Lehrbuch der Arithmetik zum Gebrauch an niedern und höhern

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Lehrbuch
der
Arithmetik
Gebrauch an niedern und höhern Lehranstalten
und beim
Selbststudium
B. E. Richard Schurig.
In drei Teilen.
1.
Teil:
2. Teil:
3.
Teü
:
Spezielle Zahlenlehre (Zifferrechnen).
Allgemeine Zahlenlehre (Budistabenreclmen).
Algebra nebst Anwendung auf die Analysis.
Leipzig.
Verlag von Friedrich Brandstetter.
1883.
Lehrbuch
der
Arithmetik
zum
Gebrauch an niedern und höhern Lehranstalten
und beim
Selbststudium
von
B. E. Richard Schurig.
Erster Teil:
Spezielle
Za,lileiilelix*e.
(Zugleich ein Handbuch für Vollcsschullehrer.)
Leipzig.
Veilag
voji
Friodrich Braiidstetter
1R83.
10-3
^'
^^
Vo
D.'er
r
w
r
t.
Grundgedanke zu dem vorliegenden Buche entsprang der
durch hangjährige Erfahrungen und Untersuchungen
wonnenen Überzeugung,
bei
mir ge-
Lehren der Mathematik, insbesondere der Arithmetik, noch immer einer wahrhaft logischen
Begründung, einer planmäfsigen Anordnung und einer für das
stetige gesicherte Fortschreiten des Lernenden durchaus geeigneten
dafs
die
Darstelluno; ermancjeln.
Ob
der, zur Abhilfe solchen
Versuch seinen Zweck
in
Mangels von mir unternommene
der That erfüllen werde, mufs ich der
sachverständigen Beurteilung anheimstellen, vornehmlich aber von
dem
ernstlich
bei
gewollter
Anwendung meines Versuches zu
er-
reichenden Erfolgte abhänfjiij machen.
mag
Auge
In gleichem Sinne
wichtige, von mir ins
lich
meine
eio-enarti^e
es die Zeit lehren,
ob das nicht minder
näm-
gefafste Ziel erreichbar sei, dafs
Entwickelungj der mathematischen Lehren
Benutzung seitens praktischer Lehrer eigne
und bei dem Unterricht in den Händen der Schüler von Gymnasien
und Realschulen auf die Dauer bewähre.
sich für die erfolgreiche
In meiner langjährigen Praxis
als
Lehrer der mathematischen
AVissenschaften habe ich allerdings ausreichende Gelegenheit gehabt,
die
Mehrzahl
gelehrten
jetzt
üblicher Unterrichtsmethoden in der von
mir
Hiernach
tritt
Wissenschaft näher kennen zu lernen.
mich heran, dafs mein Buch für
den Anfang von mehrfacher Seite mit einem gewissen Mifstrauen,
wie es einer "'anz andersartigren Gewohnheit in der Unterrichtsweise nur zu nahe liegt, aufgenommen werden mag, ein Älifstrauen,
vorerst leider die Besorgnis an
welches in der Eegel nur durch einen besondern äufsern Anstofs
verscheucht werden kann.
Bei alledem belebt mich doch die feste Zuversicht, dafs die
von mir eingeführte methodische Vereinfachung des Lehrgebäudes
und dessen Zurückführung auf möglichst wenige, in strenger Folge
logisch
fortentwickelte
Sätze
sich
über kurz
oder
lanir
weitere
Vonvort.
VI
Bahn brechen und, woran mh'
liegt,
praktischem Lehrer noch mehr
als
auch allgemeinere Einführung
in
den mathematischen Lehr-
kursus finden werde.
Für
die natürUchen
Grenzen, welche ein Lehrbuch
als solches
einzuhalten hat, schickt es sich natürlich nicht, eine von
dem
ge-
wöhnlichen Unterrichtswege abweichende Auffassung mit besonderen
philosophischen oder pädagogischen Darlegungen polemischer Fär-
bung ausdrücklich zu
nächst ein in
sich
begleiten.
geschlossenes
Es galt vielmehr für mich, zuLehrgebäude aufzubauen und
meine vielfach neue Methode durch
ihre
ganze Ausgestaltung für
sich selbst sprechen zu lassen.
Nur
in sehr
wenigen Fällen
(z.
B.
§.
13, 18.
Anmerk.,
S. 37)
habe ich durch Mitteilung der Gründe für meine abweichende
Auffassung einer unliebsamen Kritik vorgebeugt. Denn es sollte
die strenge, direkte Beweisführung eine falsche Beurteilung verhindern.
Keineswegs verkenne ich, dafs die streng
logische Methode, wie sie mein Buch anstrebt, nicht für den ersten
Anfang im Rechenunterricht sich eigne, aber sie soll dem Elementar-
immer schon
lehrer bekannt sein, damit er Unlogisches thunlichst vermeiden
und
das Logische nach und nach in der jugendlichen Anschauung ent-
wickeln kann.
So
(Null)
soll z.
B. beim ersten Unterricht im Rechnen der Begriff
nicht im Sinne des
§.18
früheren kindlichen Auffassung
(§.
(S.
60 unten), sondern in der
9,
6,
S.
Erst der reifere Verstand wird einsehen, dafs
12)
gelehrt
werden.
in der eigentlichen
^Mathematik nicht das „absolute Nichts" sein kann, und dafs es
auch nicht blofs deshalb das „Unendlichkleine" ist, weil es die
höhere Mathematik so will, oder weil ^ in jener Auffassung nicht
=
oo, sondern ein
Unding wäre.
Mit vorstehenden Worten will ich mich durchaus nicht rühmen,
etwas Unfehlbares gegeben zu haben, im Gegenteil fühle ich, dafs
auch in der mathematischen Logik stets noch ein Fortschritt, insbesondere eine noch einfachere und strengere Begründung mancher
Sätze möglich sein wird.
Leipzig, JuH 1883.
Der Verfasser.
Inhalt.
Seite
§.
1
§.
2.
.
Grundbegiift'e
1
Die Axiome
4
§.
3.
Die ersten Lehrsätze
§.
4.
Arten der Grüfsen.
§.
5.
Arithmetik.
§.
6.
Addition
(j
§.
7.
Additionssätze
7
4
Einteilung der Mathematik
Einteilung der Gleichungen und der Arithnieiik
Die 7 Species (§. 6 •— §. 17)
5
...
5
6
§.
S.
Subtraktion
§.
9.
Subtraktionssätze
lÜ
17
9
§.
10.
Multiplication
§.
11.
Multiplicationssätze
19
§.
12.
Division
26
§.
13.
Divisionssätze
27
Partialdivision
47
§.
14.
Potenzieren
51
§.
15.
Potenzsätze
53
§.
16.
Radicieren
54
§.
17.
Logarithmieren
56
§.
18.
Endliche und unendliche Gröfsen.
§.
19.
§.
20.
§.
21.
Das Zehnersystem
Das Rechnen mit ganzen (Decimal-) Zahlen
Andere Zahlensysteme
§.
22.
Vielfaches.
§.
23.
Einige Eigenschaften der Zahlen.
Mafs.
Null
59
64
...
66
70
Arten der Zahlen
Allgemeine Sätze der Teilbarkeit
Kettendivision
72
.
77
80
§.
24.
Teilbarkeit bestimmter Zahlen
85
§
25.
Zerlegen einer Zahl in Faktoren
96
§.
26.
§.
27.
§.
28.
Das Aufsuchen des grössten gemeinsamen Mafses
Das Aufsuchen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen
103
Addition
105
Subtraktion
107
Multiplication
109
Division
122
§. 29.
§.
30.
99
101
Neunerprobe
122
Elferprobe
139
!
Inhalt.
Viir
Seite
142
34.
Gemeine Brüche
Formänderungen der Brüche
Addition mit Brüchen
Subtraktion mit Brüchen
§.
35.
Multiplication mit Brüchen
153
§.
31.
§.
32.
§.
H'S.
§.
144
149
....
151
§.
36.
Division mit Brüchen
161
§.
37.
Vereinfachen der Doppelbrüche
165
§.
38.
Decimalbrüche
166
§.
39.
Addition mit Decimalbrüchen
170
§.
40.
170
§.
41.
Abbrechen der Decimalbrüche
Subtraktion mit Decimalbrüchen
§.
42.
Multiplication mit Decimalbrüchen
173
§.
43.
Division mit Decimalbrüchen
§.
44.
Verwandeln der gemeinen Brüche
§.
45.
Verwandeln der Decimalbrüche
§. 46.
§. 47.
172
176
in
in
Decimalbrüche
184
gemeine Brüche
201
Das Rechnen mit abgebrochenen und unvollständigen Decimalbrüchen
Decimalbrüche in Verbindung mit gemeinen Brüchen
208
212
§.
48.
Teilbrüche
215
§.
49.
Angewandte Zahlen
222
§.
50.
Proportionalität
233
....
Lösungen von Aufgaben durch Reduktion auf die Einheit
Teilung nach gegebenen Verhältniszahlen (Gesellschaftsrechnuiig)
Mischungsaufgaben
.
51.
243
245
Zinsrechnung
248
Discontorechnung
253
Terminrechnung
255
Zinseszinsrechnung
259
Kettenrechnung
263
Regula
268
falsi
Von den
NB.
entgegengesetzten Gröfsen.
270
(Positive
und negative Gröfsen)
271
Ungeachtet der auf einen korrekten Druck dieses Buches verwendeten
gröfsen Sorgfalt
ein
239
Prozentrechnungen
Auflösen durch Rückwärtsschreiten
§.
234
ist
Druckfehler
die Möglichkeit nicht
unberichtigt geblieben
ausgeschlossen
ist.
,
dafs
doch hie und da
würde es
Die Verlagshandlung
daher mit lebhaftem Danke anerkennen, von den verehrlichen Interessenten
Werkes gegebenenfalls auf solche Fehler aufmerksam gemacht zu werden
des
§.
Gröfse
1.
Grundbegriffe.
einfacher Begriff, also ein Begriff, der
nicht erklärt (definiert), d. h. auf
einen noch einfjicheren, übergeordneten (oder Gattungs-) Begriff
zurückgeführt werden kann.
2.
Gleich sind Gröfsen, wenn für die eine die andere gesetzt werden kann, ohne eine Änderung des Wertes zu bewirken.
[Beispiel: 2 -f- 1 imd 3 sind gleich.]
Gleichung ist das Urteil, dafs eine Gröfse einer andern
3.
gleich sei. Die Form der Gleichung ist: A
B, lies „^i gleich B'\
[Beispiel: 2
1=3]. In der Gleichung unterscheidet man die
„linke Seite": links vom Gleichheitszeichen (=) und die „rechte
Seite": rechts vom Gleichheitszeichen.
4. Addieren heifst eine Gröfse suchen, die eben so grofs ist, als
1.
ist
ein
seiner Ursprünglichkeit
wegen
=
+
mehrere andere gegebene Gröfsen zusammengenommen. [Allgemeinmathematische Erklärung.]
Die gegebenen,
zu addierenden Gröfsen heifsen S um man«
den, die gesuchte Gröfse: Summe. Es seien
^
z. B. a und b die
Gröfsen (Linien), welche
werden sollen, also die Summanden.
Sucht man eine Gröfse (Linie) c, welche
eben so grofs als a und b zusammen sein soll, so ist c die Summe.
Man schreibt a-{-b c, gelesen: „a plus b gleich c".
5.
Folgerung: Die Summe ist so grofs als die Summanden
addiert
=
zusammen genommen.
6.
Eine Gröfse ist gröfser als eine zweite, wenn zu letzterer
etwas addiert werden mufs, um die erste zu erhalten. Zugleich ist
alsdann die zweite Gröfse kleiner als die erste. So ist z. B. die
Linie c (s. 4. Satz) gröfser als die Linie a und a kleiner als c,
weil zu a: b addiert werden mufs, um c zu erhalten. Man schreibt
c>a, gelesen: „c ist gröfser als a", und « c, gelesen: ,,a ist
<
3>1,2<3.]
kleiner als c".
[Beispiele:
Ist also A"^ Bj so ist zugleich
ist
zugleich
1
<
3.]
Die Formen A>
Ungleichungen.
Scharig, Lehrbuch
B,
B<A
der Arilhmetik.
(z.
I.Teil.
B
<^ A.
B. 7
> 3,
[Ist z.
2
B. 3
< 8)
>
nennt
1
1
,
so
man
§.1.
2
Grundbegriffe.
Aus dem
4. Satz folgt nun:
Die Summe ist gröfser als jeder Summand.
II. Jeder Summand ist kleiner als die Summe.
Denkt man sich eine gegebene Gröfse als Summe, um
8.
in derselben Summanden zu unterscheiden, so nennt man jene
gegebene Gröfse: Ganzes, die Summanden: Teile (dieses Gan-
7.
1.
Ist z. B. c (s. 4. Satz) gegeben und sind a und h nicht
zen).
ursprünglich vorhanden, sondern erst in zweiter Linie gedacht, so
Man sagt auch:
ist
c Ganzes, a und b die Teile desselben.
Denkt man sich den Ausdruck
c ist in a und h zerlegt worden.
a-\-h als gegebene Gröfse, so ist a-\-b Ganzes, a oder b ein
„Teil" oder „GUed" dieses Ganzen. Man sagt daher: a-[-b ist
ein zweiteiliger oder zweigliederiger Ausdruck.
9.
Die Sätze 5 und 7 gehen nun über jn die folgenden:
Das Ganze ist den Teilen zusammengenommen gleich.
I.
IL Das Ganze ist gröfser als jeder Teil.
III. Jeder Teil ist kleiner als das Ganze.
Einheit ist ein einfacher, also undefinierbarer Begriff.
10.
11.
Die Einheiten sind unter sich getrennt vorhanden. Verbindet man eine gewisse Menge von Einheiten zu einem Begriff,
so entsteht die Zahl. Zahl ist mithin die Summe der vorhandenen
Einheiten.
„Eins"
ist
die aus
einer Einheit bestehende abstrakte Zahl,
man also auf die Art der Einheiten
Nimmt man zu Eins noch eine Einheit
bei welcher
nimmt.
nicht Rücksicht
hinzu und ver-
einem Begriff, so entsteht die Zahl zwei.
noch eine Einheit, so entstehen die Zahlen drei,
einigt diese Einheiten zu
Addiert
man
stets
Die Zahlenbildung
vier
ist
dieren von Einheiten.
12.
Ziffern (Zahlzeichen) sind
welchen man sich die Zahlen vorstellt.
mithin ein successives
Ad-
Schriftzeichen, unter
dieselben ersparen
wir uns das Setzen von eben soviel Zeichen, als Einheiten vorhanden sind. Die Zeichen für eins, zwei, drei, vier .... sind:
die
Durch
1,2,3,4....
13.
Die unmittelbar aus der Einheit entstandenen Zahlen:
nennt man natürliche Zahlen, die Reihe
1, 2, 3 u. s.w.,
1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
natürliche Zahlenreihe.
Der Entstehung zufolge ist jede in
liegende Zahl um 1 gröfser als die zunächst links
liegende, z. B. 7 um 1 gröfser als 6, 6 um 1 gröfser als 5, folglich 7 um 2 gröfser als 5.
dieser Reihe
Da 14-1=2,
jede Zahl
also
aus
2-1-1
einer
=
3
und
folglich
bestimmten
1-f
1
+ 1=3 u.s.w.,
Menge von
Einheiten zu-
so treten die Einheiten als Teile der Zahl auf
und man nennt daher die natürlichen Zahlen auch ganze Zahlen.
14.
Addiert man Einheiten ohne Rücksicht auf die Art der
Objekte, die sich uns als Einheiten vorstellen, so entsteht die
sammengesetzt
ist,
I
:
5
:
§.
unbenannte
(abstrakte,
1.
Grundbegriffe.
absolute,
3
Werden
reine) Zahl.
dai:;('gen
Einheiten derselben Art addiert und die ursprünglich nur abstrakte Zahl auf diese Art bezogen, so entsteht die benannte
(eoncrete, relative, angewandte) Zahl.
3
3
(=
+
1 -f- 1
1)
So
ist
z. 1>.
eine unbenannte Zahl,
Mark, oder abgekürzt: 3./<?(= lJ^-\-
J^-{-
]
l
J(.)
eine benannte
Zahl.
Die Menge der Einheiten einer Zahl ohne Rücksicht auf
15.
Art des Objekts nennt man auch „Anzahl". Die Anzahl
von Dingen kann also nur eine unbenannte Zahl sein.
die
=
+
+
16.
i
1
Es ist 3
1 und 3 Ji
jeder benannten oder unbenannten Zahl
lieiten
(hier 3)
1
Ji.
die
+
1
Ji 4-
Anzahl
können unbenannt
heiten selbst
Zählen
17.
ist
unbenannte Zahl (s. 15. Satz),
(1) oder benannt (1 .((^
eine
stets
=
die
heifst
1 JL
In
der Eindie Ein-
sein.
Anzahl der vorhandenen Einheiten
durch eine Zahl bestimmen.
18.
Zwei Gröfsen sind gleichartig, wenn die eine oleich
der andern, oder ein Teil der andern ist. So sind 7 .fi und 7 Ji.
gleichartig; 8
als
Meter und
3
Meter gleichartig, weil man sich 3 Meter
7 JL und 8 Meter sind
einen Teil von 8 Metern denken kann.
ungleichartig.
19.
Die Zahl ist eine specielle (bestimmte), wenn sie immer
nur dieselbe Menge von Einheiten enthält, z. B. 1 Billion, (1,
24-i\); eine
allgemeine (Buchstabe), wenn
ausdrücken kann, z.B.
a,
sie
jede specielle Zahl
.r.
—
die Kenntnis von gewissen, noch
An einigen Beispielen mag hier
nicht entwickelten Begriflfen vorausgesetzt
die Bedeutung und der Gebrauch der allgemeinen Zahlen gezeigt werden:
2 S (d. i. 8 vermehrt um 8 gleich 2 mal 8);
Es ist 8 -f- 8
=
= 2.5;
29 = 2 29;
29
a-\- a = 1 .a.
—
.
54-5
-j-
man
.
allgemein
=
Gleichung a
S, so entsteht jene 1. Gleiso entsteht die 3. Gleichung.
Den Inhalt eines Rechtecks erhält man, wenn man die Länge mit der
Breite multipliciert. Bezeichnet man nun die Länge mit a, die Breite mit
(ausgedrückt durch Quadratfc,
so ist der Inhalt des Rechtecks
mafs). Ist z.B.
Meter, die Länge des Rechtecks also 7 Meter, 6
5 Meter, die Breite des Rechtecks also 5 Meter, so geht a.6 über in 7
Setzt
chung.
Ist
in dieser letzten
a='29,
=a.b
a=7
=
.
^35
Quadratmeter. Hat man ein Rechteck von
Breite zu berechnen, so geht a .h über in 13.4,
13 Fufs Länge und 4Fufs
d.i. 52 Quadratfufs.
Die gegebene Linie c (s. 4. Satz) kann als Ganzes aufund in die Linien a und b (oder in 3 Linien u. s. w.) zerlegt werden.
Stellt nun c die Einheit vor, so sind a und b die
Teile der Einheit. Einheiten können also auch geteilt werden.
20.
gefafst
Allgemein
Jede Gröfse kann
Jede Gröfse kann
als
Ganzes aufgefafst werden; oder:
geteilt
werden.
1*
4
§• 2.
Die Axiome.
Die ersten Lehrsätze.
§. 3.
Die Axiome.
§. 2.
Axiome (Grundsätze,
und
evidente Sätze, Postulate) sind Sätze,
Ursprünp:lichkeit wegen nicht auf noch
einfachere Sätze zurückgeführt (d. h. nicht bewiesen) werden können, deren Beiiauptung also an sich klar ist.
Es giebt nur 2 Axiome:
1.
Jede Gröfse ist sich selbst gleich. (Identität nach Inhalt
die ihrer Einfachheit
=
3.
und Form.) Symbolisch: a^a. Z.B. 3
2.
Für jede Gröfse kann man eine ihr gleiche
So kann
tität nach Inhalt, aber nicht nach Form.)
3
=
setzen.
z,
(Iden-
B. in
3
an die Stelle der Zahl 3 der linken Seite der Gleichung die gleichbedeutende Gröfse 2 -h 1 gesetzt ( für 3 2 -}- 1 substituiert) werden.
2
Es entsteht alsdann
1 ^^ 3:
+
§.
Die ersten Lehrsätze.
3.
Lehrsätze (Theoreme) sind Sätze, die bewiesen werden müssen,
deren Wahrlieit und Richtigkeit als eine notwendige Folge
aus den bereits als wahr anerkannten Sätzen gezeigt werden mufs.
d. h.
1.
Lehrsatz.
A
Ist
so ist auch
Ist
= B (Voraussetzung),
B^A
(Behauptung).
Oder: Die Seiten einer Gleichung können vertauscht werden.
z.B. 2-1-1
12
3, so ist auch 3
=
= +
=
Beweis.
A
A (s. §. 2, 1).
Nach § 2,2 kann an die Stelle des A der linken Seite dieser
Gleichung das ihm gleiche B (s. Voraussetzung!) gesetzt werden.
Alsdann entsteht:
B='A.
2.
Lehrsatz.
Ist
so
Oder:
Ist
ist
J=-=C
B=C
A
(Voraussetzung),
\
=B
(Behauptung).
jede von 2 Gröfsen einer dritten gleich, so sind jene
unter sich selbst gleich.
C=B
Teil der Voraussetzung und
Stelle des C in der Gleichung
A=C
Teil der Voraussetzung)
Beweis. Da
kann an die
satz), so
(s. 2,
(s. 1
das ihm gleiche
B
.
gesetzt werden.
A
= B.
I.Lehr-
Es
entsteht alsdann:
Anmerkung. Eine dritte Art von Sätzen, durch welche die Mathematik lehrt, sind die „Folgerungen aus Erklärungen". Die in §. 1,9 gegebenen Sätze sind z. B. nicht Axiome, sondern Sätze dieser 3. Art.
§.4. Arten d. Giöfsen. Eint. d. Math.
§. 4.
Arten der Gröfsen.
Die Gröfsen
§.5. Eint. d. Gleich,
u. d.
Arithm.
5
Eiuteilung der Mathematik.
sind:
Zahlgröfscn
(discrete, gesonderte, unstetige), solche,
deren Teile (Einheiten) unter sich getrennt vorhanden sind; oder
II. Eaumgröfscn (stetige oder continuicrliche Gröfsen), solche,
deren Teile in ununterbrochenem Zusammenhange stehen (bei welchen die Grenze des einen Teils zugleich die Grenze des nächI.
sten
ist).
teilt man die Mathematik ein in:
Arithmetik — Lehre von den Zahlgröfsen.
IL Geometrie
Lehre von den Kaumsröfsen.
Hiernach
I.
—
Arithmetik.
§. 5.
1.
1.
Einteilung der Gleichungen und der Arithmetik.
Die Gleichungen sind entweder:
unbedingte
(analytische, identische),
wenn
die linke Seite
der rechten ohne besondere Bedingungen in Bezug auf den Wert
der Gröfsen gleich ist. Z.B.: 3
1
4,
[x -\-2'X
d-x: denn in dieser Gleichung kann für x jede nur
mögliche Gröfse gesetzt werden, immer ist die rechte Seite der
2-9
linken gleich.
Setzt manz.B. a;
3-9,
9, so entsteht: 9
d.i. 9 -+-18 ^27, oder setzt man x
60, so entsteht:
2-50
50
3.50, d.i. 50+100=150.]
IL oder bedingte (synthetische, algebraische), wenn die linke
Seite der rechten nur für gewisse Werte der allgemeinen und zu
suchenden Gröfse (x) gleich ist. Z. B.:
+ =
=
=
=
+
=
+
=
34-a;=12.
+
[Hier ist nura:==9, während in a;
2 •a:=3'a: (s. I.) für a: jede
Gröfse gesetzt werden konnte.]
2.
Hiernach wird die Arithmetik eingeteilt in:
I.
Zahlenlehre — Lehre von den unbedingten Gleichungen.
A. Specielle Zahlenlehre (ZifFerrechnen, Elementarrechnen, gemeine Arithmetik), wenn die Gleichungen nur sj)ecielle
Zahlen enthalten.
B. Allgemeine Zahlenlehre (Buchstabenrechnung, allgemeine Arithmetik), wenn die Gleichungen allgemeine Zahlen enthalten.
—
Algebra
Lehre von den bedingten Gleichungen.
Die Algebra bestimmt, wie grofs in der bedingten Gleichung
0;= 12, s. 1, II) die Unbekannte (a;) genommen werden
B. 3
IL
(z.
+
mufs, damit die linke Seite der rechten gleich wird.
3.
Unter Species (Grundrechnungsarten) versteht man 7
Grundoperationen mit Zahlen, und zwar die Addition mit Zahlen
§.6. Addition.
ß
und diejenigen 6 Operationen, welche unmittelbar aus
Vereinfachung und Umkehrung entstehen.
dieser
Ad-
dition durch
Sie heifsen:
Direkte bpecies:
I,
III.
V.
Indirekte Species (Umkeluungen):
Addition.
Multiplication.
(
Potenzieren.
l
7 Species
Iiie
§. 6.
1.
Die Addition
II. Subtraktion.
IV. Division.
VI. Radicieren.
VII. Looarithmieren.
(§.
6— 17).
Addition.
sucht eine Zahl, die eben
mehrere andere gegebene Zahlen zu-
(das Addieren)
soviel Einheiten enthält,
sammengenommen.
als
(Vergleiche diese arithmetische Definition mit
der allgemein -mathematischen §. 1,4!).
Gegeben Gesucht
3
IS
=11
Ädditionssätze.
§. 7.
7
jedoch die Pareuthesen weg, wenn das Resultat kein zweideutiges
werden kann.
§.
Additionssätze.
7.
Die Anordnung zweier Summanden ist beliebig.
3-1-4. Allgemein: a-\-b
b-{-a.
4 4-3
1.
=
=
+3= + + +
+ + 1+1.
Beginnt man das Zählen der Einheiten mit der
4+ 3=3 +
Folglich
steht 3 +
Beweis.
4
1
1
1
1
1
Um
2.
zunächst die Einheiten der 2. und 3. Zeile
die I.Zeile um jene Summe ver-
man
addieren
und dann
=(4 + 5),
3
Man
so ent-
und 5 Einheiten:
3, 4
zu addieren, könnte
mehren ==
2. Zeile,
4.
ist
4.
+ +
(4
5).
könnte aber auch zuerst die Einheiten der 1. und 2. Zeile
addieren =(3+4), und dann die Einheiten der 3. Zeile hinzu5.
fügen
(3
4)
Ferner könnte man 4
(5
3) rechnen u. s. w.
= + +
Da
alle
halten, so
+ +
Ausdrücke dieselbe Menge von Einheiten
^iese
ent-
ist:
+(4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 4 + (5
+ = + +3
= (5 + + 4
w. Allgemein:
« + (^^+c) = (a +
+ = + + = + c)+a
3
u.
3)
c
&)
u.
s.
3)
(4
5)
s.
&
a)
(c
(^>
w.
3.
Betrachtet
man von den
vorstehenden Ausdrücken zunächst
dies, dafs man zu 3 die
man zuerst 3 um den
alsdann die erhaltene
4),
+ (4 + = (3 + 4) + 5, so bedeutet
Summe (4 + 5) addieren kann, wenn
einen Summand
vermehrt =^(3 +
3
5)
4
Summe
noch
um
Summand
den andern
Anstatt eine
Summanden
zu addieren, kann
einzeln addieren. Symbolisch:
= (« + +
« + (^ +
+ (2 + = (8 + 2) + 7 = 10 + 7 =
Vergleicht man
3 + 4 = (3 + 4)
= + 4) + 5,
mit 3 + (4 +
c)
Beispiel.
Zusatz.
8
5)
Um
4.
man
ihre
c.
^')
7)
so ergiebt sich der Satz:
so viel gröfser der
Summe.
Oder:
5.
Summe
17.
(3
Summand, um
so viel gröfser die
+ 4 + 5 könnte man entweder mit
3 + 9=12, oder mit
+ (4 + 5) =
w. berechnen,
(3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12
3
3
u.
s.
8
Additionssätze.
§• 7.
= + +5
+
u. s. w. (siehe 2. und 3. Satz),
des Ausdrucks 3 -f- 4 H- 5 doch
immer dasselbe Resultat erzielt wird, so ist es nicht nötig, die
Parenthesen zu schreiben, sondern dafür den einfachen Ausdruck
da aber 3
also
(4 H- 5)
(3
4)
beliebiger Berechnung
bei
3-1-4
+
5.
Oder:
Die mehrere Summanden einer Summe einschliefsende Parenthese kann beliebig weggelassen werden.
Symbolisch:
a
-i-
(b -{- c)
ia-i-/j)-\-c
=a b
= a-{-b-\-c.
-\-
-\- c;
= + +
+ +
+
+ = + +
5. Ist 3
4
5 und (3 -h 4)
5
3
4
(4 4- 5)
3
5,
so mufs auch umgekehrt für 3
4
5: 3 -|- (4 -f 5) oder (3 -j- 4) -+- 5
gesetzt werden können (s. §. 3,1).
Oder:
Man kann beliebig mehrere Summanden einer Summe in
Parenthese setzen.
a-{-b-{-c
Symbolisch:
= a-{-ib-\-c) = {a-\-b)-\-c.
Dem Satze zufolge gehen
Ausdrücke des
über
3 + 4 + = + 5 + 3 = 5 + 34-4
w.
6.
nun
die
4.
5
in:
u.
Die Anordnung von mehr
Symbolisch:
a-|-&
c
als
2
Satzes
2.
4
Oder:
s.
Summanden
ist
behebig.
w.
+ =c+i +«= + c+ a=a + c+
und
Satze
3 + 4 + 6 + 7+9 = 3 + 7 + 4 + 6 + 9 = (3 + 7) + (4 + 6) + 9
= 10-i-10 + 9 = (lü + 10) + 9 = 20 + 9 = 29. Oder:
7.
ft
Nach dem
Um
eine
6.
Summe
man immer
Z^
5.
s.
zu berechnen (Zahlen zu addieren), kann
Summanden
je 2
u.
ist:
in beliebiger
Ordnung
in eine
Zahl vereinigen.
= il^+lJ^.-\-lJ^)-\-(lJl.-i-l^)
= \Jd J£ IJ^. ^ IJ^ = 5 ^.
Dagegen:
3 c^ + 2 Meter = ^ + c^ + ^ + Meter + Meter,
8.
d^.-\-2Jl.
-{- \
1
also
I.
1
-\-
-{-
1
1
\
-i-
1
weder 5 Jl. noch 5 Meter.
Hieraus ergiebt sich:
Nur
gleichartige
und gleichbenannte Gröfsen können
addiert
werden.
II.
Die Summe
manden.
ist
gleichartig
und gleichbenannt mit den Sum-
Dennoch lassen sich ungleichbenannte gleichartige Gröfsen
wenn sie gleichbenannt gemacht werdmi können. Z. B.
4 Frauen
5 Personen
4 Personen
9 Personen.
addieren,
5 Männer
=
=
+
Gleiches zu Gleichem addiert giebt Gleiches.
A = B (Voraussetzung),
so
auch A-\- C==ß-\- C (Behauptung).
Man schreibt auch: A = B
p\ (Voraussetzung),
p
A+C=B+C (Behauptung).
+
9.
Ist
ist
\
f^r
x
^
Subtraktion.
§. 8.
Beweis.
Es
A
ist
9
+ C=A-'r C
(s.
\.
Axiom).
Setzt man an die Stelle des A der rechten Seite dieser Gleichung
das ihm gleiche B (s. Voraussetzung und 2. Axiom), so entsteht:
A-^C=B-{-C.
^"'^'^-
^'^
iZ.^]
so
Beweis.
ist
auch A-{- C=^B-{-
man
Setzt
in
A
(Voraussetzung),
D
(Behauptung).
=B
C=C
A-^C = B-{-C
(s. 9.
Satz,
4. Zeile)
an die Stelle des C der rechten Seite der beiden letzten Gleichungen das ihm gleiche I) (s. Voraussetzung), so entsteht:
A
=B
C=D
A-\-C=B-{-D.
§.
8.
Subtraktion.
1.
Die Subtraktion (das Subtrahieren) ist die Umkehrung der
Addition (daher die 1. indirekte Species). Sie sucht aus der Summe
(einer Additionsgleichung) und einem der beiden Summanden derselben den andern Summand.
[Genetische Definition!]
In Bezug auf 8
I.
+ 3=11
entweder aus
manden,
z.
B. 3, den
Gegeben
11—3
würde
also die Subtraktion
Summe 11 und einem der beiden Sumandern Summand 8 suchen. Geschrieben:
der
Gesucht
10
Subtraktionssätze.
§• 9-
mand
und
geben.
14
5
so mufs auch
+^= 4
3 + =
2+1=3, 1+1=2, so
Ist z. B.
— =9
Da nun
9
richtig,
1
=5
9
14
sein.
4,
1
4—1=3,
Auf Grund
3
— 1=2,
der Subtraktion
2—1 =
ist
auch
1.
kann man mithin
in der natür-
lichen Zahlenreihe rückwärts schreiten: ....7,
Summe
Die
2.
(11) wird also
Summand (3)
Summand (8) zum
der gegebene
der gesuchte
Mittelst der
3.
6,5,4,3,2,1.
zum Minuend (s. 1,1),
zum Subtrahend,
nun
Rest.
abgeleiteten Begriffe sind folgende Real-
definitionen möglich:
Subtrahieren heifst eine Zahl (8) suchen, die zum Subtrahend (3) addiert, den Minuend (11) giebt.
Rest (Differenz, Unterschied) ist die Zahl, welche zum Subtrahend addiert, den Minuend giebt. 11
3 ist der formelle, theoretische Rest, 8 der materielle, praktische Rest.
—
Die Vergleichung ungleicher Zahlen durch Addition und
erfordert stets den Comparativ.
Z. B.: 8 ist um 3
4.
Subtraktion
A hat
Mark
B: 2 ist um 4 kleiner
Bei ungleichen Zahlen gebraucht man „als", bei gleichen Zahlen „als" und „wie". Z. B,:
2 ist eben so grofs wie 6
5
1
(oder: als 6+1), falsch dagegen: 5 ist gröfser wie 2.
Die Subtraktion beantwortet die Frage, um wie viel gröfser
oder kleiner eine Zahl ist als eine andere.
Beispiel.
viel gröfser ist 12 als 9?
Antwort: um 12
9, d.i. um 3.
wie viel kleiner ist 3 als 7?
Antwort: um 7
3, d. i. um 4.
gröfser
als 6;
als
B
5;
hat 4
4
Mark mehr
weniger
+
als
als A.
+
Um
—
Um
—
§. 9.
Subtraktionssätze.
1.
Der Beweis für die Sätze der indirekten Species ist dadurch zu führen, dafs sie auf die Sätze der direkten Species zurückgeführt werden, aus welchen sie entstanden sind.*)
*) Die Beweisführung für die Sätze der Zahlenlehre nahm früher auf
diese Entstehung keine Rücksicht. Nicht oft sondern in der Regel ging
man von falschen und unbewiesenen Sätzen aus. Später wurde man rationeller, indem man beide Seiten auf gleiche Weise veränderte.
z.B.
,
Um
-r-
.c=
erhielt b
zu beweisen, multiplicierte
,
.
-^
.
c
= & ——
-
.
,
d.i.
a .c
man
beide Seiten
= a .c, folglich richtig!
mit
&.
Aber auch
Man
diese
Beweisführung ist unrichtig, da sie erstens die Entstehung der Division
aus der Multiplication nicht berücksichtigt, und zweitens die Sätze:
„Gleiches zu Gleichem addiert giebt Gleiches" u. s. w. anwendet, die nur
in der Algebra Anwendung finden dürfen.
Die Algebra allein darf den
Subtraktionssäfze.
§. 9.
müssen
Die Sätze der Subtraktion
zuorehörige Additionsfrleicluinf!;
Gesuchter
Gegebener
oder
+
Subtrahend
Rest
Subtrahend -h Rest
oder
also richtig sein,
ist,
wenn
—
=
wenn
die
also
Summand + gegebener Summand
Summand + gesuchter Summand
wenn
folglich
ist,
riciitifj
11
= der
= der
Summe,
Summe
= Minuend,
= Minuend
ist.
=
+
SubBeispiel.
1123
456
667 ist richtig, weil Rest
667
456
1123 und diese Zahl dem Minuend gleich
(Probe für die Richtigkeit der Subtraktion!)
trahend
ist.
=
+
2.
(8
(a
+ —8=3
+ — 3=8
3)
-f-
*)
und (8
3)
und {a-\-h)
— =a
h
;
— a^h.
allgemein
Oder:
bestehende Summe um einen der
Summanden vermindert, giebt den andern Summand.
Diese Sätze sind zwar schon unmittelbar aus der genetischen
Definition der Subtraktion (s. §. 8, 1,11) abgeleitet worden, sie
könnten aber auch nach vorstehendem 1. Satze dadurch bewiesen
werden, dafs man zunächst auf der linken Seite der Gleichung
Minuend (die zu vermindernde Zahl) und Subtrahend (die abzuziehende Zahl), rechts den Rest (Resultat der Subtraktion) unter-
Summanden
Eine aus 2
scheidet:
(i+i)-3=i
^ Ph
^
Minuend
Da nun
Satz
1) diese
<y
^8 + 3=
+
Rest
Shd.
Subtraktionsgleichung
+ =
Aus
dem Minuend,
so
ist
(siehe
richtig.
11—3=8,
auch
als
3
8
11
folgt sowohl
8
3 geMithin kann aus 11
3
8 stets 11
bildet werden.
Allgemein:
Man kann den Rest stets mit dem Subtrahend vertauschen.
Oder:
Der Minuend um den Rest vermindert, giebt den Subtrahend.
b)
b.
{a
Aus a
(a
b) folgt daher auch a
4.
Ist die Subtraktionsgleichung richtig, so mufs auch
Minuend
Rest
Subtrahend
und Subtrahend
Minuend sein.
Rest
11 richIst daher 11
3
3
8 richtig, so mufs auch 8
tig sein.
also zu untersuchen, ob eine Addition richtig ist.
3.
11
—8=
— =
3.
— b=
— — =
—
+
+
— =
=
=
Um
Wert der
Seiten verändern.
— =
+ =
Sie bildet aus
3 X
^-^=
12 die
Gleichung
Die rechte Seite hat zuerst den Wert 12, dann 24. Die Zahlenlehre dagegen läfst den Wert der Seiten der Gleichung stets unverändert, z.B.
2 (3 4
5 6)
2 42 =- 84.
Hier sind alle Ausdrücke vor
2 (1 2 -1- 30)
uiid nach den Gleichheitszeichen einander gleich.
.
.
+
.
=
.
=
.
Subtraktionssätze.
§• 9.
12
Erdie Summe um den einen Summand vermindern.
giebt sich der andere Sunmiand, so mufs die Addition richtig sein.
kann man
Da
5.
— = —
a
(a
b
unbedingt (apodiktisch)
b)
und
Min. Shd.
Rest
unterschieden werden kann, so mufs auch
richtig
ist
Rest
Shd.
1.
IL
{a
I.
— b) -\-b = a,
um
Eine Differenz,
Minuend.
IL
Zusatz.
+ Shd. = Min. und
+ Rest = Min. sein,
d.
i.
oder:
den Subtrahend vermehrt, giebt den
b-\-ia
— b) =
a.
Kehrt man II um, so erhält man:
a^b -{-{a —
b).
Dieser Satz löst die Aufgabe: „WÄche Zahl ist zu 7 zu adDenn 1 1
7
dieren, um 11 zu erhalten? "
7
4.
(1 1
7)
Es ist also zu 7 die Zahl 4 zu addieren!
— = +
= +
die
Bezeichnen wir „Nichts" mit dem Zeichen
(Null) —
6.
lehrt §.18
wahre Bedeutung von
so ist: „8 vermehrt
um
Nichts
=
—
„8-1-0=8";
8", oder:
Aus
j
,r
a.
— =
— =
nen, könnte
und zwar:
I.
=
diesen Gleichungen folgt (nach §. 8,1) unmittelbar:
8
8; allgemein:
f
t a
«, oder:
Eine Zahl um Null vermindert giebt jene Zahl selbst
wieder.
8
0; allgemein:
/ 8
l a
a
0; oder:
Eine Zahl um sich selbst vermindert giebt 0.
Um
7.
,
allgemein: a-\-0
— =
— =
oder a —
a-\-b —
b -\-b oder b
b
man
die
Zahlen
in verschiedener
zuerst a-\-b berechnen,
dann
—b
zu berech-
Ordnung
verbinden,
-\-
a
b subtrahieren, also {a-\-b}
— =
—b
a.
b
berechnen. Nach Satz 2 aber ist {a-hb)
IL Man könnte auch erst a
b berechnen und dann b addieren, also {a
b)-\-b berechnen. Aber auch dies ist
nach dem 5. Satze
a.
—
—
=
=
IIL
b-{-{a —
Satz),
= a-^0 =
IV.
a-\-ib —
— b)-\-a = 0-{-a =
V.
offenbar nicht
so
Da das Resultat immer dasselbe (=
nötig, {a-\-b) — = a
w. zu schreiben, vielmehr können die
Parenthesen weggelassen werden, und
genügt:
—3=
«-!-& — =
A.
B.: 7
«— + =
B.
B.: 9 — 2-f-2 =
b + a— =
6
8 — 6 =
C.
Eben
so:
b)
a,
(s. 5.
b)
a,
{b
a.
ä) ist,
b
ist
u. s.
es
&
&
a;
z.
&
«;
z.
b
a;
z.
-1-3
7.
9.
B.:
-[-
8.
I
:
§. 9.
Subtraktionssätze.
13
Siiinmanden und ^Minuenden nennt man auch
Den letzten Sätzen
Subtrahenden subtraktive Zahlen.
A, B, C zufolge heben sich inmier gleiche additive und subtrakh).
b mit
tive Zahlen (-|- h mit
b und
Anmerkung.
additive,
—
—
+
—
=
{a — c)-\-b
{a-\-b)
c
8.
Min.
Anstatt eine
Shd.
oder:
',
"Ro^t
Summe um
irgend eine Zahl zu vermindern,
kann man einen der Summanden um diese Zahl vermindern und den Rest um den andern Summand vermehren.
Beweis.
Minuend!
ö
(s. 5. Satz II)
(a — c)
Rest
c
Shd.
=
= +
+ = +
+ 8)-3 = (23 — 3)-f-8 = 20 + =
nach §.7,1 auch schreiben:
Zusatz. Derselbe Satz
— oder:
— =
+
z.B.:
ft
ft
8
(•23
1.
b -\-{a
c
{b -\- a)
c)\
Anstatt eine Summe zu vermindern, kann man auch den
einen Summand um den Rest aus dem andern Summand
und den Subtrahend vermehren. Z. B.:
(17— 7)
16.
7
6 4- 10
17)
(6
6
Zusatz. Vergleicht man:
— = +
=
b — c={b —
{a-\-b) — c=a-\-{b —
+
2.
28.
läfst sich
=
c)
mit
Um
gröfser der
so viel
Minuend,
so ergiebt sich:
so viel gröfser der
c),
um
Rest.
9.
Umgekehrt
(a
— c)
-\-
b
= {a
-\- b)
— c;
oder:
um
irgend eine Zahl zu vermehren,
kann man den Minuend um diese Zahl vermehren und
von der entstehenden Summe den Subtrahend abziehen.
25.
8
3
28
3
Z. B.: (20
(20
8)
3)
um, so erhält man:
Zusatz. Kehrt man Satz 8, Zus.
Anstatt eine Differenz
— + =
b -\-{a
+ — = — =
— =
c)
1
{b -\- a)
— c;
oder:
Zahl um eine Differenz zu vermehren, kann man die Zahl um den Älinuend vermehren,
und von der Summe den Subtrahend abziehen.
Anstatt
Z. B.: 5
eine
beliebige
+ (10 — 4) = (5 + 10) — 4 == 15 — 4 =
1 1.
10.
und a — c-\-b, in beliebiger Ordnung berechnet, giebt nach den bisherigen Sätzen:
a+
— = (« + —
= {a + —
{b — c)-{-a = a + {b —
III.
{a — c)-{-b = {a + b) —
= {b-^d) — c = {a + b) —
b-{-{a —
IV.
Da immer dasselbe Resultat: {a-\-b) — c erscheint, so sind
a-\-b — c
I.
(^>
c)
^/)
11.
c;
c)
b)
c;
C',
c)
c.
A. die Parenthesen unnötig und man schreibt:
statt (a
c nur a-{-b
c,
&)
c)-{-b nur a
c-\-b,
{a
„
a-\-{b
c) nur a-\-b
c.
„
+ —
—
—
—
—
—
:
§
14
Zusatz.
a -{führen zu
{b -\- c)
dem
=a
-{-
Subtrakfionssätze.
9-
b
und «
c
-{-
+ — = a-\-b -
c
c)
(*
Satze:
einem Pluszeichen befindliche Parenthese kann
weggelassen werden, ohne dafs sich die in derselben
befindlichen additiven und subtraktiven Zahlen ändern.
Die
nacli
stets
Beispiel.
4
B.
Anstatt:
+ 8 — 2)= + 5 + 8—2;
+—(5 —
d-{-e) = a-i-b — c — d-{c
{a-\-b) — c = (a — c)-{-b kann nun
a-{-b — c = a— c-\- b
1
a-{-{b
e.
auch
Oder:
Die additiven und subtraktiven Zahlen können
angeordnet werden.
geschrieben werden.
beliebig
17+9 — 7 = 17 — 7 + 9=10 + 9.
Beispiel
{a-\-d)
11.
— ib-\-d) = a —
*;
oder:
Die im Minuend und Subtrahend enthaltenen gleichen Summanden heben sich.
Beweis.
Rest
+
Shd.
={a—b) + ib-j-d) = [{a — b)-\-b]-\-d
= a + = Min.
a—ö=
+ —
rf
12.
Umkehrung
(ö
Die DiiFerenz
trahend
Beispiel.
796
1 123
um
rf)
(b -\- d); oder:
wenn Minuend und Sub-
bleibt unverändert,
dieselbe Gröfse vermehrt werden.
+ - (796 + = 127 — 800 = 327.
—
— d) = a — (VergL
d) —
13.
Beweis.
Rest + Shd. =(a —
+ — rf)=[(a — + ^>]-rf
=a—
rf=Min.
14.
Umgekehrt:
— d) — —
a — b=
— b)— c = — —
15.
Beweis.
— b]-^ = — -^ —
Rest + Shd. =[{a —
= a — = Min.
— —
Da a — — und a — c — nur entweder
— b berechnet werden können, beide Ausdrücke
oder
{a —
aber gleich sind, so
oder:
a— — =a—c —
=
—
(1
123
4)
1
4)
{b
ia
11.)
b.
(&
6)
&)
{a
{b
(a
d).
c)
ia
b.
[{a
c
c)
c)
b
c]
b
b
als
als
b
c
{a
b)
c)
ist:
b
Da
+
= \a-]-c) — d] —
= — d)-{-a\~b
'{a—b)
'_{c
s.
w., so
=[(a +
c]--d
b
u.
b;
c
Die Anordnung der Subtrahenden
nun
kann
also
(s.
c)
beliebig.
— ö]
-rf(s. Satz 9)
—b
^[{c — d) — b]-\-a
— + —d
b -\-c — d ah
Satz)
Satz)
15.
(s. 8.
a-
ist
=
[{c
-\-a)-d]
(s. 8.
[(«
^)
c]
Satz)
c
§. 9.
Subtraktionssätze.
15
—
d)--b^-\-a u. s. w. berechnet werden. Allgemein:
[(c
Jeder aus vielen additiven und subtraktiven Zahlen bestehende Ausdruck kann in beliebiger Onhunig {in)iucr je 2
beliebige Zahlen verbindend) berechnet werden.
Beispiele:
oder als
13 — 6 — 3=13 — 3 — 6=10 —
— 3-f9 + 5 — 9 + 3 = + — + — 3)H-5
= + + + 5 = 12;
—
d — b-\- a — c — a-\- = d-\-(a — a)-\-{b —
= rf+0 + — C = —
Zusatz. Vergleicht man
a — c = (ö —
— c^'^ia — —
mit {a —
6;
7
7
(9
(3
9)
7
b
c
b)
c.
6?
c)
so ergiebt sich der Satz:
so viel kleiner der
Um
Rest.
16.
I.
II.
b^
c)
b)
um
Minuend,
so viel kleiner der
— + = —
a
b — c.
Oder:
(ft
c)
a
Löst man nach einem Minuszeichen eine Parenthese auf,
so verwandeln sich die in derselben befindlichen Summanden in Subtrahenden.
Anstatt eine Summe abzuziehen, kann man die Summanden einzeln abziehen.
,i
Beweis.
Rest
+ Shd. = a — i — c + + = ö — b — c + ^ +
c)
(ft
= a = Min.
Beispiel.
- + = 29 - 9 — 5 = 20 —
Zusatz. Vergleicht man:
a — b^^ia — b)
mit a —
+ = (a — — so
•29
5)
(9
b)
c)
(&
Um
so viel gröfser der Subtrahend
c,
,
um
e
5.
ergiebt sich:
so viel kleiner der
Rest.
17.
Umkehrung:
a
I.
verwandeln
manden
II.
— — = a~(& +
c
ft
c).
man nach einem Minuszeichen
Bildet
sich
die
Subtrahenden
in
derselben in
Sum-
(in additive Zahlen).
Anstatt mehrere Zahlen einzeln zu subtrahieren, kann
Summe
ihre
subtrahieren.
—b
-\-
man
Z. B.:
— 7 — 3 = 23 — (7 + 3) = 23 —
d-\- e — /= a + c + e — b — d —
c
23
Zusatz.
a
Oder:
eine Parenthese, so
1
= + + e)-
0.
/'
{b-^d-\-f); oder:
Um einen aus vielen additiven und subtraktiven Zahlen
bestehenden Ausdruck zu berechnen, kann man die Summe
der additiven Zahlen um die Summe der subtraktiven ver(«
mindern.
Z. B.:
c
:
16
:
§• 9.
Subtraktionssätze.
— 6 + 8 — 4 = 11+8 — 6 — 4 = 1+8) — (6 +
= 19 \Q — 9.
234
147 + 456 — 369 + 678 — 789
= (234 + 456 + 678) — (147 + 369 + 789)
= 1368 — 1305 = 63.
— c)^a — b-\-c; oder:
18.
a—
11
(1
4)
{b
Löst man nach einem Minuszeichen eine Parenthese auf,
so verwandehi sich die in derselben befindlichen Subtrahenden in Summanden.
Beweis.
Rest
+ Shd. =^a — h-\-c-\-{h — = a — h-\- c-\-b — c
c)
= a = Min.
Beispiel.
— = 18 — 8 + = 10 +
18 —
Zusatz. Vergleicht man
—
a — =
— = — + so ergiebt
mit a —
(8
5
5)
h
{h
Um
{a
h)
{a
c)
5.
ü,
fe)
so viel kleiner der Subtrahend,
um
sich:
so viel gröfser der
Rest.
19.
Umkehrung
a
—h
-{-
c=^ a
— —
{h
c).
man nach einem Minuszeichen
verwandeln sich die Summanden in
Bildet
Oder:
eine Parenthese, so
derselben in
trahenden.
Beispiele: 31
19
31
9
31
10.
(19
9)
Mit Rücksicht auf Satz 17 und 19:
a
b
c-\- d
\
a
{b-\- c
r/+ 1), oder auch
a
b
b
{c
^+1).
— + = — — = —
— —
—
— = —
— — c+ d— \=a — — —
Da a —
Anmerkung-.
d.i.
a
—h—c
ist,
so
ist
Sub-
— +
c),
(&
b-f-c nicht gleichbedeutend mit a
hier die Parenthese wesentlich.
also einen
Um
mehrteiligen Ausdruck zu subtrahieren, hat man den nach dem Subtraktionszeichen zu setzenden Ausdruck in Parenthese zu stellen. Soll a um
& 4- c oder h
{h
c) zu
{h-\- c) und
c vermindert werden, so ist a
schreiben. Dagegen ist a
a -\-h
c
c)
a -f- & -j- c und a \- {h
c)
(ö
(s. §. 9,10, Zusatz).
Um also einen mehrteiligen Ausdruck zu addieren,
schliefst man den mehrteiligen Ausdruck nicht ein.
—
—
+ + =
—
a—
=
—
~
20. Da die Summe mit den Summanden gleichartig sein mufs,
aus der Additionsgleichung aber die Subtraktionsgleichung hervorgeht, so müssen auch Minuend, Subtrahend und Rest gleichartig
sein, oder:
Nur
21.
Ist
Gleichartiges
=
so
Dafür
kann subtrahiert werden.
Gleiches von Gleichem subtrahiert giebt Gleiches.
A B (Voraussetzung)
schreibt
ist
man
A—C=B — C (Behauptung).
auch:
^=^ (Voraussetzung)
A—C=B—C (Behauptung).
auch
|
:
§.
geilt,
B
(s.
C^^A — C
A—
Beweis.
wenn man au
gleiclie
Multiplication.
lU.
17
I.Axiom)
(s.
des ./ der recliten Seite das iiim
Voraussetzung) setzt, über in:
die Stelle
A—C=D—C.
Ui
Zusatz.
A=^B
C=^D
A— C= B — ~D
und
so
ist
auch
§.
Die zu
1.
Sind
schieden.
Summanden
addierenden
die
sind
gewöhnlich ver-
B.
8
sie gleich, z.
Gegeben
+ + 8 = 24,
Multiplication durch
2 Zahlen in folgender
Gesucht
=24
8-3
•T3
Multiplication.
lU.
8
kürzt dies
Weise ab:
so
{^^x^. §.7,9, Zus.)
o
Gelesen: „8 mal 3 gleich 24",
Cm &.
.S
oder: „8 multipliciert mit 3",
"^
oder: „das Produkt aus 8
und
3'
Produkt
Der Summand
Anzahl
die
Summe zum
der
Multiplication
Summanden.
Produkt
wird zum MultipUcand,
Summanden (3) zum Multiplicator,
(S)
die
ist
Produkt.
also
die
abgekih'zte
Addition
gleicher
das Resultat der Multiplication, oder (bestimmter):
Summe gleicher Summanden.
8-3 das formelle oder theoretische, 24 das matenelle oder
praktische Produkt.
GewöhnUch unterscheidet man nicht Multiplicand und Multiplicator, sondern nennt die zu multiplicierenden Zahlen:
Faktoren. In S-3 ist S der erste, 3 der zweite Faktor.
Die ^Multiplication hat eigentlich kein Zeichen. Das nebeneinanderstellen der Faktoren zeigt schon ihre Multiplication an.
Soll (7
2) mit (4
1) multipliciert werden, so kann man
1)
2) (4
(7 +2). (4+1), aber auch (7
3 x.
a mit h multiplischreiben.
Das Produkt aus 3 und x
ciert =^ ah. Nur um Verwechselungen zu vermeiden, wendet man
als Multiplicntionszeichen den Punkt oder das liegende Kreuz an.
Das Produkt aus 2 und 3 ist daher (der Zahl 23 wegen) 2 3 zu
schreiben. Der Inhalt des Kechtecks ist
dem Produkt aus Grundlinie und Höhe -= Grund 1.
Höhe (d. i. Grundlinie mal Höhe).
ist
die abgekürzte
+
+
+
=
+
•
=
X
Schurig, Lehrbuch
der Arithmetik.
I.
Teil.
2
§. 10
18
Multiplication.
Beispiele:
7 + 7 + 7 + 7 = 28; dafür 7-4 = 28;
2-5 = 10;
+ 2 + 2 + 2 + 2 = 10;
6c/^-2 = 12./^;
6^ + 6^=12./^;
13 + 13 = 13-2;
9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9.6;
2
„
„
x-\- x-\-
x
= iv
3.
Umkehrung:
2.
= + +
+ 11 + + 11;
«•2 = +
8 ^. = 8 ^^ + 8 y^+ 8
+8 +
1-3 = + +
&.6 = + + + + +
7-3
7
7
7;
11.4=11
11
ö!
a;
1
1
&
?>
5
3.
Erklärungen.
I.
Die
1., 2,,
./^
c/^
8.J^.;
1'
ö
J
Ä
^>.
Zahl eines Ausdrucks bezeichnet
3
mit den darüber gesetzten Zahlen
3 ...
1, 2,
.,
man
die „Indices" (Zei-
ger, Ordnungszahlen, Stellenzahlen) genannt werden.
^_^y + 7 + 7 = 7-4;
Beispiele:
12
+ « + « + «+« = «-5;
(8 + 4) + (8 + 4) + (8 + 4) = (8 + 4)-3.
«
3
II. Sind also die gleichen Summanden mit ihren Indices bezeichnet, so bildet man das Produkt, indem man als 1. Faktor den
Summand, als 2. Faktor den letzten Index setzt. Alsdann ist also
(s. I.Satz) der 1. Faktor Multiplicand , der 2. Factor Multiplicator.
Beispiele:
12
8
19
3
+ 8 + 8+
+8 = 8-19.
Die Punkte zeigen hier an, dafs die Zahlen
zusetzen sind.
100
3
12
12
+
(ab)
{(Tb)
+ « + a+
+
+
12
T+r+T+
(cTb)
c
+ (ab) = («&)-
Umgekehrt
ist:
12
+T=l-a.
3
=9+9+9+
12
«& = a + ö+
9.4
12
i.w=T+T+
c;
a
3
III.
2, 3 bis 19 fort-
+a=a-100;
ö
3
1,
4
9;
6
+a;
n
+T.
•
Multiplicationssätze.
§. 11.
19
IV. AVerden l'rocUiktc (durch iNIultiplication entstandene Ausdrücke) addiert oder subtrahiert, allgemein:
werden Ausdrücke, die durch höhere Rechnungsarten entstanden sind, durch niedere Rechnungs-
arten verbunden,
man
so schliefst
jene nicht ein.
Um
8-3 und 4 zu addieren, schreibt man nicht (8'3)-|-4,
sondern nur 8 3 -j- 4. Umgekehrt bedeutet 5 -|- 6 7 so viel als
42
5
5
(G 7)
47, aber nicht 11-7. Soll jedoch ein mehrteiliger Ausdruck mit irgend einer Zahl multipliciert werden, so
Um z. B. 8 mit 3 -|- 4 zu multiplicieren,
ist jeuer einzuschliefsen.
2 mulhat man 8 (3
4) oder 8 (3
4) zu schreiben. 5 mit 9
tipliciert
5 (9
Soll dagegen 5 9 um 2 vermindert werden,
2).
2 zu schreiben.
2 nur 5-9
so ist statt (5 9)
•
•
+
= + =
•
•
=
•
7
-}-
+
—
—
5 mit 6
—
+
—
—
•
multipliciert
1
=
= +
(7 -{- 5)
(7
Dagegen würde
— 3-2
5-f 7-9
Ist
um
ist
5
-|-
•
(6
—
oder
1)
(6—1),
d.i. 12-5.
bedeuten: 7-j-(5'6)
1
= 7-1-30 —
1.
bedeutet 5 -|-(7 -9)
dagegen 5
mehren, so
5-6—
7-1-
5)
—
(3 .2)
=5
-|-
—
63
1
—
6.
—
das Produkt aus 7, 9
3 und 2 zu ver7 '(9
3) «2 zu setzen mit der Bedeutung:
7. 6.2
5-1-84.
5
—
=
+
Multiplicationssätze.
§.11.
der Multiplicator die Anzahl der Summanden an1
und §. 1, 15 u. 16), so kann er nur eine unbenannte Zahl sein. Es kann also nicht 8-/«^.3c^ heifsen, sondern
nur 8.//- 3 (entstanden aus %Ji^'^Ji^%Jl). Die Anzahl der
Summanden kann nicht "^JL, sondern nur 3 sein.
2.
Der Entstehung der Multiphcation aus der Addition zu1-1-1-1-1
1.4.
1
folge ist:
1.
giebt
Da
(s. §.
10,
+ =
Die
Summe
von 4 Einheiten giebt aber auch (nach
die Zahl 4, oder es
1
Aus
ist
Allgemein:
O.
^
J1.S
ist:
§.
— 13)
3, 2):
=
1-1 =
1-8 =
allgemein: l-a=a.
12
T +T+~1 +T= 4 kann mithin
8,
4.
1;
3
Anstatt
1
1
1-4
so
1
+ + 1-1-1=4.
beiden Gleichungen folgt (nach
Eben
§. 1,
ist:
1
12
3
1
1
12
4
-
4
+ + + 1=^4
1
a
3
Y+1+1+
(Vergl. das letzte Beispiel in Satz
gesetzt werden.
+T=a.
3, II.)
auch
§-11.
20
Umgekehlt
Multiplicationssätze.
4=1-4;
ist:
12
a^l'ü.
allgemein:
a
3
a=T+T+T+
+T.
Die Anordnung zweier Faktoren
3.
3 -4
=
Beweis.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ist
beliebig.
a-b = b-a.
4 'S, allgemein:
Aber auch:
3 Reihen, jede mit 4 Einheiten =3-4.
4 (senkrechte) Reihen, jede mit 3 Einheiten =- 4 3. Folglich:
4 -3.
3- 4
.
=
Allgemeiner Beweis.
12
12
1-|-1-|-1H12
+ + + 1+
12
6
3
a'b
= a-\- a-\- a-\-
-\-
a
+
1
+1
1
(jenes erste ä)
(jenes zweite ä)
+ T+T+
+T
(jenes dritte a)
+ 1+1+1 +
+1
(jenes ¥^
i'
\
i.
a
3
a-h=
10, 3); d.
a
3
1
(s. §.
a
3
_(-
a).
Addiert man zuerst die mit i bezeichneten, senkrecht unter
einander stehenden Einheiten, deren Anzahl =h, dann die mit
£. bezeichneten
Einheiten, deren Anzahl =h, u. s. w., so ergiebt sich:
12
+ +
12
+
1
1
1
+ + +
1
6
mit
i
bezeichneten Einheiten)
+1
(die mit
5
bezeichneten Einheiten)
+1
(die mit
t
bezeichneten Einheiten).
1
(die
b
a-h
+ + +
1
Die
1
erste Zeile des
vorstehenden Ausdrucks giebt (nach Satz 2)
1
die Zahl
2
b oder
b,
h,
also das erste b oder b, die
2.
Zeile
=&,
a
die letzte Zeile das a}^ b oder b; daher:
also das zweite
§.11.
d.i.
nach
§.
Wiiltiplicationssatze.
21
= ha.
x-'d = Z'X =
=2 +
2=2
(a +
12
+"8
ab
10,3,111.11:
Beispiele:
^X',
J)
.
.
(a
(ö
-f- ö)
6).
3
=
=
4-^ nicht blofs
Anmerkung. Da S.3 3.8, so ist "s
8 3,
sondern auch =3.8. Mau kann also den letzten Index oder Multiplicator,
den wir bisher nur als 2. Faktor annahmen (s. §. 10,3,11), nun auch als
I.Faktor setzen. Es ist mithin:
12
.
n
+«
a-{- a-\-
UiDgekehrt: 5-4
ebensowohl n a
12
4
3
4-|-4_|-4
auch:
+ 4-|-4.
3
(5
als
5
+4)- = 5 -3 + 4{a-\-h)-c = ac-\-b
4.
n.
4
+ 5 + 5,
5-1-5
ebensowohl
12
ist
a
als
3
3.
Allgemein:
c.
Um
man
einen mehrteihgen Ausdruck zu multiplicieren, hat
jeden Teil zu multiplicieren.
12
Beweis.
(5
3
+ 4) -3 = (5 + 4) + (5 + 4) + (5 + 4)
112
2
3
3
12
3^
=5+4+5+4+5+4
12
3
=1 +^ +^ +1 +li + 4,
(5
+ 4)- 3 = 5- 3 + 4-3.
oder:
12
Allgemeiner Beweis.
(a -f
?>)
.
c
c
= + + + -h
+(« +
112
= a+I + a+^+
+a +
12
= a + a+
+a+^+'&-H
^a
i)
(«
(«
ft)
2
e
&)
c
ö
c
c
Nach dem
3.
-\-
3(5
+&
c.
—
+ 4)^=3-5 + 3-4;
=-c a -{- c h.
&(c+(/)? Da von a das ganze Produkt
c {a
Beispiel.
c
Satze können vorstehende Ausdrücke auch ge-
schrieben werden:
«
b
2
1
-\-
b)
•
b{c-\-cl) subtrahiert werden soll, so hat
•
man
sich zu denken:
a—\b{c-^ d)'\.
Dies aber
ist
nach vorstehendem Satze:
a
bc
a-'[bc-\-b(l\
=
= —
— bd
(s. §.
9, 16).
:
:
§11.
22
5.
(9-5)-3
allgemein
= 9-3- 5-3 oder 3 -(9 — = 3 -9 — 3
— h)'C = ac — hc, oder
Satz)
c{a — b)^=ca — cb.
5)
(s. 3.
auch für substraktive Zahlen.
also
12
gilt
Beweis.
5;
•
(a
Satz 4
^a
MultipHcationssätze.
c
— b)c = {a — b)-{-(a — b)-i-
112
+(a — &)
2
c
c
= a — a -'b-\a—
123
cl23
—
=a a a
-{-n — — —b
12
= + «+
+«) - ib+'b-{+^)
= ac —
zum
Satze!)
Beispiel. (Vergl. das
— c)d = a — — = a — d — cd]
a—
= a — bd + cd
9,18).
7-3 + 5-3 = + 5)-3 oder 7.3 + 5.3 = 3.(7 +
6.
Allgemein:
ac-\-b = {a-\-b)c, oder
ac^b = c{a-{-b).
b -{-
b
-\-
c
-\-
b
b
-\-
-{-
c
b
2
1
c
(s.§.
(«
b
9,17)
c.
Beispiel
4.
c)d']
[{b
(&
[b
(s. §.
(7
c
(s.
3.
5).
Satz):
c
Summe
von Produkten gegeben, von welchen jedes
denselben Faktor (3 in den ersten, c in den letzten Gleichungen)
enthält, so kann man diesen „gemeinsamen Faktor" aus jedem
5 oder
Produkt entfernen, den zurückbleibenden Ausdruck (7
a-\-b) in Klammer setzen und diese Klammer wieder mit jenem
Faktor multiplicieren. Man sagt alsdann: 3 oder c ist ausgeIst
eine
+
hoben
(herausgestellt, abgesondert, herausgeschrieben, ausgeschieden, ausgeklammert) worden.
Beweis.
ac-\-b
c
= {ac)
-\-{b c)
12
c
2
1
=« +a +
+ « +^ +^ +
+
112
= « + + a+lJ+
+« + ^
= + + + +
+(« +
= {a-\-h)c oder = +
2
12
c
c
&
c
J
(a
&)
(«
c
&)
^^)
c (a
b).
Anmerkung. Weiter unten soll gezeigt werden, warum {a-\-h)c
nicht als Umkelirung von ac-\-hc aufgefafst werden darf.
Beispiele.
9 -13
+ 8. 13 + 3- 13 = + 8 + -13 = 20. 13;
+ 38. 16 = 38. (47 + 37 + 16) = 38 -100;
3)
(9
38. 47 4-38- 37
8
.
.r
+ 5 = (8 + 5)
.a'
X -\-a'X-\-b x^
•
.
a:=
13
..T=
1
3
a:;
§.11.
Aus dem
ersten
a; ist
—
bc
ac
Beweis.
7.
iac)
zunächst (nach Satz 2) ein Produkt herzustellen:
= — b)c,
12
12
— bc = c-{a —
c
— ibc)==(a-\-7i-i-
«)
c
2
1
^^
*
c
2
12
-\-a—
b
+7)
(7;
c
112
= —
b).
2
1
+ — +^ +
—
+« — —
^=a-\-a-\b
ac
oder
{a
a
23
Multiplicationssätze.
c
b
c
+« — ö
+-
c
= («-<!') + («-&)+
H-Ctt-^')
= — b)c oder —
Beispiele.
aa — ab — ac = a{a — —
—A)x=-'d x\
x — \x =
ac-\-cd — = ac-\-cd — \-c^^{a-\-d —
c (a
(a
b).
b
1
c);
{l
c
Um
l)-c.
das Produkt 6 5 mit 4 zu multiplicieren, also (6 • 5) 4
zu berechnen, könnte man zunächst das Produkt 6-5 durch eine
Zahl ausdrücken, =30, und dann 30-4
120 rechnen. Will man
jedoch, wie es oft geschieht, die ursprüngliche Produktform beibehalten, so darf man
bei der Multiplication eines Produkts nur einen
8.
•
•
=
der Faktoren multiplicieren.
—
—
Um
das Produkt (6 5)
daher
s. das vorstehende Beisp.
mit 4 zu multiplicieren, müfste man entweder den 1. Faktor 6 mit
4 multiplicieren und 5 unverändert lassen, oder man liefse 6 unGeschrieben:
verändert und multiplicierte den 2. Faktor 5 mit 4.
24 -5, oder auch
((3.5). 4
(6- 4) -5
=
=6
•
=
=
6- 20
(übereinstimmend mit dem schon oben gefundenen Produkt 120).
Allgemein: («•&) c=^(a •<?)•/; oder auch =a-{b'C).
Die Multiplication eines Produktes ist mithin nicht mit der
Multiplication eines mehrteiligen Ausdrucks zu verwechseln, bei
welcher (s. 4. Satz) jeder Teil zu multiplicieren ist:
(6
(6
.
5)
•
4
5)
•
4
12
-f-
Beweis.
= 6^5 +
-(5 -4)
=6
•
4
-f-
5
•
4.
4
3
6"^5
+
6^5
+
6^5
Diese Summe aber
entweder:
ist
nach dem
^
= + 6 6 4- £ -5 =
= 6-(5 + 5 + 5 + = 6-(5-4).
2
1
1
2
(6 -4) -5, oder:
6)
-4-
(6
.3
4
5)
6.
Satze
§• II-
24
Beispiele:
nicht aber
[3^
= 30
-1^
•
niit
=30'2
5 mit (6-2) multipliciert
oder
=6'
10,
10.
•
2 multipliciert giebt entweder:
7 -4^, oder:
(3^. 2) -4^
3|-(4^-2)
3^-9, nicht aber
=
=
=7-9].
= (6-4)-5 = 6-(5-4). Diese
sind nach dem
Satze:
=
4 =
5=6
Ausdrücke
ferner nach demselben
Satze:
= 4) =
=4
6
=
=4
=
Es
I.Zusatz.
Ausdrücke aber
(6-5).4
also
ist
3.
(5
Diese sechs
Mnltiplicationssätze.
6)
.
(4
.
6)
.
•
(4
•
5)
•
sind
.
(6
.
5)
.
(5
.
6)
3.
6 . (6
5 (6 4)
(5
(4
•
.
•
Vorstehende 12 Ausdrücke sind also
•
4)
5)
•
.
6.
untereinander gleich.
alle
Soll 6« 5-4 berechnet werden, so erliielte man,
zuerst 2 beliebige Faktoren multiplicierte, das erhaltene
Produkt aber alsdann mit dem 3. Faktor, entweder (6 5) 4 oder
6 '(5 -4) U.S.W. Da aber alle diese Ausdrücke dem 1. Zus. zufolge
einander gleich sind, so kann kein Fehler entstehen, wenn man
Allgemein:
statt (6 '5) -4 oder 6 -(5 -4) einfach 6'5-4 schreibt.
Zusatz.
2.
wenn man
•
=
=
(ab) c
ab c; a{b c)
ab c. Oder:
Die mehrere Faktoren eines Produkts einschliefsende Parenthese kann beliebig weggelassen werden.
(6-4). 5
Zusatz. Damit geht (6-5) •4
5.(6 4) u. s. w.
3.
(s.
•
den
1
=
=
=
•
6'4'5=5'6-4 u. s. w.;
6-5'4
Die Anordnung von mehr als zwei Faktoren
.
Zus.) über in
liebig.
=
=
4.
a{b c)
{ab)
Zusatz. Umgekehrt: ab c
Mehrere Faktoren eines Produkts können
5.
Zusatz.
oder:
ist be-
oder:
beliebig in Pa-
c;
renthese gestellt werden.
.
•
=
Nun
auch:
ist
=
Zus.) = 6 20
= 120-7 = 840, oder:
2.3-4-5.7 = 2-5-7-3.4
Zus.) =
= 10-21- l=(10-21)-4 = 210-4 = 840.
2 3 4 5 7
•
•
(2
•
3)
•
(4
.
5)
•
7
4.
(s.
•
7
(6
•
20) 7
•
(2- 5). (7 -3) -4
(s. 3.
Um
also ein Produkt zu berechnen,
beliebige Faktoren in eine Zahl vereinigen.
=
•
kann man immer
je 2
6 (5 4) (s. 1. u. 2. Zus.).
Zusatz. Es ist (6 • 5) 4
Anstatt also irgend eine Zahl (hier 6) mit 5 und das Produkt
(30) alsdann mit 4 zu multiplicleren, kann man jene Zahl (6) sogleich mit dem Produkt aus 5 und 4, d. i. mit 20 multiplicieren.
6.
•
•
•
Allgemein:
Anstatt mit mehreren Zahlen der Reihe nach zu multikann man sogleich mit ihrem Produkt multi-
plicieren,
plicieren.
7.
Zusatz.
Ferner
ist
•
(5
•
4)
=
Anstatt also eine Zahl (6) mit 20,
(6
•
5)
d.i.
•
4
(s.
1.
u. 2. Zus.).
mit (5-4), zu multi-
2
:
§.11.
Multiplicatinns.'^ätze.
25
plicieren, kann man sie zuerst mit 5 und das erluiltene Produkt
alsdann mit 4 multiplicieren. Allgemein:
Anstatt mit einer Zahl zu multiplicieren, kann man dieselbe in Faktoren zerlegen und mit diesen einzeln der Reihe
nach multiplicieren.
5137.12?
Beispiel:
5137 »3
15411-4
= 61644
8. Zusatz. 2.//-3c^-4-5 ist unmöglich, weil (2^/- 3.//)- 4 -5
unmöglich ist (s. I.Satz). Oder:
Nur ein Faktor eines Produkts kann eine benannte Zahl
sein.
Zusatz.
9.
Vergleicht
man
ah
a-(b
So
viel
c)
= {ab) mit
= {ab)- so
ergiebt sich
c,
mal so grofs ein Faktor, so
mal so grofs das
viel
Produkt.
9.
Stelle
Setzt man in m'{c -\- d)^7nc -\-md
von m: u-\-h, so entsteht:
(a -f i) (c
-H
</)
= +
=a
(a
c
h)
-\-
6-
b c
+ («
-\-
-f- h)
ad
4.
(s.
d, d.
i.
Satz)
(4.
an die
Satz)
-{- h d.
Um
also einen mehrteiligen Ausdruck mit einem mehrteiligen
zu multiplicieren, hat man jeden Teil des einen mit jedem Teile
des andern zu multiplicieren.
Beispiel:
= (30 + (10 + = 30 10 4- 4 10 + 30 2 +
= 300 + 40 + 60 + 8 = 408.
I.Zusatz. 7n{c — d) = mc — 7nd geht
7n=a-\-b über
—d) = + b)c — {a-\-b)d
-h
^^ a
\{a
= ac-\-b — lad-\-bd'\
= ac-{-b — ad —
= a — über
Zusatz.
d) =
\-7nd geht mit
—
d) =
{a —
d
= ac — bc-\- ad —
— d)^ mc — geht mit = a — über
Zu
— b){c — d) = — b)c — — d
= ac — — Ua-~b)d'\
= ac — bc-'[ad — d\
34
.
1
2
2)
4)
•
•
4
•
.
va\i
{a
{a
c -\- b c --
b) (c
-{-
b)
•
in
d']
c
c
2.
7ti
(«
{c -]-
771
77i
{a
b) \c -\-
b d.
c
b) c -\-
b
in
b
in
b)
b d.
3.
s
a t z.
771
77id
{c
(a
(a
;«
{a
b)
b c
^=ac
10.
—
b
b c
— ad-\-b
d.
Gleiches mit Gleichem multipliciert, giebt Gleiches.
Ist
so
ist
auch
A = B (Voraussetzung)
AC=^DC (Behauptung),
;
Division.
§. 12.
26
=B
r_^p\
A
oder auch o^eschrieben
C=B-C
A-
A-C=A-C
Beweis.
Stelle des
A
(Behauptung).
I.Axiom) geht, wenn man an die
das ihm gleiche B (s. Voraussetzung)
(s.
der rechten Seite
AC=BC'.
über in:
setzt,
(Voraussetzung)
Zusatz.
A^B
Ist
C=I)
A-C=B-D.
und
9, Zus.).
Umkehrung der Multiplication (also
Sie sucht aus dem Produkt und einem
desselben den andern Faktor.
[Genetische
Die Division
1.
§. 7,
Division.
12.
§.
(Vergl.
ist
die
die 2. indirekte Speeies).
der
beiden Faktoren
Definition!]
