Sitzungsberichte - BAdW

Sitzungsberichte
der
mathematiscil-physikaliscJien Klasse
der
K. B.
Akademie der Wissenschaften
zu M.üiiciiea.
Band XXXVJl.
Jabrgaog 19ü7
UMVERSITV
•
'
r
Verlag der K. B. Akademie der Wissenschaften
1908.
Digitized
by
Google
287
Über das Bogenannte
Von
letzte
Fennatsebe Tbeoraa.
F. LittdflBUm.
{Kingtlattf«n 7.
thtmttr
1907.)
In einer früheren Mitteilung*) hatte ich die von Al)el
ohne Beweis mitgeteilten Forniehi al)geleitet. welclie drei der
(tleichung ./"
y"
z** genügende ganze Zahlen x, f/. z durch
=
die n^®" Potenzen dreier anderer Zahlen darstellen.
Die weiteren
daran geknüpllen Folgerungen waren aber nicht korrekt. Trotz-
dem
hielt ich
nutzten
an der Überzeugung
Hil&mittel geeignet
sein
fest,
dai die damals beder Lösung des
mflfiten,
Problems naher zu kommen, und glaube dies Ziel nunmehr
erreicht zu haben.
Zur Erleichterung der Übersicht wiederhole ich im folgenden meine frühere Ahleitung der Aheischen Furmeln (deren
Aufstellung durch
Ahel mir damals
erst nachträglich
bekannt
wurde) unter HinzufUgung einiger illrgänzungen.
Bekanntlich hat
Fermat, ohne
einen Beweis anzugeben,
den Satz angestellt, daß die Gleichung
durch drei ganze Zahlen
o;**
-|- «**
nicht
8 befriedigt werden kOnne, sobald die ganze Zahl » grSfier als 2 ist. Diese Angabe wird
uns in der Ton Bachet Tenmstatteten Diophant- Ausgabe')
y,
Diese Sitzungsberichte, Jahrgang 1901.
Diophanti Alexaadri arithmetieomni libri lez, et de numeris
multangulit Uber unoi. Com ocnnineatariis C. G. Baoheti V. C. et
*)
obwrvationibiM D. P. de
Analjrticae
eiMttoUs.
Fermat
Senatoris Tolosani.
inventom novum, coUeetum et
ToloMe, HDCLXX.
Tariijs
Acoearit Dockriime
eiosdem D. de
Fermat
288
Hitirnng der iiiath.>pbja.
überliefert,
welcher
in
KUuae vom
Donnber
7.
Handbemerkungea mos
gelegentliche
Ferroats Handexemplare abgedruckt wurden.
Vm
im zweiten Buche Ton
1907.
Diophants
Die Qoaestio
Arithmetik handelt
nämlich von der Aufgabe, ein gegebenes Quadrat in die
zweier Quadrate zu zerlegen ; und
am
Summe
Schlüsse dieser Qoaestio
findet sich folgender Passus;*)
.Obserratio
„Cubnm
autein
Domini Petri De Fermat.
duos
in
aut quadratoquadratum
(iibos,
,in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in intini-
,tum
quadratum potestatem
ultra
in
duos eiusdem nominis
,fas est dividere cuius rei deroonstrationem mirabilem sane
Hanc marginis
«detezi.
Für den
Fall
einem Briefe an
Tom
Briefe
X* in der
15.
n
=3
eziguitas
betont
Digby vom
7.
August 1657
Form
non caperet*
Fermat
seinen Satz auch in
April 1658.*) in einem anderen
stellt er
die
Aufgabe eine Zahl
darzustellen.*)
H~
Far eine gewisse Klasse Ton Zahlen n (zu welcher
alle
Zahlen unter 100 gehören) hat bekanntlich
Gelegenheit anderer
verifiziert.*)
Untersucburiixcn
B.
z.
Kummer
bei
den Ferni atsrlion Satz
Einzelne einfache Fälle sind
schon vielfach be-
haudelt worden.
I)
Beide
843
et
Wallis, Op-ra Mathematk-a. t. II, p. 844. Oxfcrd 1693.
lirit»fe
ü li;;t'(lnn'kt
in den Oeuvres de Fermat, t.
II,
Henry.
*)
p.
Tannery
Vgl. auch Oeuvres de
Charles
tf.
und
p.
1891.
t.
I,
Fermat,
publies par Paul
p. 291.
376; vgl. ferner
Henry.
Hecherch«':^ sur led nianusoript«
de Pierre de Fernnit, Bulletino di l>il>liographia e di storia delle scienze
matematiehe e fisiche puld. da B. Boncompagni, IM. XII, 1879, wo inabesondere auch die Frage erOrteri wird, ob Fermat im Bentie ron
Beweisen ftr seine SAtse war; vgl. dazu Mansion, NoaveUe correspondanee de math^matiques, t. V.
Monatsberichte der Berliner Akademie, April 1847 oad Grelles
Journal, Bd. 46, p. 98, 1847. ftrner Abhandlungen der K. Akademie der
Witten «« haften
Berlin, 18.57: vgl. die Darstcllunj» bei H. .1. Stephen
m
Smith: Report on
the theoiy of numbers, Part
II.
Association for the advancement o! science for 1860,
Report«
ot'
the Brit.
London 1861, sowie
kju,^
_o
Google
F. Lindemaiiii:
§
Das
289
FeimatBche Theorem.
letite
Zerlegung der Zahlen x, y,z in Faktoren.
1.
Mit
y, 8 seien drei ganze positive Zahlen bezeichnet,
welche der Gröfae nach geordnet sind, so daß:
x>y>B.
(1)
bedeute n eine
Bis
ungerade Primzahl;
n>
(2)
Wir nehmen
an, es bestehe eine Gleichung der
« y- 4-
(3)
and
wollen
so kennen
fallen,
prim
zeigen, dafi diese
Da gemeinsame
führt.
X
(4)
—y
zerlegbar; es
jB"
Annahme zu Widersprochen
Faktoren aus dieser Gleichung heraus-
die Zahlen
y**
ic*
sofort in die Faktoren:
ist
und a!*~'+fl^-*y
muß
—y
Ist die
eine Primzahl
ist 22
muß
vor, so
(4) enthalten sein.
so
kann
+y"'"*
'
Ist
Zahl
R
M"^~^
R ein Faktor
und kommt
die Potenz
in
in
/•
—
jt,
12"
22**
dem anderen Ausdrucke
Potenz einer IVimzalil, etwa
*
von
zusammen den Faktor
die Potenz R* in
die l'otenz 3/^"
muli die Potenz
-h
deshalb auch die Zahl m in entsprechender
in Faktoren zerfallen.
enthalten;
X
jedenfalls als relativ
y, z
so mflssen die beiden Ausdrücke (4)
in
Form:
zueinander Torausgesetzt werden.
Die Diöerenz
Weise
es ist also:
2.
y
7^
=
3/*",
vorkommen, und dann
dem anderen Faktor
enthalten sein.
Eine solche Zerleg^g wird auf mannigfache Weise möglich
bei
Hilbert: Die Tbeoiie der algebmisdbeii ZahlkOrper, Jahresbericbt
der DeatBchen Mathematiker-Vereinigung, Bd.
4, 1894/96, p.
617
ff.,
wo
angegeben ist; hinsnsuftgen sind die Arbeiten
on Genocehi in Band 3 und 6 der Annali di matematica und Grelles
Journal, Bd. 99, femer Pepin, Gomptes xendus, t. 82. Einen eingehenden
Bericht über Fermats Xuchlaß gibt Henry: Bulletino di bil.liogr.ifia.
a. a. 0.; einzelne Notizen findet man auch bei Rouse Ball: Mathematical
recreations and problems. 2"<> edit. London 1892.
auch die
filtere Literatur*
Digitized by
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290
vom
Sitemig der mftth.-phyi. Elaste
7.
Desember
1907.
kann man die folgende Darstellung der
kommenden Faktoren erreichen.
sein; jedenfalls
Betracht
Zaiü Ii werde mit
Eiiiü solche
bezeichnet; daou ist
r,
0 = r'r^'r^...r^,
(5)
(6)
a;
wobei
— y = r»
.
r»-
'
.
rj
. . .
rj_,
« r"
•
•
also:
gesetzt
(7)
drei in
ist,
aj—
ferner:
+
»
.
»"i
kann wieder
Jede dieser Zahlen
zerfallen; fttr das
=
-h jT-'
. .
Folgende
kommen
•
i i
•
•
•
Cll
•
in Tersohiedene
Faktoren
hauptsachlieh die Zahlen
Ist die hier angegebene Zerß, r und r« in Betracht
legung auf mehrfache Weise möglich, so gelten f8r
jede einzelne Zerlegung dieser Art die folgenden Be-
trachtungen.
In gleicher
Weise kann die Differenz x
—#
in Faktoren
zerlegt werden; es ist:
(6*)
a;
— # — 3" =
.
;<
.
-
1
.
jj-«
• • •
«1 -g
•
ä,-if
femer:
(7*)
af-»
+
+
Eine analoge Zerlegung kann auch
(6«»)
(7b)
gj.
•
fll'
y«ä-3,...ä-.
(5*)
zur
•
Anwendung kommen,
y
ftbr
die
Summe y
so daß:
+ iT-i»-.» -i/«.i»f
jpl^,.lJW-i,
+
'
291
F. Lindemann: Da« leiste Fermatacbe Theorem.
§
Offenbar
2.
IBM
Ableitung einer Hilfsformel.
wenn n
sich,
eine ungerade Zahl bezeichnet,
so bestimmen, daß die Differenz:
die Zahl
xy
durch das Produkt
=
Femer kann
durch
x^jf'*
y"
und zwar ergibt
teilbar wird;
sich:
1.
so gew&hlt werden, dafi der Ausdruck:
—
(x
— y)" — 2^\j:y{,c
Man muß
teilbar wird.
von d^~'y gleich Null setzen
Der Faktor von
//)"-•
dem Zwecke den Faktor
N^ssO^
und findet N^n
zu
—
dann von
xff*^^ f&llt
selbst heraus.
Um
ebenso das Aggregat:
a-.
— y« —
JVj(a;
_ y)" _
a;
y (a;
— y)- — jv,
durch o^y* teilbar zu machen,
- 2
muß man
a:*
ist)
zum Verschwinden
(a;
— y)" "
den Faktor
sf^-- y^ (welcher bis auf das Vorzeichen gleich
x^^~^
y*
*
tou
dem Faktor von
bringen, d. h. es mufi:
-^,Q + A,(n-2)-JV. =
0,
also:
_
n(ii-8)
2
sein.
In gleicher Weise wird:
durch
^y*
W,
ist,
oder:
teilbar,
wenn:
- 4) _ n(n — 4)(w — 5)
-».("
2
') ^
=0
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292
Sitning der
iiiatii.-]>hji.
vom
Klaase
Ebenso kann man weiter
7.
Desembtt- .1907.
und
schliefien
findet,
daß das
Aggregat:
durch
teilbar
ist,
wenn
durch die Gleichung:
iV,
*.C-.)-<;a)+''-(::;)-X
/
/
^
/
(8*)
bestimmt wird, welche aussagt, daß in dem Aggregate (8) der
Tersehwindet; und
Faktor von flj»-«+^y« - (oder
'
durch v'm lu kursionsvertahreii erhält
man
leicht (wie wir sogleich
auch direkt bestätigen werden):
N=
(n~5 —
s)
-
1)
.
(w
- 28 + 4) (n — 2g -h 3)
Aus der Rekursionsformel (8») folgt sofort: Sind N^, -AT,,
ganze Zahlen, so ist auch ^V, eine ganze Zahl.
...
Sei
2v-^
nun n
l
und setzen wir 5
^^"^
1.2.3
und wir haben
N
V** (« — y)' =
noch zu bestininien
bar durch
wird
/
'
v,
so wird:
'
id< nti.>cii
—
N
.
(n- s\
n
wo
.
1-2. 3. ..(5-1)
und
//'
schlieülicli
ist
ist;
<>:leich
(a;
— y),
die linke Seite nänilicli
Null für x
=
y.
ist teil-
Der Wert von
durch Fortsetzung derselben Schlußweise
gefunden, die wir bisher anwandten, nfimlich indem wir verlangen, daß aus
a-»
— y" —
iV,
(jp
dem Ausdrucke:
— y)" —
.
..—NyX'-^y-^ipc—yf
— Nary'^X'-y)
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F.
Lindamann: Das
leiste
293
Femaatsche Theorem.
der Term o^+'y^ (und folglich auch 0^^"+^) herausfalle; es
wird daher:
N=N^+x
(11)
= 2y-f =
n.
1
Zwischen beliebigen Zahlen x und y besteht hiernach die folgende Identität:
Ist
n
durch n
obigem
und
dann:
der Identität (11) auftretenden und durch
gegebenen Zalilen
sind sämtlich ganze Zahlen
Die
(9)
eine Primzahl, so sind nach
teilbar; aus der Bekur8ion8form6l(8') folgt also
in
und (wenn s>
1)
durch die Primzahl n
teilbar.
Die Bestimmung der Zahlen&ktoren
hitte flbn^ns
Weise geschehen können, indem man x und y durch spezielle Werte ersetzt und so die
Aulgabe auf ein bekanntes Resultat zurUckfÜhrt. Nehmen wir
auch
in der folgenden einfachen
80 wird:
—
und aus (12)
oosin nqf
1,
X
— ya2*coe9>,
folgt (fUr
n
«"
«2
—
•
cosin
119?;
ungerade):
= 2"-> cosin» + S Ä2»-««+H—
9?
l)^-'(co8in9t>>»-«»^«
+ »(— ^'cosin^?;
und diese Formel isfc in der Tai mit der bekannten Entwicklung
Ton cosin nq> nach Potenxen Ton cosin q) identisch,^) wenn man
unter
die obigen Zahlenwerte venteht
>)
Vgl.
z.
IMI. SUnnsib.
B. Serret, Trait^ d'algöbre, vol.
4.
mtk-pl9^ KL
1»
Nr. 109.
Sl
294
Sitmng der
§
K)asw vom
in»th.-phjs.
7.
Dewmber
1907.
Die Abelschen Formeln.
3.
»
Setzen wir nun in (12) für m und
— y die Werte (5)
und
(6) ein, eo ergibt sich die Relation:
1=»'
oder,
wenn
(13)
nx''
beiderseits mit qr^ dividiert wird:
r^r\i\,
wobei die Zahlen
.
.v^-^^^iX'-^ '^-^
sämtlich
Die relativen Primzahlen
r^^^
ganze Zahlen sind.
x und y können wegen
(6)
mit
.r«.i keinen Faktor gemein haben. Jedes
Olied der rechten Seite von (13) ist durch jede dieser Zahlen
den Zahlen
teilbar,
Soll
n
. .
da mit q die Zahl
auch
daher
sein, so
aber
r,, r,,
"
*
rj
.
.
