beziehung:
tan α =
G
B
=
g
b
Dies ist die Abbildungsgleichung einer Sammellinse, die besagt, dass sich die Gegenstandsgröße G zur Gegenstandsweite g genau so verhält, wie die Bildgröße B zur Bildweite b.
Umgeformt erhalten wir die Gleichung:
G
g
=
B
b
Rechts von der Linse sind noch zwei weitere rechtwinklige Dreiecke mit dem Winkel β
enthalten. Für diese gilt die Beziehung:
tan β =
G
B
=
f
b−f
Die Größe f nennt man die Brennweite der Linse. Wir formen diese Gleichung etwas um
und erhalten:
f
G
=
B
b−f
G
Nun können wir aber die Abbildungsgleichung verwenden und B
ersetzen durch gb . Dies
führt nach Kehrwertbildung zu der Gleichung:
b−f
b
=
g
f
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oder wenn wir durch b dividieren zu
1
b−f
b
f
=
=
−
g
b·f
b·f
b·f
Nach Kürzen von b und f erhält man eine weitere nützliche Abbildungsgleichung:
1
1 1
= +
f
g b
Die Kehrwerte von Bild- und Gegenstansweite addieren sich also zum Kehrwert der Brennweite.
10
3
Allgemeine Dreiecke
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck, welches keinen rechten Winkel enthält. Um unsere
bisherigen Erkenntnisse anwenden zu können, benötigen wir aber rechtwinklige Dreiecke.
Aus diesem Grund zeichnen wir in das gegebene allgemeine Dreieck jeweils die Höhen,
welche senkrecht auf den Seiten liegen ein und benennen Sie mit Höhe auf Seite a gleich
ha und die anderen Höhen entsprechend.
γ
hb
b
α
hc
ha
a
β
c
Betrachtet man die dadurch entstehenden jetzt rechtwinkligen Teildreiecke genauer, so
stellt man fest, dass man immer zwei Gleichungen für den SINUS aller beteiligten Winkel
erhält. Diese Gleichungen sind:
hc
hb
ha
hc
hb
ha
sin α =
= , sin β =
= , sin γ =
=
b
c
c
a
a
b
Wir benutzen nun immer die erste der jeweiligen Gleichungen um einen Ausdruck für die
drei Höhen zu bekommen:
ha = c · sin β,
hb = a · sin γ,
hc = b · sin α
Setzen wir diese Ausdrücke für die Höhen in die jeweilige zweite Gleichung ein erhalten
wir:
a · sin γ
I) sin α =
c
b · sin α
II) sin β =
a
c · sin β
III) sin γ =
b
Alle drei Gleichungen etwas umformuliert lassen erkennen, dass sich die SINUS der Winkel wie die gegenüberliegenden Seiten verhalten. Wir erhalten also die recht nützliche
Beziehung:
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Sinussatz:
sin α
sin β
sin γ
=
=
a
b
c
Sind also in einem allgemeinen Dreieck zwei Winkel und eine Seite gegeben, so lassen sich
die anderen Seiten ebenfalls ermitteln.
Wir geben nun drei weitere nützliche Gleichungen (ohne sie zu beweisen) an, mit denen
man aus der Kenntnis von zwei Seiten und einem Winkel die dritte Seite berechnen kann.
Man erkennt an den Gleichungen den Satz des Pythagoras, der für rechte Winkel entsteht.
C
γ
b
a
α
A
β
c
Cosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
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B
4
Der Einheitskreis
Bisher haben wir die Winkelfunktionen SINUS, COSINUS und TANGENS nur für Winkel
kleiner als 90◦ angewendet. Wir wollen nun diese Funktionen für alle Winkel definieren
und schauen uns dazu den sogenannten Einheitskreis an. Dazu zeichnen wir zunächst ein
Koordinatensystem mit einer x- und einer y-Achse und anschließend einen Kreis mit Radius EINS (egal welche Einheit, es kann sich durchaus auch um einen Meter handeln) und
dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, also bei den Koordinaten x = 0
und y = 0.