= 24
In Bezug auf 8-3
1.
toren,
entweder
z.
würde
also die Division
dem Produkt 24 und einem
aus
der beiden FakGeschrieben:
B. 3, den andern Faktor 8 suchen.
Gegeben Gesucht
=3
24:8
•-Ö
c
Gelesen: „24 dividiert durch 8"
a>
oder: „der Quotient aus 24 und 8".
Q Q
<y
Quotient,
oder auch geschrieben;
24
8
=
Gelesen: „24 Achtel gleich 3",
3
oder: „24 durch 8",
Bruch, o
Quot. (y
oder: „Quotient aus 24
und
8".
IL oder es würde die Division aus dem Produkt 8-3 und
einem der beiden Faktoren 8(3) den andern Faktor 3(8) suchen:
(8
.
3)
:
8
=
oder
3
(8
•
3)
:
3
=8
u
'n
'>
'>
Q
Q
CD
Zusatz. Ist mithin die Multiplicationsgleichimg richtig, so
mufs das Produkt durch den einen Faktor dividiert, den andern
8 und
Faktor geben. Ist z.B. 8 3
24 richtig, so mufs 24:3
24:8
3 sein.
=
•
=
=
§.
Division.
12.
27
Das Produkt (24, siehe 1,1) wird also zum Dividend, der ge2.
gebene Faktor (8) zum üivisor, der gesuchte Faktor (3) zum Quotient.
Kealdefinitionen:
3.
Dividieren
heifst eine Zahl (3) suchen, die mit dem Divisor (8) multipliciert, den Dividend (24) giebt.
Quotient ist die Zahl, -welche mit dem Divisor multipliciert,
den Dividend giebt.
24 :8 der formelle oder theoretische Quotient, 3 der materielle
oder praktische Quotient.
Bruch (gebrochene Zahl) ist der als eine Zahl gedachte und
mit dem Bruchstrich geschriebene Quotient zweier Zahlen.
[Also
7
nicht „Teil eines Ganzen"],
Mithin bedeutet
-„
so viel als (7:9),
Die beiden Zahlen (die Glieder) des Bruches nennt
e r (7 im vorstehenden Beispiel) und Nenner (9).
Statt derselben bedient man sich jedoch auch (namentlich bei Buchstabenbrüchen) der allgemeinern Ausdrücke: Dividend und Divisor.
vergl.
6, 2, 11.
§.
man gewöhnlich Z ä h
In
—
(lies
1
„a durch &")
ist
a der Dividend
oder Zähler,
h der
Divisor oder Nenner.
Anmerkung-. Für die Division existieren also 2 Zeichen: das Colon
und der Bruchstrich. Beide können zwar als vollkommen identisch benutzt
werden, mau denkt sich jedoch, wie schon bemerkt, den Bruch stets als
eine einzige Zahl, so dafs
24
--
für (24
:
8) steht.
8
Mit Rücksicht auf§.
4.
— (6:
12:3 +
10
2)
1
= 10 — 3 =
ist
7.
so viel als
10, 3,
IV
10
ist
— 6:2
so
viel
als
Also auch 10 — 6:2=10 — ^.
12
oder -— + = 4 + 1=5.
(12:3) +
o
1
1
Soll jedoch ein mehrteiliger Ausdruck dividiert werden, oder soll
irgend eine Zahl durch einen mehrteiligen Ausdruck dividiert werden, so ist der mehrteilige Ausdruck entweder in Parenthese zu
setzen, oder er ist durch den Bruchstrich zu vereinigen.
Soll
z.
B. 10
— 6 durch 2
dividiert
werden so
,
ist
(
— 6)
1
:
2 oder
zu schreiben.
12 durch 3
+
1
dividiert
=12: (3
12
+
1)
3
+ 10:2 — 0:3 bedeutet +(10 2) — (6 3)
— \.
= 1+5—2 = 4, nicht aber "-^—
o
o
1
1
:
oder
:
oder
1
+
+ ^—4
1
5.
Da die Division aus dem Produkt und einem beliebigen
Faktor den andern Faktor sucht, so ergeben sich aus %Ji.''^
1\JL
=
l'ülo;ende
Divisionen:
28
Division.
§• 12.
=
24./^: 3
8^/^.
Ist also der Divisor unbenannt, so ist
I.
der Quotient gleichartig mit dem Dividend und drückt einen Teil
8 Jl. ist der „dritte Teil" von 24 Jl.
aus.
'6.
1\Ji\%J'L
Ist mithin der Divisor gleichartig mit
II.
dem Dividend, so ist der Quotient unbenannt und drückt ein
Enthaltensein oder Messen aus. 8 Jl. ist in 24 M. 3mal ent-
=
halten.
Der Quotient aus zwei
nis ^
genannt.
gleichartigen Gröfsen wird Verhält12 Meter
1\Ji.\^Ji., ^^ ,
sind Verhältnisse.
-.
'18 Meter
Die un benannte Zahl
24
(3
oder
-^
.
im
vorletzten Beispiel),
o
welche dem Verhältnis {^\M.\%Jt^ gleich ist, heifst Exponent
des Verhältnisses.
Das Messen untersucht, wie oft der Divisor (8 Jl), der dann
auch Mafs heifst, im Dividend (24 JL, die zu messende Gröfse)
enthalten ist. Die als Resultat erhaltene unbenannte Zahl (3) heifst
dann auch Mafs zahl.
Sind Dividend und Divisor unbenannt (z. B. 24: 8
so
^>)>
kann man sowohl Teil als Enthaltensein annehmen.
=
6.
\lJl.—
\Jt.
— \JL — \JL =
Von
^.
12
Jl
läfst sich also
\ Jl. 3mal abziehen. Geschrieben: \lJi\\Ji^Z. Die Division
könnte mithin auch als eine „abgekürzte Subtraktion mit gleichen
Subtrahenden" angesehen werden.
Diese Erklärung würde aber
nur dem Messen oder Enthaltensein genügen.
7.
Um
2 Zahlen zu vergleichen,
hat
man
bei der Addition
und Subtraktion stets den Comparativ (s. §. 8, 4), bei der Multiplication und Di\ision stets „mal" mit dem Positiv anzuwenden.
Es mufs daher heifsen: „24 ist 3mal so grofs als 8" (nicht „24
3nial gröfser als 8");
y,A hat 5mal
mal so grofs ein Faktor, so viel mal so
Mond ist 50mal so klein als die Erde"
„B hat 5mal so wenig als .4"; „So viel
so viel mal so klein das Produkt".
Die Division beantwortet auch die
ist
so viel als 5"; „So viel
grofs das Produkt"; „Der
[nicht: „50mal kleiner"];
mal so klein
ein Faktor,
Frage, wie viel mal so
Beispiel: Wie
grofs oder so klein eine Zahl ist als eine andere.
viel mal so grofs ist 30 als 5?
Antwort: 30:5^=^6mal so grofs.
7mal so klein.
Wie viel mal so klein ist 3 als 21? Antwort: 21 :3
8 und noch einmal 8 ist 16; daher: 16 ist noch einmal so
=
als 8.
„Noch einmal" ist demnach gleichbedeutend mit
„2mal", „noch 2mal" gleichbedeutend mit „3mal". In dieser Zusammenstellung bedeutet mithin „noch" so viel als „!-[-". Beispiele: Welche Zahl ist noch Smal so grofs als 10? Antwort:
grofs
=
90.
10-(l-l-8)=10-9
Welche Zahl ist noch 5mal
60:(1 -|-5)
so klein als 60?
= 60:6 =
10.
Antwort:
,
:
§.
Divisionssätze.
13.
§.
Die Divisionsgleichun«.^
1.
Multii)licationsgleicliung riclitig
folglich
ist,
wenn
ist
ist,
wenn
iichti<>',
wenn
die zugehörige
also
X der gegebene Faktor ^- dem l'rodukt,
X der gesuchte Faktor = dem Produkt
der gesuchte Faktor
der gegebene Faktor
oder
29
Divibionssätzc.
13.
X Divisor = Dividend,
X Quotient = Dividend
Quotient
Divisor
oder
(Vergl.
ist.
§. 9, 1.)
=
X
25 ist richtig, weil Quot.
Beispiel. 75:3
25-3
75 und dieses Resultat dem Dividend gleich
=
Divisor
ist.
=
(Probe
für die Ivichtlgkeit der Division.)
IJei den Beweisen für die Divisionssätze mag
Folge „Dividend, Divisor, Quotient" mit „Dd., Dsr., Q."
abgekürzt werden.
Anmerkung.
in der
= 3 und
oder
3=
= 3 und —^o— = Allgemein:
o
auch:
iab):a = und {ab).b =
ab
ab
^
= -—- = Oder:
a
2.
(8
•
3)
:
8
(8
3)
•
8,
:
8.
a, d.
b
i.
,
0,
«.
b
Ein aus 2 Faktoren bestehendes Produkt durch einen der
Faktoren dividiert, giebt den andern Faktor.
Diese Sätze sind schon unmittelbar aus der genetischen Definition der Division abgeleitet
auch nach vorstehendem
^^^^
1.
worden
(a-b):a =
in
Dd.
12, 1,11),
(§.
53
Q
Denn man
unterscheiden.
der Satz richtig.
= —g-, 8 —^;
= aba a = ab
b
können aber
h
Q.
Da nun Dsr. X Q,-=a-b=Dd., so ist
8*3
3. Umkehrung:
„
„
^
= 8-3
3
sie
bewiesen werden.
Satze
,
,
„
allgemem:
.
b
Eine Zahl bleibt unverändert, wenn
liebigen Zahl
multipliciert
man
sie
mit einer be-
und dann das Produkt durch
diese Zahl wieder dividiert.
dieses Satzes verwandelt
einen Bruch mit bestunmteni Nenner.
Mittelst
verwandeln
7
•
5
man
Um
35
ganze Zahl in
B. 7 in Fünftel zu
eine
z.
§
30
=
Uivisionssätze.
l"^-
=
=
4.
Aus 8-3
24 folgt sowohl 24:8
8.
3, als auch 24 3
Mithin kann aus 24 8
3 auch 24 3
8 gebildet werden. Oder:
=
:
INIan
1.
=
:
:
kann den Quotient mit dem Divisor vertauschen.
Der Dividend durch den Quotient
II.
dividiert,
giebt
den
Divisor.
Aus a:b==-r
folgt daher
a:-r
^
b
=
B. 5
z.
l>',
'
b
:
-=-
=
7.
7
Divisionsgleichung richtig, so mufs auch
Quot.
Dividend
Dsr.
und Dsr.
Dividend sein.
Quot.
5.
Ist die
=
:
Faktor
=
mufs auch 3-8
24 sein. Die
das Produkt durch den einen
den andern Faktor giebt. (Probe für die Rich-
daher 24 8
Ist
Multiplieation
=
=
X
X
3 richtig, so
wenn
also richtig,
ist
dividiert,
tigkeit der Multiplieation.)
8:1=8
6,
oder
—8 =
Eine Zahl durch
Beweis.
Q P
X
Da nun
Q.
Beispiele.
+—a =
5
12
1
8:1=8
In
Dsr.
8; allgemein:
dividiert, giebt jene
=8- 1 =8 = Dd.,
— —=
Da
Oder:
«.
Zahl selbst wieder.
man:
unterscheide
a-\-b
j
?
—a =
so
ist
der Satz richtig.
,
,
a-\-b.
der Bruchstrich die Stelle der Parenthese ver-
1
tritt
ist
und
hier demselben ein Minuszeichen vorausgeht,
des wegfallenden Bruchstrichs unbedingt eine Pasetzen. Folglich
a.
a)=12 5 «
(5
12, 3)
(s. §.
auch
renthese zu
so
statt
Dagegen kann
=12 —
12 H
j
—
^8
— — = 7—
+
12-\-b-]-a^ll-\-a
sogleich in
ver-
wandelt werden (siehe §.9, 19, Anmerk.).
Umkehrung:
7,
a
1
Mittelst
fachste
dieses
Weise
Satzes
in
1
verwandelt
man
eine
ganze Zahl auf
Q
ß
8:8=1,
—o =1;
allgemein:
Q.
X
Dsr.
=
ö:«=1,
—=
1.
Oder:
Gl
Eine Zahl durch sich selbst
Beweis.
1
.8
dividiert, giebt
1.
= 8 = Dd.!
Beispiele.
a
— b-\-c
a~b-\-c
ein-
Bruchform.
83
"~
'
83
l49"*T49"~~
'
x-\-a x-{-a
b' Ic^^
x
—
~
'
:
:
Divisionssätze.
§. 13.
Umkehrung:
9.
T
verwandelt man 1 in einen Bruch mit geSoll z. B. i in Fünftel verwandelt werden, so
dieses Satzes
gebenem Nenner.
ist
31
a
8
"8'
Mittelst
.
\=—5
zu
setzen.
5
10.
Da
die
Gleichung 3:8
3:8
= (3:8)
oder (siehe
§.
12, 3)
=4
unbedini;t (apodiktisch) richtig ist, so mufs (vergl.
und §. 9, 5. Satz)
Dsr.
Quot.
Dd.
auch den
=
und Quot. X Dsr. = Dd.
8.|- = 3und -|--8 =
&•-- = « oder b-ia:b) =
allgemein
— = a oder {a:b)-b =
5.
Satz
X
sein, d.
i.
3,
'b
a,
a.
Oder
Ein Bruch mit seinem Nenner multipliciert, giebt
den Zähler.
Beispiele. _
2
/•—
=2
.
einem spätem Satze
7
.
.,
,
—2 =
•
a
—b
X'
X
14
—^r-
— ^^|-
•
(
a
1
•
i
,
nicht etwa nach
=2);
(s.§.10,4)
+ = —
^)
und
^a — b\
= —a •«+ —a •«
+ —)•«
f—
a J
\ a
1
,
,,
(also unmittelbar
(
4 4- a)
==
=3 + 5=8;
1
—4—ö=6—ö
1. Anmerkung.
Tritt nach einem Minuszeichen, wie im vorstehenden Beispiele, an die Stelle eines Bruches oder eines einen Bruch enthaltenden Ausdrucks der mehrteilige Zähler allein, so ist derselbe (übereinstimmend mit §.13,6; §. 6, 2 1I-, §. 9, lOAnm.) in Parenthese zu setzen.
2. Anmerkung.
Es ist offenbar unnötig, die Divisionssätze mit derselben Ausführlichkeit wie die Subtraktionssätze zu behandeln. Hier mag
aber doch gezeigt werden
dafs statt (« .h):h
a u. s. w. einfach a .h:h
gesetzt werden kann. Berechnet man nämlich a .b :b oder a :b .h oder
b.a:b oder bib.a in beliebiger Ordnung, so könnte dies geschehen:
1. als (a .b):b
a,
=
,
=
=
=
als la:b).b=a,
3. als b .(a:b)
a,
4. als rt (b
b)
rt
1
5. als {b :b) (1=^ l a
2.
.
:
.
.
.
= a,
=
a.
32
Da
Divisionssätze.
l-^-
§•
aber immer dasselbe Resultat, nämlich o, erscheint, so kaun kein Fehlei*
wenn die Parenthese weggelassen und nur geschrieben wird:
entstehen,
1a .h:b = a,
= a,
= a,
a=
a:b.b
b.a:b
b
Anmerkung. Der
:
b
a.
.
indirekten Species aus der apodiktischen Gleichung sich ergebende 8atz ist der wichtigste der betreffenden
3.
in jeder
Species, für die Subtraktion a
— b -\-b=^a,
für die Division b .-r-
und
derselbe in der Theorie (bei Beweisen)
in
der Praxis
am
= a,
da
häufigsten
benutzt wird.
•
11.
Umkehrung:
= 8-^,
3
Oder:
allgemein: a=^h--r-.
Eine gegebene Zahl kann gleich einem Produkt aus einer
andern (zweiten) Zahl und einem Quotient gesetzt werden,
wenn man die gegebene Zahl zum Dividend und die 2. Zahl
zum Divisor dieses Quotienten macht.
Beispiel.
^
.5
5=3.3.
Aufgabe. Mit
man 24 erhält?
Auflösung:
Mithin
ist
24
=6
•
6 zu multiplicieren,
ist
'^-^=6-
damit
4.
6
6 mit 4 zu multiplicieren.
Zusatz.
8 -5
um,
welcher Zahl
Kehrt
man auch
35
•-—= 8 -35,
so erhält
man:
_
ö
— =^a-c
c
oder allgemein: a-h
•
35
=
—^,
D
a'C = {ab)'j-, oder:
•
_^
,.
35
(8
^.
•
5)
•
Q
Ein Produkt
tor
mit
einer
wenn man den einen FakZahl multipliciert, den andern
bleibt unverändert,
beliebigen
durch dieselbe Zahl
dividiert.
Beispiel. 8-35? Der erste Faktor mit 5 multipliciert, der
zweite durch 5 dividiert =40-7
280.
=
12.
7
+5
Divisionssätze.
§. Vi.
Man
Beweis.
unterscheide in
(7
+ 5): 3 = ^+-|
Dd.
Da
Q.
so
ist
33
i-^
Dsr.
nun
= (^ + |-).3 = |-.3 + |-.3 = + 5 = Dd.,
XDsr.
7
der Satz richtig.
Zusatz.
Der Satz
gilt
auch für eine Differenz:
7—5
o
— —=^
a
—
b
c
„
5
7
o^,
a
b
c
c
.
allgemein:
Der Beweis ist derselbe wie vorher.
Anmerkung. Um in der Summe der Produkte ab-\-ae
den gemeinsamen Faktor a auszuheben, läfst man, wie in §.11,6 gezeigt worden
ist, zunächst aus allen Produkten diesen Faktor weg.
Läfst man aber in
ab -\- a c das n weg, so hat man a b -{- ac durch a dividiert. Es sollte also
nicht „weglassen", sondern „dividieren" heifsen, und das Ausheben würde
demnach nicht in die Multiplication, sondern in die Division mit folgender
Ableitung gehören. Nach dem 11. Satze ist ab-\-ac= dem gemeinsamen
Faktor a multipliciert mit einem Quotient, dessen Dividend jener gegebene
Ausdruck ab-^ac und dessen Divisor die 2. Zahl a ist. Folglich:
,
,
ab-j- a
c
=a
ab4- ac
.
(ab
,
= a (& +
13.
ac\
a
a
1
/
c).
Umkehrung:
7 + 5
^ + = —ö— und — — -^= —^—
a
b
a-{- b
=—
— und ac cb = a —c b
c
c
c
-0"
;
allgemein;
,
,
'
\
Man
,
Ausdrücke auch durch:
vereinigt beide
a
c
und
,b
—c
a-f- b
c
„a durch c, plus oder minus b durch c" u. s.w.
Um also Brüche mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche)
zu addieren oder zu subtrahieren, addiert und subtrahiert man die
Zähler und giebt dem Kesultat den ursprünglichen Nenner als
liest
Nenner.
Beispiele:
Schnrig, Lehrbuch
2
3
11
"^
11
der Arithmetik.
5
_
~ 3+2 _
~ 11
11
I.Teil.
'
3
§• 13.
34
11
Divisionssätze.
§.
Beweis.
(s.
Satz)
10.
X
Q. (rechts)
= Dd.
35
Divisionssätze.
13.
=
Dsr. (links unten)
3
^
•8-7^3-7
(links oben)!
6-3
5-6'3
Beispiele.
~l~-b^~
3a;
7
3
4a;~T'
"'
ia-\-b)ic-{-d) __ c-i-d
5
5(a
ö)
~
+
•
Umkehrung:
15.
^= 3-7
g: 7,
3
,,
a
ad
-^=—.
.
allgemein:
^,
Oder:
eines Bruches bleibt unverändert, wenn man
den Bruch erweitert, d. h. Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert.
Der Wert
Oder a:b=^(ad):{hd) geschrieben, heifst der Satz:
Der Quotient bleibt derselbe, wenn Dividend und Divisor
mit derselben Zahl multipliciert werden.
18 /2
= —2-9
— = ——
5-9
5
45
75 = (1234
(75 4) = 4936
2
Beispiele.
^
--
T-
.
_
.^
^
mit 9 erweitert
ist
-IT-
5
V
300.
1 234
4)
Zusatz. Ist der Zähler oder der Nenner ein Produkt, so
ist beim Erweitern nach §. 10, 8 nur ein Faktor zu multiplicieren;
20-7
5-7
^
,
T>
worden).
:
•
•
:
:
1.
.
.
"•
^'
3:26"
2.
Zusatz.
also die
21
^ '''^'^*''*
Um
4
_r
in
= 3ToT21*^^
zu verwandeln
/ 4
l
7"
= ^)'
'
\
4
zunächst die Zahl zu suchen, wit welcher -^ zu erweitern
man
ren,
'^''
Aufgabe zu
lösen:
Mit welcher Zahl
ist
7
^^t
ist,
zu multiplicie-
21 zu erhalten? Dies geschieht nach dem 11. Satze, denn
21
21
7- -=7-3.
Der Nenner 7 ist mithin mit -=- (d. i. 3) zu
um
=
=
und
auch der Zähler. Allgemein:
Um einen Bruch in einen andern mit bestimmtem Nenner
zu verwandeln, ist jener mit dem Quotient aus dem neuen
und alten Nenner zu erweitem.
multiplicieren
Beispiel.
^
folglich
7
-7r
8
Daher:
tern.
= 40
?
-r;r.
7
's
3.
Zusatz.
Um
ttHier
•
i.
ist
^
~pr
^a o
mit 40:8
-i.
=5
c
zu erwei-
8
7.5
^ "8^ ^
ungleichnamige
35
lö"'
Brüche
(Brüche mit ver-
schiedenen Nennern) zu addieren oder zu subtrahieren,
zuvor durch Erweitern gleichnamig zu machen.
3*
sind sie
Divisionssätze.
§• 13.
36
Beispiele:
~ 14-3
3 _ 11-4
~ 12-4
16
"*"
14
21
11
12
14:7
16.
„-
„
35:7
14
"
'
~~
16-3
.
alJffemein:
^
42
"^
_ 44
3-3
-,
=-rrrl
35
~"
21 -2
9
—=
a\d
b:d
'
48~48'
48
-;
~ 42
_ 35
42
^^
a
Oder:
^-.
b
Gleiche Divisoren des Zählers und Nenners heben
Beweis.
Q.
X
Dar.
Beispiel.
= ^^ -35:7 = 14:
7
10.
(s.
sich.
Satz)= Dd.!
3
TT
,,
.,
3:in
3:11 \
.
3
11
Umkehruns::
17.
14
14:7
35
35:7'
,,
.
a
allgemein: -r
*
&
—
= -a:d
b:d
-: oder:
eines Bruches bleibt unverändert, wenn
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert.
Der Wert
man
nennt diese Operation Kürzen (Heben, Aufheben, ReVerkürzen, Abkürzen, Abbrevieren
Verkleinern?).
man a:b =^{a:d):{b:d), so heifst der Satz:
Der Quotient bleibt unverändert, wenn Dividend und Divisor durch dieselbe Zahl dividiert werden.
Man
—
duciereu,
Schreibt
Beispiele.
läfst sich
35
durch
kürzen
7
= 35
5
= 24: 8 = 3;
:
240: 80
8
= (240: 10): (80:
8:8
1
10)
7
Divisionssätze.
§. 13.
Dsr.
X
=2 y 8=6
Q.
=a-—
Für
— c^^a'b=
•
.
.
8
Q. (rechts)
ist:
(s.
X
37
Dsr. (links unten)
=
Dd. (links oben)!
— =15--^=15-b,
—15-18
Beispiele.
^
^^
,c
^
15.18
15
ir
^
= 5-18,
\%
= 5-6.
3
^.
..
^
18
3
3
_ 15
~ 3
— — = 3 -=- = 3 2
15-18
3
7
Der öatz
= Dd.!
10. Satz)
•
-
7
— —
== a
-
c
'
;
'
abgekürzt
»
(oder
c
c
= — o)
i
i
oder auch:
.
,
^
,
nicht aber:
—=— =
6.
q^
auch aus-
konnte
c
gesprochen werden:
der Zähler eines Bruches ein Produkt, so kann man
einen Faktor desselben als Faktor des zurückbleibenden
Ist
Bruches herausstellen.
Ax
Beispiele.
3
Anmerkung.
Erst der jetzige Satz zeigt, dafs
a
er.
'-'^3-1.
'
8
man
4
8
als Produkt aus dem Zähler und
Zähler betrachten kann. ^Mithin ist es
unlogisch, die Bruchrechnungssätze mit der Erklärung zu beginnen:
3
1
-^ ist das 3fache der Einheit -^. Vielmehr darf zur Begründung
o
8
der Bruchrechnung nichts weiter vorausgesetzt werden, als dafs
3
3
-^ so viel als (3:8), oder -5- Meter so viel als: der 8. Teil einer
o
8
Länge von 3 Metern ist. Erst jetzt, mit dem 18. Satze, weifs man,
3
dafs -^ Meter auch als „3mal der 8. Teil eines Meters" angesehen
dafs
einem
also einen
Bruch mit
Bruch auch
1
als
werden kann.
I.Zusatz.
a-b
=—
(i
1
'b
y
^
r
1^
/
^
7
kann auch {a-b): C'={a:c)-b ge-
Oder:
Die Anordnung der Faktoren und Divisoren
schrieben werden.
ist
beliebig.
—
§
33
Um —=7
-^
—
Zusatz.
=
sondern
7 dividieren,
= 104
rechnen.
man
Vergleicht
(a • &)
c
:
= {a:c)
=
(a
:
c)
mit
-
6 , so ergiebt sich der Satz:
mal so grofs der Dividend, so
viel
56-13
also nicht zuerst
dann das Produkt durch
56:7
8 und dann 8-13
a:c
So
man
zu berechnen, wird
multiplicieren und
praktischer zuerst
2.
Diviäionsäät%e.
13.
mal so grofs
viel
der Quotient.
3.
Zusatz. Sind Zähler und Nenner des Bruches Produkte,
Kürzen (nach vorstehendem 18. Satze) nur ein Faktor
so darf beim
dividiert
werden.
^^
—71"?
-7^
'
45-44
ner durch 4 dividiert)
=
Diu-ch 4 gekürzt
^
Zähler und Nen-
(d.
h.
^
7-20
-rr
r-r
noch durch 5 gekürzt
,
4
7
_
^ 28
~ ^s.-'^a
^.^ ~" 99'
.
9
Den
5
Quotient
schreibt
1
11
man
und dann durch 6 ^
gekürzt)
= IS
^^
-28
„_-
3
19.
nicht;
hierbei
(d-
i-
z.
—5-6
^
B.
^ ^
3-5/
)
(durch
= TT15
5
Umkehrung.
6^
6-8
,,.8
6-8
^-8 = -^undb-y = ^-,
—
allgemem:
°
Um
b
=
c
=
und a
c
c
.
Oder:
c
einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiman den Zähler mit der ganzen Zahl
plicieren, kann
multiplicieren.
Beispiele.
'
ö
7
7
a
—=
c
Um
5-4
20
23
23
*
7
I.Zusatz,
6.4
2-3
2
'
23
kann auch ausgesprochen werden:
c
irgend eine Zahl («) mit einem Bruche
/
f
j
—
\
j
zu mul-
kann man auch jene Zahl (a) mit dem Zähler
multipHcieren und dann das Produkt durch den Nenner
tiplicieren,
dividieren.
(ft)
(c)
!
Divisionssätzc.
§. 13.
Zusatz.
2.
b
a
= ab
c
—=
a
,
,
kann nach dem
c
schrieben werden:
Um
,
39
b
a
c
c
^
18.
^
batze aucli =>
se-
h.
Zahl («) mit einem Bruche zu mulkann man jene Zahl auch durch den Nenner
des Bruches dividieren und den Quotient alsdann mit dem
also irgend eine
tiplicieren,
Zähler multiplicieren.
a
b:c
20.
Beweis.
b'c:c
21.
X
Q. (rechts)
= a-c:c (oder
q\
(l
a
b
Dsr. (links unten)
=^~-c-b:c^
= a = Dd.
\
Umkehrung:
^
a
h:c'
a
^
b
Um einen Bruch mit irgend einer Zahl zu multiplicieren,
kann man den Nenner durch diese Zahl dividieren.
Beispiel:
12
12:4
3
7,77
Anmerkung. Die Multiplication eines Bruches mit ganzer
Zahl könnte sowohl nach Satz 19, als auch nach Satz 21 ausgeführt werden. Einfacher ist es, die ganze Zahl (nach Satz 19)
stets als Faktor in den Zähler zu stellen und vor der Multiplication zu kürzen.
1.
Beispiel:
2
3
Dafür kürzer:
^
5
-r-z^
i8
-
^2
=
10
-r--
3
3
2.
Beispiel:
4
-7^
15
•5=
4 «8
-Lr:,
±0
4
=-^
(statt
des 21. Satzes!).
6
3
Dafür kürzer
m '^= r
3
22.
-^:2
= y:9;
oder (8 9):2
:
= (8:2)
:9;
!
§
40
a
allgemein: -^: c
Divisionssätze.
13.
a
= -^:ö,
oder (a:b):c
Die Anordnung; der Divisoren
Beweis.
QX m
^
..
r^
Dsr.
—
^
c
i
:b
= {a:c):b.
In Worten:
beliebig.
ist
= a:b = tm
Da.l
a
?
c
Beispiel. Anstatt 500 zuerst durch 4 und dann den Quodurch 5 zu dividieren, kann man auch 500 zuerst durch
100) und dann den Quotient (100) durch 4 dividieren
5 (500:5
25).
(100:4
Nach vorstehendem Satze und nach Satz 18, 1. Zus. können
nun beliebig viele Faktoren und Divisoren beliebig angeordnet werden.
tient (125)
=
=
Es ist daher:
a:b'C:d-e auch =a'C'e:b:d=a:d- 6' c:b
d.
(((«
i.
:b)-c):d)-e
=
=
e):b):d
(((« -c)-
{{{a
Derselbe
8
-Q-
„
2
:
8:2
= —^
(22.)
.
,
allgemem
,
a:c
«
y c = -y-.
.
:
:
s.
w.,
u.
s.
w.
wenn man Colon
Satz kann auch,
mit Bruchstrich vertauscht, geschrieben werden:
Zusatz.
1.
u.
:d)-e)'c):b
^,
Oder:
Einen Bruch dividiert man durch eine ganze Zahl,
indem man den Zähler durch die ganze Zahl dividiert.
Beispiel:
2.
6:3
6
Zusatz.
2
man
Vergleicht
= —a mit
—-•.c^=^ —
c
.
ft
:
c
c
:b, so ergiebt sich:
b
So
viel
mal so
mal so klein der Dividend i-r
klein der Quotient
23.
(
— :b
statt ö),
so viel
a
statt
c
8
5: allgemein:
2-5
2
= -^b
b'C
:
c
a
oder
:
(&
^
•
c)
=—
:
c.
b
Beweis.
Dsr.
X
I.
0,-
=
b
'
c
•
~ c= c
:
•
a:c
=a
(s.
10. Satz, 2.
Anm. A)
Anstatt durch ein Produkt zu dividieren, kann
die
Faktoren einzeln dividieren.
,
= Dd.
man durch
.
§. 13.
1728:48
Beispiel:
41
Divisionssätze.
=
1728 (6 -8)
da her 1728:6
= (1728:
6): 8,
288:8
=
Oder:
36.
der Nenner eines Bruches ein Produkt, so kann
man einen der Faktoren des Nenners als Divisor des
zurückbleibenden Bruches setzen.
Ist
11.
Beispiele:
2
~:5
" = 2:5
"" = —-;
5-6
5
6
a
a
1.
Zusatz.
abgekürzt:
""ö-""^-^--
'
5
5.g
5
'
5
man
Vergleicht
a
a'.D'^^-r- mit
a:{b -c)^=~:c, so ergiebt sich:
So
mal so grofs der Divisor, so
viel
mal so klein der
\'iel
Quotient.
=
Es ist 120:10
12; Avie viel ist 120:20, abgeder vorhergehenden Gleichung? Da hier der Divisor
grofs ist, als in der gegebenen Gleichung, so mufs der
Beispiel:
aus
leitet
2mal so
Quotient 2mal so klein
12, folglich
als
=6
sein.
=
a:h:c geschrieben
Zusatz. Der Satz kann auch a:{h- c)
werden, oder:
Löst man nach einem Divi.sionszeichen eine Parenthese
auf, so verwandeln sich die in derselben befindlichen Fak2.
toren in Divisoren.
24.
ümkehrung.
8 ^
-r-:5
2
8
= —2-5
--^,
'
—
a
a
„
allgemem: ~r'-c=^-,
^
hc
b
.
Einen Bruch dividiert man durch eine ganze Zahl,
indem man den Nenner mit der ganzen Zahl multipliciert.
Beispiele:
5
¥
1
4
5
5
8-3 "~ 24
1
^
'
1
4-5 ~~ 20'
Anmerkung. Die Division eines Bruches durch eine ganze
Zahl kann also sowohl durch den 22., als auch 24. Satz ausgeführt werden. Einfacher ist es, nur den letztern Satz anzuwenden, jedoch den Divisor zunäclist nur als Faktor dem Nenner
§13.
42
hinzuzufügen,
die
um
Divisionssätze.
eventuell vor der Multiplication zu kürzen. (Vergl.
Anmerkung zum
21. Satze).
2
Beispiele:
|:4(22.Satz)=g»j =
f;
3
^^
^^18
Satz)
(24.
'
28
'
^
56'
28 -iS
2
2
Wie
1.
12
orrofs ist
Zusatz.
der
6.
i2
12
Teil von -7ir?
13'
„~7r-6
13-0
13
13*
Derselbe Satz kann auch geschrieben werden:
a:b:c
= a:{b
•
c).
Oder:
nach zu divikann man sogleich durch ihr Produkt dividieren.
Soll z. B. 190 zuerst durch 5 und der Quotient (190:5=38)
hierauf durch 2 dividiert werden, so kann man dafür 190 sogleich
durch 5-2 dividieren; folghch:
190: (5-2) =190: 10 =19.
190: 5:2
II. Bildet man nach einem Divisionszeichen eine Parenthese,
1.
Anstatt durch mehrere Zahlen
der Reihe
dieren,
=
so verwandeln
sich
die Divisoren
innerhalb derselben in
Faktoren.
a:b:c:d=a:{b
Beispiel:
•
c-d).
Ist a:b icid^^ 1, so ist also auch a:{b-c •d)
2. Zusatz.
Dd. sein mufs, so ist \ b-c-d=a,
und da Q. X Dsr.
=
b-c-d=a.
=
l,
d.i.
Oder:
man eine Zahl der Reihe nach durch etliche
Divisoren und ist der letzte Quotient =1, so mufs das
Produkt der Divisoren gleich dem Dividend sein.
Dividiert
120:2
60:3
20:4
5:5
Beispiel:
=
25.
1.
Folglich: 2
•
3
.
4 5
•
=
120.
a-c
a c
15
„
^,
-^--z-.
Oder:
•-^; allgemem: ^—-v
^
b
d
b-d
5
Den Quotient aus 2 Produkten kann man in ein Produkt
aus 2 Quotienten verwandeln, indem man aus den Faktoren des Zählers die Zähler, aus den Faktoren des Nenners die Nenner der beiden Quotienten bildet.
8-15
——
— = —8
4-5
4
.
=
§. 13.
43
Divisionssätze.
Beweis.
Q.XDsr.
= |.^. ... = (-«. *).(-l..) = a.c = Dd..
Beispiele:
21-32_21
32
_
4
3
2i-82
[Hier könnte auch Satz 19 angewendet werden:
X
\'X
^
\
X
=3 4=
.
•
1
2.]
.
§
44
27.
Beweis.
X
Q.
in
JJsr.
=a = Dcl.!
26. Satz)
h
c
c
1)
=«
^y t\
r^
DivisioDSsätze.
13-
&
C
-^
•
=a
•
^
,
1
(s.
rr
^
,
den Zusatz
zum
^
Um diese Division einer beliebigen Zahl durch einen Bruch
bequemer Weise aussprechen zu kennen, bedarf es der nach-
stehenden Erklärung.
28.
a
I.
+ = a, a — =
a.
\=a, a:\=a.
a-
Addiert oder subtrahiert man 0, multipliciert oder dividiert
1
ist
mit 1, so bleibt die ursprüngliche Zahl unverändert.
in Bezug
also Das in Bezug auf Multiplication und Division was
der Addiauf Addition und Subtraktion ist. Der Mittelpunkt
tion und Subtraktion um irgend eine Zahl vermehrt oder vermindert, z.B.
8 und
8, führt zu den entgegengesetzten Gröfsen
(positive Zahl +8, negative Zahl
8), die später betrachtet werden sollen. Der Mittelpunkt 1 der Multiplication und Division mit
irgend einer Zahl multipliciert oder dividiert, mufs mithin gleichfalls zu entgegengesetzt liegenden Zahlen führen, jedoch entgegengesetzt im multiplicativen Sinne.
Solche Zahlen sind daher 1 8
man
,
—
+
—
•
und 1:8,
d.i. 8
und
gekehrte, inverse).
1
Man
~~.
o
Wie
vorstehendes Beispiel
Zahl
—
1
von 8
die reciproke
nennt dieselben reciproke (um-
indem man
,
zeigt,
findet
man
durch die gegebene
1
8
Zahl 8 dividiert. Da dies für jede andere Zahl der Fall sein mufs,
so gilt allgemein:
Von einer gegebenen Zahl findet man den reciproken Wert, wenn man 1 durch dieselbe dividiert.
IL
Der
reciproke
=
5
Wert von --
1:-|7
= 1.^5
Der reciproke
Wert von -^
^
5
kann, dafs
man
Beispiele.
man den
^-
)
—=—
a
a
h
(
27)=-^.
1:^-=1
ist
Hieraus folgt weiter, dafs
daher
Satz
(s.
h
Bruchform gegebenen Zahl
ist
reciproken
Wert
auch dadurch mechanisch bilden
Zähler mit Nenner gegenseitig vertauscht
^
Der
•
i
einer in
,xt
,
reciproke Wert von
7
"q"
1
= ^>
9
4
I
—
),
Der reciproke Wert von
13
123
„
nach
1,
x
„
„
„
(d.
i.
13 \
~r~)
= Y5">
3^j
= T4'
^^^-^^
"
„
45
Divisionssätze.
§. 13.
(d.
i.
=—
1
^^^
^
^
1
y
123
'
1
(entweder unmittelbar
oder nach II aus
3
Der reciproke Wert von -^
o
nach 1
1
o
•.
,
A8^7
+1
2
+ i^
ist
nicht
7
•.
-r
—ö8 +
7
7;-
,
sondern
^
.
mit b 7 erweitert
•
^''^
,
d.
§.11,4)
(s.
i.
8-7
3
ß 7
__.8.7
Von
+ --/.8Q
.
7
2
3
+7
_
können, indem
3-7
man den
hätte
man
die
+
2.8
21
reciproken
Brüche zuvor
56
56
56
2
+
16
Wert auch
addierte.
Es
37
finden
ist
2_ 3-7 2-8_21 16 _ 37
¥ *" y ~~ "8^ "^ T^ ~ 56 "^56 "~ 56'
56
wie oben!
der reciproke Wert =
diesem Bruche aber
O
= 26,
aussprechen:
3
Von
„
ist
,
I
-r
1
Zus.) läfst sich jetzt
(s.
Jede Zahl mit ihrem reciproken Wert multipliciert giebt
Beispiele:
_]__
16
I.Zusatz.
der
Der
*
J^ ~^'
7
27. Satz a:
1^
"^"x
1.
~^-
—cb =a-^^c
kann nun
in
folffen-
Weise ausgesprochen werden:
Anstatt durch einen Bruch zu dividieren, multipliciert man mit dem reciproken Bruche.
21
Beispiele:
7
A-A—A
~4
7
4
5
^
~ 20
'
46
§. 13.
Divisionssätze.
,
5.
Zusatz.
TT
•
,
.
a:
.
,
,
giebt sich:
So
viel
«
man a:b=
1
Vergleicht
.
47
Divisionssätze.
§. 13.
•.
mit
—=-r'C
CO
mal so klein der Divisor, so
(s. 4.
viel
Zusatz), so ei-
mal so grofs der
Quotient.
39
39
29.
— 5-7
5
5
Um
irgend eine Zahl (39) durch eine zweite (5) zu dividieren,
kann man eine beliebige dritte Zahl (7) als Quotient setzen, wenn
/
man
diesen imi einen
Bruch
39
5
.
7
\
vermehrt, dessen Zähler
(
1
—
5-7) der gegebene Dividend (39) ist, vermindert um das
Produkt aus dem Divisor (5) und dem angenommenen Quotient (7)
und dessen Nenner der gegebene Divisor (5) ist.
(39
Beweis.
-^ = 7 + -^-7
39
_
39
,
-
.
o n -^
(s.§.9, /)
= + ^--^-^(s.§. 13,2)
= 7+ QQ ^ (s.§.13,13).
7
t;
Dies kann noch
1
-\
.
7
.
5
= + —o4 =7"4O
^ =
^
—
^+ ^ — q
gesetzt werden.
7
All
Allgemein
•
,
:
#^=^ + —^—(s.
§.13,13).
Vorstehende Ableitung mit speciellen Zahlen könnte
folgender Weise abkürzen:
39:5
35
4
= 7-f ^ = 7-.
^
•4
.-
subt.
4:5
In der Praxis schreibt
man nur 39
35
:
5
=
4
l-r-
5
man
in
48
Divisionssätze.
§• 13.
Da man
Anmerkung.
durch diese Divison immer nur einen
Teil des Quotient auf einmal erhält,
nennt
man
dieselbe
dann
hier zuerst 7,
4
~,
so
Partialdivision.
Wie schon bemerkt, könnte als Quotient jede beZahl gewählt Averden, im vorstehenden Beispiel z. B. 6 statt 7,
und die Rechnung wäre folgende:
I.Zusatz.
liebige
39
^
T- =
^+
,
39
— 5.6
5
„,
_, 39-30
^— = 64-y.
_6+—
9
Dieses Resultat wäre jedoch des unechten Bruches
—9
wegen
unpraktisch. Welcher Quotient aber bei speciellen Zahlen stets der
passendste ist, mag durch nachstehenden Zusatz erörtert werden.
2.
Zusatz.
geht auf,
wenn
Beispiele:
Man
sagt,
20:5
=
selbst
144:2
4;
zweier ganzen Zahlen
wieder eine ganze Zahl ist.
Division
die
der Quotient
=
72.
Liegt jedoch der Quotient zwischen 2 auf einander folgenden
ganzen Zahlen, so geht die Division nicht auf. In diesem Falle
wird die Rechnung mittelst der Partialdivision ausgeführt und man
nimmt zunächst als Quotient die kleinere der beiden Zahlen, zwi39
sehen welche der gesuchte Quotient fällt. In Bezug auf -r- (s. ob.)
=
=
8, folglich ist als Quotient
7, -^D
D
zunächst die kleinere dieser beiden Zahlen (7) zu nehmen, damit
ist
zu beachten, dafs -^-
der noch hinzukommende Bruch
und
2.
1
(
v") kleiner
als 1
ist
(zwischen
liegt.)
Beispiel.
Soll
43:8
dividiert
-^ = 5,
40
berücksichtigen, dafs
ist
-^-=^6, und mithin
o
Teil des Quotient zu
werden, so
zunächst zu
48
ist
5 als erster
o
nehmen.
43
^
43 — 8-5
^-^
8
=
-T
= 5H 43 — 40
,
5
,
,
+
4
Divisionssätzc.
13.
§.
=53
43:8
Abgekürzt:
49
40
Zusatz. Geht die Division nicht auf, so wird oft als Quonur die durcli die Partialdivision erhaltene ganze Zahl und ein
„Rest" angegeben, welcher der unmittelbar nach Bestimmung jener
ganzen Zahl erhaltene Rest (also der Zähler des hinzukommenden
Bruches) ist. Man sagt daher (s. letztes Beispiel): „43 durch 8
dividiert, giebt 5 als Quotient, 3 als Rest".
Diese Angabe aber
ist unvollständig und unbestimmt, da sich ohne Kenntnis des Dindend und Divisor offenbar nicht aus „Quot. 5, Rest 3" auf den
3.
tient
vollständigen Quotient
,,
5
+
3 "
schliefsen
"c"
Um
läfst.
mithin den
Quotient stets vollständig und bestimmt zu erhalten, ist der angegebene „Rest" noch durch den ursprünglichen Divisor zu dividieren.
Es mufs also statt „43:8
5, Rest 3" heifsen:
=
Rest3
43
^
Ist
-.-=c
3
^+8-=
-T==^+~8-
Allgemein:
,
^
,
dem Reste
mit
so bedeutet dies
d,
b
a
Aufgabe.
324:7?
^ 280
,
d
= 28 Zehner = 4 Zehner,
^
=— = 35 Zehner = 5 Z<ehner,
—350
Da —=—
=
7
7
'
_
,
und
so fällt der gesuchte Quotient zwischen 4
ist
zunächst 4 Zehner
324
—=—
=
,
ry
als
,
4 Zehner
5 Zehner.
Daher
Quotient anzunehmen:
.324 — 7-4
-\
Zehner
;j
= 40 + ^?i^li«=40+3?iz^
= 40 H—44 Verwandelt man 44 gleicher
AVeise,
°
.
=-.
-;:;-
7
so ersriebt sich
1
.^
=40
+ n6H
,
in
i
,
44
— 7-6 =40 + 6 H
,r.
,
o
,
44
—^- 42-
= 40 + 6 + y = 46y.
Schurig, Lehrbuch
der Arithmetik.
I.Teil.
4
r
.
Divisionssätze.
§• 13.
50
Dies könnte zunächst in folgender
324:7
280
44:7
42
=46f
2 7
i
:
man
In der Praxis schreibt
324:7
Weise abgekürzt werden:
jedoch nur:
= 461
28
44
42
2
oder sogar noch einfacher:
324:7
= 46f
Durch vorstehende Ableitung erhielt man nach Bestimmung
der ganzen Zahl 46 des Quotient den Rest 2.
Zugleich zeigte
aber auch die Ableitung, dafs der Ausdruck „324 7
46, Rest 2"
:
324
,,——
vollständig durch
4.
Zusatz.
2
= 46-+-—"
=
wiedergegeben werden mufs.
Die Partialdivision kann
bei
jedem Reste beendigt
Der durch die Aufgabe gesuchte Quotient ist aber nur
dann vollständig, wenn den bis dahin bestimmten Teilen dieses
Quotient das sogenannte Supplement, d. h. ein Bruch hinzugefügt
werden.
wird, der dadurch entsteht, dafs
Divisor dividiert. Der Beweis
ersichtlich,
324
denn -—
—
gab
= 40 und der Rest
324
iL_
= 40 + Rest
in
jenen Rest durch den ganzen
aus dem vorstehenden Beispiel
man
ist
der dritten Zeile (wo der Quotient
6,
—
44
44) vollständig: 40
H
=-; ferner
2, folglich vollständig
am
Schlüsse
2
=40 + 64-y.
5. Zusatz.
Mittelst der Partialdivision verwandelt man unechte Brüche in gemischte Zahlen. Vergleiche die vorstehenden
Beispiele:
39
43
394
Anmerkung.
Mit dieser Operation ist das Rechnen mit Brüchen in
Grundzügen entwickelt und für die nötigen Sätze der vollständige
Beweis gegeben worden. Dennoch empfiehlt es sich, die Bruchrechnung
noch einmal (s. §§. 31
37) in einer mehr praktischen Darstellung und mit
seinen
—
Berücksichtigung besonderer Fälle folgen zu lassen.
Das Potenzieren.
§. 14.
30.
51
Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt Gleiches.
Ist
so
Man
auch
ist
schreibt auch:
= ß (Voraussetzung)
= 77 (Behauptung).
A=ß
(Voraussetzung)
ri^_
A
-77
rxr
\
P
— =—
—A = —A
Beweis.
^
.
{
(Behauptung).
,
.
.
^
(s. 1.
.
Axiom),
wenn an die Stelle des A der rechten Seite das ihm gleiche
Voraussetzung) gesetzt wird, über in:
geht,
(s.
B
c~ c
Zusatz.
Ist
u nd
so
auch
ist
A
=B
A
=B
C=D
-77
(Vgl.
^t-
§. 7, 9,
Zus.)
1)
§.
14.
Das Potenzieren.
1.
Die zu multiplicierenden Faktoren sind gewöhnlich verschieden (vergl. den Wortlaut von §. 10, 1). Sind sie gleich, z. B.
8- 8 -8
kürzt dies
Weise ab:
so
das
= 512
(s.
§.11, 8,
5. Zus.).
Potenzieren durch 2 Zahlen
in
folgender
Gegeben
Gelesen: „8 zur 3*^"";
_
potenziert mit 3";
oder:
..8
oder:
,.3***
oder:
..8
Potenz von
hoch
8'";
3".
Potenz
Der Faktor
(8)
— Wurzel),
wird also zur Basis
(Grundzahl, Dignand
Anzahl der Faktoren (3) zum Exponent, der rechts
oben mit kleinerer Schrift an die Basis gesetzt wird,
das Produkt zur Potenz (Dignität).
die
2,
Potenzieren
ist
die
abgekürzte Multiplication gleicher
Faktoren.
Potenz ist das Resultat des Potenzierens, oder bestimmter:
das abgekürzte Produkt gleicher Faktoren.
4*
§• 14.
52
Das Potenzieren.
512 die materielle
8^ die formelle oder theoretische Potenz,
oder praktische Potenz.
Beispiele:
7.7.7.7.7 wird durch 7%
a a durch
xxxxxx
— h){a —
{a
a^,
'
durch x^,
h) {a
~T'^
—
h)
durch
durch {a
(-7-)
— &)3,
^
Idbhhcc durch 2ab^c^ abgekürzt.
Umkehrung. Soll 10* berechnet, d.
tenz erhoben Averden, so erhält man:
3.
i.
10 auf die
4.
Po-
10 10 10 10 = 100 100 = 10 000;
= 9. 9. 9 = 81-9-- 729;
= 5.5.5.5.5.5 = 125-125 = 15625;
x^ = X'X oder xx\
= bc-bC'bC'bc = b'C-b-c-b-C'b-c;
(a-M)-^ = (a+l)(a+l);
•
•
.
•
93
56
{bc)*
Aa^c^ ^^ Aaabccc.
Anmerkung.
8-32 so
ab^
8
Nach
„
-
„
+ 32,,
„
10, 3,
8-(32)
a'(b^)
„8 + (32)
„
IV
bedeutet:
= 8 -3 -3 = 72,
= abbb,
= 8 + (3-3) = 8 +
9.
dagegen 8 3 auf die 2. Potenz erhoben werden, so mufs
3)2 geschrieben werden mit der Bedeutung 8-3-8-3.
a-b-a'b- a-b.
Die 3. Potenz von ab ist {ab)^==ab' ab- ab
3)2
(8 -|- 3) (8 -}- 3).
3
Die 2. Potenz von 8
(8
Vergleiche die 3 letzten Beispiele mit den 3 ersten!
Soll
(8
§.
viel als
-
+ = +
4.
=
=
Besondere Ausdrücke.
Der Exponent
«* eine Potenz
vom
den Grad der Potenz an. Es ist also
Grade, a^ eine Potenz von höherem Grade
zeigt
4.
als a^.
Die 2. Potenz wird gewöhnlich „Quadrat" genannt. Daher
wird «2 gelesen „a Quadrat", und nur wenn der Exponent 2 ausdrücklich hervorgehoben werden soll: ,,a zur zweiten".
Das Quadrat von
7 ist 72
= 7-7 =
49.
Quadrieren heifst auf die 2. Potenz erheben. Soll 10 quadriert werden, so erhält man 102=10-10
100.
Das Quadrat einer natürlichen Zahl heifst „Quadratzahl".
12, 22, 32,
oder:
2-2, 3-3,
d. i. 1
1
sind Quadratzahlen.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
=
-
«3
,
Die 3. Potenz wird auch „Kubus" (Würfel) genannt, daher
auch „a Kubus" oder „Kubus von a" gelesen. Der Kubus
= 6-6-6 = 216.
von 6 ist 63
Kubieren
so erhält
heifst
auf die
3.
man 113=11.11-11
Potenz erheben.
= 1331.
Kubiert
Den Kubus
man
11,
einer natür-
1
i.
•
1
•
man „Kubikzahl".
nennt
Zahl
liehen
d.
2.2.2, 3.3-3,
,
1
Potenzsätze.
15.
§.
53
So sind
oder
8,
1,
1', 2^, 3^,
27,
125, 216,
64,
Kubikzahlen.
343,
Die
a^,
Potenz
4.
drat von
auch „Biquadrat",
lieifst
a* ist
das Biqua-
a.
a^, a"
man „«
liest
zur fünften", „a zur sechsten",
dagegen wird a
hoch
..9
9^~- des Wohllauts
,
11, 8, Zus. ist (8.£.)^
2.
.,a
Es
Anzahl
sein;
= SJ^.-SJ^.-SJ^. unmöglich.
Der Exponent kann nur
er zeigt die
3.
1
hoch
",
Potenzsätze.
15.
Die Basis kann nur eine unbenannte Zahl
1.
—
minus z" gelesen.
ij
§.
§.
wegen
zur
,,a
1
7«"^"",
denn nach
denn
eine unbenannte Zahl sein;
der Faktoren an (§.11,1).
aaaa
aaa
aa
ist:
Der
fehlende Exponent
ergänzen.
ist
=
= a^
=
a^
durch 0, sondern durch
also nicht
=
4.
Umgekehrt ist «'
Exponent 1 nicht; daher nicht
daher
«2,
zu
man den
Als Resultat schreibt
«.
1
10', (aft)S (a-+-/>)\ sondern 10, ah,
a-\-b.
5.
Jede Potenz von
1
=
ist
12=i.i
i
13=1.1.1
14=1.1.1.1
Denn
6.
=1.
(g. §.
Allgemein: 1"
= 12.1 = 1.1 =
= 13.1 = 1.1 =
2-'
9ä
-_^
=
!.
1.
1
U.S.W.
Die Elemente der Potenz (Basis und Exponent) können
nicht gegenseitig vertauscht Averden.
Es
=
ii,2);
ist
ist
nicht
nicht
1*=4*; denn
=
1*
4»
5^;
denn wäre
=
=
1
•
1
•
1
•
1
=
1;
2^
4.
=
so müfste der
5^,
Bruch
0.0.0.9
1
sein (nach
--^
13, 8), aber
§.
kann offenbar nicht
gekürzt werden.
Allgemein:
aJ'
Anmerkung.
ist
nicht
Nur
=&".
für gewisse Zahlen
=
Gleichem potenziert,
A=B
2*
7.
Gleiches mit
Is t
so
ist
ist
0^=1";
42.
auch A'*=^B'*
giebt Gleiches.
z.
B.:
§.16.
54
Das Radicieren.
A
auch geschrieben:
n
=B
=n
A"=A''
Beweis.
Axiom)
(s. 1.
geht, Avenn an die Stelle des A der rechten Seite das
(s. Voraussetzung) gesetzt wird, über in
ihm gleiche
B
= B\
n=r
A''
Zusatz.
Ist
so
ist
auch
A=B
A''=B\
(Vergl.
§. 7,
9, Zus.)
Anmerkung.
Die noch fehlenden Sätze des Potenzierens und die
Sätze der nachfolgenden Species werden in der allgemeinen Zahlenlehre
gelehrt.
§.
1.
Wäre
16.
Das Radicieren.
die Subtraktion
Summe und dem
die
Rechnungsart, welche aus der
+
Summand den
2. suchte, so würde aus 8
3
hervorgehen. Da aber die Anordnung der
Summanden beliebig ist, so könnte jene Additionsgleichung auch
3-|-8=ll geschrieben werden und es entstünde nach jener anDie Subgenommenen Definition für die Subtraktion 11
3
8.
traktion bildet also aus 8
11 eben so wohl 11
3
wie
11
3
8 und sucht mithin aus der Summe und einem belie-
=
1 1
nur 11
1.
—8=3
— =
+ =
— =
bigen Summand den andern Summand.
Die Subtraktion berechnet 11
—
— die
wie 11
rung
3.
— 8^3
Oder:
—8
Die Addition
Subtraktion
—
läfst
nach denselben Regeln
mithin nur eine Umkeh-
zu.
In gleicher Weise folgt auf Grund des Satzes: „Die Anordnung der Faktoren ist beliebig" aus der 2. direkten Species (Mul-
nur eine Umkehr ung derselben: die Division. Nehmen
wir nun an, dafs aus der dritten direkten Species, dem Potenzieren
(8^=512), gleichfalls nur eine Umkehrung sich ableiten liefse,
die aus der Potenz (5 2) und einem beliebigen Element derselben
(Basis oder Exponent) das andere findet, so würden also die beiden abgeleiteten Gleichungen der neuen indirekten Species mit derselben Bezeichnung zu schreiben sein, die hier durch:
tiplication)
1
=
=
1/512
8 und y512
3
gegeben sein mag. Dann müfste aber auch die Zahl rechts mit
der links oben stehenden Zahl potenziert, die mittelste Zahl als
Potenz ergeben, d. h. es müfste 8^
512 sein. Nach
512 und 3^
§. 15, 6 ist jedoch 8^ nicht =3^, und folglich können die beiden
Aufgaben:
1. aus der Potenz (512 oder 8^) und dem Exponent (3) die
=
Basis (8) zu finden;
=
§. 16.
Das Radicieren.
55
8^) und der Basis (8) den Exponent (3) zu finden;
nicht durch dieselbe Rechnungsart gelöst werden.
Mithin läfst das Potenzieren zwei verschiedene Umkehrungen
zu und zwar:
I. das Kadicieren,
welches aus der Potenz und dem Exponent die Basis,
11. das Logarithmieren, welches aus der Potenz und der
Basis den Exponent sucht.
Jene angenommene Schreibweise kann daher auch nur für
eine dieser Species benutzt werden.
IL aus der Potenz (512 oder
Radicieren.
In Bezug auf
entweder aus
2.
1.
8^=512 würde
also das Radicieren
der Potenz 512
und dem Exponent
=8
V512
g^
P
22
N
P 1>
^
S
S
cu
3 die
Geschrieben:
Basis 8 suchen.
Gegeben Gesucht
Gelesen: „3*^ Wurzel aus 512":
oder: „512 mit 3 radiciert".
Wurzel.
II.
oder es würde das Radicieren aus der Potenz
Exponent 3 die Basis 8 suchen:
3
l/83
=
8^
und dem
8.
Die Potenz (512) wird also zur Wurzelbasis (Radicand),
der Exponent (3) zum Wurzelexponent (Radicator),
Wurzel.
dem r des Wortes radix (Wurzel)
die Basis (8) zur
Das Zeichen
y
ist
aus
ent-
standen.
Die mit dem Wurzelzeichen geschriebene ^Vurzel nennt man
4
auch „Radical".
(8)
So
ist
Va-f-*
ein Radical.
3.
Realdefinitionen:
Radicieren (Wurzelausziehen, Depotenzieren) heifst eine Zahl
suchen, die mit dem Wurzelexponent (3) potenziert, die Wurzel-
basis (512) giebt.
Wurzel
tenziert, die
ist die Zahl, welche mit dem Wurzelexponent poWurzelbasis giebt.
4
Es
ist
y 10000= 10,
weil
die
Wurzel 10 mit dem Wurzel-
56
Das Logarithmieren.
§• l^'
= 10* = 10 000,
exponent 4 potenziert,
also
die
Wurzelbasis
giebt.
3
V512
oder theoretische,
die formelle
praktische Wurzel.
4.
8 die materielle oder
Besondere Ausdrücke.
2
Statt
y
schreibt
man nur
V
und nennt
diese (zweite)
Wurzel
2
Aus 10^=100
gewöhnlich „Quadratwurzel".
wofür man
also
VlOO
schreibt
liest.
und
dies
folgt
Vi 00 =10,
„Quadratwurzel aus 100"
2
y49'=7, denn die Wurzel (7) mit dem
Es ist y49'=7, d.
Wurzelexponent (2) potenziert, giebt 7^=7-7
49, welche Zahl
i.
der Wurzelbasis gleich
=
ist.
3
auch „Kubikwurzel". Es ist"/ 1000"= 10
[gelesen: „Kubikwurzel aus 1000" oder „3*^ Wurzel aus 1000"];
denn lO^-- 10 10 1Q
1000.
Die
dritte Wurzel heifst
•
3
=
•
=
=
yi331
ll; denn 113=11.11.11
1331.
Wurzel wird auch „Biquadratwurzel" genannt.
Die
vierte
Die
dritte
3
Wurzel aus a-{-b
schreibt
man Va
3
+ b oder y +
(a
^).
'Va-{-b würde \Va}-\-b bedeuten.
3
In Vb^ soll zuerst 5'^ berechnet und alsdann aus der gefundenen Zahl 25 die 3. Wurzel gezogen werden. 2 ist hier der
„Potenzexponent", 3 der „Wurzelexponent".
§.17.
1.
Das Logarithmieren.
Das Logarithmieren
(oder Exponentiieren) sucht aus der
Potenz (512 oder 83) und der Basis (8) den Exponent (3).
In Bezug auf 83=512 würde dasselbe
I. entweder aus der Potenz 512 und der Basis 8 den Exponent 3 suchen. Geschrieben:
Gegeben Gesucht
'Iff
Gelesen: „Der Acht-Logarithmus von 512";
oder: „512 mit 8 logarithmiert";
oder: „der Logarithmus von 512 zur Basis 8".
,
Das Logarithmieren.
§. 17.
57
IL oder
es würde das Logarithmieren aus der Potenz 8^
der Basis 8 den Exponent 3 suchen:
'/^(83)
Manche
X
oder
3.
schreiben //^^ 512 oder /^ 512, g^ oderlg^ 512 oder
512
,
=
und
/^^
512
512
oder
8
Die Potenz (512) wird also zum Numerus (Logarithmand, absolute Zahl, natürliche Zahl),
die Basis der Potenz (8) zur Basis (des Logarithmus) oder
Grundzahl
der Exponent (3) zum Logarithmus.
2.
Realdefinitionen:
liOgarithmieren heifst
Basis
(8)
gleich
ist.
auf eine Potenz
Logarithmus
erhebt, die
Es
ist
ist
die Zahl,
dem Numerus
also
gleich
=
=
2/^64 =
5/</625
4;
3/^9
2;
6;
welche die
Zahl
(3)
suchen,
erhebt,
die
dem Numerus
eine
(S^)
(512)
welche die Basis auf eine Potenz
ist.
denn 5*
denn 32
denn 26
= 625;
=
=
9;
64.
*/^512 ist der formelle oder theoretische Logarithmus, 3 der
materielle oder praktische Logarithmus.
3.
Besondere Ausdrücke.
schreibt man nur Ig und nennt
Iff
Statt
vulgäre (gemeine, dekadische, brigg'sche).
/^
=
=
=
Es
diese
ist
Logarithmen
also
100 000
5, d.i. 10/^100 000
5, weil 10'^= 100 000.
/^ 100
2, d.i. 10/^100
2, denn 102=100.
=
4.
Die Division konnte nach §. 12, 6 als
traktion auf^efafst werden, bei welcher der letzte
abgekürzte Sub-
Rest die Grundnun 343 dreimal
letzte Quotient
der Subtraktion (§. 13,28) war. Da sich
nach einander durch 7 di^^dieren läfst, wenn der
die Grundzahl 1 der Division (§.13,28) werden soll:
zahl
343:7
:
Das Logarithmieren.
§.17.
53
Schlufsbemerkung.
fielen in 3 direkte
Die bisher abgeleiteten Species
und 4 indirekte
indirekte Species:
Direkte Species:
Addition
.
.
Multiplication
.
.
8
+ 3 = 11
8
3
•
zer-
|
= 24
Subtraktion
Division
|
.
.
.
.
.
11
—3=8
=8
y5r2 = 8
/^512 =
24:3
3^
Potenzieren
jRadicieren
=512
8
.
.
.
.
[Logarithmieren
3.
Betrachten wir noch einmal die Entstehung der direkten Species:
2
84-5
15 (verschiedene Summanden)
Addition:
8
24 (gleiche Summanden), dafür
8
8
+ =
+ + =
— 801
= 512
= 512
(verschiedene Faktoren)
8.^.9
8.8-8
Potenzieren:
8^
2^^
=512
(d.i. 29)
(gleiche Faktoren), dafüi-
\
(verschiedene Elemente der
Potenz).
j
Müfste nun nicht eine neue Species entstehen, wenn auch
Elemente gleich gesetzt würden? Um diese Frage zu beantworten, setzen wir also die Elemente der Potenz gleich:
hier die
8
8
8
8
8
(3)
,
abgekürzt:
8
8
8
Nach
§.
11,
8, 4.
=8 8 8 8 8
(8-8.8)-(8-8) = 83-82,
= 82-83,
=8
8
8 8
w.
= 8 -8 -8 kann
Potenz
8^
Zus. läfst sich
als
oder
oder
als (8
als
auffassen, d.h. die
(4)
abgekürzt:
,
•
•
•
8.
•
8)- (8- 8- 8)
•
.
(8
•
-
•
8)
•
8* u.
s.
-8 -8
8^
Weise umgeformt werden, mit andern Worten
in verschiedener
(§. 6, 2, 1)
:
man kann
mit der Potenz rechnen.
(5)
Dagegen kann
8, d.
i.
8
8
8
nicht beliebig als
(s^)
oder
aufgefafst werden, weil nach
druck 8
müfste mithin
§.
als
15, 6: 0* nicht
unverändert
kann mit demselben nicht rechnen.
=b'^
ist.
Der Ausd. h.
man
Hauptbedingung für
eine
stehen bleiben,
Endliche und unendliche Gröfsen.
§. 18.
Null.
59
ist nun niclit die Abkürzung, sondern die Möglichkeit, mit
Abkürzung zu rechnen, folglich führt das Potenzieren zu
keiner neuen höheren Species, und es giebt daher nicht mehr und
nicht weniger als 3 direkte und 4 indirekte Species. Dennoch ist
von Manchen eine 8. Species: das Antilogarithmieren (Numerieren)
aufgestellt worden, welches aus dem Logarithmus und der Basis
desselben den Numerus sucht. Mit demselben liechte müfste es
dann eine Antisubtraktion geben, welche aus dem Rest und dem
Subtrahend den Minuend sucht, weil Rest, Subtrahend und Minuend in der Subtraktion dieselbe Stellung einnehmen, wie der
Logarithmus, die Basis und der Numerus beim Logarithmieren.
Species
dieser
Die bisherige Entwickelung der arithmetischen Begriffe
Einheit,
Zahl (Summe von Einheiten),
Zahlenbildung (Addieren von Einheiten),
Species Addition (Addieren von Zahlen),
Multiplication (Vereinfachung der Addition),
Potenzieren (Vereinfachung der Multiplication),
Logarithmieren (Umkehrung des Potenzierens),
dem undefinierbaren Grundbegriffe
der Arithmetik, ohne jeden Sprung zu dem höchsten Begriffe Logarithmus gelansten.
zeigte, dafs wir aus der Einheit,
§.
Endliche und unendliche Gröfsen.
18.
man
man
Addiert
1.
heiten, so erhält
Null.
eine bestimmte, abgegrenzte Menge von Eineine endliche Zahl. Eine solche ist z. B. 3,
oder Quadrillion (1 mit darauffolgenden 24 Nullen) oder Decillion
Addiert man dagegen Ein(1 mit darauffolgenden GO Nullen).
heiten ohne Aufhören, so dafs ihre Zahl eine unbegrenzte ist, so
erhält man die Zahl „unendlich grofs", die mit oo abgekürzt
Es
Avird.
ist
also:
4-
1
1
Anmerkung.
—
die Einheiten
ins
Unendliche
Es
2.
in
+ +
1
Die
in
B
1
=oo.
—
also
ist
-f
in inf.
fortgesetzt.
aber auch
+
4-
In in/'., d. i. in infinitum
bis ins Unendliche
vorstehender Darstellung nach rechts hin bis
l-f
1
1
1
1
+ +
1
1
....
+
+ +
1
1
-f
1
ausfcedrückte Zahl
1
ist
H-
-1-
um
==oo
(A)
ininf.=oo
(B)
in inf.
die 3
voranstehenden Ein-
ßO
Endliche und unendliche Gröfsen.
§• IS-
heilen grofser als die in A, und doch ist
heiten in beiden Zahlen =00, folglich ist:
= 00,
00 -\-a =
00
c»
ebenso:
allgemein:
-f-
um jede
Anzahl der Ein-
die
3
+ 1000 = oo,
Oder:
cx>.
00
Null.
endliche Zahl vermehrt, giebt
immer wieder
00.
A
3.
Würde man vor die 1. Einheit in
nicht blofs 3, sondern
unendlich viele Einheiten setzen, so würde die neu entstehende
Zahl B doch immer nur =00 sein. Es ist also:
CG
-\-
00
= 00,
d.
i.
2'Oo
eben so 3 00
•
= oo,
= co
u.
s.
Oder:
w.
mit irgend einer endlichen Zahl multipliciert,
immer wieder 00.
giebt
c»o
Denkt man
4.
Zahl 8 vorstellen
metern
um
(also
3:
Länge von 8 Centimetern (die die
den unendlich kleinen Teil von 3 Centi-
sich eine
soll)
um
00^
3 \
j
vermehrt, so würde die neue
Länge
doch nur genau 8 Centim. bleiben. Denn würde man sich die
8 Centim. um ein noch so kleines angebbares (mefsbares) Stück, z.B.
um den millionten Teil eines Millimeters, oder um den decillionten
Teil eines jMillimeters vergröfsert denken, so hätte man die 8 Centim.
nicht
um
ein
unendlich kleines Stück
3
Centim.
(wie es jene
sein soll) vermehrt, weil 3 Centim. nicht unendlich oft, sondern
nur in eine bestimmte abgegrenzte Anzahl von Teilen geteilt werden müssen, wenn ein Decilliontel Millimeter entstehen soll.
Es
ist
01^
also
o
00
allgemein,
wenn a und
b endliche
a
Der unendlich
-\
00
Zahlen vorstellen:
=
a.
kleine Teil einer endlichen Gröfse
(z.
verschwindet mithin in Bezug auf eine endliche Gröfse
kommen, ist „Nichts" in Bezug auf endliche Gröfsen.
Nichts bezeichnet man mit
(Null).
Wir
B.
—
00
)
/
(8) voll-
Dieses
wiederholen:
ist nicht das absolute Nichts, sondern
der unendlichkleine Teil einer endlichen Gröfse, der allerdings neben endlichen Gröfsen vollkommen verschwindet.
Es
ist
also:
— =0,
=
0,
allgemem:
—=
0.
Endliche und unendliche Gröfsen.
§. IS.
Aus
5.
8
=8
+ -~
oo
8
= 8 + 2- —
=8
+—
oo
oo
=8
8+ oo— = 8H-3~
oo
u.
heit, d.
=
i.
oo
Da
w.
kleinen Teil der Ein-
setzt:
allgemein
6.
8.
ß\
13,18, Anni.)
(s. §.
wenn man zunächst nur den unendlich
wird,
Null.
also
:
8
8
a
8 + =8
+ 2-0 = 8
+ 3.0 = 8
+ =
5
•
ö.
1-0, 2-0, 1000-0 gegen die endliche Gröfse 8
oder
ist es gleichgültig, ob man 1
setzt daher der Einfachheit wegen
vollkommen verschwindet, so
1000-0 zu 8 addiert. Man
statt 8+1000-0
8 nur 8
=
•
+ =
8,
wenn
die
Vermehrung
um
werden raufs. Es ist mithin
1000-0
0, allgemein: a-0
0,
wenn diese Produkte Beziehungen zu endlichen Gröfsen habenBeispiel. Soll 30, d. i. „3 Zehner
Einer", mit 2 mul2-0
ti[)liciert werden, so würde man nach §.11,4: 6 Zehner
Einer erhalten. Man schreibt jedoch nur 60, d. i. 6 Zehner
1-0 Einer, weil die unendlichkleine Gröfse 2-0 Einer in Bezug
auf die endliche Gröfse 6 Zehner ebenso vollständig verschwindet
eine unendlich kleine Gröfse angedeutet
=
=
+
wie
1
•
+
Einer.
Da
der millionte Teil von 2 doppelt so
von 1, der decillionte Teil von 2
als der decillionte Teil von 1 sein mufs, so mufs
2
lichkleine Teil von 2 , d. i.
doppelt so grofs
7.
+
millionte Teil
ist, als der
doppelt so grofs,
auch der unend-
grofs
—
1
als
,
d.
i.
2-0
doppelt so grofs als 1-0 sein, sobald diese Gröfsen nur unter sich
betrachtet und nicht in Beziehung zu endlichen Gröfsen gesetzt
werden.
Unendlichkleine Gröfsen unter sich allein verglichen stehen also im endlichen Verhältnis.
Anmerkung. 4-0
ist
also unter diesen
=
Bedingungen gröfser
Wollte man 4 -0
3
setzen, wo beide Produkte keine
Beziehungen zu endlichen Gröfsen haben, so Avürde man, wenn
man nach §. 13, 30 beide Seiten durch
dividierte, zu dem falschen Schlufs 4
3-7 setzen und
3 gelangen. Wollte man 4-7
die Gleichung durch 7 dividieren, so würde man nur denselben
als
3-0.
=
Fehler begehen.
•
=
:
§• 18.
Endliche und unendliche Gröfsen.
8 -h
=
62
8.
Aus
§.8, l,Zus.:
8
I.
Eine
wieder.
8
II.
9.
Aus
+ 3 = oo,
folgt
00
nach
§. 8, 1
I.
oo
Satz) folgt nach
a; oder:
selbst
— =
:
um
x
— =
a;
c)
+ 1000 = 00,
— 3 = oo,
(s. 5.
allgemein a
a
(vergl. §.9,6);
sich selbst vermindert giebt 0.
+ ö - — (a
(a
a
vermindert giebt jene Gröfse
— 8 = 0,
Beispiele:
oo
um
Eine Gröfse
oder:
+ =a
allgemein: a — =
8, allgemein
— 0^8,
Gröfse
Null.
oo
-}-
0;
&
— =
c)
+ « = oo
allgemein: oo
— 1000^^=^00,
Eine unendlichgrofse Zahl
um
oo
0.
(s, 2.
Satz)
— «=00«
eine endliche Zahl vermin-
Zahl selbst
dert, giebt jene unendlichgrofse
-wieder.
— 00 = 00 — 00 = 1000, 00 — 00 =
Satz,
nur auf
Der Satz a — a =
bezieht
aber nicht für unendlichgrofse Zahlen.
die endliche Zahl
überhaupt =
Vielmehr kann 00 — 00=1, oder =1000
00
II.
3,
a.
gilt
«,
jeder endlichen Zahl, aber auch
00
— 00
10.
nach
folgt
3-0
§.
=
0,
u.
=0
mithin eine sogenannte
ist
Aus
sich also
II)
(s. 8.
1000-0
s.
w.,
sein.
„unbestimmte Gröfse".
=
0,
a-0
=
(s. 6.
Satz)
12, 1, Zusatz:
durch jede endliche Zahl dividiert giebt
Beispiel.
0:13
=
0.
Die Division
:
1
0.
3 geht also auf, d.h.
68 bleibt kein Rest.
Es kann daher
-v
endliche Zahl bedeuten.
—a =
1
11.
folgt
gilt
®
_
§.
Es
Zahl
ist
3,
mithin
oder 1000, oder
—
=
00,
12, 1, Zus.:
00
jede
a.
1000-00=^00, a-oo
00
1, also
eine unbestimmte Gröfse.
nur für die endliche Zahl
Aus 3-00
nach
'
also
die
00
= oo
,
(s.
T-=~' 1000=^'^ = °°'°'*'='^=
00 durch jede endliche Zahl dividiert giebt 00.
3.
Satz)
§. 18.
Endliche und unendliche Gröfsen.
^=
11.
—
—=
-~ = 1000,
3,
kann jede endliche Zahl
Null.
63
a; oder:
vorstellen,
rat
also eine un-
bestimmte Gröfse.
12.
T
1.
—=
Aus
oo
0,
-^^oo
=
—=
0,
oo
a
-— =oo, —
—3 = oo, —löOO
= oo;
^
uä§. 13,
IQ 4:
nach
Jede endliche Zahl durch
=
-
oder:
dividiert, giebt oo.
Dieser Satz könnte auch in folgender
1:1
Satz)/ folgt
o
(s. 4.
Weise bewiesen werden:
1,
^
1000
1000,
'jwom ='">''''
(§.
ist
Wird der Divisor immer kleiner, so wird der Quotient gröfser
Die Grenze für das Abnehmen des Divisors
13, 28, 5. Zus.),
0, die Grenze für das Zunehmen des Quotient: oo, folglich ist:
= oo, oder — =
0-oo =
O.co = 1000,
1
:0
1
IL Nach
Es
§.
ist
13, 5:
also
Anmerkung.
u. s.
w.)
macht uns
oo.