.
r„ _
durch
linke Seite
die
bezeichnet wurde.
i
r,, Kj.
.
.
.
r„
muis die Zahl n diese Faktoren enthalten.
_
i
teill>ar
Nun
eine Primzahl bedeuten; also bleiben nur folgende
sollte
Mög*
lichkeiten:
Entweder
es ist:
(U)
», r,
und dann
folgt aus (5)
sH
«
(15)
Oder
r
•
Tg
und
r«-i
. . .
r,
(6):
r»,
X
— y = r"
•
= r, = Tg «
. • .
— r,-.i =»
j?«r.r»,
a;— y
=
dann
'
1,
r*.
Eine andere Möglichkeit bleibt niehi
lich
n"-
folgt:
(17)
Zahlen
— 1,
es ist:
(16)
und dann
•
= =
r,,
.
.
.
r„ _
i
kann keine gleich n
offen,
die reclite Seite von (13) mindestens
bar, folglich
auch die linke Seite;
d.
h.
denn Ton den
wäre näm-
sein; es
es
durch w*
mütite
teil-
x oder y
durch n teilbar sein; dann aber wären nach (6) beide Zahlen
F.
durch n
lindemuio:
lefcite
während
teilbar,
eine Identität
ist,
doch als relative Primzahlen
sie
wenn Ng durch
die Gleichung (12),
kOnnen wir
erhalten so in Racksicht auf
295
Fennatsehe Theorem.
Die Zahl r» bleibt zunächst
vorausgesetzt sind.
Da
Dm
in ihr
(6")
und
(9)
beliebig.
bestimmt wird,
y durch # ersetzen und
(7") an Stelle von (13)
die Beziehung:
narrm^
(13«)
2,
•
25
•
•
- fei
S Ai«*- V-«(r*-"""+'**"~*'+',
•
auf welche wir die gleichen Oberlegungen anwenden können,
Es
ist
also
entweder:
y
(15')
« — «««g^-n"-*,
=
oder:
y
(17*)
=
x
— g=^q\
Endlich können wir in der Identität (12) auch
und y durch
und
(6«»)
^ versetzen;
x
durch y
dann ergibt sich mit Kflcksicht auf
(?»»):
(- \ynfrä^^p,pl...pl
und
nochmalige Wiederholung der gleichen Schlufiweise
die
dem
führt SU
Resultate,
daß entweder:
oder:
y-\-a=jp^
x^P'Pn,
(17»»)
sein
muü.
Da
Xfff^ß keinen gemeinsamen Faktor enthalten sollen, so
ergibt die Kombination der Gleichungen (15), (17), (15*), (17*),
(15^), (17^), dafi nur drei Fllle noeh nfther su untersuchen sind. Die Annahme (15) nftmlich ist mit (15*) oder
(15i,) nicht vereinbar, so daü aus der Annahme (15) notwendig
die
Gleichungen (17*) und
(17) aus, so
(17'')
kann sowohl (15*)
folgen.
als (15^)
(Tehen wir aber von
möglich
sein.
Betrachten
wir diejenigen Möglichkeiten als gleichwertig, die durch Ver21»
296
Sitsung der inatb.-phys. Klaaae
vom
7.
Deaember
1907.
tauschung von ^ mit ^ auseinander hervorgehen, so bleiben
die folgenden drei Fälle:
X
— y =s r"
^
X* —P
JIM
>)
Mit
^^^^ ^dtt
•
1
II"
t
II)
=
y 4"
HD
»
l»"
•
= (i'an.
y
=
»"~*f
— y«r»,
«—^
y
y
= 3*,
+ ««f»»,
Hieraus ioigt im Falle
1):
««»i(l^ + ff" +
y
I«)
«*-'*»*)»
= 40;"
— n" « J — 5« n»-'
-i-
'
-f.
im FaUe
ff-ff«i
r«),
r*),
II):
«
U*)
y
und im Falle
4-
r»),
« 4(n— y -f —
r-),
4(n'*-^i>* -f
ff"
III):
=4
(i^"
i- S" 4-
**")»
y-i(P» f ff"-*-),
in«)
2
^
=
»
(p«
—
q** -\-
r").
r in einer dieser
durch drei Zahlen p,
Formen darstellen lassen mflsse, hat schon Abel ohne MitDafi
sich
eilung eines Beweises angegeben. 0
Er erwähnt außerdem noch
die Möglichkeit:
^)
Lettre k
Uolmboe vom
3.
August 1823, Oeuvres
t.
Ii,
p. 265.
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F.
welche
hiiite
Dm
Undemann:
leiste
uns ausgeschlossen
l)ei
297
Femiataehe Theorsm.
da
ist,
auf das nicht statt-
sie
Zusammeubestehen der Gleichungen (15) und (15*) führen
würde.
§
4.
Der Fall
Wir macheu
I); Daratelliiiig
zuerst die
Annalime
von
1).
y,
Die Gleichung
(.13")
wird hier:
»af
(18)
Alle
Zahlen Ni mit Ausnahme von
obigem durch «
(iliede
auch z
teilbar;
ab sind
teilbar.
-2 ^i**-' i^-' g^c^-w+i).
-=
also
alle
Die linke Seite
Terme
iV,
=
1
sind
rechten Seite
der
durch «*
mindestens durch n*"^'
ist
nach
durch n teilbar; vom dritten
ist
teilbar;
folglich ist auch:
_2«(i»-i>
(19)
Nach dem Fermatschen
=0
lnocLn^
Satze
ist:
2*^*-»>^l
(20)
mod.n»,
relatiy prim
denn q kann, da y zu
bar sein. Es ergibt sich:
gj=l
und da
identisch
= qn
9«
(21)
Ebenso
1
nicht durch
n
teil-
mod.
mod. n
=
ist,
ist:
mod. «.
folgt aus ^3*»):
r
(22)
(~
l)'ny''ir'=i^—i;iVi(-l)'-'y*-'^-'l?"<''--'-^'>,
und die Anwendung
KoDgmenz:
derselben
iSchluliweise
.
führt
zu
der
u
kju.^Lo
Google
298
Sitsung der math.-phy8.
KImm Tom
Pn^l
(23)
Folglich
ist
Desember 1907.
niod. ».
auch:
x^P'Pn^p
Ferner
7.
mod.«,
ist:
«
—y=
— Q2n-^p—q
PI?«
mod. n
also auch:
jj»
(25)
=
mod.
w*.
Weiter folgt aus den Gleichungen
2# =r i>»
(26)
also
nach
(25),
da w
_0
2
Es wäre
eine
also
-h
f-»
.
I):
n*-\
> 2:
(27)
d. h.
—
mod. n\
a nicht nur durch
n, sondern
durch
toilhar,
der heiden Zahlen r oder r« mtlßte den Faktor
n
enthalten.
Setzen wir die der Aunubiu»'
tiitsp rech enden
I)
und (15) gegebenen Werte der Zahlen
r»
,
in (13) ein,
in (14)
so er-
gibt sich:
¥
und nach Division mit n:
(28)
2-3
War©
oder
//
also r„
durch
tt
*
0 m<»d.
teilbar
y
n,
sein,
so
'
müßte
eine
X
kann
der Zahlen
was nicht angeht.
Ei>
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Dm
F. Lindemann:
Fermatocbe Theorem.
leiste
also nur r den Faktor n entbnlten und
durch n teilbar
Es mu&
sein.
r„
299
kann nicht
n ent-
also r den Faktor
halten, so daß wir:
r «= n
(29)
zu seisen haben,
•
r'
und m mindestens durch
teilbar
ist.
Es wird dann:
V
r«
*
(29*)
-BS
TZx
f« —
r'»<'»-») II«»'-»»
ary IE-
(30)
Da
aber nach
(30*)
ist,
*
—
nach obigem durch n
da
oder,
_ V] jV^^-l^-l,.'li(i»-a<+l),|2ii«-(4<-l)ii4-2<-2
a;
...
— iV^ar-y-» r'»»n*'"-*,
teilbar ist:
mod.
I):
—y
=
«st
V*
so haben wir auch:
of
— y = n'»"'
•
v »r'-
-y-'
mod. »*»-•,
nach (dO):
also
oder,
wenn wir
sogleich
die
entsprechende Kongruenz für x
hinzufügen:
tf"'>
= — rn'^-V««*»-'
ff
mod. n*"-«,
(SO"»)
Nach
I)
war femer:
a»
die
Zahlen
folglich
jj-'t»-»)
=s
-j-
—1
und
=
4- n-"r'"rJJ,
g»<"-'>
—1
sind durch n* teilbar;
haben wir:
_i
UDd somit aus (30^):
=
1
mod. n»,
300
SitEong der mftth.^>h7«.
rj
and
=
KXum vom
7.
1
mod. n*
1
mod. n.
Desember
1907.
weiter:
r„
(30«)
Von diesem
Resultate werden
wir weiterhin Gebrauch
machen, nachdem wir suTor die Zahlen s^y^e noch in anderer
Weise werden
dargestellt haben.
Nach dem Fermat sehen »Satze und
und (23) können wir setzen:
(21)
jp»
1
-l-n.-i,
g»-«
1
+ nji\
Qn
Es wird dann, wenn noch
r
1
-h
wx,
«» 1 -f nn'.
=n
Die linken Seiten sind wegen
intolge der iielationen
I)
•
r'
gesetzt wird:
bzw. gleich
^
und
f";
also folgt:
p"
~p
np Ji
=q
n qx'
-j-
w'^i'r«,
und hieraus:
^—
(32*)
g
— »«r' = n (2 X —
oder:
1>
(«'
—
ji)
j?.t')
g (x'
= n (gx' — i*^),
— x)
0.
Es bestehen demnach zwei Gleichungen der
i'oiguuden
Form:
Jlfp-(x'-«),
(33)
Mq ^ —
(ji*
—
Ji);
und hierin ist Jf eine ganze Zahl, denn p und q können keinen
gemeinsamen Faktor enthalten, da sonst nach I) auch x und ff
denselben Faktor enthalten müläten.
Zu den Gleichungen
(33*)
x-y =
w'" -
'
/
"
(32) fügen wir aus I) die dritte hinzu:
= ppn '-qqn=p — q-\- nij),i'
-
qx').
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Dm
Lmdanaim:
F.
letite Fennaticlie
Der Vergieieh mit (32*)
auch die Belation:
zeigt, dafi
— qx —pn* + nr'Tn « gx' —
nutzen die Gleichungen
Jf (r,
(Sd"»)
+ nr'r«
Multiplizieren wir beiderseits mit
bestehen muß.
—
»
301
Theorem.
M und
be-
(33), so folgt:
—
r'— ')
*0 (»
—
«').
Es ist also niiii(lf*st«'iis eine der Ix'iden Zahlen (x — ;<')
und (n — .t') dmxh n teilbar; dann aber ist nach ('i:^ 3/
durch n teilbar (da p und (/ den Faktor n nicht enthalten
dürfen), und es folgt aus denselben Gleichungen (33), dalä auch
die andere dieser beiden Zahlen den Faktor n enthält. Es
bestehen demnach die Kongruenzen:
=
(SS'^)
x'
—X
mod. »,
so dafi die Gleichungen (31) durch die folgenden ersetzt werden
dürfen:
Bildet
ergibt
noh
man
und hieraus an
(35)
p
Es
Stelle
von
so
^^32''):
— + « {pn — g x) — n^r^Tn = — n*j>»j = n'gx,.
ff
ist
folglich auch:
—
(36)
Die dritte Gleichung (nämlich x
»-""
x — 0 und y + '^t
wieder die Ausdrucke
jetzt aus I):
=»1»1>«—
Wir haben
berechnet; es
so
=
die
g
+
—y —
n-**
~
'
r' ")
gibt jetzt:
n(i»Ä— gx) H- n*(pÄ,
Differenz
p—
g,
— gx,).
auf doppelte Weise
ist:
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302
KImw vom
Sitning <Ur nuith.'phjB.
« — n(|>« —
und somit erhalten
(aS)
ff
Da
Dewinber 1907.
+ 1^«- V" - »»(pÄ, —
— -pn, — r'r, -
IC,
y>,
q und
R
bezeichnet
X,);
»r'»
kümun
so
keine
^gemeinsamen Faktor ent-
einen
r'
ff
Benutzung von (36):
wir, unter
y, z zueinander relativ prini sind,
zwei der Zahlen
halten;
ffn)
7.
kann man deshalb
eine ganze Zahl, so
setzen:
——
(39)
Xj^pÄr*,
ffiBr*,
—
r,
r'»-»
=
ff
IL
Die Gleichungen (34) werden demnach:
l»b-l^-'-n»ffr'Ä,
(40)
^
'
ff»
= ff»-*+
Es wird somit nach
2«
^
2ier
Aus
|>"
was
§
und
V=
^
(/" -4-
II««-
—
ff- -i-
»«--»r'"
I*):
2i>"
— 2«»yj ?
r'
— 2i»*»-»r'» -f 2»»|»ffr'i2.
jeder dieser Relationen folgt:
(42)
sich in
p»
I)
//^r'Ä.
— = 2n*pqr*R + »2«-
Übereinstimmung damit
j
^
daß die Diffurent
befindet,
nach (25) durch n* teilbar sein mufi.
5.
Der Fall
I),
wenn
r' nicht
durch
n
teilbar ist.
Unter Anwendung der Gleichungen (31) erhalten wir aus
(41) durch Potenzieren:
(48)
a^-^l+n^i-^-t-.AV)
»
—1
Da nun x — y
-4- II»
naeh
1)
(*
— i»-ßO
durch
teilbar
ist,
so
folgt
durch Subtraktion:^)
—
q^^
>) Datselbe Resultat findet man, weon man die Differens fß*
einmal ans den Gleichungen (41) and (8) bildet, das anderemal durch
Potensieren aus der Gleichung (42).
F. Tiindwnann;
M''n
(44)
Wir
Dm
= (p'\-q)Iir' = 2pIlr'~2qRr'
in
vor(39)
ist:
fl^p'^Jtr
(45)
f».
(30"^)
Mit Rücksicht auf den
zurück.
gegebenen Wert Ton
also
mod.
kebren nuiimehr su dem in der Kongruenz
liegenden Resultate
803
FemiAtwshe Theorem.
letste
mod. II«*-«,
nach (30^:
(46)
pqB^l
woraus hervorgeht,
da&
mod.»,
nicht durch
Ii
n
teilbar sein kann.
Setzen wir demnach:
ll»-»
(47)
wodurch
die
Zahl
= l-f»e,
detiniert sei, so
(j
wird nach (31):
= + n(« + + rt
l
(48)
mod.
j«
n«,
und folglich wegen (46):
pqR=l — f^n + x + o)
(49)
mod.
»*,
und durch Potenzieren:
(49*)
f^q''
Nach
= — n»(« + k +
1
»
also infolge
mod.
«».
=y»-' =5r;
mod.