Zeichnet man nun einen beliebigen Radius mit einem Winkel α ausgehend von der x-Achse
ein und bestimmt durch Projektionslinien die x- und die y-Komponent des Punktes auf
dem Einheitskreis, der durch die Radiuslinie erzeugt wird, so ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, falls der Winkel α kleiner als 90◦ ist. Dieser Fall ist im linken Bild dargestellt.
x
R=
1
x
y
y
α
R=
1
α
Der SINUS dieses Winkels ist gegeben durch
sin α =
y
=y
1
entsprechen erhält man für den COSINUS von α
cos α =
x
=x
1
Die Werte der Winkelfunktionen SINUS und COSINUS sind also durch die Länge der
y bzw. der x-Komponenten gegeben. Das funktioniert aber auch für Winkel größer als
90◦ , wie man am rechten Bild erkennen kann. Wir haben jetzt zwar kein rechtwinkliges
Dreieck mehr in dem der Winkel α enthalten ist, trotzdem sind SINUS und COSINUS
einfach durch die entsprechenden Komponenten im Koordinatensystem definiert.
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Wir lassen jetzt den Winkel α einmal von 0◦ bis 360◦ durchlaufen und zeichnen in Abhängigkeit vom Winkel α die x-Komponente (also den COSINUS) und die y-Komponente
(den SINUS) auf.
1
sin(x)
cos(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
SINUS und COSINUS sind Funktionen, die zwischen den Werten +1 und -1 hin- und
herschwingen, sie eignen sich also hervorragend zur Darstellung von Vorgängen, die sich
periodisch wiederholen. z.B. lässt sich der zeitliche Verlauf einer Wechselspannung, also
die Höhe der Spannung U in Abhängigkeit von der Zeit t wie folgt darstellen:
U (t) = U0 · sin(ω · t)
Die Größe U0 gibt den Maximalwert der Schwingung, wir nennen ihn Amplitude, an. Der
Parameter ω, wir nennen ihn Kreisfrequenz, legt fest wie oft die Schwingung in einer
bestimmten Zeit stattfindet und ist gegeben durch die Gleichung:
ω =2·π·f
Die Frequenz f gibt an wie oft eine Periode der Schwingung innerhalb einer Sekunde
auftritt. Sie lässt sich leicht aus der Dauer einer Periode T berechnen:
f=
1
T
Man beachte das der Winkel ab jetzt immer im Bogenmaß angegeben wird, also bei
Berechnungen der Taschenrechner im Modus rad zu stehen hat.
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5
Aufgaben
1. Geben Sie die folgenden Winkel in Dezimalschreibweise an:
(a) 78◦ 120 5300 =
(b) 0◦ 480 3000 =
(c) 236◦ 33, 50 =
2. Wandeln Sie die folgenden Winkel in Grad, Minute und Sekunde um:
(a) 23, 3422◦ =
(b) 112, 457◦ =
3. Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß an:
(a) 23◦ =
(b) 182◦ =
(c) tan α = 1, 232
(d) cos β = 0, 357
4. Der Radius der Erde beträgt am Äquator ca. 6378 km. Berechnen Sie den Abstand
eines Längengrades, einer Längenminute und einer Längensekunde in Kilometern.
5. Wie groß ist der Winkel β des Dreiecks im linken Bild?
6. Wie groß ist der Winkel α des Dreiecks im rechten Bild?
.
a=
6,2
.
a=
5
m
8m
m
α
β
c= 7,5 m
c= 72 mm
7. Ein gleichseitiges Dreieck habe die Seitenlänge a. Berechnen Sie die Höhe in diesem
Dreieck.
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8. Der 8,83 m lange Mast im linken Bild soll durch ein Seil abgespannt werden. Wie
groß ist dabei die Seillänge?
9. Wie groß ist der Lochabstand x im rechten Bild?
x=?
8,83 m
l=?
45°
d= 164 mm
62°
10. Beweisen Sie die Formel für den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks.
1
A = a · c · sin β
2
11. Berechnen Sie im abgebildeten allgemeinen Dreieck die Länge der Seite c.
12. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks?
γ = 72°
a=
65
m
α = 81°
c=?
13. Skizzieren Sie (mit korrekter Achsenbeschriftung) die folgenden Funktionen:
(a) U (t) = 40 V · sin(2 · π · 50 1s · t) für 0 < t < 40 ms
(b) U (t) = 80 V · cos(2 · π · 100 1s · t) für 0 < t < 40 ms
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