3,
0-oo
=
«.
oo eine unbestimmte Gröfse.
•
Mit noch andern unbestimmten Gröfsen
(1
die allgemeine Zahlenlehre bekannt.
+ =
—
13.
Aus 1
1 folgt nun auch 1
1 ==
und das Kückwärtsschreiten in der natürlichen Zahlenreihe (s §.8, 1, Zus.) führt
damit zu:
i/, a o,
^
t
^
i
n
6,
4, 3, 2, 1, 0.
\
Durch vorstehende Sätze
Zahlenreihe zu:
0,
erweitert
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
sich also die
10,
11
natürliche
oo.
Ursprünglich giebt es keine anderen als diese natürlichen (oder
ganzen) Zahlen. Solche, die dem Werte nach zwischen denselben
stehen, können nur durch die natürlichen Zahlen und zwar in
Bruchform dargestellt werden.
So
ist
z.B.
3y,
d.i. 3
+ y,
,
64
Das Zehnersystem.
§• 19.
gröfser als 3
(s. §.
1.
und
1, 6)
(s. §.
13, 13,
,
kleiner als
3+ 1>
d-
i-
kleiner als 4
Zus.).
Schlufsbemerkung.
Bezeichnet man:
+,
die Multiplication (als vereinfachte Addition) mit
die Division (als vereinfachte Subtraktion) mit -^,
das Potenzieren (als vereinfachte Multiplication) mit
+,
das Radicieren (als vereinfachte Division) mit -^,
das Logarithmieren (als vereinfachte Division) mit vr>
so
ist:
— l)-{-b — a,
= a),
a-^b-\-b = a (nämlich a:h
a-rh \-b = h (d.i. a durch b radiciert
a
.l)
und
die
entstehende Zahl dann mit b potenziert, also Kya) ==a).
Der Satz a
b -\-b
a nimmt mithin in der Subtraktion dieselbe
—
Stellung ein
,
=
a:b.b
wie der Satz
=a
in der Division
und
\"j/
a
/
im Ra-
In der That werden auch diese Sätze auf gleiche Weise bewiesen (s. oben). Der innige Zusammenhang der 7 Species ist mit dieser Darstellung leicht erkennbar. Man vergleiche auch:
dicieren.
(a
-\-
d)
- (b
-{-
d)
=a—b
mit (a
d.
+ d) — (b 4- d) = a — b
(a .d) :(b .d) = a:b\
i.
— {b-\- = a — b — c mit a-^{b-\- c)^ a-^h -^-e
d.
a:(b.c) = a:b:c.
Vergleicht man
« -f o = a und a — = a mit
= a und «:! = «, so ergiebt sich,
a
a
c)
i.
.
l
Bezug auf Addition und Subtraktion dasselbe
cation und Division (s. auch §.13, 28).
Bezeichnet
man daher
1
mit
0,
was
ist,
1
dafs
in
in der Multipli-
so gehen vorstehende Sätze über in:
= a, a — =
= a.
a-\-(z)= a, a -^
a-f-0
ct,
(z)
= a — a und (D=a-^ a, d.i. = a:a, haben daher
gleichfalls gleiche Stellung. Wollte man nun
als „Differenz aus 2 gleichen
Gröfsen" (0 == a — a) erklären, so mlifste die Einheit als „Quotient aus
Die Sätze
2 gleichen
Gröfsen"
t
(= ^)
erklärt werden.
tion für die Einheit erst in der Division
mit der Einheit gerechnet worden
§. 19.
Dann aber könnte
die Defini-
gegeben werden, nachdem längst
ist.
Das Zehnersystem.
1.
Die Einheiten einer Zahl sind nach dem Zehnersysteme
(Decimalsystem, dekadisches System, Dekadik) angeordnet, wenn
jede Einheit irgend eine
nächstniedern (rechts
Es gilt daher:
1
1
1
=
=
Ordnung (Stelle)
Ordnung
stehenden)
10
Einheiten der
gilt.
Zehner (Zig)
10 Einer,
Hunderter =10 Zehner =100 Einer,
Tausender
10 Hunderter =100 Zehner
= 1000 Einer.
In der Zahl
Das Zehnersystem.
19.
§.
5
5
G
7
u ^
i^
G
a
c ^
= ü -—
a .a
O
O
i-c
O r^T
tß
CO
^H
- ^
--
unterscheidet
!^
man:
Vorstehende Zald
.==
gilt
^
65
8
3
7
6
oder die Werte der
Einheiten sind:
S3
daher:
+ 8 Tausende + 3 Hunderte + 7 Zehner
6 Einer
= 5 10000 8 1000 + 3 100 + 10 + 6
= 5 10* + 8 03 + 3 02 + 7 +
5 Zehntausende
-f-
-1-
•
•
.
7-
•
•
1
•
1
•
1
•
1
6.
Ist ahc eine dreistellige Zahl, sind also a, b und c ZiiFern,
so enthält dieselbe a Hunderte, b Zehner und c Einer, mithin hat
den Wert 100a
sie
+ 10& +
c.
Jede Zahl, die nach dem im Eingange dieses §. ausgesprochenen Grundsatze angeordnet ist, heifst Decimalzahl, dekadische
Zahl, Zahl des Zehnersystems.
Um
mehrstellige Zahlen lesen zu können, teilt man die2.
selben von den Einern an in Klassen von je 6 Stellen, die Unionen, Millionen, Billionen, Trillionen, Quadrillionen, Quintillionen,
Sextilhonen, Septilhonen, Octillionen, Nonillionen, Decillionen,
Undecillionen, Duodecillionen, Tredecillionen u. s. w. genannt werden.
Jede dieser Klassen teilt man in zwei Unterabteilungen von
je
drei Stellen,
erhält u.
Um
s.
z.
von welchen
8
C
Ol
S3
a
höhere den
Namen „Tausende"
B. die Zahl 18446744073709551616 zu lesen,
selbe zunächst abzuteilen:
1
die
w.
ist
die-
§. 20.
6g
um
oft,
Das Rechnen mit ganzen Zahlen
Zahlen
die
Weise ab:
bequemer
lesen
in seinen
Grundzügen.
zu können,
in
folgender
18"'446744"073709'551616.
Quadrillionen bezeichnet man hierbei mit iv, Quintillionen mit v,
Sextilhonen mit vi u. s. w.
Für ,, Tausendmillion" gebraucht man zuweilen den Ausdruck
„Milliarde".
3.
Sie
Die Zahlzeichen
sind jedoch
nicht
0,
1,
2
eine Erfindung
9 nennt man arabische.
der Araber, sondern der
Indier.
Zehn (ursprünglich decken) und zig {dek) sind aus dem urindogermanischen dek (Finger
die 10 Finger) entstanden; lateinisch decem
dekem^ griechisch deka.
Die Wörter „elf" und „zwölf" sind aus den altdeutschen Ausdrücken „ein lif" (daher eilf) und „zwei lif", d. i. „1 darüber,
2 darüber", entstanden.
—
=
§.
Das Rechnen mit ganzen (Decimal-) Zahlen in seinen
20.
Grundzügen.
Addition.
Der Anfänger hat zuerst das „Eins und Eins" einzuüben:
1.
1.
1
2
9
II.
+ 1=2, 2 + 1=3, 3 + 1=4,
+ 2 = 4, 3 + 2 = 5,
bis
+ 9=18.
Damit der Anfänger
die
Summen, welche
sind, leichter behält, hat er vorzüglich die
9
gröfser als 10
Verbindungen
+ = 10, 8 + 2 = 10, + 3 = 10, 6 + 4=10, 5 + 5=10
B. 8 +
um
8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15 aufzufassen.
7
1
zu beachten,
7
z.
als
III. Da nur Gleichartiges, also nur Einer zu Einern, Zehner
zu Zehnern u. s. w. addiert werden kann, so addiere
58
9
4162 in folgender Weise:
736
58
736
9
4162
+
+ +
4965
+
+ +
5 Einer
Hier erhielt man zuerst 25 Einer, die in 2 Zehner
zu verwandeln waren, um die 2 Zehner mit den Zehnern 5
3
6
zu vereinigen u. s. w. Hieraus fol2:t zugleich, dafs man bei der
Addition mit der niedrigsten Stelle beginnt.
2.
Subtraktion.
I.
Der Anfänger
und Eins" einzuüben.
16
—9=
7
sein.
hat
Da
zunächst die
9
+ 7=-- 16,
Umkehrung
so mufs 16
des
„Eins
—7=9
und
§.
II.
Gesagte.
20.
Das Rechnen mit ganzen Zahlen
in seinen
Grundzügen.
67
Für die Subtraktion (rilt das in der Addition unter III
Daher 8937
511 berechnet:
—
8937
514
8423
Zuerst 7
III.
— 4 Einer = 3 Einer
62.,
u.
s.
w.
=
Zunächst
1
Einer bei den 6 Zehnern
Zehner
geborgt und der Minuend enthält alsdann in den
2^^12 EinZehnern nur noch 5 Einheiten, in den Einern 10
Daher:
heiten.
39
1
+
6.2
Das Rechnen mit ganzen Zahlen
§• 20.
68
4-2 Einer; alsdann
= 21
Zehner
7 »3
+ 4 Zehner + 2 Einer = 25
derte + 5 Zehner
2 Einer. Daher:
Zehner
in seinen
Zehner.
Zehner
Grundzügen.
Jetzt hat
man
21
+ 2 Einer = 2 Hun-
-\-
36-7
= 252.
IIL 508-6? Zunächst 6 8 Einer = 48 Einer = 4 Zehner +
8 Einer. Hierauf 6'0 Zehner =
Zehner
18,6), hierzu
jene
Zehner gerechnet, und man hat zusammen
+ = 4 Zehner. EndHch 6.5 Hunderte ^ 30 Hunderte = 3 Tausende +
Hunderte. Folghch: 508-6 = 3048.
•
(s.
§.
4
4
-f-
Man
956-748?
IV.
ner
denke
956
sich:
-(7
Hunderte
-}-
4 Zeh-
8 Einer)
= 956-7 Hunderte [= 6692 Hunderte = 669200]
-f 956 4 Zehner [= 3824 Zehner = 38240]
-
+ 956-8 Einer [= 7648 Einer].
Daher:
956-748
6692
3824
7648
Diese Produkte werden „Partialprodukte"
genannt.
Addiert geben dieselben das
gesuchte Produkt:
^
I
j
= 715088
V. 5300-74000? Man denke sich:
53 100 74 1000
53 74 100 1000
53 74 100000.
Man multipliciert daher 53 74 und hängt an das Produkt
-
•
=
-
= 5 Nullen.
-
-
2+3
Zunächst hat der Anfänger das Einmaleins umzukehren.
7-9
7 sein.
63, so mufs 63:7=9 und 63:9
I.
=
=
-
Division.
4.
Da
-
•
-
=
n. 864 2 kann zwar als
(8 H.
(4 E.
2)
(6 Z. 2)
+
:
+
:
oder:
H.
(8
:
:
2)
=
2
= 4 H. + 3 + 2 F.
+ 6 Z. + 4 E.)
:
Z.
13, 12)
(s. §.
864:2
= 432
berechnet werden, aber nicht immer geht die Division der einzelnen
Stellen auf, Avie folgendes Beispiel zeigt:
=
=
774:3? Da 6H.:3
2 H., 9 H. 3
3 H., so liegt hier der
Quotient zwischen 2 H. und 3 H. Mithin hätte man sich die Aufgabe zu denken:
(6H.
und
weil
Da
1
H.
= 10
=
:
+ 1H. + 7 Z. + 4E.):3
Z.:
(6
H.
+ 17
Z.
+ 4 E.): 3
u.
s.
w.
H. 3 vorläufig nur 6 H. durch
3 dividiert werden können, so bleibt 1 Hunderter ^^ 10 Zehner als
Eest, so dafs alsdann 10
7 Zehner
17 Z. durch 3 zu dividiealso bei der Division
+
ren sind.
von
7
:
=
Das Rechnen mit ganzen Zahlen
§. 20.
Dieses
division
1.
(§.
die
die
Verfahren ist aber nichts Anderes
Hieraus folgt, dafs
Division
als
die
69
Partial-
den
mit
höchsten Stellen des Dividend
zu
ist;
Division
mehrstelliger Di\idenden
di^^sion auszuführen
in §.
seinen Grundzügen.
13, 29).
beginnen
2.
in
durch die Partial-
ist.
Vorstehendes Beispiel ist also zu rechnen
13,29, 3. Zus.):
771:3
258
6
=
(vergl. die Beispiele
17
15
24,
12
774:3
abgekürzt:
= 258.
Die kleiner geschriebenen Ziffern
7
— 6 Hunderte
und 17
und 2
1
— 15 Zehner.
sind
die
Reste
=
ni. Wollte man bei 812:4 nur 8:4
2 und 12:3 rechnen,
ohne Rücksicht auf die Ordnungen der Zahl zu nehmen, also
schreiben:
so
:4
würde
812:4
diese 2
= 2H.!)
im Quotient: Zehner aber nicht Hunderte
Wird dagegen
die Partialdivision vollständig
812:4
1
= 203
=
4 =
Zehner: 4
12 Einer
so erhält man
sich, dafs bei
lassen
(8
H.
bedeuten.
vollkommen
:
Zehner!
3 Einer,
richtig 2 als
der Division nie die
angewendet:
Hunderte und
Hauptregel
es ergiebt
aufser acht zu
ist:
Jede einzelne Stelle des Dividend
ist
zu divi-
dieren.
1
Abgekürzt:
=
812:4
= 203
mit folgender Rechnung:
Zehner. Der Rest 1 Zehner
2 Hunderter; 1 Z. 4-8 H. 4
12 Einer. Diese durch
10 Einer mit den 2 Einern vereinigt
4 dividiert =^ 3 Einer.
=
:
IV.
Diese Regel
det werden:
:
mag auch
=
auf folgendes Beispiel angewen-
8
§.21.
70
Andere Zahlensysteme.
= 09.. =
7696:8
TH
76
72
u.
s.
oder
9..
H
w.
Hieraus folgt, dafs man nicht erst 7 Tausende durch 8, son6 Hunderte
76 Hunderte durch 8
dern sogleich 7 Tausende
=
+
dividiert, also rechnet:
7696:8
= 962
72
49
48
16
4 1
abgekürzt:
In gleicher Weise verfährt
Beispiel:
7696
man
519367: 874
4370
:
= 962.
bei mehrstelligen Divisoren.
= 594fH:.
8236
7866
3707
3496
211
Um
Anmerkung.
bei mehrstelligen Divisoren die jedesmalige Stelle des Quotient leichter bestimmen zu können, denkt
man sich zunächst nur die höchsten Stellen des Dividend durch
Z. B.:
die höchsten Stellen des Divisor dividiert.
Für
die
1.
4937192:78165?
man: „49
Stelle des Quotient hat
di\idiert
durch eine
oder besser, weil 78 schon nahe 80 ist:
„49 dividiert durch eine Zahl, die nahe 8 ist" =6. So findet
man die erste Stelle 6 des Quotient, ohne erst untersuchen zu
müssen, welches von den Produkten 78165-5, 78165-6, 78165-7
sich der Zahl 493719 am meisten nähert und nicht gröfser als
Zahl, die gröfser als 7",
diese Zahl
ist.
§.21.
Andere Zahlensysteme.
Je nachdem die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe durch das
Zehner- oder Achtersystem ausgedrückt werden, hat man als Werte
der Einheiten der verschiedenen Ordnungen (ausgedrückt durch
Decimalzahlen):
Andere Zahlensysteme.
§. 21.
10,
lO',
10^
1,
8,
8',
8',
1,
8, 64, 512,
1,
Um
5
10^
8',
(s. §.
8^...d.
19, 1)
i.
4096, 32768,
die Zahl
4
des Achtersystems in eine Zahl des ZehnerSystems zu verwandchi, hat man die Anzahl
der Einheiten jeder Ordnung, wie sich aus
6
7
§.
mit
lO',
71
^ ^ o
*^ "^
19,
ergiebt,
1
zu multiplicieren.
Die gesuchte Zahl des Zehnersystems
ist
also:
= 5 4096 + 4. 512 + 0- 64 + 7. 8 + 6-1
= 20480 + 2048 + + 56 + 6 = 22590.
•
Ist umgekehrt die dekadische Zahl 22590 in eine Zahl des
Achtersystems, also in eine oktoadische Zahl zu verwandeln, so
hätte man zu untersuchen, wie viel Einheiten in der fünften Stelle
der oktoadischen Zahl, deren jede 32768 gilt, vorhanden sind, ferner wie viel Einheiten in der vierten Stelle der oktoadischen Zahl,
deren jede 4096 gilt, vorhanden sind u. s. w. Da die gegebene
Zahl kleiner als 32768 ist, so sind in der fünften Stelle keine Einheiten vorhanden. Die übrigen Stellen ergeben sich durch folgende
l^^^'^«^^n=
=5
512 = 4
64 =
8=7
22590:4096
20480
2110:
2048
62
:
62:
56
1=6.
6:
Die gesuchte Zahl des Achtersystems
Das Zweiersystem
heifst
..
„
Triadik,
Tetradik,
Pentadik,
,,
„
Hexadik oder Sehsystem,
„
„
„
„
„
„
„
..
,,
,,
„
,.
Fünfer
„
..
Sechser .,
Siebener .,
Achter
„
..
Neuner
,,
„
,,
.,
Elfer
„
„
„
..
daher 54076.
auch Dyadik, binarisches System,
Dreier
Vierer
,,
ist
Heptadik,
Oktoadik,
Enneadik,
Hendekadik,
72
§.
22.
Viclfaclaes, Mafs,
Arten der Zahlen.
das Zwölfersystem heifst auch Duodecimalsystem,
dodekadisches System, Dekadiadik, Teliosadik,
das Sechzehner
„
„
„
Hekkaidekadik, Sedecimalsystem.
Die natürliche Zahlenreihe
men folgendes Aussehen:
10er-
erhält in
den verschiedenen Syste-
Vielfaches, Mafs, Arten der Zahlen.
§.22.
gebenen Zahl
man, wenn man
erhält
Zahlenreihe
natürlichen
multi[)liciert.
oder
28,....
Multiplum)
von
Vielfaches (Dividuus,
90
ein
ist
6, 9, 10,
15,
Jede natürliche Zahl
ist
M,
sind 1-0,
oder: 0,
1
1-2, 1-3,
2,
1,
also ein Vielfaches
sind 0-0,
Die Vielfachen von
3.
1, 2, 3, 5,
IS, 30, 45, 90.
Die Vielfachen von
2.
21,
14,
7,
0,
oder
•
1
0,
0,
,
3,
von
1-4,
4,
1.
0-2,
0,
ein Vielfaches jeder Zahl.
ist
Die Zahl, von welcher
ein Vielfaches gebildet ist, heifst
dasselbe ein Mafs (Teiler, aliquoter Teil, Divisor
5 ist ein Mafs von 35, weil 35 ein Vielfaches von 5 ist.
4.
in
dieselbe mit den Zahlen der
Die Vielfachen von 7 sind
7-0, 7-1, 7-2, 7-3, 7-4,
also:
73
—
Bezug auf
Faktor).
12
Mafs von 60, aber auch ein Mafs von
Die Mafse von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12.
ein
ist
„
„
Hieraus folgt:
5.
Jede Zahl
6.
ist
1
20
ein
ist
1,
„
96.
2, 4, 5, 10, 20.
Mafs jeder Zahl.
ein Mafs von
denn
0;
ist
ein Vielfaches
jeder Zahl.
ein
Eine Zahl, die kein Mafs
7.
aliquanter Teil derselben;
von
24.
einer gegebenen Zahl ist, ist
B. 5 ist ein aliquanter Teil
z.
Primzahl
(einfache Zahl, Surtimzahl) ist eine Zahl, die
Mafs hat. 5 ist z. B. eine Primzahl, da
dieselbe nur 1 und 5 als Mafs hat.
21 ist keine Primzahl, da
diese Zahl aufser 1 und 21 noch die Mafse 3 und 7 hat.
Produktzahl (zusammengesetzte Zahl) ist eine Zahl, die
aufser 1 und sich selbst noch andere Mafse hat. Z. B. 91, die aufser
8.
nur
1
1
und
sich selbst als
und 91 noch
und 13
7
7,
aufser
Primzahl,
Ist 7 eine
9.
d.
1
als ein
Z.B. 140
dargestellt werden.
von
Mafse hat.
Produkt aus lauter Primzahlen
als
Jede Produktzahl kann
14, 21, 28, 35
und 14 noch 2 als
i.
.
.
=
2 -2 -5
so
.
.,
Mafs
•
7.
müssen alle höheren Vielfachen
Produktzahlen sein; denn 14 hat
u.
s.
w.
daher keine Primzahl, weil sonst die Vielfachen von
Produktzahlen sein müfsten (s. 4. u. 8. Satz).
1, d. i. 2, 3, 4, 5,
Die nächsthöhere natürliche Zahl 2 ist dagegen Primzahl, da
sie nur 1 und sich selbst als Mafs hat, während die Vielfachen
von 2, d. i. 4, 6, 8, 10, ...
Produktzahlen sind. Die nächsthöhere natürliche Zahl 3 ist wieder Primzahl, während die Viel10.
1
ist
.
.
.
.
.
:
74
§. 22.
Vielfaches, Mafs, Arten der Zahlen.
fachen von 3, d. i. 6, 9, 12, ... Produktzahlen sind. Es folgt 4,
diese aber ist schon als Produktzahl bestimmt.
Die nun folgende
5 ist weder bei 2, noch 3, noch 4 berührt worden, daher Prim.
Folglich:
zahl.
Prim-
Produktzahlen
zahlen
2
3
5
7
11
6,
8,
4,
6,
9, 12,
10, 15, 20,
14, 21, 28,
10, 12,
15, ..
25,
35,
.
..
.
.
22, 33, 44, 66,..
Somit erklärt sich der Name Primzahl. Es ist 2 in der beReihe 2, 4, 6, 8,
die erste Zahl (primus numerus).
treflPenden
.
.
.
.
11.
Die Vielfachen von 2, also 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,
nennt man gerade Zahlen. Die Zehner, Tausende, Hunderttausende u. s. w. einer Zahl, d. i. die 2., 4., 6. Ordnung u. s. w., sind
mithin geradzahlige Ordnungen.
Jede Zahl, die 2 nicht als Mafs hat, heifst ungerade Zahl,
z. B. 1
Die Einer, Hunderte, Zehntausende
3, 5, 7, 9, 11, ...
einer Zahl sind ungeradzahlige Ordnungen.
Auf Nullen sich endigende Zahlen nennt man runde Zahlen;
z. B. 70, 23000, 10000.
,
,
.
Um
12.
sämtliche Primzahlen aufzufinden, kann man das in
10 gegebene Verfahren noch abkürzen. Da die Vielfachen von 2
Produktzahlen sind, so notiere
in folgender Weise:
3
5
7
9
11
31
33 35 37 39 41
61
63 65 67 69 71
91
93 95 97 99 101
121 123 125 127 129 131
151 153 155 157 159 161
181 183 185 187 189 191
13
man nur
15
43 45
73 75
103 105
133 135
163 165
193 195
17
die
.19
ungeraden Zahlen
21
47 49 51
77 79 81
107 109 111
137 139 141
167 169 171
197 199 201
23
53
83
113
143
173
203
25
55
85
115
145
175
205
27
57
87
117
147
177
207
29
59
89
119
149
179
209
Tabelle behalte man zuerst 3 als Primzahl und
jede dritte Zahl (9, 15^ 21, 27,....) als Produktzahl.
Hierauf behalte man die auf jene 3 folgende, zuerst nicht gestrichene Zahl als Primzahl; es ist dies 5.
In
dieser
streiche
=25
Streiche alsdann 5
und von 25 an jede fünfte Zahl (35,
45, 55, . .) als Produktzahl.
Die nach 5 zuerst nicht gestrichene Zahl 7 ist nun als Prim.
.
zahl zu behalten,
Zahl (63, 77,
.
.
.
.)
alsdann 7^
= 49
zu streichen
u.
und von 49 an jede
s.
w.
siebente
=
Nicht von 7 an, sondern erst von 7"
49 an ist jede siebente
Zahl zu streichen, weil die hier vorhandenen Vielfachen zwischen
A
:
Vielfaches, Mafs, Arten der Zahlen.
§. 22.
1-7 und 7-7 (=49), d.i. 3-7 und 5-7,
als
75
Vielfache von 3 und
5 schon gestrichen sein müssen.
Hat man diese Operation bis zu irgend einer Primzahl (z. B. 19)
vorgenommen, so müssen alle nichtg-estrichenen Zahlen, die kleiner
sind als das Quadrat der nächsten Primzahl (kleiner als 23 oder
529) Primzahlen sein, weil z. B. nach 19 die Zahl 23 als Primzahl
folgt
und nun
Das
die zuerst zu streichende Zahl 23
hier gelehrte Verfahren nennt
man
das
=529
ist.
Sieb des Era-
tosthenes.
13.
Zwischen
1
und 1100
liegen folgende Primzahlen:
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127,
151, 157, 163, 167. 173, 179, 181, 191, 193,
227, 229, 233, 239,241,251,257,263,269,
293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349,
379, 383, 389, 397,401,409,419,421,431,
457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503,
547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599,
619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673,
709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761,
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857,
883, 887, 907, 911, 919,929,937,941,947,
983, 991,997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031,
1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
61, 67, 71, 73, 79,
131, 137, 139, 149,
197, 199, 211, 223,
271, 277, 281, 283,
353, 359, 367, 373,
433, 439, 443, 449,
509, 521, 523, 541,
601, 607, 613, 617,
677, 683, 691, 701,
769, 773, 787, 797,
859, 863, 877, 881,
953, 967, 971, 977,
1033, 1039, 1049,
1097.
Die Anzahl der Primzahlen beträgt
bis
100:
25
76
§. 22.
Zu beachten
ist,
Vielfaches, Mafs, Arten der Zahlen.
dafs folgen
Einige Eigenschaften der Zahlen
§. 23.
77
etc.
Von 20 und 30
das
ist CO das kleinste gemeinsame Vielfache (10
gemeinsame INIals); von 18, 24 und 30 ist 300 das
gemeinsame Viellache.
grölste
kleinste
19.
Denkt man sich eine Produktzahl als Produkt von lauter
Primzahlen, so ist jeder Faktor ein „Primfaktor" oder „einfacher Faktor" oder „kleinster Faktor" der gegebenen Zahl. So
2 3 2 5 =- 2 2 3 5 (oder 2^ 3 5). Es sind
ist z. B. 60 -- 6
10
also 2, 3 und 5 die Primfaktoren von 60.
=
•
1584
.
•
•
•
=
=
23.
•
•
•
=
12-132
2-2-3-ll-2.2-3
4-3-ll-12
=-2-2.2-2-3-3-ll (oder =2^- 3' -11).
Die Primfaktoren von 1584 sind
§.
•
und
also 2, 3
Allgemeine Sätze
Einige Eigenschaften der Zahlen.
der Teilbarkeit.
11.
Kettendivision.
1.
„35 ist ein Vielfaches von 7", oder: „7 ist ein Mafs von
35", oder: „die Division 35:7 geht auf (giebt als Quotient eine
ganze Zahl ohne Pest)", oder: „35 ist durch 7 teilbar". Diese
Ausdrücke sind gleichbedeutend, so dafs für den einen der andere
gesetzt werden kann. Ist z. B. 2 ein Mafs von 14, so ist 14 durch
2 teilbar.
(Unter „teilbar" versteht man „ohne Rest teilbar").
Eine Zahl, die durch eine andere nicht teilbar, läfst, diu:ch
diese letztere dividiert, einen Pest (s. §. 13, 29, 3. Zus.)
2
5
Beispiel: 17 :3
Vollständig 1 7 3
5, Rest 2.
y.
=
Ist
d
umgekehrt
°
dividiert,
B
—-=
:
—d'
A
^^
u
d
giebt den Rest
r
-, so sagt
*
man auch
:
= +
dafür:
D
durch
r.
2.
Die Vielfachen von 2 sind: 2-0, 2 1, 2 -2, 2- 3, 2- 4
allgemein 2w, wenn n irgend eine ganze Zahl bedeutet. Eine
Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist nach dem 1. Satze ein Vielfaches
von 2, also ist 2« durch 2 teilbar. Eine durch 5 teilbare Zahl
kann daher 5 7i geschrieben werden.
Zusatz. Eine gerade Zahl bezeichnet man mit 2«.
•
.
.
.
.
Eine Zahl D, die durch 2 dividiert irgend eine ganze
3.
Zahl w als Quotient und 1 als Rest giebt, führt nach dem 1. Satze
zu der Gleichung:
1
Z? 2
w
Da nun der Divisor mit
= +—
:
dem Quotient
multipliciert
.
den Dividend giebt, so
-=2.(«-hy)=2.n + 2.2
=2w+l
(s. §.
Eine Zahl, die durch 2 dividiert den Rest
daher 2 » -f- 1
•
1
ist
jene Zahl
11,4 und
giebt,
§.
D
13, 10).
schreibt
man
Einige Eigenschaften der Zahlen.
§• 23.
78
D
Eine Zahl
5
5 als Rest giebt, führt zu I):l =^n-\- -^.
und
tient
die durch 7 dividiert die ganze Zahl n als
,
Quo-
Folglich mufs
'
= Dsr. XQuot. = 7(« + — 1^7 w +
5 \
i>
durch 7
werden.
Zusatz.
4.
jeder Zahl
(§.
22,
(§.
22,
5).
ist
durch
Z. B.: 37
:
1
1
=
auch durch h
teilbar;
+5
geschrieben
man
mit 1n-\-\.
w
denn
ein Vielfaches
ist
(ohne Rest).
denn
teilbar;
=37
7
bezeichnet
teilbar;
0:29
Z. B.:
3).
kann
1
ein
ist
Mafs jeder
(ohne Rest).
Sind a und h ganze Zahlen, so
6.
als
ungerade Zahl
Eine
5 sein, d.h. eine Zahl, die
giebt,
durch jede Zahl
ist
Jede Zahl
5.
Zahl
den Rest 5
dividiert
.
=
denn
a
ist
ah sowohl durch a
b (ohne Rest).
Läfst sich daher eine Zahl als Produkt aus 2 andern Zahlen
ist sie durch jeden dieser Faktoren teilbar.
darstellen, so
Beispiel: ah -\-ac=^a{h -\- c). Folglich
wohl durch a als auch durch h-\-c teilbar.
21 ein Vielfaches von 3,
Ist
7.
faches von
3.
von m.
Beweis. Ista
6.
ist
auch 21 -13
so-
ein Viel-
Allgemein:
a ein Vielfaches von w, so
Ist
dem
so
ah-\-ac
ist
= <?w,
so
ist
«&
=
ist
</»»•
auch a
fe
h ein Vielfaches
= &d'w,
folglich
nach
Satze ein Vielfaches von m.
Derselbe Satz kann zufolge des 1. Satzes auch ausgesprochen
werden:
Ist a dm'ch m teilbar, so ist auch a h durch m teilbar.
Bezeichnet
man
von n mit F^, so
13«
^3= Fg,
d. h.
Vielfaches von
Ist
8.
auch
die
ist
ein Vielfaches
also
(siehe
von
7 mit
vorstehendes
T'^,
ein Vielfaches
Beispiel)
specielle
das 13fache eines Vielfachen von 3
ist
wieder ein
3.
jede
Summe
von 2 Zahlen durch eine
dritte
teilbar,
oder Differenz jener beiden durch
die
so
ist
dritte
teilbar.
Beispiel:
77 4-28
= 105
77 und 28 sind durch 7 teilbar, folglich
oder 77
28
49 durch 7 teilbar.
— =
Beweis,
m
J)
(s.
= +
(«
a /w und & m sind durch
m, folglich durch m teilbar
teilbar.
6.
Nun
ist
ist
auch
am-\-hm
Satz).
Derselbe Satz kann auch (s. I.Satz) ausgesprochen werden:
Die Summe oder Differenz zweier Vielfachen einer Zahl
ist auch ein Vielfaches derselben Zahl.
§.
Es
also J\^
ist
um
mehrt
-\-
Einige Eigenschaften der Zahlen.
Tjj
von
=^
J\^,
d.
79
von
ein Vielfaches
i.
andere Vielfache von
beliebiges
ein
ein Vielfaches
9.
23.
1 1
,
11
ver-
giebt wieder
11.
Derselbe Satz allgemeiner:
jede von 2 Zahlen durch eine dritte teilbar, so ist auch
Summe oder Differenz von beliebigen Vielfachen jener
beiden Zahlen durch die dritte teilbar.
Ist
die
39 und 24 sind durch 3 teilbar, folglich mufs
264= 126 durch 3 teilbar sein.
11-24, d. i. 390
Beispiel:
—
10-39—
auch
am
Beweis,
der ersten Zahl
m
folglich durch
m
und b^n sind durch
sei
amn,
der zweiten
Ein Vielfaches
teilbar.
bmr.
Nun
ist
amn^bnir = {an^b r)7n,
teilbar.
Zwei auf einander folgende Zahlen der natürlichen ZahlenZ. B. 34 und 35.
Beweis. Hätten sie aufser 1 ein grofseres gemeinsames
Mafs, so müfste dieses (nach Satz 8) auch ein Mals ihrer Differenz,
d. i. ein Mafs von 1 sein, was unmöglich ist.
10.
reihe sind stets relative Primzahlen.
11.
nur eine von 2 Zahlen durch eine
Ist
kann auch
Summe
die
dritte teilbar,
so
oder Differenz jener beiden durch die dritte
nicht teilbar sein.
Beispiel:
folglich
ist
78
Beweis.
setzen.
Dann
giebt
a
-|-
78 durch 13 teilbar, 30 nicht durch 13 teilbar,
30
108 nicht durch 13 teilbar.
Ist
ist
=
a durch
+& _
m
Da nun
folglich
mufs
imd
_dm
m
m
von
m
,
d.i.
—=—
ist,
—
,
so
b
m
/w
= dm
dividiert
^ ,,— *
m'
ist
-
keine ganze Zahl,
^'^
a-\-b
b
kann man a
Diese Zahl durch
,
keine ganze Zahl.
Zahl durch eine zweite, der Quotient durch eine
der neue Quotient durch eine vierte Zahl teilbar, so
auch die erste Zahl durch das Produkt der zweiten, dritten
12.
dritte
teilbar, b nicht, so
dm + b
b kein Vielfaches
auch d-\
m
a^b = dm^b.
Ist eine
Zahl,
vierten Zahl teilbar sein.
Beispiel:
2520 ist durch 4
630 „
3
„
7
210 „
„
=
=
=
2520:4
630;
630:3
210;
210:7
30.
„
Folglich ist 2520 durch 4-3-7, d.
2520 durch 84 teilbar.
Beweis. Die 4 Zahlen seien a, b, c, d. Ist nun a:b=^m,
m:c
7i,
n:d=py so ist I. a bm, II. 7n cn, III. n^^dp.
teilbar;
„
i.
=
=
=
§.23.
gQ
Setzt
man
Einige Eigenschaften der Zahlen.
dp
in II für n;
und setzt man in I für
bcdp. Diese Zahl aber
(s.
ist
=
=
c- dp
cdp,
so entsteht ?n
Produkt cdp, so entsteht a
111),
dieses
fn
durch
bcd
Ist eine Zahl durch eine zweite nicht teilbar, so kann
13.
auch nicht durch ein Vielfaches der zweiten teilbar sein.
Beweis.
Ist
a
Da nun
a nicht durch b teilbar und setzt
b==bm,
fache von
schon
:
,
so
{h
m)
=
teilbar.
man
sie
das Viel-
ist:
= -^
= -^
um
keine ganze
:
m
Zahl
(s. §.
ist,
13, 23).
so
kann
es
auch
-j-
:
m
nicht sein.
Um
14.
das gröfste gemeinsame Mafs zweier Zahlen zu
suchen, dividiert man die gröfsere Zahl durch die kleinere, den
jedesmaligen Divisor durch den Rest, bis die Division aufgeht
(sogenannte fortgesetzte oder Ketten-Division). Alsdann ist der letzte
Divisor das gröfste gemeinsame Mafs.
I.Beispiel:
667 und 1541.
1541:667
1334
667:207
3
=2
=
621
207:46^
184
46:23
46
Der
letzte Divisor
23
=2
ist
das gröfste gemeinsame Mafs der
Zahlen 667 und 1541.
2.
Beispiel:
131 und 283.
283:
262
§. 23.
Einige Eigenschaften der Zahlen.
81
Da die Division 46:23
(Siehe das 1. Beispiel).
46 ein Vielfaches von 23 (Dividend 46 =^ Divisor 23
Qnot. 2). Folirlich ist auch 46-4, d.i. 184, ein Vielfaches von23
207
23
Nun niuls auch (s. §.9,4 und §. 23, 8) 184
(s. 7. Satz).
ein Vielfaches von 23 sein. Schreitet man weiter zurück, so findet
46 =-667, 2.667
621. dann 621
1334,
man, dafs auch 3 •207
154 1 Vielfache von 23 sein müssen oder 23
imd endlich 1334 -f- 207
ein Mafs von 667 und 1541 sein nuifs. Noch ist aber nachzuweisen,
dafs der letzte Divisor 23 das gröfste gemeinsame Mals sein mufs.
Jedes gemeinsame Mafs von 1541 und 667 ist nach dem 9. Satze
auch ein Mafs von 1541 —2.667, d. i. ein Mafs des 1. Restes 207.
Jedes ^Nlafs aber von 667 und 207 mufs auch ein Mafs von 667
3-207, d. i. ein Mafs des 2. Restes 46 sein. Endlich mufs jedes
4-46, d.i. ein
Mafs von 207 und 46 auch ein Mafs von 207
Mafs des letzten Divisor 23 sein. Hieraus folgt nun, dafs jedes
Mafs der g-eo-ebenen Zahlen 1541 und 667 auch ein Mafs des letzten Divisor sein mufs, folglich können 1541 und 667 kern gröfseres gemeinsames Mafs als den letzten Divisor 23 haben.
Beweis.
aufjj^ing, sü ist
X
+ =
=
=
=
+
—
—
1.
Zusatz.
Mithin
der Kettendivision
der letzte Divisor ein Mafs aller in
z. B. aller Reste.
ist
vorkommenden Zahlen,
Zusatz. Da jeder Rest kleiner als der Divisor, jeder Rest
kleiner als der vorhergehende Rest sein mufs, so kann die
Kettendivision nicht aus unendlichvielen Zahlen, sondern aus einer
begrenzten Anzahl von Zahlen bestehen. Denn -wenn im 2. Beispiele jeder folgende Rest nur um 1 kleiner als der vorhergehende
2.
also
Aväre, so müfste der 131. Rest
=0
sein.
Erste Abkürzung des vorstehenden Verfahrens, das
gemeinsame Mafs zu finden.
Aus den gegebenen Zahlen und jedem Reste kann man immer
durch Division diejenigen Mafse entfernen, welche gemeinsame
Mafse der gegebenen Zahlen nicht sind.
15.
gröfste
Beispiel:
141337 und 79771.
141337:79771
79771
:
=
1
61566.
Anstatt mit 79771:61566 fortzufahren, kann man zuvor aus
61566 die Mafse 2 und 3 ausscheiden, da diese gemeinsame Mafse
der beiden gegebenen Zahlen nicht sind.
Mithin
61566 durch 2-3, d. i. t3, dividiert:
*
:
79771:10261=7
71827
:7944.
7944 zuerst durch 4 =1986, diese Zahl 1986
aber auch noch durch 6 dividieren =331. Daher:
Hier
läfst sich
Schurig, Lcbrbuch
der Aritbmetik.
I.
Teil.
6
—
§• 23.
82
Einige Eigenschaften der Zahlen.
10261:331=31
993
331
331
0.
Der letzte Divisor 331 ist also das gröfste gemeinsame Mafs.
Beweis. Sind die Zahlen amn und amr gegeben, m das
gemeinsame Mafs beider Zahlen, n kein Mafs der zweiten,
kein Mafs der ersten Zahl, so kann man n und r durch Division entfernen, immer mufs das gröfste gemeinsame Mafs m noch
in den übrig bleibenden Quotienten a m und h n enthalten sein.
gröfste
;•
16,
Zweite Abkürzung.
man statt der nächst kleineren ganzen
Zahl die nächstgTÖfsere, wenn das Produkt aus dem Quotient und
Divisor um den Dividend vermindert einen noch kleineren
Rest giebt, oder wenn sich aus dem Rest leicht fremde Mafse ausAls Quotient nimmt
scheiden lassen.
1. Beispiel.
3379 und 9701.
Der Zahl 9701 liegt 3-3379 näher als 2-3379, folglich wird
man auch mit dem Quotient 3 einen kleineren Rest erzielen und
daher die Kettendivision schneller beendigen.
9701:3379
=3
10137
.
.
.
.
:
436
3379:109
(4 ausgeschieden:)
= 31
327
109
109
0.
109 das gröfste gemeinsame Mafs.
Beweis.
so hat nach
Haben 9701 und 3379 ein gemeinsames Mafs w,
2.3379 dasselbe gedem 9. Satze nicht nur 9701
meinsame Mafs m, sondern auch 3-3379
2.
Beispiel.
35501 und 46883.
— 9701.
=
1
46883:35501
35501
11382 (6 ausgeschieden:)
35501:1897
19
:
=
1897
16531
17073
(!)
.:542 (2 ausgeschieden:)
§.
23.
83
Einige Eigenschaften der Zahlen.
1897:271=7
_1S97_
0.
das gröfste gemeinsame Mafs.
27
1
3.
Beispiel.
47053 und 78703.
Obgleich 2*47053 der Zahl 78703 näher liegt, so nimmt man
doch nur 1 als Quotient, da sich aus dem Rest leichter Mafse
ausscheiden lassen.
78703:47053
47053
:
:
....:
650 (10
3165 (5
633 ( 3
31
=
1
entfernt:)
„
)
„
)
47053:211=223
422
485
422
633
633
0.
211 das gröfste o-emeinsame Mafs.
17.
Dritte Abkürzung.
Erkennt man sogleich, dafs eine Zahl prim zu einer frühern
sein mufs, so setzt man die Division nicht fort, weil dann auch
die gegebenen Zahlen prim zu einander sein müssen (s. Satz 14,
1.
Zus.).
Im 2. Bcisp. des 14. Satzes kann die Kettendivision mit dem
Reste 5 beendet werden, weil 21 und 5 relative Primzahlen sind,
folglich
auch 283 und 131.
Anmerkung.
dieses
Wie das gröfste gemeinsame Mafs auf Grund
und des folgenden Paragraphen immer in kürzester Weise
gefunden wird,
lehrt
§,
26.
Um
das gröfste gemeinsame Mafs dreier Zahlen zu finden,
dasselbe zunächst von 2 Zahlen und hierauf das gröfste
gemeinsame Mafs zwischen dem soeben gefundenen und der dritten Zahl.
18.
sucht
man
Beispiel:
37453, 51389, 85961.
=
1
51389:37453
37453
13936 (8 entfernt:)
....: 1742 (2
„
)
:
6*
84
§• 23.
Einige Eigenschaften der Zahlen.
871=43
37453:
3484
2613
2613
0.
Zwischen 871
und 51389) und
Mafs zu suchen.
(dem
der
gemeinsamen Mafse von 37453
ist nun das gewünschte
gröfsten
dritten
Zahl 85961
85961
:
=99
871
7839
7571
7839
:268 (4 entfernt:)
871:
67
= 13
67
201
201
0.
67 das gTÖfste gemeinsame Mafs der gegebenen 3 Zahlen.
120
19.
ist
sowohl durch 6,
aber unbedingt durch 6 15
unter sich sind.
•
= 90,
als
auch durch 15
6
w^eil
teilbar, nicht
und 15 nicht Primzahlen
durch 3 und durch 8, folglich auch unbedingt durch
prim zu 8 ist.
Allgemein: Ist a durch h und durch c teilbar, so ist a nur
dann unbedingt durch h c teilbar, wenn
prim zu c ist.
120
ist
3-8^24
teilbar, w^eil 3
1)
Beweis.
Da
und 15 nicht Primzahlen unter sich sind, so
haben sie ein gröfseres gemeinsames Mafs als 1, es ist dies die
Zahl 3. Der Voraussetzung gemäfs ist nun 120 durch 6^^2-3
und durch 15
5-3, d. h. durch 3 teilbar. Daraus folgt aber
6
=
nicht, dafs
3
1
20 auch durch 6 15
•
=2
•
3
•
5
•
3
=2
•
5
•
3^
d. h.
durch
teilbar sein mufs.
Sind die beiden Zahlen nun nicht 6 und 15, sondern 3 und 8,
das gemeinsame Mafs nur 1 und 120 ist dann nicht nur
durch 3-1 und 8-1, d.h. durch 1, sondern offenbar auch durch
3. 1.8. 1
3 •8-1', d.i. durch l'=l teilbar.
80
ist
,
=
20.
Es giebt unendlich
Beweis.
nun
viele Primzahlen.
Es
seien die Primzahlen bis 97 bekannt. Wird es
noch Primzahlen geben, die gröfser als 97 sind?
Multipliciert man die sämtlichen bekannten Primzahlen
2-3-5-7.il
bis 97
mit einander, so mag man eine Zahl a erhalten. Aber a-{-\ ist
nach dem 10. Satze prim zu a, folglich ist «-f-l durch keine
der in a enthaltenen Zahlen, d. i. durch keine der Primzahlen
Teilbai keit bestimmter Zuhicn.
24.
§.
85
bis 97, teilbar.
Älitliin ist « -f- 1 entweder selbst Prim2, 3,
zahl, oder durch eine Prinizalil teilbar, die gröfser als 97 ist. Folg-
Primzahlen
lich giebt es gröfsere
§.
als 97.
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
24.
1.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn es die letzte Stelle
(wenn die letzte Stelle 0, 2, 4, 6 oder 8).
Beispiel: 7438 durch 2 teilbar, weil 8 durch 2 teilbar.
743-10
Beweis. 7438
Jede Zahl aber läfst sich in
8.
ein Vielfaches von 10 vermehrt um die Einer, d. i. in „7^^^
Einer"
zerlegen.
Sind nun die Einer ein Vielfaches von 2, so geht
vorstehende Summe mit Rücksicht darauf, dafs ein F^^ auch ein
ist
=
Tg
über in
ist,
durch 2
"^^'st^^^
(s-
2
ist
d.h. die Zahl
§ 23, 8 u. 9),
durch 4, 8, 16, 32,....
resp. die
5, ...
4,
2, 3,
durch
ist
.
teilbar,
letzten Stellen
4, 8, 16, 32, .... teilbar sind.
Beispiele:
47924
38197640
730000
teilbar
durch 4
ist
24 ist;
640 „
0000, d.i.
teilbar, weil es
„
,.
8
„
„
„
16
„
„
„
„
durch 16
ist.
Beweis.
stets
+
teilbar.
Eine Zahl
2.
wenn
^'g
+
47924
auch ein
= 479-100 +
4 teilbar sind, die Zahl über in V^-\-
38197640
= 38197
Andere Regeln für
3.
1000
•
Da
24.
wenn
so geht,
ist,
J'^
das Vielfache von 100
durch
die letzten 2 Stellen
J\= l\,
also
durch 4
+ 640 = l\ + 640
u.
s.
teilbar.
w.
die Teilbarkeit durch 4, 8, 16, ...
.
Man
vergleiche die vorletzte Stelle der Zahl mit der Hälfte
der letzten Stelle.
Sind beide gerade oder beide ungerade, so ist
die Zahl durch 4 teilbar.
I.
Beispiel:
47476.
Die
vorletzte Stelle
7
ist
ungerade,
die
f*
Hälfte der letzten
durch 4
+
e
Die Zahl mag z Zehner und
gelten
(s.
§.
Sind nun
19,1).
6
z^2z\ --=2^',
10-2c'
folglich
auch ungerade, folglich
ist
diese Zahl
teilbar.
Beweis.
lOz
=—=3
durch 4
so
ist
e
= Ac'
z
e
Einer haben,
und -- gerade und zwar
und IO2
+
C
geht über in
+ 4c' = 20c' + 4e' = 4(52' +
6
teilbar.
Sind
;:
und ^
also
e'),
ungerade und zwar
so
Teilbarkeit bestimmter Zahlen,
24.
§.
gg
10 z
e=ie'-{-2 und
10(22'+l)
4e'
ist
+
durch 4
fololich
geht über in:
-{- e
+ 2 = 20^' + 4ß'+12 = 4(5z' + +
c'
IL Eine Zahl
ist
durch 8
wenn
teilbar,
die drittletzte Stelle
und der
vierte Teil der beiden letzten Stellen zugleich
zuo[leich
ungerade
auch
—r- = 8
32
4
gerade oder
sind.
987632
Beispiel:
3),
teilbar.
gerade
°
ist
durch 8
teilbar,
weil
sowohl 6
als
ist.
•
Eine Zahl
111.
ist
durch 16
wenn
teilbar,
die viertletzte Stelle
achte Teil der beiden letzten Stellen zugleich gerade oder
und der
zugleich ungerade sind.
Anmerkung. Nachstehende Regeln sind weniger praktisch: Eine
Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Summe aus der letzten Stelle und dem
20
2 7
Doppelten der vorletzten durch 4 teilbar ist. Z. B. 93876 denn 6
ist durch 4 teilbar.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die Summe aus der letzten Stelle,
dem Doppelten der vorletzten und dem Vierfachen der drittletzten durch
+
,
=
.
8 teilbar ist.
ist
4.
Eine Zahl ist durch 5
(wenn also die letzte Stelle
719235
Beispiel.
oder 5
durch 5
ist
wenn
teilbar,
es die letzte Stelle
ist).
teilbar, weil sich die
Zahl auf
5 endigt.
71923- 10
Beweis.
so wn-d die Zahl F^^
+ 5 =r^o + Einer.
+ F^ = Fg
-j-
^5
=
^^5
»
Sind die Einer
= F^,
also durch 5 teilbar.
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn es die zwei letzten
(wenn sich die Zahl also auf 00, 25, 50 oder 75
5,
sind
Stellen
endigt).
Beispiel.
79275 durch 25
teilbar,
weil
die
beiden letzten
Stellen 75 durch 25 teilbar sind.
Beweis. 79275
2.
Regel.
der Zehner
giebt, die
ura
•
100
+ 75 =
l\^^
+ 75 =F25 + 75
u.
s.
w.
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn das Doppelte
den fünften Teil der Einer vermehrt eine Zahl
durch 5
Beispiel:
=792
teilbar
119675.
ist.
Hier
ist
2-7
+ -^= 14 + = 15
1
5 teilbar, folghch auch die ganze Zahl.
Beweis.
^
IQz^e _(\Oz-{-e):b
25
e
_ ^^T
durch
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
§. 24.
87
6.
Eine Zahl ist durch 125 teilbar, Avenn es die 3 letzten
Stellen sind (wenn sich also die Zahl auf 000, 125, 250, 375, 500,
625, 750, 875 endigt).
Beispiel:
Beweis.
3441875
3441
ist
1000
•
wegen 875 durch 125
+ 875=
rjooo
+ 875
teilbar.
u. s.
w.
Eine Zahl ist durch 125 teilbar, wenn das Vierfache der Plünderte um den fünfundzwanzigsten Teil der beiden
letzten Stellen vermehrt eine Zahl giebt, die durch 5 teilbar ist.
Regel.
2.
Eine Zahl
7.
wenn
durch 625, 3125,
ist
resp. die
durch
teilbar,
letzten Stellen
5,
4,
625, 3125,
Quersumme
8.
nungen
Es
Beweis.
der Einheiten aller Ord-
Die Quersumme von 1883
einer Zahl.
9.
Eine Zahl
3 teilbar ist.
Summe
die
ist
teilbar sind.
ist
durch 3
wenn
teilbar,
ihre
1
1;
l;
1
.
Nun
z.
B.
Quersumme durch
= 3 -3 + =r3+
=
3-33 + = r3 +
100
1000 = 3 333 + = T\ +
867 = 8 100 + 6 10 +
= 8-(F3 + + 6-(r3 + +
= 8.r3 + 8 + 6-r3 + 6 +
= (8-^3 + 6. + + 6 +
10
ist
l
ist
ist:
1+8 + 8 + 3 = 20.
•
u.
1
s.
w.
7
.
l)
l)
7
7
r3)
Da nun
7).
(8
der erste Teil stets ein Tg und
der zweite Teil die Quersumme ist, so
wird also 867, überhaupt aber jede Zahl
nun
Ist
die
bar, also ein Tg,
lich
durch 3
= r, + Quersumme.
Quersumme
8 + 6 + 7^=21)
Zahl = Tg + ^'3= ^s
so
(hier
ist
die
(s- §•
durch 3
teil-
23, 9), folg-
teilbar.
Anmerkung.
Anstatt sämthche Einheiten zu addieren, kann
kürzer die Vielfachen von 3 ausscheiden. Es sei z. B.
man
74 835 910 726 421
Man
gegeben.
+ 1=8
Da
7
ist,
so
ist
10.
durch 9
auch
scheide 4
3, 5
+
1, 9,
7
+
2, 6, 4
die
ist.
+2
und diese Zahl nicht durch 3
ganze Zahl nicht durch 3 teilbar.
übrig bleibt
Eine Zahl
teilbar
+ 8,
ist
durch 9
teilbar,
wenn
ihre
aus:
teilbar
Quersumme
n
88
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
24.
§.
+ +
Beispiele: 40302 ist durch 9 (und 3) teilbar, weil 4
2
3
durcli 9 (und 3) teilbar ist.
4782 ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar, weil die Quersumme 4
7
21 durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist.
=9
+ + 8+2 =
Beweis.
Es
ist
10=1.9 + 1=^3+1;
= ll-9 + = r9+l;
= lll-9 + = F3 +
10000 = 1111 -9 + = 7;+
100
l
1000
l;
l
1
1
U.S.W.
4 1000 + 7 100 + 5 10 + 2,
+ + 7 F, + + 5 Tg + + 2
= 4.r3 + 4 + 7.r3 + 7 + 5.Fg + 5 + 2
= (4r3 + 7.r; + 5.rg) + (4 + 7 + 5 +
Die Zahl 4752,
übe r
4
i
.
(
r^
d.
•
i.
•
(
1)
•
(
1)
geht damit
1)
2).
Da
der erste Teil stets ein F,, der zweite Teil njber die
Quersumme
ist,
so wird 4752, überhaupt aber jede Zahl
= Tg + Quersumme.
Ist
nun
die
(Y)
Quersumme durch
9 teilbar,
= r9^^
+ F^9 =
die Zahl
'
d. h.
sie ist
durch 9
also ein Tg,
so
ist
7^
'9'
teilbar.
Zusatz. Die Gleichung Y (siehe viertletzte Zeile) ist also:
F^
Quersumme der Zahl.
Jede Zahl
Da nun die Summe um den einen Summand vermindert, den
andern Summand geben mufs (s. §. 8, Zus.), so ist:
ihre Quersumme
Fg; oder:
Jede Zahl
Jede Zahl um ihre Quersumme vermindert giebt einen
1.
= +
—
=
Rest, der durch 9 teilbar
ist.
Beispiel: 83572 — (Quersumme 25) = 83547. Dieser Rest
mufs durch 9
oder die Quersumme dieses Restes mufs
ein Vielfaches von 9 sein
8 + 3 + 5 + 4 + =
teilbar sein,
(hier
7
27).
Anmerkung. Wäre
eine Ziffer dieses Restes unbekannt, z.B. nur
die Ziffern 8,3,4,7 desselben bekannt, so würde man die fehlende Ziflfer 5
leicht errechnen können
3
4
22 bis zum nächsten Fg,
da von 8
d.i. bis 27, noch 5 fehlt.
+ + + 7^
,
2. Zusatz.
Jede Zahl, um eine andere aus denselben Ziffern
bestehende Zahl vermindert, giebt einen Rest, der durch 9 teilbar ist.
Beispiel:
5831
3185 subtrahiert
= 2646
Beweis.
5831
— 3185
= Fg + Quers. der
Fg + Quers. der
= Fg + Quers. der
(
=•=
1.
ist durch 9 teilbar.
nach dem vorstehenden Satze:
— Fg + Quers. der
— V^ — Quers. der
Zahl.
Zahl — Quers. der
1.
l.
ist
Zahl)
(
Zahl
2.
2.
2.
Zahl)
Zahl
1
§. 24.
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
89
Da nun beide Qiiersnmnien stets gleich sein müssen, weil die
Zahlen aus denselben Ziffern bestehen, so bleibt nur:
Tg, d. h. die Zahl
ist
durch 9
teilbar.
Anmerkung.
Für die Potenzen von 2 und 5 (für 2, 4, 8,. ...
hatten die Kegeln der Teilbarkeit ein gemein125,
.)
sames Princip. Man könnte daher ein solches auch für li, 9, 27,
vermuten und annehmen, dafs eine Zahl durch 27 teil81,
bar sei, wenn es die Quersumme ist. Dies ist jedoch nicht der
5, 25,
.
.
.
= 27+ 10 = F^^-j- 10
= 3-27+19 = r27+-19,
kleineren Zahlen:
100 = 4 27— 8 = Fgj — 8
denn
Fall,
10
.
100
oder mit
u.
•
s.
w.
Eine Zahl nun, die aus h Hunderten, z Zehnern und
loOÄ+lO^ + e
besteht, d.i. die Zahl
c
Einern
19,1)
(s. §.
Avürde damit übergehen in:
+ (r^, + io).24-e
(F,,-8).Ä
=
Die Zahl
V^^
ist
— ^h-\-\Oz-\-e.
n\ch.i=
mithin
d.
=
nicht
i.
V^^-\-h-\- z-\-e,
V^^ -\-
Quersumme.
Eine Zahl ist durch 1 1 teilbar, w^enn die Differenz aus der
der Einheiten der ungcradzahligen Stellen (d. i. der 1., 3.,
Stelle) und der Summe der Einheiten der geradzahligen Stellen
11.
Summe
5.,
.
.
.
.
(der 2., 4., 6., .... Stelle) durch 11 teilbar (also
1.
=
0, 11, 22,....)
ist.
Beispiel:
7 3 9 6 8 4
— = 4 + 6 + 3 = id^
13
_ =84-hb-t-j
+ 9 + = 24
7
Da
diese Differenz durch
durch 11
2.
1 1
Difr
^'"-
i
= ll^^
teilbar ist, so ist die
ganze Zahl
teilbar.
Beispiel:
8
8
_~_~ ^g}
teilbar.
Diff.
=0,
folglich
— = T^^—
=
9-11 + 1=
100
+
=
91-11 — l=7',i —
1000
10000 = 909
+ = r„ +
10=
Beweis.
1
•
11
8008 durch
ist
II
1
r^i
l
l
•
Nun
739684
ist
(s.
oben das
= 7-1 00000 + 3
1.
•
1
1
1
1
u.
s.
w.
Beisp.):
10000
+9
•
1000
+ 6-100 + 8-10 + 4
—
90
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
24.
§•
= 7(F„-i) + 3(p;, + + 9(r,^-i) + 6(r,, +
i)
=
=
^11
F,,
i)
+ 8r,, — 8 + 4
+ 4 + 6 + 3-8 — 9-7
+ (4 + 6 + 3)-(8 + 9 +
7).
Ist nun die Differenz der beiden Parenthesen, d. i. die Differenz aus der Summe der uugeradzahligen und der Summe der
geradzahligen Stellen durch 11 teilbar, also ein J\^, so ist die ge-
gebene Zahl
=
J\^
Da hier die
denke man sich:
+
Fjj
=
Fjj
,
also durch
+ 9 + 7) + + 6 +
r,,-(8
(4
die
erste,
so
3)] (s. §. 9, 17)
.
11
11
als
ist
3)
= ^n-[(8 + 9 + 7)-(4 + 6 +
= F —V =F
Durch
teilbar.
1 1
zweite Parenthese gröfser
11
angegebenen Regeln läfst sich schneller
durch die vollständige Division bestimmen, ob eine gegebene
Zahl durch die Potenzen von 2 und 5 (durch 2, 4, 8, .... 5, 25,
durch 3, 9 und 11 teilbar sei. Für andere Zahlen sind
125,
.)
die vorhandenen Regeln so zusammengesetzt, dafs die vollständige
12.
die bisher
als
.
.
.
Division o-ewöhnlich schneller
Für
die
zum
Teilbarkeit durch
Ziele führt.
7 läfst sich
B. folgendes Ver-
z.
fahren aufstellen:
Man
bilde
von den Einern an Klassen von je 3 Stellen, mul-
jede erste (niedrigste) Stelle der sämtlichen Klassen mit 1,
die zweite Stelle mit 3, die dritte Stelle mit 2, und addiere die
Produkte. Ist die Differenz der Summe der ungeradzahligen KlasKlasse) und der Summe der geradzahligen
sen (der 1., 3., 5.,
Klassen durch 7 teilbar (also
7, 14,
), so ist die ganze
tipliciere
.
.
.
.
=0,
Zahl durch 7
teilbar.
94163719265
Beispiel:
mult.
f
mit
\
2
3
3
2
1
2
1
3
+14-(-3-}-9
27-f-4
Da diese Differenz durch 7 teilbar
gebene Zahl.
Beweis.
3
=57/-^^°-
''
so
ist
es
auch die ge-
1.
(1000
= 142-7 + 6
ist,
= -7+ 3 = F7 + 3
= 14-7 + 2= F, + 2
—
1000:7 = 143-7— =
10
1
1
1
100
1
würde
die
F7
unbequemere Zahl 6 geben.)
I
§,
Teilbarkeit hestimruter Zahlen.
24.
:
Ist
5
nun
—
—
+
B. 5834269 gegeben, so
z.
1000000 -h 8
5.(r^
•
=
=
1429-7
10000:7
3,
100000: 7 =-14286 -7
2,
142857 -7
1
1000000 7
^
•
1
00000
91
+ 3-1 0000 + 4
•
u.
s.
w.
ist:
+2
1000
•
100 4-6-10
=
+ + 8(r,-2) + 3(r,-3) + 4(r^-i)
+ + 6(F, + + 9
+
= r^ + 5-2^— 8-2 — 3-3 — 4-l_+2.2 + 6-3_4-9-l_..
+9
i)
2(r',
2)
3)
(Z)
.
Die liier auf F^ folgenden Produkte aber entsprechen der
oben gegebenen Regel und bilden dieselben ein V^, so nuifs offenbar die Zahl durch 7 teilbar sein.
Anmerkung. Um die gewünschten Reste (hier 1, 3, 2, .)
stets am einfachsten zu erhalten, dividiere man die Zahl, welche
aus 1 mit darauffolgenden Nullen besteht, durch die Zahl, für
welche eine Regel der Teilbarkeit gesucht wird.
.
.
Beispiel:
Reste
132G45132
100000000
Quotient:
014285714.
:7
Die wiederkehrenden Reste sind also 1, 3, 2, 6, 4, 5. Ist
aber ein Rest gröfser als die Hälfte des Divisor, so nimmt man
statt desselben Subtrahenden, die dadurch entstehen, dafs man
den Divisor um jenen Rest vermindert. Hier sind 6, 4, 5 gröfser
7
-
als
7
- ,
daher sind dafür die Subtrahenden 7
—5=2
zu nehmen
Reste
Quotient:
Die Reste sind
also
1
10 9 12 3
4
1
:13
10, 9, 12
Für die gröfseren,
nimmt man die Subtrahen12
1.
Wäre nun zu unter-
— =
ist,
so hätte
4
3
700505
143
1
4
3
+
und
in folgender
Subtrahen den
+ 5 = 33 Dltt.
=20 I ^^
\
04-20-1-0
diese Differenz durch 13 teilbar, so
14.
man
1
1
28
Da
in Z!)
hier 1, 10, 9, 12, 3, 4.
— =
3^
3,
10 9
10
den 13
9
3, 13
4, 13
suchen, ob 700505 durch 13 teilbar
AVeise zu verfahren:
....
—4=
13.
100000000
00769230 7.
unbequemem Zahlen
— =
1, 7
abzuziehenden Produkte
(vergl. die
Teilbarkeit durch
13.
—6=
ist
es die
=
13.
ganze Zahl.
Eine einfachere Regel der Teilbarkeit für die Zahlen
13, die zugleich für 11 gilt, ist die folgende:
7
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
§• 24.
92
Man
teile
Zahl von den Einern an in Klassen von ie 3
aus der Summe der 1., 3., 5
lüasse
der 2., 4,, 6
Klasse durch 7, 11 oder 13
die ganze Zahl.
die
Ist die Differenz
Ziftern.
Summe
und der
teilbar, so ist es
Beispiel.
1.
5T5Ö904 7Ö3;
703
150
904
853
909
5
—
853^56 ist durch 7 teilbar, folglich
909
gegebene Zahl durch 7 teilbar.
2.
ist
auch die
Beispiel.
38 2ÖT746 6Ö9;
=
—
784
810
26
gegebene Zahl.
219
164
55
gegebene Zahl.
Da
= 7-11
ist
1000=1001
Beweis.
746
38
durch 13
784
teilbar,
folghch auch die
156
164
=
—
ist
8219T56;
Beispiel.
3.
609
__201_
810
durch
—
11
teilbar,
folglich
auch
die
1.
lOOi ein V^, aber auch ein l\^ und ein T\^, denn 1001
13, so
•
Eben
ioOO=F
ist:
—1.
= 999999 +
= 999-1001 +
= F 4-1
—
1000 Millionen = F^
1000000
so
1
'^
7,
11, 13
^^
Nun
ist
z.
B. 5150904703
(s.
"^
1
'-'
1
^3
u. s.w.
oben):
= TausendmiU. + 150
+ 904 Taus. +703
= 5-(r,,,,.,3-i) + i50(/;,,,.,3 + + 904(r,,,,,,3-i)
+ 703
=
^g_5 + 150 — 904 + 703
= f/ j/ + (150 + 703) — (5+904), oder auch:
=
— + 904) — (150 +
5
Mill.
i)
V^^
^^
^3
^7!ii.'i3
nun
703)].
[(5
den beiden letzten Zeilen auf /'^ ^^ ,3 foloben ausgesprochenen Regel enthaltene Differenz der Klassen, durch 7, 11 oder 13 teilbar, so ist
es auch die gegebene Zahl.
Anmerkung. Für 11 ist selbstverständlich die Regel im
Ist
die hier in
gende Differenz,
11.
d.
i.
die in der
Satze vorzuziehen.
I
§.
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
24.
93
Sind die beiden Klassen einer 6stelligen Zahl einso raufs die Zahl stets durch 7, 11
z. B. 802802,
und 13 teilbar sein, -weil die Differenz der beiden Klassen =0,
aber durch 7, 11 und 13 teilbar.
Zusatz,
ander gleich,
15.
Teilt
man
gegebene Zahl von den Einern an
die
in
Klas-
sen von gleiclmel Ziffern und bildet man die Summe sämtlicher
Klassen, so ergeben sich folgende Hegeln:
a. Ist die Summe der 2stelligen Klassen durch 99 oder 33
teilbar, so ist es die ganze Zahl.
Beispiel:
48
57
86
7865748;
7
198
ist
durch 99
Ist
b.
333, 999
teilbar, folglich
die
teilbar, so ist
Ist die
c.
Summe
Summe
369, 813, 2439 teilbar, so
16.
bildet
Teilt
man
man
auch die gegebene Zahl.
der 3stelligen Klassen durch 27, 37, 111,
es die ganze Zahl.
der 5stelligen Klassen durch 41, 123,271,
ist
es die
ganze Zahl.
von
die Zahl in Klassen
gleichviel Stellen
der ungeradzahligen Klasder geradzahligen Klassen, so ergeben sich
sen und der Summe
folgende Regeln.
Ist diese Differenz der 2stelligen Klassen durch 101
a.
bar, so ist es die ganze Zahl.
Beispiel:
Da
b.
61
Ist
8455316;
~
~
— 61=0
durch 101
die Differenz
der
143, 1001 teilbar, so
77, 91,
und
Summe
die Differenz aus der
Beispiel:
16
45
53
61
61
8
teilbar,
so
ist
es die
ganze Zahl,
Klassen durch
es die ganze Zahl.
3stelligen
ist
52855985;
teil-
7,
11, 13,
985
___52_
1037
855
ist
durch 91
c.
teilbar, folglich
182
auch die gegebene Zahl.
Die Teilbarkeit von 73 und 137 ergiebt sich bei
Klassen.
d.
9091.
9901.
17.
19.
3541, 27961.
4stelligen
94
§•
24.
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
Teilbarkeit durch
17.
Man
17.
aus den Einern und Zehnern die 1. Klasse, aus
den beiden folgenden Stellen die 2. Klasse, aus den übrigen höheren Stellen die 3. Klasse, suche alsdann die Differenz aus der um
das Vierfache der 3. Klasse vermehrten 1. Klasse und dem Doppelten der 2. Klasse.
Ist diese Differenz durch 17 teilbar, so ist
es die
bilde
ganze Zahl.
254626;
Beispiel:
Das
Vierfache der
Das Doppelte der
Diese Differenz
ist
durch 17
1.
Klasse
3.
„
2.
„
^
=100
=
~~
teilbar,
26
126
92 subtr.
347
folglich
auch die gege-
bene Zahl.
Beweis.
100
10000
= 6-17 — 2 = —
= 588 -17-1- 4 = + 4
2.
/;^
/;^
u.
s.
w.
18.
Dafs eine gegebene Zahl durch einen bestimmten Divisor
nicht teilbar ist, erkennt man oft augenblicklich daran, dafs ein
Teil jener Zahl durch diesen Divisor nicht teilbar ist, alle übrigen
Teile aber Vielfache dieses Divisor sind.
Beispiel: 1907063 ist nicht durch 7 teilbar, weil 7 und 63
durch 7 teilbar, 19 aber nicht durch 7 teilbar ist.
+
Da 19-10^ nur die Mafse
Beweis. 19- 10'^ -j- 7- 10^
63.
5
und 19 enthält, so ist vorstehende Summe nach §. 23, 11
2,
nicht durch 7 teilbar.
19.
Verwandelt man die gegebene Zahl, deren Divisor gefunden werden soll, in die Zahl eines andern Zahlensystems (siehe
§.21), so
gesuchte Divisor erkennen.
läfst sich oft leicht dieser
Beispiel. 1487659. Diese Zahl in eine Zahl des Sechsersystems verwandelt =51515151. Diese Zahl ist durch die hexadische Zahl 51, d. i. durch die dekadische Zahl 5-6-1-1=31
teilbar.
die
20. Einfache Regeln der Teilbarkeit ergeben sich noch für
Produktzahlen, die durch Multiplication von 2, 4, 8,
3, 9, 11 entstanden sind, wenn die Faktoren
,
Primzahlen unter sich sind (s. §. 23,19).
So ist jede Zahl durch 6 (= 2 3) teilbar, wenn sie durch die
relativen Primzahlen 2 und 3 teilbar ist, d. h. wenn die letzte Stelle
eine gerade und die Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 72 (=8-9) teilbar, wenn sie durch 8
und durch 9 teilbar ist, mithin, wenn die 3 letzten Stellen durch
8 und die Quersumme durch 9 teilbar ist.
5, 25, 125,
•
I
Teilbarkeit bestimmter Zahlen.
§. 24.
95
Eine Zahl ist durch 55 (=5- 11) teilbar, -wenn die letzte Stelle
oder 5 und die Zahl nach dem 1
Satze durch 1 1 teilbar ist.
1
1.
99
teilbar
beider
99
ist,
Stelle
5.,
Stelle.
Ist
2.
man
bildet
und
die
die
Summe
der Einheiten der 1., 3.,
der Einheiten der 2., 4., 6.,
Summen durch 9, die Differenz
Summe
.
beider
11 teilbar, so
ist
die
(Einfacher als durch Satz 15,
10, 100, 1000,
nicht in die Eaktoren
durch 10, 100, 1000,
endigt.
000,
Zusatz.
tenz von 10
ist,
Eine runde Zahl
zerlegt
man
in
.
.
.
gegebene Zahl durch
a.)
Potenzen von 10) zerVielmehr: Eine Zahl
wenn sie sich auf 0, 00,
(die
2
und
teilbar,
ist
ob eine Zahl durch
Summe
die
Zusatz.
man
3.
.
daher zu untersuchen,
Summen durch
teilbar.
legt
Um
Zusatz.
5.
(§. 22, 11), die nicht selbst Poein Produkt, von dem der eine
Eaktor eine Potenz von 10 ist, dividiert alsdann die gegebene Zahl
durch diese Potenz, um hierauf zu untersuchen, ob der übrigbleibende Quotient durch die übrigen Faktoren teilbar ist.
Beispiel. Ist die Zahl 416120000 durch 2400 (=100 -8 -3)
Ist dieser
teilbar?
Zuerst ist durch 100 zu dividieren =416120.
Quotient durch 8 und durch 3 teilbar, so ist auch die gegebene
Zahl durch 2400 teilbar.
Um
21.
zu untersuchen, ob eine gegebene Zahl Primzahl
oder nicht, untersucht man zunächst nach den Kegeln der TeilIst dies
barkeit, ob 2, 5, 3 und 11 in derselben enthalten sind.
nicht der Fall, so dividiert man die Zahl der Eeihe nach durch
Nur
die noch fehlenden Primzahlen 7, 13, 17, 19, 23 u. s. w.
Primzahlen sind als Divisoren zu nehmen, denn geht 2 nicht
nicht aufgehen (s. §. 23, 13).
auf, so kann auch 4, 6, 8,
Ferner sind nur die Primzahlen als Divisoren zu nehmen, die mit
sich selbst multipliciert ein Produkt geben, welches kleiner als die
zu untersuchende Zahl ist. Mit anderen Worten: Der höchste Divisor darf nicht gröfser als die Quadratwurzel aus der gegebenen
Zahl sein.
ist
B. untersucht werden, ob 887 eine Primzahl ist, so
zunächst, dafs die Primzahlen 2, 5, 3, 11 nicht entNun dividiert man 887 der Peihe
halten sind (nach §. 24, 1
11).
nach durch 7, 13, 17, 19, 23, 29, nicht aber durch höhere Prim961 gröfser als 887 ist, und da keiner
zahlen, weil schon 31 -31
dieser Divisoren aufging, so ist 887 Primzahl.
Soll
findet
z.
man
—
=
Noch ist zu zeigen, Avarum der Divisor nicht gröfser als die
Quadratwurzel zu nehmen ist.
Da also annähernd
900.
V887" ist nahe 30; denn 30-30
30-30
30 sein (§. 13, l,Zus.).
887, so mufs (annähernd) 887:30
Ist aber der Divisor gröfser als 30 (allgemein: gröfser als die Quadratwurzel), so mufs nach §.23, 1. Zus., der (Quotient kleiner als
=
=
=
5
96
§.
Zerlegen einer Zahl in Faktoren.
25.
30 (kleiner als die Quadratwurzel) sein. Sind nun alle Divisoren
bis 30 versucht worden und wäre keiner derselben aufgegangen,
so kann auch kein Divisor aufgehen, der gröfser als 30 ist. Denn
ginge 887:41 (41
30) auf, so müfste der Quotient kleiner als
30 sein. Er sei z. B. 17. Dann aber müfste auch umgekehrt
887:17
41 sein (s. §. 13,4), d. h. es müfste schon einer der
Divisoren (17), die kleiner als die Quadratwurzel 30 sind, auf-
>
=
gegangen
sein.
Zerlegen einer Zahl in Faktoren.
25.
§.
Um
1*
eine Zahl in Faktoren zu zerlegen, von welchen der
eine entweder gegeben oder nach §. 24 gefunden worden ist, hat
man die gegebene Zahl durch diesen Faktor zu dividieren; der
Quotient ist alsdann der andere Faktor,
Beispiel: 537 gegeben. Nach den Regeln der Teilbarkeit
der eine Faktor 3, denn die Quersumme ist 15. Folglich ist
der andere Faktor 537:3
3-179.
179.
Daher 537
ist
=
Nach
Beweis.
§.
=
13, 11
ist
537
=
537
3.
-^.'
ö
Zahl in Primfaktoren aufgelöst werden, so
zerlegt man dieselbe zunächst in 2 Faktoren und hierauf jeden
Faktor wieder, bis sämtliche Faktoren Primzahlen sind.
Soll
2.
eine
= 4 •26 = 2-2 -2 13 oder 2^-13.
= 85.10 = 5.17-2-5 = 2-5-5-17 oder
= 2-5^.17.
Beispiel:
269500 = 2695 -10. 10 = 5. 539 -2-5-2-5 = 5-11- 49 -2-5-2= 2.2.5.5.5.7.7-11 oder
= 2^5^7^.11.
I.Beispiel:
Beispiel:
850
104
•
2.
3.
Um
3.
sämtliche Zahlen zu bestimmen, durch welche eine
teilbar ist, zerlege man sie zunächst in ihre Prim-
gegebene Zahl
faktoren.