Ton (45) und (49):
a?"-»=y-^
=1 — »*(» + x + ri
nnd der Vergleich mit (43) VSiüt
in folgender Weise schreiben:
3i4-»«
e)
(SO**) ist ferner:
(49b)
(50)
Ä*
jetzt die
+ ö = — x+j>ür'£n
mod.»»;
Kongruenzen (44)
n-^qRf*
mod.»,
uud hieraus erhalten wir:
=
— jJlr* mod.»,
2» + K + ^
».
»+2af -f-ß=i>Är*
,
d. h.
Von den hier zuletzt abgeleiteten Relationen,
den Kongruenzen (48) bis (51), werden wir keinen
Gebrauch weiter machen; man würde
indessen
auf
sie
304
nunmehr
7.
Detember
wenn man das Produkt
rekurrieren mOsBen,
es
vom
Sitnuig dar iiia{h.-phyt. ElaMe
zunfichst geschehen soll,
1907.
pqR
wie
nicht,
auf das Produkt
p"^
reduziert.
Unsere Relation (28) erlaubt noch weitere Schlüsse;
mäß
(K'ii
fileicliungen
—
durch
js
dann
ersetzen;
^ ^/'"g"*
—
denn
q**
ist
können wir X durch ^
1)
(52)
ge-
und y
ist;
mod.
nach (12)
ebenfalls den Faktor n^.
-jr
ti*,
durcli
Wir
und z enthalt
teilbar
erhalten somit aus (28) bzw. (30):
p'^'q**^
~
r'^
mod. w*,
p^'q"
^
r„
mod. n\
also auch:
(52*)
und nach
(39):
(53)
i'"^'
l'^i^
mod.
fi*;
folgücb gemäli (42):
(53")
/>••
-
5"
— 2n^pqr'R = 2 w»^/ gT'
mod.
Ersetzen wir andererseits in der allgemeinen Identität (12)
die Zahlen
x und y bzw. durch p und
(53»»)
— ä" —
—i»**
Ii'
q,
so wird:
— s)" — ^ iS'.i^"'
(i'
— })""*•+*!
folglich:
(53 <^)
p^— q" = np*'
und durch Vergleichung mit
(54)
p
q""
(p
— q)
mod."
n\
(53*):
— q ^ 2nr'
ujod. »*.
Mit Hilfe dieser Kongruenz können
wir zunächst
ein
früheres Resultat bestätigen; es ergibt sich nämlich aus (42),
daß man setzen darf:
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305
F. Lindeauuin: Diu leiste Fenoatsche Theorem.
wo
^ eine Zahl bezeichnet, die sich durch Potenzieren,
Zurückgehen auf (42)
leicht
d. h.
durch
hestimmen üUit; es wird nämlich:
niod. n*
wobei benutzt ist, daß p q R nach (47) im Faktor von fi' durch
1 ersetzt werden darf. Durch Vergleichung mit (42) folgt dann:
d-r2r'V~*— 2xr'
(54«»)
mod. n.
Mittels (49) erhalten wir daher «is (54*):
p- g = 2r'n-f 2n>r'[r'g»-*— x — (ä + x -f ß)]
(54«)
mod. nK
Hier
muß nach
n
(54) die eckige Klaomier durch
teilbar
sein; d. h. wir haben:
9t
+ 296
-j-
Q
=
mod.».
r*(i^-^
kommen
wir wegen
auf die Kongruenz (51) zuriick,
letztere von neuem bewiesen wird.
wodurch
Multiplizieren wir beiderseits mit
g,
so
der Relation (46)
Aus den
p«'
folgt,
—
-\-
1
darf.
p''q''=l
p*
(55)
wenn
oder durch
—
e
.1
= q* =
dritte eine
Folge
ist:
!,
daß man:
setzen darf,
von denen die
drei Konirruenzen,
der Relationen (46) und (30')
e
mod.»,
mod. »
eine Zahl ))ezeichnet, die entweder durch
in
Bezug auf den Modul n
ersetzt
werden
Sei also:
(55»)
p»— eH-»w',
g''=««
+ »x',
so folgt durch Quadrieren:
(56)
»=.2««' + »;!'«,
x-»2«*'+»x'>.
Zunächst soll die Kongruenz (44) für das Quadrat
des Moduls n ergänzt werden. Es ist nach (53"), (54)
and (55*):
306
^
Sitsvng der math.'ph}rt.
KImm rom
7.
Dexomber 1907.
==2nVifg''=r2nV[l + c(^'+xO>tH-«"^'jeG
^
mod.
Die linke Seite
= 2w
m 2nr'
Wir
(57*)
nach (54)
ist
-I-
Bezug auf den Modul
ng(;i
—
'*')
— +
i«)
^
2ii=»r'«.
erhalten also:
5 (ji
— x) = — 21^+ 2fir'(l — ä)
und ebenso, indem man
(57»>)
in
4" ^
»
jp(»
— x) = —
p und 9
:ir'
mod.
vertauseht:
-h 2nr'(l
— x)
mod.
n».
Die eine dieser Kongruensen geht aus der anderen durch
Anwendung der
Auch
Relation (54) hervor.
Kongruenz (54) können wir für die nächst
höhere Potenz des Moduls erweitern. Setzen wir:
die
(58)
80
j»
Iftßt
on
sich
^
— g — 2iir'-f r'i^nS
durch folgende Überlegung bis auf Vielfache
n bestimmen.
Nach
-f 8
(58)
j r"
ist:
mod.
n*.
Der Vergleich mit (57) ergibt dann:
=:2«(7i'4oder,
2ex*
x')
wenn wir 2 y durch
+ nx**
2£(x'
+ 2«;x'x'
— 1 und
11
mod. n»,
x gemä6 (56) durch
ersetzen:
— ji')^2rV*~«[«? -f 2x'»
+ 8f^J~r^g»-» — 2«'x'|
-I-
2r'fl"-«
mod.»«.
307
F. Lindenuum: Das letste Fermateehe Theorem.
Rechts und
links addieren
multiplizieren mit q
durch l
+ Mx;
wir die Zahl n(x**
und ersetzen im
—
ersten Oliede rechts
91'*),
^"
*
dann wird:
- Ä)g = 2r' — n ^dg + 21^(1 — x) + (x' — n'fq
(x
+ 8(3)
Auf
der rechten Seite
femer nach
ist
gemSfi (57*):
(58*^):
(x'
Ferner
mod.n».
—»0* = *''V*** =*•'*«""*
mod.
n.
ist:
.(yi-3=,<i^iHi^»-,=-i(;)
£8
ergibt sich somit:
(»
^^^^
—
= — 2*^
+ii[dg+2r'(l-ai)-^^)r'»f-«]
mod. n»
Diese Kongruenz mufi mit (57*) flbereinatimmep ; es folgt also:
»= ^*^-"i^^^""^^ rV'
(59)
SO
da&
die yervollständigte
mod.n,
Kongruenz (54)
lautet:
Die Torstehende Betrachtung erleidet eine Aus-
nahme im Falle n =
(58"),
har
da die Zahl
ist
*
(«
3; dann nämlich lautet die
dann gleich
Kongruenz
1, also nicht durch
— ä)j=- 2r' — r*»}--
•«
n
teil-
mod.8,
u kju.^Lo
Google
308
und
SiUung der
vom
iiiath.-phy8. Klasae
7.
Dexember
1907.
Re-
Vergleichung mit (57*) oder (44) fUhii zu dem
=- 0 mod« 3.
die
sultate:
Das entsprechende Resultat lafit sich
n gewinnen. Wenden wir die Kongruenz
jede Primzahl
ffir
(59) auf die
Kon-
gruenz (58*) an, so ergibt sich:
und
f^2nr'
Wir
^^'^^
-f
womit
ist.
nach (59*):
die linke Seite ist
r'^q**-^
-f
+
mod.
«) -f 2n*7ir'
erhalten also:
nvj^2x-f 2(«-l)r'5"-«-i^^^r'»ö"-«j
die
Setzt
Kongruenz (57*)
man dann
(60*)
j?
fttr
mod.»*,
den Modul n' yenroUständigt
weiter:
— 3 = 2 nr* H- n»r'd 4- n* d,,
so läßt sich in analoger
Weise ^| bestimmen, indem man durch
|/*
bildet und das Resultat mit
—^
Potenzieren den Ausdruck
denjenigen vergleicht, wie es sich ergeben würde, wenn
den Wert Ton
hfilt
p—q
so einen zu
dem Ausdrucke
eine
und so
in die Identität (53^) einsetzt
(58*")
(60)
Borerlinung
Olfciihar
n*.
von
analogen Ausdruck für
übereinstimmen mufa,
/>,
(his
9r
— m,
Man
man
er-
der mit
woraus sich dann
auf Vielfache
von
n)
ergibt.
kann man mit einem solchen Pendelverfahren fortfahren,
die Konirruen/en (60)
und
(60*) für
immer höhere Po-
tenzen des Moduls ergänzen.
Zur Durchführung dieser Schlußreihen ist es notwendig«
Kongruenz (53) zuTor fibr höhere Potenzen
des Modub sukzessive zu erweitem. Das kann auf folgende
Weise geschehen. Infolge der Annahme (3) ist, wenn wir die
Werte von -c, ^, ^ aus (41) einsetzen:
die in (57) benutzte
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F. LindeDaim:
Das
leiste Farinatflche
309
Theorem.
also:
Die zweite Klammer der rechten Seite
betreffende Glied also durch
l>^-9-»
durch
>e)
wenn wir entsprechend
oder,
ist
JB
einfuhren,
f^ —
wo
i;
^=
(53),
das
wird somit einfach:
= ii»pgÄr'[2 + n»(« + + it«v(»«+*«)]
(60*)
Zahl
teilbar; es
mod.
n',
den Wert:
= IT«» (1 + »»
ri)
eine zu bestiaimende Zahl bezeichnet:
2n*p'q''r'
+
n»jj^tf»'(«
+ ii«y(?i«+x«)
+ x)r' -f 2ii«r'|f
mod.
fi'iy
Ji^
So erhalten wir eine Kongruenz, durch welche die ganze
definiert und mittels der Zahlen p,q, 7i,x ausgedrückt ist;
tj
die wirkliche Berechnung von
der Weise geschehen.
t]
Aus (51**)
kann aber einfacher in folgenerhalten wir, da gemäß (52*):
ß^n^f^rn^n^r'p^q^ mod.
(60«)
n*
gesetzt werden darf, unter Benutzung von (53*):
also nach (30):
=
"
mod. n\
n* » r'" jp^»'+<»(»-»
-f-
und zufolge (39)
gruenz (53):
sonach
lautet
die
YervoUständigte
pqR = rn =Ep^q''-\- n^vf^^jT^^^"^
Kon-
mod.
Die Vergieichung mit (60^) ergibt demnach:
so da^ die vervoILständigte
(60*)
i>gJB=j>»^»[l
Mit Hilfe dieses
+
Fiesultates ist
gruenz (57) für den Modul
1M3. Sitnnfik
d.
Kongruenz (53)
n'vr^jf-* jf'-»]
Mth.-phTs. Kl.
man
in
jetzt lautet:
mod.
n*.
der Lage, die
Kon-
aufzustellen; sie lautet:
S2
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I
310
vom
Sitzung der inath.-ph7s. KlMse
Um
t^,
zu bestimmen, hat
man
Deiember 1907.
7.
also diesen
Ausdruck (60^)
mit denjenigen zu yergleichen, der sich aus (60*) durch Po-
—
x für den
^
muß, woraus dann 0^
gefunden wird; und mit Hilfe dieses Wertes gelingt es weiter,
mittels der Kongruenz (60'') und durch eine zu (60**) analoge
Relation, die Kongruenz (60*) auf den Modul n* und dadurch
tenzieren ergibt; das führt zu einer Relation für
Modul n\
die
die mit (60) flbereinstimmen
Kongruenz
Nehmen
i>-g
(61)
wo nun
alle
sich also
um
ifiO^)
auf den iModul
wir an, es
sei
zu
erweitern;
...
+»f^.-8)t
= r'(2n4-n»* + n*i>,-t
Zahlen
die
{},
Ö,= r' (2 n
f.
bekannt sind: es handle
dann wird, wenn wir
bis aui'
Bestimmung von
1^,-3;
die rechte Seite dieser Gleichung mit ßa bezeichnen
(61*)
u. s.
gefunden:
t?
-i-
4-
und wenn:
-f »• t?^-,)
. .
.
gesetzt wird:
+ (2)
(61^)
;\
«--«+...+
C : 2) ÖJ-'
/
'
mod. !»•+*.
Femer
(61«)
setzen wir oraus,
(;r~x)j
= -2r'-i-
man habe
n
+
gefünden:
+
C,»*
. . .
+ «.-2»»-«
mod.
Endlich habe
zwar durch sukzessive
und
inan LC*'funden,
Erweiterung der Kongruenzen (53) und
(61*1)
i^qR
4-
+
Vi
+
(60**):
.
.
•
4-
«—
mod. n\
also
nach (42):
iju,.
o
Google
F.
(61«)
Lindemaon: Das
«•
=
2ii«r'[l
+ »•ji'ä'] (1 +
die Kongruenssen
(Gl'')
voneinander, so mufi wieder die obige Kongruenz
stehen,
nachdem
beiderseits
311
Fermatscbe Theorem.
e(n'+ x')n
-I-
man nun
Subtrahiert
leiste
mit
r* dividiert
und (61^)
(61**)
ent-
und mit q multi-
wurde. Der Faktor von n*"* in der so gebildeten
neuen Kongruenz enth&lt die unbekannte Zahl ^a^, und diese
Diese Zahl (9« -3 konnmt nämlich auf
ist dadurch bestimmt.
der rechten Seite von (HP) nur im ersten Gliede. nämlich in
Sg, vor und ist hier in r'H' ^ '^""' niulti])li/.iert: l)ei l^ildung
pliziert
der genannten Differenz erscheint
der höchsten Potenz von n,
im Faktor von n*~^;
die Zahlen
auch nur im Faktor
0,^'^ also
mit
d. h. (da
t;,
dividiert
wurde)
in (61*) enthalten die
Un-
bekannte ^c-s nicht. Die so gefundene neue Form der Kongruenz (dl*) lautet also:
^
-f(P + d,-i «)»•-«
^
P
mod. if-S
bekannten Zahlen
und
zusammensetzt, und zwar kommen in F alle diejenigen Zahlen
+
aus der rechten Seite von (tJP') vor, welche dort in
Zu ihnen gehört auch das Glied:
multipliziert sind.
wo
sich die Zahl
aus den
17,
'
aber nur dann, wenn die Zahl
8<n
ist;
setzen wir also:
nP = nP+Q(2r')'g"-%
so wird nach (62):
(«
- x) g = — 2
4-
wo nun
(d. h.
die
«
r' -t-
j^P'
4-
Zahlen
^
+ «,
4-
. .
.
+ C.
»i^
^^*y2r')'2-— 4-i^,-»2|n«-^
Qi,-.,Qa
t
durch
die
mod.n—
vorhergehenden
Kechnungen schon
Wählt man aber s~n, so erhält man:
die als durchgeführt vorausgesetzten)
völlig bestimmt sind.
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312
vom
Sitzung der iiiath.>ph78. Klane
7.
Dezember
+ (P* + ^«_8 q) n— »
Der schon durch
bis
(d. h.
mttfite
die
mod. nf^^l
Betrachtung för s
auf Vielfache) von
festgelegte
1907.
=n—
1
völlig
Wert Ton
also eine naelitrSgliclie Korrektur erfahren,
-s
was nicht
ist; wir mUssen somit schliefien, dsfi die Zahl
den Faktor n enthalte, daß also die Kongruenz:
möglich
r*
r':^0
(62»)
erfflllt sei.
r*
nicht durch
die aus der
mod. n
Die bisher gemachte Annahme, es
fi
teilbar, erweist sich
somit
ab
sei die
Zahl
nicht haltbar;
Kongruenz (62*) weiter zu ziehenden Konsequenzen
werden wir im nächsten Paragraphen verfolgen.
§
6.
Der Fall
Das Kesuitat
I),
wenn
n
r' durch
teilbar ist
nun zufolge der Kongruenz (44)
(62*) ergibt
unmittelbar:
n^x^Q
(62i>)
also
auch nach
(56):
n*
(62«)
und weiter nach
— H'~0
med.»
(5S*):
py
Dann aber
mod. n,
^
qr
mod.
£
folgt aus (52*)
und
rn^f^*~pqli
und
n*.
(53):
mod. n*
folglich erhalten wir aus (49):
—
wie sich jetzt auch
(ji -\-
X
-\-
q)
mod. n,
aus (51) ergeben würde.
Um
nun
ein
Rekursionsverfahren durchführen zu kttnnen, ersetzen wir die
Kongruenzen (62*X
(63)
(62"), (62^)
r'=r^n\ p'^q^'
—
e
durch die folgenden Relationen:
mod.
n^+',
jp»-'
— g*-' = /in^+»;
wir wollen zeigen, dafidann entsprechende Relationen
auch gültig sein müssen, wenn man X durch l+\ ersetzt
Das
F. LindeoMuiii:
Wir
befolgen dabei geiiAU die
Schlttßweise
zu
letste
um
und werden,
laseen, die gleichen
313
FenDatsche Theorem.
im Falle X
=0
angewandte
die Analogie deutlich henrortreten
Nummern
für die einzelnen Gleichungen
und Kongruenzen yerwenden, indem wir nur einen Stern hinzufügen.
Setzen wir in die lieiation (29*) fÖr
r'
den Wert
r^
ein,
so ergibt sich:
(30)*
nun
ar
yv^
rj
mod.
ist jetzt:
also:
— y' = n<^+*>*-' -rf
mod. n(2*+*)»-«;
•
und nach (30)*:
Infolge
der Ansätze (63)
auf den Modul n^+' mit
y=j?»
1
ist
das Produkt
äquivalent;
— g=sjf* —
p''
q* in
Bezug
aus den Gleichungen:
n^^-i-^)»f^f2
ergibt sich also:
und somit aus
(30):
r^^l
(30*)*
mod. »^+^
Weiterhin folgten in § 5 zunfichst Überlegungen, bei
denen nicht Kongruenzen, sondern Gleichungen benutzt wurden,
die also liier sich
uii vt
i
iindert
wiederholen lassen.
Wir
finden
so die iolgenden Kesuitate:
(39)*
rn^pqR +
f*-*
und:
Digitized by
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314
SiUung der
(41) *
y
inath.-pbys.
Klawe vom
— ^* + «^+»1» gr,
7.
Denmber
1907.
jB,
aus jeder dieser Relationen folgt jetzt:
jf*^^^2n^+'-pqr,Ii
(42)*
Die Gleichungen (43) werden
(^3)*
n(^+*)«-» t*.
-\-
jetzt:
r,
.
.
mod.
und durch Subtraktion erhalten wir gemäß
—
jj^e—
(44) *
g-i«-')
(63):
»^+V--2gi2r'n*-^-2 mod.
oder:
(44»)*
/i
Aus
^ 22Ür':==2i?-Br'
mod.
»,
(39)* erhalten wir:
tn^-pqR
(45)*
mod.
ako naoh (30 O'^:
(46)*
i»g22^
Es
gilt die
Gleichung bcw. Kongruenz:
-t-
(5P)*
q"/
(i^"
-<?)•'
—
denn die Zahlen * und
Aus
mod. n^+K
1
=
[/;"
4- ^ (/>»
—
3")
-
-sr^]'
sind hier je durch fi*+' teilbar.
(30)* ergibt sich somit:
rn^jprf
(62*)*
mod.
und nach (39)* bzw. (45)*
tr^=pqR
(53)*
folglich
gemäß
(53*)*
jj»
(42)*:
— 3» = 2 n*+2 ^
Die Gleichung
jetzt,
d& p
—
mod.
(53*')
q durch
gilt
n'-'^^
n,^^^ ^sa+s.
unverändert, und aus ihr folgt
teilbar ist:
iju,.
o
Google
Dm
F. Ludemaiui:
leiste
p^'-^r^np'^ip — q)
(53«)*
315
Fermatsche Theorem.
mod. n«^+S
also durch Vergleichung mit (53*)*:
(54)*
jp
~g= 2
mod. n»^+».
»
Nach (30^)* und (52*)* haben wir die schon benutzte Relation
(54*)*
jo' fi"
Nun
ist
Differenz i>*'—
==
mod. n^+*.
1
—
nach (54)* die Difibrenz p
9« also auch die
durch n*+^ teilbar; es folgt deshalb aus (54*)*:
p»i-i^gi»-i==l
d. h. es ist
mod. n^+',
zu setzen:
«
X
,
und aus den Relationen:
=
^2»
p%9
»
X,
,
mod.
\
dann weiter:
folgt
also:
«1
(56)*
An
= 2««; + n^+»jjiS
= 2exl-h»^+''<l'.
Stelle yon (57) erhalten wir daher:
/)
=r 2 »4+« n
(57r
Xi
— g -f n*+^
[1
+
(i? TT,
— g X,)
+
(«1 -h »«0
«i ^1]
mod. f^*+*.
Nach
=2
so
(54)* ist die linke Seite (mod. n'^+^):
it*+» r,
+
», (g
+ 2«»+»
r,)
-
j Xj.
daü wir erhalten:
(57*)*
g(«,-x,)=-2r,+ 2nr,-2n*+»r,»,
Jetzt sind wir
in
mod. «2*+«.
der Lage, die Kongruenz (54)* lür den
nächst höheren Modul zu er weitem; wir setzen:
(58)*
1»
— g «8 2 fi^+i
wo nun ^1 zu bestimmen
ist.
r,
-f
r, t),
Zunächat ergibt sich:
316
Sitsung der
j,»
Klane Tom
iiiath.-i)hys.
_ ^2
fi*+»
n g"-
+ 8 »8^+3
(58*)*
»
rj
7.
Deaember
+ 4 11*^+3 y
2—
8
4-
i?,
1907.
2«-2
n»^+*
»
mod. n**+».
Durch Yergleichung^ mit
(57)*
wir also (nach
erhalten
Division mit r^n^^^^^):
^2e{jii
oder nach
+ x{) + 2fi*+>«ix{
mod.
(56)'*':
2e(x'i
—
jr;)
= 2r,g"-«— 2tir,g"-«
mod. «*^+*
und, wenn wir links
plizieren
:
(«1
(58y
-
'
[i?,
jk,
und
x, einführen
und mit g multi-
— ^i) 2 = 2r, — 2«r,3—
g 4- 2
X, 4- («I
- «i)* g +
8
(3) ^
»1 ff
mod.
oder endlich, wenn wir in der eckigen Klammer die Relatiott
(58**)*
zur
Umformung
rechten Seite
(58*)*
benutzen,
durch
1
und im zweiten Giiede der
4-w^'^^'<i ersetzen;
-hn^+i[i^,j+2r,;^
+ ^»fl-*+8(3)^ri«"-']
mod.
n^+^
Indem man
die rechte Seite mit der rechten Seite
Ton (57*)^ rergleicht, ergibt sich die Bestimmung von d,.
Eine Ausnahme tritt im Falle fis3 ein, da man dann das
Glied mit
dem Faktor
nicht in die eckige
kann; dann lautet vielmehr die
letzte
Klammer bringen
Kongruenz:
iju,.
o
Google
F.
Ludemaim
—
(«,
X,)
+2
i
•
3 r, -f 8 • 8* rj
mod. 3*+»
+ rlq']
xi
f
317
FermAtaehe Theorem.
r,
jetzt folgt durch
Vergleichimg mit (57'):
r,
Von
leiste
=—2 + 2
g
H- 8*+' [^,3
und
Dm
:
=1 0
mod.
3.
ab kann die Reihe von Schlüssen unseres Re-
hier
kursionsrerfahrens in ganz gleicher Weise wie oben durchge-
man
führt werden;
und verfahre
Zahl
/>'i
bis
setie:
ganz entsprechender Weise, so wird man die
in
bestimmen können.
auf Vielfache von n
Moduln zu
erweitern.
der Gleichung
a:**
=
wenn wir gemi&6
(60")*
1^
folgende Weise.
«y
ff
ff"
nach
a:"
also
^
Auf Grund
ir«ii^+«r,rn
(60«)*
(51»»)*
i^i
dienen kann,
(53)* setzen:
(1
+
I?,).
Einfacher geschieht die Bestimmung von
^
ist
Zu dem Zwecke gehen wir wieder von
-j- -f"
aus; das Einaetzen der Werte
(41)* gibt eine Relation, die zur Definition Ton
also
Es
nur nötig, auch die Kongruenz (53)* für immer höhere
dabei
und
y = [p"
q"*
=
17,
wieder auf
der Kongruenz (52*j* haben wir:
i|A+«rji>'ff'
mod.
(53»)*:
+
r?
/
'
^
-
"
]"
mod. n**+'
^l^^^ff-'-f n2^+*- vrJtpä)'''+'»^''-'^
mod, n**+',
nach (30)*:
r'^^pnrqnr _^
.
v
•
^
"
>
'
g»»»*-'
mod. n**+'
und somit:
—P'^l' r
n''-+''- y
•
rijß"-^ q*'-^
mod.
folgUch nach (39)* und (54')*:
«jii^^/^»'-}- w'-^+ä-vr?/)—
^
^
=j>''2*'+»2*+»-i"rii>-''-'ff=^"-'
mod. n**+*
mod. »8^+*,
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318
Tom
Sitzung dor math.-phji. Klaaae
wodurch
und
die
Modul
(60')*
i^i
bestimmt
Kongruenz
Desember 1907.
7.
ist:
kann nun auch für einen höheren
(53*)*
aufgestellt werden; sie lautet dann:
i>-
- 3" == 2n*+«r,i/vy'
med.
Durch
2n"+»i'r;i>«*^'j»»->
-|-
n*'^+*.
die
Kongruenzen
ftür
die
on
am
analog demjenigeD, das
ein Pendelverfahren,
Schlüsse Ton § 5 eingehend geschildert wurde, wird
Werte von p
—
von
n
man so
—x
und
p^-^q^ auf immer bShere Potenzen des Moduls n erweitem können. Ist man bei der Kongruenz für |>
q, d. h. in
—
(58)*, bis
von
««-^-f-»
Kongruenz
auf,
zum Modul »"^+»+1
bestimmt werden
gelangt, so dalj der Koefti/.ient
soll,
so tritt in der entsprechenden
(58*)* rechts das Glied:
das einen Faktor
n weniger
enthält,
als
man nach dem
Verlauf der ßechnungen bis zu diesem Modul erwarten durfte,
indem der Binomialkoeflizient
ist,
für s
<n
durch n teilbar
für s B n aber nicht.
Hi^urch ist es dann wieder bedaß sich bei Aufstellung der Kongruenz fOr
»|,
der zu (oS*^)* analogen Kongruenz, für den Modul:
—
dingt,
d. h.
ein
Glied
ergibt,
welches
die
schon
vollständig
definierten
Glieder der entsprechenden niedrigeren Kongruenz noch beeinflussen
würde,
welches also noch
einen Faktor
//
mehr ent-
kann nur erreicht werden, wenn der
andere Faktor dieses Gliedes, der sich aus einer Potenz von
und einer Potenz Ton q zusammensetzt, den Faktor n enthält
Wir kommen so, da j nicht durch n teilbar sein kann, zu
halten
dem
muü; und
dies
Schlüsse (vgl. auch unten § 12):
Tj:— 0
mod. ».
Dm
F. Lindenmiin:
letste FerniAtaehe
319
Theorem.
—
durch n^+\ und aus
(44)* folgt dann, daß
daß p'^^q' durch »^+* teilbar seiii mufi, d. h. daß die
Relationen (68) für die Zahl A
1 bestehen, wenn sie ftlr die
Zahl X gelten.
Wenn man also annimmt, es sei r' durch
teilbar, so
+ teilbar ist. Die Zahl r' ist
fol^, daü
auch durch
Aus
(55*)*,
+
'
sonnt durch jede
d. h. wir haben:
r*
Dann aber geben
und aus
—
von n teilbar,
0.
die Gleichungen (41) bzw. (41)*:
p*
(42) folgt:
Wenn
Potenz
beliebige
also die drei Zahlen
e der Gleichung:
so kann * (und ebenso y) nicht durch n teilbar sein, es sei denn, dati die betreffende Zahl gleich
Null ist, wo sich dann die genannte Uleicliung auf
eine Identität reduziert.
genügen,
§
Der
ledigen.
7.
Der Fäll
läßt
Aus deu
Identitäten (13)
(64)
II
af
^«
sich
in
—S
II).
genau
Fall II)
iVi
und
Ä«-»
dt'r
und schließen aus ihnen, wie
in (21), (23)
^
qnZ^ Tn
y 9sq'q^
=1
r
•
/>"
=q
*
und
(24) die
Kon-
,
r„
•
er-
mod. M,
—r
y + ^ ^^qqm + rrn^q-^- r
0
= n*"
s
VV'eise
if*-'
gruenzen:
^
gleichen
{It^) erhalten wir bzw.:
"j
-
mod.
n,
mod.
»,
mod.
#t,
mod.
»,
Digitized by
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320
vom
Sittong der matlu-phys. KlaMe
7.
1)eiemb«r 1907.
zu (25):
also auch, entsprechend
4- !•
=0
mod.
n*,
ferner aus II*):
2x = q'*
=^ 0
r" 4- 1>»
mod.
n*.
IHe Identität (13^) gibt nach Division mit ni
Hieraus folgt,
durch
n
oben entsprechend
wie
teilbar sein
nicht enthalten kann.
An
Stelle
während
daü p
p,.