Beispiel:
360
36.10
=
= 4.9.2.5 = 2.2.3.3.2.5=2.2.2.3.3.5
oder
=2^3^.5\
Hierauf bilde man so viele Faktoren, als verschiedene Primzahlen vorhanden sind, Avobei jeder Faktor eine Summe von Gliedern ist, von welchen das erste die Zahl l und die folgenden
Glieder die sämtlichen vorhandenen Potenzen der betreffenden
Primzahlen in aufsteigender Ordnung sind. Für 360 also:
(1
oder
+ + +
(1+ 2 + 4 +
2'
2'
2') (1
8)
+
3'
-f
+
+
3') (1
(1+ 3 + 9) (1
5')
5).
Alsdann
Gliede des
einer Zahl in Faktoren.
Zerlegen
§. 25.
multipliciere
man
97
jedes Glied des I.Faktors mit jedem
Hier also:
2.
1-1, 2-1, 4-1, 8-1,
1-3, 2-3, 4-3, 8-3,
1-9, 2-9, 4-9, 8-9,
oder:
2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9,
1,
18, 36, 72.
Jede dieser Zahlen ist hierauf mit jedem Gliede des 3. Fakzu multiplicieren. Daher:
1-1,2-1, 4. 1,8 •1,3- 1,6-1, 12 -1,24. 1,9-1, 18-1, 36.1,72.1,
1-5, 2 -5; 4 -5, 8-5, 3-5, 6-5, 12-5, 24.5, 9-5, 18.5, 36-5,72.5.
Wäre noch ein 4. Faktor vorhanden, so würde jedes Glied
desselben mit den so eben gebildeten Zahlen zu multiplicieren sein.
Sind diese Multiplicationen mit dem letzten Faktor ausgeDie in 360
führt, so hat man die gesuchten Zahlen gefunden.
aufgehenden Zahlen sind mithin die zuletzt angegebenen Produkte
tors
1, 2, 4, 8,
1, 2,
oder geordnet:
3, 6,
3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36,
72, 90, 120, 180, 360.
2.
29700
Beispiel.
=
2'. 3'-
5^
40, 45, 60,
ll\
Folglich:
+ 3 + 3'+
+5+
+ 11),
+ 2 + 4) + 3 + 9 + 27) + 5 + 25) +
(1+2 + 2')
oder:
(1
Der
3') (1
(1
1.
und
2.
5-) (1
(1
(1
1 1).
(1
Faktor führen zu den Produkten:
1.1, 2.1, 4.1, 1-3, 2.3,4.3, 1.9,2.9, 4.9, 1.27, 2-27, 4-27,
oder:
1,
2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108.
Jede dieser Zahlen
zu multiplicieren:
ist
mit jedem Gliede des
3.
Faktors
(1
+ 5 + 25)
12, 9, 18, 36, 27, 54, 108,
15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270, 540,
25, 50, 100, 75, 150, 300, 225, 450, 900, 675, 1350, 2700.
1, 2, 4, 3, 6,
5, 10, 20,
Jede dieser Zahlen
(1
+ 11)
ist
zu multiplicieren.
endlich mit jeder Zahl des
Man
4.
Faktors
erhält:
I, 2, 4, 3, 6,
12, 9, 18, 36, 27, 54, 108,
15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270, 540,
25, 50, 100, 75, 150, 300, 225, 450, 900, 675, 1350, 2700,
II, 22, 44, 33, 66, 132, 99, 198, 396, 297, 594, 1188,
5,
10, 20,
55, HO, 220, 165, 330, 660, 495, 990, 1980, 1485, 2970, 5940,
275, 550, 1100, 825, 1650, 3300, 2475, 4950, 9900, 7425, 14850,
29700.
Dies sind die sämtlichen Zahlen, Avelche in 29700 aufgehen.
1. Zusatz.
Hat man sämtliche Zahlen bis zur Quadratwurzel
der gegebenen Zahl bestimmt, so ergeben sich die übrigen durch
die Division der gegebenen Zahl durch jede der schon gefundenen.
Sc hur ig, Lehrbuch der Arithmetik.
I.
Teil.
7
9g
§.
25.
Zerlegen
einer Zahl in Faktoren.
z. B. für 240 die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5
6, 8, 10, 12, 15
gefunden, also die Zahlen, welche kleiner als V240 (zwischen 15
Hat man
und
,
16) sind, so sind die fehlenden:
_
~
240
15
240
§. 26.
Das
in
99
Das Aufsuchen des gröfsten gemeinsamen Maises.
26.
§.
Das Aufeuchcn des grölbten gemeinsaiuca Mafees.
^.23, 14
same Maft; zu
finden,
—
gemeinRegeln der Teilbarkeit (§. 24)
werden. Das Bestimmen eines solchen Mafscs
17 gelehrte Verfahren, das gröfste
kann durch
die
bedeutend vereinfaclit
mag daher nun erst erschöpfend gelehrt werden.
I.
Sind in den beiden gegebenen Zahlen gemeinsame Mafse
nach den Regeln der Teilbarkeit ersichtlich, so dividiert man die
gegebenen Zalilen durch möglichst grofse gemeinsame jNIafse.
Erkennt man die übrigbleibenden Quotienten als relative Primzahlen, so ist das Produkt der Divisoren das gröfste gemeinsame
Mafs.
Es
sei z.
B. von
7 GS
und 864 das
gröfste
gemeinsame Mafs
zu suchen.
Da man
Zahlen sofort 4 und 3
als Mafse erkennt,
Die entstehenden Quotienten 64 und
72 lassen dann noch 8 erkennen. Daher:
80
dividiert
in beiden
man durch
12.
:12
768
864
64
72
:8
9.
Diese Quotienten 8 und 9 sind relative Primzahlen, folglich
ist das Produkt der Divisoren, d.i. 12.8
96 das gröfste gemeinsame Mafs.
=
Beispiel.
2.
715 und 1265.
11
715
1265
folglich
5.11=55
143
253
13
e).^
\ relative
Primzahlen,
das gröfste gemeinsame Mafs.
Sind nach den Regeln der Teilbarkeit keine Mafse eranzuwenden, wobei man die in
15—17 gegebenen Vorteile anwendet.
II.
sichtlich, so ist die Kettendivision
§.
23
,
1.
Beispiel.
2680001 und 3975793.
3975793:2680001
2680001
=
1
1295792 (8 entfernt:)
161974 (noch 2 entfernt:)
2680001
242961
80987
=3
250391
242961
..:7430 (10 ausgeschieden:)
§
100
2^-
^"^^
Aufsuchen des gröfsten gemeinsamen Mafses.
80987:743
= 109
743
6687
6687
Folglich 743 das gröfste gemeinsame Mafs der gegebenen Zahlen.
2.
Beispiel:
88147 und 243013.
3
243013:88147
264441
21428 (4 entfernt:)
5357 (11
„
)
487=181
88147
=
;
0.'
FolgUch 487 das gröfste gemeinsame Mafs.
3.
Beispiel.
80851 und 150251.
ist nicht 150251:80851=2 zu setzen, obgleich 2 näher
weil der Eest nicht leicht zerlegbar.
Hier
als
1,
=
1
150251:80851
80851
69400 (100 und 2
80851:
347
233
:
entfernt:)
=
0.
347 das gröfste gemeinsame Mafs.
Selbstverständlich hat man auch sogleich in den gegebenen
Zahlen die Mafse auszuscheiden, welche nicht gemeinsame Mafse
sind.
Beispiel: 150447 und 163325.
Die erste Zahl enthält 3 und 11, die zweite 25, welche Zahlen nicht gemeinsame Mafse sind. Diese ausgeschieden, behält
man 4559 und 6533. Daher:
6533:4559=1
:
4559
1974
4559: 329
329
1269
1316
329:
329
47
=
(6 entfernt:)
= 14
7
0.
47 das gesuchte gröfste gemeinsame Mafs.
j
§.
III.
1.
37.
Das Aufsuchen
gemeinsamen Vielfachen.
des kleinsten
101
Verbindung beider Verfahren.
Beispiel.
172161, 245421.
:11
:9
1739
2479
19129
27269
172161
245421
2479:1739=1
1739
740.
:
1739:
37
=
Dafür
48.
0.
9.11-37
Folglich sind 9, 11 und 37 die gemeinsamen Mafse oder
ist das gröfste gemeinsame Mafs.
= 3663
2.
Beispiel.
791820, 2202156.
:9
:4
21995
197955
791820
61171.
2202156
550539
Nun scheide man in 21995 die Zahl 5,
„
„ 61171
„ 11 aus und man
1
5561:4399
4399
=
:1162.
4399: 581
4067
:
332
581:
83
.
.
.
=
behält:
Dafür:
=
7
Dafür:
7
0.
Die gemeinsamen Mafse sind mithin 4, 9 und 83, das gröfste ge2988.
4 9 83
meinsame Mafs daher
=
§.
27.
•
•
=
Das Aufsuchen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
Man präge sich vor allen Dingen die ersten am
vorkommenden Potenzen der Primzahlen ein.
Primzahlen
häufigsten
102
§• '^^-
-^^^
Aufsuchen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
Ist nun das Ideinste gemeinsame Vielfache von mehreren gegebenen Zahlen zu suchen, so untersuche man zunächst, welche
höchste Potenz der ersten Primzahl 2 in den gegebenen Zahlen
vorkommt, ohne diese in Primfaktoren zu zerlegen. Sie ist die
gesuchte höchste Potenz, wenn keine der gegebenen Zahlen die
nächsthöhere enthält.
Es sei z. B. 15, 24, 66, 40 gegeben.
Hier ist also zunächst die höchste Potenz von 2 aufzusuchen.
Man erkennt sofort, dafs 2 selbst vorhanden ist (in 24 oder 66),
dafs aber auch die nächsthöhere Potenz von 2, nämlich 4, enthalten ist (in 24 oder 40), dafs endlich auch die nun folgende
Potenz 8 enthalten ist (in 24 und 40). Die nächsthöhere Potenz 16
ist in keiner Zahl enthalten. Folglich ist 8 die zu behaltende höchste
Potenz von 2. Hierauf ist zu bestimmen, welches die höchste
Potenz der nächstfolgenden Primzahl 3 ist. Man erkennt sogleich
8 in 15 oder 24, findet aber, dafs die nächsthöhere Potenz von 3,
nämlich 9, in keiner Zahl enthalten ist, folglich ist nur 3 selbst
die zu behaltende höchste Potenz von 3.
Es folgt nun die Primzahl 5. Diese ist vorhanden (in 1 5 und
40), nicht aber die zweite Potenz 25, folglich ist 5 die gesuchte
höchste Potenz von 5.
Die nächste Primzahl 7 ist nicht vorhanden. Von der nun folgenden Primzahl 11 ist nur 11, nicht
aber die zweite Potenz 121 vorhanden.
Der geübte Rechner sieht sogleich, dafs die übrigen Primzahlen (13, 17, 19, 23,
) in den gegebenen Zahlen nicht vor-
kommen.
Hat man
so die höchsten Potenzen der vorhandenen
Primzahlen bestimmt, so ist ihr Produkt das gesuchte
kleinste gemeinsame Vielfache.
Hier ist es also 8.3.5.11=40.33
1320.
2^3.5.11 ist
Beweis. In 1320
2^5
15
2.3-11, 40
3.5, 24
2^3, 66
=
=
=
=
=
=
enthalten.
2.
Beispiel.
16, 28, 21, 36, 63, 56.
Die höchste Potenz von 2
„
„
„
ist
„
3
„
„
7
„
16 (32 in keiner Zahl enthalten),
9 (in 36, 63);
5 fehlt!
Höhere Primzahlen
Folglich ist 16-9.7
7 (in 28, 63, 56).
_
(11, 13,
)
sind nicht vorhanden.
= 112.9= 1008 das
kleinste
gemeinsame
Vielfache.
3.
Beispiel.
21,
35,
50,
40,
45,
75,
48,
100,
42,
56,
63, 72.
Die höchste Potenz von 2 ist 16 (in 48). Auch der Ungeübte
wird erkennen, dafs 8 (in 48 enthalten) nicht die höchste Potenz
5
Das Aufsuchen des
§. 27.
kleinsten
gemeinsamen Vielfachen.
103
=
6 enthält noch immer den
von 2 ist, denn der Quotient 48:8
IG die gesuchte Potenz sein.
Faktor 2. Mithin muls 8. 2
Die höchste Potenz von 3 ist 9 (in 45, 63, 72),
5 „ 25 (in 50, 75, 100),
„
„
„
„
=
7
„
(in
21, 35,
.
.
.)•
gemeinsame Vielfache daher
16 9 25 7
400 .;63
25200.
kleinste
=
.
Beispiel.
4.
7
„
„
„
„
Das
=
.
.
72, 45.
=
=8
„3 =
—9
Die höchste Potenz von 2
„
„
„
= 40 -9 = 360
beiden Zahlen),
K
r;
Folglich 8- 9- 5
(in 72),
(in
das kleinste gemeinsame Viel-
fache.
Unbequeme Zahlen
zerlegt
beliebige Faktoren,
barkeit in
man nach den Regeln
der Teil-
die aber relative Primzahlen sein
müssen.
Beispiel.
5.
68,
88,
4-17
8-11
39,
3-13
Daher das
Zerlegt:
=
8
•
3
•
5
•
kleinste
1 1
•
13
•
17
102,
65,
40,
5-13
6-17
gemeinsame Vielfache
= 40
•
33 22 1
•
=
1
320 221
•
85,
44.
5-17.
= 29 1720.
Sollte der ungewöhnliche Fall vorkommen, dafs die höchsten
Potenzen nicht sofort entdeckt werden können, so zerlegt man die
Zahlen in ihre Primfaktoren.
6.
Beispiel.
Es
7600, 1620, 5472, 4750, 6480.
ist
7600
1620
5472
=2 ^
5^19
=
= 2^.3^-19
4750 = 2 .5^.19
6480 = 2^3\
daher das
Die höchste Potenz von 2 = 2
meinsame Vielfache
=
19 = 32.81.125-19 = 4000-1539 = 6156000.
2'. 3*.
u.
s.
w.;
kleinste ge-
2^- 3'- 5'.
Sind die gegebenen Zahlen Primzahlen unter sich, so mufs
das Produkt derselben das kleinste gemeinsame Vielfache sein. Von
1925.
7, 11, 25 ist es 7-11
25=
Anmerkung. Wie das kleinste gemeinsame Vielfache das
Produkt der höchsten Potenzen der verschiedenen Primzahlen ist,
so ist das gröfste gemeinsame Mafs das Produkt der kleinsten Potenzen der gemeinsamen Mafse.
5
104
§• 28.
Beispiel:
Vorteile beim
360, 378, 630.
=
= 2.3^.7
630 = 2. 3^.5-7.
gemeinsame Vielfache =
360
378
Das
Das
Rechnen mit ganzen Zahlen.
kleinste
2^. 3'-
gröfste gemeinsame Mafs := 2 3
von 378, 5 kein Mafs von 378 u. s. w.)
•
§.
Vorteile beim
28.
2
•
3^
.
5
(denn 2
•
7.
ist
kein Mafs
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Beim Zählen von Dingen.
A.
Bei einer fortlaufenden Reihe
3 auf einmal.
z. B. die Punkte
1.
von Dingen zähle man immer
Um
zu zählen, lasse man das Auge nur beim
ruhen. Man zählt daher: 3, 6, 9, 12, 14.
3.,
6., 9.,
12.
Punkte
Um
die Anzahl sehr vieler Individuen abzuschätzen, zähle
einen bestimmten Teil derselben und sehe dann zu, w^ie
z. B. die Anzahl von
oft derselbe im Ganzen enthalten ist.
sehr vielen Personen zu bestimmen, zählt man zunächst 100 ab.
Sieht man alsdann, dafs man etwa den 9. Teil der ganzen Menge
gezählt hat, so mufs die Zahl sämtlicher Personen annähernd 900
betragen.
2.
man nur
Um
Merken von
B.
Zahlen.
Lies 2 (oder 3) Ziffern auf einmal.
Sprich: 14, 16, 59, 27 oder 141, 659, 27.
1.
2.
die
Man
denke sich für:
Ziffern
Beispiel: 14165927.
Vorteile beim
§. 28.
Beispiele:
Rechnen mit ganzen Zahlen.
1Q5
Bauernkrieg: Sense.
5
Göthe: regierender Minister.
4 9
25,
d.
i.
1525.
1749 geboren, 1832 gestorben.
3 2
Allgemeine Regeln für das Rechnen.
C.
schreibe deutliche Ziffern, nicht zu grofs, um nicht
zu verschwenden oder die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen, aber auch nicht zu klein, weil sonst leicht Verwechselungen entstehen.
1.
zu
viel
2.
man
Man
Raum
Rechne nicht laut, sogar nicht
und andere dadurch stört.
leise
und
lispelnd,
weil
sich
D.
Addition.
Setze die gleichen
senkrecht unter einander.
1.
2.
3.
Ordnungen
9, 2, 7, 4,
6
9
6
6
2
6
Bei gleichen Zahlen Avende die Multiplication an.
Hier also 4-6
2
24
11
35.
9
Zeige in gleichmäfsigem Takte nach und nach auf
dabei die Summen 15, 17, 24, 28 sich
1 7 u. s. w\
2
denkend. Also nicht 6
9
15
15
+ =
,
+ =
+ + = + =
Suche zunächst
Beispiel:
7
die
Summanden
8
Denke
3
6
2
dir (7
heraus, welche 10 geben.
+ 3) + (8 + 2) + 6 = 26.
10 zuerst herauszunebenstehender Aufgabe:
10
5
8
6,
mithin der Reihe nach die Zahlen: 13, 23, 29.
suchen.
genau
B. die Einer)
6
9
2
7
4
4.
Dabei
(z.
ist
es nicht nötig, die
Denke
dir bei
+ +
+
5
8
9
6
1
Anmerkung. Beim Rechnen mit Logarithmen u. s. w. kommt
Man gewöhne sich, diese Verhäufig die Summe 9
2 vor.
9
binduno; soffleich als 20 aufzufassen, ohne zu rechnen.
+ +
5.
Bei einer ungeraden Anzahl von Zahlen, von denen jede
folgende immer um dieselbe Zahl gröfser als die vorhergehende ist,
multipliciere die mittelste Zahl mit der Anzahl der Zahlen.
Vorteile beim
§• 28.
105
Beispiel.
Oder:
6.
die
Ist
7
Rechnen mit ganzen Zahlen.
+ 8 + 9 = 8-3; denn (7+ + 8 + (9 —
+ 17 + 21+25 + 29 = 21-5.
1)
1).
13
Anzahl der Zahlen eine gerade, und folgen
sie
gleichfalls in gleichen Differenzen aufeinander, so multipliciere die
Summe
aus
der Zahlen.
1.
und
mit der halben Anzahl
letzten Zahl
Beispiel.
15
denn:
2.
der ersten
+ 16+17 + 18 = (15+18)-y = 33-2 = 66;
(15 + 18) + (16 + 17) = 33-2.
Beispiel.
+ 44 = (29 + 44)-y = 73-3 = 219;
(29 + 44) + (32 + 41) + (35 + 38) = 73-3.
29+32 + 35 + 38 + 41
denn:
7.
Sind die Zahlen nahe gleich, so multipliciere eine Zahl,
welche etwa die Mitte der Zahlen vertritt, mit der Anzahl der
Zahlen und berichtige das Resultat durch die Differenz aus jeder
einzelnen Zahl und der angenommenen mittlem.
Beispiel.
(67
67
— 6G)
(09
— 66)
+ 62 + 66 + 69 + 64 = 66 -5 + — —4 + + 3 — —2
= 330+1—4 + 3 — 2
1
(66
62)
(66
64)
= 330 — 2 = 328.
8.
Erhöhe die eine Zahl zu einer passenden runden Zahl
erniedrige gleichzeitig die andere Zahl um dieselbe Differenz.
Beispiel:
459+1798
und
= 457 + 1800 = 2257.
Eine grofse Anzahl von Summanden, namentlich vielZahlen, teile in eine Anzahl bequemer Partialsummen.
z. B. 56 siebenstellige Zahlen zu addieren,
vereinige nur
je 8 aufeinander folgende Zahlen und addiere alsdann die erhaltenen 7 Partialsummen.
9.
stelliger
Um
10.
Beim Kopfrechnen
ist
es
vorteilhaft,
mit den höchsten
Stellen zu beginnen.
+
+ =
Beispiel. 54
77?
Zunächst 54
70
124; dann 124
Probe kann man
entweder die Summanden noch
11.
+ 7 = 131.
Als
einmal in anderer Ordnung
addieren, z. B. das erste Mal von oben nach unten, das
zweite Mal von unten nach oben;
oder einige der Summanden von der Summe subtrahieren und
nachsehen, ob man eine Zahl erhält, die der Summe der
übrigen Summanden gleich ist.
Vorteile beim
§. 28.
Rechnen mit ganzen Zahlen.
589
764
Beispiel.
1353
ist
richtig,
wenn 1353—764
107
= 589.
Subtraktion.
E.
Auch
1.
hier gilt das unter
D,
1
Gesagte.
der Subtrahend nur wenig kleiner als eine bequeme
runde Zahl, so erhöhe beide Zahlen so, dafs der Subtrahend sich
in jene Zahl verwandelt.
2.
Ist
Beispiel.
1251
-
897?
Jede Zahl
um
= 1254 — 900 = 354.
3 erhöht
(s. §.
9,12)
Zuweilen ist es von Vorteil, die Subtraktion von einer
3.
zwischenliegenden runden Zahl auszuführen, um dann das noch
Fehlende zu addieren.
A.
Beispiel.
wurde
diert
ist
Von 1789
er?
= 54
1789 geboren und 1843 gestorben. Wie alt
bis 1800: 11 Jahre, hierzu 43 .Jahre ad-
Jahre.
Bei einer gröfseren Reihe von Nullen im ^Minuend denkt
4.
man sich die Stelle vor den Nullen um 1 kleiner (weil hier eine
Einheit geborgt wird), jede der folgenden Nullen in 9 verwandelt
und die letzte Null =10. Alsdann subtrahiert man von links
nach
rechts.
Beispiel:
^
600000000
283940756
von 9,
dir: 2 von 5, 8 von 9, 3 von 9, 9 von 9, 4 von 9,
von 9, 5 von 9, 6 von 10. Daher (von links nach rechts ge316059244.
schrieben)
Denke
7
=
dekadische Ergänzung (das arithmetische Komplement) einer Zahl bildet man, indem man sie von der nächsthöhern
Potenz von 10 abzieht und in die Stelle, welche die 1 der Potenz
1 gilt.
setzt, welches daselbst
von 10 einnahm, das Zeichen
z. B. die dekadische Ergänzung von 568 zu bild.en, berechne
568
432 und setze in die Stelle der Tausende (wegen
1000
Mithin ist A432 die gesuchte
der 1 in 1000) das Zeichen A.
1000 vorstellt.
dekadische Ergänzung, die 432
Diese Ableitung führt zu dem einfachen mechanischen Ver5.
Die
A
Um
—
=
—
—
fahren: Man subtrahiere die Einheiten jeder Stelle von 9, die letzte
vor die
(Einheiten enthaltende) Stelle von 10 und setze alsdann
A
erste Stelle.
Beispiele:
Um
=
Ergänzung von 568 zu bilden: 5 von 9
4,
=1 und noch A vorgesetzt =A432.
von
Die dekadische Ergänzung von 90765? 9 von 9=0,
9 =-9, 7 von 9 =2, 6 von 9 =3, 5 von 10 =5; daher:
A09235.
6 von 9
die dekadische
^3,
8 von 10
=
§• 28.
108
Vorteile beim
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Die dekadische Ergänzung von 12400?
4 von 10=6, folglich =A87600.
9=8,
2 von
4 als die
letzte Stelle, weil die folgenden Stellen (00) keine Einheiten ent12400 ersichtUch ist.
halten, wie aus der Subtraktion 100000
9
=
7,
1
von
Hier
gilt
—
Anstatt nun eine Zahl zu subtrahieren, addiert
ihre dekadische
1.
Beispiel:
Da A
in
Ergänzung.
34567—9208?
34567
+ A0792
= 25359
—
der betreffenden Stelle
3 Zehntausende
—
1
man
Zehntausender
=
1 gilt, so hat man hier
2 Zehntausender.
Beweis.
— 9208 = 34567 + 10000 — 9208 — 10000
= 34567+ 0792 —10000
= 34567 + 0792, und vermindert um
Zehntausender,
= 34567 + A0792.
Beispiel.
853 + 27929 — 997 — 16940 + 57 — 9873 =?
34567
folglich:
1
2.
8 5 3
2 7 9 2 9
AO
A8 3
AO
1
3
6
5 7
2 7
= 10 2
Beispiel.
97 86 — 65900 — 9992 + 3876 — 39 — 599 =?
9.
3.
1
9 7
A3 4
AO
18
6
1
8
3 8 7 6
A6 1
A4
= 24532.
1
Anmerkung. Selbstverständlich wird man Ausdrücke die nur aus
einer additiven und einer subtraktiven Zahl bestehen (s. das 1. Beispiel),
nicht erst auf diesem Umwege berechnen.
,
6.
Beim Kopfrechnen beginnt man
höchsten Stellen.
Beispiel.
— 87?
— 80 = 43,
123
Zuerst 123
oft mit Vorteil
alsdann 43
—7=
36.
bei
den
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§. 28.
109
Als Probe der Subtraktion addiert man Rest und SubErhält man den Minuend, so ist die Rechnung richtig.
Auch kann man den Minuend um den Rest vermindern, wobei
man den Subtrahend bekommen müfste.
7.
trahend.
Multiplication.
F.
Von grofsem Vorteil ist die Kenntnis des
„grofsen Einmaleins", welches aus den Produkten
1.
2.11, 3-11, 4-11,
2-12, 3-12, 4-12,
2-19, 3-19, 4-19,
Von
man
diesen Produkten behalte
sogenannten
9-11,
9-12,
bis
9-19
besteht.
vor allen Dingen 7-11,
7-13, 7-17, 7-19, da die übrigen sich entweder leicht ableiten
(z. B. 7
18
7 9 2
63 2
126) oder in der Praxis öfter
vorkommen und darum sich von selbst einprägen. Aufserdem behalte man auch 11-11, 11-13, 11-17, 11-19, 13-13, 13-17,
13-19, 17-17, 17-19, 19-19 und wohl auch 7-23 und 7-29.
lassen
=
•
Anmerkung.
nennt
man
die in
§.
•
=
•
=
•
Mit Rücksicht auf die obige Tafel (2.11 bis 9.19)
20, 3,1 berührte das „kleine Einmaleins".
2.
Man gewöhne sich, ebensowohl nach rechts wie nach links
auszurücken, ^^'iewohl das Ausrücken nach rechts (Beginnen mit
den höchsten Stellen des Multiplicator) im allgemeinen vorzu-
ziehen
ist.
Beispiel.
8294-3572
8294-3572
16588
58058
41470
24882
24882
41470
58058
16588
Man gewöhne sich, das Produkt der einzelnen Stellen
um das aus dem vorhergehenden Produkt Übriggebliebene
vermehren, sondern sich bei der Multiplication diese Summe
3.
nicht erst
zu
sogleich zu denken.
Beispiel.
32
8 4 4- 7
-
1
5649-8=?
= + = 39)
7
u.
8-9
s.
= 72,
alsdann 8-4
= 39
(statt
w.
4.
Den Multiplicand benutze selbst als das Produkt aus einer
des Multiplicator.
I.Beispiel.
857-132
2571
1714
= 113124.
2.
Beispiel.
3749-641
14996
22494
= 2403109.
IJO
§•
3.
28.
Vorteile beim
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Beispiel.
=
28374-4136
85122
170244
113496
117354864
Das verschiedene Ausrücken kann
machen,
den Partialprodukten
hervorgehobenen Ziffern sind die
hier keine Schwierigkeiten
denn die
in
Endziffern des
4136 fachen
(s.
Multiplicator!)
Rechnet man in jedem der gegebenen Faktoren die Nullen
1 weg, so benutzt man denjenigen Faktor als Multiplicator, bei welchem die wenigsten Stellen übrig bleiben.
I.Beispiel. 67-58374?
58374-6 7
Rechne
5.
und
eine
:
350244
408618 (=58374
= 3911058.
2.
Beispiel.
+ 350244)
713006-508749?
Rechne: 508749-713006
1526247
3052494
3561243
= 362741089494.
Bei 508749
als Multiplicator
hätte
man
2 vlelstellige Zahlen
mehr schreiben müssen.
6.
Gewöhne dich, mit einer kleinern zweistelligen Zahl so
zu multiplicieren wie mit einer einstelligen.
Beispiel. 3624-19? Zuerst 19-4
76, daher 3624- 19.
=
6.
Zehner zum nächsten Produkt zu addieren.
45 (nämlich 19 .2
Hierauf: 19-2
7). FolgUch 3624 19
Die
7
=
+
-
56.
Die 4 (siehe 45) zum nächsten Produkt u. s. w.
Zusatz. Hier mag zugleich eine Erweiterung von
Platz finden.
607-38?
Multipliciere zunächst 7
-
38
= 266.
§.
20, 3,
HI
Folglic h 607 38
•
66.
Die 2 Hunderte sind zu 6-38 Hunderten zu addieren
Hunderte.
Mithin:
= 230
607- 38
= 23066.
7.
Ist der eine Faktor nur wenig kleiner als eine bequeme
runde Zahl, so multipliciert man zunächst mit dieser letztern als
;
§.
und
jMultiplicator
dem
Vorteile beim Hethnen mit ganzen Zahlen.
28.
1\\
Produkt aus der Differenz und
zieht alsdann das
^lultiplicand ab.
29178-998? Man denke sich
29178 1000
29178 (löOO
29178-2; daher:
2)
29178000
58356 (= 29178-2) subtr.
29119644.
I.Beispiel.
— =
•
—
•
=
2.
= 5678-100 — 5678;
=5678-(100— 1)
Beispiel. 5678-99?
5678oo
5678
daher:
subtr.
= 562122."
S.Beispiel.
49183-9997?
491830000
147549
In
8.
=49183-3
= 491682451.
ähnlicher Weise 58 14 = (60 —
-
subtr.
2)- 14
= 840 —28 = 812.
Das Produkt aus einer Stelle (oder einigen Stellen) des
dem iSIultiplicand erhält man oft in einfacherer
Multiplicator mit
Weise aus schon gebildeten Produkten.
I.Beispiel.
683794-2 4839
1367588
2735176
a
5470352
b
2051382
6154146
= 16984759166.
Das 4fache
„
„
S
9
2.
(siehe a)
ist
„
i
„
b)
„
„
(
„
c)
„
Beispiel.
=
3.
Beispiel.
=2
das Doppelte des 2fachen
4
„
„
„
„
3fache
3
„
„
„
61957-28 36
123914
495656
185871
371742
175710052.
3849-7 56
26943
215544
= 2909844.
Das 56fache mufs
7fachen; denn 756.
c
•
1367588
=2.2735176
=3-2051382.
=4.123914
=2-185871
= 26943 8 = 3849
-
selbstverständlich
2
-
56.
Stellen
rechts
vom
112
§•
4.
28.
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
56789.7 8421
397523
3. 397523
1192569
4770276
4.1192569
Beispiel.
=
=
= 4453450169.
= 3.(7.56789)
= 4.(21.56789).
S.Beispiel. 82371465.4519135=?
82371465.
=8237 ...•!
=8237 ....9
741343185
• 5
3706715925
45 823
7413
• 3
11120147775 ..
135 823
37067
=
=
= 372247770482775.
6.
Beispiel.
=
7.
Beispiel.
.
.
.
.
.
.
=
=
=
=
34978-6 7
209868
Beispiel.
244846
=
^^^^ ^^^ 7fache
=lfaches4-6faches.
ooQRfift } ^^^•'
= 2343526.
9.
.
67459.1 3078
=67459.13
876967
5261802
=876967.6=67459.78
(3 Stellen rechts, weil 078
882228802.
3 Stellen rechts von 13).
58374.9 6321
=9.58374
525366
=7.525366
63.58374
3677562
1225854 =3677562:3
21.58374
= 5622642054.
8.
.
45892.3 737
Beispiel.
137676
321244
1698004
=3-45892
=7.45892
=
^
^^^244
}
^^^'
= 37-45892
= 171498404.
9.
Bei mehr als 2 Faktoren multipliciere zuerst die zwei,
deren Produkt sich leicht mit dem 3. Faktor multiplicieren läfst.
Man multipliciere daher zuerst die geraden Zahlen mit denjenigen, welche sich auf 5 endigen.
.
= 25). 9 = 200.9 = 1800.
= 20. 77 = 1540.
=
Zu demselben Zwecke merke man
vorzüglich
Produkte:
=
=
6.17
3.34
102;
102;
8-13 = 104; 4.26 = 104;
7.15 = 105: 3.35 = 105:
Beispiele. 8- 9. 25
7. 5. 11. 4
(8-
(5. 4). (7. 11)
sich
folgende
Vorteile bciui liecbncn mit ganzen Zahlen.
§. 28.
4. 27=108; 3-36=108;
8.14=112; 7.16=112;
9.12=108;
3.37
27.37
113
= 111;
= 999;
= 1001.
=
4 = 02 4 =
= 104 = 728.
=
= (12. 2 = 108. 2 = 216.
=
4 = 3 104 4 = 12
04 = 1248.
=6
4 = 6 102 4 = 24 102 = 2448.
= 27 37 = 999 = (1000 — = 3000 — 3
= 2997.
13
8 = 1001 8 = 8008.
91 88 =
37.102
3774
102
37.34 = 37.-3- = -^— = -3- = 1258.
Beispiele.
24 17
56 13
12. 18
24 52
36 68
8 1 37
.
(6
.
1
7)
.
.
(8
.
13)
.
1
108.
-
7
-
7
9).
3
.
.
10.
7-11.13
.
(8
.
1
3)
.
.
.
.
(6
.
17)
.
.
.
.
3
.
.
7
.
3
.
.
1 1
3
.
.
1
.
1)
.
.
.
Anstatt mit mehreren Zahlen der Reihe nach zu mulgewöhnlich vorzuziehen, dies mit ihrem Produkte
tiplicieren, ist es
zu thun.
I.Beispiel.
Nicht:
5896.3-4.5.
5896 (.3, sondern
17688 (.4
70752 (-5
5896 6
.
=353760
= 353760.
2.
Beispiel.
S.Beispiel.
4.
B eispiel.
897-4-125; dafür einfacher 897.500.
268374.7.11.13; dafür einfacher 268374. 1001.
29838 999.
29838 27 37
29838ooo
Daher:
29838 subtr.
=
•
.
.
= 29808162.
11.
Das Zerlegen des
haft, \viewohl
man
Multiplicators ist nicht
dabei öfter an Ziffern spart
immer
vorteil-
95453.45
Beispiel.
859077 ( .9
4295385 ( 5.
Produkte
enthalten zwar nur 13 Ziffern, während
Die berechneten
bei
95453.4 5
381812
477265
4295385
18 Ziffern geschrieben werden, jedoch ist die Multiplication ohne
Zerlegen in der Kegel eine einfachere und daher sicherere.
Die Berechnung der Zahl 477205 entweder nach dem 8. Satz,
8. Beisp., oder nach dem 12. Satze.
=
.
=
Scburii;, Lehrbuch der Arithmetik.
I.
Teil.
8
—
Vorteile beim
§. 28.
\-[^
pelte
Ebenso
von 4.
ist
.
Rechnen mit ganzen Zahlen.
9538 48 ohne Zerlegen einfacher, weil 8 das Dop•
Noch weniger
vorteilhaft
den
es,
ist
um
erhöhten oder er-
1
niedrigten Multiplicator in Faktoren zu zerfallen,
+
65874-37 als 65874.(6.6
1)
65874 (. 6
1
36
395244 .6
J
2371464
65874 addiert4- Imal
Beispiel.
=
= 2447338.
Einfacher
2.
wohl die direkte Multiplication mit 37.
ist
=
563992.(6.8—1).
563992.47
563992.6
1
Beispiel.
48
3383952. 8
27071616
563992
Auch
kommt man
mit der direkten Multiplication eher
Ziele.
Anstatt mit 5 zu multiplicieren, nimmt
12.
vom
hier
=— Imal
subtr.
= 26507624.
zum
aufgefafst:
.r.n
^
lOfachen.
T^
^
Denn «.5
I.Beispiel.
= «.-^=
10
Man
59267.5?
man
die Hälfte
—
a.lO
-
denke
592670:2
sich;
296335.
2.
78394.57
391970
548758
Beispiel.
(Gedacht 783940:2;
daher 3 unter 71)
= 4468458.
3.
.
Um
.
.
=
:
w. immer richtig unter einander
das 4fache von 7 (der Zahl 76394),
das 6fache dieser 7, 38 als das 5fache dieser 7.
hierbei
stellen,
als
stellt
76394.4165
=4.76394
305576
=6.76394
458364
763940 2!
381970
Beispiel.
= 318181010.
zu
45
man
denke
das 5fache u.
man
sich
30
s.
als
4.
Beispiel.
5.
= 236. 5. = -^^. = 1180. 7
Beispiel. 45-27 = 9.27.5 = ^^.
236. 35
7
7
u.
s.
w.
.
§.
28.
Vorteile beim Uechnen mit ganzen Zahlen.
ß Beispiel.
R
*
•
•
6.
13.
Teil des
1
Denn
OOfachen.
a 25
•
15
15300
___^
— ^=3825.
=—
4
-.
man den
= a —4— = —4—
;
Man
7326-25?
vierten
-
denke
732600: 4
si ch
= 183150.
91347-925
2283675 =9134700:4
91347-9
822123
Beispiel.
=
= 84495975.
der direkten Multiplication könnte
Beispiel. 225-7?
= 63 25 = 6300 4= 1575 rechnen.
auch 25 -9
Statt
3.
man
170
7r2
-r;
Anstatt mit 25 zu nmltiplicieren, nimmt
I.Beispiel.
2.
= 9Ö2
,^ Q^
45-85
1
\
-7
14.
•
:
Anstatt mit 125 zu multiplicieren, multipliciert
1000 und dividiert durch
Beispiel.
15.
98736-12 5
= 89736000:
= 11217000.
mit
8
Multiplication mit 625.
und
Multipliciere mit 10000
16.
man
8.
durch
di%idiere
16.
Multiplication mit 15.
Addiere
zum
lOfachen die Hälfte desselben; denn
.0+ -1^^ = 15.
Beispiel.
6734-15?
6734o:2
33670
= 101010.
Zahlen, die sich auf 5 endigen, aber nicht durch 25
man, indem man mit der doppelten Zahl
multipliciert und dann durch 2 dividiert.
Älit
17.
teilbar sind, multipliciert
Beispiel.
Ist
43 35
•
= 43
-
70 2
:
= 3010 2 = 1505.
:
der Multiplicand eine gerade Zahl, so dividiert
= -^-70 = 9- 70 = 630.
man
zuerst.
18
Beispiel.
18 -35
(S. §. 13, 11. Zus.)
18.
Mit Zahlen, die sich auf 25 oder 75 endigen, aber nicht
durch 125 teilbar sind, multipliciert man, indem man mit dem
4fachen der Zahl multipliciert und durch 4 dividiert.
16087100:4.
9463 -425
(9463- 1700): 4
1. Beispiel.
=
=
2.
Beispiel.
48-75?
Dividiere zuerst durch 4, also:
= 48-^ = 12-300 = 3600.
(S.
auch §.13,
II. Zus.)
.
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§. 28.
J^J^g
Mit Zahlen, die sich auf 125, 375, 625, 875 endigen,
man, indem man mit dem Sfachen multlpliciert und
19.
raultipliciert
durch 8 dividiert.
I.Beispiel.
2.
467- 375
= (467- 3000): 8= 1401000:8.
296-625?
Beispiel.
== 296
•
=
-^^
8
Dividiere zuerst durch 8, also:
^
= 37
5000
•
.
5000.
o
Multiplication mit 75.
20.
Entweder:
Multipliciere mit 100
und subtrahiere vom Pro-
dukt den vierten Teil desselben; denn 75
Beispiel.
= 100
—.
719563oo:4
17989075 s ubtr.
719563-75?
= 53967225.
Oder:
18.
und
Multipliciere mit 300
durch
dividiere
(Siehe
4.
Satz!)
31.
Multiplication mit 875.
mit
Multipliciere
Teil desselben ab;
vom Produkt den
1000 und ziehe
denn:
875
= 1000
Oder: Multipliciere mit 7000 und
achten
g—
dividiere
durch
8.
22. Mit 11 multlpliciert man, indem man vor die erste und
setzt und dann von
hinter die letzte Stelle des Multiplicand
rechts nach links je 2 neben einander stehende Stellen addiert, die
jedesmaligen Zehner aber mit der folgenden
Beispiel.
+ = 13,
7
vereinigt.
0538276260
TTT 1^3886.
+ 6 = 6; dann 6 + 2 = 8; dann 2 + 6 = 8;
Zuerst
6
Summe
53827626-11?
wobei die
1
zur nächsten
53827626
53827626
Beweis.
>
I
Summe
zu zählen
dann
u. s.
w.
^^.
addiert.
,
Anmerkung. Eine ähnliche Abkürzung erhält man für die
MultipUcation mit 12, 13, 14 bis 19, die sich gleichfalls leicht
aus der vollständigen Multiplication ergiebt.
Beispiel.
Für
5487-13?
die Einer:
„
„
„
„
3-7
= 21
(die
2 zur folgenden Stelle),
(die 3 links zur
+ 7 und jene 2 =^ 33
folgenden
Hunderte: 3-4 + 8 und jene 3=23
Zehner:
3-8
Stelle),
genden
Stelle) u.
s.
w.
(die 2 zur fol-
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§. 28.
23.
setzt
111
INIit
und von
niultipliciert
117
man, indem man 00 vor und nach-
rechts nach links je 3 Stellen addiert.
4567689-111?
Beispiel.
00456768900
50701347
0-1-0 + 9 =
zur nächsten
0-f-9-|-8 = 17;
Ausführung:
9.
Zuerst
Dann
9.
Summe;
1
9
„
-|-
8
Beweis.
-f-
6
jene 1 == 24
u. s. w.
-f-
4567689
4567689
4567689
;
2 zur nächsten
Summe
)
[
addiert!
J
Um
mit 9 zu multiplicieren, kann man
vor und nach
setzen, dann von den Zehnern an jede Stelle von der folgenden
rechts subtrahieren.
Ist die abzuziehende Stelle gröfser, so nimmt
man 1 Zehner zum Mmuend, dafür bei der nächsten Subtraktion
24.
den Minuend
um
Beispiel.
Man
1
kleiner.
47398625-9?
0473986250
42658762
denke sich:
5.
Zuerst
Dann
„
„
5 von 0: da die Subtraktion unmöglich, so borgt
man 1, folglich 5 von 10 5.
2 „
4 (statt 5, weil vorher 1 geborgt)
=
=2;
6
8
12=
,,
2, dafür (1 geborgt) 6 von
6;
5 (statt 6, weil vorher 1 geborgt);
8 von 15
7;
dafür
„
7
geborgt);
dafür
„
=
9
weil vorher
„
9 von 17 =
8
weil vorher
7
13 = 6;
4
6 = 2;
Endlich
4=
Beweis. 47398625 -(10 —
= 473986250
(statt 8,
1
8;
„
„
3
„
(statt 9,
1
geborgt)
=5;
„
„
„
4.
1)
x
u.
47398625 r^^^^Sind zu Produkten noch andere Zahlen zu addieren, so
nicht die Partialprodukte jedes einzelnen Produkts für
sich, sondern sofort zu den Partialprodukten die übrigen Zahlen.
I.Beispiel. 87-23
87-23
49?
25.
addiert
man
+
174
261
49
= 2050.
6
118
§.
2.
28.
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
+ 76.39?
49-82
Beispiel.
=
76 3 =
76-9 =
49 2
98
392
228
684
.
49-8=
•
49-82!
''^^''^
}
= 6982.
26. Sind nahe gleiche Zahlen vorhanden oder mehrere Stellen
der Zahlen einander gleich, so läfst sich oft eine Vereinfachung
erzielen, wie folgende Beispiele lehren.
1.
Beispiel.
— 628 = 629 7 — (629 —
= 629-7 — 629+1
= 629-(7—l) + = 629 -6 +
= 3774 + = 3775.
Beispiel.
19- 37 + 237= 19 -37 + 37 + 200 ==20 -37 + 200
= 740 + 200 = 940.
629 7
•
1)
•
1
1
1
2.
einer bestimmten runden Zahl nahe
jeden derselben als Summe oder Differenz
dar, deren erste Zahl jene runde Zahl ist.
27.
gleich,
1.
jeder
Ist
so
stellt
Faktor
man
Beispiel.
= (50 + 3)(50 — = 50-50 + 3.50 — 2-50 — 3-2
2).50 —
+ —
= 2500 +
50 — 6 = 2544.
Beispiel.
122
16 = (120 +
20 —
= 120 120 — 4 120 + 2 120 — 2 4
= 14400 — 2-120 — 8=14400 — 240 — 8
= 14400 — 248 = 14152.
Beispiel.
997 996 = (1000 —
(1000 —
= 1000000 — 3-1000 — 4-1000 + 3-4
= 1000012 — 7-1000
= 993012.
Beispiel.
9998 9993 = (10000 —
(10000 —
= 100000000 — 2 10000 — 7-10000 + 14
= 100000014 — 9-10000.
53.48
2)
:=2500
(3
2.
-
1
4)
2) (1
•
•
•
-
3.
4)
3)
-
(s. §.
11, 9)
4.
7)
2)
•
-
Aus den beiden letzten Beispielen
Regel ableiten:
10"-10"
(10"- a)(10''
?;)
28.
läfst
sich
leicht
— =
+ — +
Hat man 857-964 = 826148 berechnet und
856-966 wissen,
so
denke mau
«^*
(a
sich dieses letztere
folgende
Z>)-10".
will
man dann
Produkt
Vorteile beim
§. 28.
Rechnen mit ganzen Zahlen.
119
= (857-1) (964 4-2)
= 857 964 — 964 + 2-857 — 2
= 826148 — 964+1714 — 2
= 826148 + 748 = 826896.
•
29. Ist der eine Faktor eben so viel über einer einfachen
runden Zalil als der andere unter derselben, so erhält man das
Produkt, wenn man das Quadrat der runden Zahl vermindert um
das Quadrat aus der Differenz der runden Zahl und einem der
gegebenen Faktoren.
Beispiel.
1.
63 57
•
= (60 +
3)
Beweis.
(60
+
3) (60
•
— 3) = 60^ — 3^ = 3600 — 9 = 359
(60
— = 60 60 + 3
= 60'
3)
•
.
60 —.60 .3
1.
— 3-3
—3',
denn die beiden Mittelglieder müssen sich
stets
heben.
Beispiel.
2.
= (50 — (50 + = — = 2500 — 4 = 2496.
Beispiel.
= 30' — = 900 — = 899.
29.31 = (30— 1)(30+
Beispiel.
126-114 = (120 + 6)(120 — 6)= 120^— = 14400 — 36 = 14364.
Beispiel.
= 1300^ — 7^^= 1690000 — 49
1293
307 = (1300 —
(1300 +
= 1689951.
Man kann
auch auf folgende Beispiele anwenden:
= 58 62 + 58 = (60 — (60 + + 58
58 63 = 58 (62 +
= 3600 — 4 + 58 = 3600 + 54 = 3654.
97 86 = (94 +
86 = 94 86 + 3 86 = 8 100 — 16 + 258
= 8100 + 242 = 8342.
48 52
2)
2)
-
50''
2'''
3.
1^
l)
1
4.
6'
5.
.
7)
7)
1
dies
.
1)
.
3)
.
30.
tiplicieren,
2)
-
.
2)
-
.
Um
2 vielstellige Zahlen ohne Partialprodukte zu muldenke man sich dieselben zunächst von gleichviel Stellen,
indem man die fehlenden Ordnungen mit
Faktoren alsdann untereinander.
Beispiel.
5873-614?
Man
ausfüllt
und
setze die
denke sich 5873
0614.
Die Zahlen mögen mit Weglassung der mittleren Stellen folgende
AB
sein:
ah
wo
B
Man
A,
a,
h
LMNP
l
m
n p,
die Ziffern der beiden Zahlen bedeuten.
P
und p,
multipliciert nun zuerst die beiden letzten Stellen
schreibt jedoch nur die letzte Stelle dieses Produkts (die Einer)
120
28.
§•
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
die gesuchte Zahl, um den übrigen Teil (die etwaigen Zehner)
den folgenden Produkten hinzuzufügen.
Hierauf addiere die Produkte Np-\-Pn, wobei wieder nur die
letzte Stelle für die gesuchte Zahl geschrieben und der
übrige Teil für die nächsten Produkte behalten wird.
fiir
Alsdann
Mp-{- Nn-\- Pm,
ist
Lp + Mn -|- Nm + PI
hierauf
man
u.
s.
w.
Zahlen immer 1 Stelle weiter nach
links fortschreitet und von den zu benutzenden Stellen stets
zu bilden, indem
in beiden
oben (L in der letzten Summe) mit der letzten
unten {p),
2.
{M) mit der vorletzten unten (w),
„
„
„
3.
(m) u. s. w.
{N) „
drittletzten
„
„
„
„
„
multipliciert, die Produkte nebst der aus der vorher bestimmten
Stelle zurückbehaltenen Zahl addiert.
die
1.
Stelle
man
der höchsten Stelle der Zahlen (der 1. Stelle links)
schneidet man die beiden letzten Stellen der Zahl
( P und p) ab und bildet mit den sämtlichen übrigbleibenden Stellen
dieselbe Summe der Produkte, also:
Ist
angelangt,
bei
so
An-\-B7n-{Mh-\-lSa.
Alsdann schneidet man von den so eben benutzten Stellen wieder
die 2 letzten Stellen {N und n) ab u. s. w., bis man z\x A-a ge-
kommen
Es
Für
lich
5.7
ist.
sei z.
4385 mit
9627 zu multiplicieren.
B.
die letzte Stelle (Einer) der gesuchten Zahl: \7/, folg35.
Schreibe die 5 Einer für die gesuchte Zahl:
=
4385
9627
5
und behalte
die 3
Zehner für die nächste
/85\
Stelle.
+
Hierauf: V 27 ^ , folgUch 8-7
5.2, wobei das 1. Produkt soum jene zurückbehaltene 3 zu vermehren ist, daher
59-4-10
69.
Schreibe 9, folglich:
gleich
=
4385
9627
95
und behalte
die
6 (Zehner) von 69 für die nächste Stelle.
/385\
+
+
8.2
Alsdann: V 627 y, folglich 3.7
5.6, wobei das 1. Produkt wegen der herüberzunehmenden 6 nicht 3.7
21, sondern
3.7
27 ausgesprochen wird. Daher 27+16
30
73.
=
=
+ =
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§. 28,
Oder:
121
4385
9627
395;
die 7 der Zahl 73 für die nächste Stelle.
/4385\
Nun
folglich 4.7 + 3.2 + 8.64-5.9 =
+ 6 + 48 + 45 = 134; daher:
(^9627y,
folgt:
35 (wegen jener
•
7)
4385
9627
die 13 der Zahl
4395;
134 für die nächste
Stelle.
/438\
Jetzt sind die Einer beider Zahlen zu streichen. Aus \ 962 /
8-9
mithin: 4-2 (vermehrt um jene 13)
21
72
18
111; daher:
4385
= + +
+3.6 +
=
9627
14395;
die
1 1
Zehner der Zahl 111 für die nächste
Nun auch
folgt 4
.
6
(+
1
die
1
!)
Stelle.
/
Zehner der beiden Zahlen gestrichen. Aus
3 9
35
27
62; daher:
+
= + =
.
\
43 \
96 /
4385
9627
/^x
Zuletzt:
214395; 6 für
folglich
\9J,
4.9(+6!)
=
die nächste Stelle.
42.
Mithin:
4385
9627
42214395.
Beweis.
,
X
=35
=
+
Einer
5 Einer.
7 Einer
3 Zehner
Zuerst: 5 Einer
2 Zehner 5
jene 3 Zehner
69 Zehner
8 Zehner -7
6 Hunderte
Zehner.
Alsdann: 3 Hunderte -7
8 Zehner 2 Zehner
6 Hunderte 5
Hunderte
21 Hunderte
jene 6 Hunderte
73 Hunderte u. s. w.
30 Hunderte -f- 6 Hunderte
Alsdann:
=
+
+
2.
+
+
•
+
+9
+
•
=
=
=
•
+16
4736
5802
Beispiel.
= 27478272.
Erklärung:
1)
6-2
2) 3 -2
3)
4)
5)
6)
= l§;
2 geschrieben,
(+0 + 6.0 = 7 +
1
=
behalten.
7.
+ 6.8=14 + 48 = 62.
+ + 3- 8 + 6. 5 = 14 + + 24 + 30 = 68.
4.0(+G) + 7.8 + 3.5 = 6 + 56+15 =
4.8(+7) + 7-5 = 39 + 35 = 74.
+
7.2
3.0
4-2 (+6)
7) 4 -5
7.
77.
(+7)
=
27.
122
§• 2*^-
3.
Vorteile beim
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Man
83067
1954
Beispiel.
83067
01954
denke sich
= 162312918.
Erklärung:
= 28.
1)
7.4
2)
6-4(+2)-}-7-5
= 26 + 35 =
+ 7-9 = 6 + 30 + 63 = 99.
= 21 + + 54 + =
3 4 (+
5 4- 6 9 +
H8 •4(H-8) 4- 3- 5 + 0-9 + 6- + 7.0 = 40+ 15 + 6 =
und 4 gestrichen:
Nachdem
8-5 (+6) + 3-9 + 0-1 +6.0 = 46 + 27 = 73.
Nachdem 6 und 5 gestrichen:
8 9 (+
+ 3 + = 79 + 3 =
und 9 gestrichen: 8
Nachdem
(+ + 3 .0 =
gestrichen: 8.0(+l) =
und
Nachdem
6l.
0.4(+6) + 6-5
3)
4)
.
9)
•
7
.
.
82.
7
1
1
5)
61.
7
6)
7)
.
8)
7)
.
1
82.
.
.
3
9)
31.
1
l-
Beim Kopfrechnen fängt man
höchsten Stellen an.
Beispiel.
16.
8)
1
873.6=? 800-6
folglich 5220, vermehrt
um
3-6
oft
mit Vorteil bei den
= 4800, vermehrt um70. 6 = 420,
= 18,
5238.
folglich
33. Als Probe kann man das Produkt durch den einen
Faktor dividieren, wobei der andere Faktor als Quotient erscheinen
mufs (§.13, 5).
Haben die Faktoren nahe gleichviel Stellen, so kann man die
Rechnung noch einmal mit dem soeben benutzten Multiplicand als
Multiplicator ausführen.
378.456
Beispiel.
456-3 78
Probe:
1512
1890
2268
1368
3192
3648
= 172368.
=172368.
Oder man führt die Rechnung nur mit den einflufsreichsten
Stellen aus und sieht, ob das erhaltene Resultat übereinstimmt.
Beim
letzten Beispiel
im
30. Satz:
= 16 Zehnermillionen = 160000000,
8 Zehntausende
X
2
Tausende
folgUch richtig. Diese Probe
ist bei jeder Rechnung (nicht blofs der Multiplication) oft allen
andern Proben vorzuziehen.
Hier ist ferner auf die Neuner- und Elferprobe (§. 29 und 30)
hinzuweisen.
G.
1.
Division.
Die Kenntnis des grofsen Einmaleins
15 10
1.
Beispiel.
5
7
15
3141592
8
ist
auch hier von Vorteil.
6
6 5: 16
= 19
2.
Beispiel.
6 3 4 9 5 4jV.
5604:4? Nicht 5:4 u. s. w., sondern
56:4=14.
,
§. 28.
3.
u. s.
Beispiel.
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Vorteile beim
671310:G? Zuerst 6:6, dann
123
sogleich 71
:
6= 11
w.
2.
Als Vorteil wird oft angegeben, nur die Keste, nicht die
Partialprodukte zu schreiben.
Beispiel.
261139 1 487
:
= 5362:^V.
1763
3029
1071
97.
Es ist aber Thatsache dafs sich hierbei der geübteste Rechner
sehr leicht irrt und daher die Rechnung stets mehrmals durchsehen
mülste, um sicher zu sein, ob das Resultat auch wirkHch richtig
ist.
Da dies beim Niederschreiben der Partialprodukte nicht der
Fall ist, so gewinnt man bedeutend an Zeit und hat nicht mit der
anstrengenden Aufmerksamkeit zu rechnen, die jene Abkürzung
erfordert. Bei sehr bequemen Divisoren können die Partialprodukte
,
allerdings weggelassen werden.
Beispiel.
3141592 65 1003
1325
3229
2202
1966
:
= 313219^^^/^.
9635.
Bei sehr vielstelligen Divisoren bildet
3.
man
sich zuvor die
Produkte aus dem Divisor und den Zahlen 2 bis 9.
Beispiel. 51968374210735:89314276? ^ addiert giebt das
3fache.
178628552 /
2-89314276
Bilde zunächst:
267942828.
3-89314276
Das 4fache
„
6
„
j)
8
„
= 2mal
=
=
=
=
das 2fLiche,
„
„
3
„
„
„
4
„
=
=
=
der Hälfte des
das 5fache
1 Ofachen
4fache,
3fache
7fache
„
4 „
„ .
„
-t- o
»9
+
Diese Produkte sind sehr leicht gebildet und man sieht auch
augenblicklich, welches das stets abzuziehende Partialprodukt ist.
Um
(durch die Potenzen von
4.
durch 10, 100, 1000,
ab, oder,
10) zu dividieren, schneidet man zuletzt 0, 00, 000,
wenn die Zahl sich nicht auf Null endigt, betrachtet man resp. die
letzte Stelle als 10^^', die 2 letzten Stellen als Hundertel u. s. w.
Beispiele. 56179000:100
967019: 1000
967y|^^.
=
Um
= 561790;
28314:10
= 2831-1%;
durch eine runde (auf Nullen sich endigende) Zahl
zu dividieren, die nicht Potenz von 10 ist, schneidet man im
5.
1
124
Dmsor
Rechnen mit ganzen Zahlen.
und vom Dividend zuletzt eine gleiche Anzahl
den bei der Division dieser verkürzten Zahlen zu-
die Nullen
Stellen ab.
letzt
Vorteile beim
§• 28.
An
erhaltenen Rest
Di^ddend an und
man
häno;t
dividiert
die
die wego-elassenen Stellen des
erhaltene Zahl durch den unver-
kürzten Di\dsor.
1.
Beispiel.
160591871 473000?
:
16059l8:?i 473000
:
= 339144^.
1419
1869
1419
4501
4257
244871
Der Beweis
2.
:
473000.
ergiebt sich aus der unverkürzten Division:
Beispiel.
160591871:473000
1419000
1869187
1419000
4501871
4257000
244871:473000!
24801659:1200?
2480 16gg: 200
=
B.Beispiel.
20668t||^.
751946 Minuten, wie
viel
Stunden?
75194)8:60
=12532 Stunden 26 Min.
6,
Hat man eine Zahl mit einer zweiten zu multiplicieren
und das Produkt durch eine dritte Zahl zu dividieren, so dividiert man zuerst, wenn die Division aufgeht oder die Multiplication hierdurch bequemer wird.
I.Beispiel.
2.
7.
Beispiel
^^'^^
=(78:
67625 41
•
:
125
13) -59
=6
= (67625
:
-59.
125) 41 == 541
•
•
41.
Derselbe Satz allgemeiner:
Man
kürze vor der Multiplication und Division jede mul-
tiplicierende Zahl mit jeder dividierenden.
—845b——
•
Beispiel.
7,
also durch
17
?
28 gekürzt:
84 mit 56 durch 4 und dann noch durch
3
§. 28.
Während
8.
Nullen folgen, mit
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
der Division kürzt
dem
einen Rest, auf den nur
Divisor.
11
Beispiel.
man
125
15
5
11
9 00000:2 1
2 4 5.
14
00000 durch 21 zu dividieren,
Anstatt nun
00000
66
u.
dividiert
man
:
8.
w.
von Vorteil, den mehrstelligen unbeZahlen zu zerlegen, welche das Niederschreiben der abzuziehenden Partialprodukte unnötig machen.
9.
In der Regel
quemen Divisor
es
ist
in solche
561927400:96?
561927400 (: 8
70240925 (: 12
5853410^.
Beispiel.
Dafür:
=
Man
wird hierbei zuerst durch Zahlen dividieren, bei welchen
die Division aufgeht.
In vorstehendem Beispiel daher zuerst durch
Oder:
1763945:35
352789(:5 (s. unten
50398^(:7.
.
1 1
=
8.
.
Satz)
Kommt
man
die
25, 125,
die vorstehende Regel nicht in Betracht, so nimmt
Divisoren in folgender Ordnung: 2, 4, 8,
5,
3, 9, 11 und läfst dann erst die übrigen Zahlen
,
,
folgen.
Beispiel.
46300000000 77
4209090909
(: 11
60129870l| (:7.
:
^
=
10.
Zuweilen ist es auch
zelne Zahlen der Reihe nach zu
vorteilhaft,
dividieren,
nicht durch einsondern durch ihr
Produkt.
I.Beispiel. (58701297 8): 25.
Dafür 58701297:200; da her 587012^?: 200
:
==2935063j^V
=
:
126
§•
Beispiel.
2.
Dafür
'
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
239398645:7:11:13.
2393986 45 1001 =2391 59t^V
3919
9168
1596
5954
9495
486
:
Anstatt durch 5 zu dividieren,
11.
und
2''*-
dividiert
durch
Beispiel.
10.
Denn
—
multipliciert
man
mit 2
.
291835:5.
Dafür
291835-2
583670: 10
= 58367.
In der Praxis wird
entstehende
Geht
nicht
die Division
durch
so multipliciert
Stelle als Zehntel.
auf,
bei der Multiplication die zuletzt
5,
man
wie man aus der Endziffer
mit 2 und betrachtet die
sieht,
letzte
431982: 5
I.Beispiel.
2.
man
sofort weglassen.
= 863963-V(-2.
51029: 5
= 10205^^.
Beispiel.
Anstatt durch 25 zu dividieren, multipliciert man mit 4
durch 100; oder man multipliciert mit 4 und betrachtet die beiden letzten Stellen als Hundertel.
12.
und
dividiert
1.
Beispiel.
643287300:25. Zuerst durch 100
dividiert,
dann
mit 4 multipliciert; folglich
6432873 4
-
= 25731492.
2.
549276:25
Beispiel.
oder
21971t^(-4
=21971^4^.
Anstatt durch 125 zu dividieren, multipliciert man mit 8
durch 1000; oder man multipliciert mit 8 und betrachtet die 3 letzten Stellen als' Tausendtel.
13.
und
dividiert
Beispiel.
8639674:125
= 69117^^(.8.
14.
Durch 625 dividiert man, indem man mit 16
und durch 10000 dividiert.
multipliciert
15.
Zuweilen
len (5, 25,
Rechneu mit ganzen Zahlen.
Vorteile beim
§. 28.
der Divisor in die vorstehenden Zah-
läfst sich
125, ...
127
zerlegen.
.)
7846828:275.
Beispiel.
Dafür:
=
7846828:1 1
713348:25
28533T9jft,(.4.
Anstatt durch eine auf 5 sich endigende Zahl (die nicht
teilbar ist) zu dividieren, multipliciert man mit 2 und
dividiert durch das Doppelte des ursprünglichen Divisors.
16.
durch 25
746693:15.
Beispiel.
746693-2
149338^:30
Dafür:
49779ii
Denn
a: 15
30
Anstatt durch eine auf 25 oder 75 sich endigende Zahl
(die nicht durch 125 teilbar ist) zu dividieren, multipliciert man
mit 4 und dividiert durch das 4fache des ursprünglichen Divisor.
17.
Beispiel.
7846828:275 (s. das Beispiel zum
Dafür:
78468 28- 4
15. Satz!)
10
313873 i2:1100
= 28533if||.
18,
Hat man mit irgend
durch eine andere Zahl,
man
dividieren, so bildet
einer Zahl zu multiplicieren und
nahe ein Vielfaches jener ist, zu
zuerst aus beiden Zahlen durch Division
die
einen passenden ]\lultiplicator.
(58317 -13) 12?
I.Beispiel.
:
d.i.
58317~ = 58317.(1+^
'12
12
Daher:
58317
oder:
=
2.
58317+
^^^^'^
:12
4859f
}
^^^'^^
63176f.
(7580931 -39): 19?
Beispiel.
QO
Dafür:
,
12
7580931
•
y^ = 7580931
7580931
aaaie rt
\
+—
1
-(2
-2
398996yV(=^ 7580931
= 15560858^^.
:
19)
Folglich
J.
§• 2^-
128
(66940743- 13): 14?
S.Beispiel.
—=
66940743
Dafür:
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Vorteile beim
66940743.(1
14
66940743
subtr.
I
Beispiel.
Daftir:
Daher:
14
478I48I3SJ:
=
4.
:
—^\
14/
62159261^.
(15560858-67): 17?
15560858
•
(-^
subtr
suDtr
- ~)= 15560858(4 — -^^Y
15560858
(-4
62243432
15560858 17
915344f
i
^=
-^
.
Daher:
:
= 61328087-jV.
Oft kann
tiplicator
sor
eine
man nach Ausscheiden einer Zahl aus dem MulZahl herstellen, die nahe ein Vielfaches des Divi-
ist.
= 71936849-3- 18: 19
— -^\
1936849
||- =
(71936849 -54): 19
Beispiel.
= 71936849
Daher:
,.
suDtr.
f
-^
=
3
'
•
(7
-
3)
-
( 1
-3
71936849
:19
215810547
ii3584 49|f
204452097^.
Um
den
19.
durch 75 zu dividieren, addiert man zum Dividend
3. Teil desselben und dividiert die Summe durch 100.
I.Beispiel.
29187042:75?
Beispiel.
45719268:75?
29187042:3
9729014
= 389160^5^.
2.
45719268:3
15239756
609590t2^V
Beweis,
= a 4 3 100 = a ^o
a(l-f-y):100 = + -|-):100.
a 75
:
=a
•
4 300
:
:
-
:
-
:
100
(a
20. Um durch 875 zu dividieren, addiert man zum Dividend den 7. Teil desselben und dividiert die Summe durch 1000.
Beispiel. 54387403:875?
54387403:7
7769629
}.
= 62157^0^3^ = 62157^1^.
§. 28.
a
g^^
Beweis.
21.
Man
i«!L
Vorteile beim
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Sa
___
^
_
~ 1000
7
—7.1000
behalte folgende oft
^=
= 25,
129
vorkommende Quotienten:
iM =
75,
5^ = 625,
'
125.
^=
^=
375,
875.
129350000:8
Beispiel.
1616
Anstatt nun mit 70:8 fortzufahren, denkt
^^ =
man
sich sogleich
Daher =16168750.
875.
22.
Oft kann man den Divisor dadurch in einen bequemen
verwandeln, dafs man einen bestimmten Teil desselben addiert,
wobei dann der Dividend um denselben Teil zu erhöhen ist.
Beispiel.
37639104:96.
Beide Zahlen
13
3 7
16 19
7
um
ihren 24. Teil erhöht:
23 14
639 104:24;
15
6 8 2 9 6
96:24
4
^,
Iraner
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§• ^^-
J30
aus der runden Zahl hervorgehenden Partialproduktes die zugehörigen Stellen des Dividend um das Produkt aus der gefundenen
Stelle des Quotient und der Differenz des benutzten und gegebenen Divisors erhöht.
647925498:997.
I.Beispiel.
Man
—
=
durch 1000, weil aber 997
1000
3, so ervor der Subtraktion des Partialproduktes (aus 1000) die
betreffenden Stellen des Dividend um das 3fache der jedesmal
Daher:
erhaltenen Stelle des Quotient.
höht
dividiere
man
647925498:1000
_
600
= 649875^1^.
12
Als Rest erhält man
6.(1000
das I.Mal 479
4972
^o»o
.
9845
2.
„
972
U.
9
— 997)
+
+ 4.(1000-997)
8.
W.
24
8724
8000
21
7489
7000
15
5108
5000
123
2.
Beispiel.
796
= 800 —
41983276504:796?
4,
folglich
ist
stets
das
4fache der gefundenen
Quotientenstelle zu addieren.
41983276504 800
:
4000
8
= 52742809f4|.
9
Vorteile beim
§. 28.
Beweis.
4198
d. i. 4198
—
= (4198 +
.
131
Beispiel)
vollständig:
man
Dividiert
(s,
vorst,
2.
um
796-5 zu vermindern,
(800— 4)-5
4 198
20
4000
(4000
20) -- 4198
20) — 4000, wie in der Abkürzung.
:796-=^o, so
ist
=
Division durch
25.
Rechnen mit ganzen Zahlen.
zuerst 4198
—
—
—
+
9.
Man
schreibe zunächst die höchste Stelle des Dividend nieder,
bilde alsdann die Quersumme aus den beiden höchsten Stellen des
Dividend, hierauf die Quersumme aus den 3 höchsten Stellen des
Dividend
summe
u.
s.
indem man immer zur vorhergehenden Quer-
w.,
die folgende Stelle addiert.
um
Jede der so erhaltenen Zahlen rückt man
aus und addiert sie, jedoch ohne die
(ohne die Einer der letzten Quersumme).
eine Stelle nach
rechts
letzte Stelle
rechts
Ist die letzte Quersumme ein Vielfaches von 9, so läfst man
zwar auch die Einer dieser Quersumme weg, erhöht aber die vorhergehende Stelle um
Ist jedoch die letzte Quersumme kein Vielfaches von 9, so
fügt man jener Summe der Quersummen eine Anzahl Neuntel
1
hinzu, die man erhält, wenn man die letzte
nächstkleinere Vielfache von 9 vermindert.
1.
Quersumme um
das
Beispiel.
298736541:9
=2 (höchste
2
2
11
19.
.
.
.
26
29
35
40
44
4g
.
=
.
.
-[-
Stelle des Dividend)
9 (die beiden höchsten Stellen)
folg. Stelle 8)
8 (vorige Quers.
11 +
= 19 + 7
+
+
(
U. 8.
Da
diese
von
1_
33192949.
und
letzte
7)
W.
Quersumme
ein
Vielfaches
9, so ist die letzte Stelle zu streichen
zur vorhergehenden Stelle 1 zu ad-
dieren.
2.
Beispiel.
51607382
:
6
12
12
19
22
30
32^
= 5734153^.
(um
27, das nächstkleinere Vielfache
Zähler!)
5
mindert
= =
von
9, ver-
§• '^^-
132
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Vorteile beim
=
u. s.
=
Beweis. 1:9
^, 10:9
H, 100:9
5- 11^
Daher 3578: 9=-3 11H
w.
+
•
3 3
5
= 1H, 1000:9 = 111^
+ H + 8-^, oder:
7-
3t
5t
|_
II
II
II
II
w
CO CO CO
+++
w
cn c"
++
+
00
^
C
P
26. Die Fourier'sche
geordnete Division).
Man
abgekürzte Division
(oder:
die
Divisor nur die höchsten Stellen des gez. B. die 1. Stelle oder die beiden
Mit diesem Divisor, den wir „Stückdivisor" (oder
ersten Stellen.
Teildivisor) nennen wollen, führt man also zunächst die Division
allein aus.
Der Übersicht wegen überstreiche man die als Stückdivisor benutzten Stellen des gegebenen Divisor. Die auf die Stellen
des Stückdivisor folgenden Stellen des gegebenen Divisor mögen
die 1. Stelle des Quostets der Reihe nach mit d^, d^, d.^
,
gebenen
mit
tient
benutze
als
vielstelligen Divisors,
Den
g^
,
die 2. Stelle mit q^ u.
Dividend
genommenen
dividiert
Stückdivisor,
man
s.
w. bezeichnet werden.
wie gewöhnlich durch den an-
wodurch man
die
Stelle (Qj) des
1.
Quo-
man
wie bei der gewöhnlichen
Division diese Stelle des Quotient mit dem Stückdivisor und zieht
das Produkt von der betreffenden Stelle des Dividend ab. Nachdem man diese erste oder später irgend eine Stelle des Quotient
durch Division mit dem Stückdivisor bestimmt und das betreffende
Partialprodukt vom Dividend abgezogen hat, ist stets zu untersuchen, ob der Rest entweder gröfser (oder auch gleich) oder
kleiner ist als die Quersumme (q^-h ^2~^
'^ ^^^ bisherigen
tient erhält.
Ferner multipliciert
'
•
•
Quotient (die neueste Stelle desselben mit eingerechnet).
1.
Fall.
sei
Der nach Abzug des Partialprodukts erhaltene Rest
gröfser als die Quersumme des Quotient oder gleich
derselben.
Alsdann hänge dem Reste
die folgende Stelle des Dividend
an, setze die nachstehenden 2 Zifferreihen unter einander, die erste
J
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§. 28.
133
bestehend aus den bisher gefundenen Ziffern des Quotient in umgekehrter Ordnunji', die 2. aus eben so viel auf den Stückdivisor
folgenden Ziffern des gegebenen Divisor und ziehe die Summe der
Produkte der untereinander stehenden Stellen dieser beiden Zifferreihen von jenem vergröfserten Reste ab.
Nach der Bestimmung der
Quotient und der Subund dem Stückmithin die folgende Stelle des Dividend anzuhängen,
1.
Stelle des
traktion des Produkts aus dieser Stelle des Quotient
divisor
alsdann
dem
ist
\q
{
^
]
\
unter einander zu setzen
und das Produkt ^^äi von
vergröfserten Reste zu subtrahieren.
den jetzt erhaltenen Rest durch den Stückdivisor,
(qj des Quotient zu erhalten. Wie bei der gewöhnlichen Division subtrahiere das Produkt aus der neuen Stelle
des Quotient und dem Stückdivisor und sieh wieder nach, ob der
Rest gröfser (oder gleich) oder kleiner als die Quersumme der
Dividiere
um
die 2. Stelle
bis jetzt erhaltenen
beiden Stellen des Quotient
(^1
+ ^2)
^^^-
Wäre
er kleiner, so müfste der weiter unten folgende 2. Fall berücksichtigt werden.
Wäre er jedoch wieder gröfser (oder gleich), so
füge (wie der
1.
dem
Fall vorschreibt)
des Dividend hinzu, subtrahiere
IJ
/
Reste die folgende Stelle
=^2^1
!
~i~
?i
"^^
<^2
^^^'^~
diere den Rest durch den bisherigen Stückdivisor, um die 3. Stelle
Ist der Rest gröfser als die Querdes Quotient (^3) zu erhalten.
summe oder gleich der Quersumme des nun Szitferigen Quotient
^2"^~^3^' ^^ ^^o^ ^^^ Reste die folgende Stelle des Divi(^1
+
dend hinzu, subtrahiere
\
vidiere
4. Stelle
2.
den Rest
durch
^^
JJ
\
=Q
sei
^i~^ ^ 2 ^2~^ ^ i
^3
den bisherigen Stückdivisor,
des Quotient zu erhalten u.
Fall.
^
s.
^^^
um
^^~
die
w.
Der nach Abzug des Partialprodukts erhaltene Rest
als die Quersumme des bis jetzt erhaltenen
kleiner
Quotient.
Dann
sieh die so eben erhaltene Stelle des Quotient nicht als
endgültige an, füge dem Reste, der so eben dividiert wurde, die
folgende Stelle des Dividend hinzu und vergröfsere gleichzeitig den
Stückdivisor um die nächste Stelle des gegebenen Divisor. Die auf
diesen neuen (vergröfserten) Stückdivisor folgenden Stellen des Divisor
bezeichne nun mit d^, d,^, d^,
, w^ährend die 1. (höchste) Stelle des
Quotient q^, die
2.q.^ u.s.
w. bleibt.
Den
jetzt
dend vergröfserten Rest vermindere noch
um
um
eine Stelle des Divi-
\q^]
i
,
=<^jr/j, wenn
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Vorteile beim
§• 2^-
J34
der bisherige endgültige Quotient (also der Quotient ohne die zuletzt erhaltene Stelle) aus einer Stelle besteht,
um
j^ j^
"!
=^o^, +^1
[
1^1 ^2)
um
,^
/
I
<^.,»
"
wenn
dieser Quotient aus 2 Stellen
besteht,
=^^3^1 +^2^2
(
//
+ ^i^3'
'^venn
dieser Quotient aus
und dividiere den erhaltenen Rest nun
s. w.,
durch den neuen Stückdi\äsor, ziehe das Partialprodukt ab
die Quersumme des bisund sieh wieder, ob der Rest
oder
herigen Quotient ist, um eventuell nach dem 1. oder 2. Fall zu
3 Stellen besteht u.
erst
<
>
verfahren.
625143221376:812686187789
Beispiel.
1.