?on (29) haben wir hier die Gleichungen:
Stelle
=l-fnx',
g;»
und an
aus (28),
den Faktor»
Wir setzen demnach:
niuf.?.
—l-fne',
r"
von (30):
«—
(66)
y
= r^ = fi^p'Pn —
— r r»,
= 2» =
fjqu,
also infolge Ton (35):
+ nr Q =
ff*
somit:
(67)
^ 4- r
An
— +»
ff
— »Vl>« =» —
Stelle
p'
Pn
J»'l»«
Stelle
— q—»g
— —»
-f ^ x')
^l{^'->c)==^r(e'
und an
x',
e'f
— — n(r^'
-j-
gx).
also:
-
q),
Ton (33):
Nq^Q'-9.
(69)
wo
=»
Ton (32) erhalten wir
(68)
y
ff
y
eine gan/e Zahl bezeichnet.
Die BerecUuuug der Summe
£ gibt hier:
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GoogL
321
F. Lindemaan: Das letzte Fermatoehe Theorem.
analog zu (83) erhalten wir hieraus:
i^Cpw
und daran
- n«—
.
n
=— —
e')
- ^^0.
lassen sich dieselben Schlüsse anknüpfen, wie oben
an die entsprechende Gleichung, so daß wir zu dem Ansätze:
r»-»«l-|-ne,
(70)
berechtigt sind.
Die Bildung der Ausdrücke x
— y und « — «
ergibt jetzt:
also:
(72)
q
+ r + n(rg + qx) —pnp'
+
Summe y
Die
4r
n^""
•
n»
'l»"*
« — n^gx, « - »»r^,.
gibt hier:
wir erhalten demnach:
g
und
+ r « — n(gx + r^) - n»(gx, + rg,) +
folglich, unter
9«,
(74)
Benutzung von (72):
=
-
4-
n^'-sy«,
wodurch wir zu den Gleichungen (P bezeichnet eine ganze Zahl):
(75)
x,=Pr/,
Q,
= Fqp\
p^
— n^—"^ p'^"^
-Fqt
geführt werden, aus denen sich sofort die folgenden ergeben:
(76)
== 2n«"-'p"» — 2ff*9rj?'P,
=
= «*"-' + 2" — r- = 2g" 2 n^qrp' P,
p'" — g» +
« 2f* + 2n*gryP,
2#—
2a:
n''"-»l?'"-j- g"
2y
jp'"
-|-
r»
-f-
II«*»-»
luul
es
ist
klar,
daß man aus diesen Gleichunf^en dieselben
Schlüsse ziehen kann,
da6
man
wie oben aus den Gleichungen (42), so
zu der Annahme
=0
als der
einzig
möglichen
322
äiUung der matb.-phjs. Klasse vom
geführt wird;
])ei
7.
Dexember
1907.
der Durchführung; dos Beweises würde es sich
uur darum huudeln, in den Betrachtungen von § 5 und § 6
einige Buchstaben zu vertauschen und Vorzeichen zu ändern;
wir können deshalb diese Wiederholung ersparen. Es folgi
m,
»
»
0.
und # positiT vorausgeseizt wurden, auch ^
0, r
Der Fall II) kann daher, wenn a;, y, # positiT Torausgesetzt werden, nicht yorkommen.
da
ff
§
8.
Hilfsformeln zur Erledigung des Falles
III).
Die Erledigung der durch die Gleichungen
III)
bis III*)
gegebenen Möglichkeiten werden wir
§ 10
auf den
in § 3
in
zurückfuhren , bzw. auf die zu diesem Satze
folgenden Satz
führenden Formeln:
Sind Pf
r drei nicht
durch n teilbare ganze Zahlen,
und besteht zwischen ihnen und einer ungeraden Primzahl
n{» 2v +
(77)
1) die
jp"
Relation:
— 2" — r-
ZZH
0
mod.
=
1
(d. h. l&fit sich Ton drei Wurzeln der Kongruenz X**~'
mod. n* eine als Summe der beiden anderen darstellen),
so bestehen die Kongruenzen:
= r = (— lyp" mod.
wo g = r oderi>== — r
n,
(??•)
ausgenommen
— q ist.
p
die Fälle,
oder
Entsprechend der Kongruenz (77) setzen wir:^)
1*»—
(78)
wo
^— f*=2a<i*
n eine ganze Zubl bezeichne,
teill)iir
sei.
Ersetzen
Daß auf
mod.
fi*,
zunächst nicht durch w
wir nun in der fundamentalen Identität
(12) die willkürlichen Zahlen
')
die
J?,
y bzw. durch
j/*, g^,
so wird:
der rechten Seite von (78) eine gerade Zjihl 2 a
führt wurde, ist keine Spesialiaerong,
einfife-
da jede angemde Zahl durch
Hin-
zufügen von Vielfachen von n zu einer geraden gemacht werden kann
und
si(h
•ludurch die rechte Seite von (78) nur
um
Vielfache von n*
andern würde.
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F.
Dm
Lindemann:
323
Fenuatscbe Theorem.
letxte
r+l
— g»'— (y — q"y = D
(79)
und
dies
eine
ist
identische
Bezug auf den Modul
— —
q*'
r"
Satze mit
ii
äquivalent,
und somit durch
- g")«-«'+«,
Die linke
(jileiclaiiig.
nach (Inn erweiterten Ferniatsclit
in
(p"
iV^
ist
— q")**
nach (78) mit
also
teilbar; die rechte Seite ent-
hält den Faktor n, da nach g 2 alle Zahlen Ni durch
n
teilbar
Setzen wir also:
sind.
£ Nip*^*-^^ j»«-»)
nT
(80)
SO
Seite
- q"
p*'
ist
T
eine ganze Zahl,
(79) gleicli
nf^T, und
0
und es wird
die rechte Seite ?on
es folgt:
=n
•
r*
•
J
mod.
also:
T—O
(81)
mod. n.
Durch DiÜerentiation der Identität (79) nach
entsteht
die Relation:
n
«S
iV.
(j^
(» — 2
i
4- 2) 1»»«-')
Cp»
—
(82)
welche ebenfalls identisch
=ü
—
Setzen wir also:^)
erfüllt ist.
(-2)
r"(—«*+!),
(83)
n J,
WO dann
1\ eine ganze Zahl bedeutet, so wird iu HUcksicht
iVrf
(i
auf (77)
1)_ f«(»-i))
(830 w
')
Die
hier
1)
(-2)
= n*2*+ fi(g»r*— 2
eingeführten
Zahlen
T
und
Unterschiede von anderen analogen Zahlen
taii
T,
p**
2") J,
mod.
später zum
und 2\f bezeichnet
wenleii
werden.
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I
324
Sitzung der uiatb.-pbya. Klatsae
Die linke Seite
vom
durch
T
teilbar,
n
nommen den
Zu
also:
n«,
also Tj durch
ist
wo
Fall,
durch n teilbar
mod.
kann der Voraussetzung nach nicht durch
q"
Es
teilbar sein.
mod. n"
1
nach (81) durch n; es wird
(f*-2i>-)r,--0
denn der Faktor
Dezember 1907.
wegen der Kongruenzen:
ist
= ^(»-D ==
(84)
7.
—2
die Zahl r"
teilbar,
j/*
ausge-
£= — (j/* 4-
2*'jJ
ist.
weiteren Beeultaten gelangen wir, indem wir auf der
linken und rechten Seite von (82) auch die dritte Potens von
n
Wir
berücksichtigen.
m,
führen drei Zahlen n, x, q
die
durch die folgenden Gleichungen definiert seien:
jr-'^l+nn,
(86)
Dann
n
-|-
r^-^^l+ng.
n>«,
— (ir
—
+ 2ö
— e -f 2 a r"-^
dJ»««»-"
^n^{7i
Auf
=1
wird auf der linken Seite von (82):
=n
(86)
»
der rechten Seite von (82)
E
JV;
(n
mod. h*
!*(•-«>)
mod.
n*.
ist:
- 2 i 4- 2)
Cp"
— g«)—"+»
»+1
(87)
5j iv;(«— 2 i
4- 2 a
+ 2)
(n — 2
jj^t'-i^
i
4- 1)
£^(ii-2<+i)
f*(— «o]
= n»r — 2nj>»aT,4-2an»i»"2« J,
wenn
T
mod. n\
wieder durch (80) und die ganze Zahl
durch
die
Oleichung:
(88)
n J, =
definiert
i Nt{2 — 1)(2 — 2) p^v-i)
wird (denn das fOr
hat den Faktor
Summe
i
i
n
—2
i
t
- «) r»(^— ««
as y 4. 1 entstehende
4- 1, d. h. den Faktor Null).
auf der rechten Seite von (82)
ist
letzte Glied
Die andere
nach (78):
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Undemann: Das
F.
leiste
325
Fermateohe Theorem.
— 1) ^V-«)
rr»(P-«<+«l
S
+ 2 a n« (» — 2 + 2) r«<«—
-I
==
iV< (i
i
=
r"
•
» Tj
— 4 a n* X,
mocL
n*,
wenn
ist
Wegen
gesetzt wird.
(2i
ist
aber (da
- 1) (2i - 2) « 4(i — 1)» + 2 - 1)
(i
N^^i^n
» J,r-
(88*)
der iieiation:
war):
= 4 » r, -f 2 » 2\ — 2
yi^-t'-i) ^•(»'-O.
Es wird demnadi:
•4-1
_»ä"r-Jj-|-2a»V^i-aw'2"r"T,
mod.
Setzen wir die Werte (86), (87) und (89) in (82)
n*.
ein, so
ergibt nch:
~^
(90)
:^
wobei zu beachten
ist,
dafi
nr + fl-(f--2i>")(T,-afi« J,)
nach (81)
die
Zahl
T
durch «, and
nach (84) das Produkt:
durch n' teilbar
ist.
Ähnliche Gleichungen und Kongruenzen erhält man, indem
man
die Identität (79)
wicklungen
anstellt.
nach
q**
differenziert
Wenn man
aber die
und analoge Entso
entstehenden
Kelatiouen benutzen will, so ergeben sich keine brauchbaren
im.
BHmsrtud.mfth.^'Plqrt.KL
28
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326
SiUaog der math.-ph78. Klwnwi Tom
Kesultate,
wenn man
Desember 1907.
7.
noch eine wtttere Potenz
nicht zuvor
Yon n bei der Entwicklung berücksichtigt.
Zur Vereinfachung der Rechnungen ersetzen wir im
folgenden die Kongruenz (78) durch die Oleichung:
^-
(91)
_ _ r» « 2 an*.
In Rücksicht auf die späteren Untersuchungen, hei denen
a
die Zahl
durch eine Potenz von n teilbar angenommen
als
wird, empfiehlt es sich, statt der Zahlen
teilbar ist
^^^^
g die Zahlen
jr,
jo,
r
Die Kongruenz (90) lautet dann (da T, durch
beizubehalten.
und da
r"
— 2p'* ^ —
mod.
(2" 4"
mod. «»
=»T-2-(2--|-i>'';(r,-an«r,j
ist):
»)
vorausgesetzt, daü
-f-J^" nicht durch
denn nur dann ist nach (84) die Zahl
notwendig durch n' teilbar. Es soll demnach im folgenden zun&chst angenommen werden, dafi keine der
r* durch n teilhar sei.
drei Zahlen
-fr",
-f- q**,
Hierbei
fi
9~
ist
teilbar sei,
—
j)""
wir die Identität (79) nach
Differenzieren
so
wird,
analog zu
=— L
iV.
(n
—2
i
g-f-»' (p»
4- 2)
—
5^")
—
(93)
+E
(i
— 1)
2"<'-'>
Cr — 2*)"-"+«,
Die eckige Klammer der linken Seite
—
und auf der rechten
gtM^i b(>n,
die zweite
(bUj nur
um
Seite die erste
Summe
in (ül)
Summe
hier:
mod. »*
wieder durch (87)
unterscheidet sich von der
einen Faktor; sie
M Hätten wir
nommen,
ist
— qnin-i) — 2ai»*r"^"~'-^^j
den Faktor von n-
HO blitten wir hier rechts
Summe
ist also:
als
und links mit
nno^erade Zahl
ange-
2 multiplizieren mflaseo;
etwas we«entlicbea würde dadurch nicht geändert werden.
F.
327
Lindemann: Das leUte Fermatache Tbeoren.
^ nj?*r»
— aii*i>"r" J,
-f 2 o»=* j>"
mod. nS
80 daß wir erhalten:
= — iiT4-|i^(**+2.«-)(r, — aji«iy
—a
=—«T
(Ö4)
U^" -f 2")
-1-
symmetrisch Tor;
in
mod.
(1^1
In allen unseren Rechnungen
kommen
Yorstehenden Formeln darf daher auch
Bezeichnen wir demnach
übenill q mit r vertauscht werden.
Tjq die Ztihlen, welche aus T, Tj,
rait
Vertausch uug entstehen,
=X;
(95)
«r,
(90)
nr,,= i;
(97)
nr2j
durch diese
^i|^l•-l)r"^'-»>g"^*-='•+i^
iVi(i
— l)ö"^'-2)r"«-2>g»^—
= i; iV;(2i— l)(2i -
jetzt
jT,
d. h. setzen wir:
und bezeichnen dementsprechend
T,,
q und r
die Zahlen
2)i>-('-«»
2»+'>,
r-('-2)
«o,
die früher eingeführten Zahlen
bzw. mit Tr, T\,^ Ttrt so bestehen auch die
folgenden beiden Kongruenzen:
=nJ, — r»(r--i-i»»)(2'„ — an»T2,)
^
und:
|*0» -
«»o»- 1)
^
»)
mod. n»
— 2 a n* fl»^-
==— 11^,4- i>"(i?- + r")(T,, — a«»rt,)
^
Multiplizieren
wir die Kongruenz (92) mit
mod.n«.
p**,
die
Kon-
gruenz (93) mit 9" und bilden die Summe, so wird:
= n2V(|>» —
mod.
n*,
oder:
(1
00)
i)"*
-3
—
rrn Tr
mod, «•
23*
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328
Sitzung der math.-phjd. KUu»e
vom
7.
Dezember 1907.
man auch leicht direkt aus (79);
dem Eulerschen Theoreme über homogene FunkDurch Anwendung der (ileichung (91) auf
tioneu sein muii.
die Identität (79) und Entwicklung nach Potenzen von n
Dasselbe Resultat erhält
wie es nacli
erhalten wir genauer:
_ _ 2 a n* r"
-»
,*t
_.
oder:
^
=2ai»»-f
'
Ebenso
11^— j**— f*»
(101)
und
mod.
fif-T,
n».
ist:
= 2an*+ng"T,
mod.n»,
folglich:
(101*)
2V
=
mod.
5*
»
Dieselben Rechnungen lassen sich auch durchführen, indem
man von
und
der zwischen
r",
aualog zu (79), bestehenden
Identität ausgeht; dieselbe lautet:
(102)
j«*»+f*»-(2^)»=
man
Setzt
also,
L iVi(-iy-»g-<^-Wf*t'~»)(gH^)r-«H-t.
analog zn (80):
fi2;«Ei^i(~i)'-»jr^'"'^'*<'~V<"""+".
(102*)
ist
80 folgt wieder:
(102»')
Jp
*
=0
mod.
n.
IHe Difierentiation der Identität (102) nach
— (g» + r")"-i]
n
(103)
4-
=
2
-Är<
(- 1 y -
i;p -f
»
'
(i
r- (i^"
— 1) 2*
— 2 g")
" ^> r- - »
i»"
j,
(2-
^
+ r")—
eigibt:
2'
+
mod. n\
iju,.
o
Google
D&»
F. Liiidemann:
329
Fermutsche Theorem.
letzte
wenn:
i)'-'(i-i)g"<'-«>f*<'-*>i»^t"-"+*>
(104)
gesetzt wird; und aus (102) folgt, analog zu (84):
(105)
(|)»
—2
fl«)
Tip
~0
mod.
n».
Beraeksichtigen wir auch die dritte Potenz yoq n, so
ist
die linke Seite von (103):
(106)
=nfa»t— i)__|,»»i««-i)_2an*i?»t»-2)]
Auf der
rechten Seite (103)
med.
die erste
ist
T,-'2nq'*r'' Ti,^2an'q'*r» Tip
(107)
n*.
Summe:
raod.
n\
wenn, analog zu (88):
S M(- ly-» (2i- l)(2i -2) ^-('-«f ('-« |,»("-««.
(108)
Die zweite
(109)
wo:
Summe
auf der rechten Seite von (103)
=np^r^Tip-i'4an^
^1
»28,«syrf(t- 1)«(Diese Zahl
Iftßt
T^,
f
ist:
mod. n\
ly-» g»«-«>»-«-»)|»F»(—
sich auf T^p mittels der zu (88*) analogen
Relation:
n r2yp"« 4» Tz,
+ 2» Ti, — 2i»» v(— 1)' ig»«'- ^r^c»^-
zurflckftlhren ; folglich wird der
(110)
Identität (103) findet
llll)
^
man
X
(106),
(da Tip durch
fi*
1
II
n*.
in die
teilbar ist):
x-
/-
mod.
fi^
Vertauschung von q mit r ergibt sich ebenso;
(112)
.
mod.
(107) und (110)
zzuJV— f*(^» — f»)(ri,+ ofi»rf,)
Durch
^
Ausdruck (109):
=£n|>"r»Tij»— 2a«»r»i'i,-i-an»irf*J2,
Durch Einsetzen der Werte
>)
2i 4- 3" (2*
- r") (2
«
1^
-h
"
i'
a n» T2p)
mod.
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880
vom
Sitzung der math.-phys. KJasse
7.
Durch Anwendung der Gleichung
(102),
jT»—
2**
anf die IdentiUt
(91)
analoge Kongruenz:
wir ieruer die zu (lOÜ*)
erhalten
(113)
Dexember 1907.
— = 2a»» —
f*»
mod. n»
Die Kongruenz (101 ) können wir demnach in der folgenden
Form
erweitern; es
—
(114)
ist:
= g» 2V =
jj^
r*
mod.
Tr
«*.
Die hier aufgestellten Kongruenzen sind sämtlich
eine Folge der Gleichung (91), unter der Voraussetzung,
daß keine der Zahlen i/* -|- fi",
r* durch n
-f- i^i ä"
—
teilbar
sei.
Um die Übersieht zu
erleichtern, wollen wir
Bezeichnungen einführen; es
(g-
(1 14*)
(r-
noch folgende
sei:
- r») {T,, + a
-f p») (r„ - a
To^)
=
S,,
T„) =
S,,
Die Kongruenzen (92), (94), (98), (99), (III). (112) kuten
dann (mod. n
):
— r"(— » + 2
_ t«- — 2 a
(115)
(115») r"i—
rr
#t
Tr
— w*^*,
— n Jr -f «V
^"-^^
1)
-i^r
(115»»)
(1150
•
(115«)
»
(115«)
>
Multipliz eren
wir nun (115) mit
r*,
(115^) mit
^
und
bilden die Sunmie, so ergibt sich:
|,«i»-n
oder,
(116)
4_ r»)
-
r»*
—
f/'»-
-[-2 a n' (r*^— '>
= »(f*Tr-i-fi"J,) — »V^C-S^ +
4-r*=s|)» — 2an'
da
Ä,)
+
^)
mod.n».
ist:
—
j"»
-
-
r»' 4-
n»g»r
'
2an» =E n(r- Tr +
(5, 4- 5,)
mod.
T,)
»*.
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F.
LindemBim: Das
331
Fermatscbe Theorem.
leiste
Analog erhält man aus (115*) und (115**), indem man
multipliziert und die Summe bildet:
^
— g^C»-!) — yr) — 2 a n*
bzw. mit r* und
!*•
(f*
(r»<»-»> -j-
mod.n^
i-n(p-2V-f-rr)-h«V^('Sr-iS;)
oder!
^
— nV»*(Ä —
'
fl;^)
mod.«»,
endlich analog durch Vertauschung von q
w\\i
wobei 6g sein
r,
Zeichen wechselt, oder direkt aus (llo'^j und (115*):
^
— wV
^
In Rücksicht
(^7 -f
gruenzen in folgender
Form
leitet
man
diese
mod.
und bilden
die
Kon-
I»»,
mod.».
Multiplizieren wir jetzt die Koni^nienz
mit
letzten
die folgende Uelatiou ab:
8pp'=z8r9*'-S^it
(120)
n».
sich
- - »H'&p-f Ä,)r^'-
==— n*fl»f*(Ä,-f-4)
und hieraus
mod.
schreiben:
-ifHÄp-Ä)l»-r»
(119)
-Sp)
auf (113) lassen
Summe,
mit
(II.'))
r".
(115*)
so wird unter Benutzung von
(114):
= (r»—
l»")(j?"i-'>
— r"^-'>)
^
^
also
nach (120) und (91), oder direkt aus (115^) und
=n»fl-(-%l»--iS^r")
mod.
(121)
ebenso
— r-<— >>==ii*Ä^j"
mod.«»;
— ^•«"-'JE^n'Ärr«
mod.»*,
ist:
(121»)
indem man (115») mit f", (115*) mit g"
ergibt sich durch Subtraktion:
und,
(121*)
(115«'):
j«c»-»
—
=—
multipliziert,
mod.»».
332
KImm vom
SitsDDg der iiiatb.-ph7«.
Vermöge
(115)
.
.
.
Deiember 1907.
7.
werden
dieser drei Relationen
die
Kongruenzen
(115«) auf die Relationen (119) und (120) reduziert
Die von uns aufgestellien Gleichungen und Kongruenzen
sind sSmtlicli Folge des Bestehens der Oleichung (91) bzw. der
Köningens
haben,
FQr
(78).
ist es
die
wichtig, die
jf»
(122)
Anwendung, welche wir im Auge
Kongruenz (77) mit der Kongruenz:
— — =0
möd. «•
r-'
in Verbindung zu bringen.
Es fragt sich, ob beide Kongruenzen gleichzeitig bestehen können.
Infolge ?on (122) sind nach (100*), bzw. (101) oder (113)
T„ Tq und T,
Zahlen
jetzt die
p"'
(123)
Dann
ist
-
durch
f**
Wir
teilbar.
setzen:
— 2 y n\
nach (113) und (lU):
2yn» = 2afi«
(123»)
—
—
mod.
2€iii»-fi*rr
n*.
Rechnungen können
ganz derselben Weise durchgeführt werden, wenn man
Alle vorstehenden Überlegungen und
in
überall
hat
bzw. durch p*\
g", r",
Relation (123),
man
fl**,
um
des Moduls
/>•*,
yn
ersetzt,
so
offenbar in allen vorstehenden Kongruenzen die Potenz
eine Einheit zu erhöhen.^)
die Zahlen, welche aus Tr, S, entstehen,
für
Besteht die
r*' ersetzt.
wird gleichzeitig a durch
d. h.
g", r"
mittels der
einsetzt,
Gemüfj (^3)
fi*
ist,
r') (^1
ist
auch T\r durch
durch
ist
z.
B. analog
zu (92),
f)*',
g**, f**
wie
man
erwähnten Substitution aus (82) ündet:
^nTr^r' ir' +
teilbar
so
Seien also 2^, Sr
wenn man
hier
-
/ n» Ti)
also
^ »2? -
Tu—T\r
mod.
mod.
n*
n',
»*.
und somit
Die links stehende Differenz ist
teilbar und deshalb folgt, daß Tt auch durch
selbstwie es wegen der Kongruenz Tr^Tf mod.
teilbar.
erstSndlich war, denn nach (123*)
(vm
rr=o
Vgl. auch die
ist jetzt:
mod.*».
Rechnungen im folgenden raiagnphen.
F. LindeniaiiB:
Dm
In obiger Kongruenz kflnnen wir
diTidieren
reclite
—
r"^"-^^
-H 2}'n»r"^— 2>
V -f
n T{r
»
mod. n\
T folgende Werte:
3-*«'-«
(i
V
£
=
JV,(2i
— l)(2i — 2)i>«'^-^>fl"=^-=^>r"'^—
2
zu setzen, analog zu (114*):
Da JIr
(123«)
fi
1
« e' Ni — 1)
iirir=
ist
links mit
= 2? — ng"<S;
Hierin haben nach obigem die Zahlen
und es
und
und erhalten dadurch:
(123«)
(123*)
333
Fematache Theomii.
letste
durch
S'r
teilbar
r_ (3« 4- i)«) (Ti
ist,
r
so haben wir auch:
—y
lar)
mod.
n*.
Die Zahlen 2" lassen sich in folgender Weise auf die
Zahlen T zurOckfUhren. OemSfi (85) ist:
l^»l»"(l +n3ty=p^{l
+
»»»w*)
mod. »*;
setzen wir also zur Abkürzung:
P = ji4-x — 2ß, C = ^* + «*— 2e*,
80 erhalten wir aus (123<>):
(1230
4-
n*ß
—
_^
^
_
^
—
yß*]
mod,
_ „3
y
^a-]
jnod.
n*,
p^'r' Tu ^ S(2i- l)(2i-2)Jli;[l +n»(i-l)(P+ n v
4- « ' ö
— 2 »* ^ — 2
und durch Auflösung der
V e*]
Klammem:
mod.
»*,
334
KUmm vom
Siimng der math^pliys.
7.
DeMmber .1907.
(123«)ri,= 2'„+ii'(P+iivC)rar+(»*-ii»-ii«ve)e^r
WO Tsr
Da nun
n\
.
wieder nach (88*) auf T%r zurückgeführt werden kann.
Tt und
2*1 r
je
durch
teilbar sind, so folgt schließlich:
mod.
Tr
T'r
TU = T„ + ii»(« + ^-2e)2',r
(123")
w*,
.
m
Die
dieser
erste
Kongruenzen gibt uns zusammen
mit
(123*) das Resultat:
2(y-'a)ii»
(123*)
= f-r;
mod.»*.
Subtrahieren wir jetzt die Kongruenz (123^)
von (115),
so wird:
(2a
—2
y)
^ (nIV— 2^ — »•^»5;.+ n9"/S;)f*
n»
und in HUcksicht auf
(123'')
S;
(123^)
so dai& aus der
(123»)
T[r
— fiÄ-
Kongruenz
mod.
.j»'tzt
durch
«»,
ll^
(123*') die folgende
n"^
mod.
^oigt weiter:
= (p- + «-)(2'ir-yn»r2r)
ii*fi^
wonach
und (1230
teilbar
hervorgeht:
mod.n*
ist,
und weiter durch
Vergleichung mit der dritten Gleichung (114*):
(123«)
TJr
— yn»T4r = «(T,r — ai»»r2r)
In Kücksiclit auf die dritte der
die mittlere der letzteren
demnach
mod.«*.
Kongruenzen
(128'')
in der folgenden
kann
Form
ge-
schrieben werden:
(123»)
(y
- a)
T^r -f n Ji,
- Tir + »M-P + nvqjl^r
mod.
n^.
Ganz analoge Relationen ergeben
Zahh'n
p. q, r
T\
S'
zu Zahlen
bzw. durch
Zahlen auf T' und
7
",
7", r"
b'
sich,
wenn man von den
man wieder
N" übergeht, indem
ersetzt.
Um
zurUckzuiUhreu, hat
dann
man
diese
neuen
in dt;u eckigen
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F. Lindemaim:
335
Das leUte Fenofttoehe Theorem.
Exponenten Ton n
durch n* su
und den Modul
ersetzen, femer die Definition von Mt entsprechend ahzuSndem.
An Stelle von (123^) findet man so:
Klammern
um
= 3rir + ««(P + »re)rir
.
Gleichzeitig haben wir jetzt y durch
—a
TTr
(123*)
denn es
IT»
der Kongruenzen (1230
eine EuoHeit zu erhöhen
—
gf"*
n\
zu ersetzen;
ist:
- r»» Ii: l>^» — g"' - r"' +
(ji* ;i
— 2» X - r"
mod.
n*,
und:
—
j)"'— g'^—r"'
—r* + n*{j^n — ^H — f^Q)
mod. n^
also zunächst:
*
p^n—^H — r*ß = — 2a
mod. n
— fl^ — »*• = 2 (y — a)
mod.
und dann:
(123P)
Bei Aufstellung
—
daher a durch
analogen
zu (115)
der
n*.
Kon^uenz
und der Modul
a zu ersetzen
ist
wieder
durch n*; es wird also:
= nTr —
2"'
mod.
S'r
»*,
wo, analog zu (123*):
(1230
gesetzt
^"r
ist.
^
Da
(ff*
+ P")
(^'Ir
-
(y
— a)f»» =
ii
j;r"
Nacli (1230 und (12:^°)
ersten (iliede
«)
2 2r)
in (128^) die Diffinrenz der ersten
der linken Seite durch «* teilbar
2(y
-
der
ist,
bdden Glieder
so erhalten wir:
— »»^r»S;
ist
mod. n*
mod.
n*.
rechten Seite in Bezug auf den
äquivalent; wir erhalten also:
dem
Modul »*
aber die linke Seite mit
986
Sitmng der
oiatk.-phji.
KUmm
S'r^O
(12d«)
DeMmber
v4Mn 7.