Es mögen
=?
beiden ersten Stellen 81 des Divisor als
Stückdivisor benutzt werden. Daher:
hier die
625143221376:812 6 86187789
=81-7
567
58; da 58
>7
(Quersumme
=Ki =
[
des bisherigen Quotient),
der 1. Fall.
l=7-2; denn
{
23
7 6 9
«i^2?3^4
581
14
=
d^d^
bis jetzt ist der Divisor
\^\
y^U
567:81=6 = ^,
486
so gilt
812
und der Quotient
7.
= 81-6
da 81
81;
> 13
1.
54= p2^il = |
:
=9=
l
des Quotient), so gilt der
Fall.
= 6-2-j-7-6;
denn der Divisor ist
8126
jetzt
H'i
l^^^^i
760 8 1
729
7+6
(Quersumme
"81^
der Quotient
^3
31 (fortzufahren, da
31>7+6-[-9,
bis
76.
siehe den Quotient)
313
\d,ä,d,\
203:81=2
=
\
^
Divisor ist
der Quotient
.
^^
.
81268
769.
162
41; da
41>7 + 6-f-9 + 2
^J2
264:81=3
= ^,
(siehe
Quotient), so ist fortzufahren (I.Fall):
:
§.
264:81
243
Rechnen mit ganzen Zahlen.
Vorteile beim
28.
= 3 = 3^ V
135
(wiederholt)
21<7 + 6 + 9 + 24-3;
das hier in
| |
folglich 2. Fall
und mithin
gilt
und der Quotient 3 nicht,
Gesetzte
noch dem Reste 264 die folgende
Stelle 2 des Dividend hinzuzufügen, der Stückdivisor
um die nächste Stelle zu vergröfsern, also 812 statt
81 zu nehmen, so dafs nun
... .:8T26 8 6 1 87789
7 9 6 2
vielmehr
erst
ist
=
gilt
und vor der Division durch den neuen Stück-
|^.^3^2^i]_(2967|
=
V/^/VV
\d^d^d,J^\
divisornoch
\lVa\\
[6861)
\
=
'^'^
+ '^'^
+ 6 6 + 7 = 127 vom vergröfserten Reste 2642 zu
Also
26421376:8126 8 6
87789 = 7 6 9 2 307
•
•
1
subtrahieren.
1
d,d,^d^d^
q.q^q^q,
= l!cf!}=2. 64-9. 8 + 6. 6 + 7-1
127=r/i^^!^l
\ä,d,d,d,\-\^m]
,.,_|^.^3^.^il|2967|
2515:812=3
= ^5
2436
79>7 + 6 + 9 + 2 + 3;
folglich der
1.
Fall.
791
150={gggjg}
641:812
641
= 3.6 + 2.8 + 9.6 + 6.1+7.8
= 0=^^
> 7 + 6 + 9+2 + 35
I.Fall.
6413
= {^^g^^^}==0.6 + 3.8 + 2.6 + 9-l + 6-8 +
6271:812 = 7=<?7
w.
142
u.
2,
2
.
Beispiel.
8924=1
9862550688:7
1
s.
d^
>1
(Quersumme des Quotient
2§
28:7
4
U
= 4=^2
1);
I.Fall.
7.1.
!
136
2 S
7
:
=4=
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
2S-
§•
^.,
(wiederholt)
2S
< +4
(Quersumme
Das hier in l \
1
des Quotient), folglich der
2. Fall.
Gesetzte und Quot. 4 gelten mithin
nicht.
28625506SS 708 9 24
:
278:70
=3=
=
3 9
1
1
^2
210
68
> +3
1
(s.
Quotient),
1.
Fall.
682
= ^öa^
= r/VJ
= 3.8 + 1.9
\d,d,\
189|
649:70 = 9 =
630
Quotient);
19 > + 3 -H 9
33
^3
1
1.
(s.
Fall.
195
94:70
70
24
> +3+9+
1
1
Quot.)
(s.
;
1.
Fall.
245
«^={^:^:M:h{89^ih^-«+«-^+^-^+'-*
146:70
=2=
^5
|
140
\
6< 1+3 + 9 + 1+2;
1460688 7089
:
ungültig!
2. Fall: j
24=13912
dA^3
(ix(l2^z<l^%
= {l24o}5 ^^^^
1421:708 = 2 =
Beispiel.
5816542998 :l2857143 = 14
39
'^^^
^5
u.
^4
=
die
7.
Stelle des
Divisor
s.
w,
3.
4
1= Quotient
l8"
1
(Quersumme), daher I.Fall!
gegebenen
Vorteile beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
§. 28.
18
(wiederholt)
l''
[
= 4=-^,'
16:4
16
l
}
< +4
1
;
imtrültiffl
folglich 2. Fall
1616542998 42857143
:
= 13572
= {^} = 1.8;
153:42 = 3=^2
8
126
276 (Rest 27
>
1+3!)
= {85}=^-S + l'^'
247 42 = 5
29
:
210
> 1+3 +5!)
375 (Rest 37
62={^^J}
313:42
294
= 5.8 + 3.5 +
l-
=7
> 1+3 + 5 + 7)
194 (19
"3 = {'8^?1}
91:42
= 2?
I
84
\
7<l+3 + 5 + 7 +
912998 42857143
:
=
Daher
1357193
2.
:
ungültig!
I
|7531|
15714/
"
835 428
428
:
=
1
>l+3 + 5 + 7 +
4079 (407
l)
|17531^
____ V 57143/
9
4005:428
=
3852
1539 (153
> + 3 + 5 + 7 + + 9)
1
1
cc_/91753U
^^—1571430/
1451:428
1284
1678 (167
> 1+3 + 5 + 7 + 1+9 + 3)
137
Vorteile beim
§• ^^-
X38
Rechnen mit ganzen Zahlen.
= 135719336
581654299 8oo: 42857143
]
/
+ 3 + 5 + 7 + +9 + 3)
1678(167>l
1
(wiederholt)
J
i99_/3917531v
^^^"~
15714300/
1556:428=3
1284
>l+-3 + 5-|-7 + H-9H-3 + 3)
2720 (272
7A_/33917531x
'"""157143000/
2650 428
:
4.
=6
u.
Beispiel.
1948547632 629738546
:
|^< Quotient^3;
2.
:
61:62
>
w.
=3
^^^^^^"^^
Fall } ""S"^^^-'
1948547632 629738546
186
88 (Rest 8
s.
= 309421
Quersumme
3;
1.
Fall)
=
615 (Rest 61
594:62
> 3 + 0)
=9
558
> 3 +- + 9)
364 (36
90_/903x
__2_1973I
274:62
=4
248
267
(26>3+-0 4-9 + 4)
144:62
=2
124
206 (20
>3
-+-
+ 9 4- 4 + 2)
gj5_/ 24903 X
®°~V 97385/
118:62
1
62
563 (56>3
=
+ + 9 + 4+-2+-l)
Neunerprobe.
§. 29.
5 6 3 (56
>
3
+9
-}-
+ +
2
-j- 1
1
139
(wiederholt)
^^^""1973854/
=
ungültig!
10<3 + 0-|-9 + 4 + 2 + l+7
4442*)
629738546 = 3094216,87
444:62
434
7
|
i
J
:
lQ^r=zf l''4y0o
*^ Diese 2 ist die nun anzuhängende
letzte Stelle des gegebeneu Dividend.
I
1738546/
4334 629
n'--,
3774
'
=6
Behufs der spätem Fortsetzung denkt
man sich nach dieser 2: Nullen.
Ä
5600 (560
>3H-0 + 9 + 4 + 2 + l+6)
ii7_|6124903x
^^^~
l 7385460)
5483:629
8
=
5032
> + +9+4 + 2 + 1+64-8)
4510 (451
3
ifto_/ 86124903 X
^''^-"173854600)
=
7
u. s. w.
4348 629
Die hier gelehrte Division kann
:
erst
durch spätere Sätze be-
wiesen werden.
27.
Probe für
denn
es ist
(s.
Quotient und D
um
§.13, 29)
dem Divisor d,
Quotient
Rest.
der Dividend.
+
so
ein
erhält
29.
q H
ist.
Zugleich
§.
ten
^=
— dq der Rest
mit
X
Das Produkt aus Quotient
den Rest, mufs den Dividend geben,
die Division.
und Divisor, vermehrt
wo
,
^
Multipliciert
man nun q -\
man dq-\-{D
ist
aber auch
q der ganzzahhge
— dq),
dq
d.
i.
Divisor
+ {D — dq) = D^
Neunerprobe»
Von den Zahlen der Aufgabe bildet man zuerst die sogenann„Neunerreste"', indem man die Quersummen der Zahlen um
Vielfaches von 9 so vermindert, dafs der Rest kleiner als 9
wird.
1.
23
um
Der Neunerrest von 2876?
18 vermindert, giebt den Neunerrest 5.
Beispiel.
2. Beispiel.
Neunerrest =7.
3.
rest
Beispiel.
= 27 — 27 =
Von 205
ist
die
Quersumme
5967? Die Quersumme
0.
ist
Die Quersumme
1,
daher auch der
27, daher der Neuner-
140
Neunerprobe.
§• 29.
Mit diesen Resten statt der Zahlen selbst rechnet man die gegebene Aufgabe, wobei man alle auftretenden Zahlen auf Neunerreste zurückführt, indem man beliebige Vielfache von 9 subtrahiert
oder addiert.
Ist der NeuneiTest des erhaltenen Resultates gleich dem Neunerrest des zu prüfenden, so ist die Rechnung richtig
wenn sich
die gemachten Fehler nicht gegenseitig compensierten.
—
Additiou.
Der Neunerrest der Summe mufs mit der Summe
der Neunerreste der
Summanden
5867
396
12202
1548
Beispiel.
20013 Neunerr.
Da
beide Neunerreste
übereinstimmen.
Neunerrest
=8
=0
=7
=0
8
+ 0+7 + 0=15,um
9 vermindert
=
6.
=6.
(=6) überreinstimmen,
so
ist
die Zahl
20013
richtig.
Beweis.
5867
u.
s.
= /;
-f-
26
(s. §.
24, 10,
1.
= F^ + \8 + S = r^ + S
Zus.)
w.
Die
Summe
der gegebenen Zahlen
ist
nun
^ + 8-fr3-|-0 + A;4-7 + ^9-f-0 = A;+15=-/; + 9 + 6
= ^9 +
6-
Dies mufs mithin auch für die zu prüfende
Summe
sich er-
geben.
Sabtraktion.
Verfahren. Unmittelbar durch Subtraktion.
510042 Neunerrest
)o3 n
q-»
/n l 3)
t
k
5.
(9
}
389563
-=5.
120479
Beide Reste (=5) stimmen überein, daher die Zahl 120479
1.
=3
=7
Beispiel.
-7= + -7=
richtig.
2. Verfahren.
Der Neunerrest des Subtrahend um den des
Restes vermehrt mufs den des Minuend geben.
In Bezug auf das letzte Beispiel hat man Neunerrest 7 des
Subtrahend -\- Neunerrest 5 des Restes
12
3.
Da dies auch der Neunerrest des Minuend ist, so ist die Rech-
= =
nung
richtig.
Mnltiplication.
Beispiel.
49183 -9897
Neunerreste
mend mit dem
7
•
6
= 486764151
g
42, um 36 vermindert =6, übereinstimNeunerrest des Produkts, folglich richtig.
q
141
Elferprobe.
§. 30.
Beweis.
(^ + 7)-(/; + 6) = rg./;+7-/; + 6-/; + 42 = r3 4-42
Das Produkt der Neunerreste des Divisor und des
DiTisiou.
um
Quotient
geben.
den
vermehrt mufs
des Restes
= 6392|^,
= 6392, Rest 706.
6-2
+ 4
12
4 = 16, um 9 vermindert =
5619274: 879
Beispiel:
den des Dividend
d.i.
5619274:879
Neunerreste
7
-)-
übereinstimmend mit dem Neunerrest des Dividend, folglich
§.
30.
7,
richtig.
Elferprobe.
Die zunächst zu bildenden Elferreste erhält man, wenn man
Summe
Ordnung (also die
der Einheiten der 1., 3., 5
der Einer, Hunderte u. s. w.) um die Summe der Einheiten der
geradzahligen Ordnungen vermindert. Ist die erstere Summe kleiner als die zweite, so ist jene um ein passendes Vielfache von 11
zu vermehren, so dafs der Elferrest immer kleiner als 11 ist.
die
1.
Beispiel:
— +
+
Der Elferrest von 58379 ist 9
3 -{- 5
8) -= 2.
(7
2. Beispiel.
Der Elferrest von 42548 ist:
(4 4-2)
5 4-4
17
6
8
11, um 11 vermindert
3. Beispiel.
Der Elferrest von 29175 ist
= — =
=0.
+ 1+2 — + = 8 — 16 = 8 + 11 — 16 =
Beispiel. Der
von 9192804
4+8 + 9 + 9 — + 2 + = 30 — = 27 = 27 — 22 =
—
+
5
(7
9)
3.
Elferrest
4.
(0
ist
3
1)
5.
Mit den Elferresten verfährt man der Aufgabe gemäfs ganz
so, wie es im vorhergehenden Paragraphen mit den Keunerresten
geschah.
Addition.
5867
91806
8392
171
106236
Summe,
= 4
=
=10
= 6
Elferrest =
Elferrest
9.
4
+ 0+10 + 6 = 20
= —
20
11=9,
übereinstimmend mit
dem
Elferreste
der
folglich richtig.
Subtraktion.
I.
20160
(Vergl. §.[29).
Elferrest
19238
922
Elferrest
= 8
=10
=
vorhergehenden Resultate, folglich
9,
»
/
ß
e
ia_iq
ia —
— 1^— n>
— iO
übereinstimmend
richtig.
»^;
mit
dem
Gemeine Brüche.
§• 31-
142
II.
510042
389563
Elfen-est
120479
Elferrest
— 11=5;
^g
}Shd.9-}-Re8t7=16,
16
=7,
übereinstimmend mit
dem
Elferrest
des Minuend, folglich richtig.
Multiplication.
3849 -756 -924
Elferreste
10
=0,
Beide Reste
8
•
folglich richtig.
5619274:879
10
l
=
Beide Reste
1
,
2688695856 ;
37—26=11 = 0.
Division.
Elferreste
=
•
= 6392, Rest
+
= 12=1.
706,
2
1
•
"^
folglich richtig.
Beweis.
879 6392 + 706 =
+ + +2
+
= ^ir^u + 10- + 1+10- + + 2
= + io-t-2 = + i2 = + + = +
10) ir\^
if\^
.
^11
r,,
•
Fj,
/;,
f\^
1)
1
^11-
^,^
r,,
r^,
i
i.
(S.§.24,11).
Gemeine Brüche.
§.31.
1.
Bruch
einzige Zahl
5
Bruchstrich geschriebene Quotient. -=- be-
(gebrochene Zahl)
gedachte und mit
dem
deutet also den Wert,
= (5:7),
welchen
man
— Meter
3
siehe §. 12, 3.
ist
der als
eine
aus der Division 5 7 erhält
:
kann zunächst nur
als
der
Teil von 3 Metern, nicht aber als das Dreifache eines Viertelmeters betrachtet werden (s. §. 13, 18, Anmerk.)
4.
Die Sätze in Bezug auf die Bruchrechnung sind im Allgemeinen identisch mit den in §. 13 gelehrten Divisionssätzen und
werden hier nur in einer der Praxis angemesseneren Form und
Ordnung wiederholt, in Bezug auf gewisse Formen (z. B. der gemischten Zahl) aber auch erschöpfender behandelt.
2.
visor).
3.
In
—
ist
5 der Zähler (Dividend), 7 der
Nenner
(Di-
Zähler und Nenner heifsen die Glieder des Bruches.
Ist
der
echter Bruch;
der Nenner.
Wert
eines
z.
B.
—
Bruches kleiner
12
5
,
-^.
Der Zähler
ist
als
1,
so
ist
er ein
alsdann kleiner als
r
,
§.
Der unechte Bruch
Nenner;
—
B.
z.
Der Bruch
ist
,
---.
ist
ein
Gemeine Brüche.
31.
(jröfser als
(Siehe
1
,
2
21
11
4
^,
Ist der
,
uneigentlicher
(s. §.
wenn
der Bruch also einer
.
.
Eigentliche
Brüche sind
9
=
1, so
13, 18),
z.
Starambruch
wird der Bruch zuweilen
1
genannt
(ein Scheinbruch),
ist,
24'
14»
Zähler
der Zähler OTÖfser als der
13, 13.)
§.
der Zähler ein Vielfaches des Nenners
12
5
ganzen Zahl gleich ist; z. B. -r-, —.
daher
143
B. -^;
.
ist
der Zähler nicht
=1: Zweig-
et
bruch
(abgeleiteter Bruch);
Gemischte Zahl
ist
z.
die
5
B. -_
o
Summe
einem echten (einfachen) Bruche.
tionszeichen geschrieben.
Bedeutung 3
+
2
t-> 48
3|, 4841
+ ^«
speziellen Zahlen bestehen.
(8.
.
aus einer ganzen Zahl und
Diese Summe wird ohne Addi^^^^ gemischte Zahlen mit der
.
.
Die gemischte Zahl darf nur aus
Daher bedeutet
2
3—
a
—
2
so viel als 3
'
a
§.10,1).
Sind Zähler und Nenner nicht einfache ganze Zahlen (der
also kein einfacher), sondern selbst -wieder gebrochen, so
die Form ein Doppelbruch (zusammengesetzter, gebrochener,
Bruch
ist
vielfacher, unreiner, gemischter, doppelter Bruch).
2
Beispiel.
*t
Brüche mit gleichen Nennern heifsen gleichnamige,
-rr-,
-rx-,
-r^
;
mit Verschiedenen Nennern:
z.
B.
ungleichnamige.
Generalnenner
oder Hauptnenner (gemeinschaftlicher NenKopfnenner) gegebener Brüche ist das kleinste gemeinsame
Vielfache der Nenner derselben. Der Generalnenner der Brüche
ner,
17
7
5
Tö"»
Tc"»
"OTT' "OTT
1^
lo
20
ou
^^^
^^^ kleinste gemeinsame Vielfache der Zah-
12
2
len 12, 18, 30, 20.
ist
das kleinste gemeinsame Vielfache von 3, 10,
iA
w
I.Anmerkung.
4
Der Generalnenner von-x-, jr-, -y und -r^
7,
13.
11213^, —17
y, ^, -,
--,
,
-^-
,
2^—
4-^.
144
—7-
^T
9
Formänderungen der Brüche.
S- ^2-
ein Halb, ein Drittel, zwei Drittel, ein Viertel, dreiZwei-
lies:
"t
'
hundert- und -eintel, ein Fünfhundert- und -zweitel, sieben Halbe, 4 und 45
(nicht
vier zwei Fünftel)
:
Anmerkung.
2.
,
ein halb Viertel
,
2-^ Neuntel , 6
durch 7—.
Aufser den Brüchen von der Form -r (den gemei-
nen Brüchen) giebt es noch Brüche anderer Form,
B. Decimalbrüche
z.
1
(0,18; 73,4,
38), Kettenbrüche
s. §.
,
s.
§.
91
•'+1
§.
Ganze
1.
Am
Bruchform.
man der ganzen Zahl
in
einfachsten giebt
=—
18
Nenner
man
Formändeningen der Bräche.
32.
1
13, 7),
(s. §.
§. 13,
z.
Um
3 an.
B. 18
24
=
B. Fünftel zu bilden:
z.
24-5
5
= 120
5
Einrichten der Brüche,
2.
Für andere Nenner wendet
j-.
aus 24
Zähler) den
(als
d.
i.
.
Verwandeln der gemischten
Um
den Zähler des unechten
Bruches zu erhalten, multipUciere die ganze Zahl mit dem Nenner
und addiere zu dem Produkte den gegebenen Zähler.
Zahl
in
unechten Bruch.
einen
Beispiele.
^t—
(s. §.
8- 7 -+-4
7
^60
~
7
^~
'
1-14
+ 13 ^
14
27
~ 14
13, 13, 2. Zus.).
Verwandeln eines unechten Bruches
3.
mischte Zahl (Umkehrung
durch den Nenner
(z.
in
Der Zähler
eine ge-
einfach
B. mittelst der Partialdivision) zu dividieren.
des
2. Satzes).
ist
Beispiele.
i-
= 7:3 = 2^;
i||^
= 1357:24 = 56^-
4.
Erweitern. Multipliciere Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
Der erweiterte Bruch ist dem m-sprünglichen gleich.
(§-
13, 15).
T,
.
^9
.
.
Beispiel.
Ist
ein
8
"TT
Bruch
verwandeln, so
ist
.
,
.
mit 5 erweitert
40
= ^98-55 =^-7^45
_
-
in einen andern mit gegebenem Nenner zu
der Quotient aus dem neuen und alten Nenner
:
Formänderungen der Brüche.
§. .S2.
—=
Z.B.
,..,,
man
welcher erweitert werden mufs
mit
die Zahl,
erhalt
ÖJ
Hier
'
- mit 35:7
ist
=5
145
(§.
13, 15, 2. Zus.)
zu erweitern, und
6-5
30
_ ^
7-5 =^,t^35
Enthalten Zähler und Nenner ein gröfseres geso ist der Bruch ein reducibler (reductibler,
1
kürzbarer). Man kürzt denselben durch dieses Mafs, d. h. dividiert
Zähler und Nenner durch dasselbe, um einen Bruch mit kleineren
Zahlen (also bequemern Bruch), jedoch von gleichem Werte zu
erhalten.
(§.13,17.)
Kürzen.
5.
meinsames Mafs
als
,
21
Beispiel.
-77^?
21:7
,.
OD
Das gemeinsame Mafs
beider Zahlen
ist 7,
3
^"^^^=35T7=yBrüche, welche sich nicht kürzen lassen,
15
cible (irreductible), z. B. -^.
Beim Kürzen kann man
nennt
man
irredu-
nachstehenden 4 Fälle unter-
die
scheiden:
Die gemeinsamen Mafse (vorzüglich
I.
2, 4, 8,
5, 25,
,
125,...., 3, 9, 11,....) nach den Regeln der Teilbarkeit (siehe
§. 24) in beiden Zahlen sofort erkennbar.
18744
Beispiel.
^
Die Quersumme beider Zahlen
?
die beiden letzten Stellen durch 4
zunächst durch 12 kürzen:
:12
3,
18744
=
Da
renz
aus
durch
1 1
1
kann man
781
"öÄqT'*
+ — =
8
im Zähler 7
1
und 12 =11 ist, so läfst
ferner
folglich
kürzen
und im Nenner die DiffeBruch auch noch
sich der
11
7^
71
"309 f
281
Da 71 eine Primzahl, die nicht im Nenner enthalten
kann der Bruch nicht weiter gekürzt werden.
II.
Die Mafse nur
in einer
der Arithmetik.
I.Teil.
ist,
so
Zahl nach den Regeln der
Teilbarkeit erkennbar.
Schurig, Lebibucb
durch
1562
6182*
74184
Noch durch 2 gekürzt
teilbar,
ist
10
:
146
Formänderungen der Brüche.
§• '^2.
Zerlege diese Zahl nach §.25, 1 in Faktoren und versuche das
mittelst der nun bekannt werdenden Primfaktoren.
Kürzen
187
1.
Beispiel.
Man
?
I
erkennt im
Zähler sogleich
11,
ÖL
welche Zahl den Bruch jedoch nicht kürzt. Jetzt ergiebt sich aber
11*17
187
Da der Zähler aufser 11 nm* noch die Primzahl
=
—
.
17 enthält, so sind nun nur noch 2 Fälle möglich: entweder der
Bruch ist durch 17 -kürzbar oder er ist irreducibel. Man findet:
:17
11.17
11
731
43
I
1273
2.
Beispiel,
Hier
^v;:,,.-?
der Nenner leicht zer-
läfst sich
1d75
legren
°
und man
1273
—;;^.
erhält
-^rz
25-67
Da
und 25
5
nicht kürzen, so
Man
das Kürzen nur noch mit der Primzahl 67 versucht werden.
findet
.
kann
gy
1273 !^ 19
25 -671" 25*
III.
Die Mafse
Kettendivision (siehe
§.
in keiner Zahl erkennbar.
26,11) anzuwenden.
QQAI 7
I.Beispiel:
Hier
ist
die
53293:33017=1
^Jf^?
53293
33017
20276 (4 ausgeschieden:)
33017:5069
7
35483
2466 (18 ausgeschieden:)
5069:137
37
:
=
:
=
411
959
959
0.
Der gegebene Bruch durch 137 gekürzt
2.
kennt
Beispiel:
^
man im
-^,^^
80181
Zähler
1
1
,
?
=
241
389*
der
Nach den Regeln
^
im Nenner
9.
Daher
Teilbarkeit er-
= 119 -4379
o909
•
hin
ist
nur noch 4379 mit 8909 zu kürzen.
.
Mit-
Formänderungen der Brüche.
§. 32.
]47
8909:4379=1
4379
....:4530 (lü und 3 ausgeschieden:)
4379:151=29
302
1359
1359
0.
Daher noch durch 151 gekürzt =^
y
*
0*7
— oo
.
1
IV. Beim Addieren und Subtrahieren der Brüche kennt man
gewöhnlich sämtliche im Nenner enthaltenen Mafse. Mithin ist
das Kürzen auch nur durch diese Mafse möglich.
4121
3 •3-5. 11 13,'
Weifs man, dafs 6435
Beispiel.
-^-pT^?
^
6435
80 sieht man augenblicklich nach den Regeln der Teilbarkeit, dass
=
•
Folglich
3, 5 und 11 im Zähler nicht enthalten sind.
Kürzen nur noch mit 13 zu versuchen. Man findet:
ist
das
:13
4121
317
495*
6435
1.
Zusatz.
Beim Kürzen wende man
ferner die in
§.
28 ge-
lehrten Vorteile an.
^—
—325
Um
u
Beispiel.
•
•
1
.
.
.
^
mit 4 erweitert
=^^y^ = ^.
1300
13
einen Bruch annähernd in einen andern
2. Zusatz.
mit bestimmtem Nenner, der kein Vielfaches des Nenners jenes
gegebenen Bruches ist, zu verwandeln, erweitere man mit dem
neuen Nenner und kürze alsdann durch den gegebenen Nenner.
Es
sei z.
B. —tt in
13
durch 13 gekürzt
=
18''''
zu verwandeln
13-18
1348'
7
.g-
Dasselbe läfst sich erreichen, Avenn man Zähler
3. Zusatz.
und Nenner um einen bestimmten Teil erhöht oder erniedrigt (siehe
§.28, G,22).
Beispiel.
+ il
^
16 ^ 47 + 3 __50^_^
"~ 61
61"".,
61
+ 4 ~~65 ""13"
^^
47
^
47
+
,
4.
man
§.
Zusatz.
15
Sind Zähler und Nenner Produkte, so vergesse
11, 8 nicht.
(Vergl.
§.
13, 18, 3. Zus.)
10*
'
Formänderungen der Brüche.
§• ^--
J48
'
51 «247
Beispiel.
= 17 und
3-247
gekürzt =
^
65-71
lege
° 51
17
:
5, 13, 71.
Im Nenner
.
kommt
Hier
diese Zahl gekürzt,
°
die 3 in 51
Man
versuche nun 17.
3
„^ „.
Da
.
^^
^
^
,,..
5-71
=
findet
dieMafse
und durch
-
355
Bestimmen des Generalnenners.
6.
sofort
in Betracht
o^r
so zer-
51-247
-^- ,cn^ durch
65-1207
man nun
erkennt
offenbar nur 13
ergiebt
sich
°
nicht kürzt,
Hier
unverändert
ist
27 anzuwenden.
§.
=
40-9
Generalnenner von 18, 24, 30, 40 =8-9 5
16 und 72 =16-9
144;
„
=
68,75,55,39,65,100
„
„
=
•
= 360;
= 4-3-25-11-13
= 100-3-143 = 42900.
7,8,9=7-8-9
504.
„
Gleichnamigmachen der Brüche.
7.
23
17
Um die Brüche ^,
man
suche
Um
zuerst
32
11
-r^,
^,
„o
43
-rr gleichnamig zu machen,
.
,
den Generalnenner (von 42, 48, 28, 33, 44)
16-3-7-11
3696.
=
=
23
-7^ in 3696*®' zu verwandeln, dividiere
man
nicht 3696 42,
:
sondern benutze die schon vorhandenen Faktoren von 3696. Daher
3696
,. 16-3-7-11
oder mit 88 erweitert.
d. 1.
, „
mit
,
Z o 'i
42
Ist der Zähler des gegebenen Bruches um 1 kleiner als der
Neuner, so erhält man den neuen Zähler, wenn man vom Generalnenner die Zahl abzieht, mit welcher zu erweitern ist. Daher:
—
.
—
.
•
16-3-7-11
r—r;
4-11
43
3612
^
denn -rr
3696
44
43
.,
-,
,
-TT erweitert mit
44
3696
— 84
3696
0, und
= 4-3-7^ = 84
= — 44 3696
,
,
^
,
1
1
3696
.,,-
mithin
43
-r^r
44
84
3696
1. Zusatz.
Wird bei unverändertem Nenner der Zähler gröfser,
wird auch der Wert des Bruches gröfser (§. 13, 18, 2. Zus.).
Wird bei unverändertem Zähler der Nenner gröfser, so wird umgekehrt der Wert des Bruches kleiner (§. 13, 23, 1. Zus.).
so
Beispiele.
-^ >
«7
o Zusatz.
.
ri
Um
2.
^g
V
die
;
^^ < ^•
Tt
u
Bruche
^
—,
— —
23
^^
,
,
31
-^— ,
33
-^ vom
J
33.
§.
Addition mit Brüchen.
kleinsten zum grüfsten anzuordnen,
findet für dieselben:
7200
1680Ö
6825
16800'
'
mache
149
gleichnamig.
sie
6930
16800'
6944
16800'
6900
16800'
Man
Folglich nach aufsteigendem AVerte geordnet:
^
23^
J^
32
56
'
'
80
(Ein anderes Verfahren lehrt
'^
3^
•
75
'
§.
47,
'
7
1).
Eine Zahl, die gi-öfser als 670 und kleiner als 670^ ist,
liegt offenbar der Zahl 670 näher als der Zahl 671; dagegen würde
eine Zahl, die gröfser als 670^ und kleiner als 671 ist, der Zahl
671 näher als 670 liegen. Wenn man daher für 670| und 670|
wollte, so hätte man, um einen
2. B. nur ganze Zahlen setzen
möglichst kleinen Fehler zu begehen, in jenem Falle 670, im
letztern Falle 671 zu setzen.
8.
Beim Abwerfen der Brüche, eine Operation, die bei der
Anzahl von Individuen offenbar nötig ist, beobachtet man daher
folgende Regel:
Ist der Bruch kleiner als ^, so läfst man ihn einfach weg,
ist er dagegen
oder gröfser als ^, so vermehrt man
die Anzahl der Ganzen um 1.
=^
Anstatt 92| Personen,
§.
1.
37i
24^ ^, 538^
^, 539 ^ zu
93 Personen, 24
33.
+ 9?
^j
würde man daher
setzen haben.
Addition mit Brüchen.
37|
9
= 46|.
Gleichnamige Brüche,
2.
1,
Beispiel,
1,53
14
(8.
"*"
§.13,
2,
14
"^
14
9
"^
l+5 + 3 + 9 _18_.,
14
14
14
^
g
^
13).
Beispiel
73ji
+ 948||=?
73|i
94811
= 1022|.
Hier
erhielt
war zu addieren:
man
zunächst
73
948
H
—tö— =^~rö'^^^i^''^ H;
daher
:
.
Addition mit Brüchen.
§. 33.
150
Ungleichnamige Brüche
3.
machen und dann
ist
wie im
2.
sind zuvor gleichnamig zu
Satz zu verfahren.
Beispiel.
38H + 169M + -^4-1526ü + 9A=?
Der Generalnenner
16 3 7 13
•
.
Folglich
•
=
4368
ist
(8
•
13)
•
(2
•
3
•
7)
= 104
•
42
= 4368.
= 16-3-7-13
1144, d.i.
38ii
11
1144
42
4368
4256
4368
38
4256,
d.
i.
39
16911
s. §.
32,
7.
1
156
28
4277
1526it
9Ä
975.
Die
Summe
dieser Zähler mit
10808
,^,^
ner 4368 giebt
^
.
10808: 4368
8736
+ 2H
= 1744f|
4.
,
-
= 2|f^| = 2f|
(s. §.
,
dem Nen-
,
daher:
32, 5,
4.
Zus.)
2072.
Vorteile.
Um
Brüche zu addieren, vermehrt man das Produkt
Die
4. Zahl um das Produkt aus der 2. und 3,
erhaltene Summe ist der Zähler, das Produkt der Nenner der
Nenner des gesuchten Resultates.
Beispiele.
5 a.
aus der
1.
2
und
—
§.
Subtraktion mit Brüchen.
34.
151
Beispiele.
-^
-1-
g
=
7 f
.
g-
-h
-Q
)
=7
—
1^
28
^42
24
14
^ 36
72
•
72
("^^^ ^^"* Vorteile a)
—1^7
^3y
V 2 ^
=
12
95
_
= iü;
"~
19
'
V 2
12
3y
84
6
*
6
""72*
(1.
Von vielen Brüchen vereinigt man zunächst nur diejenigen,
deren Nenner hinsichtlich der gemeinsamen Mafse nahe verwandt sind.
Beispiele.
2
7
2
1
"2
"^
7
~
11
14
'
M fü- IIW^
ü + 1 + il 1=.M
12^15^8^20^6
U2 6J^Vl5^20;^8
= | + lTV + |- = 2i + 3 Ol
JL +
.
.
.
7
S.
1.
110|
Subtraktion mit Brüchen.
34.
— 87?
llOi
87
= 23i
2.
Gleichnamige Brüche:
17
5
17—5
12
^-'36=-T6- = W=
3,
1
.^
,
(8.
. .q 1^,
§.13,
13).
Ungleichnamige Brüche sind zuvor gleichnamig zu machen.
30
230100^
91387tV
Beispiel.
= 138713t\
9
30
15
4.
Ist der Minuend eine ganze Zahl, der Subtrahend gebrochen, so hat man vom Minuend 1 Ganzes zu borgen und dasdem Nenner
selbe in einen Bruch zu verwandeln, dessen Nenner
des gegebenen Bruches ist.
=
Beispiel.
5G10
— 4963H?
Man
denke sich 5610
32
= 5609 H- j^.
152
§.
Subtraktion mit Brüchen.
34.
daher:
561.0.f|
-4963-H-
= 64 6i|.
5.
Ist der Bruch des Subtrahend gröfser als der Bruch des
Minuend, so sind beide Brüche gleichnamig zu machen, hierauf
1 Ganzes vom Minuend zu borgen und dasselbe mit dem Bruche
desselben zu vereinigen, indem man den neuen Zähler des Minuend
um den Generalnenner vermehrt.
230400^
Beispiel.
— 48906||
/*
t
»
Den Minuend denke man
o^^ninniA
—2304001t
48906^.
nun
sich
230399
84
+ 84
^ 84
129
230399-1-
84
84
addiert
daher: 2304.0.04|
— 48906f^
= 181493
45
129
subtrahiert
74
84
Oft ist es vorteilhaft, zuerst den Zähler des Subtrahend von
dem Zähler des der geborgten Einheit gleichen Bruches abzuziehen
und dann den Zähler des Minuend zum Rest zu addieren. Im
vorstehenden Beispiele würde man den Zähler 55 des gesuchten
55
Restes -^j- einfacher dadurch erhalten, dafs man den geborgten
Zähler 84 um den Zähler 74 des Subtrahend vermindert
und hierzu den Zähler 45 des Minuend addiert =55.
6.
a.
Vorteile.
Vergl.
33,4,a:
§.
(=10)
—
-^^ ^35
11
77
b.
Vergl.
33, 4,b:
§.
211Vergl. §.33, 4,
14
21|- 13ii = 21|-(14-
+-
7f
^)
+ -j2-=7H.
c.
14
7/7
2\
„..,49
Beispiel. ___ = _^(^___j=_._ =
7
5
35
264
Mültiplication mit Brüchen.
§. 35.
d.
Vergl.
§.
153
33,4,d.
Beispiele.
3^8
6
V3
"*"
e;"^
2
8
^'
8
13UH-15H-7^^-|[ = (1344-7^\)+(15-li-||-)
= 6|+15i = 21|i;
29i| + 83^-7U-16H = 29 + 8-7-16 + ||— II
40^24
Anmerkung.
um
minderung
= l^;
Die Nachsilbe
45/
„
.
.
.
.
\40
24 7
tehalb" bedeutet die Ver-
-X-.
Beispiele.
-l.
^\18
Fünftehalb
=3 — -^ =
drittehalb
§.
=5
1
x-=4^;
anderthalb
=2 —
24-.
Mültiplication mit Brüchen.
35.
1.
Mültiplication eines einfachen Bruches mit einer
ganzen Zahl.
Bevor man nach §. 13, 19 den Zähler mit der ganzen Zahl
multipliciert, kürzt man letztere mit dem Nenner.
Beispiele.
11
_,
^.24
,
,
.
(gedacht
ll-24\
-^g-j = -^.24 = -3-=141;
11
^.
44
.
.„
3
_
31
^-.
31
155
3
jedoch ein Bruch mit seinem Nenner zu multlpllcieren, so
erhält man, ohne irgend eine Mültiplication auszuführen, direkt
Ist
den Zähler
(8.§. 13,10).
Z. B. ||--
19= 13.
Vorteile.
a.
Man
versetze den
Nenner unter
die ganze Zahl.
§
154
Multiplication mit Brüchen.
^^-
Beispiele.
^•69=13-y|-=13-4TV = (13-^ + 13-4=)529;
||.37
= .5.iI = 15.(2-^) = 30-if = 29A.
Ist der
b.
Bruch nur wenig
kleiner als
1
,
so verfahre in fol-
gender Weise:
^Q1 87
= -"
39187~
39187
— 'V
39187(1—-V=
12
11
\
1
12/
= 39187 — 3265^^
Man
c.
den Bruch
denke
sich
^=
125398
als
u.
12
s.w.
Summe
von mehreren
Brüchen.
Beispiel.
125398
.
125398
{-^ + ^)
125394
,
41,99^
3
= 125398 (| + 1)
+ 3,348^
„., ,.
Oder auch
125398.
(^ + ^) = 125398- -1 + 125398
125398
.
/
125398
~
^\
2
daher:
125398
62699 :6
104491
= 73148|.
Anmerkung. §. 48
suche gefunden werden.
lehrt,
wie diese Brüche ohne
alle
Ver-
2. Multiplication eines einfachen Bruches mit einem
einfachen.
Kürze zunächst jeden Zähler mit dem andern Nenner, alsdann
multiphciere nach §. 13,26 Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner.
1.
Beispiel.
5
24
32
25
,
3
,
,
(gedacht
'«
Beispiel,
32-25/
—üyT'
11
2.
5-24 A
-j^
95
g
32
24
2^
4
5
1-3
4-5
3
20'
^^ ^^^ ^^^ kann nicht durch 5
gekürzt werden, wohl aber läfst 95:5 den andern Faktor 19 in 95
erkennen, mit dem das Kürzen zu versuchen ist.
I
—
§.
Muldplication mit Brüchen.
35.
155
5
Daher:
11
05
55
43?
101
2323'
23
S.Beispiel,
^
".>- ?
-pr-x
1d37
8u3
In 803
ist
11 erkennbar, welche
Zahl jedoch in 1241 nicht enthalten ist 803 11 =^73 ist nun die
In der That ist
Zahl, mit welcher das Kürzen zu versuchen ist.
1241:73=17. Nach den Regeln der Teilbarkeit findet man kein
gemeinsames Mafs von 551 und 1537; daher (s. §. 26):
:
1537:551=3
1653
erhält
3.
Multiplication
einer gemischten Zahl mit einer
ganzen Zahl.
Multipliciere die ganze Zahl zuerst mit dem Bruche, dann mit
der ganzen Zahl der gemischten Zahl, um beide Produkte zu addieren.
Enthält jenes erste Produkt Ganze, so sind diese zum
2.
Produkt zu addieren.
156
Multiplication mit Brüchen.
§• 35-
Vorteile.
9^^-56?
a.
Multipliciere
(93\-14)-4=131.4.
Die gebrochene Zahl nur wenig kleiner
höhere ganze Zahl. (Vergl. 1. Satz,b).
Beispiel.
58676- 19|? Man denke sich
als
b.
— -~] = (58676
58676 (20
Der Zähler
c.
76543
7- 1-tV
Die
d.
um
•
20)
— (58676
:
8).
der zugehörigen ganzen Zahl gleich.
76543
Beispiel.
•
die nächst-
= 535801
Summe
Man
•7yIj^?
•
denke sich
+ -^] = 535801 + (535801
(1
des Zählers
:
12).
und der zugehörigen ganzen Zahl
kleiner als der zugehörige Nenner.
1
Beispiel.
Da
lj\''dldA?
man
so denke
hier 7
+5
um
kleiner als 13,
1
sich:
= 73072 — (73072:13).
man von
der gemischten Zahl nur die Einer und
den Bruch, die eingerichtet einen Zähler geben, der dem vorher
weggelassenen Teile der ganzen Zahl gleich ist, so kann man wie
Behält
e.
im
3.
Vorteil verfahren.
Beispiel.
59183. 1183^
= 59183 -(110 +
= 59183.(110+-^)
= 59183-110-(l(i+ii)
+ -4-^ S.Vorteile
8y*V)
f.
Die Differenz aus der gemischten Zahl und dem nächsthöhern Zehner sei eine gemischte Zahl, die eingerichtet einen
Zähler gebe, der jenem nächsthöhem Zehner gleich sei.
Beispiel.
.
65987. 122^^
wie im
g.
Bruch,
4.
= 65987- (130 — 7j|) = 65987(130 — -^)
Vorteil.
Statt der gemischten Zahl
wenn dessen Zähler
solche durch
Erweitem
TM.
Daher:
Ol
3^
=—
10
nimmt man den eingerichteten
bequeme runde Zahl ist, oder
wird.
__^
;
eine
33|
100
= ^-;
ißi_50_100 ^i_5_10
101
_
100
100
^
100
.
.„
14^
100
= -^;
.,_10
.,_10.
100
100
,
^
fi'2i
—
158
§• ^^-
Mnltiplication mit Brüchen.
denke man sich zunächst 89375
89375^-—=
j~
46
,
die
•-j^=
^-
Rechnung daher
,
folgHch ist auch
folgende:
Multiplication mit Brüchen.
§. 3.S.
I.
Bei kleineren gemischten Zahlen richtet
5
Beispiel.
3,V.8|
159
man
ein.
11
= ^.-^ = -f =
27i-.
2
II.
Bei gröfseren gemischten Zahlen richtet
nere ein und verfährt nach dem 4. Satze.
Beispiel.
8670425^|.2^
man nur
die klei-
= 8670425i|-^|-.
Do
Hier ist nun 8670425^-143 wie im 2. Beispiele des S.Satzes
zu multipUcieren und das Produkt (ohne es einzurichten) durch 68
zu di^^dieren.
11
9*^
Mithin:
86
2 6
3 4 6 8
7
42 5^1 -143; -J^
Ao
112
17
86 70425
42i
7 5
•
a:43
op;^
= -^
= 42f
6
IßO
§.
Maltiplication mit Brüchen.
35.
204H(=819|4==8m:4)
addiert!
5737|
[
= 5942tV
b.
Die gemischte Zahl
(= 819|.7)
sei
nur wenig kleiner
als eine
ganze
Zahl.
Beispiel.
= 351676.(20 — |-W 351676. 20 — 351676.^.
351676.191
351676-2
7033520
Daher:
43959^=351676:8
c.
39f
.
= 6989560^
40| = (40 — |-) (40 + 1-)
subtr.
(siehe
§.
28, F, 29)
= 40.40 — ^.|-= 1600 — ^ = 1599^.
6.
Bei mehr als 2 Faktoren verwandle man die gemischten Zahlen in unechte Brüche und dividiere alsdann das Produkt
aller
(nach
Zähler und ganzen Zahlen durch
dem Kürzen dieser Zahlen).
das Produkt der Nenner
Beispiel.
il
_i
9
*
16
U —
OA^
^ 4.15.24.16.
"
9.16
96
3-60.96
1
^
^^^* 60
'
1
_
— 4.m.24.k&.
g^^g
gg ^^
1
.
gekürzt
.
•
-
1
^
^
4
(nämlich 4-24 mit 96, 16 mit 16, 15 mit 60)
= —1- =J—
~~ 9.3.4""
108
7.
I.
Besondere Ausdrücke.
„Von" und „davon'' bedeutet
in
*
Verbindung mit einem
einfachen Bruche so viel als „mal".
Beispiele.
A
3
hinterläfst
3
-^. 1 2000
N
12000
Jl.
Verhält -^ davon.
Folglich erhält ß:
= 4500 J^
bekommt
—4
1
von 150
J^.
Folglich
^
bekommt
—4 .150 = 374-^
1
er
'
i
§. 3fi.
II.
Welche Zahl
ist
Division mit Brüchen.
^mal so grofs
161
28?
als
Antwort:
y. 28 = 2-4 = 8.
Welche Zahl
ist
noch ^nial so grofs
als
30?
U + 1).30 = 30 + 5 = 35(M.
§.
1.
30.
Antwort:
1-2,7,.
Division mit Brüchen.
Eine Gröfse durch sich selbst dividiert giebt
1
(8.§. 13,8).
937^:937^
Beispiele.
2.
= 1;-^:^=!.
Der Divisor eine ganze
Der Dividend ganze
1.
a.
Der Dividend
51:119
Beispiel.
b.
Der Dividend
I.Beispiel.
kleiner als der Divisor.
3
= vt^j
51
Zahl.
Zahl.
noch gekürzt
=—
(s. §.
31,1).
grölser als der Divisor.
8192S 79
79
:
— 1037y^
292
237
558
553
= ^.
5:79
2.
Beispiel.
4
7
11
ist
19
2 8
(:
9 4
(:
9
Der Dividend
§.
28,
§.
13, 29.)
G, 9 anzuwenden:
11 4
6359
7 6 3
IL
Hier
7631928:84.
(Vergl.
8 5
12
7
6f
ein einfacher Bruch.
Stelle den Divisor als Faktor in den Nenner und kürze vor
(Vergl. §. 13, 24, Anni.)
der Bereclmnng des neuen Nenners.
Beispiele.
Division mit Brüchen.
§• ^^-
\Q2
Der Dividend gemischte
111.
Zahl.
Der Dividend kleiner als der Divisor.
Richte den Dividend ein und verfahre wie unter 11.
a.
Beispiel.
10
^^•^
21-
l'&
3
Haben
sames Mafs
ganzen Zahlen und der Zähler ein gemeinzuvor mit demselben zu kürzen.
23
23
-^.
9f:15 durch 3 gekürzt Z^:b=
die beiden
(>
so
1),
Beispiel.
ist
=
9
Denn
+f
(9
+ |-):3
-^^ = --^^^^
(s. §.
13. 12).
Der Dividend gröfser als der Divisor.
b.
Dividiere unmittelbar ohne einzurichten.
2949389|:46
I.Beispiel.
für das Verf ahi'en
!
(siehe
2.
Beispiel.
1239870817^:68
3.
Beispiel.
9483tV:185? Da
nebst
35, 4, II
(siehe
§.
Beweis
35, 5,11).
1-1-9=
9483-17-1-9=
so
§.
).
0,
zuerst durch 5, dann durch 37 zu dividieren.
Bei kleineren Divisoren setze den Quotient unmittelbar unter
ist
den Dividend.
^^^^P^^^-
17 63 8'0f :ll
1
6
3 4 f.
Hier blieb nach Bestimmung der 4 Einer 6f als Rest, daher:
6|:ll=5^ = |-(s.
Man
beachte ferner die Vorteile in
Beispiele.
3149|:100
= 31
§.
28,
vermehrt
-Si_L_ 445
§35,4,11).
G, 4u. 5.
49|:100
um
-^^+9^100""'^^+
639 1824|: 42000
= 6391
= 3l3^.
i
89
9-20
824^:42000=152
42
219
210
91
84
.
7824^:42000
daher das gesuchte Resultat
=
5477
54770
= ^^^
= ^-^-
1527^''5yj5-.
Division mit Brüchen.
§. r;6.
3.
mischte
Der Divisor gebrochen
163
Bruch oder ge-
(einfacher
Ziihl).
Hier ist die Division (mit Ausnahme eines besondern ira Zugegebenen Falles) stets in eine Multiplication mit reciprokem
Die hierher geDivisor zu verwandeln (§. 13, 28, III, 1. Zus.).
hörenden Beispiele erfordern also nur §. 3.'), 1, 2 und 4.
sätze
Beispiele.
2
J7_
9
5^_J_
~
6
6
14
_
~ 15'
e
*
5
3
^
3
4
2
2
_,
9
3
8&
ib
27
4
~
^*'81
14
27693^:
'
-23"
9
*
46
i4
33
2
11
'
22
= 276934—
(s. §.
56013H:2f^=56013H:||=56013H—
ist
2.
^•^'
35, 4, II),
(s. §.
35, 4, 11).
Die Division einer gebrochenen Zahl durch eine ganze Zahl
nach dieser Regel auszuführen, sondern stets nach dem
Satze II und III unmittelbar.
Also nicht
nie
7.7371
8-^=8T=8'-3'=24'^""^'^""8-^=8T"-''^'7
,
7
.,
7
Zusatz.
Ist der Zähler des Dividend durch den Zähler des
der Nenner des Dividend durch den Nenner des Divisor
teilbar, so führt man die Division nach dem Satze
Divisor,
a
c
a.c
b
d
b:d
Beweis.
^
Quot.
.,T-.
X
Dsr.
a:c
= a.C'C
= yö,r...
=^.
*r/.7
c
_^
<'• 5-
'•'•
11*
.^»^
'»•^'-
§•
]^g4
„
.
.
Division mit Brüchen.
^^-
2
12:6
12 6
_:= ^^
= -.
,
Beispiel.
Vorteil.
Zuweilen können bei der Division zweier gebrocheneu Zahlen die ganzen Zahlen und Zähler durch dieselbe
Zahl gekürzt werden.
Beispiele.
12: 18-^, gekürzt durch 6
4.
= 2 :3|
u.
s.
w.
14|:35^, gekürzt durch 7=2^:5^^ u. s. w.
Bei mehr als 2 Brüchen sind die ganzzahligen
soren gleichfalls in den Nenner zu
nach dem 3. Satze zu behandeln.
und
setzen
Divi-
gebrochenen
die
Beispiel.
^^•^^•32
9
9-14. 8 •16-25'
3
ig. ? .32
B
0-i4- 8 ke'2d
3
2
1
1
3-8
24'
.
gekürzt:
5.
Besondere Ausdrücke.
Welche Zahl
S^^mal so klein als 100?
ist
100 3i
:
0K
= i00-^=--^ = 31^.
r.
Antwort:
1
4
Welche Zahl
Antwort:
Wie
^mal so klein
ist
oft ist
ist
•
6
2
1
.
3
2
6
y
:
:
—=y ^=—=
13
39
.
^.
,
S^mal.
der 6^'^ Teil von 80?
Antwort
Welches
~;r
6
-r^- in -^ enthalten?
Antwort
Welches
1^?
—
1=
1. —
1 = 9.
~~ —
l^:
2
als
ist
:
= 80
80 6^
:
—= ^=
12,^.
der 4"'" Teil von 12?
5
Antwort:
Welche Zahl
12: -^
5
ist
=
60.
noch 7mal so klein
als
lOf ?
32
Antwort:
10^:(1
-f-
7)
= -^: 8= H
(s- §•
t2,
7).
j
Vereinfachen der Doppelbrüchc.
§. 37.
Welche Zahl
ist
mal so
30:(1+M
Antwort:
§.
noch
klein als
30:44
=
165
30?
24.
Vereinfachen der Doppelbrüche.
37.
Unterscheide zunächst den Hauptzähler (die zu dividierende
Zahl) und den Hauptnenner (die dividierende Zahl).
5
Beispiel.
--
5
;
Hauptzähler -^, Hauptnenner
7
^.
Specialnenner: 6 und 8,
Specialzähler: 5 und 7.
Die gemischten Zahlen richte ein und setze die Specialaus dem Hauptzähler in den Hauptnenner (aus dem obern
Teil in den untern) und aus dem Hauptnenner in den HauptGanze Zahlen und Specialzähler
zähler (von unten nach oben).
nenner
behalten ihre Stellung.
^cx.px^x.
i
j
_ 5-8 _ 20
^^
2^.
noch mit 8
Deciraalbrüche.
§. 38.
Jgg
Summen und
Enthält der Doppelbruch
P+^
z.B.
91
^
V-, so rechne entweder —'.^
^TT
^
lO-Öl
= UH»
6
dem Generalnenner
oder erweitere mit
(l|4-yj-120
192
der reciproke
ist
1
Entweder
+ 80
272
HU'
155
6 /
**
Welches
der Specialnenner, daher:
255-100
2i_AVi90
'
If
=
Differenzen,
„
,
,
+ If =3 f^ = -rw
.
erweitert
H + lf
^
Wert von If-f-lf?
.
-
und hiervon
mit
ist
12=
12
,.
20
12
,
der reciproke
,
oder
='-rri
.,
+ 21
41
Wert
-rj-,
wie
vorher.
§.
1.
Nach
§.
1
9,
1
38.
gilt
Decimalbrüche.
jede Einheit irgend einer
Ordnung
einer
Decimalzahl 10 Einheiten der nächstniedern Ordnung. Man erhält
daher umgekehrt den Wert einer Einheit, wenn man die Einheit
der nächsthöheren Ordnung durch 10 dividiert. Auf die 1000 geltende Einheit mufs daher nach rechts hin
die Einheit mit
dem Werte
1000:10
100:10
auf diese
alsdann
= 100,
=
10,
10:10^1,
^•10 = -'100'
10
'
10
•
1000
100
u.
s.
w. folgen.
Befänden sich demnach
die 8 Einheiten der nachstehenden
dekadischen Zahl in der Ordnung der Einer (Einheit =1):
Einheiten der betreffenden Ordnungen
Zahl hätte nach
§.
24683579,
so
o o 2
S ^
gelten
19 den
Wert:
'"'
-'"^
'ß
fe
^
'"^
^E
^1?
würden
die
und
die
2- 1000
167
Deciinalbrüche.
§. 3S.
+ 4. 100 + 6- 10 + 8-1 + 3-^4-5 --^J^
+
^ 9.-110000
+^'W
^
^
+ -^+
+ 400 + 60 + 8 + ^
10000
1000
100
10
= 2468 + 3 Zehntel + 5 Hundertel + 7 Tausendtel + 9
2000
'
'
'
'
Zehn-
tausendtel.
Bei jeder Decimalzahl würden also auf die Einer nach rechts
hin die
Zehntel, Hundertel, Tausendtel, Zehntausendtel, Hunderttausendtel, Milliontel, ZehnmiUiontel, Hundertmilhontel, Tausendmilliontel Zehntausendmilliontel, Hundertausendmilliontel,
,
Billiontel, Zehnbilliontel
u.
s.
w. folgen.
Trennt man die Einer von den Zehnteln durch irgend ein
„Decimalzeichen", z. B. ein Komma, so würde die vorstehende Zahl
2468,3579
zu schreiben
sein.
In gleicher Weise bedeutet 65,73
2,00047
=2 +
1
+
.
•-;--
10
'
..
1
100
= 65 + — + -rx^
.
.
1
.
1
,
1000
'
,•
10000
+7
= 2 + + + 0+-^^^^
.
^^^^^^
^2+ keine Zehntel + keine Hundertel + keine Tausendtel + 4 Zehntausendtel +7 Hunderttausendtel.
(Einer) +5-777 oder keine Ganzen + 5 Zehntel.
0,5 =
Anmerkung. Da für jede Ordnung der Zahl 1883 oder
68,7319 oder 0,5 dieser Entwickelung zufolge der im Eingange
des §. 19 ausgesprochene Satz gilt, so sind alle diese Zahlen Decimalzahlen.
2.
Vorstehende Entwickelung führt zu der Definition:
(dekadischer Systembruch) ist der Inbegriff derjenigen Stellen einer Decimalzahl, deren Ein-
Decimalbruch
heiten kleiner als die Einheit sind.
eine Potenz von
In den vorstehenden Beispielen
Komma
befindlichen
[Falsch:
Der Nenner
10.]
Stellen
bilden
also
den Decimalbruch.
die
6,73
rechts
hat
vom
einen
•
§. 38,
168
2stelligen,
Decimalbrüchc.
13,00719 einen 5stelligen Decimalbruch, dessen „Deci-
malstellen" (oder „Decimalen")
schreiben
Statt 65,71
oder
65.71
3.
2.
i0'^
0, 0, 7, 1, 9 sind.
Manche auch
65.71 oder 65"71 oder 66,71
oder 657i.
Die dekadische Zahl 2468,3579 hatte
also
den Wert
+ 4. 10^ + 6. 10 + S + 3.-^+5-^,- + 7. -1^ + 9.-^,.
Die dodekadische Zahl 483,7 e65 (s. §.21)
tend mit der nachstehenden Decimalzahl:
4.12'
ist
daher gleichbedeu-
+5-^
+ 8.l2-h3-l+7--VH-ll-^4-6---„
12*
12'
12 ^
12^
'
= 4-144 + 96 + 3H-7--^+ll.-47- + 6--T^ +
1728
12
144
6
5
= r75_L
"^
"^
"^
12
144 ^ 1728
20736
'
'
5'
^
20736
'
^^
"^
I
I
7e65
4.
!.
ist
Da
hier der (4stellige) dodekadische Systembruch.
10 Einheiten
der
4.
Decimalstelle
=
1
Einheit
sind, so ist
1
Einheit
der
4.
Decimalstelle
=
1
Einheit der
3.,
der
^S.
§.
Den
Deciinalbruch
3 Zehntel, 5 Hundertel
Decimalbriichc.
2468,3579
ii.
s,
w.
(s.
1.
169
liest man daher nicht 2468,
Satz), sondern einfacher:
2468 Ganze 3579 Zehntausendtel,
Komma 3579 Zehntausendtel.
oder 2468
Allgemeine Regel:
Um einen Decimalbruch zu lesen, betrachtet man die
Stellen des Decimalbruchs als ganzzahligen Zähler eines
gemeinen Bruchs, dem man als Nenner eine Potenz von 10
mit so viel Nullen giebt, als der Decimalbruch Stellen hat.
Daher
orelesen: 7
7,62
0.000197
„
0,9
„
Ganze
-r-^zTr-
100
oder 7
Komma
100
'
3^i^;
„
Komma
9 Zehntel.
Um
Nenner eines Decimalbruches
bestimmen und aussprechen zu müssen, liest man z. B.:
3,14159265: 3 Komma, 1, 4, 1, 5,9, 2, 6, 5;
oder 0,0041393
0,0,4,1,3,9,3.
nicht erst den zu lesenden
.,
:
Schreiben der Decimalbrüche.
Kehrt man die vorstehenden Sätze um, so ergiebt
man
für 1^^\
den Decimalbruch 7,62,
6.
sich, dafs
197
^' Tooöow)
"
»
"•"ö*"«'
schreiben kann. Im letztern Falle mufs selbstverständhch „0 Ganze"
hinzugefügt werden, um hierdurch den Rang der nachfolgenden
Stellen zu bestimmen.
Allgemein: Ist der Nenner des gemeinen Bruches eine Potenz von 10, so kann man statt dessen einen Decimalbruch
schreiben, indem man im Zähler so viel (von rechts nach
links abzuzählende) Stellen für den Decimalbruch benutzt,
als der Nenner Nullen hat.
Sollte der Zähler nicht so viel
Stellen haben, so sind sie durch Nullen zu ergänzen.
Daher
?
Da
der Nenner 2 Nullen hat,
so
sind
die
2 letzten Stellen des Zählers als Decimalbruch zu betrachten
= 135,67.
89
TnönfifwüT^
^^^ Nenner
hat
7
Nullen,
folghch
mufs der
Decimalbruch 78telhg werden und vor 89 sind mithin noch 5 Nullen
zu ergänzen =0,0000089.
37
29-T---r-?
1000
Der Decimalbruch
37 eine Null zu setzen
=29,037.
erhält 3 Stellen,
mithin
ist
vor
170
§• '^9-
Addition mit Decimalbr.
Folglich
§.40. Abbrechen der Decimalbr.
auch umgekehrt:
ist
,____
^^^'^^
84
^.
^'^=10--
13567
= -100-'
Der Wert eines Decimalbruchs wird nicht geändert, wenn
7.
mau am Ende desselben die Nullen wegläfst oder beliebig viele
=
Nullen hinzufügt; denn 17,500
17,5, weil der gegebene Decimalbr uch keine Hundertel, keine Tausendtel enthält.
Bei Resultaten wird man diese ungültigen Nullen in der Regel
weglassen und z. B. statt 19,75000 Jl. nur 19,75 Ji schreiben.
Ist umgekehrt 4,5 in einen Decimalbruch von mehr Stellen zu
verwandeln, so könnte man demnach
4,50 oder 4,500 oder 4,5000000 u.
s.
w.
schreiben.
Die ganze Zahl 17 kann mithin auch 17,0 oder 17,00 u. s. w.
geschrieben werden.
Dennoch läfst man in gewissen Fällen (s. §. 40 , 3) die zuletztstehenden Nullen des Decimalbruches nicht weg.
§.
39.
Addition mit Decimalbrüchen.
Da
nur gleichartige Gröfsen addiert werden können (§. 7, 8),
nur Einer zu Einern, Zehntel zu Zehnteln u. s.w., so sind die
Kommata aller Summanden unter einander zu setzen.
also
Beispiel.
5,628
+ 197,94564 + 0,8877 + 85 4- 9,29 =?
5,628
197,94564
0,8877
85
9,29
= 298,75134.
den Zehnteln 27 Einheiten.
Die Addition ergab
nun
Einer,
10 Zehntel =
=2
20
Zehntel.
Folglich sind
so sind 27 Zehntel = 2 Einer +
hier
in
Da
1
„
„
in
7
aber mit den 26
§.
t
§.
die
Summe
7 Einheiten zu setzen, die 2 Einer
Einern der folgenden Stelle zu vereinigen.
Stelle der Zehntel der
40.
Abbrechen der Decimalbrüche.
32, 8 zufolge
ist
für 670^3^, d.
i.
für 670,3, die Zahl 670,
und für 670^, d.
für 670,8, die Zahl 671 zu setzen, wenn die
Brüche abgeworfen werden sollen und der entstehende Fehler mögi.
Hieraus folgt nun, dafs man auch für 0,6703
nur 0,670 und für 0,6708: 0,671 setzen mufs, wenn der Decimal-
lichst klein sein soll.
i
Abbrechen der Decimalbrücbe.
§.40.
171
bruch nur 3 Decimalstellen erhalten soll. Ist daher ein Decimalbruch auf eine beschränktere Anzahl von Stellen zu benutzen, so
hat mau nach folgender Kegel zu verfahren:
Ist
die erste der Aveggelassenen Stellen kleiner als 5,
so sind
unverändert zu lassen. Ist dagegen die
erste der weggelassenen Stellen 5 oder gröfser als 5, so ist die
letzte der beibehaltenen Stellen um eine Einheit zu vermehren.
die beibehaltenen Stellen
Es sei z. B. 0,71468 auf 2 Stellen zu benutzen. Da 4, die
Einheiten der ersten weggelassenen Stelle, kleiner als 5, so sind
die beizubehaltenden Stellen unverändert zu lassen, also 0,71 zu
schreiben.
(71,468 liegt der Zahl 71 näher als der Zahl 72.)
Ist für 0,01436029 ein 48telliger Decimalbruch zu setzen, so
0,0143 in der letzten Stelle um 1 Einheit zu erhöhen, weil 6,
die Einheiten der ersten weggelassenen Stelle, gröfser als 5, und
folglich ist 0,0144 zu setzen.
(143,6029 liegt der Zahl 144 näher,
als der Zahl 143).
ist
=
0,239175 auf 5 Stellen
0,23918;
3
=16,520; denn
„
16,51958
„
16,519
0,0 ol
addiert:
16,520.
399,99996197 auf 4 Stellen abgebrochen =400,0000.
Denn
399,9999)8i07
coool addiert:
400,0000.
Sind für 18,5 und 236,4913 nur ganze Zahlen zu schreiben,
man 19 und 236 zu setzen.
so hat
Sollen in der ganzen Zahl 835829 nur die Tausende beibehalten werden, so ist 836000 zu setzen, denn 836000 liegt der
gegebenen Zahl näher, als 835000.
2.
Der abgebrochene Decimalbruch 4,8197 kann eben
aus 4,819650027
nun 4,8197
.
.
.,
1
fast -_
als
.
aus 4,819749996
.
.
.
entstanden
so
wohl
sein.
Da
.
Einheit der letzten Decimalstelle gröfser als der
erste dieser beiden 9stelligen
1
.
Decimalbrücbe
(§.
38, 4)
und
fast
genau
.
-y Einheit der letzten
Stelle
kleiner als
der zweite der 9stelHgen
Decimalbrücbe, so ergiebt sich hieraus, dafs die
letzte Stelle eines
1
jeden abgebrochenen Decimalbruches nahezu -^ Einheit derselben
zu grofs oder zu klein sein kann.
3
3.
Es
ist
y930
6 Decimalstellen
zu
= 9,761000076
berechnen,
so
3
Wäre nun y930 auf
würde man mithin 9,761000
172
Subtraktion mit Decimalbrüchen.
§• '^l-
In diesem Falle
gefunden haben.
*
läfst
man
die Nullen
3
am Ende
=
des Decimalbruches nicht weg, sondern schreibt y930
9,761000,
um damit anzudeuten, dafs das Resultat auf 6 Stellen richtig berechnet worden ist.
l/93Ö= 9,761 würde
bedeuten, dafs das Resultat nur auf 3
berechnet und abgebrochen worden ist und es würde unDecimalstelle lauten.
bestimmt bleiben, \ne die (3.) 4, 5,,
Stellen
Hat man also einen Decimalbruch auf eine gewisse Anzahl
von Decimalstellen berechnet, die richtig abgebrochen sich auf
Nullen endigen oder sogar nur aus Nullen bestehen, so läfst man
die Nullen nicht weg, wenn der Decimalbruch bei Berechnung
einer gröfsern Anzahl von Decimalstellen einen andern Wert erhalten würde.
Subtraktion mit Decimalbrächen.
§.41.
die
Hier gelten dieselben Regeln wie in der Addition
untereinander zu setzen u. s. w.
;
daher sind
Kommata
1.
15,60012
Beispiel.
— 9,785 =?
15,60012
Gedachtueaaent.
_^^'^^^^^
9^78500.
Gedacht»jeaacnt.
^^^'^^^^
~A^1^_
5,81512
2.
365
Beispiel.
— 0,7654?
^^^
0,7654
o,7654.
364,2346.
3.
Beispiel.
217,03
— 9,182736?
Gedacht:
^^9'l82736
217,030000.
207,847264.
Bei der Addition und Subtraktion von vielen Zahlen ist auch
dekadische Ergänzung (s. §. 28, E,5) von Vorteil. Man
unmittelbar vor die erste Einheiten
setzt alsdann das Zeichen
hier die
A
enthaltende Stelle.
Beispiel.
3,76158—0,087254?
3,
7 6
+ 0,A1
3,
1 5 8
2 7 46
6 7 4 3 2
6.
1
Multiplication mit Decimalbrüchen.
§. 42.
173
Beweis.
— 0,087254 = 3,76158 0,\— 0,08725 4 —
= 3,76158
0,012746—0,1
= 3,76158 -f
+ 0,012746 vermindert um
Zehntel
= 3,76158 + 0,A127 46.
Beispiel.
143,792 — 97,285 — 0,99736 + 4,8732 ~ 0,0084126 — 0,752369 =?
3,76158
-\-
0,1
1
2.
1
4 3, 7 9 2
2, 7 1 5
A,0 2
4,8 7 3
0, OAl
A, 2 4 7
AG
6 4
2
5 8 7 4
6 3 1
= 49,622058
§.
1.
Der Multiplicator
u.
s.
eine Potenz von 10
10 oder
(also
w.).
rückt das Komma im Multiplicand so viel Stellen nach
der Multiplicator Nullen hat.
Man
rechts,
Multiplication mit Decimalbrüchen.
42.
100 oder 1000
4.
als
Beispiele.
45,13046-100=?
Das
Komma
ist
2 Stelleu nach rechts zu
= 4513,046.
= 0098,7 =
300 -10000 = 01300, = 1300.
-10000 =
10-1
Einern
Zehner,
Da
10-5 Einer = 5 Zehner,
Einer
10
Zehntel =
rücken, weil 100 zwei Nullen
Daher
hat.
0,0987- 1000
0,1 3
Beweis.
0,1
1
-
werden
98,7.
1
1
u.s. w.,
der Multiplication mit 10 die Einer zu Zehnern,
die Zehntel zu Einern u. s. w.
so
Da
bei
ferner 100-1 Einer
100-
l
= Hunderter,
= 10 -(10-1 Zehntel) = 10= Zehner
1
Zehntel
u. s.
1
1
Einer
w.,
so werden bei der Multiplication mit 100 die Einer zu Hunderten
u. s. w.
Soll 7,34
mittelbar nach
7 34
'
mit 100
1
Eben
Hundertel verwandelt werden, so kann dies un§.38, 6 oder auch durch Erweitern des Bruches
in
und
ireschehen
- o
18,5
185
man
734
erhält
7
lOQ
7-100
136,14
13614
so
13
10-i:i'
?
1^74
§•
2.
:
Multiplication mit Decimalbrüchcn.
^^-
Multiplication mit Decimalbrüchen.
multipliciert ohne Rücksicht auf das Komma und giebt
erhaltenen Produkt so viel von rechts nach links abzuzählende
Decimalstellen, als die Faktoren zusammengenommen haben.
Man
dem
I.Beispiel.
0,173-0,08?
=
173-8
1 384.
Da die gegebenen Faktoren 3 2 5 Decimalstellen haben,
so müssen die Stellen 1384 die letzten Stellen eines östelligen
Decimalbruchs werden. Folglich
Multipliciere
+ =
= 0,01384.
Beweis,
^^^
008on'i
0,173-0,08—^^^(s. §.
8
^^^
173-8 __
-^^M.
1384 _..,,..
-^'^^^^^
100000
38,6).
2.
Beispiel.
2316-0,000748?
2316-74 8
16212
9264
18528
1732368.
Die gegebenen Faktoren haben zusammen
-f-
6
= 6 Decimal-
stellen, folglich sind die 6 letzten Stellen des erhaltenen
Produkts
zum Decimalbruch zu machen:
= 1,732368.
Beispiel. 0,5619-0,041-0,05?
= 5619 205 = 1151895.
Multipliciere = 5619 41
Die Faktoren hatten 4 + 3+2 = 9 Decimalstellen.
= 0,001151895.
3.
-
3.
•
5
-
Daher
Multiplication mit einer runden Zahl.
Man
multipliciere zuerst mit der in der runden Zahl enthaltenen Potenz von 10, alsdann mit dem andern Faktor.
Beispiel.
= 0,01629
= 1,629-4 3 + =
0,01629 4300
-
(3
-
100 43
-
3 Decimalstellen)
4 887
65 16
= 70,047
(3 Decimalstellen).
Abgekürzte Multiplication.
Oft will man nur die einflufsreichsten,
4.
des Produkts kennen lernen,
aber unberücksichtigt lassen.
die
Um
letzten
also höchsten Stellen
unsichern) Stellen
(oft
nun jene durch eine abgekürzte
zu erhalten, multipliciert man zuerst den MulAnstatt aber
tiplicand mit der höchsten Stelle des Multiplicator.
Rechnung
allein
§. 42.
Maltiplication mit Decimalbrüchen.
175
später die aus dem Multiplicand und den einzelnen Stellen des
Multiplicator erhaltenen Partialprodukte nach rechts auszurücken,
kann man stets das Produkt aus dem um die letzten Stellen verkürzten Multiplicand und der betreffenden Stelle des Multiplicator
80 unter das vorhergehende Partialprodukt setzen, dafs die letzten
Stellen beider untereinander zu stehen kommen.
Beispiel.
1.
die
Wäre 5,832768-4,63
Rechnung vollständig
zu multiplicieren, so würde
lauten:
5,832768-4 ,63
23 331072
3
Multipliciert
sondern
beim
3.
4996608
17498304
man nun beim
2.
Partialprodukt nicht 5832768
= 34996608 = 3499661
Partialprodukt nicht 5832768-3, sondern
58327ß8 3 = 17498304= 174983,
5832768-6
(s.
•
6,
§.40),
-
so hätte
man
offenbar auch die Partialprodukte in folgender
untereinander zu stellen:
23331072
3499661
174983
= 27005716.
Weise
= 5832768-4
= 5832768-6
= 5832768 3
•
Zugleich folgt hieraus, dafs man immer zu untersuchen hat,
wie viel Einheiten aus der Multiplication der gestrichenen Stellen
herüber zu nehmen sind. Es genügt hierbei, von den gestrichenen
Stellen immer nur die höchsten (links) zu beachten. Beim 2. Partialprodukt waren hier z. B. 8-6
5 Einheiten (s. §. 40)
48
4,8
herüber zu nehmen, und das Partialprodukt mufste daher
= = =
583276-6 + 5 = 3499661
gesetzt werden.
Die Stellung des Komma im Produkt ergiebt sich aus den
noch vollständig multiplicierten Stellen. Hier wurden die Stellen
5,832768-4 vollständig multipliciert, dann aber abgebrochen, folglich mufs das Produkt 6
Es ist
6 Decimalstellen erhalten.
daher =27,005716.
+ =
Noch ist zu berücksichtigen, dafs die letzte Stelle des erhaltenen Produkts nicht ganz richtig sein kann. Denn jede letzte
Stelle der durch Abbrechen entstandenen Partialprodukte kann
einen Fehler von nahezu einer halben Einheit enthalten (s. §.40,2).
Da vorstehendes Beispiel zwei abgebrochene Partialprodukte ent-
—=
1
hält,
so kann der Fehler 2-
betragen.
1
Einheit
in
der
letzten
Stelle
:
176
2.
Division mit Decimalbrüchen.
^^-
§•
0,6580947-0 ,03782548
Beispiel.
19742841=6580947-3
= 6580947-7
= 6580947-8
= 658004-2
= 65800-5
= 65800-4
53 =
4606663
526476
13162
3290
263
1
24892748.
Vollständig wurde 0,6580947 0,03 multipliciert, dann aber abgebrochen, folglich erhält das Produkt 7
2
9 Decimalstellen
0,024892748.
-
+ =
=
Anmerkung. Das
tiplicand
Streichen der Stellen nimmt man im MulDie hier neben den Partialprodukten stehendienten nur zur Erklärung, fallen also in der
selbst vor.
den Produkte
Praxis weg.
Division mit Decimalbrüchen.
§.43.
Durch
Man rückt
1.
eine Potenz von
das
Komma
so
(Vergl.
10.
viel Stellen
42,
§.
1),
nach links
als
die
Potenz von 10 Nullen hat.
Beispiele. 69157,8:1000
69,1578.
0,093:100? Man denke sich: 000,093:100
0,00093.
43,15: 100000 (=000043,15: 100000)
0,0004315.
=
=
=
Beweis.
Da
1
1
1
1
= Zehntel
= Hundertel,
100=1
Einer
Zehntel: 100 =
Tausendtel
Einer
:
Zehntel:
10
10
„
s.
„
(s. §.
19 u. §.38),
:
u.
1
so werden bei der Division durch
u.
1
1
„
„
s.
w.,
10 die Einer zu Zehnteln,
100
,,
„
„
Himderteln
w.
Division eines Decimalbruches durch eine ganze
2.
Zahl.
I.
Hier ist die Hauptregel der Division zu beachten
Jede einzelne Stelle des Dividend ist zu dividieren
§. 20, 4, Hl).
Beispiel.
rechnen.
Zuerst
5
58,1691195:7093
Zehner
58 Einer
581 Zehntel
5816 Hundertel
58169 Tausendtel
U.
8.
W.
:
:
:
:
:
7093
7093
7093
7093
7093
auf
9
Decimalstellen
(siehe
zu
= Zehner;
= Einer, daher
00, oder
= Zehntel, daher
= Hundertel,
0,00;
= 8 Tausendtel,
0,008
bis jetzt
0,0:
,.
„
be-
0,;
:
;
§.
Kürzer
:
Division mit Decimalbrüchen.
43.
7U93
58 Einer
581 Zehntel: 7093
:
=
=
Einer
Zehntel
Die vollständige Rechnung ist
58,1691 195 7093
56 744
177
s.w.
u.
daher:
= 0,000820092
:
14251
14186
651
in der Praxis wegzulassen!
6519
65195
63837
13580.
Hier ist dem Reste die Stelle
sich den Dividend 58,16911950000
Wäre
hier
rechnet worden,
Weise
man
hinzugelugt worden, da
denken kann.
das Resultat über die 9. Decimalstelle hinaus beso würde die vorstehende Division in folgender
fortgesetzt
worden
sein:
= 0,0008200919
.