1907.
mod. »^
(123o):
und somit aus (123') und
T\r^n*(r-a)T2r — n*(P'\-nvQ)Tsr
(123*)
denn fUr J«r und Jsr
Umformung
rir
was mit (123")
Wert yon T\r aus (123^)
ein,
= — »*(» + * — 2 rt^tr
in
Übereinstimmung
uns aber mehr, wenn wir
(123'*) verbinden;
mod.
n*,
yennöge einer za (1230 analogen
dieselbe Relation (123^), wie für
hier noch den
(123«)
gilt
Tu;
setzen wir
so wird:
mod.ii»,
Letztere Kelation gibt
ist.
mit den Kongruenzen (128^) und
sie
durch Subtraktion der letzteren voneinander
erhalten wir nämlich unter Benutzung Ton (123"):
wenn wir den Wert der
oder,
Tu — Tlr
Di£Ebrenz
aus (123*)
entnehmen:
n^Sr^(^'\'P^)laTtr
— in + H — 2Q)Tir]n^
mod.«*
und wenn wir S', gemäl^ (123^) durch Sr ausdrücken uiid sodann Sr mittels (123') und (123°>) auf
und Tu zurückführen:
«
(
7\
r
— a n* Tjr) +
(71 -i-
X
—2
ß) Tsr
= a »• 2jr
»od.
Der Vergleich mit (123^) ergibt demnach:
n^iji
+ ^-2Q)Tir-:=2an^Tu-Tir
n-i
und hieraus
folgt,
daLi
bar sein mufj. Es
den Faktor n nicht
,
,
mod. n%
— Tlt
entweder a oder
Tor
hiüt sich aber zeigen,
entiialten
kann.
durch «
daü
die
teil-
Zahl
Aus (115) und
(IIT)»)
ergibt sich nämlich durch Subtraktion (da Tr durch
bar
teil-
ist):
(:rr
4-
X
— 2ß)r"-H 4a~ —
(j»"
r
(i")f*
mod. n;
beracksichtigen wir also, da& nach (88*):
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4Ttrr*
ist,
337
Daa leUte Fenoattofae Theorem.
F. Lindemanii:
=
mod. n
2'2r
so finden wir aus (123^):'
4 Tir
^
^" + 2") f^}
Tir [4 y
und durch Yergleichung mit
Ijr
(p*
+
mod.
»*,
(123^):
ff")*
=4
mod.«,
so dati in der Tat T2r nicht durch « teilbar sein kann.
erhalten wir das
iilr
Somit
uns wichtige Kesultat:
a
(124)
=0
med.».
Betrachten wir noch den hisher ausgeschlossenen
r durch n teilbar ist. Dann reduziert sich
Fall, wo ff
—
die
Kongruenz (77) auf:
(125)
j;"
In (84)
r"
es folgt also
Aus
mod. n.
»«.
— 2p^ (~?" — 2p^)
Tir^
nicht
0 mod. n und ebenso:
(125) erhalten wir durch Potenzieren:
2— = 1
(125-)
>
Nur
mod.
2ff"
kann dann der Faktor
durch n teilbar sein;
Ti|~0
=
mod.«».
Bedingung genügen, kann
r eintreten.
Eüne Bestätigung dieses Req
sultates geben auch unsere allgemeinen Summenfbrmeln. Die
Gleichung (82) war fthr die QrOßenjp^ und ff* identisch erfüllt;
wir dürfen also p** durch 2, q** durch 1 ersetzen; das gibt:
für Zahlen n, die dieser
also der Fall
«(2--'
^^^^^
=
- 1) « x;^i(ii- 2i + 2) 2*-« + EÄ(i- «a*-«
— »5:iv;2'~> — 3i:iv,(i - 1)2'-«.
Machen wir
andererseits
in
(98)
dieselbe
Substitution,
so wird:
0
= £ JVi(i- 1)2-1 — 2; JV;(n — 2i ^ 2)2'-»
oder:
(126*)
niiNt 2'-»
— 6S
JVi (i
—
1) 2'-«.
338
vom
Sitzung der maUi.-phys. Klasse
Drucken wir so
Summe
die erste
Dezember 1907.
7.
durch die zweite aus,
so erhalten wir aus (12t>):
»(2—
(126'>)
Ferner
>
— l) = 3L^.(i- l)2'-2.»)
nach (83) in unserem Falle
ist
n J„ =»
Man
daß
ersiebt hieraus,
im Falle 2^/'
ü
«
(i
die
-
(d. h. für
q
= r):
2*-«
1)
Bedingung Ti,
0 mod. «*
Tat mit der Bedingung (125*) überein-
iu der
stimmt.
Analog
folgt aus (102),
2 (1
(127)
wenn man
— 2—0 = Ii
man
und aus (103) erhält
g**
und
durch 1 ersetzt:
(— 1)'~* 2—
Beiläuüg finden
dasselbe Resultat
wir also die iielution:
Soll
füllt sein,
im
ao
Falle q
=r
ist:
fr*
mod. n auch die Bedingung (122)
= 2^
mod.ii*,
während sich aus (125) durch Potenzieren
f*=2^^
ÜB müßte
ergibt:
mod.»*.
also die Bedingung:
2—^
(127»)
erfüllt sein.
er-
Wir
^1
mod. »»
fassen das Yoratehende in folgendem Satse
zusammen
Wenn
zugleich mit der Kongruenz (77) auch die
(122) bestehen soll und die erstere Kongruenz nur für den Modul n' (also nicht für »*) gilt,
so ist das nur möglich, wenn eine der Zahlen p
''t
Kongruenz
+
M Hiemus
folgt iM'ilüutig,
Zuhl n durch 3 teilbar
ist,
wie
duü die Zahl 2"-'
man auch
—
1
ftlr
jede ungerade
direkt leicht erkennt.
339
F. Lindemann: Das letzte Fermatsobe Theorem.
—
durch n teilbar ist und die ungerade Primr, q
zahl n der Bedingung ^27*) genügt.')
q
§
/•
Erweiterung der in § 8 aufgestellten Hilfsformeln
für höhere Potenzen des Moduls.
9.
Wir haben
n
bisher ausgeschlossen, daß die Zahl a durch
Setzen wir jetzt,
teilbar sei.
gewonnenen Resultate:
a
=
/?
•
dem
entsprechend
in
(125)
n*,
so geht die Gleichung (91) in die folgende Uber:
^«
(128)
Wir haben nun
Wir gehen
wird
I-
n
»
— f*!»-») + 2ßt&^^ r«(»-2)]
Summe
die erste
=
femer
die zweite
Jr
mod. w^+\
der rechten Seite von (82):
— 2 nj?"
(87)*
^
die entsprechenden Fragen zu untersuchen.
zu der Relation (82) zurQck; die linke Seite derselben
jetzt:
(8üj*
und
— r" = 2 /?n'+2.
_
iW
Ti , 4- 2 ^ »^+3 j/'
med. «H^,
Summe:
- » ä" r~ Ji , -h 2
q''T,r-ß n'+^ q» r» T,,
_^ftH8va|^t-i)^(-n mod. 11^,
^
80 dafi wir aus (82) erhalten (da Tir wieder durch
bar
teil-
ist):
(92)*
^)
Der zu Anfang dieses ParagraphSB aiugetprochene Satz hatte
sich mir als beiläufige Folgerung prgehfn;
Rcweis eine Lücke
nicht
mehr unterdrücken.
richtig; so hat
und
2»
man
= lV —
3=»
mod. 13* (auch mod.
5W —
hiitte;
~ 3»» = 0
13')
mod.
=
Er
i.st
es zeigte sich aber,
ich <h'n
ültrigen^
2'
7: 3^
—
die
lür
und:
19"
11«
und
2«
8'^
einfuchdlcii
1"
6«
^
1
data der
ausgesproi^henen Satz
ü mod.
mod. 7, und tur «---13:
für n
1
konnte
Icid'T
7"^
— 8»' —
1
1'^
mod. 13; für n
— 8« ^ — 5* = —
Fülle
(auch mod.
7-*)
_
= 19:
l xnod. 19.
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340
Sitzung der matb.-phjra. Klaa««
vom
7.
Desember
1907.
ebenso ergibt sich au Stelle von (94):
(94)*
= -nTr-fi>"(|»^-|-2»)(r,r-/?i»^+*r2r)
Ebenso behalten
die
mod.
Kongruenzen (98) und
(III) und (112) ihre Gültigkeit, wenn
ßn^ und den Modul n* durch
(100^) und (113) werden:
man nur
n^'^* ersetzt
(99),
überall
ferner
a durch
Die Kongraenzen
mod. n^+*,
80 dafi auch die Kongruenzen (114) für den
bleiben.
Modul
fi^+^ gOltig
In gleicher Weise lassen sieh offenbar alle folgenden
Nimmt man dann
Betrachtungen erweitem.
(1 23)*
j*»»
— — =
fl««
f*»
hinzu, so ergibt sich durch die
y,
eine Oleichang:
»* +
genau entsprechenden Schlüsse
das Resultat:
(124) *
ß
=0
mod.
n,
und damit der Satz:
Sollen also die Kongraenzen:
und:
— g" — ^ 0
— r^ = 0
1^ —
g*!»
mod. n^+*
mod.
gleichzeitig bestehen, so muü die erstere auch für
den Modul n^+^ gültig sein, oder es muü eine der
^ durcli n teilbar sein.
Zahlen i'-h9fj'
^»
+
—
iju,.
o
Google
§
341
Das leUte Fermatsohe Theorem.
F. LindenuHin:
Der FaU
10.
Wir kehren nach
III).
m
diesen Vorbereitungen
unserer ur-
sprünglichen Aufgabe zurück, indem wir den Fall
III) unier-
Die Gleichungen (13), (13*) und (13^) geben hier:
suchen.
= r; —f*
naf
S ÄiaJ*-
(129)
(— 1)" n
I)
Nehmen wir
durch
teilbar.
fi
zunächst an, es
Es
alle Glieder
nahme des
n teilbar;
es ist folglich
enthält
den Faktor
=
das
durch n***^^
aber
sein sollen
und da ^
=r
W&re umgekehrt
Nit/f- »
^-
eine der Zahlen
da
n
x*'
•
jetzt
r« durch
n
durch n*~^
y"
ti
durch
Dann aber
teilbar.
muß auch
y, z
x,
r
der rechten Seite, mit Aus-
durch
iolifVi^h
q,
In der ersten
x oder y müüte durch
unmöglich,
ist
sei
^
teilbar, die linke Seite ist
auch
n",
teilbar sein, d. h.
n-*"
1 )•
etwa r diese Zahl.
sei
Gleichung sind dann
ersten,
— £ (-
teilljur
zueinander rehitiv
sein;
prim
schon den Faktor « enthält
teilbar, so mttfite
wegen der
« teilbar sein, und wir
Annahme zurück.
ersten Gleichung (129) auch r durch
kommen auf die soeben diskutierte
Im Falle III) kann also keine der Zalilen X, y, z
r den Faktor n enthalten.
und keine der Zahlen ^,
Infolgedessen
sofort die
^;=jp"i"-'>,
also
auch
(180)
ergeben
sich
aus den Gleichungen (129)
Kongruenzen:
nach
qi^^^''-^\
mod.
rjr^i-'^"-»)
dem Format ^schen
Satze
Pn^f^\ qn=^'\ rn=f^^
(nach
mod.
n,
welchem
n
und hieraus:
Pn^lj qn^ly tn^l
1807.
SiUmigtb.
d.
m»Ui.-pbja.
KL
mod. M.
^
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342
Sitzung d«r matb.-phys. Kia«se
£s
ist
vom
Dezember 1907.
7.
aber nach III):
und durch Potenzieren erhält man:
£!^=r*
ap"zzj?",
mod.
n*,
also ans der orausgesetoten Gleichung (3):
(lai)
+
|>"
Zufolge der Gleichungen
y
mod. n\
r"
III)
i^iy
-\-
e
— j0 4-(af — y)
+
=
j)'*^
mod.
folglich:
etc.,
n",
oder:
a:^y-i-£
(131»)
also auch,
und
n*,
da die rechte Seite gleich
ist:
x^PPh==P*
mod.
»*,
Pm=j^~^
mod.
»*.
hieraus:
Entsprechendes erhält
fit,
Üm
r"'^ zu
on
mod.
fi
(132)
aus (131^) für q und
==
r== ji^-»,
die Zahlen
j?»,
unterscheiden,
berücksichtigen.
=s 1
man
f-»
r,
so daii:
mod.
q**
bzw. von den Zahlen
K
müssen wir daher auch das Quadrat
Wir setzen demnach:
g«, r«
-i- #»71,
2*-'
= +
l
>»x,
r«-» s= 1
-i-
ȧf
folglich gpinäfj (130):
Andererseits,
(134)
ist
nach den Gieichuugeu
2y = 2 gg, = j>-
-t-
2# »2rrM
—
3"
— =
-j-
r»-s
III*):
-t- (/?-
2r''
-i-
- g- — f*),
- - t*).
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Dm
F. linderoann:
343
Femmtaefae Tkeoram.
lettte
Die Vergleiehimg mit (133) ergibt:
(134*)
j?»
-
-
= — 2pji^ = 2qx^n* = 2re,n»,
— q* — f* durch n* teilbar
daß
r"
woraus herrorgeht,
(135)
jp*
wo nun
a eine ganze Zahl bezeichnet,
flf—ji^
£s
Wir
q und r
die durch
dann wird:
— an«,
soll gezeigt
setzen demnach:
— 2» — r" = 2 an«,
teilbar sein niuü; und
(136)
wie
ist,
jf*
es schon in (131) gefunden wurde.
y
— ^^ + an^,
werden,
ir
dal» die
«t* -f- an«.
Zahl a gleich Null
sein muß.
Setzen wir diese Werte Ton
Gleichung
g va die Torausgesetzte
(3) ein, so ergibt sich:
0«a^ — y" —
— (j^ — an^y —
— _ — a n« (i^ +
g»«
js«
t"-'>
4- f*
+
fiin*)r
mod.
'>)
n\
da jede der drei Zahlen innerhalb der letzten Klammer
also,
F er matschen
nach dem erweiterten
werden darf:
—y —
Es
ä'*'
3 a»'
mod.
ersetzt
n*.
Zahlen p
-\-
p
-\-
Möglichkeit ist
zu beweisen ist
= 3an»
mod. n»
Nach dem Resultat von
(l'^5).
nur eintreten, wenn
entweder die Zahl
—
a,
§ 8
kann
oder eine
der
Letztere
aber auszuschließen, wie jetzt noch
t\
q
Wenn
r durch n teilbar
z.
B.|»
+9
ist.
den Faktarn enthielte,
wenn:
(^IciÖ)
wäre, 80 erhielte
139)
—
r"*
jp^- jT* — r*«
neben der (ilcichung
d. h.
—
Satze durch 1
besteht folglich die Kongruenz:
(137)
dies
an^T -—ir*
(it
^"-'>
f-»
p
=—q
man durch
=—
mod. n
Potenzieren:
fl"
mod.
n».
24*
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344
vom
Sitsong der inaUi.-phy8. Klaaae
7.
Deiember
1907.