.
.
13580
7093
6487 0.
Da
nun jedes Resultat
richtig
abzubrechen
Ist
und
hier
9 Decimalstellen verlangt war, so mufste für vorstehenden
tienten nach §. 40: 0,000820092 gesetzt werden.
auf
Quo-
Gewöhnlich giebt man für das Abbrechen des Quotient die
Regel
Die letzte zu berechnende (hier 9.) Stelle ist um 1 zu
erhöhen, wenn der folgende Rest gröfser als die Hälfte
des Divisor (hier 6487 gröfser als die Hälfte des Divisor
7093) ist, weil dann die folgende Stelle mehr als 5 Einheiten (hier 9 in der 10. Decimalstelle) erhält.
Man
müfste hierbei jedoch noch ein Partialprodukt berechnen
Einfacher ist es, nachzusehen, welcher
Quotient aus dem zuletzt zu dividierenden Reste (hier 13580) näher
liegt, ob der nächstkleinern oder der nächsthöhern ganzen Zahl.
Hier liegt 13580:7093 der 2 näher als der 1, folglich mufs bei
fortgesetzter Rechnung auf den Quotient 1 offenbar eine Ziffer
folgen, die gröfser als 5 ist.
und
subtrahieren.
\
Wollte man das vorstehende Resultat nicht nach §. 40 abalso einen sogenannten unbrechen, sondern 0,000820091 ...
schreiben, um durch die Punkte
voll endeten Decimalbruch
anzudeuten, dafs man die folgenden Stellen ohne Rücksicht auf
—
.Sc
hnr ig, Lehrbuch
der Arithmetik.
I.Teil.
—
12
;
§• ^^-
178
; ;
Division mit Decimalbrüchen.
ihre Grofse einfach weggelassen habe, so könnte
man
nicht wissen,
ob diese Zahl vollständiger berechnet nicht vielleicht
0,000820091999..
999
(nahe
1) Einheit der 9. Decimalstelle mehr als
^^„^
1000
0,000820091. Der Fehler kann also bei dem unvollendeten (nicht
abgebrochenen) Decimalbruche nahezu bis zu einer Einheit der
letzten Decimalstelle ansteigen, während er (nach §. 40, 2) beim
.
lautet, also
1
.
.
abgebrochenen
Decimalbruche noch nicht -^ Einheit beträgt. Hierö
2
aus folgt, dafs kein Resultat durch einen unvollendeten Decimalbruch ausgedrückt werden darf, sondern stets richtig abzubrechen
ist.
Die Punkte am Ende des Decimalbruches können mithin nur
in der Theorie (s. §. 44), nicht aber in der Praxis vorkommen. Aus
demselben Grunde darf auch keine gegebene Zahl durch einen
unvollendeten Decimalbruch ausgedrückt sein.
Die Aufgabe: „Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist
Mtr.
w^ie grofs ist der Inhalt?" ist daher unmathe17,32
matisch.
Hier müfste entweder 17,32 oder 1733 Meter gegeben
;
sein.
2.
0,05825:493 auf 6 Decimalstellen zu berechnen.
493
Ganze;
daher 0,
Zehntel
493
Zehntel
5 Hundertel
493
Hundertel
:493
58 Tausendtel
Tausendtel;
582 Zehntausendtel 493
1 Zehntaus.
Beispiel.
Zuerst:
alsdann:
Ganze
=
=
=
=
=
w.
0,05825:493 = 0,000118.
:
:
:
:
u.
Oder:
493
895
493
8.
§.
Division mit Decimalbrüchen.
43.
179
39 5 340 (wiederholt)
377037
~r83030~
167572
154580
125679
289010.
Anmerkung
Komma,
das
l'olglicli
Komma
5.
Auf diese 6 folgt im Dividend das
zu A.
ist auch nach der hier im Quotient erhaltenen 4
zu setzen.
Beispiel.
8,94761:72?
Rechne:
8,94761
:
8
1,11845125:9
0,12427236.
II.
Auf wie viel Decimalstellen das Resultat zu berechnen
hängt von der Natur der Aufgabe ab. Die in Metern auszudrückende Höhe eines Berges würde man nicht auf mehr als 2
Decimalstellen angeben, wenn das Messen von Tausendtelmetern
nur mit grofser Unsicherheit ausgeführt werden könnte.
ist,
man 7 Ganze durch 10 oder 2 oder 5, so
Zehntel, aber keine Hundertel, weil die Division von
(d. i. 7- 10 Zehnteln)
durch jene Divisoren aufgehen mufs.
so geht die Division von 7 Ganzen, d. i. von 7-100 Hunder-
III.
erhält
7-10
Eben
tel
der
Dividiert
man
durch 100 (=10'^) oder 4 (=2^) oder 25 (=5^) spätestens in
2. Decimalstelle auf, weil 7-100 durch 100, 4 oder 25 teilbar
Ist allgemein der Divisor die ganze Zahl 10" oder 2" oder
5", so mufs die Division stets aufgehen und es können nicht mehr
ist
als
n neue Stellen hinzukommen.
Beispiel. 0,13:16? Da der Divisor 2 ist, so können zu
den 2 Decimalstellen des Dividend durch die Division nicht mehr
als 4 neue Stellen hinzukommen, weil 13 Ganze
16,
d. i. 13-10000 Zehntausendtel
16
:
:
aufgehen mufs, folglich nur Zehntausendtel,
d.
i.
4 neue Stellen
entstehen können.
Die Division durch eine ganze Zahl, welche die Faktoren
5 zugleich, sonst aber keine anderen Faktoren enthält, mufs
IV.
2
und
gleichfalls
Form
aufgehen; denn
10"- 2'
oder 10"-
5'
stellt
dar,
man
so
einen solchen Divisor in der
die Division durch 10"
giebt
noch durch 1^ oder
dividiert, so kommen noch r neue Stellen hinzu.
Mithin können bei der Division durch 10"- 2' oderlO"-5'^ nicht mehr als
n-\-r neue Stellen hinzukonunen.
zunächst n neue Stellen,
und werden
diese
5*^
12*
18Q
§.
Division mit Decimalbrüchen.
43.
Beispiel. 6,7219:800, d.i. 6,7219: (10^- 2^).
Quotient kommen zu den schon vorhandenen 4 Stellen
höchstens noch 2 -f- 3 == 5 hinzu. Man findet
6,7219 800 == 0,008402375,
Im
:
also 9 Decimalstellen.
V.
1
Ganzes
=
10 Zehntel
durch die Divisoren 3, 6,
gemein:
nie
=100
7, 9,
Hundertel u. s. w. kann
aufgehen; all-
11, 12,
Enthält der Divisor aufser 1 , 2 und 5 ein Mafs, welches
nicht zugleich ein Mafs des Dividend ist, so kann die
Division nicht aufgehen.
7,3 12 geht nicht auf, weil der Divisor das Mafs 3 enthält,
welches kein Mafs des Dividend (73) ist. Man findet
7,3:12
0,6083333
:
=
Der Quotient aus einer beliebigen Zahl und einem Divisor, der nur wenig kleiner als eine Potenz von 10 ist, kann in
folgender Weise sehr einfach berechnet werden:
a. Dividiere den gegebenen Dividend durch diese Potenz von 10.
b. Multipliciere den im Satze a erhaltenen Quotient mit der
Differenz aus der Potenz von 10 und dem gegebenen Divisor, und rücke das erhaltene Produkt so viel Stellen nach
rechts aus, als diese Potenz von 10 Nullen hat.
VI.
c.
Den jedesmal
erhaltenen Quotient multipliciere stets mit
der in b angegebenen Differenz und rücke das erhaltene
Produkt auch immer so viele Stellen nach rechts aus, als
die Potenz von 10 Nullen hat.
Die Summe der in
gesuchten Quotient.
I.Beispiel.
11
997
2.
Beispiel.
erhaltenen Zahlen giebt den
a, b, c,
_
11
_
11
,
11
—
§.
,
Division mit Decimalbrüchen.
43.
181
Hier sind die letzten Stellen 256 -weggelassen, weil dieselben
noch durch die hinzukommenden Zahlen verändert werden.
Beweis.
a
a
lö"-'«
a
i
io"i_a:
lo'^d-.-^)
10"
i'--^)
Durch
Partialdivision wird dies:
10" L
a
lo"
I
.
10"
lo"
io2»
a
V lo"
^ \
if
V
10
^
^ \
'^
^_i_
10"/' 10"
V 10"
3.
Division durch eine runde Zahl.
Rücke in beiden Zahlen das Komma gleichviel Stellen nach
links und zwar um so viel, dafs die Nullen des Di\'isors wegfallen.
1. Beispiel.
7,3:1300? Das Komma in beiden Zahlen 2
Stellen nach links gerückt
(Kürzen durch 100,
= 0,073: 13 = 0,005615
2.
s.
(s. 2.
§.
13,17):
Satz).
3:410000?
Beispiel.
= 3,00
410000; das Komma
= 0,0003oo 41 = 0,0000073.
:
4 Stellen links
:
3.
Beispiel.
—^i~~?
Das
/90
Komma
1
oder: 1658,31:79
Stelle links
=
/9
= 20,991.
—
^^
Division durch einen Decimalbruch.
bilde aus dem Divisor (ohne Rücksicht auf den Dividend) eine ganze Zahl, indem man das Komma nach rechts hinter
die letzte Stelle rückt. Hierauf ist auch im Dividend das Komma
4.
Man
gleichviel Stellen nach rechts zu rücken.
I.Beispiel.
13,4619:0,37=?
um
Das Komma in beiden Zahlen 2 Stellen nach rechts gerückt,
den einfachen Divisor 37 zu bilden:
1346,19:37
= 36,384
(nach
dem
2.
Satze
auszuführen).
Beweis.
13,4619
0,37
2.
_
~"
Beispiel.
Man
13,4619-100
0,37-100
(s. ^.
_
3-,4)—
Anmerkung.
.
239:7,0613=?
denke sich 239,00000:7,0613. Das
nach rechts:
2390000,0:70613
33,8465.
cation
1346,19
^^
=
Komma
4 Stellen
Hier mufs noch einer Probe für die Multi[)liund Division gedacht werden, die oft allen andern vorzu-
—
:
§• ^^-
182
Division mit Decimalbrüchen.
ziehen ist. Man berechne die Aufgabe mit sehr einfachen Zahlen,
die aber nur wenig von den gegebenen abweichen, weil sich alsdann auch das Resultat nur sehr wenig von dem beabsichtigten
entfernen kann.
Im vorstehenden Beispiele kann das Resultat nur
wenig kleiner als 239:7 =344^, weil der Divisor wenig gröfser
als 7 ist.
Hätte daher Jemand 338,465 oder 3,38
oder eine
von 34 sehr abweichende Zahl als Quotient erhalten, so müfste
das Resultat offenbar falsch sein. Im 1. Beisp. mufs das Resultat
= 26
13:1- = 39
o
ofFenbar etwas gröfser als 13:-x-
und etwas
sein.
In dem folgenden (3.) Beispiele
gröfser als 0,00070 13
0,000053
ist 5,832
-4,63 offenbar nahe
es dort 27,005716.
:
S.Beispiel.
4.
Beispiel.
mufs das Resultat wenig
sein. In §. 42, 4, 1. Beisp.
=6-4^ 27. In der That ist
=
=
Komma
Das
0,0007:12,7?
= 0,007:127 = 0,0000551
16,9-0,289
0034
17, ferner 16,9
kleiner als
,
3Q
und 0,39 durch
13.
1
Stelle
(s. 2.
_.
.__„
i
u
0,0034 durch
^^^26 0,289 undinnnQ,
Daher:
1,3-0,017
0,0221
0,0002 0,03
0,000006
(das
-
len nach rechts)
5,
Um
=
-
—
nach rechts
Satz).
Komma 6 Stel-
=3683,333.
Abgekürzte Division.
die
einflufsreichsten,
also
höchsten Stellen des Quotient
zu erhalten, kann man die Rechnung in folgender Weise
abkürzen
Man verwandelt zunächst den Divisor nach dem 3. und
4. Satze in eine einfache ganze Zahl und dividiert alsdann
ganz wie im 2. Satze. Anstatt aber später an den Rest
jedesmal die folgende Stelle des Dividend anzuhängen,
streicht man dafür stets die letzte Stelle des zuvor be-
allein
nutzten Divisors.
I.Beispiel.
5,387617:0,69173=?
69173=7,78861
484211
5 38761,7:
545507
484211
61296 69173
55338
b
:
5958:69i:?8
a
(s.
unten die Anmerk.)
§.
43.
Divitiion
mit Dcciiiuvllnüchcn.
5958:69173
^534
183
(wicdcrhult)
c
424:69i73
415
9 6?ii?3
:
Anmerkung
zu
Für 612960 69173; denn der Quotient bleibt
wenn Dividend und Di^^sor durch 10 dividiert
a.
derselbe,
:
werden.
Zu
Hier sind, wie bei der abgekürzten Multiplication,
aus den gestrichenen Stellen herüber zu nehmenden
Einheiten zu berücksichtigen; denn
h.
die
69173-8
Zu
c.
Denn 69173-8
= 553384.
= 553384.
Die letzte Stelle des Quotient 7,78861 ist unsicher, da die
senkrecht unter den 7 Zehnteln des gegebenen Dividend stehenden
Einheiten der verschiedenen Reste und Partialproduktc durch das
Abbrechen immer unrichtiger werden mufsten. Man schreibt daher
auch 7,7886,.
2.
Beispiel.
45,9267:130,619.
= 45926,7
:
130619
= 0,351608.
3 91857
67410:13061^
65310 (für 6:.309d)
2100:1306i«(
1306
794:1300
784
10:1300
"10:1300
10 (für 13- 8
Das
sichern
3.
Resultat
auch
0,35160g
=104)
geschrieben,
8.
Beispiel.
27,93
:
821,34; dafür:
2793,0:82134
246402
= 0,0340054.
328980
328536
444:82134
wegen
der
un-
:
184
§•
^^-
.
Verwandeln der gemeinen Brüche
444:8213;! (wiederholt)
Decimalbrüche.
in
1
444:82134
Diese Divisoren mit durchstrichenen
444 82i3
:
man
411
sondern
33 S2i
links
in
eine
Stellen
streicht
Stelle
in
vom
Gleichheitszeichen stehenden Divisor 82134.
44.
Verwandeln der gemeinen Brüche
§.
^*
^^ =^-S
I.Beispiel.
2.
(s- §•
1)
nicht,
jedesmal
dem oben
in Decimalbrüche.
= 5,000:8
= 0,625
(s. §.
(s. §.
38,7)
43,
2).
^= 3,000:11
Beispiel.
0,2
Da
31,
schreibt
der Praxis
derselbe Rest
Quotient wieder erscheinen
7.
wiederkehrt,
hier
und
so
mufs auch derselbe
es ist
-^ = 0,27272727
11
Die
stets
nach gleichviel Stellen in derselben Ordnung wieder3
man Periode.
kehrenden Stellen nennt
In
-r-r
ist
die Periode
11
27, sie
ist
also 2stellig.
Anmerkung.
Selbstverständlich
kommt man dem Werte des
je mehr man Decimal-
gegebenen gemeinen Bruches desto näher,
—
3
stellen berechnet.
So
ist z.
B. 0,27 von
3
dagegen 0,2727 von
-pr-
O
3.
Beispiel.
2
^ = 2,0
0,
Die Periode
4.
Beispiel.
ist
um
nur
2
2
um
0,002727
0,00002727 verschieden.
2
2
0:3
6 6 6 6
...
hier 6, also Isteilig.
~=
^^
1,00000000 73
73
:
270
219
510
438
720
= 0,01369863
,
§. 44.
Verwandeln der gemeinen Brüche
7
in Decimalbrüche.
185
20 (wiederholt)
657
630
584
460
438
220
219
1
Da
hier derselbe Rest 1 wie bei 1, :73 erscheint, so mufs nun
die Periode, die hier 01369863 ist, \
neuem beginnen. Es ist
m
also
^=
Anmerkung.
0,0136986301369863013
Da
1
-^
y
man
=
0,11 111
.
,
.
11
=
und-^7oi
-^ :9, so hat
9
vorstehenden Decimalbruch nur durch 9 zu dividieren,
um
-^ = 0,0123456790123
zu erhalten,
Küeraus folgt aber, dafs
12345679-9
12345679-9 -7
12345679-63
Multipliciert man
einer Istelligen Zahl, so mufs
als
Produkt
mithin
z.
B.
d.i.
daher 12345679 mit
sein mufs.
bestehende Zahl
= U1111111 und
= 777777777,
= 777777777
dem 9fachen
man
eine aus lauter gleichen Ziffern
erhalten, diese Ziffer aber gleich jener
Istelligen Zahl.
Enthält ein Decimalbruch von irgend einer Stelle an in
keine Einheiten, so nennt man denselben
einen endlichen (vollständigen, vollendeten).
So ist 0,625 (s. ob.
das 1. Beisp.) ein endhcher Decimalbruch. Geht also die Division
zweier ganzen Zahlen auf, so ist der entstandene Decimalbruch ein
2.
allen folgenden Stellen
endlicher.
Tritt jedoch, so viel Stellen man auch vom Decimalbruch berechnet, der Fall nie ein, dafs von einer gCAvissen Stelle an die
folgenden Stellen keine Einheiten enthalten, so nennt man den
Decimalbruch einen unendlichen. Die Decimalbrüche des vorstehenden 2., 3. und 4. Beispiels sind daher unendliche.
Werden von einem Decimalbrüche von einer gewissen Stelle
an die folgenden Stellen einfach weggelassen, ohne die Regeln des
Abbrechens anzuwenden, so setzt man einige Punkte hinzu. Einen
solchen Decimalbruch,
2
z.
B.
-^== 0,6666
unvollendeten oder unvollständigen.
,
nennt
(Vergl.
§.
man
einen
43, 2, I!)
186
Verwandeln der geraeinen Brüche
§• ^'^-
in
Decimalbrüche.
Die unendlichen periodischen Decimalbrüche 0,272727
0,297297297
kürzen Manche durch
0,6666
;
;
0,[27];
oder auch durch
2
nur
Man
47-j^?
3.
.
0,[297];
0,[6]
ab.
0,27; 0,297; 0,6
2
denke sich 47
+ ^p^ und verwandle zunächst
.
"TTT in
einen Decimalbruch.
13
2
=
Da
hier
nach der
6.
so beginnt die Periode
2
2,000000:13
0,153846
Decimalstelle derselbe Rest 2 wiederkehrt,
von neuem und
es ist
= 0,153846153846
oder
= 53846].
gegebene Zahl =47 + 0,1538
= 47,1538
§.43,3)
-y|^ = ll,00: 1300 = 0,110: 13
= 0,0084615384615 [=0,00846153].
-|-
0,[1
Nun
ist
4.
die
(s.
Die Periode 846153 beginnt hier nicht mit dem Komma, sondern erst mit der 3. Decimalstelle. Ein solcher Decimalbruch wird
ein
unreinperiodischer (unterbrochenperiodischer, gemischtperio-
genannt. Die ersten Stellen des Decimalbruchs, welche
zur Periode gehören und derselben vorausgehen (hier 00)
nennt man Vorziffern oder vorperiodische Stellen.
discher)
nicht
Die Decimalbrüche, bei welchen
beginnt
2.
(s.
Beispiel.
Hier
3.
die Beisp.
ist
die Periode mit
I.Satze), nennt
^=
dem Komma
man rein periodische.
0,679054054
die Periode 054, die Vorziffern sind 679.
Beispiel.
Um
im
^Ü" = 0,496951219512195
einem unvollendeten Decimalbrüche, wie dem vorzu bestimmen, gehe man von der zuletzt
angegebenen Stelle rückwärts. Die Stelle, welche zuerst von den
regelmäfsig wiederkehrenden abweicht, ist die letzte der Vorziffern
und die Periode beginnt rechts von derselben.
Im vorstehenden Decimalbrüche sind die Ziffern von rechts
her:
5,9.
5,9,1,2,1—5,9,1,2,1
bei
stehenden,
die Periode
—
Verwandeln der gemeinen Brüche
§. 44.
Es
Decimalbrüche.
in
nun die abweichende Stelle 6,
und die auf dieselben folgenden
folglich sind
folgt
Vorziffern
187
406 die
95121
Stellen
bilden
die Periode (nicht die zuletzt stehenden Stellen 12195).
5.
Ist im Nenner des gegebenen gemeinen Bruches eine Potenz von 5 enthalten, so erleichtert man sich das Verwandeln in
einen Decimalbruch durch Erweitern jenes Bruches.
14
-^
I.Beispiel.
2.
56
mit 4 erweitert ^=
=
0,56.
Beispiel.
1343
„
.^
.,
10744
,
10,744
_
.
Anmerkung. Man merke sich behufs kürzerer Division von
den am häufigsten auftretenden gemeinen Brüchen den gleichbedeutenden Decimalbruch.
Beispiele.
Ist
^ = 0,25; A = o,75;
A = 0,375; -| =0,625;
nun 0,717:8 zu
= 0,125;
-^ =
-|-
0,875.
man
dividieren, so findet
zunächst:
0,717 :8
0,089
Da nun
noch 5:8 zu dividieren
ist,
so
mufs wegen
5
-^^0,625
der vollständige Quotient
o
0,089625 lauten.
Um
Reihe von gemeinen Brüchen zu berechnen,
deren Nenner fortlaufende Potenzen einer bestimmten Zahl zeigen,
berechne man zunächst die aus diesen Potenzen allein gebildeten
Quotienten und zwar jeden derselben unmittelbar aus dem vorhergehenden.
6.
1.
eine
11111
Beispiel.
1
1111
— — —
Man
berechne zunächst -^,
5
1=
-^ =
5
'
5-,
5^
r-,
=-,
5"
.... und zwar
5^
0,2;
=4
—^
5*5
^
:
5^
= 0,2 25 =
= 0,008. A.
:
0,2
•
4
:
100
=
0,8
:
1
00
§• ^^'
188
Verwandeln der gemeinen Brüche
= \-^^= 0,008
-K^
= 0,008
25
:
^
in
•
4
Decimalbrüche.
:
100
=0,00032.
-L= 0,00032 -4: 100 = 0,0000128.
= 0,032
B.
C.
5
= 0,0000128
-1-
.
4
:
100
= 0,000000512.
D.
5
^ 0,000000512
-L.
.
= 0,00000002048.
4 100
:
5
Nun
A
1
ist:
"5
durch 3
B
= 0,0026666667
^-^
3-5^
div.
5
„
""^'^
-^ =
„
0,000064
5 «5
C
„
7
D
„
9
„
^-^ = 0,0000018286
„
—^ =
7.57
0,0000000569
9 5^
•
E
11
„
—^j- =
„
0,00000000 19 addiert:
11-5
=0,2027325541.
X
2.
Beispiel.
1
X-
72
Zuerst
1.1
2-72^
1.1
3-72^
^?
1,000
4-72*
(:
0,125
^=
Nun
ist
8
(:9
0,013888888889.
— = -;r^:72;
-5-
5-72
daher:
72
72^
1
0,013888888889
(
0,001736111111
(
:
8
:9
= 0,000192901235
72^^
(:8
0,000024112654
__ = 0,000002679184
1
72'
(=»
E.
:
100
§.
Verwandeln der gemeinen Brüche
44.
in
-V = 0,000000037211
J_ = 0,0000000005 17.
Eben so
72'
Hieraus
'
folgt;
-^ = 0,013888888889
:
3
= 0,000000893061
:
5
= 0,000000000103
0,013889782053.
:
,
4-72*
2
= 0,000096450618
= -V
4 = 0,000000009303
72*
:
Decimalbrüche.
139
J
§• ^^-
190
Verwandeln der gemeinen Brüche
in Decimalbrüche.
Die Periode kann
Quotienten dieselben Ziffern wiederholen.
Stellen haben.
mehr als 7
— 1=6
nicht
ß
6
-^=
~6,0
17
=
also
5
9
:17
3 5
0,
Da kein Reßt gröfser als
Die Reste sind hier 6, 9, 5
16 sein kann, so sind im ungünstigsten Falle die ersten 16 Reste
nur die 16 in (scheinbar) beliebiger Ordnung auftretenden Zahlen
Weil nun der 17. Rest gleichfalls eine der Zahlen
1, 2, 3 bis 16.
1 bis 16, also einer der früheren Reste und dann auch der Quotient derselbe sein mufs, so folgt daraus, dafs die Periode spätestens mit der 17. Decimalstelle von neuem beginnen mufs und aus
nicht mehr als 17
1
16 Stellen bestehen kann.
— =
Aus
diesen Beispielen ergiebt sich der Satz:
Die Periode eines Decimalbruches kann nicht mehr Stellen
haben, als der Nenner des gleichbedeutenden gemeinen
Bruches Einheiten hat, weniger eine.
1
1
.
r.TT kann also eine höchstens 148stellige,
°
.
höch-
eine
^t^tt
269
149
stens 268stellige Periode geben.
Erhält
9.
man
bei
der Verwandlung von
°
einen Decimalbruch nach n Stellen wieder
also
l(f:p den Rest
nun 10^
10"
—
— 1=9,
1, d.
1
1
(z.
— l):p
10^—1=99, 10^—1=999
B. tt^
\
.
in
öl J
p
den Rest
die Division (10"
i.
—
1
,
so giebt
Da
geht auf.
u.
s.
w.,
so
ist
eine aus n Neunen bestehende Zahl.
Geht daher die Division einer aus n Neunen bestehenden Zahl durch p auf, so mufs
auch der Quotient nach je n Neunen immer Avieder derselbe sein,
d. h.
1
die Periode beginnt
Beispiel.
mit
999:37=27,
~=
i^i
aufgehen,
d. h.
folglich:
000 :37
J^OO
=
Geht aber 9 9 9
dem Komma.
0,
027 027
t
9 f
w auf,> so mufs auch
99
9
:
die Periode aus
malbruches mufs gleichfalls mit
m
-
\^\
(z.
B.
-Tr;^^)
p
61
dem Komma
m
p
entstehenden Deci-
beginnen.
Da 99
9 nicht durch 2 und 5 teilbar ist, so gilt
Satz nur dann, wenn 2 und 5 nicht Faktoren des Nenners
sind.
Enthält daher der Nenner des gemeinen Bruches aufser
andern Zahlen entweder die «*^ Potenz von 2 oder die w*^ Potenz
10.
der
9.
I
»
—
,
§. 44.
von 5, nicht
Verwandeln der gemeinen Brüche
iiber
Periode mit der w
Potenzen von 2 und 5
^^^^^'
-vF-
^^^
oh
3.
Deciraalbrücbe.
so
zugleieli,
191
mufs die
V^^ Decinialstelle beginnen.
-|-
13
Beispiel.
1.
in
88=2
3
-11.
Da
der Nenner die
Potenz von 2 enthält, so beginnt die Periode mit der 3
oder
4.
Decimalstelle.
13
4118
/
die 2.
oder
Potenz von
ist
75
o
=5
5, folglich beginnt die
Decimalstelle.
3.
Hier
-;rp--
P^"
= 0,1477272
"7
Beispiel.
2.
-j-
-3.
Der Nenner
enthält
+
1*^"
43, 2,
lU
Periode mit der 2
—=
^ = Jf:8 = —m ^.
7
0,093333
s
1
Es
Beweis.
ist
giebt 13:8 ^inen
alsdann
Bruch
~~r
—
-;
11
1
=147t\
^^
'
Nach
§.
ist
der in einen Decimalbruch verwandelte
nach dem
9.
Satze eine mit
beginnende Periode giebt: 147,7272
bruch für —'-7
8
Decimalbruch und jener Quotient
3stelligen
Da nun
•
^
— ^= ~~n—
*
^
so mufs der Decimal-
,
^^^ nach
§.
dem Komma
43,
1
aus jenem 147,72
dadurch entstehen, dafs das Komma 3 Stellen nach links getückt
wird, wobei die Periode in die 4. Decimalstelle einrückt.
1. Zusatz.
Enthält der Nenner des gemeinen Bruches die
Potenz von 10, endigt sich derselbe also auf r Nullen, nach
deren Beseitigung weiter keine Potenz von 2 oder 5 vorhanden
sein soll, so beginnt die Periode gleichfalls in der (?'+l)*®" Decimalr^*'
stelle.
Der Beweis
folgt In
gleicherweise aus
37
Beispiel,
die
Der Nenner
^^tttjtttt-
+
Periode mit der 4
P*^"
oder
5.
§.
43, 2, IIl
enthält 10
,
und
§.
43,
1.
folglich beginnt
Decimalstelle.
37
30000
0,00123333
2. Zusatz.
Enthält der Nenner des gemeinen Bruches die
Potenz von 10, endigt sich derselbe also auf A Nullen, nach
deren Beseitigung aber noch die 71^^ Potenz von 2 oder 5 vorhanden
ist, so beginnt die Periode mit der /c
w 4- 1 '^'^ Decimalstelle.
Ä'*'
+
I.Beispiel.
.
.,
lOoOO
.
Der Nenner
enthält zunächst 10
.
Nach
§• ^^-
192
Verwandeln der gemeinen Brüche
Beseitigung dieser Potenz bleibt
die Periode mit der
in Decimalbrüche.
= 5- 21 =5^
105
-21.
Folglich
mufs
2-1-1
o
P
<
o
p
+
1**°
oder
Decimalstelle beginnen.
4.
o
P
<
o
p
o
11
2.
Beispiel.
10 bleibt 164
= 2^-41.
3
+2
^
X
o
o
p
aAooa
3.
Potenz von
Folglich mufs die Periode mit der
P*" oder
-j-
Nach Beseitigung der
•
Decimalstelle beginnen.
6.
p
Beweis. Nach dem Hauptsatze beginnt bei 2" oder 5" die
P^" Decimalstelle.
Periode mit der
AVegen der /r'*° Potenz
von 10 aber rückt das Komma noch /; Stellen nach links, so dafs
P^" Decimalstelle beginnt.
nun die Periode mit der /r
w
«+
+ +
1
1
26
1
:37
= 0,0
Die Periode von ^^
Rest
10
1,0
11.
giebt, wie
Allgemein.
den Rest
1
giebt,
1
:
^st
2 7
also
3stellig,
weil
10 :37 denselben
37.
Die Periode von
—
mithin
wenn
(s. 9.
Satz)
ist
Astellig,
die
wenn 10 :n
aus k Neunen be-
—
durch n teilbar ist, vorausgesetzt,
1
ganze Zahl 10"
dafs die aus einer geringem Anzahl von Neunen bestehende Zahl
nicht schon durch n teilbar ist.
So ist 9, d. i. die aus einer 9
bestehende Zahl, durch 3 und 9 teilbar, folglich geben
stehende
3V3J'
eine einstellige Periode.
=3^-11.
Daher
9V9'
9'
9'
99, die aus 2
9'
9
Neunen bestehende
+3 +
Zahl,
+
durch die in (1
11) ent9) (1
haltenen Zahlen (s. §. 25, 3), d.i. durch 3, 9, 11, 33, 99 teilbar,
folghch geben IP^^, 33'^'^ 99*'^ eine zweistellige Periode. Hier
fallen 3 und 9 weg, da sie schon in 9 aufgehen, also eine Periode
haben müssen, die eine geringere Anzahl von Stellen hat
ist
ist
sie
1
l
Verwandeln der gemeinen Brüche
§. 44.
= 3-37.
9999 =
999
in Decimalbriiche.
193
Folglich geben die Nenner 27,37, 111,333,999
eine 3stellige Periode.
3^- 11 -101.
Folglich
mit 4stelliger Periode.
=
99999
Aus
101, 303, 909, 1111, 3333, 9999
3^ -41. 271.
+3 +
9)(l +41) (1+271) ergeben sich 41, 123,271,
369, 813, 5439, Hill, 33333, 99999 mit Sstelliger Periode.
Auf
(1
Weise
gleiche
findet
man
aus lo''—
1,
10^—1, 10^—
u, s, w.:
7,
13, 21, 39, 63, 77, 91, 143, 1001,
=
239, 717, 2151, 4649
73, 137, 10001, 1010101
81, 333667
=
=
909091 =
=9st.
=
10101
Per.
7stell.
8st. Per.
Per.
9091
10st. Per.
1
21649, 513239
9901
123t. Per.
53, 79, 26537 1653
=
Per.
Ist.
=
31, 93, 2906161 =
17,51,5882353 = 16,,
= 18
52579
19,
13st. Per.
14st. Per.
15st.
57,
Per.
„
„
„
=20,,
3541,27961
„
43, 129, 1933, 10838689
23, 69, 121, 4093, 8779
24st. Per.
99990001
=
=
= 22
21st. Per.
=
^
„
26st. Per.
859, 1058313049
27st. Per.
243, 757, 440334654777631
28st. Per.
29, 87, 281, 121499149
308t. Per.
211, 241, 287, 2161
32st. Per.
353, 449, 641, 1409, 69857
67
33st. Per.
34st. Per.
103, 4013, 21993833369
71
35st. Per.
=
=
=
=
=
=
=
=
999999000001
36st. Per.
9999000099990001
40st. Per.
83
= 41
St.
=
Per.
49, 127, 2689, 459691
Nenner
=
42st. Per.
=
6stell.
Per.
:
194
§•
Verwandeln der gemeinen Brüche
^^-
Zusatz. Da
bequemer wird, so
Decimalbrüche.
in
durch Zerlegen des Divisor
zuerst durch den Faktor, welcher
entweder einen endlichen Decimalbruch oder eine Periode von geringer Anzahl Stellen giebt.
Division
die
oft
man
dividiert
41'
56
I.Beispiel.
13,000 :8
1,625
2.
~?
77
Beispiel.
12.
Aus dem
7 u.
s.
w.
:11
53,0000
4,818181...: 7
u.
s.
w.
—
„Alle in 10
1 aufgehenden Nenner
Periode" folgt unmittelbar:
Satze:
geben eine (höchstens)
:
stellige
ä:
—
1 aufgehenden Nenner geben eine (höch„Alle in 10
stens) 2 Ä: stellige Periode."
Da nun lO"
—
1
Alle in 10 H-
2^ stellige
== (10*4-1) (10*—
aufgehenden Nenner geben eine höchstens
1
Periode.
10 -\-l'=li,
Beispiele.
10'
7
und 13
eine höchstens 2stell. Per.
+ = 101,
1
10'+
Da nun
so folgt:
1),
in
= 1001,
1
„
„
4
„
„
„
„
6
„
„
1001 enthalten sind, so geben diese auch
eine 68tell. Per.
10*+
1
13.
und 137 mit
enthält 73
"
1°
1
1
g^=
Per.
:83
1,
=
Sstell.
*
2
1
0,
Die Division wäre jetzt mit 400
83 fortzusetzen. Da aber
83 das 4fache von 1
:83, so müssen die nun folgenden
Stellen des Quotient offenbar 4mal so grofs als vorher sein, es
048 folgen. Aber auch die Reste müssen 4mal
mufs also 4*012
so grofs werden und es mufs der bei der 6. Decimalstelle erhaltene
Rest 4mal so grofs als der bei der 3. Decimalstelle erhaltene sein,
also
4 4
4
Folglich
.
4
.
.
.
.
:
.
.
.
:
.
=
=
•
=
.
1
16
4
1,000 000
= 0,012
:83
048
Der neue Quotient 16 83 ist wieder das 4fache des Quotient
4 83 und auch der auf die 9. Decimalstelle folgende Rest oflPenbar
:
:
das 4fache des auf die
6.
Decimalstelle folgenden, also
=4.
-
§. 44.
Daher:
Verwandeln der gemeinen Brüche
1,000 000 000
in Decimalbriiche.
195
:83
0,012
048
192
768
3072
12288
49152
-^ = 0,
Hieraus
012 048 192 771084337
läfst sich
allgemein folgender Satz ableiten:
Verwandlung des Bruches
Ist bei der
—
in einen
Decimal-
bruch, vorausgesetzt, dafs n keine Potenz von 2 oder 5
enthält, der Rest nach der «'^" Decimalstelle =r, so mufs
der Rest nach der 2w'^° Decimalstelle
,.
„
,.
3«'^"
=r^
(oder r^
=;-^ (oder
„
r'
—F
),
— f")
8. w. sein;
ferner müssen die auf die n ersten Stellen
des Decimalbruchs folgenden n Stellen rmal so grofs als
jene, überhaupt jedesmal die yi folgenden Stellen rmal so
grofs als die vorhergehenden sein.
u.
Beispiel.
--^=
und
hier der Rest 2
25 2
:31
1,0
0,
Da
8 18
7
1
1
2.
032258
so
ist,
ist
der erhaltene Gstellige Quotient
Folge jedes Produkt mit 2 zu multiplicieren und
6 Stellen nach rechts auszurücken.
Daher:
in der
stets
0,032258
064516
129032
258064
= 0,0322580645161290322580 ....
-^
OL
Die Periode
15stellig
ist
— =
I
3.
Beispiel.
1
1,
(s.
41
10. Satz).
56 29 54 9
.
.
.
:59
= 016949
0,
Hier ist 16949 mit 9 zu multiplicieren u. s. w., jedes Produkt
aber 6 Stellen nach rechts auszurücken. Daher:
0,016949
152541
1372869
12355821
=0,016949152542372881355.
4k
59
1.5-
7
Verwandeln der gemeinen Brüche
§• ^^-
196
Der Rest
in Decimalbrüche.
bei der 6. Decimalstelle ist 9, folglich
9^=81.
Da
er bei der
ist
jedoch nicht gröfser als 58 sein
kann, so ist 81 um das entsprechende Vielfache von 59 zu ver1-59
22.
Daher
Der wirkliche Rest daher =81
mindern.
if'^!
Der Rest 81 würde auch
der oben hinzugefügte Zusatz r
12. Decimalstelle
er
—
=
—
wirklich geblieben sein, wenn man in der 12. Decimalstelle 1'59
subtrahiert hätte, Avie die letzte Stelle der Zahl 152541 anzeigt.
Aus dem Endresultate (der Summe jener Partialprodukte) ersieht
man jedoch, dafs in der 12. Decimalstelle nicht 1-59, sondern
2-59 zu subtrahieren war. Der Rest für die 18. Decimalstelle ist
nun das 9fache des Restes 22 der 12. Decimalstelle, daher
=198
3-59 vermindert =21.
Dieses Verfahren, einen gemeinen Bruch kürzer in einen Decimalbruch zu verwandeln, läfst sich auch auf solche Brüche aus-
und
um
dehnen, welche den Zähler
nicht haben.
1
96
16
41
.
Beispiel.
^^Q
,000
_
— 41^^^^g
0000000000000
1467889908256
man
auf einen Rest, der ein Vielfaches eines früheren
Stöfst
Restes ist, so mufs auch der Quotient dasselbe Vielfache sein.
man
Hier kann
um
13 Stellen
daher, weil 96 das 6fache von 16
6-1467889908256
nach rechts ausrücken, dann das 6fache
schon gebildeten Produkts 13 Stellen ausrücken
14.
Verwandelt man
—Xn
,
wo
der Nenner n
u.
:
s.
ist,
eines jeden
w.
Potenzen von 2
enthält, in einen Decimalbruch und ist der Rest bei
Decimalstelle
z, so hat die Periode 2 k Stellen und
man erhält die 2. Hälfte der Periode, indem man jede Stelle der
1. Hälfte von 9 abzieht.
und
der
5 nicht
=n —
Ä**"
I.Beispiel.
—3
?
Die Division 3:7
nur so weit auszuführen, bis ein Rest
7— 3 4, ist. Daher:
hier
=
=
3
2
6
3,
ist
nach Vorstehendem
= Nenner — Zähler,
also
4
:
0,4 2 8
Aus
2.
Hälfte
der berechneten
1.
Hälfte der Periode
daher:
=999 — 428 = 571;
ergiebt sich
die
-|-= 0,428571428571
Anmerkung.
schaft zeigen,
Decimalbrüche, deren Periode diese Eigenwerden zuweilen „dualistische" genannt.
§.
2.
44.
Verwandeln der gemeinen Brüche
19
Beispiel.
?
Die Division
73
luszuführen, dalier:
0,
Die
2.
Beweis.
Hälfte
ist
bis
Decimalbrüche.
zum
197
Reste
— 19 =-54
i9 44
2
20
54
:73
19,
Jäher:
in
2
2 6
der Periode
ist
nun
=9999 — 2602 = 7397;
iq
^=
=
—
n
0,2602739726027397 ...
r
in*
:
'
vergleiche
^
—37 =
^2^
+
^
'
198
§•
Der Rest nach der
mindert.
aus
Verwandeln der gemeinen Brüche
^^-
dem
letzten
—
ersieht,
2^:*^"
in Decimalbriiche.
Decimalstelle aber
ist,
man
wie
wirklich wieder der Zähler z des ge-
gebenen gemeinen Bruches, also dem
mufs die Periode von neuem beginnen.
Reste gleich und daher
1.
Zusatz. Enthält der Nenner p des gemeinen Bruches Potenzen von 2 und 5, so dafs nach dem 10. Satze die Periode erst
mit einer spätem Stelle beginnt und ist der dieser Stelle vorausgehende Rest=r, so sind auch nur die zwischen diesem Rester
und dem später etwa auftretenden Reste p
r liegenden Stellen
von 9 abzuziehen.
—
19
-^? Der Nenner
Beispiel.
Periode
erst
nach der
enthält 2
,
folglich beginnt die
2. Stelle:
19
1
34 28
9,0
:5 2
0, 3 6
Jetzt sind nur die zwischen
etwa auftretenden Reste 52
dem
letzten Reste 28
— 28 = 24
abzuziehen.
und dem
später
liegenden Stellen von 9
*
24
:52
19,00000
0,36538
Der Rest
(24) ist jetzt jener vorausbestimmte, folglich lassen sich
den 3 Stellen 5, 3, 8 die folgenden durch Subtraktion von 9
aus
=4,
berechnen
6, 1,
und
es ist
demnach:
19
-— = 0,36538461538461
15.
Ist
/?
>3
und
—
1
giebt
eine
w stellige Periode, so mufs
P
eine w;> stellige Periode geben.
P
Beispiele.
1
.
.
giebt eine
1
stellige
Periode
,
folglich
11
-^ = -7^
eine
1
9stellige Periode.
— giebt eine
1
11
"
"
^
13
1
6stell.
"^
"
Per., folgl.
"
"
"
"
121
-i-
3
"
—^
"
"
"
169
eine 6
•
9
•
i
I
§.
44.
Verwandeln der gemeinen Brüche
-^ = 0,513513
Beweis.
o
19
_ 19
'•Ol
37"'
37'
—
+ 0,000000513-1-^..
_ = -^^ + —^_
0,513
^——
mag, so
0,000513
,
eine
,
_+....;
3 stellige
Periode
ist:
.....
= 0,000
0,000000513
= 0,000000
37
.
«pj'ap;- ....
27
in
M
man
der
.
37
0,000513
Addiert
199
folglich
0,513 4-0,000513
da nun -^, also auch
ußj- heifsen
DeclmalbrUche.
I
19
oder
;
in
diese Decimalbrüche
1.,
2.
und
3.
,
U.S.W.
«^2-
so erhält
Decimalstelle
:
man:
w^/-.
giebt,
die
:
200
§• ^^-
1
Verwandeln der gemeinen Brüche
.
.
—-eine
.
und doch ist 27
durch 3 teilbar. Der Grund
dal's 27 keine Primzahl ist.
Sstellige Periode
'
Beweis
17.
in Decimalbrüche.
Ist
—
1, d. i. 26, nicht
liegt einfach darin,
später.
—
p eine Primzahl und hat
eine Periode
von einer
P
geraden Anzahl
Stellen, so giebt die 1, Hälfte derselben zur 2.
addiert eine Zahl, die aus lauter Neunen besteht.
(Vergleiche den
14. Satz).
1.
-^ = 0,307692307692
Beispiel.
1
Die Periode
ist
o
307692 und
307
692
Summe
2.
Beispiel.
Die Periode
-y|
ist
999.
= 0,5204479552044795
52044795 und
5204
4795
Summe
Anwendung.
7
Es
-ry
sei
.
9999.
.
.
einen Decimalbruch zu
in
ver-
wandeln.
Da
1 stellig
17
eine
sein.
Zahl
2 stellige
Nach dem
16.
ist,
Satze
2, 4, 8 oder 16 stellig sein.
so kann die Periode nicht
aber könnte die Periode nur
=
=
Man
findet den 3. Rest nicht
dem 1., folglich ist die Periode nur 4, 8 oder 16stellig.
Aber auch der 5. Rest ist nicht
dem 1., mithin die Periode
nur 8 oder 16 stellig.
Endlich:
7
Da nun
kann
Da
der
2
3
is 11
8
12
1
7,
00000000
0,
4
9.
1
1
7
10
:17
6 4 7
Rest (10) nicht gleich dem
nur noch 16 stellig sein.
1.
(7) ist,
so
die Periode
geradzahlig ist, so geben die beiden Hälften der
eine Zahl, die aus lauter Neunen besteht, folglich mufs man auch umgekehrt jede Stelle der 2. Hälfte dadurch
erhalten, dafs man die Stellen der 1. Hälfte von 9 abzieht.
Periode
sie ferner
als
Summe
Folglich
.<:-^^^^
7
—-=
0,411764 7058823529411764
Verwandeln der Decimalbrüche
§. 4').
Da
= 17 —
der
7,
nach dem
9.
man
den gewünschten Decimalbruch auch
hier
Satze erhalten.
Aus den vorstehenden Sätzen
18.
201
= 10 = Nenner — Zähler des gemeinen Bruches
Rest
80 hätte
14.
gemeine Brüche.
in
dafs jeder gemeine
Paragraphen
dieses
folgt,
Bruch entweder einen endlichen oder einen
periodischen Decimalbruch geben mufs.
§.
Verwandeln der Decimalbrüche in gemeine Brüche.
45.
Endliche Decimalbrüche.
1.
0,75
=
^=
289,03125
^;
= 289^Hir = 289^.
AnAvendung.
Welche Zahl
Man
ist
(aufser den
denke sich 7,75
Welche Zahl
ist
Potenzen von
= =—
7|-
775 enthalten?
-, folglich 31 enthalten!
Man
15875 enthalten?
in
5) in
denke sich
= 15| = -y-,
127
1
folglich
Welche Zahl
5,875
127 enthalten!
ist
11375
in
enthalten?
1
1,375
= llf = -^,
folgUch 91 oder 7 und 13 enthalten!
Periodische Decimalbrüche.
2.
Die Periode setzt man als Zähler des zu suchenden gemeinen
Der Nenner desselben ist eine Zahl, die aus so viel
Bruches.
Neunen
besteht, als die Periode Stellen hat.
1.
Beispiel.
2.
Beispiel.
^
=—=—
0,636363
07317
99999
11111:813
813
.,^,^,^,..,
0,0731707317
7317
99999
= 13
2981
2439
.
.
.
:
542
(2 entfernt:)
813:271=3
3
Folglich noch durch 271 gekürzt
=«= -rr-.
813
Hill
202
§•
1.
45.
Verwandeln der DecimalbrUche in gemeine Brüche.
Beweis.
Es
ist
-^
= 0,11111
§.
-i^?
3.
1.
45.
Verwandeln der Decimalbrüche
Da 37-27=999,
11
11-27^
37
37-27
gemeine Brüche.
203
ist:
297
999
^^297297297.
.
.
.
Unreinperiodische Decimalbrüche.
Von der letzten Stelle des gegebenen Decimal-
Verfahren.
brüche ausgehend setze
bis
so
in
zum
Komma
man
die regelmäfsig wiederkehrenden Stellen
fort (ähnlich Avie in §. 44,4),
wodurch man einen
Decimalbruch mit ununterbrochener Periode erhält, der in den ersten
Hierauf suche
Stellen von den Stellen des gegebenen abweicht.
man die Differenz zwischen dem gegebenen und dem gebildeten
Da nun der gegebene Decimalreinperiodischen Decimalbrüche.
bruch gleich ist dem reinperiodischen Decimalbrüche vermehrt oder
vermindert um die Differenz, so drücke man die beiden letztem
nach dem 2. und 1. Satze durch gemeine Brüche aus und die Summe
oder Differenz derselben ist der gegebene Decimalbruch.
I.Beispiel.
=?
0,6931818181
Geht man von rechts her mit 1,8,
so ergiebt sich
1,
0,8181818181
Subtrahiert man den o-ep-ebenen Decimalbruch von
so ergiebt sich als Differenz 0,125.
Nun
ist
zum Komma,
8 .... bis
aber 0,6931818
= 0,818181
^^
99
^^^
dem
letzteren,
—0,125
(s. 2.
u. I.Satz)
§• ^^-
204
Verwandeln der Decimalbrüche
in
gemeine Brüche.
2. Verfahren.
Man setze das Komma hinter die VorzifFern,
wodurch die gegebene Zahl (nach §. 42, 1) mit einer Potenz von
10 multipHciert worden ist. Mithin mufs die veränderte Zahl, in
welcher man statt des reinperiodischen Decimalbruches den gleichbedeutenden gemeinen Bruch setzt, wieder durch jene Potenz dividiert werden.
=?
0,8719512195121
1. Beispiel.
Die VorziiSern sind 87, die Periode 19512; folglich:
100
87,1951219512
87^^^ 100 87^ 100
3575
143
143
~~
164'
41-4
41-100
=
_
Beispiel.
2.
=
:
=
:
:
_
~
_
~
0,466666
.
.
.
.
= 4,6666
10 = 4|
= 4i:10 = 2i:5 = -^.
:
:
10
Den
Zähler des gemeinen Bruches erhält man,
Decimalbruches bis zum Schlüsse
der einmaligen Periode um die VorzifFern vermindert. Der Nenner
besteht in seinen ersten Stellen aus so viel Neunen, als die Periode
Stellen hat (s. 2. Satz) denen eben so viel Nullen anzuhängen sind,
als die Anzahl der VorzifFern beträgt.
Verfahren.
3.
wenn man
die ersten Stellen des
,
=—
8719512
0,871951219512
Beispiel.
1.
_ 87
99999 00
_
"~
8719425
9999900
11-13
_
~
348777
399996
4-41
143
164'
Beispiel.
0,46666
38753
_
~~
~ 44444 _
46
2.
Beweis
(s.
das
1.
Beispiel
87i|W:100=
——4
==~9Ö
im
2.
11-3523
4-11111
42
7
""Wlö"'
Verfahren).
erweitert mit
99999
^'^\ll^^
87-99999 + 19512 _ 87- (100000 —
+ 19512
_
"~
~
99999-100
99999-100
8719512 — 87
8700000 — 87 + 19512
_
~"
~~
1)
99999-100
Anmerkung. Ein 4. Verfahren
9999900
'
siehe weiter unten
im
5,
Satze.
Die Periode eines reinperiodischen Decimalbruches mufs
44,8) durchschnittlich öfter geradzahlig als ungeradzahlig sein,
in jenem Falle aber, wie aus §. 44, 17 hervorgeht, die daselbst ausMithin wird das nachstehende
gesprochene Eigenschaft zeigen.
4.
(s. §.
.
Verwandeln der Decimalbrüche
§. 45.
gemeine Brüche.
in
205
Verfahren, einen rcinperiodischen Decimalbruch mit geradzahliger
Periode in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, oft in Anwen-
dung kommen.
Bei geradzahliger Periode untersuche man, ob die 1. Hälfte
zur 2. addiert eine Zahl giebt, die aus lauter Neunen
besteht.
Ist dies der Fall, so erhält man den Zähler des gemeinen
Bruches, indem man die 1. Hälfte der Periode um 1 erhöht, den
Nenner aber, indem man die der Hälfte der Periode entsprechende
Potenz von
um 1 erhöht.
derselben
1
1.
ist
Beispiel.
=?
0,7272
Die Periode
72 und es
ist
7
^
9
;
2.
Beispiel.
3.
Decimalbruch
7
_j_ j
--;r—r—,-
10-f-l
g
= 11—
-;
=?
0,428571428571
428571 und 428
571
Die Periode
ist
+
1000 +
428
cimalbruch
=
_
folglich der o
gegebene
o
Beispiel.
1
1
429
999;
39
1001
91
folglich der
T
=?
0,808219178082
gegebene Decimalbruch
8082
1917
9999; folglich der
+ ^
10000 + ~
8082
gegebene De-
3
8083
1
10001
1
10001:8083
8083
....:i0i8
8083: 959
9
=
'
1
=
8631
..:
B4S
959:
959
137
.
=7
Daher noch durch 137 gekürzt
Beweis
(s.
428571
999999
59
-yö"-
2. Beispiel).
,
„
(s.
2.
'
428 1000
•
=
c'
.
— 428
»
999-1001
428-999
1-999
+
999-1001
N
Satz)'
1
— 428- 1000 + (999 — 428)
999-1001
+ 999 _ 428 (1000 — + 999
-
"~
(428
+
1)
999-1001
1)
999-(1000
-999
+
l)
428+1
lOOO
+
l
206
§•
Verwandeln der Decimalbrüche
^^-
in
gemeine Brüche.
5.
Einen unreinperiodischen Decimalbruch mit geradzahliger
Periode, deren beide Hälften addiert eine aus lauter Neunen bestehende Zahl geben, verwandelt man in folgender Weise in einen
gemeinen Bruch:
Der Zähler
wenn man
ergiebt sich,
die
Decimalbruches mit Einschlufs der 1. Hälfte
Vorziffern und um 1 erhöht, den Nenner,
Hälfte der Periode entsprechende Potenz von
der Summe eben so viele Nullen anhängt, als
ziffern beträgt.
(Beweis wie im
4.
Beispiel. 0,59615384615384
Die Vorziffern =59, Periode
ersten Stellen
wenn man
die
.
der gegebene
1 erhöht und
Anzahl der Vor-
die
Satze.)
=?
=615384 und
615
384
folgUch
Anmerkung. Es
31
_____ = _
+
=
,
die
der
um
10
999;
„
^
Decimalbruch
des
um
der Periode
59 4-1
59615
^^^:^^
59675
leuchtet wohl ein, dafs die im
4.
und
5.
Satze ge-
Rechnung bedeutend abkürzen.
lehrten Verfahren die
6.
Da jeder gemeine Bruch entweder einen endlichen oder
einen periodischen Decimalbruch geben mufs (siehe §. 44, 18), so
könnte es scheinen, als wenn es unperiodische Decimalbrüche
(solche, deren Stellen nie die Regelmäfsigkeit eines periodischen
zeigen) nicht geben könne.
Es mag daher noch gezeigt werden,
dafs es allerdings solche Decimalbrüche giebt.
als
Ein zwischen zwei ganzen Zahlen liegender Bruch kann immer
30
ein irreducibler gedacht werden, denn wenn sich auch -q3|
kürzen
=
läfst,
immer mufs der gekürzte Bruch
—^ = 3-^
10
dieselbe
Stellung zwischen 3 und 4 behalten, da der gekürzte Bruch dem
ursprünglichen gleich ist. Ein Bruch ferner, der zwischen
2 ganzen Zahlen liegt, kann mit sich selbst multipliciert
keine ganze Zahl geben. Betrachten wir z. B. den zwischen
49
irreduciblen Bruch -^r;-.
2 und 3 liegenden
Da sich 49 mit 20
°
20
nicht kürzen
läfst,
so
kann
sich
49 49
auch das Produkt "^"^tt nicht
kürzen lassen, weil keine neue Zahl hinzutritt, vielmehr immer nur
Dieses Produkt
das Kürzen zwischen 49 und 20 in Frage käme.
kann also auch nur ein irreducibler Bruch, aber keine ganze Zahl
sein. Nur 2 verschiedene Brüche würden multipliciert eine ganze
Zahl geben können,
z.
10
B. -=
21
r-
=
6.
Nun
ist
V^
nach §.16 die
Zahl, welche mit sich selbst multipliciert die ganze Zahl 6 giebt.
§. 45.
Daher kann
Verwandeln der Decimalbrüche
gemeine Brüche.
in
207
gemeiner Bruch gefunden werden, da
für > 6 kein
ein solcher, wie so eben bewiesen, mit sich selbst multipliciert die
ganze Zahl 6 nicht geben kann. Es können mithin nur gemeine
Vß
Brüche gefunden werden, die der Zahl
„ 485
485 485
^
.
z.
^^;
B.
es ist
nähern können,
sich
-^.^^ = 6^^.
,
Es bleibt also nichts übrig, als solche Zahlen durch unendliche
Decimalbrüche auszudrücken, da man dann dem gesuchten Werte
immer näher kommen kann, je mehr Stellen man berechnet, während der vielstellige gemeine Bruch im höchsten Grade unbequem
So
wäre.
man
findet
B.
z.
^6 = 2,449489
2,44949 2,44949
•
.
.
.
denn
.;
= 6,0000012601.
Der für VQ gefundene Decimalbruch kann aber weder ein endlicher
noch ein unendlicher periodischer sein. Denn wäre er ein solcher,
80 liefse er sich (nach §. 45) in einen gemeinen Bruch verwandeln.
Dies aber ist unmöglich, weil, wie vorher bewiesen wurde, V6
nicht durch einen gemeinen Bruch dargestellt werden kann. Folglich ist dieser Decimalbruch unperiodisch.
Man
7.
die
teilt
Zahlen ein
rationale und irrationale.
in
Erstere sind solche, die sich durch ganze Zahlen genau darstellen
(genau abgrenzen) lassen;
7
—
denn
7
z.
239^
B. 13, -r^ oder
oder 0,363636..
.
r-
ist
genau durch
7
und
19,
0,3636
...
genau durch
.,
—4
-,
durch die ganzen Zahlen 4 und 11 dargestellt. Diejenigen
Zahlen, welche sich durch ganze Zahlen nicht genau darstellen
(genau abgrenzen) lassen, heifsen irrationale. Dieselben können
nur in unvollständiger Weise durch einen unperiodischen Decialso
malbruch ausgedrückt werden;
z.
B.
Vö
(siehe
den
6.
Satz)
oder
3
V- j
oder lg2 oder sinlO^ oder die Zahl n (j9i= 3,14159265
welche den Quotient
eines jeden Kreises
Zahlen,
5
'
5
denn
5
"~
dem Umfange und dem Durchmesser
ausdrückt).
erstere
125
aus
ist
=7
V^^ und
(da
7-7
=
l/
'
49),
--—-
sind rationale
12o
letztere
^-z-
(da
5
/'
Die rationalen Zahlen nennt man auch commensurable (durch
die Einheit mefsbare), die irrationalen: incommensurable.
208
Das Rechnen mit abgebrochenen Decimalbrüchen.
§• ^^-
§.
Das Rechnen mit abgebrochenen und unvollendeten
46.
Decimalbrüchen.
Die Genauigkeit eines Zahlenwertes
richtet sich nach der
der Einheiten der niedrigsten Stelle.
Ist z. B. die Entfernung der Gegenstände A und ß möglichst genau auf 68,7 Meter
bestimmt worden, die von C und D auf 6,874 Centimeter, so ist
die letztere Angabe genauer als die erstere, weil sie durch das
6874fache der Einheiten der letzten Stelle (0,01), die erstere aber
nur durch das 687fache der Einheiten der letzten Stelle (0,1) be1.
Menge
stimmt
Beide Entfernungen kann
ist.
und 68,74 Millimeter denken,
man
sich
auch
folglich ist die letztere
als
68700
Angabe ge-
sie durch 6874 Einheiten der letzten Stelle (Hundertel),
nur durch 687 Einheiten der letzten Stelle (Hunderte) ausgedrückt ist.
Eben so ist 40,3 Meilen weniger genau als 0,598 Meter, da
jene Angabe das 403fache der letzten Einheit (0,1), diese das
598fache der letzten Einheit (0,001) ist.
Oder: 1871000 Meilen ist weniger genau, wenn nur noch
die Tausende bestimmt werden konnten, als 0,2136 Meter, weil
nauer, weil
erstere
jene
Angabe das 1871 fache der
das 2136fache der
letztere
Tausende),
Einheit (2136 Zehntausendtel)
letzten Einheit (1871
letzten
beträgt.
man
Ferner hat
sich die letzte Stelle einer Zahl, deren genauerer
Wert uns unbekannt
ist, als eine nach den Regeln des §. 40 abgebrochene zu denken. Denn ist die Entfernung zweier Gegenstände
möglichst genau auf 954,73 Meter bestimmt worden, so meint man
damit, dafs diese Entfernung eher 954,73 als 954,74 oder 954,72 Meter
ist, 80 dafs also 954,73 als abgebrochener Decimalbruch erscheint.
Mithin hat man beim Rechnen mit solchen gemessenen oder beobachteten Angaben eben so wie direkt bei den abgebrochenen
Decimalbrüchen stets zu berücksichtigen, dafs der Fehler nahe
j Einheit der letzten Stelle betragen kann.
In den hier folgenden Rechnungen mögen
Zahlen stets
abgebrochene
bedeuten,
so
dafs
die
also
gegebenen
die
letzte
nahe ^ Einheit zu grofs oder zu klein sein kann,
wenn nicht durch einen Punkt über der letzten Stelle angedeutet
ist, dafs diese Stelle vollkommen genau, der Decimalbruch also
Stelle derselben
ein endlicher
2.
ist.
Addition.
4,586
+ 12,931
+ 7,899
4-29,458
= 54 874~
zeichnen, schreiben
Die Summe 54,874 kann nahe 2 Einheiten der letzten Stelle, also nahe 0,002,
zu grofs oder zu klein sein, weil jeder
der 4 Summanden um ^ Einheit falsch
^^^^ kann.
Um
Manche
die unsichere letzte Stelle
54,874.
zu be
§.
Das Rechnen mit abgebrochenen Decimalbriichen.
46.
209
Hier können schon die Hundertel (siehe
um nahe 4- Einheit falsch sein, l'olglieh ist auch die Summe schon in dieser
2. Decimalstelle bis zu ^ Einheit unsicher,
^o dafs sie leicht um 0,005 zu grofs oder
^50 21065
zu klein sein kann. Die drei letzten Decimalstellen 065 haben daher keinen Sinn und man mufs richtiger
nur 50,21 (oder sogar 50,2^) schreiben.
-f-
+
+
5,914
11,8368
1,56985
30,89
30,89)
Beim Addieren beginnt man daher
sogleich mit den Hunderteln,
spiele
in
die
dem vorstehenden Beiman nur um die 2 aus
den Tausendteln hervorgehenden Hundertel vermehrt.
Subtraktion.
3.
Hier
gilt
gleichfalls
das in der Addition
Gesagte.
Das Resultat kann hier nahe 1 Einheit
der letzten Stelle falsch sein, weil jede der
beiden gegebenen Zahlen in dieser Stelle um
^ Einheit falsch sein kann. Denn ist z. B.
der Subtrahend um ^ Einheit zu klein, so würde der Rest um
^ Einheit zu grofs (s. §. 9, 18, Zus.). Ist nun noch der Minuend
^ Einheit zu grofs, so beträgt der Fehler alsdann eine ganze
50,714
— 9,638
— 41 076~
Einheit.
10,86589
— 2,919
— 7 947
Minuend noch
Hier kann der vollständigere Rest 7,94689
oder auch der abgebrochene 7,947 in den
Tausendteln nur um eine halbe Einheit (s. den
Subtrahend) falsch sein, da die Tausendtel des
richtig sind.
Hier kann der Rest 123,31, der für
123,3136 gesetzt werden mufs (siehe 2. Satz,
letztes Beispiel I), gleichfalls nur um ^ Einheit
123 31
der letzten Stelle falsch sein, weil der Subtrahend in dieser Stelle noch richtig, der Minuend aber unsicher ist.
—
—
4.
212,67
89,356 4
Multiplication.
Hier wird der Fehler des ungenauem Faktors noch durch den
andern Faktor vervielfältigt, folglich mufs das Produkt auch schon
in dieser Stelle falsch sein.
Man nimmt daher den ungenauem
Faktor als Multiplicand, den genauem als Multiplicator und multipliciert zuerst mit den höchsten Stellen des letztern.
Wenn aber
die letzte Stelle des ]\Iultiplicand um ^ Einheit falsch sein kann,
so würde das 1. Partialprodukt in der zugehörigen Stelle so viel
mal ^ Einheit falsch sein, als die höchste Stelle des Multiplicator
Einheiten hat, und folglich hätten die nachfolgenden Stellen keinen
Sinn.
Man wird mithin die abgekürzte Multiplication (s. §. 42, 4)
anwenden und nicht über die letzte Stelle des Multiplicand hinausgehen.
Schurig. Lehrbuch
der Arithmetik.
I.
Teil.
14
2 3760
§. 46.
Das Rechnen mit abgebrochenen Decimalbrüchen.
= 135900
8167
:
211
= 166,3
817
=8167-1
542
490
52
=8107-6
J9_
= 8i07.6
3
3
=8iß7.3
ü
Da
Dividend schon die unsichere
Stelle ist, so
durfte die Division nicht über dieselbe hinaus fortgesetzt werden.
Oder:
hier die 9 des
Da die 4. Stelle des Dividend unsicher ist, so darf auch
der Quotient nur auf höchstens 4 Ziffern berechnet werden
(166,3).
Oder: Die letzte Stelle 3 des Quotient
zugehörige 9 des Dividend ist.
ist
unsicher,
da
es die
erhält man die beiden Grenzen des Quotient, wenn
bedenkt, dafs derselbe nicht gröfser als
1,3595:0,81665
sein kann (s. Multipli1,3585:0,81675
und nicht kleiner als
Der Quotient wird nämlich nach §.13 (18, 2. Zus. und
cation).
28, 5. Zus.) am gröfsten, wenn der Divisor am kleinsten und der
Genauer
man
Dividend
am
Im
1.
„
2.
gröfsten
genommen
man aber
wird.
Falle würde
166,473 (obere Grenze)
166,330 (untere
,,
)
„
erhalten.
Der Dividend genauer
als der Divisor.
und mithin die zugehörigen Quotienten
nicht falsch werden, müssen diejenigen Decimals teilen im Di-sidend weggelassen werden, welche rechts von der letzten Stelle
2.
Fall.
Damit
des
1.
hier die Reste
Partialproduktes liegen.
Beispiel.
0,2971864:0,6438
6438
0,46162
2575 2 _
:6438
396 7
386 3
:6438
= 2971,864
:
=
:6>*38
1
Da
so
ist
die Stellen 64 des
der I.Rest
:e4S8.
Dindend unberücksichtigt
29719—25752
= 3967.
bleiben müssen,
14*
212
§•
man
^^-
Decimalbrüche in Verbindung mit gemeinen Brüchen.
Genauer würde man den Quotient dadurch bestimmen, dafs
als obere Grenze
= 0,461649,
6438,5 = 0,461577 berechnet.
2971,8645 6437,5
:
als untere
Grenze
2971,8635
6.
:
Unvollendete Deciraalbrüche.
Da
0,763
von
(nahe 0,764) ansteigen, die gebis 0,763999
0,763000
gebene letzte Stelle also fast um 1 Einheit gröfser sein kann, so
würde annähernd die Mitte zwischen beiden Zahlen, d. i, 0,7635
dem kleinsten Werte 0,763 eben so nahe kommen, als dem gröfsten 0,764. Mithin müfste bei unvollendeten (mit Punkten versehenen) Decimalbrüchen mit diesen Mittelwerten gerechnet werden,
wenn man nicht der gröfseren Genauigkeit wegen vorzöge, die
beiden Grenzen des Resultats aus den Grenzwerten der gegebenen
Zahlen zu berechnen.
Beispiel.
0,763
Entweder
ist
:
0,419
im Durchschnitte der Quotient
=
0,7635:0,4195
1,820,
wobei die 4. Decimalstelle unsicher ist, weil es die 4. der gegebenen
Zahlen ist. Oder der höchste Wert des Quotient ist
0,764:0,419=1,8234,
0,763:0,420=1,8167.
der niedrigste
§.
47.
1.
stimmen
Decimalbrüche in Verbindung mit gemeinen Brüchen.
Um
(s. §.
das Wertverhältnis gemeiner Brüche zu be32,7), kann man dieselben in Decimalbrüche ver-
wandeln.
Beispiel.
ist
Welcher von den Brüchen
19
43
40"'
90'
9
19'
10
11
33
21'
23'
70
der gröfste, welcher der kleinste?
Auflösung.
—=
19
0,475
-1 = 0,47778
^=
0,47368
i^ = 0,47619
||-
= 0,47826
§.
Decimalbrüche
47.
in
Verbindung mit gemeinen Brüchen.
213
11 = 0,47143.
33
11
-^
Folglich —jr der kleinste,
Addition und Subtraktion.
2.
+ 219,74389—63%--^ =
271—138,9146
Verwandle
die
müssen, wenn die
soll,
?
gemeinen Brüche in Decimalbrüche! Dieselben
Zahl 219,74389 vollständig benutzt werden
3.
mindestens auf 5 Decimalstellen berechnet werden. Denn
man z. B. 27 nur auf 4 Stellen berechnen, so würde die
wollte
1.
der gröfste.
und
^^
3.
Zahl
als
Summe
27,6667
219,74389
247,41059
Hier aber würde zur falschen 5. Decimalstelle
Zahl die richtige Stelle 9 der 2. Zahl addiert worden sein!
ergeben.
1.
Die Rechnung
27,66667
ist
der
daher folgende:
— 138,9146 + 219,74389 — 6,47368 — 0,23529;
A8
2
2 7, 66667
6 1, 0854
1
9,
74389
A3, 52632
= 10
Um
A, 76471
1,
78699.
hier die 5. Decimalstelle (die höchste der gegebenen) desto
zu erhalten, verwandelt man die gemeinen Brüche wohl
auch auf 6 oder 7 Decimalstellen.
Auch wenn nur gemeine Brüche zu addieren oder zu subtrahieren sind, benutzt man Decimalbrüche für dieselben, wenn
der Generalnenner zu unbequem (zu grofs) sein sollte.
richtiger
Beispiel.
516
11
81
Dafür:
"^
625
23
"*"
32
76
"^
77
37
0,1358025
0,8256
0,71875
0,9870130
0,8378378
0,5121951
0,9828016
5,0000000.
3943
21
31
"•
~^
41
~*~
4012
'
214
viel
§• '*^'
Decimalbrüche in Verbindung mit gemeinen Brüchen.
Auch würde der Wert der Summe, überhaupt jedes Resuhates,
leichter am Decimalbruche beurteilt werden können, als an
dem unbequemen gemeinen Bruche
mit sehr vielstelligem Zähler
und Nenner.
Multiplication und Division.
3.
Die Decimalbruche sind hier fast nie in gemeine, die gemeinen aber nur in besonderen Fällen in Decimalbruche zu verwandeln. Ferner sind, um das Resultat unbegrenzt richtig zu
erhalten, während der Rechnung alle abgebrochenen Decimalbruche zu vermeiden und nur das Resultat durch einen solchen
auszudrücken.
1.
Beispiel.
20
= 3,4716-^=
69 432
= 885714.
= .^Hi^
S 471fi
'
^
3,4716»2f
.
20
9^91
So weit auch hier die Division durch 7 ausgeführt wird, immer
das Resultat vollkommen richtig. Bei 3,4716-2,85714 würden
wesen des abgebrochenen 2. Faktors nur die ersten 6 Stellen riehist
tig sein.
-1
o
2. T?
Beispiel.
•
7
Q1
noiQ^Q
31yY*0»^lo'J^
^4^ noift^Q = 348-0,01839
= ~T7~'
0,01839
r^
= ^>^ff^^
=0,5817927.
11
3.
Beispiel.
2,-0,173
= ^:0,173= 3^^ =
= 66000,0:5363 =
12,307.
^
5363
12370
10726
16440
16089
35100
4.
Beispiel.
17^^: 0,08009 =?
Da
die Periode hier eine geringe Anzahl Stellen hat,
der Decimalbruch bequemer.
17,727272
= 1772727,272
16018
17092
16018
10747
:
0,08009
:
8009
= 221,342.
so
ist
215
Teilbrüche.
48.
§.
10747 (wiederholt)
8009
27382
24027
33557
32036
15212
5.
Beispiel.
0,12367 :3|
= 0,12367
= -^—
Q1
:
siehe das
^-j
§.
71
Es lst-^K^
126
= ^^2
1
der
1
18
126
man
so könnte
tienten
9.
Teil von -^
1'
_
1
Hätte
Beispiel!
1
—^
ist
1.
126*
'
1
Ferner
•
Teilbrüche.
48.
1
'
—
9
-^-^ 0,12367
"
"
"
18
71
daher irgend eine Zahl mit
man auch
und endlich
-r^
zuerst die -^ derselben,
1
-=-
zu multiplicieren,
1
1
dann -^
.
dieses
Quo-
und
diese
.
des neuen Quotient berechnen
3 Quotienten addieren.
Beispiel.
5,316781-^;
126
=
5,316781
^
2,6583905
5=0,2953767
(:
2
(
(
0,0421967
2,9959639.
2.
Den zuerst erhaltenen Quotient bezeichnet
mit B, den 3. mit C u. s. w.
man
mit A,
den
Esistaiso^^e-^T^-g' + TDiese Brüche
Um
die
111
-x-,
-^,
-=-
nennt
man Teilbrüche.
Nenner der Teilbrüche bequem zu finden, dividiere
des gegebenen Bruches durch den Zähler, be-
man den Nenner
nutze aber nicht,
niedere
Zahl
als
wie bei der gewöhnlichen Di\ision, die nächstQuotient, sondern stets eine höhere, z. B. die
216
Teilbrüche.
48.
§.
man das Produkt aus dem Diund dem Quotient um den Dividend (gegebenen Nenner) und dividiere immer wieder den ursprünglichen
Hierauf vermindere
nächsthöhere.
visor (gegebenen Zähler)
Dividend (Nenner
des gegebenen Bruches) durch den erhaltenen
Rest, ganz wie beim 1. Mal. Diese Division des gegebenen Nenners (ursprünglichen Di\ddenden) setzt man so lange fort, bis die
Division aufgeht oder das Resultat die gewünschte Genauigkeit
erhält.
Die erhaltenen Quotienten sind die Nenner der Teilbrüche.
1.
Beispiel.
Es
71
,^^
sei
in Teilbrüche
126
zu verwandeln.
126:71=2
142
=9
126 16
144
=
126:18
7
126
71
Feierlich -7:r:^
126
=
B
1
2
9
'
Unbequemere Quotienten
7
'
man
hätte
erhalten mit
126:71=2
142
126:16
128
126:2
=8
= 63
126
71
B
1
63"
126
Man
ersieht hieraus,
dafs
es
oft vorteilhafter
ist,
nicht den
nächsthöhern Quotient, sondern einen beliebig höhern zu nehmen.
So würde man z. B. nicht den Quotient 37, sondern 40 benutzen,
weil sich durch 40 leichter als durch 37 dividieren läfst.
=2
12:2 = 6
12:7
2.
Beispiel.
14
12
Es
sei z.
B.
0,8147395
zu berechnen;
12
0,8147395
(
:2
0,40736975 (:6
0,06789496
0,47526471.
§. 48.
3.
Beispiel.
76
218
Teilbrüche.
48.
§•
100000:6809=15
Daher:
6809
31910
34045
100000:2135
Dafür 20000 427
50 (47 zu unbequem!)
21350
20000:1350
Dafür 400:27
15
405
400:5
80.
=
:
=
=
0,371689=i-
Folglich:
.
j.
5.
•
.
+ f+^ + ^ + A + ^ + ^
48:23
23,
,
-r^f
48"-
lieispiei.
48:12
Nimmt man
=3
69
=
4.
einen der Quotienten gröfser,
z. B. statt des vorstehenden 2. Quotienten 3 den Quotient 4, so mufs der nachfolgende Quotient kleiner werden, da der gröfsere Rest alsdann
zum
man
Durch Anwendung
Divisor wird.
dieser
Bemerkung
erreicht
oft bequemei-e Quotienten.
Beispiel.
23
48:23
„
48"'
=3
69
48:21=4
84
48:36
72
48:24
Beweis
für
die
=
=2
2.
vorstehende Ableitung
der Quotienten der
Teilbrüche.
Vergleiche die nachstehenden Zahlen mit
76
3"^V76
1
3
.
99
— 76
3
dem
3.
Beispiele!
§.
33
11
76
3
"^
3
1
f
48.
,
Teilbrüche.
/23
L4 "^Ue
1
219
\1
Aji
§
220
dafür
Teilbrüche.
^S-
1000000:74944=14
1049216
1000000 49216
:
1
so
u.
s.
w.
= -1 + -^ 1 + 1- + A + ^ + ^.
nun jene Angaben auch
Fufs,
Elle = 2,0531337
Folglich 0,3248394
Enthielten
= 20
-f-
par.
preufs.
wäre die Rechnung folgende:
2,0531337-0,3248394=?
2,0531337
{: 'A
0,5132834 (:;4
0,1283209 (:6
213868
35645
3565
255
(:6
(:10
(:14
(:20
13
1
preufs. Elle
= 0,6669389 Meter.
Nähert sich der Wert des in Teilbrüche zu ver2. Zusatz.
wandelnden echten Bruches der Einheit, so würde die unmittelbare Verwandlung wegen der gröfsem Anzahl Quotienten sehr
unpraktisch. Nachfolgende Beispiele zeigen, wie man diesem Übelstande begegnen kann.
Beispiel. 6,194738-0,9123476=?
1. Verfahren.
—
=
—
0,0876524 = A_ + ^_|_^_|__^_|_^.
6,194738 (1
0,0876524)
6,194738 0,9123476
6,194738
6,194738 0,0876524.
=
Man
findet
•
-
Daher: 6,194738-0,0876524?
6,194738
(
0,516228
25811
860
78
(:20
(:30
(:11
(:14
:
12
6
0,542983.
stehenden Zahl 6,194738 subtr.:
Dies von der oben
5,651755 das gesuchte Resultat.
=
1.
§.
2. Verfahren.
6,194738- 0,9123476
Multipliciert mau den
?
Faktor mit 10 und dividiert den 2. durch 10, so bleibt nach
Daher:
13, 11, Zus. das Produkt unverändert.
= 61,94738 0,09123476
0.09123476 =
^+3^ + ^+1 + ^.
-
.
Nun
ist
48.
§.
Folglic h
Teilbrüche.
61,94738
(
:
221
11
5,631580 (:300
18772 (:15
1251 (:9
139 (.12
12
5,651754.
Das
1.
2.
Verfahren
wenn
ist,
es der Multiplicand zuläfst,
dem
vorzuziehen.
Bei gröfseren Multiplicatoren könnte man von der
3. Zusatz.
nächstliegenden ganzen Zahl ausgehen oder auch das vorstehende
2.
Verfahren anwenden,
1.
Verfahren.
= 7,81349 [4 + 0,58317]
+ 7,81349 -0,58317
= 31,25396 +7,81349 [i- + ^4-f + -f + ^ +
— 0,108257]
Beispiel.
8,29461 5,891743 = 18,29461
= 18,29461-6—18,29461-0,108257
= 109,76766 —18,29461 LlO ^ 13 ^ •]
1.
Beispiel.
7,81349 4,58317
•
== 7,81349-4
-:|-]
2.
-
1
2.
Verfahren.
1.
Beispiel.
7,81349 4,58317
•
2.
Beispiel.
18,29461 5.891743
-
[6
= 78,1349 0,458317
= 78,1349 L3 ^ 3 ^3 ^
-
= 182,9461 -0,5891743
= 182,946l[-i + f + ^ + ^ + A]
Anmerkung. In allen Fällen, in welchen es der Multiplicand gestattet, wird man am besten nach der folgenden praktischen
Regel verfahren (vergl. das 2. Verfahren im 2. u. 3. Zus.):
Enthält die 1. wertvolle Stelle des Multiplicator 1 bis etwa
6 Einheiten,
so verschiebt
man
das
Komma
so, dafs jene
Stelle in die Zehntel rückt, bei einer gröfseren
Menge von
Einheiten (9, 8, 7) jedoch in die Hundertel.
1.
Beispiel.
= 5,192873
= 5192,873-0,3891652
= 5192,873 L3- +
+
^6 ^
5,192873 389,1652
-
-
1000 0,3891652
-
Angewandte Zahlen.
§• 49.
222
2.
Beispiel.
= 1,287354 0,0867946 100
= 0,001287354 0,0867946
= 0,001287354[^ + 4- + f + f + f +
1,287354 0,000867946
•
•
:
•
3.
Zusatz.
...].
1. Verfahren kann man
auch von der nächstniedern run-
Nach dem vorstehenden
bei mehrstelligen Multiplicatoren
den Zahl ausgehen.
1.
Es
Beispiel.
beliebige Zahlen
seien
tiplicieren.
Man denke sich 519^
Da nun 500: 19|, d.
= 500 +
i.
mit 519^ zu mul-
19|.
(mit 9 erweitert)
=
4500:178
30
5340
4500:840, dafür (durch 10-6 gekürzt):
75:14
6
\
=
8^
75:9
81
= 13
75:6
78
75:3
so
ist
a-519^
=9
=
25,
D
E^
B
C
= ar500 + — + -g--l--ö+^
+ 25
Anwendung.
A
.
.
.
,
0,4317623-519^;
0,4317623- 500
=
215,88115 :30
7,196038 :6
1,199340 :9
0,133260:13
10251 :25
410
= 224,420449.
=
Beispiel, a- 63
«-(60 +
=
ö-63 =
Da nun 60:3 20, so
2.
3).
ist
§.
49.
<
60
+ ^1.
20
Angewandte Zahlen.
Um
1.
Brüche und zu grofse Zahlen zu vermeiden, hat man
einen gewissen Teil oder ein Vielfaches einer Mafseinheit als neue
Einheit aufgefafst und derselben besondere Namen gegeben.
i
§.
49.
Angewandte Zahlen.
223
= 60 Minuten.
1 Stunde
Die Anzahl der Teile,
Beispiel.
welche ein Mafs zerlegt ist, hier 60,
früher vorherrschende
DuodecimalsYstem (1 Groschen
Pfennige,
Dutzend
12
Stück) ist in neuerer Zeit fast durchgängig vom Decimalsystem
verdrängt worden (1 ]\lark == 100 Pfennige). Bei letztcrem ist meist
die französische (dem Griechischen und Lateinischen entlehnte) Benennungsweise eingeführt, die für das lOfache: deka, lOOfache: hekto,
lOOOfache: kilo, lOOOOfache: myria, für den 10. Teil: deci, 100. Teil:
heifst
in
Reduktionszahl (Währungszahl). Das
=12
centi, 1000. Teil: milli setzt.
So
ist z.
=
1
B. die Einheit des Längenmafses
„der Meter", daher eine Länge von 1000 Metern Kilometer, der
100. Teil des Meters
Centimeter.
Für die meisten Mafse sind besondere Abkürzungen eingeführt, z. B. Meter
m, Centimeter
cm.
In Bezug auf den Gebrauch der Abkürzungen und der zugehörigen Zahlen sind in Deutschland folgende Verfügungen er:
:
=
=
worden:
Die Tausende sind nicht durch ein Komma zu bezeichnen,
dafür aber ein Zwischenraum zwischen den Hunderten und Tausenden, zwischen den Hunderttausenden und Millionen u. s. w. zu
53 716 214 Einwohner.
lassen.
Z. B.
lassen
L
:
II.
Als Decimalzeichen
ist
nur das
Die Abkürzungen sind
Komma
zu benutzen.
am
Schlüsse der Zahlen, also
nicht über das Decimalzeichen, ferner nicht erhöht, sondern in
dieselbe Zeile und endlich ohne Schlufspunkt zu setzen. Es mufs
betrug die Länge" und nicht 7,3 m. oder
also heifsen: „7,3
III.
m
7,3™ oder
IV.
7,'"3.
Bei Decimaleinteilung soll in der Regel das Hauptmafs
werden. Daher nicht 5 m 7,2 cm, sondern 5,072 m.
allein bezeichnet
Der Astronom setzt jedoch die x4bkürzungen für die Zeitund Winkelgröfsen über das Decimalzeichen. Z. B.: 25° 4' 7,' 6
(25 Grad 4 Min. 7^^ See.) oder 7^' 3" 12', 43 (7 Stunden 3 Minuten
I^tVö See). Auch schreibt derselbe stets sämtliche 3 Mafse, setzt
daher für irgend einen Winkel nicht 4' 5", sondern 0^4' 5", nicht
7
7'0™13\
Einteilung der Mafse.
13*> sondern
2.
Im Nachstehenden bedeuten die zwischen je 2 Mafsen stehenden Zahlen die Reduktionszahlen. In ( ) stehen die gebräuchlichen
Abkürzungen für das vorausgehende Mafs, in [ ] die Gröfse des
Mafses verglichen mit andern Mafsen.
I.
Zähl mafse (Stückmafse).
Gros (oder Grofs) 12 Dutzend 12 Stück (St.).
Schock 4 Mandeln 15 Stück. 1 Bauernmandel
Ballen 10 Ries 20
Buch
{
l^
= 16 Stück.
Schreibpapier,
^! ^^S^"
2o
„
Druckpapier.
224
§•
II.
Angewandte Zahlen.
^^'
Längenmafse.
dieselben ist in Deutschland, Frankreich
38,234394
w. der Meter [= 443,296 alte pariser Linien
frühere preufs. Zoll =42,374378 frühere sächs. Zoll]. Dieses Mafs
wurde Ende vorigen Jahrhunderts in Frankreich eingeführt und
sollte der lOmillionte Teil des Erdquadrant (der auf der Erdoberfläche vom Pol bis zum Äquator gezogenen Meridianlinie) sein.
Neueren Messungen zufolge ist jedoch der Erdquadrant
10 000 857,44 Meter.
Die Einheit für
u.
=
s.
=
Die Längenmafse Deutschlands.
Kilometer (=km) 1000 Meter oder Stab (=m) 100 Centimeter
oder Neuzoll (=cm) 10 Millimeter oder Strich (=mm). 1 DeciMeter.
raeter (=dm) oder Kette
Die geographische oder deutsche Meile ist der 5400. Teil des
7420,4407 m.
Erdäquators
Die Seemeile (für alle Nationen)«^= 1854,965
(nahe :^ geogr.
=10
=
m
Meile).
in Preufsen:
1 Fufs
[= 31,38535 cm] 12 Zoll
Elle [= 0,66694m]
Zoll.
Früher in Sachsen: 1 Elle 2 Fufs [= 28,319 cm] 12 Zoll.
5 Ruten 6 Fufs 7 Zoll 8 Linien kürzte man mit 5<'6'7"8"' ab.
Frankreich. Meter mit seinen Ober- und Unterabteilungen.
Früher: Toise 6 pariser Fufs [= 32,48394 cm] 12 Zoll 12 Linien.
Früher
12 Linien.
=2^
1
Lieue =4451,9 m.
England.
Yard
III.
[=30,47945 cm]
=1609,315 m.
3 Fufs
lische oder britische Meile
12 Zoll.
Die eng-
Flächenmafse.
Die Einheit
ist in
Deutschland, Frankreich
eine quadratische Fläche
von 10
m
u.
s.
Länge und 10
m
w. das „Ar",
Breite.
Deutschland.
Quadratkilometer (= qkm oder Qkm) 100 Hektar (= ha)
Ar (=a) 100 Quadratmeter (=qm oder Dm) 10000 Quadratcentimeter (= qcm oder Dem) 100 Quadratmilhmeter (= qmm
100
oder Dtöm).
Winkel- und Bogenmafse.
Der Kreis wird in 360 Grade (*^) 60 Minuten (') 60 Sekunden
eingeteilt.
Der volle Winkel =360*^, der gestreckte Winkel
IV.
(")
= 180»,
der rechte Winkel
=90o.
V. Körpermafse.
Einheiten: Kubikmeter, d.i. ein Würfel von 1 Meter Länge,
Meter Breite und 1 Meter Höhe, und Liter, d.i. ein Würfel
von 10 cm Länge, Breite und Höhe.
1
Deutschland.
Kubikmeter
(= cbm od. Qlm)
1000 Kubikmillimeter
(=cmm).
1000000 Kubikcentimeter (= ccm)
49.
§.
Angewandte Zahlen.
Hektoliter oder Fafs (=hl) lOO Liter oder
kannen (=1) 2 Schoppen.
1
Scheffel (Neuscheffel)
VI.
= 50
226
Kannen oder Neu-
Liter.
Gewichte.
ist das Gramm,
das Gewicht eines Kubikcentimeters Wasser bei -}- 4 Celsius, daher 1 Kilogramm das Gewicht
eines Liters Wasser.
Die Einheit
<>
Deutschland.
Tonne (=t) 1000 Kilogramm (Kilo
kg oderk«) 1000 Gramm
(^g) 1000 Milligramm (=mg).
Noch gebräuchlich 1 Centner (= Ctr.) 50 Kilogramm 2 Pfund
(=/^) 500 Gramm.
Ursprünglich war noch vorgeschlagen: Dekagramm (=dg)
=
:
Gramm 100 Centigramm {= cg).
Probiergewicht. Der Feingehalt der Gold- und Silberwaren, der Gold- und Silbermünzen wird nach Tausendteln bestimmt. Eine Goldmünze z. B., deren Feingehalt (Korn) 0,750
oder Neulot 10
beträgt, enthält bei 1 Gramm Metalllegierung (1 Gramm llauhgewicht, Bruttogewicht, Schrot): 0,750 Gramm (Nettogewicht, Korn)
Gold und 0,250 Gramm Zusatz (gewöhnlich Kupfer).
VII.
i\I
Unzen.
Deutschland. ^Nlark (-=.//) 100 Pfennige (= Pf. oder^J).
Die Gold- und Silbermünzen sind -j^ fein (s. oben Probiergewicht).
Geprägt werden:
Gold: 20. //stücke (Doppelkronen) von 1,5mm Dicke und
22,56 mm Durchmesser. 62,775 Stück gehen auf
1 Pfund.
lOy^ stücke (Kronen) von 1,1mm Dicke und 19,5 mm
Durchmesser. 125,55 Stück auf 1 Pfund.
5^ stücke (halbe Kronen) von 17 mm Durchmesser.
in Silber: 5 „
18 wiegen 1 Pfund;
„
4o
^ «
1
„
„
V
1 „
90
1
„
„
„
50 Pfennigstücke; 180 wiegen 1 Pfund;
20
450
„
„
„
in Nickel (bestehend aus f Nickel, :^ Kupfer):
1
Pfennigstücke 125 wüegen 1 Pfund.
200
1
5
„
„
„
„
in Kupfer {^ Kupfer, ^'^ Zinn, y^^ Zink):
2 Pfennigstücke; 150 wiegen 1 Pfund.
^
250
1
1
„
„
„
„
in
..1
;
1
Österreich. Gulden (=fl.) 100 Kreuzer (Neukreuzer
Gulden
2 deutsche Mark.
=
Scharig, Lehrbuch
der Arithmetik.
I.Teil.
15
=
Xr.).
226
§•
Frankreich
1
Franc
^^-
Angewandte Zahlen.
(Belgien, Italien u.
= 80 deutsche Pfennige.
s.
w.).
Franc 100 Centimes.
England. Pfund Sterling (als Goldstück: Sovereign, =^)
20 Schillinge (s oder sh) 12 Pence (Einheit Penny, =d). 1 Pfund
Sterhng
20,3 bis 20,43 J^
1,7 Jl.
Niederlande. Gulden 100 Cents. 1 Gulden
4,15 bis 4,25^/
Nordamerika. Dollar 100 Cents. 1 Dollar
:
=
=
=
Zeitmafse.
Jahr (s. u.) 365 Tage (= Tg. oder d) 24 Stunden (= St. oder
h) 60 Minuten C^) 60 Sekunden («). Die Stunde hat also 60 Zeitminuten, der Grad 60 Bogenminuten.
7 Tage.
Monate oder nahezu 52
1 Woche
1 Jahr
Semester.
5 Jahre
Quartal.
Wochen. ^ Jahr
^ Jahr
Jahrhundert
Lustrum. 10 Jahre
Decennium. 100 Jahre
Säculum.
Das 19. Jahrhundert beginnt am l. Januar 1801 und endigt
VIII.
=
=12
=
=
=
=
=
=
dem
31. Dezember 1900.
Die bürgerliche Zeitrechnung beginnt den Tag Nachts 12 Uhr,
der Astronom jedoch 12 Stunden später. Es ist daher 25. Dez.
mit
Uhr bürgerlich so viel als 24. Dez. 16 Uhr astronomisch.
Unser Jahr richtet sich nach den Jahreszeiten, ist also das
sogenannte tropische Jahr. Die Länge desselben schwankt innerhalb Jahrtausenden zwischen 365*15^48 '"9«, 8 und 365'i5M9'"24%8,
beträgt im Jahre 1884: 365'^5^48™47%31 und nimmt jetzt jährlich
früh 4
um
0^,00595 ab. Wegen des Rückschreitens des Frühlingspunktes
dieses tropische Jahr kleiner als die wahre (siderische) UmlaufsIm
zeit der Erde
die Sonne, die 365«^ 6^ 9«» 10%75 beträgt.
ist
um
Jahre 45 vor Chr. Geb. gab Julius Cäsar dadurch dem (tropischen)
Jahre die nahezu entsprechende Länge von 365^ Tagen, dafs er
auf je 3 gemeine Jahre von 365 Tagen ein Schaltjahr von 366
Tagen folgen hefs. Dieser sogenannte julianische Kalender oder
Kalender alten Styls ist noch immer in Rufsland, Griechenland
und Rumänien in Gebrauch. Da man bei der Berechnung des
Osterfestes annimmt, dafs der Anfang des Frühlings auf den
21. März fällt, das julianische Jahr von 365^ Tagen aber etwas
gröfser als das tropische ist, so mufste sich der Anfang des Frühlings immer mehr vom 21. März entfernen und fiel im 16. Jahrhundert schon auf den 11. März. Papst Gregor XIII beseitigte
diesen Übelstand durch seine Kalenderreform im Jahre 1582. Er
liefs auf den 4. Oktober dieses Jahres sofort den 15. Oktober folgen
und verordnete, dafs zwar jedes Jahr, dessen Zahl durch 4 teilbar
sei, w^ie bisher ein Schaltjahr, jedoch die durch 100 teilbaren Jahre
(z. B. 1700, 1800, 1900, 2100) gemeine Jahre, und die durch 400
teilbaren Jahre (z. B. 2000) wieder Schaltjahre sein sollten.
Hierdurch ist zwar die Länge des tropischen Jahres ziemUch erreicht,
M
—
\
§.
Angewandte Zahlen.
49.
227
immer um so viel zu grofs, dafs in noch nicht ganz
Jahren wieder ein Tag weggelassen werden müfste.
Dieser „gregorianische" Kalender oder „Kalender neuen Styls"
jetzt in der ganzen civilisierten Welt im Gebrauch.
aber noch
-lOüO
ist
Berechnung des gregorianischen Osterfestes
fl
a
hr
man
Bezeichnet
z.
B.
für das
n.
/
t8S4
[
-7
— j"^^^»
mit () den bei der Divison erhaltenen Rest,
3827
\
I
)
— = 3;
/
(
J^^it
dem Quotient
[] die in
ent-
"1
tl885 h^l8,
man
hat
so
der Reihe
nach folgende Reste und Quotienten zu berechnen:
LtJ
= "'
30
[
)
+ r^^
19a
30
Alsdann
=
''
[
7
V
'
im Jahre n das Osterfest auf den
9'«" April.
d-^ ßt«^» März oder d
e
-\-
+ —
1) Statt des 26. April
d
den
Man
""'
fällt
22
= 2S, = Q
e
ist stets
Ausnahmen
(
^
statt:
der 19. zu nehmen.
^
^
und
25. April der 18.
Resol vieren.
3.
=
f2b-^Ac-}-Qd-{-?v
/
Hierbei finden jedoch die folgenden 2
2) Ist
)
7
< 19,
"[" ^
so
ist
stets für
zu nehmen,
Verwandeln der Mafse
in untergeordnete.
multipliciert mit der Reduktionszahl.
= Sekunden?
= 24-60 Min. = 24 60 60 oder 86400 See,
80 sind 174 Tage = 174 -86400 = 1518 171^ Sek.
Beispiel.
17| Tage = Tg. Min. Sek.?
=
Es
174 Tg. = 17 Tge. -f 4 Tg. = 17 Tge. + 4 24
= 17 Tge. + 13 + 4 60 Min. =
17 Tge. + 13^
17 Tge. + 13
+ 424 Min.= 17 Tge. + 13 + 42 Min.
+ 4-60 Sek. = 17M3M2'"514».
Sek. = Sek.
39 Min.
Beispiel. 5 Tge. 14
=
5-24
5 Tge.
= 120
14
add.
= 134 = 134-60 Min.
= 8040 Min.
1.
Da
Beispiel.
1
Tag
= 24
174 Tage
St.
•
•
2.
ist
-
St.
St.
-
St.
St.
St.
3.
12,3
St.
St.
„
St.
15*
St.
228
§•
^^-
Angewandte Zahlen.
= 8040 Min.
39
add.
= 8079 Mi = 8079 60 Sek.
= 484740 Sek.
add.
= 484752,3 Sek.
(wiederholt)
„
n.
•
12,3
Reducieren.
4.
Man
dividiert
1.
„
Verwandeln der Mafse
in
übergeordnete.
durch die Reduktionszahl.
= Tge. Min. Sek.?
= 47123
60 Min.
= 47123 /6,3:6
28, G,5)
= 7853 Min. 56,3 Sek.
7853 Min. = 7853 60
= 785 f3:60
= 130 53 Min.
= 130 24 Tge. = 5 Tage
130
Beispiel.
471236,3 Sek.
St.
47 1 236,3 Sek.
6,3
:
(s. §.
:
St.
St.
St.
:
120
10
Daher
2.
=
5 Tge. 10 St. 53 Min. 56,3 Sek.
Beispiel.
Da
1
St.
471236,3 Sek.
=
Tg.
86400 Sek.
471236,3 Sek.
(s.
= Tge.?
3,
l.Beisp.), so sind
= 471236,3:86400 Tge.
= 4712,363:864 = 5,4541 Tge.
4320
3923
3456
4676
4320
3563
3456
1070
5.
Nur
Addieren mit ungleichbenannten Zahlen.
Gleichartiges kann addiert werden, daher auch nur gleiche
Mafse.
Beispiel.
7592,7273 Min.
d.
+ 37,4692 Tge. + 193 Tge. 14
i.
5 Tge.
37
193
„
„
236 Tge.
St. 3
Min. 46,67 Sek.=?
6 St. 32 Min. 43,64 Sek.
11 „ 15
38,88
„
„
14 „
3 „
46,67 „
7 St. 52 Min.
9,19 Sek.
Angewandte
§. 49.
Ziihlen.
229
Die {lurch die Addition orlialtcnen 129 Sek. sind in 2 Min.
9 Sek. zu verwandeln und die 2 Min. zu den 82-|-15-|-3 Min. zu
addieren.
Zeitrechnung. Addieren bei derselben.
nur Gleichartiges addiert werden darf, so kann auch nicht
laufende Zeit (d.
durch Ordnungszahlen ausgedrückte Zeit, z. B.
1848 den 2U. MUrz) und verHossene Zeit (z. B. 23 Jahre 10 Mon.
5 Tage) addiert oder subtrahiert werden.
Daher sind alle Zeitangaben in verflossene Zeit zu verwandeln. Um 1848 den 20. März
6.
Da
i.
zu verwandeln, hat man zu berücksichtigen, dafs
1847 volle Jahre verflossen sind, wenn man 1848 schreibt, dafs
in verflossene Zeit
Monate verflossen sind, wenn man „März" schreibt, und
Tage verflossen sind, wenn man den 20. schreibt. Fol"-lich ist die verlangte verflossene Zeit
1847 Jahre 2 Mon. 19 Tage.
Umgekehrt würde 1859 Jahre 11 Mon. 3 Tage verflossene Zeit in
das Datum „1860 den 4. Dec.'* zu verwandeln sein.
Beispiel. A ist 1829 den 19. Juli geboren und 52 Jahre
9 Mon. 23 Tage alt geworden.
Wann starb er?
1. übliche Berechnungsweise:
Zu addieren: 1828 Jahre 6 Mon. 18 Tage ]
volle 2
19 volle
=
•
52
9
„
„
23
verflossene
„
1881 Jahre 4 Mon. 10 Tage
J
Mai 1882.
man zunächst 6 Mon. 18 Tage
d.i.
den
11.
=
-\- 23 Tage
Hier hatte
6 Mon.
-{-41 Tage zu addieren. Da hier aber zu den 6 verflossenen Monaten 1 ganzer Monat, also der 7. (Juli) zu addieren ist, der 31
Tage hat, so sind jene 41 Tage=l Mon. 10 Tage, folghch 6 Mon.
23 Tge. (s. Aufgabe)
7 Mon. 10 Tge. verflossene Zeit,
18 Tge.
wozu nun erst die 9 Mon. der untern Zeile zu addieren sind.
=
+
übliche Berechnungsweise.
2.
Da man vom
18. Mai bis 18. Juni, oder vom 18. Juni bis
w. 1 Monat rechnet, so addiert man zunächst zu
1881 Jahre 3 Mon.
1828 Jahren 6 Mon. 18 Tge.: 52 Jahr 9 Mon.
18 Tge. verflossene Zeit, d. i. 1882 den 19. April.
Hierzu sind nun
noch die 23 Tage (der unteren Zeile) zu addieren
1882 den
42. April oder (30 Tage subtrahiert, weil der April 30 Tage hat)
18. Juli
u.
s.
=
=
= 1882
7,
1.
den
12.
Mai.
Subtraktion mit ungleichbenannten Zahlen.
Beispiel.
GO
24
27 -Tge.
^St.
27
9
= 17
„
13
Tge. 14
_7-t Min.
fi6
„
St.
48H
.
IS^M m.
Hier
1
Angewandte Zahlen.
§• 4^-
230
Tg.
ist
= 24
Min.
1
St.
= -^ Min.,
dann
60
24.
163. Tge.
89
.,
= 73 Tge.
Hier mufste 1 Tg. =- 24
60 Min. geborgt Averden.
8.
zuletzt
geborgt worden.
Beispiel.
2.
= 60 Min. und
1 St.
—
St.
—
Min.
21
„
38^
„
2 St. 21f Min.
dann von den 24
St.,
Subtraktion bei Zeitrechnung.
Beispiel.
9 jNlon. 24 Tagen.
1.
iV^.
am
starb
Wann
war
St.
(Vergl. den
:
1 St.
6.
=
Satz).
April 1846 im Alter von 28 J.
16.
er geboren?
46
14
1845. Jahr 3.Mon. 15 Tge.
28 „
9
„
24 ..
verflossene
Zeit,
1816 Jahr 5 Mon. 22 Tge.
d.
Hier wurde
März
den
23.
Juni 1817.
= 31 Tage
geborgt,
weil es der
Monat
war.
2.
den
i.
Mon.
1
4.
Beispiel.
Juni 1873.
S.
wurde den
19.
Okt. 1799 geboren und starb
Wie alt wurde er?
Verfahren. Von 1799 den 19.
Okt. bis 1800 den 19. Mai
Mai bis 1873 den 19. Mai:
vom 19. Mai bis (31+4.
73 Jahre, vom 19. Mai bis 4. Juni, d.
oder) 35. Mai 16 Tage. Daher 73 Jahr 7 Mon. 16 Tge.
Von 1799 den 19 Okt. bis 1872 den 19. Okt.
2. Verfahren.
1.
sind es 7 Monate,
von 1800 den
19.
i.
:
= 73 Jahre.
= 13 Tage.
Vom
19.
Okt. bis
Hierzu für
Nov. Dec. Jan.
30
Febr.
1.
Nov. oder
+ 31+31+28 +
März
April
31
30
=
und vom 1. Juni bis 4. Juni
3 Tage.
73 Jahre und 13
212
Daher
+
oder
9.
19.
+
Okt. bis 32. Okt.
+
Mai
31
Tage
+ 3 Tage
73 Jahre 228 Tage.
Multiplication und Division mit ungleichbenann-
ten Zahlen.
Bei kleineren Multiplicatoren und Divisoren, deren
geläufig ist, behält man die einander untergeordneten
ten ungleichbenannten
Mafse bei.
—
1.
=212
Beispiel.
31 St. 14 Min. 25f See.
187 St. 26 Min. 31^ Sek.
•
1 bis
6
Hier begann/°man mit
2 Min. 31 i Sek.
25| Sek. -6
151^ Sek.
und addierte die 2 Min. zu dem Produkte 14 Min. -6 u.
=
9fache8
— sogenann-
=
s.
w.
-
§.
2.
Beispiel.
Angewandte Zahlen.
49.
44 Tgc. 13
48,3 Min.: 7
St.
Gl
6 Tge.
Zuerst 44 Tge.
:
7
231
318.3
8 St. 49,8 Min.
= 6 Tge. +
^^^^
^
Die Aufgabe daher
.
gedacht:
(42 Tge.
+ 2 Tge. +
13
St.
.
.
.)
:
= 6 Tge. + 8
7= (42Tge. +
6lSt.
+
St.
+
.
.
.):7
Hieraus folgt, dafs der Rest stets in das nächstniedere Mafs
zu verwandeln ist, um dann die nun vorhandenen Einheiten dieses
letzteren Mafses zu dividieren.
3.
Beispiel.
4 Tge. 23 St. 17| Min.:
Daher
1^=4
Tge. 23
St.
4 Tge. 23
St.
17|
Min. 7
34 Tge. 19
St.
3|
Min. :9
423
187
== 3 Tge. 20
17| Min.-^.
St.
47^V Min.
Bei Divisionen durch mehrstellige Divisoren behält man gleichdie ungleichbenannten Mafse bei, wenn keine Multiplication
mit mehrstelligen Zahlen damit verbunden ist.
falls
4.
Beispiel.
Welches
ist
der
294p
= 34567 .Ä 89 ^
:
von 34567
Teil
294|
34567^89 ^-
J'^
89
= 34567 c^ 89 ^
8
276543 y^ 12 ^j: 2357
2357
=
^?
•
-^^
;
232
^^-
§•
5.
Angewandte Zahlen.
29 Tge. 12
Beispiel.
= 29
12 „
„
44,73 Min.
St.
44,73
„
.-^;
daher
83
42524,73 Min.
•
567
21262 365
2551483 8
297 673
241 1
166
1
11
521,91 Min. 83
:
= 290500,26 Min.
751
747
415
415
.
219
166
.
531
= 4841 40,26 Min.
28, G,5)
= 201 Tge. 17 40,26 Min.
St.
(s. §.
St.
6.
Beispiel.
Nachstehende Aufgabe rechnete Dase in 26 Se-
^ 338^
240
= 2600 ^ gj^iY
= 624000 ^ 81217 == ^ 204|f^H ^
568519
kunden im Kopfe.
2600
:
c^nr.^
.
7
:
55481-300
16644300 ^j U.S.W.
7. Beispiel.
391 J^ wurden unter eine Anzahl
Jeder erhielt 85 ^. Wie \ie\ Arme waren es?
391 y^: 85
Arme
verteilt.
^=?
Nach §. 12e können nur gleichbenannte Gröfsen durch einander dividiert werden. Daher:
s. §. 12,5.
460 (unbenannte Zahl
39100 ^ 85 ^
Es ist 85 ..j in 39100 ^ 460mal
340
enthalten!)
510
510
:
=
Die Anzalil der Armen ist
517 Tge. 11^
8. Beispiel.
517-24
—
also 460.
St.
:
31 Min. 17^ Sek.
1034
206S
IH
124191
St.
-
3600 (da
1
St.
= 60-60 Sek.)
l24l9iSt. -3600
10284
37257
74514
447094284
Sek.-
:
233
Proportionalität.
§. 50.
(wiederholt)
1877J Sek.
=.447094284-^
(.9
4023848571 16900
4023848/571
338
(s. §.
:
=
:
169
28,
G,
5)
= 23809^^^^.
643
507
1368
1352
1648
1521
89300
7-16900
127574:16900
Es
ist
Min. 17^ Sek.
also 31
893
893
7-169
1183
517 Tgn. ll^St. 23809Wy7mal
in
enthalten.
8.
94 Tge. 7 St. 43 Min. 37,9 Sek.
8149417,9 Sek. 21,22573
Beispiel.
0,2122573
in
=
-
21,22573
-
Teilbrüche verwandelt
B
= -^6 H- -rA4 -r TT
-r
\
^
.
'
'
C
,
11
'
30
135823631,7
33965907,9
3086900,7
102896,7
7915,1
79,2
:
11
:
30
:
:
.
'
E
100
6
4
:
:
13
'
814941790 Sek.
Daher:
D
.
-^
13
100
172977331,3 Sek.
= 2002 Tge.
§.
Anwendung
50.
1 St.
15 Min. 31,3 Sek.
Proportionalität.
des Bisherigen auf Lösung von^ Aufgaben.
Bewirkt die Änderung einer Gröfse die Änderung einer
1,
zweiten, so ist die eine abhängig von der andern.
So ist z. B.
der Preis einer Ware abhängig von dem Gewichte derselben.
:
234
§•
^^-
Proportionalität.
Bewirkt das Gröfser- (oder Kleiner-) Averden einer Grölse,
2.
dafs eine andere von ihr abhängige Gröfse eben so vielmal so grofs
(oder so klein) wird, so ist die zweite der erstem proportional.
Der Preis einer Ware ist gewöhnlich ihrem Gewichte proportional.
3
^
Ware
einer
kosten 3mal so viel als
Ein Arbeiter vollbringt
in 4
Stunden 4mal so
l
^.
viel als in 1
(Die Arbeit ist der Zeit proportional.)
6 Arbeiter vollbringen in derselben Zeit 6mal so
(Die Arbeit ist der Kraft proportional.)
Arbeiter.
3.
(indirekt
Eine Gröfse
ist
als 1
viel
umgekehrt proportional
einer zweiten
wenn
Stunde.
2, 3, 4, 5 ... Mal-so-grofsein 2, 3, 4, 5 ... Mal -so-kl ein- werden der
proportional),
werden der zweiten
das
.
.
erstem bewirkt.
4 Arbeiter brauchen 4 mal so wenig Zeit als 1 Arbeiter. (Die
ist der Kraft umgekehrt proportional.)
1 Person reicht mit demselben Vorrat von Lebensmitteln lOmal
so lange als 10 Personen.
Zeit
4.
Die Falltiefe eines Körpers ist dem Quadrat der Fallzeit
proportional. Ein Körper fällt in 7 Sek. 49 mal so tief als in
1
Sek.
Die Beleuchtung einer Fläche ist dem Quadrat des Lichtabstandes umgekehrt proportional. Ein Geldstück wird 5 Meter
vom Licht entfernt 25mal so schwach beleuchtet, als bei 1 Meter
Entfernung.
Lösung von Aufgaben durch Reduktion auf die
5.
Einheit (Einheitsschlufs).
I.Aufgabe. Für 1 Ji bekommt man 5^ einer Ware. Wie
viel kosten 9 /^ ?
von
Auflösung. 5
Oder:
7 Ji
^
kosten 7 Ji, folghch kostet
1 ^-
den
5.
Teil
7
-^ Ji
1 ^. kostet
5
9
U
kosten aber 9mal so viel
als
Iß,
folglich:
Ji=
9 U. kosten X--"^
\1\Ji
Bei (direkt) proportionalen Gröfsen kann man
Zahlen mit einer gleichen Zahl multiplicieren oder
beide durch dieselbe Zahl dividieren.
Anmerkung.
also stets beide
Beispiele.
5
^
15 „
1
3
kosten 7 Jt\ beide mit 3 mult.
oder beide durch 7
„
„21
;
div.:
1
Zusatz.
Die Berechnungsweise, welche eine Gröfse aus
gegebenen Gröfsen findet, nennt man auch Regel de tri, wie-
I
:
§. 50.
wohl Regel de
portion
2.
'
:
Troportionalität.
235
im engern Sinne die angewandte einfache Pro-
tri
ist.*)
Aufgabe. In 2| Stunden fliefsen
Wie viel Liter in 18^ Mio.?
87^^ Liter "Wasser
aus
einer Röhre.
Auflösung.
In 2^ Stunden fliefsen 87 j Liter.
weniger Zeit auch weniger ausfliefst, so kann
beide Zahlen durch 2f dividieren,
87
In
1 St.
fliefsen -i,-^ Liter; d. i.
Da
in
man
hier
874-
60 Min.
„
„
„
1
„
-^
„
~^l^
„
;
durch 60
Liter; mit 18^ mult.:
87^-184 ^.
^'"'''^
2|.60
175-130-5
2-7- 13-60
3.
Aufgabe.
7^ Monate.
Wie
Auflösung.
§.37)
=
,
^-
.
'•
10t55- Liter.
18 Pferde reichen mit einer Quantität
lange werden damit 20 Pferde reichen?
18 Pferde reichen 7^
Hafer
Mon.
wird oflTenbar 18mal so lange mit derselben QuanHafer reichen als 18 Pferde.
Pferd
1
tität
(s.
div.
Folglich:
Hieraus
1
Pferd reicht 7^- 18 Mon.
Gröfsen immer
folgt, dafs bei indirekt proportionalen
die eine der beiden
Zahlen multipliciert, die andere
dividiert
werden
mufs.
1
Da nun 20 Pferde nur den 20. Teil der Zeit reichen,
Pferd reicht, so hat man
7
20 Pferde reichen
Die gesuchte Gröfse
7^-18
20
4.
füllt
Aufgabe.
werden,
ist
—^—18
—
die
•
'
20
Monate.
also
15-11
2-20
6f Monate.
Ein Gefäfs kann durch 3 Röhren a,
füllt das Gefäfs in 12 Minuten,
a allein
b, c
ge-
b in
15,
Die „Proportion" benutzt zwar gleichfalls die Proportionalität, darf
wie es von der bisherigen unlogischen Mathematik geschehen ist
vor den binomischen Gleichungen (Algebra) gelehrt werden. Denn ob
ilie bedingte Gleichung die Form a-\-b^c
c:x
x u. s. w. oder a:h
hat ist vollkommen gleichgültig. Auch können die Sätze der Proportion
nur mittelst der algebraischen Auflösungssätze streng bewiesen werden.
*)
al)er nicht
—
—
,
=
'
18 Min.
c in
3
Proportionalität.
§• ^^-
236
wenn
In welcher Zeit wird das Gefäfs gefüllt,
alle
Röhren zugleich geöffnet werden?
1
Auflösung,
a
füllt in
1
Minute
J_
K
*
"
h
des Gefäfses,
-rx-
11
11
11
11
n
11
11
11
11
11
18"
"
<
1
^
1
1
Folglich füllen
alle
37
d.
i.
-TTTTT-
3
Röhren
Wenn
des Gefäfses.
180
in
1
"TTTT- fache
~l~
1
~l~ Tc"
TT
10
lo
aber
37
das
Minute tö"
\L
des Gefäfses
in
Min. ^
gefüllt wird, so wird
1
'
180
(mit 180 multipliciert):
das 37fache des Gefäfses in 180 Min. und (durch 37 div.):
Ifache „
d. i. das Gefäfs selbst, in
,,
,
„
^=
1
5.
Wie
N
Aufgabe.
80
4HMin.
gefüllt.
fährt 480 Kilogr. für \^\ Ji-. 15 Meilen weit.
er für XD^M. 12 Meilen weit fahren?
kann
viel Kilogr.
Auflösung:
f
A.
N. fährt 480 Kilogr. für
Kilogramm kann
\^\JL 15 Meilen
er für \l\Ji. 15
weit.
Meilen weit
Wie
viel
(also gleich-
I
[
weit) fahren?
480 Kilogr. für 10^ Ji,
480
Folglich:
"
10^
480-171
1
Man
B.
a
1
weifs nun, dafs
"
11
^''^
11
^-^^.^ Kilogr. für 17^^
Wie viel Kilogramm kann er für
weit fährt.
für dasselbe Geld) 12 Meilen weit fahren?
15Meil
Vl^M.
(also
Ist die vorstehende Frage gelöst, so ist auch die ursprünglich
gegebene Aufgabe gelöst, wie eine Vergleichung derselben mit
dem 2. Teile von B zeigt.
Es werden
also
(s.
B)
^ Kilogr. 15 Meilen weit ge-
^
IO2
fahren.
Ist
die
Entfernung nur
1
Meile,
also
15mal so gering,
man
kann
Daher:
SO
§. 50,
Proportionalität.
für
dasselbe Geld
offenbar
480.17^.15
-~
Bei r2mal so
wenig fahren:
grol'ser
,..,
Kilogr.
1
237
Ifimal
——
man nur 12mal
,..,
Die Lösung der ursprünglichen Aufgabe
= —löri2~=
480.35.15.2
2.21.12
Vorstehende Auflösung
so
Kilogr. 12 Meilen weit.
j
480.17^-15
fahren.
Meile weit.
Entfernung kann
4so.l7|.15
^-
so viel
läfst sich
ist
also:
,,,^m..,
^'^'^'-
=''''
offenbar übersichtlicher
und
kürzer rechnen, wenn man zunächst die Angaben der Aufgabe in
2 Zeilen so anordnet, dafs man die Angaben des ersten, vollständig
bekannten Teiles der Aufgabe in die 1. Zeile, und unter jedes Element das gleichartige des 2., die zu suchende Gröfse enthaltenden
Teiles der Aufgabe setzt.
Hierbei kann man die gesuchte Gröfse
vorläufig mit einem ? bezeichnen.
Mithin
ist
Ordnung:
die
480 Kilogr. 10^ Jl. 15 Min. (I.Teil der Aufgabe)
17Tf
n
„12
„
„
(2.
„
„
)
wie die oben ausgeführte Auflösung zeigte,
ein Bruch, bei welchem der 1. Faktor des Zählers diejenige bekannte Gröfse (4S0 Kilogr.) des I.Teiles der Aufgabe ist, welcher
die zu suchende (mit ? bezeichnete) Gröfse des 2. Teiles gegenüber
steht.
Daher zunächst
Das
Resultat
die
ist,
oresuchte Gröfse
=
'
Kilogr.
'
Durch eine Frage bestimmt man nun, welches von den beiden
gleichartigen, in der Ordnung unter einander stehenden Elementen
in den Zähler und welches in den Nenner kommen mufs.
Frage.
(Ansetzen der Mark).
480 Kilogr. fährt N. für 10^^^;
wie viel
s. A!)?
„
17^ „ (eben soweit
„
„
„
Antwort. Mehr Kilogramm! Mehr Kilogramm erhält man
1.
—
man
aber, Avenn
und durch
Man
Tv/f
2.
c 1 .
-x
fandet
somit
Frage.
480. 17|
——
-r-T
mit der gröfsern Zaiil (17^) multipliciert
Zahl (10^^) dividiert.
die kleinere
480.17^
—
.
„.,
Kilogr.
(Ansetzen der Meilen).
^..,
,..,
ivilogi*.
15 Meilen weit; wie
12 Meilen weit?
,,
.
,
L
I
.
fahrt N., wie so eben berechnet
\iel
Kilogr. (für das
1
worden
gleiche Geld
—
s.
.
X
ist,
B!)
238
Proportionalität.
50.
§•
Mehr Kilogramm, folglich mufs die gröfsere Zahl
(15) multiplicieren, die kleinere (12) dividiei-en.
Antwort.
Die gesuchte Gröfse
480-17I-15
10^-12
mithin
ist
Zu beachten ist, dafs man bei der 1., die Mark ansetzende
Frage, die Meilen gleichgrofs annahm (s. oben A 15 Meilen in
den beiden Teilen!), bei der 2., die Meilen ansetzenden Frage aber
die Mark gleichgrofs annahm (s. oben B: Xl^Ji in den beiden
:
Teilen!).
Aus Vorstehendem
nun
ergiebt sich
als
Regel
für die
Auf-
lösung jeder Aufgabe:
Man ordnet (der Übersicht wegen) zuerst die Angaben der
Aufgabe so, dafs die gleichartigen unter einander zu stehen
kommen. Hierauf setzt man als 1. Faktor des Zählers des
gesuchten Bruches diejenige Gröfse der geordneten Angaben, unterhalb welcher die gesuchte (mit ? bezeichnete)
Gröfse sich befindet.
Von den übrigen unter einander
stehenden ffleichartigen Gröfsen nimmt man nun das I.Paar
heraus und untersucht durch eine Frage, welches von den
beiden Elementen in den Zähler gesetzt werden mufs, wobei
die übrigen gleichartigen Elemente der Ordnung stets
gleichgrofs anzunehmen sind. In gleicher Weise verfahrt man mit jedem folgenden Paare.
Siehe die folgende Aufgabe!
Ein Kanal wird von 1500 Arbeitern in 840
6. Aufgabe.
Tagen 12500 m lang, 6 m tief, 20 m breit gegraben. Wie lange
werden 1750 Arbeiter mit einem andern Kanal zubi'ingen, wenn
sie denselben 14000 m lang, 1\ m tief und ISf m breit graben
wollen und die Bodenhärte bei jenem l^mal so grofs ist, als bei
diesem ?
Auflösung.
Ordnung: 1500 Arb. 840 Tge. 12500 ml. 6mt. 20mbr. 1| Härte
1750
„
?
Die gesuchte Gröfse
14000
„
zunächst
ist
„
1\
18f
„
=
„
1
„
Tge.
1. Frage.
1500 Arbeiter brauchen 840 Tge.; wie viel Tage
1750 Arb. (wenn die Länge dieselbe, die Tiefe dieselbe u. s. w.)?
Antwort: Weniger Tage! Folglich mufs die gröfsere Zahl
dividieren,
die kleinere multiplicieren,
suchte Gröfse
2.
Frage.
^
vwi^.
1750Bei
-
und
es ist bis jetzt die ge-
'
'
'
'
Tage.
^
12500m Länge braucht man 840 (richtiger:
m Länge (wenn die
eine gewisse Anzahl) Tage, wie viel bei 14000
Arbeiterzahl dieselbe, die Tiefe dieselbe u.
s.
w.)?
:
Proportionalität.
§. 50.
239
Antwort.
Folglich ist mit 14000 zu multipliINIehr Tage!
und durch 12500 zu dividieren, und es ist bis jetzt die ge840-1500-14000 „
^ ..„
suchte Grofse
1750-1*^500" ^^^ecieren
=
Frage.
Bei 6
Antwort.
Mehr
3.
m
Tiefe eine gewisse Zeit, wie viel bei 7^ra
Tiefe?
Daher mit 7^ zu
Zeit!
multiplicieren
und
zu dividieren.
durch
r.
,
..r
Gesuchte Grofse
4.
Frage.
Bei
=
840-1500-14000-74
1750.12500-6
20m
Breite
„,
^^«^'
wie
eine gewisse Zeit,
viel
bei
18f Breite?
Weniger
Antwort.
..-.
^,
r.
Gesuchte Grofse
,
=
Zeit.
840-1500-14000-74-181 „
^^°"1750. 12500-6-20
Bei 1^ Härte eine gewisse Zeit, wie
5. Frage.
Härte (wenn die Arbeiterzahl dieselbe u. s. w.)?
viel
bei
1
Antwort. AVeniger Zeit.
Daher die durch die Aufgabe gesuchte Grofse:
840-1500-14000-7^-181-1
Tage
1750- 12500-6-20- 1|
840-1500-14000-15-75-6
Tage.
1750-12500-2-4-20-7
Noch gekürzt
(die 4 Nullen im Nenner und die
4 Nullen von 840 und 14000 gestrichen, 14
und 2-7 gestrichen, 175 und 75 durch 25
gekürzt u. s. w.)
= 810 Tage.
Teilung nach gegebenen Verhältniszahlen.
6.
(Gesell-
schaftsrechnung, Kepartitionsrechnung).
1.
%Jl.,
Aufgabe. A, B und C nehmen ein
h M., C Z Ji.
Sie gewinnen Vll^ Ji
Lotterielos,
B
Wie
viel
A
giebt
bekommt
Jeder?
Auflösung.
zusammen 16.^.
8, B b, C ZJi, so bekommen sie
bekommt von je 16./^/4 8, ^5, C
Bekonmit A
Folglich
'6Ji, oder (durch 16 dividiert)
von
—
8
je
1 ^*(:
/f
5
,
^ jg,
von 1720 „:^--^-1720,
Ib
3
^ jg
»
^»l^er
^-^-1720,
16
C^-MI^Jl
16
Proportionalität.
§. 50.
240
1720
Oder A bekommt
1720
B
8,
16
1720
16
B^ 8 +^™
5 + 3
1720
8
C
16
+ 5-i-3
3^,
.5
^'
1720
8
+5+3
Hieraus ergiebt sich folgende Regel:
Um
irgend einen Anteil der Summe zu erhalten, dividiert
die zu teilende Summe durch die Summe der gegebenen Verhältniszahlen und multipliciert den Quotient
mit der jenem Anteil entsprechenden Yerhältniszahl.
man
Man
rechnet dies abgekürzt in folgender Weise:
8
5
3_
1720.#:16: = 107^^^
A
„
8
1074-,, .5
C
„
107^,, -3
= 860
J^.
537^
322^
A fährt \\ Meilen, B 2tV Meilen, C \{\ MeiWie viel
haben zusammen 2 Ji 40 J) zu bezahlen.
Aufgabe.
2.
Sie
len.
erhält 107-^^^
B
Jeder?
Bezahlte A das 30fache von \\, so müfste B
C das 30fache von \\\ bezahlen. Hieraus
folgt, dafs man die gegebenen Verhältniszahlen mit einer beliebigen
Zahl multiplicieren kann. Würde aber A den 7. Teil von 4^ zu
bezahlen haben, so müfsten auch B und C den 7. Teil von 2^^^^,
Hieraus folgt, dafs man die Verhältniszahlen
bezahlen.
resp.
auch durch eine beliebige Zahl dividieren kann. Man %\nrd also
die Verhältniszahlen, um sie in die kleinsten ganzen Zahlen zu
verwandeln, mit dem Generalnenner multiplicieren, wenn sie gebrochen sein sollten, und durch das gemeinsame Mafs dividieren,
Auflösung.
das 30fache von
2^1^,
1^
wenn
sie ein solches
(>
1)
enthalten.
Anstatt 4^, l-i^, Ijf wird man (mit 30 multipliciert)
setzen:
126, 63, 56 und dafür (durch 7 dividiert).
18,
9,
8.
Die abgekürzte Rechnung
ist
•30
4|
daher folgende:
:7
18
9
Proportionalität.
§. 50.
A
giebt daher G^ ^j
ß
C
Aufgabe.
3.
6^
D und C
A,
2
-- davon und 300
kam
Wie
1650»//
.
„
•
18=
9=
8=
^
123^
61f„
54f
..
teilen sich in eine
B^
3
c///,
A
Summe.
davon und 200^/
A und B und
erhielten
viel
•
G^„
„
„
241
C
be-
erhielt
wie grofs war die
Summe ?
Auflösung.
T
welcher
müfste
Teilten
sich
und
-^ und aufserdem 100 y/,
100^//
offenbar
was an der Einheit
+ 700.//
P
in
Summe, von
eine
9
aber 700
d.h. das sein,
ist
_ 47
~
90'
10
3
"^
Mithin mufs
1650
= 2150.//
(Durch
50
Teil der Summe = —^ JL, (mit 90
= j^—- = 4500.^
Summe
sein.
Der 90
A
div.:)
multipl.)
selbst
erhielt also -|-
B
N
Aufgabe.
hatte bestimmt,
1
dafs
C -— und 600.//,
5
•
4500
-^.4500
„
hinterliefs
A —
1
B
1
-r-
+ 300= 1300^/
+ 200=1550
seinen
davon und
,,
4 Söhnen
400^, B
und 700.// bekommen
16200 ^Z und
—
1
und 500.//,
Wieviel
sollten.
b
erhielt
Jeder?
Auf
dem
43
21
^«
die
4.
so
1
Summe =300 + 200 +
der zu teilenden
.// erhielten,
das fehlende -^,
43
an der Einheit -^.
folglich fehlen
/^
In unserer Aufgabe
fehlt.
2
^
IS
2
1
ö s u n g.
AVollte
man
hier
dem ^
1
-o
•
1
6200
.//
+ 300 ^Z,
1
B —-16200.^ + 400.//
u. s.w.
geben, so würde die
Summe
Summe
16200./// nicht genau aufgehen, folglich ist zuerst dem A die
von 400.//, ^500.//, C600.//, B 700.// zu geben, der Rest von
Sc hur ig, Lehrbuch der Arithmetik.
I.Teil.
16
:
242
§.
16200
— 400
hältniszahlen
Daher
-500- 600
1
1
3'
4'
i'
50.
Proportionalität.
— 700 = 14000./^
I
zuteilen.
aber nach den Ver-
Proportionalität.
50.
§.
243
tiplication gegebener Zahlen, so nennt man diese Rechnung: „Zusammengesetzte Gesellschaftsrechnung'*.
7.
1.
Mi schungs aufgaben.
Aufgabe. A will aus 3
eine Sorte
Sorten Spiritus durch Mischung
er hierzu 7 Liter ä 65 ^,
11 Liter a 80 ^j.
Wie viel kostet 1 Liter der
und zwar nimmt
herstellen,
5 Liter a 72 ^j,
Mischung?
Auflösung.
Jene
„
„
Liter kosten 7 •65
7
5
11
„
„
.,
„
5-72
11-80
= 455
= 360
= 880
Die 23 Liter kosten daher 1695
1
2.
300
B
Aufgabe.
Wie
^j.
^f, folglich
Wein, das Liter zu 220 und
von jeder Sorte, um eine Mischung
Liter 250 4 kostet?
besitzt 2 Sorten
von welcher
herzustellen,
„
„
=i|p = 73M-l,
Liter
nimmt
viel
.<|
er
1
Auflösung.
Jedes Liter der ersten Sorte kostet 30 ^ zu
wenig, jedes Liter der 2, Sorte 50 ^ zu viel. Nimmt man daher
von der 1. Sorte 50 Liter, von der 2. Sorte 30 Liter, so würde jene
Sorte 30 50 x*| weniger als die gesuchte Sorte und letztere 50 30 ^,
also gleichviel mehr als die gesuchte Sorte kosten und mithin
würde durch Vereinigung beider Quantitäten das Zuwenig mit dem
•
•
Man
Zuviel aussceglichen sein.
rechnet daher:
:10
220
30 zu wenig
50 Liter
250
50
zu
Sorte
(zu
300
Von
5 Liter
oder
der
1.
30 Liter
viel
220
3 Liter.
^J) sind also 5 Liter,
von der
2.
3 Liter zu nehmen.
Probe:
5 Liter ii 2,2
o
a o
n
Jl.^ IUI.
„
=
y „
8 Liter kosten daher 20 J^,
1
Benutzt
man
Liter
= 2^ JL
folglich
welche das für die Einheit
Quantität für die schlechtere Sorte,
und die Differenz, welche das Zuwenig angiebt, als Quantität für
die bessere Sorte, so müssen diese Quantitäten (oder auch beliebige
Vielfache oder Teile derselben) die gesuchten sein.
also
die Differenz,
berechnete Zuviel angiebt,
als
Bei mehreren Sorten (s. folgende Aufg.) würde man gleichdarauf zu sehen haben, dafs die Produkte auf der einen
Seite so grofs als auf der andern Averden.
falls
16»
244
50.
§.
3.
Aufgabe.
22f und 2diJ/.
herstellen.
Wie
20
21i
A
Er
Proportionalität.
hat 4 Sorten Mehl, den Centner zu 20, 21-|-,
will durch Mischung eine Sorte zu 22^ J£
viel Centner nimmt er von jeder Sorte?
2^ zu wenig
4
"
"
zu
viel
[—
22i22f
2
23i
ü
20
Beispiel.
IS
zu wenig
7
22
,
Proportionalität.
50.
§.
3
^
beliebig 4
„
..
245
?
25
Xun
5 ^ viel
beliebig 9 U angenommen,
30
7-4-+-3mal eine unbekannte Zahl eben so grofs als
soll
5 '9 sein, d.
i.
2SH-3mal
=45.
eine unbekannte Zahl
=17
=5^
Folglich das 3fache der unbekannten Zahl
9
ff-
von der
8.
3.
S,
(§.
und die unbekannte Zahl selbst
Man nimmt also 4 ft von der etsten Sorte,
it.
Zus.)
1,
(12,
1,
Zus.)
von der
ö-j it
2.,
Sorte.
Procentrechnungen.
man
an, wie viel Einheiten einer Gröfse
andern Gröfse gehören und nennt jene:
Procente (oder Percente), abgekürzt mit oI.
Zuweilen giebt
zu 100 Einheiten einer
^^
Beispiel. -V hat 4600U ./i;^ hinterlassen, wovon
Procent) bekommen soll. Wie viel beträgt dies?
Auflösung. Da S^^o
bekommen soll, so bekommt
von
und
100
er (durch
1 c//
:
.
S|*^o (Sy
dafs./vonje 100./Z:S|.Ä
bedeutet,
je
^
.
.
dividiert)
Jl.
100
(mit 46000 multipliciert)
-^
von 46000
c//
,^-.
A^ ubekommt
:
.,
Ji
_-„„,
—25-46000— = 3S33|-//
.,
1
1
Si^ 46000
//
also
ö~T7^7i
Die unbenannte Zahl, welche die Anzahl der o angiebt, {^\
vorstehendem Beispiel) nennt man Procentsatz (Procentfufs).
"^
in
II.
Kauft Jemand für 100 Jt.
für IIS./Z wieder, so hat er an 100
beträgt mithin IS^'o-
I.Aufgabe.
Ist die
summe 3920 c// und
so
soll
Waren
:
IS-./Z
Einkaufssumme 3750
der
und verkauft
ein
sie
gewonnen, der Gewinn
^/Z,
die
Verkaufs-
Gewinn nach °o bestimmt werden,
mufs die Einkaufssumme auf 100 gebracht werden. Daher:
Einkaufssumme. Verkaufssumme.
3750 c//
3920 c//
(durch 3750 dividiert)
3920
,.
^
1
r.-.r.
3/o0
Mithin
ist
beträgt 47V
%•
an 100
:
4-i^
...100
(üiit
,
.
.
multiphciert)
gewonnen worden oder der Ge^vinn
246
^-
5-
Es
2. Aufgabe,
kanfssumme 5S1 Frcs.
Proportionalität.
EinkaulssiimiDe 625 Frcs-, die Verder Verlust?
sei die
Wie
viel •/» beträgt
1
Terkaufss.
5S1 Frcs.
Einkaulss.
625 Frcs.
(durch 625 divid.)
5S1
-T^
1
(mit 100
muldpL)
= 92.96.
^5^
b2o
,00
An
100 Frcs. wurden mithin 7,04 Fros. verloren oder der Verbetrug 7,04 •/•-
lust
-V kauft S^^Ctr. für 510./^
Wie teuer muls er
verkaufen, vrenn er 20 *ö gewinnen will?
S.Aufgabe2f
^
Auflösung.
Im Einkaufe
kosten Z\ Ctr.
daher
d.
L
biOJl,
510
:
i
510
KM)
1
tl
:
-
:
510-21
3^-100
Folglich:
fjnkaufss. Verkaufss,
1
510-11-2
«
100
2f
Ä
4.
64
#?
Aufgabe.
fnr 19,i^ 60
—
4-7. 100
liM)
1^^^
—
.
.
51011-2
"_
kostoi also im Einkaufe
~
100
—
(s-
120
.
4 7
Aufgdurch 100 dir.)
510 11 -2
.
,
=
r^:
—^r^- (mit
mnlt.)'
4-7-100
lUU ^
510- 11 -2 «
120
120
iOO
120-510- 11 -2
100-4-7-100
510- 11 -2
"
4-7-100
,
im Yedcanfe
_.-| «
—^^^'^^
35«J
S kauft 4i ^ für
^. Wie viel • » hat
Auflösung.
Im Emkanfe kosten 4^
fol^cfa
ff
:
i3=i^ 50 >^.
Er Terbiift
er gewonnen oder verloren?
13^,iS^^
^-
1
^
^
_^13>.6i_
:
44
-
,
13,5-34-2
5
•
y
^
:
Für 6i
^
247
Proportionalität.
50.
§.
beträgt daher der
Verkaufspreis
Einkaufspreis
—-r-ö
13.5 -34 -2
„
.nc
19,6
-^i-
19,6-
/i
i,
(durch
//
.Ä;
—
13,5 -34 -2
~=^~R
..
.
^^w
5-9
'^'^
13,5 -34 -2
=
An 100 cÄ hat
Verlust betrug 3,92
Bei
111.
ein
135.34-2
— 96,08 = 3,92
5 mithin 100
^
196- 5 -9 -100
19,6-5-9-100
13,5.34-2
96,0S.Ä
JOO -
verloren, oder der
o-
Zalilungen fiir "Waren wird oft ein Eabatt,
der gleichfalls nach ^ o gerechnet wird.
d.
i.
Abzug gewährt,
Beispiel. *A nimmt für l'%\Ji 30 .^' Waren und erhält bei
-ofoniger Bezahlung 6| *j © fiabatt Wie viel bezahlt er?
Auflösung.
Statt 100-.//^ bezahlt er 93|,
—
-
1
934"100
'
3-100
,^
,
oder
_,,9, ,^^^
3
Aufgabe.
wuchs damit auf
liche Kapital
-.-^^^
^S-^S^^,,.,,
280-2784,3
IV.
93i-27S4,3
-»--.o
2.s4,3
..
'
A vermehrte
um 7^*'o und es
wurde das ursprüng-
sein Kapital
Um
14405.V<^ an.
wie
viel
vermehrt?
Auflösung. Wäre da* Kapital 100 gewesen, so würde die
Vermehrung "^ betragen haben und das Kapital würde auf 107^
angewachsen
sein-
Folglich
Ansrewachs. Kap.
Vermehr, des
Kap.
urspr.
\i\~\JL
1
«
'""5
-
(durch 107^ dividiert)
7^
.
I,
(mit
7i 14405
-
-1071
14405
,,
-^
Die cresuchte Vermehnms betrug also
Tj. 14405 ^^ö- 14405
1074^
215
Anmerkung. Man unterscheidet J> von 100",
_
je
nichdem
10<):ß, oder l'>6:6, oder
94:6
multipliciert)
giebt.
^^
,6 auf !'»••-, ,' m .•"-,
Dieser Unterschied ist
'
248
§• ^^-
Proportionalität.
jedoch unlogisch und es hat nur die 1. Art von Procenten Berechtigung.
In der letzten Aufgabe z. B. sind nur scheinbar „% auf 100" vorhanden,
denn die Aufgabe nahm dort nicht an, dafs 107 V2 7'/2, sondern 100 T'/a
giebt und eben darum wuchs 100 auf 107 72 an.
:
Steht ein Wertpapier 94 Vo» so meint
V.
:
man
damit, dafs es
zwar m'sprünglich über 100 oder 2- 100 u. s. w. lautete, jetzt aber
nur noch den baren Wert von 94 oder 2-94 u. s. w. hat.
VI. Wie sich "/o auf 100 beziehen, so bezieht sich der Ausdruck „pro mille", abgekürzt mit ^/oo, auf 1000.
Beispiel. Vom Kapital 4560./^ bekommt N 2^%oFolglich:
Von
1000.//
bekommt
er 2^,
^
91
1
"
1000
2^.4560
"
"
"
= 11,4
_ 5 »4560
1000
2-1000
c//
Zinsrechnung.
dem B ein Kapital (Geldsumme) oder irgend ein
Wertstück (z. B. Grundstück). Die Geldsumme, welche B dem A
9.
A
für die
leiht
Benutzung
man „Zins".
Der
dieses Kapitals (resp. Wertstückes) zahlt, nennt
für die Berechnung der Zinsen gegebene Pro-
centsatz wird auch Zinsfufs genannt und gilt stets für ein Jahr.
ausgeliehen so versteht man darein Kapital zu 5
unter, dafs für je 100 .// des Kapitals in einem Jahre 5.// Zinsen
(oder Interessen) gezahlt werden. Der Monat wird hierbei zu 30
Tagen, das Jahr also zu 360 Tagen gerechnet, in England und
Nordamerika und in einzelnen Fällen auch in Deutschland 1 Jahr
zu 365 Tagen. Ist ein Zinsfufs nicht angegeben, so wird ein gerichtlicher Zinsfufs von 5 ^Jq (in besondern Fällen auch mehr oder weniger) angenommen.
%
Wird daher
,
:
I.
Berechnung der Zinsen.
Wie viel Zinsen geben 1000 Jl. zu 44-%
I.Aufgabe.
in
3| Jahren?
Auflösung.
Das Kapital
„
\OOJl. giebt in
1
100
3|
„
„
„
Jahre \\Jl. Zinsen,
„
3|.4iy// Zinsen,
H
„
Wäre
so würde
7000,,
„
„
3|
100
„
M^:|i:ü^/ Zinsen.
das Kapital 850.//, die Zeit 1-g Jahr, der Zinsfufs 5f Vo,
in gleicher Weise für die Zinsen:
man
——Ji
-—
I
100
erhalten haben.
:
§. ÖO.
l'roportionalilüt.
249
Hieraus folgt die allgemeine Hegel:
Die Zinsen erhält man, wenn man das Kapital mit der
Zeit (in Jahren) und mit dem Zinsfufsc multipliciert und
das Produkt durch 100 dividiert.
Oder:
rj.
Zmsen
Ist
=
X
Kapital
*
X
Jahre
Procente
-:;—^
das Kapital =Ä', die Jahre
^c, so ist:
,
,„
=«
.
(Z.)
.
(ayinH), die Procente
=p,
die Zinsen
^=
(/^"«/^
TT.^-.
die 3 ersten
Buch-
staben des AVortes „Kapital".)
Die obige xiufgabe giebt also:
7000.31.44
7000.11.9
^ =-_-^-^-^
Zmsen=
^—
= ,,_
Uoo
.,
./^
Aufgabe. Wie viel Zinsen geben 901^ J/. in 1 Jahr 9 Mon.
%.
1 Jahr
Auflösung. Zunächst hat man hier 1 Jahr 9| Mon.
2.
20 Tagen zu 34
=
+ ^ Jahr = 1|| Jahr.
ry-
Zinsen
7
Daher nach Z
907|.lf|.3i
=
^^^f
S.Aufgabe. Wie
Mon. 18 Tagen?
viel
1815.65.19
.^^.,.
^^
- 2.36.5-100
= ^'''^^^
= 62./^26^j.
.,
Zinsen geben 48600.// zu 5f/o in
Auflösung.
= 7jf Mon. = 7| Mon. = j^ Jahr.
7 :\Ion. 18 Tge.
'
Daher:
Zinsen
=
48600-
1|.5|
tt—
48600. 7|.51
12^100
,
d.
i.
"^^
Hieraus folgt, dafs man in dem Quotient an die Stelle der
Jahre Monate setzen kann, wenn man den Nenner 12 in den andern Hauptteil des Bruches (in den Hauptnenner) setzt.
:
Vorstehender Ausdruck giebt
-.
„.
^'' 2^"«^°
H.
= 48600.38-17
12.5.3.100
,
-,,«//
=^^H^-^
Berechnung des Kapitals.
AVic grofs
Zinsen brincct?
ist
ein Kapital, welches in 7 Jahren zu
44-*^,o
315
^«^
'
Proportionalität.
§• ^^-
250
Das
Auflösung.
100./^ giebt in
Kapital
1
Jahre A^
Jl.
Zinsen.
7mal so
Ist die Zeit
wenn
sein,
mufs das Kapital 7mal so klein
Daher:
grofs, so
die Zinsen dieselben (hier 4^) bleiben sollen.
Kap.
Jl. giebt in 7
_100_
TT
=— —
—100-315
/•%
-r
Jahren 4^ Jl. Zinsen.
-7
7.4t"
P*
^
Kap.
——
„
"
"
„
„
,
"
_
7
l
bei 6
"^/o,
also hier
ist
und 49 M. Zinsen
3 Jahren
»
„,_
dl5
„
in
„
—nn=—j^— und würde
—100-49
^—z— übergehen.
o D
^1 ^
1
Das gesuchte Kapital
"
z.
B.
•
Folglich
immer:
ist
*
Anmerkung.
100
,
.
j^
'
^
Jahre
Durch
2^
=
-7777r
,
,
y.
spätere Sätze läfst sich weit einfacher
dem schon bekannten Ausdrucke
k und jedes andere Element aus
kap
X Zinsen
X Procente
.
ableiten.
100
Für vorstehende Aufgabe
=
das Kapital
2.
Aufgabe.
25 Tagen zu 3fVo
also:
ist
=1000^
%.cj
Wie grofs
8^^40^J
ein Kapital,
ist
welches in 5 Mon.
Zinsen bringt?
Auflösung.
5
Mon. 25 Tge.
»
8^ 40
^
K^P- =
111.
.if
loa- 8,4
^^^
^
,
.
,^
^"
^-
'^'
Zu wie
'
1-2
Berechnung des
I.Aufgabe.
sie in
= 54 Mon. = ^ Jahr =^t^
Jahr,
6-12
= 8,4./^ Daher nach K:
100-84.6.12-4
,„^„ .,
=460,8^^
10-35-15
,,
'^=
Zinsfufses.
viel
%
sind 475./^ ausgeliehen,
6f Jahren \l\Jl. Zinsen bringen?
Auflösung.
Kap.
475^
1
in
6f Jahren
6^
171^^ Zinsen,
^^
wenn
—
Proportionalität.
§. 50.
100
Kap.
^
100
n
64* Jahren
c/^ in
„
251
"
475-61
AVenn aber das Kapital
^
1
Zinsen,
-/<^
t^tt
4/0
i'i-ioo
1
„
)
-
00 ./^ in
1
171-100
,_^ ^„
475 -61
Jahr
./^
Zinsen
Die Form
so ist dieser Quotient offenbar der Zinsfufs.
desselben -svürde bei andern gegebenen Zahlen dieselbe bleiben.
bringt,
TN
1
Daher
.
,
1.
,
-r»
Frocente
sind stets die
Für vorstehende Aufgabe
2.
Auflösung.
42-100
.^
^''''
IV.
1.
=--^=
wie
In
man
, ,
,„.
(1
i
—
—=
171 •100-4
5^
%.
llbM
42-100-12
175-2^
Berechnung der
Aufgabe.
,
verlangte für
in 2|^Mon.
hatte der Menschenfreund?
42 y^ Zinsen.
„
^
;
erhält
Aufgabe. Ein Wucherer
Welchen Zinsfufs
—
— X t100
^-^Zinsen
Kapital X Jahre
=
42-100-12-2
,,,,„,
=^^H"/o.
175-5
Zeit.
Jahren geben 640
viel
J<^.
zu
5^^
%
SSM. Zinsen?
Auflösung.
Kap. 100
in
Jahre b^ M. Zinsen.
1
das Kapital lOOmal so klein, so mufs die Zeit lOOmal so
grofs sein, wenn die Zinsen dieselben {h\tM) bleiben sollen.
Ist
Daher:
Kap.
1
100 Jahren h^Jl. Zinsen,
in
100
640
•'
"
'''
^^^
640
"
"
6^
88-100
640-5^
"
'
"
"
^^
"
"
88 100
-
gesuchten Jahre sind
Die "=
^ t-, AVären andere Zahlen
640 54"
des Quotient dieselbe bleiben.
hier „,^
-
gegeben, so würde die
Form
Allgemein sind daher:
,.
-.
,
^'' ^""^'^
=
Zinsen
Kapital
Vorstehende Aufgabe giebt
—
X
X
100
Procente
—=
'
24-
,^.
^^^
Jahre.
'
Proportionalität.
§• ^^-
252
A leiht dem B am 26. Nov. 1874
6f%. Au welchem Tage betragen
Aufgabe.
2.
von 5600
910 y^?
zu
c/^
ein Kapital
Zinsen
die
910.100-3
910-100
Jahre
5600-20
5600-61
2^ Jahr 2 Jahr 5^ Mon. 2 Jahr 5 Mon. 7^ Tge.
Der Tagesbruch ist noch abzubrechen, da das Abtragen der
Zinsen nur an den Tag, aber nicht an eine bestimmte Stunde gebunden ist. Daher: 2 Jahre 5 Mon. 8 Tge.
Die gesuchte Zeit ergiebt sich nun nach §. 49,6:
1873 Jahr 10 Mon. 25 Tge. ]
,
r,..
Auilosuns.
=
T
J
.
-r
2
Mai
,
=
=
5
„
1876 Jahr
d.i. 4.
•
sriebt -r777rrr~7ni-
8
„
4 Mon.
„
j-
3 Tge.
verflossene Zeit.
J
1877.
Vergleicht man die für das Kapital, die Progefundenen Ausdrücke K, P und J, so findet
man folgende allgemeine Regel:
Zinsen". Der Nenner erhält
Der Zähler ist stets „100
das Produkt der bis dahin noch nicht berührten Elemente.
Soll z. B. die Zeit (in Jahren) berechnet werden, so ist
Da Zeit und Zinsen schon
Zinsen".
der Zähler „100
berührt sind, so fehlen noch Kapital und Procente, deren
Produkt in den Nenner zu setzen ist. Daher:
Anmerkung.
cente
und
die Zeit
X
X
_
100
X Zinsen
X Proc.
Kapital
man ein Kapital um seine sämtlichen
„angewachsene Kapital".
A leiht dem B öSbO.S. und erhält nach
1. Aufgabe.
20 Tagen an Kapital und Zinsen 6027,45 cM. Wie grofs
V. Vermehrt
so erhält man das
Zinsen,
Mon.
8
der
ist
Zinsfufs ?
Auflösung.
5850
c/^,
sich
nun
Vermindert
man
6027,45 J£
so erhält man 177,45./^ Zinsen.
in folgende:
um
Zu wie
viel Vo sind 5850 ^^ ausgeliehen,
8| Mon. 177,45 e// Zinsen, bringen?
Nach
2.
P
findet
Kapital
wenn
sie
in
man:
177,45-100-12
17745-12-3
5850-81
5850-26
Aufgabe.
das
Die Aufgabe verwandelt
lY leiht
380^
44-0/
^Z
zu 3|-%.
/o-
Nach welcher
würde das angewachsene Kapital 412 ^/^ betragen?
380
Auflösung. Die Zinsen betragen 412
ge^t die Aufgabe in folgende über:
—
= 32^^
Zeit
Damit
1
—
§.
Proportionalität.
50.
In welcher Zeit geben 380
,.
.
,
^"^^ ^
32-100
.
"^
^
=
^^/^
3f%
zu
Man
32
^i(
Zinsen?
32-100.4 ^
'^''^''
'^^^^^
380-15
ISÖTsf
2 Jahre 2 Mon. 28 Tage.
244 Jahr
^
=
,
,
=
3. Aufgabe.
Ein Kapital wuchs
6:^% auf 5225./^ an? Wie grofs war
in 10|^
253
in
10 Mon. 20 Tagen zu
es?
Summe das Kapital
Da nun nach P die Zinsen
berechne zunächst, auf welche
Mon. zu 6^^/o anwächst.
100
des
Kapitals 100 in dieser Zeit
_
~
betragen,
auf
32-25
_
,
,
~3-4.12~^^
wächst also das Kapital 100 in 10| Mon. zu
so
105^^
_
100-10|-6i
12-100
6^%
an.
Die ursprüngliche Aufgabe geht jetzt in folgende über:
Ist das angewachsene Kapital 105f, so ist das ausgeliehene
AVie grofs ist das ausgeliehene, wenn das angewach100.
sene 5225 beträgt?
105l[ angew.Kap.
100 ausgel.Kap. (durch 105| divid.)
100
^
"
"
105t
100-5225
5255
105t
% 1
u.
TKapital
gesuchte
r»
Das
pital
.
,_^_
—100-5225-9
= 4950^
^—r
..
,
also
Anmerkung. Aufgaben folgender Form: „Vermindert man ein Kaum seine für 20 Tage mit S'/jO/o berechneten Zinsen, so erhält man
Wie
'6293, ßl Jl.
(3.
•
ist
grofs war das Kapital?"
ßnden
in der
Discontorechnung
Beispiel) Berücksichtigung.
Diskontorechnung
10.
(Diskont, Sconto).
Abzug, der für eine vor dem bestimmten Zahlungstermine geleistete Zahlung bewilligt wird. An manchen Orten
Diskont
ein
ist
wird dieser Abzug auch „Rabatt" genannt.
Die übliche Berechnungsweise besteht darin, die Zinsen für
die betreffende Zeit von dem zu diskontierenden Kapital abzuziehen,
um das zu zahlende (das diskontierte) Kapital zu erhalten.
Der
1.
len.
die
Zinsfufs bezieht sich auch hier auf ein Jahr.
Wie
viel
N
hat dem S am 27. Juni 1883 2860^^ zu zahbeträgt der mit 3
berechnete Diskont, wenn er
Beispiel.
Zahlung schon am
%
12.
Juni
leistet?
Auflösung. Da der Diskont (Abzug von der zu
Summe) den Zinsen für die betreffende Zeit (15 Tage)
so beträgt derselbe:
zahlenden
gleich
ist,
254
§•
15
2860
Proportionalität.
„
2860-15.3
365-100
365
100
N
^^-
hat mithin 2860
— 3,53 =2856,47
„ ^^
.,
o,oo M.
c/^
zu zahlen.
A hat dem B den 13.Mai 1883 540^^ zu zahlen.
Zahlung aber schon den 22. April 1883, also 21 Tage
früher, leisten.
Wie \ael hat er zu zahlen, wenn ihm 4"/o Dis2.
Er
Beispiel.
will die
konto bewilligt wird?
Auflösung. Von 540 c/^
mit
4^0 berechneten Zinsen
sind die für 21
abzuziehen.
diskontierte Kapital
Folglich beträgt das
540
= 540
21
(=—r^ Jahre)
Tage
21
365
100
540
540-21-4
365-100
= 540 — 1,24 = 538,76
M..
3. Beispiel.
Jemand hatte den 19. Okt. 1882 einen Wechsel
zu zahlen. Er zahlte 15 Tage früher, also am 4. Oktober, mit
3^% Diskonto 11'^ Ji 85 ^j. Auf welche Summe lautete der
Wechsel ?
Wenn im 1. Beispiel das zu diskontierende Ka(540 J€) unbekannt gewesen wäre und aus dem diskontierten
Kapital 538,76 J) berechnet Averden sollte, so müfste, wie sich aus
Auflösung.
pital
540
—
= 538,76
(Zinsen von 540)
ergiebt, ein Kapital (hier 540) gesucht
Zinsen vermindert 538,76^ giebt.
werden, welches
um
seine
Im vorliegenden Beispiele ist mithin auch ein unbekanntes
Kapital (das zu diskontierende) zu suchen, welches um seine für
15 Tage mit 3^ "o berechneten Zinsen vermindert, das diskontierte
Kapital 7738,85^^ giebt.
Zu diesem Zwecke vermindere man zunächst
um
seine für 15
100
das Kapital 100
Tage mit 3^^'o berechneten Zinsen.
Man
findet
^^^'W'^^
'^
15.7
^^^
= 100 365.2
= 100 — 0,144 = 99,856.
100
Ist also das diskontierte Kapital 99,856, so ist das zu diskontierende 100. Wie grofs mufs das zu diskontierende sein, wenn
das diskontierte 7738,85./^ ist?
Proportionalität.
§. 50.
99,856 Jl das diskont. Kap.
255
100 Ji das zu diskont. Kap.
100
"
"
"
99,856
"
"
"
"
\m"r6%,^h
77S8S5
Das gesuchte Kapital
also:
ist
= 773885
= 7750 M
99,856
:
Anmerkung.
Diese allgemein übliche Berechnungsweise ist
N dem /' am I.Juli 1883 ein Kapital von
20000c/'' zu zahlen und soll berechnet werden, Avie vi«i er dafür
am I.April, also 91 Tage früher, mit 6 *'/ü Diskonto bezahlt, so
würde iV nach der üblichen Berechnungs weise
Denn
falsch.
hätte
20000-^1^ -6
= 19700,822
T~^
100
20000
Jl.
zu zahlen haben.
Rationell jedoch hätte iV am 1. April ein Kapital zu zahlen,
dies
welches mit 6*^/0 bis zum I.Juli auf 20000.-/^ anwächst.
Kapital zu berechnen, w'äre zunächst zu untersuchen, wie grofs
wird.
das Kapital 100 in 91 Tagen zu
Da nun das Kapital
100 in 91 Tagen zu 6 0/0:
Um
6%
91
100~.6
-=Hfi
100
giebt, so wächst 100 auf
lOl^l^
Zinsen
Folglich:
an.
lOlfll«/^ angew. Kap.,
100
Jl. ausgel.
Kap.
100
'
"
n
„
„
"
1
/»l
1
S
1
"
"
"
"
"
"
100-20000
zUUUU
Das
n
1A1
1
si
zu zahlende Kapital ist mithin:
2000000
19705,231 Jl;
April
19705,23 Jl und leiht P diese
dem P am 1.
aus, so ist er den I.Juli im Besitz von genau
rationell
:
denn giebt
.V
Summe
6%
zu
10im=
20000 Jl
Terminrechnung.
A mag dem ß am I.Jan. 2000 ^Z, am I.März 3000 ^Z, am
Juli 1600..// zu zahlen haben. Offenbar wird nun A diese QOOOJl
11.
1.
auch so zahlen können, dafs er z.B. 4000^^ am 1. Febr. zahlt
und die übrigen 2600.// an einem spätem Termine (Zahlungs-
:
:
256
^^-
§*
Proportionalität.
Terminrechnung so zu bestimmen ist, dafs
weder A noch B einen Verlust erleidet.
Die Aufgabe der Terminrechnung ist also, für gegebene Termine andere Termine so zu bestimmen, dafs weder der Gläubiger
noch der Schuldner dabei zu Schaden kommt.
Im Nachstehenden beschäftigen wir uns nur mit der BerechZeitpunkt), der von der
des sogenannten mittlem Termins, d. i. mit dem Bestimdesjenigen Tages, an welchem mehrere zu verschiedenen Zeiten
zahlbare Kapitalien mit einem Male bezahlt werden können, weil
Aufgaben, bei denen mehrere veränderte Termine in Frage kommen, ratijjpell nur mit Hilfe der Algebra gelöst werden können.
A hat in 2 Monaten 900, in 4 Monaten 1500,
1. Aufgabe.
nung
men
Monaten 100 ^/^ zu
in 7
900+
In wie viel Monaten kann er die
mit einem Male bezahlen?
zahlen.
+ 1000 = 3400
1500
c/^
Auflösung. 900^/^ geben in 2 Monaten denselben Gewinn,
wie 900-2^^ in 1 Monat. Eben so: IbOOJ^. geben in 4 Mon.
denselben Gewinn wie IbQO-AJ^. in 1 Mon., und 1000./^ in 7 Mon.
1000 -Ul. in 1 Mon.
=
Werden nun
noch unbekannten
mag, so hätte man
die 3 Kapitalien an einem
bezahlt, der in x Monaten fallen
zunächst zu berücksichtigen, dafs
Tage zugleich
in a; Mon. denselben Gewinn geben, wie 900 'XcM
1500 -.x'c/^ in
Mon. Eben so: 1500^ in x Mon.
1 Mon. und 1000 ^^ in x Mon.
1000 -.Tc/^ in 1 Mon.
Diese x Monate sind offenbar nur dann richtig gewählt, wenn
900 o;
1500- a:+ 1000- a; in 1 Mon. denselben Gewinn geben,
1500 4
1000 -7 in 1 Mon.
wie 900 2
Daher ist:
900 ^-Ä
in
•
+
•
1
=
=
+
•
+
+
=
=
+
+
+
1500 X
1000 a:
900 2
1500 4
1000-7.
900.T
Dafür kann nach §. 11,6 geschrieben werden
1000-7.
900 2
1500 •4
1500
1000) a:
(900
Da ferner (nach §.12, 1 Zus.) das Produkt (hier die rechte
Seite der Gleichung) durch den einen Faktor (die Parenthese links)
dividiert den andern Faktor (x) geben mufs, so ist:
1500-4
1000-7
900 2
+
+
•
•
•
+
+
,
_
""-
•
+
+
1500
+ 1000
+
^^^''^^^'
900
Allgemein
Der mittlere Termin ist gleich der Summe der Produkte der Kapitalien und Zeiten dividiert durch die Summe
der Kapitalien.
Für vorstehende Aufgabe
1800
fällt
mithin der mittlere Termin in
,.
+ 7000 = 4W ,^
+ 6000
Mon. = 4 Mon,
.^^^^
3400
,
„
'
^^
,
,,^
1 1 Tagen.
°
,
rroportioniilitüt.
§. 50.
Anmerkung. Geht
257
von dem Termine aus, an welchem
geschehen sollte, so würde die Aufgabe lauten: 900.// sind heute, also in
Mon., 1500.// in 2 Mon.,
1000.// in 5 Mon. zu zahlen. In wie viel Monaten (von heute an
von
die erste Zahlung-
gerechnet)
niiin
^J()(U//
der mittlere Termin?
fällt
Antwort.
Nach obiger Regel
in
+ .3000 + 5000
900 -0-1-1500 -2 +1000-5
1500-1-1000
900
+
,,,,
-^t ^uon.
3400
Rechnet man jene 2 weggelassenen Monate hinzu, so erhalt
=
+
man
2
2j*V
-^/V ^^on. wie oben. Offenbar ist also die Rechnung
eine einfachere, wenn man immer den 1. Zahlunirstermin als Aus-
gangspunkt mmmt.
2. Aufgabe.
iV hat heute 1 100, in 3 Mon. ISOO, in 8 Mon.
4000, in 9 Mon. 3000.// zu zahlen. In wie viel Monaten kann er
diese 1400
4000
1800
3000
10200 .// mit einem Male zahlen? Noch ist zur Bedingung gemacht worden, dafs das 1. Kapital
mit 4%, das 2. mit 6%, das 3. mit 44-%, das 4. mit 5^0 berechnet werden soll.
+
+
=
+
Auflösung. 1400.// geben in Mon. (heute!) mit 4<>/o denGewinn wie 1400-0-4.// in 1 Mon. mit
ISOO.//
«/ogeben in 3 Mon. mit 6 "/p denselben Gewinn wie 1800-3-6.//
o
in 1 Mon. mit
4000 8- 4^.//
«. 4000.// in 8 Mon. mit 4^%
in 1 Mon. mit \%.
3000-9-5.//
3000.// in 9 Mon. mit 5 Vo
in 1 Mon. mit 1 ^ oWerden nun die vier Kapitalien an einem Tage bezaidt, der
in X Monaten fallen soll, so ero;iebt sich in gleicher Weise:
1400./// geben in x Mon. mit 4^/o denselben Gewinn, wie
1400 a;- 4 y/ in Mon. mit l %. Eben so erhält man 1800- a> 6 ^Z,
4000 a; 4^ Jl, 3000 .x-b .// in 1 Mon. mit
%.
selben
1
=
=
1
-
•
-
1
•
1
Offenbar geben nun
1400. a:. 4
in
1
in
1
+ 1800 ..r-G + 4000
..x-.4^-|-
Mon. mit *^/o denselben Gewinn wie
1400.0.4
1800.3.6
4000 .8-41
Mon. mit l ^ q. Folglich ist:
3000. a:.5.//
1
+
+
1400.
= 1400
.r.
.
.
4+ 1800.
+
4
1
a:.
6
+ 4000.
a:.
41
+ 3000.
+ 4000
8
4^
+ 3000 -9.5.
800 3 6
.
+ 3000 -9.5.//
.
•
.
.-c.
5
Dafür kann geschrieben werden:
1
400
.
.
Hieraus folgt
1
+ 1800 6 + 4000 4^ + 3000 o) x
+ 1800 3 6 + 4000 -8.4^ + 3000 -9.5.
(1400 4
.
=
400
.
.
4
4
.
.
.
Berechnung von x in der 1. Aufg.):
4000 8 4^
3000 .9-5 ^
1800.6
3000.5
4000.4^
(vergl. die
+
1400.4
Schur ig, Lehrbuch
.
.
1800 3 6
.
+
der Arithmetik.
.
+
+
I.Teil.
.
+
.
+
17
: :
258
Proportionalität.
^^-
§•
Allgemein
Der mittlere Termin ist gleich der Summe der Produkte
der Kapitalien, Zeiten und Procente dividiert durch die
Summe der Produkte der Kapitalien und Procente.
Für vorstehende Aufgabe fällt mithin der mittlere Termin
30.45
40.36
04- 18.18
324+1440
1350
"14.4+18.6
30.5
56
108
180+150
40.4^
_
~ +
= ^i = 6^Vy Mon. = 6 Mon.
+
+
+
+
+
9 Tage.
Noch könnte die Frage aufgeworfen werden,
lere Zinsfufs dieser Aufgabe entspricht.
man den
Bezeichnet
in
+
welcher mitt-
mittleren Zinsfufs mit x, so
die
ist
Rech-
nung folgende:
Mon. mit x^/o denselben Gewinn, wie
Mon. mit 1%. Eben so:
mit x ^/o denselben Gewinn
800
c/^
in
3
Mon.
wie
1
geben
1800. 3..T^ in
Mon. mit 1%.
In gleicher Weise 4000. 8. o; und 3000. 9..r^/^ in 1 Mon.
geben
lAOOJl.
in
UOO.O.Xe/^
in
1
,
1
1%.
mit
Offenbar geben nun
1400
in
1
.;*^+ 1800
.
1%
Mon. mit
.
.:k+ 4000 8 .x
3
.
+ 3000 .9 .x./^
denselben Gewinn, wie der schon oben berech-
nete Ausdruck:
1
in
1
400
•
.
Mon. mit
1
400
4
1
.
= 1400
+ 1800
%.
•
.
3
.
6
+ 4000 -8.4^ + 3000 .9.5^
Folglich
+ 800
4 + 1800
1
ic
•
.
.
.
3
ist
•
3
•
+ 4000
6 + 4000
a;
•
8
•
8
.
•
.r
+ 3000
44-
•
9
•
a:
+ 3000 .9.5.
Hieraus folgt:
_
1400
.
.
4
''^"~
+ 1800 3 6 + 40 00 8 4| + 3000 .9.5
+ 1800.3 + 4000.8 + 3000.9
.
.
•
.
1400.0
'"'
Allgemein
ist gleich der Summe der Produkte der Kapitalien, Zeiten und Procente dividiert durch
Der mittlere Zinsfufs
die
Summe
der Produkte der Kapitalien
Für vorstehende Aufgabe
ist
+ 18 -18 + 40. 36 + 30 -45
+ 54 + 320 + 270
Anmerkung.
und
Zeiten.
der mittlere Zinsfufs daher:
3114
644
4,8354%.
Die hier gelehrte Berechnungsweise ist zwar die übaber nicht rationell. Denn bei der Auflösung der 1. Aufgabe wurde behauptet, dafs U)()0 Ji in 7 Mon. denselben Gewinn geben wie
Um).7 Ji iu 1 Mon. Dies ist aber unrichtig, denn die in 7 Mon. zu zahlenden iOOOJl. sind jetzt (7 Mon. früher) kleiner als 1000.^^ Sind sie z. B.
liche,
sie
ist
:
§. 50.
Proportionalität.
259
1000^) geben
Mon. Eben so sind die
beiden anderen Kapitalien jetzt kleiner als 900 und 1500 Ji
Zunächst mag daher berechnet werden
wie grofs die 3 Kapitalien
jetzt sind.
Das 1. Kapital ist in 2 Monaten 900 .^Ä Wie grofs ist es heute? (Bejetzt 972 uK,
in 7
Bo müfste
es also
972 U2 (und nicht
heifsen:
Monaten denselben Gewinn wie 972
M
.1
in
1
,
rechnet mit 5
",o)-
Auflösung.
100 giebt in 12
m
„
Mon.
2
„
5 Zinsen,
^
„
„
100 wächst mithin in 2 Mon. auf 100|- an.
Daher:
100|
in 2
100 jetzt; durch 100| divid.:
Mon.,
1,2,
100
.
„^
,
.
,
mit 900 multipl.:
„
lOOf
10'^
„2
900
-900
^—
„
.
,
,
jetzt.
loof
Das I.Kapital
ist
Das
ist in
2.
Kapital
also jetzt
Mon. 1500 Ji
4
450000
3.
Kapital
ist in 7
^1200000^^^
123d
102|4-
n
1
Mon.,
892,562
.
2
Da
also nicht 900
..^
in 2
die Kapitalien jetzt
-j-
Mon. eben so viel Gewinn als 900
in 2 Mon. eben so viel Gewinn
.
sondern 892,562^ geben
c^ in 1 Mon. u. s. w.
892,562
>,
Mon. 1000 uK, daher jetzt
100.1000
Es geben
,,^
l'47o,410 Ji
3<^3
10l|
Das
./Ä
daher jetzt
,
— = —uK^— = ,„.
100.1500
->
—r—— = 892,562
2
Ji
als
zusammen
1475,410
+ 971,660 = 3339,632 ^
betragen und an einem noch zu bestimmenden Tage
900 -f 1500 4- 1000
bezahlt werden sollen
,
so
würde nun
= 3400
die
J^.
Aufgabe
lauten
In welcher Zeit (mittlerer Termin) wachsen 3339,632 Ji zu 5
UOO
Jl.
"/o
auf
au?
Dafür einfacher:
In welcher Zeit geben
60,368 Ji Zinsen ?
3339,632
Jl.
zu
5
%
(3400
— 3339,632 =)
Auflösung.
_
100.60,368-,
^_
100.60,368.12.,
,
d339,bd2.o
.,
3339,632.0
Dies wäre also der rationell berechnete mittlere Termin.
Berechnungsweise gab 4-j-V= 4,353 Mon.
Zinseszinsrechnung.
Hat A ein Kapital von 800^//^
Die übliche
12.
geliehen, dessen mit
5^"o zu
berechnenden Zinsen jährlich abgetragen werden sollen, so würde
die Schuld des A nach einem Jahre
800 1 5^
800 -f- Zinsen von 800
800 -f
100
=
•
•
17-
Proportionalität.
§• ^^-
260
betragen, oder das Kapital
nach einem Jahre auf
ist
+ -««^ = 800.a+^)
800.,
Die nicht abgetragenen Zinsen sind mithin stets
Kapital zu schlagen, wodurch die sogenannten „Zinseszinsen"
entstehen (auch „Zins auf Zins"). Wäre das Kapital nicht 800,
sondern 3790./^, so würde es mit 5^^% nach 1 Jahre auf
angewachsen.
zum
3790
.(1
+-7-^1 angewachsen
sein.
\
51
Hieraus folgt, dafs jedes Kapital mit
(Y)
tiplicieren
ist,
welche es mit
man nun
Läfst
(1
+~r^
j
zu mul-
die Summe haben will, auf
nach einem Jahre anwächst.
wenn man
5^%
jenes (schon angewachsene) Kapital
800.(1-^ ^^
100
wieder ein Jahr anwachsen, so wird es hiernach
= 800(1 +^).(l + ^)==800(l +
800^/^ würden also nach
,,
l
Jahre auf 800(1
2 Jahren
„
800(1
+
100
+
100
anwachsen.
Läfst
man
das letztere Kapital
^ (1+
800(1+1^1(1+
~
100 y*wieder
1
Jahr anwachsen, so wird
^'
^^
100
es jener
Regel
Y
zufolge:
= 800(I + ^)(.+^).(l+^).
800
t^M
Oden
wachsen mit Zinseszinsen
Jahren auf 800
in 3
4
„
In gleicher Weise
Zinseszinsen
in
4
„
„
(1
•
800.(1
+ -^j,
100/
+^)'u.
s.w. an.
fände man, dafs 3790./^ zu
4|%
4s \4
Jahren auf 3790
.(1
+ —V
100
(l
+ -r^
100
4-J
3790
.
\'
anwachsen.
/
mit
:
Proportioualität.
§. 50.
Hieraus
resultiert folgende
261
allgemeine Regel:
Um
zu berechnen, auf welche Summe ein Kapital anwächst, wenn die jährlich zu zahlenden Zinsen nicht abgetraoen werden, hat man die Procente durch 100 zu diviDie Summe
dieren und zu dem Quotient 1 zu addieren.
ist hierauf so oft mit sich selbst zu multiplicieren, als die
Zahl der Jahre Einheiten hat. Das erhaltene Produkt (Potenz)
ist alsdann noch mit dem Kapital zu multiplicieren.
Beispiel. N leiht dem ß 4000.// zu 3^**/o.
Die Zinsen,
welche jährlich abgetragen Averden sollten, hatte B 5 Jahre lang
nicht bezahlt.
Auf welche Summe war das Kapital in diesen
5 Jahren angewachsen?
Auflösung.
Auf 4000.(1
+-^J = 4000.(1 + -^-1' =4000. (I^f
,,,^^
Da
so
ist
4000
.
~=
31
31
4000
.
(1
31
31
..
+ ~] = 4000 + 4000
•
die Multiplication mit -^r—
dafs man die jedesmal
Folglich
erhöht.
31
am
1
-^
besten dadurch auszuführen,
zu multiplicierende Zahl
4000
•
um
den
30. Teil
30
:
133,333
4133,333:30
137,778
4271,111 :30
142,370
4413,481: 30
4560,597
152,020
:
30
4712,617./// das gesuchte Kapital.
2.
Beispiel.
wohner und nahm
am
1.
Die Stadt
jährlich
N
hatte
\\^l(i
zu.
am 1. Dez. 1880 45719 EinWie grofs wird die Stadt
Dez. 1887 sein?
Auflösung. Da Bevölkerungen, Anpflanzungen u. s.w. offenbar eben so zunehmen müssen, wie ein mit Zinseszinsen anwachsendes Kapital, so ist hier die gesuchte Zahl
§
2ß2
^^-
rroportionalität.
= 45719(l+^)'=45719(l + ^)'
IV = 45719 81 V
= 45719(1+^)
(-g^)
/
-45719.
'">"'> 11.11 11.11.11 11.11 Einw
—
Auch
hier
80
80
kann man
1
81
.
'80
Zahl
um
den
80
80
mit
die Multiplication
l-f--—- dadurch leicht ausfuhren,> dafs
tiplicierende
80
80
80
80. Teil erhöht.
45719
.
man
~^zr,
.
die jjedesmal
d.
i.
mit
zu mul-
Daher:
:80
571,49
46290,49
578,63
:
80
46869,12:80
585,86
47454,98:80
593,19
48048,17:80
600,60
48648,77 :80
608,11
49256,88
:
80
615,71
49872,59 Einwohner.
lich
N leiht
dem B 7000.^ zu 5 o/«. B zahlt die jährabzutragenden Zinsen nicht. Auf welche Summe wächst das
Aufgabe.
Kapital in 4^ Jahren an?
Auflösung. Zunächst berechne man, auf welche
7000 cJJ in 4 Jahren anwachsen.
Man
erhält
7000
(1
= 7000
+ -^]
100
100/
'
y
.
(1
+ ^"j
20/
.
Summe
Daher:
die
Dieses Kapital inufs nun noch auf
liehen werden.
263
Proportionalitüt.
§. 5Ü.
7
,
Jalu-e
zu T)"«
ausge-
Es wächst daher auf
8oUS,544
+ (Zinsen
von 8508,544
Jahren) an
in
y
8508,544.-^.5
= 8508,544 H
100
85,08544.7.5
8508,544 =
9
= 8508,544 + 330,888
= 8839,432^^
13.
Kettenrech nung
(Kettenregel,
Kettenansatz, Kette
—
Reesischer Ansatz).
Diese höchst praktische Rechnung lehrt, wie der 5. Satz dieses
Paragraphen, aus 3 gegebenen Gröfsen eine Unbekannte finden.
Sie löst jedoch derartige Aufgaben weit einfacher als jener 5. Satz,
wenn die srleichartioen Gröfsen nicht o;leichbenannt sind, vielmehr
erst durch Zwischengleichungen in Beziehung zu einander gebracht
werden können. Ferner kann die Kettenrechnung zunächst nur
bei direkt- pro])ortionalen Gröfsen Anwendung finden.
Das Verfahren selbst besteht darin, dafs man zwei senkrechte
Zahlenreihen bildet, die linke Seite oben mit der zu suchenden,
gewöhnlich mit x (oder einem Fragezeichen) bezeichneten Gröfse
beginnt luid dieser «gegenüber, also auf die rechte Seite oben, die
in der Aufgabe mit der Unbekannten zugleich im Fragesatze stehende (und daher mit derselben ungleichartige) Gröfse A stellt.
Hierauf geht man zu der mit dieser letztern (A) gleichartigen
Gröfse ß der Aufgabe über, indem man, die Zwischengleichungen
benutzend, jede neue Zeile mit demselben Mafse beginnt, mit dem
man die vorhergehende beendigte. Ist man auf diese Weise bei
der Gröfse ß (auf der linken Seite) angelangt, so setzt man ihr
gegenüber (auf die rechte Seite) die Gröfse C, welche mit der zu
suchenden (x) gleichartig ist. Jede nun folgende Zeile beginnt
wieder, wie bisher, mit dem die vorhergehende Zeile schliefsenden
Mafse, bis man rechts unten zu einer Gröfse gelangt, die mit der
zu suchenden (x) durch dasselbe Mafs ausgedrückt ist.
Ist auf diese AVeise die Kette angesetzt, so richtet man etwa
vorhandene gemischte Zahlen ein, behält von den Brüchen die
Zähler auf derselben Seite und setzt die Nenner auf die entgegengesetzte.
Hierauf kürzt man die Zahlen links mit denen rechts.
Endlich ergiebt sich die unbekannte Gröfse (.r) dadurch, dafs man
das Produkt der rechtsstehenden Zahlen durch das Produkt der
Zahlen links dividiert.
264
50.
§.
Proportionalität.
134^ engl. Yard kosten 15 Shilling,
1. Beispiel.
Meter bekommt man für 49 Mark, wenn 1 Yard =
1 Pfund Sterling
10 Shilling
20^ Mark?
=
=
Ansatz.
X Meter
20i .£.
49
Pf. St.
20
1
(L)
M
s.
viel
ob. d. Erklär.)
Pf. St.
1
m
(Gröfse^) löShill
(Gröfse A,
Wie
U Meter,
Shill.
Yard (Gröfse C)
32"
1
Yard
Meter.
35
Jetzt sind 20|-
27
und 32
rechts,
links, 4 rechts
81
und
81
=~7~)
13^^ einzurichten
zu behalten,
links
So erhält man
X Meter 49
zu setzen.
81
(M)
15
2
35
die
27
-^r
die
Zähler
Nenner 2 und 35
die Zahlen:
20
27
32
4
27 mit 81 zu kürzen (3 an die Stelle von 81 zu
desgleichen 35 mit 49, 5 und 2 der linken Seite mit 20
Hierauf
ist
setzen,
rechts zu kürzen.
So
ero^iebt sich:
X Meter
(N)
3 8i
15
20
27
2
32
4
lun
ist
x=^
7.2.32.4
1792
39,82 Meter.
3.15
45
und N
Anmerkung. Die hier durch die Zahlenkomplexe
veranschaulichten Operationen nimmt man in der Praxis sogleich
in der angesetzten Kette (siehe L) vor, indem man 20^ streicht,
M
dafür auf dieselbe linke Seite den Zähler 81, auf die rechte Seite
den Nenner 4 setzt u. s. w.
Beweis.
Die Gleichungen
X Meter
= 49 Mark,
=
= 20
= 13^ Yard,
15
Meter
Yard =
=
49- Mark,
x-\ Meter
20^.1 Mark =1-1
= 20-1
1-1
Mark
20|-
1
Pf. St.,
Pf. St.
1
Shill.
Shill.
können auch
1
-||
1
Pf. St.,
Pf. St.
15-1
1
•
1
Shill.
Yard
Shill.,
13^-1 Yard,
ff 1 Meter
•
:
:
:
Propoitionalität.
§. 50.
geschrieben werden.
X
•
= 40
.
Nacli
Mtr. '2^
1
•
.
K/Z
•
.
1
1
.//
1
Vi. St.
•
.
1 ./i,
durch
1
Pf. St.,
1
Pf. 8t.
1
20
Nach §.13, 30 kann man
durch
aber
11, 10, Zus.
§.
1
.
.
1
•
Slnll.
1
•
265
5
•
13i-
1
•
nun:
ist
Shill.
1
Yd.
•
•
1
.
1
?J
Yd.
.
1
Mtr.
ferner beide Seiten durch 1 Mtr.,
Sh. und l Yd. dividieren. Es bleibt
alsdann nur:
.r.
.15.1=49.1.20.13^
20^.1
Nach demselben Satze beide
35
durch 20^.1.15.1
Seiten
diert, giebt endlicii
divi-
0.2
49.1 .20-13^
X
35"
20^.1.15.1
Vergleicht man dieses Resultat mit li, so ergiebt sich die
Regel, dafs die Unbekannte der Quotient aus dem Produkt der
Zahlen rechts und dem Produkte der Zahlen links ist. Werden
noch die gemischten Zahlen dieses Quotienten eingerichtet und die
Doppelbrüche (nach §. 37) beseitigt, so findet mau
49.20.27.32.4
2.35.81.15
X
Vergleicht man diesen Quotient mit M, so zeigt sich auch die
oben gegebene Regel hinsichtlich der Anordnung der Zähler und
Nenner.
2.
Wie
Beispiel.
viel
Kilogramm
einer W^are
bekam man
(im Jahre 1860) für 31 1 Francs, wenn 25 österr. Lot 2| Papiergulden kosteten ? Man kennt aufserdem folgende Beziehungen
1
1
1
1
= 32 Lot; 100
Pfd. = 112
Pfd.
87^ Silbergulden = 100 Papierg.;
Silbergulden = | Thaler;
Thlr. = 30 Groschen;
Pfd.
österr.
Kilogr.
=
sächs.
österr.
2 sächs. Pfd.;
1
Franc == 8 Groschen.
Ansatz.
X
Kilogr.
Fr.
30 Gr.
l Thlr.
31i Frc.
1
2| Pap.-G.
Lot
32
100
Ost. Pf.
2 Sachs. Pf
Jetzt
Brüche
Zahlen
sind
auf
die
87|^,
2-§^,
andere
31^
Seite
Gr.
1
Thlr.
1
87^ Guld.
(B)
8
100
25
Guld.
Pap.-G.
Lot
112
sächs. Pf.
KiloLT.
einzurichten
zu
(C)
öster. Pf.
1
1
(A)
setzen.
und
So
die
Nenner der
erhält
man
die
Proportionalität.
§. 50.
266
X
125
Kilogr.
30
2
175
12
32
100
2
8
100
25
112
3
2
5
4
Nachdem man noch 100 mit 100, 2 mit 2, 2-4 mit 8, 175
mit 25, die entstehende 7 mit 112 u. s. w. gekürzt, behält man
Folglich ist:
rechts 125, links 2, 4 und 6.
x= 2.^.Q
=2»6^4
Kilogr.
3. Beispiel.
Der Kaufmann S aus München kaufte (im Jahre
1850) in England 75 Pfund einer Ware für t2| Pfd. Sterl. Auf
dem Transporte nach München verdarb 2|^
Die
der Ware.
Spesen (Transportkosten) betrugen 1|^%. Wie viel Lot konnte S
von dieser Ware für 35 Kreuzer geben, um
zu gewinnen?
%
1
1
1
engl. Pfd.
= 453,6 Gr.;
Pfd. Sterl. =
bayer. Guld
Ansatz.
20%
=
= 60 Kreuzer.
X Lot
35
:
60
7
Ivreuzer
bayer. Gld.
6f Thlr.
12|Pfd.St.
(B)
=
=
bayer. Pfd.
560 Gr.;
32 Lot
7 bayer. Gulden;
6i Thlr.; 4 Thlr.
1
1
560
1
engl. Pfd.
Gramm
bayer. Pfd.
120
100
1
4
1
75
453,6
1
32
100
97i
100
101
Kr.
(A)
bayer. Gld.
Thlr.
Pfd. St.
engl. Pfd.
(C)
Gramm
bayer. Pfd.
Lot
a
b
c
Um
Anmerkuns
zu gewinnen (120 Kreuzer beim
zu
Verkauf gegen 100 Kr. beim Einkauf zu erhalten), mufs er für
dasselbe Geld weniger Lot geben. Folglich ist die (ohne die 20%
berechnete) Lotzahl noch durch die gröfsere Zahl 120 zu dividieren und mit der kleinern Zahl 100 zu multiplicieren, mithin 120
auf die dividierende (linke), 100 auf die multiplicierende (rechte)
Seite zu stellen.
Zu
b:
'T^^TT^
100
%
Da
97^%
nur noch
75 .97-'5
d. h.
der Ware verdorben, so hat er von 100
2f
Ware. Folglich mufs es rechts statt 75 heifsen:
97^
•'
ist
auf die Seite der 75, 100 auf die entgegen° *
gesetzte Seite zu stellen.
:
Zur:
geworden,
Der Preis der Ware war
12^
statt
und
durcli
ilie
mufs
St.
die gemischten Zahlen
und
die
man
die Zahlen:
Nenner auf
Spesen
1
60
7
27
64
560
120
100
405
höher
heifsen
lOU auf die andere
eingerichtet (453,6
die andere Seite gesetzt
X Lot
^%
24 -1014
es daher ^^^,7j7.
10 1^ auf die Seite der 12-^,
folglich ist
Seite zu stellen.
Nachdem
% Pfd.
267
rroportionalilät.
§. 50.
worden
= ———1
sind, erhält
35
4
75
4536
32
100
486
100
4
5
4
10
5
Sind hier die Zahlen gegenseitig gekürzt, so behält
nur noch die Zahl 6. Folglich ist:
6-1
man
rechts
= 6 Lot.
1
Um
Zusatz.
Aufgaben mit indirektproportionalen Gröfsen
anzusetzen, hat man nach dem vorläufigen, direktproportionale
Gröfsen voraussetzenden Bilden der Kette sämtliche Zahlen von
A bis B (s. ob. die Erklärung) auf die entgegengesetzte Seite zu
stellen.
In
4
Beispiel. 30 Männer vollenden eine Arbeit in 48 Stunden.
welcher Zeit 40 Frauen, wenn 5 Frauen dasselbe leisten wie
Männer?
Denkt man
sich
direktproportionale Gröfsen,
so
würde man
anzusetzen haben
X Tage
5
(B)
Da
40 Frauen
Frauen
30 Männer
aber 40 Personen
4
(A)
Männer
48 Stunden
(C).
weniger Zeit vollenden
als 30, die Aufgabe also indirektproportiouale Gröfsen enthält, so
sind die Zahlen von A bis B auf die entgegengesetzte Seite zu
stellen.
Daher
Ansatz:
ist
die Arbeit in
der endgültige
x Tuse
40
4
30
48
268
§•
Pioportionalität.
^^*
x
5
40
30
Berechnung:
a:
Regula
14.
=5
48 12 3
•
3
•
3
= 45 Stunden.
falsi.
Man
berechnet die Angaben der Aufgabe an Stelle der zu
suchenden Zahl mit 2 beliebig angenommenen Zahlen (Hypothesen)
und schliefst dann aus dem gefundenen, mit der Aufgabe nicht
übereinstimmenden Resultate mittelst der proportionalen Reduktion
auf die Einheit auf die zu suchende Zahl.
Beispiel.
Ä sagt zu B: Merke dir eine Zahl, multiplimit 4, subtrahiere vom Produkt 10, addiere zum Reste
das Doppelte der gemerkten Zahl, dividiere die Summe durch 3
und ziehe vom Quotient die Hälfte der gemerkten Zahl ab. Wie
viel hast du jetzt?
B antwortet: Ich habe ^ mehr als ich mir
gemerkt hatte. Welche Zahl hatte sich B gemerkt?
1.
ciere
sie
Auflösung.
Angenommen, B hätte sich 15
1. Hypothese (Annahme).
gemerkt, so würde er der Aufgabe gemäfs folgende Operationen
vorgenommen haben:
15-4
= 60;
60—10 = 50;
50
+ 2-15 = 80;
80:3
= 26^;
15
^=19i
2
26|
Diese Zahl aber ist 4^ mehr als die angenommene Zahl 15. Folggemerkte Zahl nicht, weil ß nach der Aufgabe nur ^
lich ist 15 die
mehr
erhalten
2.
sollte.
Hypothese.
nete er:
10.4
= 40;
B mag
gemerkt haben.
sich 10
40—10 = 30;
30
+ 2-10 = 50;
50:3
Dann
rech-
= 16f;
10
Dies
ist
Aufgabe
1^ mehr als die gemerkte Zahl 10,
verlangt, ^ mehr.
nicht aber,
wie die
Resultat Gemerkte Zahl
H
n
15
10
?
6
(Die der Aufg. entsprechende
gemerkte Zahl.)
d. i. um 2^, so fällt
Fällt also das Resultat von 4^ auf If
wie viel mufs
gemerkte Zahl von 15 auf 10, d. i. um 5.
15 bis zur gesuchten Zahl fallen, wenn das Resultat von 4^ bis ^,
,
Um
die
d.
i.
um
4 fallen soll?
:
:
;
:
269
Proportionalität.
§. 50.
Fallen des Kcsultata Venninderung
von 4^ aus:
der 1
.")
5
9
Oder; Beim Resultat 2i ist die Verminderung
die Verminderunir beim Resultat 4?
Wie
5.
Verminderung der
Resultat:
5
1
durch ^\
;
grofs
ist
ö
div.
mit 4 mult.:
1
4
um
15 mufs also
Sie
erhalten.
ist
um
8 vermindert werden,
daher 15
8
7.
— =
die gesuchte Zahl zu
N leiht dem A ein Kapital zu 5*^/0 auf 8 Moanderes Kapital, welches um \W) Jl. kleiner ist,
das Doppelte jenes ersten Kapitals, zu 4 "/o auf 9 Monate.
Beispiel.
2.
nate,
als
dem D
N
erhält
er
dem
von
ein
./
A und B zusammen 305 Jl.
Auflösung.
l. Hypothese.
des
ß
(s.
Zinsen.
Wie
viel hatte
geliehen?
Aufgabe)
Das Kapital des A
=2
•
1500
1500, dann
sei
— 100 = 2900.
2
ist
das
.
1500
A
Zinsen des
B=
Zusammen 50
-|-
87
= 137
50;
100
2900.
87.
100
Zinsen (also nicht 305,
wie die Auf-
gabe verlangt).
2.
des
Das Kapital
Hypothese.
ß =2-2700 —
100
= 5300.
Zinsen des
Zusammen 90
-|- 1
umme
A
=
ß
=
^
des
=2700, dann
sei
ist
das
2700. -|. 5
tttt:
— — = 90
-
100
5300.
44 -4
100
59 =^ 249 Zinsen
der Zinsen:
=
(statt
159.
305 der Aufgabe).
§• ^ö-
270
Proportionalität.
Steigt die Summe der Zinsen von 137 bis 249, d. i. um 112,
so steigt das Kapital des A von 1500 bis 2700, d. i. um 1200.
Steigt nun die Summe der Zinsen von 137 bis 305, d. i. um 168,
um wie \\q[ wird dann 1500 bis zum gesuchten Kapital steigen
müssen?
Steigen der Summe
der Zinsen:
Vergröfserung des
Kapitals 1500:
1200
112
168
Bei 112
ist
9
die Vergröfserung (der
1500)=
1200;
1200
1
112
1200.168
ifiS
Das Kapital 1500 ist also um
gesuchte Kapital des A zu erhalten.
1800 zu vermehren,
Dieses ist daher
um
das
= 1500 + 1800 = 3300
B
= 2 3300 — 00 = 6500
und mithin das Kapital des
•
15.
Jl.
1
Auflösen durch Rückwärtsschreiten.
Gewisse Aufgaben lassen sich einfach dadurch lösen, dafs man
vom bekannten Endresultat aus bis zur unbekannten Ausgangszahl
rückwärts schreitet.
Beispiel.
5 Personen, A, B, C, B, E, machen ein Spiel.
Zuerst soll A jeder der übrigen Personen so viel geben, als er
schon hat (hatte z. B. B 17, so würde A dem ^ 17 zu geben
haben), hierauf soll B jeder der übrigen Personen so viel geben
'.
E
B
hat, hierauf C, dann
und zuletzt E. Nachdem
so viel gegeben, als er schon hatte, besafsen sie alle gleichviel und zwar Jeder Ih^Jl
Wie viel hatte Jeder im Anfange?
als
er jetzt
Jedem
Auflösung.
Nachdem
A
B
256
256
E
gegeben, hatte
C
B
E
256
256
256.
A (desgleichen B, C und B) 128 gehabt
alsdann von E noch 128 zu bekommen hatte, so
dafs er nun jene 256 besafs.
Mithin hatten sie vor dem Austeilen des E:
Folglich niufs vorher
haben,
Da
weil
er
E
A
B
C
B
128
128
128
128
?
=
512 gegeben hatte
jedem 128, zusammen also 4 128
und noch immer 256 behalten, so mufs er vor dem Austeilen
512
i:
•
+ 256 = 768
gehabt haben.
Folglich besafsen sie vor dem Austeilen des
E'.
§.
Von den
51.
entgegengesetzten Gröfsen.
A
B
C
D
E
128
128
128
128
768.
Vor dem Austeilen
des
64
D
64
271
mufs Jeder
64
?
384
gehabt haben, D aber offenbar: 128 vermehrt um das, was er dem
704.
64
64
64
384
A, //, C und E gegeben, d.i. 128
Vor dem Austeilen des D besafsen sie also:
64
64
In gleicher Weise findet
man
64
32
Für C
32
192.
?
336
176
96.
656
336
176
96.
ergiebt sich 32
Vor dem Austeilen
?
Austeilen des
C-.
192.
352
16
16
352
384.
672
32
Vor dem Austeilen des
Für A
?
dem
+ 32 + 32 + 352 + 192 = 672.
ergiebt sich 64
32
Für B
704
vor
=
+ +
+ +
B-.
+ 16 + 336 + 176 + 96 = 656.
des
A
328
ergiebt sich 16
Daher
Daher
oder der anfängliche Besitz:
168
88
48.
88
48.
+ 328 + 168 + 88 + 48 = 648.
Sie besafsen mithin anfänghch:
648
§.51.
328
168
Von den entgegengesetzten
Gröfsen.
(Positive und negative Gröfsen.)
1.
Entstehung und Wesen.
Betrachtet man Gröfsen, die nur
in einer Richtung vorvon einem Standpunkte innerhalb derselben aus, so
ergeben sich zwei entgegengesetzte Richtungen.
a.
handen
sind,
Betrachtet
man
z.
B. die Teile der geraden Linie
5
L
L
N
N
M
von
aus, so eru;el)cn sich die beiden entgegengesetzten
Richtungen iM .\ und .)/ L. Man nennt alsdann die eine Richtung, z. B.
A\ die positive, die entgegengesetzte, ML,
die negative.
Betrachtet man die Teile der Geraden (JR
von S aus, so ist z.B. QS jiositiv, SR negativ. Gewöhnlich setzt man die Richtung nach rechts {M N) und nach
oben {S Q) positiv, nach links {ML) und nach unten {SR)
M
negativ.
R
272
§.
Von den
51.
entgegengesetzten Gröfsen.
b.
Liegen die Gröfsen nicht so, dafs sie von irgend einem
Standpunkte aus betrachtet nur in 2 entgegengesetzten Richtungen
vorhanden sind, können sie vielmehr jede nur mögHche Richtung
einnehmen, so sind sie weder positiv noch negativ, man nennt sie
alsdann absolute Gröfsen. So sind z.B. die Seiten eines Dreiecks
absolute Gröfsen (Linien), da jede in Bezug auf die andere eine
beliebige Richtung einnehmen kann.
Eben so ist der Radius eines Kreises
eine absolute Gröfse,
da er nach
jeder Richtung hin liegen kann. Zieht
man
dagefjen
vom Durchmesser UV
nach oben und unten
Senkrechte bis an die Peripherie, so
sind die oberen den unteren immer
eines Kreises
entgegengesetzt, und man bezeichnet
daher die oberen als positive, die
unteren als nesrative Senkrechte.
d
a
I
M
M
A
I
I
D E
I
I
von dem aus die Gröfsen entgegengesezt
den Zahlen offenbar
(Null). Denn mifst man von
aus die Strecken
mit der als Einheit geA, MB,
dachten Länge MA
Ma, so erhält man für MA die Zahl 1, für
die Zahl 2, für
C
Geht man von A{=\) aus
u. s. w.
in der Richtung nach M, so nimmt auch die von
aus gemessene
Strecke, folglich auch die gleichbedeutende Zahl fortwährend ab
Der Mittelpunkt
liegen
,
ist
,
bei
M
MB
M
M
MC
=
"i
:
M
111
—
1
r-, -tt;^
B. -— (= der Hälfte von MA), -—,
100
2
4
10
u. s. w., bis man zu i>/=0 gelangt.
Auf der andern Seite würde
man die jenen Gröfsen MA=^\,
.... entgegengesetzten Gröfsen
erhalten.
Mh ^.
und man
erhält
z.
MB^I
= Mc^3
Ma=\.
6
7
8
9
I
!
t
'
10 11 12
\
'
f
Setzt man in vorstehender Linie die gleichweit abstehenden
Punkte mit den Zahlen 6, 7, 8, 9, 10, ...
identisch und betrachtet man 9 als den Mittelpunkt, so würden die von 9 gleichweit abstehenden Zahlen 11 und 7 offenbar entgegengesetzte Zahlen vorstellen.
Da nun 11 um 2 gröfser als 9, 7 um 2 kleiner
als 9, so würde man demnach vom Mittelpunkte 9 aus durch Anwendung der entgegengesetzten Operationen Addition und Subtraktion entfresrengesetzte Zahlen erhalten.
.
Läfst
man
die Zahlen
nach rechts hin abnehmen,
12 11 10
9
8
7
z.
B.
6
d
,
§.51.
SO
Von den
würden gleichwohl
liegen
entgrefirensresetzt
durch Addition
der
entgegengesetzten Grüfsen.
273
und 7 in Bezug auf den Mittelpunkt 9
und die eine Zahl würde o;anz wie vorher
1 1
Zahl 2
zum
Mittelpunkte 9,
entgegen-
die
vom Mittelpunkte 9 entstehen.
Hieraus folgt: Entgegengesetzte Zahlen entstehen dadurch, dafs man vom Mittelpunkte aus dieselbe
Zahl addiert und subtrahiert.
gesetzte durch Subtraktion der 2
Da nun nicht 9, sondern, wie oben gezeigt worden ist,
e.
der Mittelpunkt der Zahlen ist, so müssen die beiden Zahlen,
um 4 einerseits und durch Verwelche durch Vermehrung von
um 4 andererseits entstehen, offenbar entgegenminderung von
Obgleich es gleichgültig ist, Avelche von diesen
gesetzt liegen.
und 4 entstehenden Zahlen positiv und welche negativ
beiden aus
genannt wird, da Positives und Negatives nur Entgegengesetztes
bezeichnet, so entspricht es doch dem bisherigen Charakter der
sind, positive (affirmative, beZahlen, dafs diejenigen, welche
sind, negative
jahende, wirklich vorhandene) und die, welche
genannt werden.
Da man die positiven Gröfsen mit -{" (plus), die negativen
die(minus) bezeichnet, so ist die positive Zahl
mit
jenige, welche um 4 gröfser als 0, die negative Zahl
4 dieist.
jenige, welche um 4 kleiner als
>
<
—
+4
—
f.
Der bisherigen Entwickelung gemäfs gewinnt man durch
nachstehende Linie Y ein anschauliches Bild sämtlicher positiven
und negativen Zahlen:
— OO
'''
—5 —4 —3 —2 —1
....
4I
1
-1-2 -1-3
I
'
-f4
I
+5
.
.
.
.
+ CO
(Y)
'
Positive Zahlen.
Negative Zahlen.
Zugleich ergab sich, dafs
+4
—4
um
„
„
und
4 gröfser als die hnks liegende Zahl 0,
4 kleiner „ 0_, d. i. (s. §.1,6)
4 gröfser „ die links liegende Zahl
4
—
folglich:
+
4
Jede
um
8 gröfser
als die links
liegende Zahl
—4
Y
ist.
enthaltene Zahl ist demnach gröfser als
der Linie
eine links liegende und zwar um so viel Einheiten gröfser, um so
viel Abschnitte (Einheiten) sie von der links liegenden entfernt
ist.
in
Daher
ist
+9
+9
um
„
7 gröfser als -|-2,
8
18
,
§-51.
274
Von den
+ 3
- 6
+ 40
+ -1
und
folglich
entgegengesetzten Gröfsen.
um
7 gröfser als
10
30
„
„
„
„
„
„
1
um
9
8
„
-1
2 kleiner als
5
„
„
+
-
50
„
Die Strecke von
die von
5 bis
4,
—16,
+10,
1
auch
—
—
-
—
„
„
+5
1
4,
+42.
ist eben so
(s. die Linie Y)
oder von
3 bis +2, oder von
Diese Strecke (von 5 Einheiten Länge) würde also,
6.
wenn sie unabhängig von einer entgegengesetzten Lage gedacht
wird, die absolute (weder positive noch negative) Zahl 5 vorstellen (s. Satz b).
Mifst man jedoch mit dieser „absoluten Zahl"
vom Mittelpunkte
aus nach rechts, so entsteht die positive Zahl
5.
5 entgegengesetzt (nach links) die negative Zahl
g.
grofs, als
11 bis
—
—
+
—
bis
—
0,
,
—
:
+
Folglich hat man in der positiven Zahl
5 und in der negativen Zahl
5 zuerst das Vorzeichen (+ oder
)
zu unterscheiden, welches die vom Mittelpunkte ausgehende Sichtung angiebt, und dann die absolute Zahl (5), mit welcher die Entfernung
vom Mittelpunkte (0) gemessen wird.
Abstrahiert man von der Richtung, so drückt man sich aus:
2" (d.h. die
5 ist absolut genommen um 3 gröfser als
absolute Strecke, resp. Zahl 5 ist um 3 gröfser als die absolute
Strecke, resp. Zahl 2), oder: „
6 ist absolut genommen um 10
16" (vergl. das 7. Beisp. in f.).
kleiner als
—
—
—
„+
—
—
h.
Da die absolute Strecke 4 (die absolute Zahl 4) um 1
gröfser als die absolute Strecke 3 (die absolute Zahl 3), die posi3
tive Zahl
4 aber auch um 1 gröfser als die positive Zahl
ist (die negative Zahl
4 ist um 1 kleiner als
3!), so sind
+
mithin die positiven
—
+
—
Zahlen den absoluten gleich.
Zahl kann also
positive gesetzt werden.
positive
stets
die
absolute,
Für
die
für die absolute die
i.
In „8 Personen" ist die Zahl 8 zunächst eine absolute, weil
hier keine entgeg-eno-esetzte Eichtun«; auftritt. Nach Satz h ist diese
absolute 8 aber auch der positiven 8 gleich.
Von 8 Personen
—
können
2 Persich 10 Personen nicht entfernen, das Resultat „
sonen" würde wegen der mangelnden entgegengesetzten Richtung
unmöglich sein. Allgemein:
Individuen, bei welchen eine entgeg enge setzte Richtung nicht auftritt, lassen nur positive, nicht aber
negative Zahlen zu.
—2
Tritt
.
.
.
.
ein Ereignis 2 (d.
Minuten nach
7
i.
Uhr
+ 2)
—
Minuten, oder +1, 0,
1,
mufs es resp. 7 Uhr 2 Min,,
ein, so
4
§.51.
Uhr
7
1
Um.,
7
Von den
Uhr
nach
275
Uhr 59 Min., 6 Uhr 58 Min
Uhr ist daher gleichbedeutend mit
Min., 6
— 12 Min.
stattfinden.
entgegengesetzten Gröfsen.
.
7
—
12
12 (d.i. +12) Minuten vor 7 Uhr. In gleicher Weise ist
Min. vor 7 Uhr gleichbedeutend mit +12 Min. nach 7 Uhr. In
solchen Fällen haben also sowohl die positiven, als auch die negativen Zahlen Sinn, und es können sogar die positiven Gröfsen in
negative, die negativen in positive umgekehrt werden.
+4 und — 4 erhält
k.
um
mehrt, resp.
die
„
gleich
,
+ 4,
—
+4
Summe
Folglich
dafs
4
—+4 die
ist
um
man
4 ver-
ist
der positiven Zahl
negativen
„
„
—4
Differenz
oder die positive Zahl
die negative Zahl
+4,
—
die Abkürzung für die Summe
Abkürzung für die Differenz
4.
Um
und
man dadurch,
4 vermindert.
daher die Sätze
in
Bezug auf
die entgegengesetzten (pos.
kann man für
+
+
+
das
4 (wobei
das Additions4 (wobei
Vorzeichen) einstweilen die Summe
4
zeichen), eben so für
4 (
das Vorzeichen) die Differenz
(
das Subtraktionszeichen) setzen und die Rechnung mit dieser
Summe und Differenz statt der positiven und negativen Zahl ausführen.
Erhält man dann als Resultat z. B. die Differenz
7,
80 setzt man dafür die negative Zahl
7, und erhält man die
neg.) Zahlen zu beweisen,
—
—
•
—
+
—
—
—
Summe
0+
2
„
,
so setzt
man
2
dafür die positive Zahl
o
+^o
Anmerkung. Aus geometrischen Gründen hat man sich die Linie
der positiven und negativen Zahlen auf der Oberfläche einer unendlichgrofsen Kugel zu denken. Die vom Nullpunkte aus auf dieser Oberfläche
und
<»
nach links zu
fortgesetzte Linie gelangt nach rechts zu -|- oc
da diese beiden Punkte gleichweit von 0, aber auch unendlich weit entfernt
sein müssen, so liegen sie
gegenüber. Der vom Nullpunkte durch den
Mittelpunkt dieser Kugel gezogene Durchmesser mufs also jenseits auf
-|- Gc und
cc treffen.
Wie man von
aus beim Fortschreiten um nur
ein unendlichkleines Stück nach links zu
gelangt, so mufs man auch
er aus beim Fortschreiten um nur ein
in der Richtung nach rechts von
co liegen also so
oo gelangen.
<x>
unendlichkleines Stück zu
und
unendlich nahe beisammen wie -f0.
Wollte man dieser Aufund
fassung entgegenhalten, dafs die Linie der entgegengesetzten Zahlen doch
nur in einer Ebene und nicht auf einer gekrümmten Fläche lägen, so ist
dem zu erwidern, dafs der Teil der unendlichgrofsen Kugel, in welchem
wir die endlichen und wenn auch noch so gröfsen Zahlen konstruieren,
doch nur eben seift kann. Denn wiche derselbe von -}- Decillion bis
Decillion nur um das geringste Angebbare von der Ebene ab, so wäre die
Kugel nur eine sehr grofse endliche, aber keine unendliche.
—
,
—
+
—
+
,
—
+
—
—
—
2.
a.
Addition mit entgegengesetzten Zahlen.
Formelle Additio'n.
—
Summe der entgegengesetzten Gröfsen
8, +11 und
müfste vollständig (— 8)
(+ 1 1) (— 14) geschrieben werd. h. die negative Zahl
8 vermehrt um die positive Zahl
Die
— 14
den,
—+
+
18*
:
§ ^^-
276
^^" ^^°
entgegengesetzten Gröfsen.
—
14. Man läfst jedoch
11 und vermehrt um die negative Zahl
das Additionszeichen stets weg und schreibt die zu addierenden
Gröfsen nur mit ihren Vorzeichen neben einander. Jene Summe
-f-
ist
daher
= —8 + 11 —
Die
Summe
„
,,
von
„
Ist der
„
14.
— 5 und — 13 = — 5— 13;
-2, +4 und +30 = — 2 + 4 + 30;
— —7 und — 8 = —6 — 7 —
positiv, so läfst
Daher
die
Summe
Eine solche
von
8.
6,
I.Summand
+3
das Vorzeichen weg.
— 10 = 3 — 10;
und +36=1 — 20 + 36;
und +23 = 18 +
und
„
+1, —20
„
+18
Summe
man
23.
von positiven und negativen Zahlen nennt
man „algebraische Summe", die zu addierenden Zahlen „Glieder" derselben. Die vorletzte Summe ist also eine dreigliederige.
Umgekehrt bedeutet
— 4 + 6 — 8 so
+ (-6) + (-8)
(-4)
<
viel als
§. 51.
Von den
entgegengesetzten Gröfsen.
277
Zahlen, die Minuszeichen aber Subtraktionszeichen
0, 7, 5 absolute
=0 — 7 + — 5 = — 7— 5 = — (7+5)
sind]
Eben
= — 12
=--12
(Diff.)
Zahl).
/
(nerr.
v
»
so:
+ 3 + 4 = (+3) + (+4) = + + (0 + = + 3 + + 4
= + 3 + 4 = 0+7 (Summe) = + 7
Zahl).
(0
4)
3)
(posit.
Anmerkung. Der Anfänger
Summe von
7
sich
— 7 —.5
auch
+ 3 + 4 = Summe
tive Einheiten =—12.
Eben so
-j7 pos. Einheiten
Einheiten
=
=
Um
II.
könnte
negativen Einheiten und 5 negativen Einheiten
2
von 3
denken
= 12
u. 4
als
nega-
positiven
7.
ungleichstiramige
verschiedenen Vorzeichen
(mit
behaftete) Zahlen zu addieren, vermindert man die gröfsere absolute Zahl um die kleinere und giebt der Differenz das Vorzeichen
Summanden
des
mit der gröfseren absoluten Zahl.
— + =
I.Beispiel.
um
13
8
8 vermindert
Die gröfsere absolute Zahl 13
?
absolute Zahl der zu
suchenden Summe. Das Vorzeichen derselben ist das der gröfseFolglich ist die verlangte Summe
ren absoluten Zahl (13), also
kleinere
die
giebt 5 als
—
.
— +
2. Beispiel.
19? Die gröfsere absolute Zahl 19 ver7
12 (die absolute Zahl der Summe).
mindert um die kleinere 7
Das Zeichen ist das des Gliedes +19, weil dieses die gröfsere
12 oder =12.
absolute Zahl hat. Daher
=
=+
=
—
(— 13) (+ = — 13) + (0 +
Beweis.
13 + 8
= — 13+0 + 8 = 0— 13 + 8 =+ — (13 —
= —5
=—5
Zahl).
—
=
_7 + 19 +19 7=(0 + 19)-f-(0 — = + 19 + — 7
= + 19— 7 = + (19— = + 12 (Summe) = 2
Zahl).
Beweis. Zwei ungleichstimmige Zahlen mit gleichen absoluten Zahlen heben
B. +7 — 7 = 0; denn (—
(+
= — + + = —8+ +8= —8+8= +
Nun ist— 13 + 8 = — 5 — 8 + 8 (und weil — 8 + 8
hebt)
= — Eben so — + 19 = — 7 + 7 12 (und weil —7 + 7
sich hebt) =+12.
Beispiele. +3 — 7 = — 4 oder 3 — 7 = — 4;
+ 11— 8 = + 3 oder 11 — 8 =
5
22
.,,.,,
absolute
~ 11 = 15 ~ 22
~ 15 == 7 Siebt
(0
8)
1.
8)
9, 19]
[s. §.
8)
(negat.
(Diff.)
7)
1
7)
(posit.
2.
sich,
(0
8)
(0
z.
8)
8)
8)
0.
sich
7
5.
-f-
3.
^
"8
Zahl der
lute
IT
Summe,
die
2?
wegen
2^
"24
24:
— —22—
.
negativ
die
.
ist;
daher
=—
7
-^j-.
— 17^+132? Da 17|-13f = 3|^ und die gröfsere absoZahl 17f das Zeichen — hat, so
die Summe = —
— 6f +
—
die absolute Zahl der Summe,
6^ = Gtit
3^
wegen +13^ positiv
daher = + 6yV
ist
1
die
2l
34^?
ist
1
ist;
3]-^.
^on
§• ^^*
278
den entgegengesetzten Gröfsen.
Anmerkung.
Geht Jemand (siehe die Linie unter 1, c) von
nach C und dann von C nach e, so ist er vom Nullpunkte 31
aus 3 Schritte nach rechts und dann 8 Schritte nach links, oder
3 Schritte in positiver Richtung und dann 8 Schritte in negativer
Richtung gegangen, mithin stellt diese Bewegung die Summe
M aus
+ 3 — 8=+3—8=—5
dar.
genommen
Absolut
sammen
11 Schritte
Summe "
ist =11.
von
+3 — 8
(d.
i.
die
Summe
der
absoluten Zahlen)
2 ungleichstimmige Zahlen addiert man ent1 die positiven Zahlen für sich, eben so
für sich addiert und dann beide Summen nach II
Mehr
III.
(Punkte!)
er aber zuerst 3, dann 8, also zugegangen. Man sagt daher: Die „absolute
ist
als
weder, indem man nach
die negativen
Z. B.
vereinigt.
Oder man addiert zunächst (nach §. 33, 4d) die Brüche für
welche einen kleinern Generalnenner geben.
Daher
sich,
S^ -l^^-\ Ul + 5^^ = (8^ - lj\) - (1 T^f - 5^)
= lV^-12i=-llJ^.
—
—
+
7 und
IV.
7
4 kann ebensowohl als Addition von
4,
wie auch als Subtraktion der absoluten Zahl 4 von der absoluten
Zahl 7 aufgefafst werden. Ein Fehler kann hierbei nicht entstehen,
da man in jedem Falle -|- 3 oder 3 erhält.
Obgleich nur die
V.
Gleichung
die
mathematische
Form
der Zahlenlehre (wie der Algebra) ist, so stellt man doch auch die
Summanden des bequemeren Rechnens wegen unter einander.
Daher:
+ 7
—
11
__
Eben
—23
so:
+ 14
= —9
3.
statt
+7 — 11= —
— 5
+6
—2
+29
4.
=+4
=+
24.
Subtraktion mit entgegengetzten Zahlen.
Soll
zu schreiben.
a.
von
7
:
um
+ 3 subtrahiert
—5
werden
,
so hat
=8 — —
man
7
— (+ 3)
(
vermindert ist
5).
Das Minuszeichen ist also Subtraktionszeichen, wenn die darauf folgenden Zahlen mit Richtungszeichen versehen sind.
b.
8
Eine solche Subtraktion verwandelt man stets in eine
indem man die auf das Subtraktionszeichen folgende
Addition,
3
51.
§.
Von
(Jen
entgegengesetzten Grofsen.
279
Parenthese auflöst, wobei sich die in denselben befindlichen Vorzeichen in die entgegengesetzten verwandeln (übereinstimmend mit
16 und 18).
Es ist also:
i^. 9,
1.
Heispiel.
— (4- = — 3
7
+
(Addition von
7
3)
und
7
— 3)
=4.
Beweis.
+ Shd. =7 — 3 + (+3) = 7 — 3 + 3 = 7 = Minuend!
Rest
2.
Beispiel.
— (—3)= + 3
7
+7
(Addition von
7
und
+3)= 10.
Beweis.
Rest
1.
+ Shd. =7 + 3 + (— = 7 + 3 — 3=-7 = Minuend!
3)
Anstatt also H- 3 zu subtrahieren, kann
Zusatz.
addieren,
—3
anstatt
Um
Allgemein:
kann man
2.
denn
Zusatz.
zu subtrahieren, kann
man
-|-
—
man
3 addieren.
und negative Zahlen zu subtrahieren,
mit entgegengesetzten Vorzeichen addieren.
positive
sie
— 3 und 3 — 8 sind einander entgegengesetzt,
+ (8 — letzteres — 8 + 3 = — —
h — a
der Differenz a — h entgegengesetzt;
8
ersteres ist
Allgemein:
(8
3),
3).
ist
man in einer Differenz den Minuend mit
dem Subtrahend, so erhält man die entgegengesetzte Zahl.
[Mithin sind a-^b und b^a (s. §. 18, Schlufsbemerkung),
oder: Vertauscht
d.i.
a:b und b:a, oder
'
,
und
b
—a
len der 2, Stufe; oder: Vertauscht
entgegengesetzte Zah^ ^ '^
man den Dividend
mit
Divisor, so erhält man entgegengesetzte Zahlen dieser
Art, d. i. die reciproken Zahlen.]
dem
— 11+3 — 20 subtrahiert wer6 — 13
= 6— 13 — (—11+3 — 20)
= 6—13 +11—3 + 20 [somit
SubAddition verwandelt]
=
Von
Beispiele.
den:
soll
ist
die
traktion in
21.
Von
— 18 +
7 soll
+9—2 + 31
subtrahiert werden:
= —18 + — (+9 — 2 + 31)
= —18 + —9 + 2 — 31 (Add.!)
=—
14 — 41 subtrahiert werden! Man denke
+14 — 41 subtrahiert werden:
= —10 — (+14 — 41)
= —10 —14 + 41
=
7
7
49.
Von
Von
— 10
—10
soll
soll
17.
sich:
3
.
Von den
§-51.
280
Von
entgegengesetzten Gröfsen.
—
49 subtrahiert werden:
5 soll 18 -(-25
5 -(IS -1-25
49)
—
=
= 5 — 8 — 25 -h 49
these gedacht!]
=
[denn
1
+
1
8 in der
Paren-
11.
c.
Unmathematische Form.
— 12 — —
- I Subtraktion bedeutet
(
7).
Nach dem 1. Zusätze des Satzes b kann man eine Addition
daraus bilden, wenn man den Subtrahend (die untere Zahlj in die
entgegengesetzte verwandelt. Daher:
= {~^^}
Eben
_J
so
.
=
Subtr.
}
{
^
,
=
{
J-
Vergleicht
man
und
—
— —
-(-[-....)
— —
man
sammen, so
}
Addit.
48.
—
(-f-3) mit 7
f
3) mit 7 -(-3, so ergiebt sich, dafs
7
7
(
Stellt
18.
4
I
=—
(L
? } Addit-
=
Q
= -hl3.
Subtr.
Q
Addit.
.
.
.
.)
in
—,
in
-f-
übergeht.
Formen mit denen des Zusatzes
man:
in 2, a zu-
diese
erhält
+ (4-..
+ (-..
•
j
}
wird
+
oder: 2 aufeinander folgende gleiche Zeichen verwandeln sich
in +, 2 aufeinander folgende entgegengesetzte Zeichen
in
—
Beispiele.
{— 3j — (— 19)
—
= 5 — 3 19+ (-h4 — 37 (-h
=—
-0-(-9)-fr-f-19)-(+5) + (-2)
= — 6 -h 9 -h 19 — 5 — 2 =
5
-\-
-f-
4)
-f-
37)
12.
15.
4.
Multiplication mit entgegengesetzten Zahlen,
a.
Multiplication zweier Faktoren.
§. 51.
+8 +3
I.
[Hier
2
ist es
—8
—8
Für
Zahl
= 24,
geschrieben]?
der absoluten ist, so geht die Aufder posiund weil die absolute Zahl
=
man +24.
also nicht nötig, (ü -f 8)
-f 3 [oder
.
setze
Daher
3.
(+ 3)
=
281
•
(0
+ 3) zu
niultii)licieren.]
Faktoren geben mithin ein positives Produkt.
j)ositive
II.
lute
8-3
in
so erhält
ist,
entgegengesetzten Gröfsen.
(4- 8)
positive Zahl
die
gabe über
tiven
|o(ler
•
Da
Von den
(— 8) (+
man
(0
—
3)]
?
— für +3 die
—8 3
= — 24 (negat. Zahl).
die Differenz
8)
•
= - 24
3
=
•
(Diff.)
abso-
8,
3
(s.
•
5^.
11 , 5)
Zahl mit einer positiven multipliciert giebt also
ein negatives Produkt.
P^inc negative
(— 9)-4 = — 36.
Beispiel.
+9.-4
III.
Da
Anordnung der Faktoren
die
=— +9
4
(+ 9) (— 4)] ?
[oder
und nach
-
=—
II.
beliebig
ist,
so
ist
dies
36.
Eine positive Zahl mit einer negativen multipliciert giebt also
ein negatives Produkt.
7(— 6) = — 42.
Beispiel.
—8 —3
man
— [wo
IV.
—
(— 8) (— 3)] ?
[oder
•
Setzt
8)'(
statt
des
1.
Faktors eine Differenz, so erhält
man
und 8 absolute Zahlen, das I.Minuszeichen
aber Subtraktionszeichen] =0'(
Der
[8 '(—3)] s. §. 11,5.
3)
t. Teil ist hier=Ü und die absolute 8 auch der positiven 8 gleich,
daher
(— 24)
24 (Summe)
[(+ 8) (— 3) -(()
3)
= —
= + 24
]
— —
= +
—
(posit. Zahl).
2 negative Faktoren geben also ein positives Produkt.
Aus 1 und IV, sowie
Haben beide Faktoren
V.
II u. III folgt:
gleiche Zeichen, so
ist
das Produkt
positiv.
Beispiele.
+.-,.+
7
=+
.3r,;
- ^.-1=+^-.
Haben
die beiden Faktoren verschiedene Zeichen,
das Produkt negativ.
^
Beispiele.
.
Sind
b.
wandelt
l.
.
man
,
ist
7
21
1,3
,3
= -—;
_^-.
+ _ = _^^-.
+,^.-^^
1
mehr
als 2
je 2 negative
Beispiel.
so
(—!)(-
= +2
Faktoren zu
Faktoren
2)
.
multiplicieren,
so
in ein positives Resultat.
(+ 3) (—4) (-5)
+3 +20 - +120.
•
ver-
:
.
Von
§• »l-
282
2.
den entgegengesetzten Gröl'sen.
Beispiel.
(-4) (-3) (-10). (H- 2) (-5). (-6 )
= (+12)
= — 7200.
Aus beiden
•
(-10). (+2)
(+30)
•
=(+720).(-10)
allgemeine Regel
Beispielen folgt die
(die
auch
macht)
die Sätze unter a überflüssig
Das Zeichen des Produkts richtet sich nur nach
der Anzahl der negativen Faktoren. Ist diese Analso gerade, so ist das Produkt
zahl
0, 2, 4,
=
.
positiT, ist sie
.
.
=
.,
1, 3, 5,
.
.
.
also ungerade, so ist
.,
das Produkt negativ.
Beispiele.
(
—
3)
(
—
2)
(
— 1)?
3 negative Faktoren geben ein neg. Pro-
= — 3.2.1= —
(—
(—4). (+10). (—2) -(—5)? 4 negat. Faktoren
Produkt, daher = + 2.4.10.2.5 = 800.
2 (_
negat. Faktor = — daher
6 8
= — 2.5.6.8 = — 480.
dukt, daher
6.
2).
geben
ein posit.
5)
.
•
?
•
1
,
(+3) .(+4)?
Faktor
(kein) negativer
= + 3.4 = +12.
=+,
daher
Die Glieder einer Summe sind nicht immer ein1. Zusatz.
fache Zahlen, vielmehr oft auch Produkte, Quotienten, überhaupt
Ausdrücke, die durch höhere Rechnungsarten als Addition und
oder
Subtraktion entstanden sind, immer aber sind sie durch
—
+
getrennt.
1.
Beispiel.
l-(-2)(-3) + (-l)(-4).5 + 7.(-9)-6.(-10).2
A
S
wo
A
S
A
„Additionszeichen", S „Subtraktionszeichen", 7 und 6 absolute Zahlen bedeuten, für die auch positive Zahlen gesetzt werden können. Diese Summe ist daher auch:
—
1
.
Hier
ist
'
- (- 2
I.Glied
2.
)
(- 3) + (-
Glied
— -4) (+
1)
3.
— (+6) (—
5.
1
(
Glied
0)
5)
+ (+
4.
7)
(-9)
'
Glied
(+2)
Glied
zu unterscheiden, denn die Zahl, welche mit der folgenden nicht
mehr durch Multiplication oder Division oder höhere Rechnungsarten verbunden ist, bildet die Grenze des Gliedes.
2 ist daher
die Grenze des 2. Gliedes noch nicht, weil diese Zahl noch mit
der folgenden (
Jene Summe ist nun
3) multipliciert ist.
—
—
Von den
§.51.
entgegengesetzten Gröfsen.
283
= - (+
(+
+ (- 63) - (- 120)
= — 6 + 20+— 63 4- 120 =
2(1)
6)
1
72.
1
+
7 (— 9)— tj(— 10) 2 [siehe das
Anmerkung. 1
des vorstehenden Beispiels] könnte nach dem Satze l,a
von
1
(-1-7)
,
(—
und (—
9)
(—
6)
= +(+')(- 9)
= -f (— 63)
1
und
4.
auch
gedacht werden
als
5.
Glied
Summe
(- 6) (- 10) (+ 2)
120)= 1 — 63-1-120, ganz wie oben!
-f-
-j- (-}-
1
10) (-f- 2)
1.,
Beispiel.
2.
+ 2(-3) -6 (-7) (-10) -JA -(-5). 2
(-4) (-5)
Glied
1.
2.
Glied
3.
Glied
4.
Gl.
= -F 20 4- (- - (-f 420) — — (—
= 20 — 6 — 420 — 11-h lÖ = — 407.
6)
5.
1 1
1
Glied
0)
Das vorstehende 3. Glied enthielt 3 ^linuszeichen (das Vorzeichen des Produkts inbegriffen) und verwandelte sich in die nega420.
tive Zahl
Das 1. und 5. Glied enthielten 2 Minuszeichen
und beide wurden positiv. Hieraus folgt, dafs die allgemeine Regel
unter b zugleich mit auf das Vorzeichen ausgedehnt werden kann.
—
Beispiel.
Zj +2(-3) + 5(-6)(-S)(-2)-4-(4-15)-(-9
Min.
1
1
Minus
3
Minus
2
Minus
1
8
)
— 5.6-8.2
= —1 —2-3
+4-15.9
= — — 6 — 4S0 -f 540 =
Zusatz.
=-|+8-— 1= — 8-1=-— — 8 •— = +
Es
man
oder negative) Zahl
irgend
entgegengesetzte Zahl.
Wäre nun
mit —
man
so
auch der Wert von a —
unbekannt, immer müfste
53.
1
2.
8;
ist
Multipliciert
1 ,
eine
also
erhält
(a
—*+
c)
-
den entgegengesetzten Wert geben.
—3
d.
i.
dem
—
1
Daher
ist
auch
dem Werte
(8-3)-(-l)
= 8.(-l)-3-(—
—8
der Differenz
3
Zusätze in
3, b).
2.
5.
8.
1
die
b -\- c
8
•
(positive
1)
(s.§. 11,5)
entgegengesetzt
die Differenz
=-8 +
3,
(übereinstimmend mit
Division mit entgeorensjesetzten Zahlen.
Hier gelten dieselben Regeln wie in der Multiplication.
Enthält der Quotient nur multiplicierende und dividierende Zahlen,
so bestimmt die Anzald der negativen Zahlen das Zeichen des
Ist diese Anzahl gerade, so ist der Quotient positiv,
Quotient.
ist sie ungerade
negativ.
a.
:
Beispiele.
+5
.
(keine negat. Zahl
im Quot.)
= + ^5
—
284
Von den
§• ^1-
entgegengesetzten Gröfsen.
negat. Zahl
(1
+ 4 _ 4 __J_
— 8 "~ 8~~
2'
12
— 9 negat.
^ Zahlen
(2
-|
'
Zahlen
^
'
10
= 12—
=
9
^
^
= - 12-2
'
^
(3 negat.
^ = — 5.
im Quot.)
'
^ ^~ ^^
(— 12) (— 2)
=
im Quot.)
-\-
l^.
*
!
)
'
10
10
—-^ = 4-—? Quot. X Dsr. =+^
= — -^.9 = — 12 = Dividend!
Beweis.
In gleicher Weise die übrigen Fälle!
Beispiele.
—6.-7
2
—6
-8
1
2
'
^+2
-6
—8
—6
"^
,
10
,
—4
-f-^,
3
—7
+2
+1
.
d.i.
'
—4
,
"^
+10
+3
=-|-(+l)+(-4)-(-|)+(+-^)
...
3
1
3
1
-T"~^^"^T"^^^
= -^-3i + 3 = -l.
(_2).3^(-6)(-10)
=_4_f
= —4-4-—
^6
\
1
^—]-(
L.)-!"
2-3/^\
(-8) (-15)
6-lOy
V
^)
8-15/
12^6 = _33*
1
1
i_4._!_
Zusatz.
Es
ist
+8: — 1= — y = — 8;
— 8: — 1= + y = +8.
man also irgend eine (positive oder negative) Zahl durch
so erhält man den entgegengesetzten Wert dieser Zahl. (Vergleiche den 2. Zusatz in 4,b).
Dividiert
—
1
,
b.
Da
^=—
(
+ ^)=='"~"ö"»
^^^ 3
Minuszeichen der
I
§.51.
Von den
entgegengesetzten Gröfsen.
285
Aufgabe
also ein negatives Resultat geben müssen, so kann man
allgemeine Regel liinsichtlich der Anzahl der Minuszeichen
auch auf das Vorzeichen ausdehnen. Daher:
die
-4
1
Min.
3 Min.
2 Min.
4
—3
"^
8
Min.
1
"^
"^
3
8
= -7-| + U-
3
12(— 5)
2 Min.
"^
—5
2 Min.
"^ 12-5 "^
5
+-| + 6i = 6-|-5i
~ 40*
Enthält der Zähler oder der Nenner Summen oder Diffe80 sind diese vor der Bestimmung des Zeichens in eine
Zahl zu verwandeln.
c.
renzen,
1.
Beispiel.
- I^} = 2.
3.
^
(2
folglich)
;
=+ f
•
Beispiel.
— 11 + 31 __
— 18+7 ~
Beispiel.
—4
20
(IMin.; folglich)
—11
15
— 12
—
4.
Min.
Beispiel.
'
—6+10
2
^ +4
4+
+ y = -2^V
-f
15
l^.--—^-^_-_j^_^
_ H
= —l^V
Von den
§. 51.
286
5.
entgegengesetzten Giöfsen.
Beispiel.
1
Min.
3.4
2.7
1
4 Min.
Min.
17.59. 12
^,
"^"^ 4.12.13
; .. /o
.
2^+
2 Min.
.
4
^
3.37.2.3
6-1.8
111
—
~ _A 07 1QQ3
52
8
= -Y-2-^ + 19H + 13i
= — 0,85714 — 2,77778 + 19,28846 + 13,875
= 33,16346 — 3,63492 = 29,52854.
,
7
'^^"*"
.
"*"
Druck von G.
Grumbach
in Leipzig.
(s. §.
47, 2)
QA
103
335
T.l
B. E. Richard
Lehrbuch der Arithmetik
Schuriff,
Ph>'si.:al
Ä
Applied
Sei.
PLEASE
CARDS OR
DO NOT REMOVE
SLIPS
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