Wir koUpfen zu dem Zwecke wieder an unsere allgemeinen
Formeln an. Das Besteben der Kongruenzen (92) und (94)
wird durch unsere jetzige
Annahme
nicht grestdrt; sie verein-
fachen sich nur dadurch, daß jetzt das Qlied
an*Tt^(j^
^)
gestrichen werden kann; die Kongruenzen (98), (99), (111) und
Auch
(112) bleiben vollkommen ungeändert.
werden, welche an Stelle der letzten Gleichung
(^il-l"*j
nur
jetzt
bleiben
(115*^)
=— —
»»iS;
(r-
im übrigen lauten
tritt;
bestellen;
in
durch die einfachere Gleichung;
(142)
dt tiiiicrt
Kongruenzen
die
kann
...
^'r
demnach
ihnen
(115),
n*S,
Tir
2j>*)
letztere hier;
« — (^ —
= (p» — 2
(T„
2ji^)
+
r-)
— an» T«,)
a
T-i p).
Eine Änderung erfahrt hingegen die Kongruenz (100*);
sie lautet jetzt:
—
(^143)
während
die
r"
Jr
2a«'+
— ian^p^q" Tu
nr*' T,
— 4 a «V 2" ^
i
r
~ — j?" 1^
ä"
Die Gültigkeit der aus (115)
jetzt
fort-
von (114) erhalten wir somit jetzt:
Stelle
.
.
durch (142)
dt
Hniert.
An
mod.
»*.
(115*^) abgeleiteten
.
gruenzen (1H>). (llo, (IIS) wird nicht
»SV
med.
Kongruenzen (101) und (113) unverändert
An
bestehen.
(144)
— r"'-
«gestört;
Stelle der
es
Kon-
nur dort
ist
Kongruenz
(,11 9j
linden wir aus (116) und (143):
2a«* r_:nf" 2V
(145)
also ein
— n*^f*{S,
Sr)
-j-
mod. n\
mit (11*.^ Ubereinstimmeudes Resultat.
Aus (117)
er-
gibt sich ebenso:
2an*r=«r*Tr-iiV»*('S^r
(146)
ebentalls
in
—
Sj»)
mod.«»,
Übereinstimmung mit (119); endlich aus (118),
(113) und (143):
2o«« ^ w ?- T,
^^^^^
w r»
— n^p" (f (Sp +
- 4 a w-'i>»
gT, r -
S,)
i>"
3" iß, + S^)
mod. n\
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F. Lindemaiin:
Das
345
FannatedM Theorem.
letste
Die Kongruenzen (119) sind also jetzt durch (145), (146)
und (147) zu
An
ersetzen.
Stelle
von (120) erhalten wir hier
aus (146) und (147):
— r^Sr
4 oä" Tir -i-p^S,-^
-
mod.
ü
»,
dagegen aus (145) und (146):
p"
Es
q'^S^
S^, -\-
— r^Sr — O
mod.
n.
folglich Tir jetzt durch » teilbar, wie auch
aus (125*) und (126^) hervorgeht, und somit ist nach (142)
die Zahler durch n teilbar. Infolge dieses Resultates
gelten die Kongruenzen (119) ToUstandig unyerfin'dert,
und ebenso alle anderen früheren Kelationon, insbesondere
uonh'U die Kongruenzen (14 Ii) und (141) jttzt bzw. mit den
ist
entsprechenden frülieren Kongruenzen
(1 ()()*)
und(ll)i) identisch.
Besteht wieder die Helation (123), so folgt aus (143) wieder,
dafi
Tf durch
teilbar
p^{n-i)
somit aus (115):
ist,
—
-|-
2 a n»
-0
mod. n\
ebenso aus (123>*):
folglich:
a
(147*)
Dasselbe Resultat
=y
leitet
mod. n.
man
als eine
Folge des Zusammen-
bestehens der iielationen:
1^
=s 2 j)"
— qt —fM
-t-
ß n\
2'»
2an*
'
1
mod.
der vorausgesetzten Gleichung (3)
war aber nach (137) 2y==Ba mod. ii; aus (147*) folgt also
wieder das Resultat: a==0 mod. », auf dem alles folgende beruht.
leicht direkt ab.
Auch das
Infolge
weitere Rekursionsverfahren bleibt im wesent-
lichen unp^eändert.
Aus vor.stehrndrni sx^'lit hervor, dalj die Fälle,
durch n teilbar
der Zahlen i> -h äi
i~ '» ^
—
wo
eine
ist,
von
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346
SiUung der matth-phyt.
KImm vom
DMember
7.
1907.
uns nicht weiter berücksichtigt zu werden brauchen;
und wir kommen zu folgendem Resultate:
y**
müssen die KonInfolge der Gleichung
« +
gruenzen:
jjF»
zunächst für
/
=
—
— f« =0
nur
die
=
dann für A
Möglichkeit, daü die Zahl
Hilfssatze auch für A
also
dann gelten
0 bestehen;
=
mod. f»^+'
Ton 11^+' bzw. n^+'
1.
auftritt,
ist;
wo
u. s.
nach unserem
Es bleibt
f.
welche als Faktor
o,
wenn man
Gleichungen schreibt, gleich Kuli
sie
2,
die
Kongruenzen
als
wir dann aus Glei-
chung (ld5) das Resultat:
_
(148)
—
=0
r"
Mit Rücksicht auf die Gleichungen (134) können
erhalten.
wir sonach folgenden Satz aussprechen:
Sollen also drei Zahlen
keine durch n teilbar
existieren, deren
d?, y, a
und die der Gleichung:
ist,
—
—
I/"
=0
i'"
genügen, so ist jede von ihnen gleich der n^" Potenz
einer anderen Zahl; und zwischen diesen drei anderen
Zahlen
g, r besteht dieselbe Relation:
/I»
9» - f* = 0.
—
Für
diese Zahlen
r gilt also dasselbe;
man
hat:
^^rv
und
es ist:
Die Zahlen
kleineren Zahlen
gleich
1
r,
7,,
letztere kleiner uls dit
j»,.
geworden
sind
kleiner als die Zahlen
/aiilen j\
7,.
ist,
r,
//,
r.
r;
fortschreiten, bis eine dieser Zahlen
wo dann
eine Gleichung
P»«g-+
der Form;
1
bestehen müßte, die offenbar nur möglich
C=
q.
So wird man zu immer
ist,
wenn
P«!*
0 genommen wird.
Hiermit
ist
auch der Fall
Iii) ida
unmöglich nachgewiesen.
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F. LindemBnii:
§
Somit
der Form
(8),
11.
leiste Fermateolie
847
Theorem.
SchluBsbemerkung
ünmöglichkeit dargetan, eine Gleichung
die
ist
Das
d.h. eine Gleichung:
= y» 4-
a;»
j?«*
durch ganze Zahlen
y, m zu befriedigen, wenn n
eine ungerade Primzahl bedeutet, und wenn keine der
Zahlen x, y, z durch n teilbar sein soll. Der Fall aber,
wo eine dieser Zahlen durch n teilbar ist, wurde schon oben
(p.
297
tT.
:
v<^l.
Da nun
die
auch unten § 12) erledig.
Unmöglichkeit des Falles n
=
4
Lam^
von
nachgewiesen wurde, kann n auch keine Poteuz von 2 sein;^
nur die eine Möglichkeit n
es bleibt also in der Tat
im
Die
herangezogenen
Torstehenden
=
2.
sind
Hilfsmittel
durchaus elementarer Natur; außer dem Fermatschen Satze
der Zahlentheorie sind nur einfache algebraische Umformungen
benutzt worden.
wesen
Es
im Besitze
bereits
ist,
denn
ist
daher immerhin möglich, daß
Beweises
ein»'s
die
von
für seine
Fermat
Beh;uij)tung
uns benutzten Hilfsmittel
binomische 8atz, der Fe r matsche Satz, nach welchem
ge-
sind der
/)"~'
^1
mod.
und der sogenannte erweiterte Fe r matsche »Satz.
Das gewonnene liesultat kann man auch dahin aussprechen,
daß
die
n.
Kurre:
— y» — Ä* = 0
— 1;1,0,
Punkten 0,
af»
autier den
drei
1,
1;
1,1,0
keinen
weiteren Punkt mit rationalen Koordinatt n besitzt.
Bedeutet daher l eine ratifuiale Zahl, und schneiden wir
die hLurve mit der geraden Linie:
(«
— y) — iir«0,
welche durch den Punkt
resultierende
werden.
£s
M Vgl.
Hilbert
Gleichung
1,
1.
nicht
0 hindurchgeht,
durch
rationale
so
kann
Werte
die
ertUllt
ergibt sich aber durch Elimination von BX
hierfür auch den Schiaß des oben
zitierten
Werkes von
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348
Sitnuig der ma(h.-phj8. Klttwe
oder nach Division mit
—
x
Tom
7.
Desember
1907.
wenn noch:
gesetzt wird:
+
(r-» 4-
.
.
.
4- ^
ganze Zahl n größer
+
1)
— — 1)»-' =
0.
kann demnach diese
Gleichung nicht durch rationale Werte Ton t und X erf&llt
werden, ausgenonmien die Werte t=^l, Jl
0 und <
0,
jl «= 4- 1, oder
1, je nachdem die Zahl n ungerade oder geIst die
als 2, so
rade
§
»
»
—
ist.
12.
—
Nachtrag zu § 7.
£rläuterung der allgemeinen
Schiaase an dam Falle n
5.
=
Die üben anj^owaiKitc ScliIuLiweise möge hier nocli an dem
Beispiele n
=5
erläutert werden.
Durcli Vergleich der rechten Seite Ton (58*)* mit (57»)*
erhalten wir:
t^i«
+ 2r,H,-\-rlq»-^-\- i{n- 1) - 2)
= — 2rinx mod. n.
Wir können
folgen,
wenn wir
rl
hier die Entwicklung sogleich weiter rerin
(580* gemäß (bS^)* setzen:
= (n - 2fir»)»«2—
— X,) ^ — 2 -f 2 n
2r»x, + ii(2n~ 1)»^-« + j(n-l)(«-2)i1^-«]
dann wird:
{71,
•f n^+^
<2
ri
mod.
also
(A)
nach (57*)*:
=
-2r.(^,-i-x0 -r;(2n-l)»(2»-2-l(»t-l)i,M-2)«-V»
mod.
Die Zahl
i?,
in (58)* ist hierdurch bis
auf Vielfache von
n^+' bestimmt; wir haben dcmnuch zu setzen:
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Lindomaim: Das
F.
(B)
p
nun
luul
zu
letste
— q^ 2«^+' + n ^tt^^+^ 4- n
rt
t^l
n^^+*,
Durch Potenzieren finden
zu suchen.
t^i
349
Fermatsehe Theorem.
wir, analog
(Ö8*)*:
-i-
und
16 r;«^^ +4
mod. w5^+*
luerin ist:
= 2«^ +
•
Andererseits
!?•
'
4- r,
r,
+ r, dl 11**+*,
1?,
analog zu (57)*, gemäü (60")*:
ist
— 8" = 2»^+2y, [1 +
(jii -I-
»
+2n»*+».y.f{l*'-V"'
oder wenn wir die Relation (B) zur
beiderseits mit r,
n2^+2
xl) -f
„'^
mod.
Umformung
benutzen, und
dividieren:
« +4y r, ^»+n«*+«. 4 v
2xi +n*+> dl +n«*+«di +««
1
•
n di
+n^ + i(n-l)(n-2)4rJ^'-s+w2^+H(M-l)(«-2)(n-3)2r?9"-*
>
=2
£
(Jil
+x;)+2»^+ ni xl +»2^ +2 2y
.
'
-
.
-
•
mod.
»
»=^'^+3
oder, analog zu (58*)*:
(xt-Äi) 3
= 2ri - 2nrig" -
[*t«-«-2r,x»+('*,--^rI)«g+|(ii- l)(ii-2)ti3—
^
+••"+« [2r f?i>^-
'
V- ^1
mod. n3^+3.
-|'1(»-'l)(»-2)(ii-3)2--«]
Hierin
g - 4vr, d, j"-'
xi g -
~xi)* gemSß (58^)* durch
Einen anderen Wert
ist
ausEndrOcken.
»1,
wir,
1>
indem wir
-3+
-
wurde;
fDr x,
—
d„
finden
in (E) die linke Seite dureh:
*
—
(l>
+
ersetzen,
die Zahlen r„ 9,
2r,
fl
2
»«,)
4-
+
r, -h
'
+• ^ *i
Umformung
+
'
g
(ji ,
—
X,)
mod. n«*+*
die
Kongruenz (58)* benutzt
wir erhalten dann aus (£),
nach Division mit n^+^
wobei zur
analog zu (57*)*:
350
bitsug
3i&cht
4
nstb-pliji. Eluut
man
W-
xi
)*
er>» tzt
noch
7.
DeMoOMr
1307.
in (F) die angedeutete Substitution,
nämUdi:
^4
"
•-*
+ 4(»—
und
vom
+4
ff'
2)fi«— *
durch
rf**-^
1
ff
g«— « — 8 « rj
— 2^;*i]
so
-f-
Seite von (F) mit der nachten Seite
von (G)
mit dem Faktor fr^+^ überein (denn so war
mod. »2*+*
stimmt die rechtf
bis
auf die Glieder
i^j
bestimmt); die
Vergleichung der letsteren gibt also eine Bestimmimg Ton ^|
bis auf Vielfache
Yon
m^'*'*.
Sodann lifitten wir die Kongruenz
setzen demnach:
(H)
pqR^frif +
.
r
.
Wir
(60") so erweitem.
fj jr-' fl'-'
+ «*+«
ly,.
In der Gleichung:
ist
nach der auf Seite 317 für r« abgeleiteten Relation:
also folgt:
af
=
1?" '
g"" 4- »•*+*
+
•
r • rj (i;2)«''+"<»-'>,
(|»g)<'+-Cr-«)
mod.
und nach {30)*:
V
und somit:
VUl»«)'"*
mod. n«*+».
iju,.
o
Google
F.
Lindemanu:
Dm
Durch den Vergleich mit (ü)
Für
~ 2»»*+«.
(L)
—
die Differenz p'*
1^-
351
FermatBche Theorem.
letzte
ist
dann
b&stimmt:
linden wir hieraus:
2n"+''
f{(p
rUi^g)'-*
mod. n'^+".
Xaoli (B) (Hirten wir, unter Einführung einer noch unbe-
kannten Zahl
setzen:
1^1,
p - 5 = 2 n*+
(M)
'
r,
+ #^*+»
und durch Potenzieren ergibt
+
r,
r,
^+
r,
^\
sich hieraus:
(N)
wo
€f^, ^8 durch obige Gleichangen (D) definiert sind, withrend
65 die rechte Seite von (M) bezeichnet. Entwickelt man die
rechte Seite Ton (N) nach Potenzen ron n, so stimmen alle
Glieder bis zu
mit den
(K*iiijriiigen
mit
lUiii
ents})rerhenden Gliedern
Faktor n^^+^ einschliefilich
von (L) bzw. den schon in
der Kongruenz (C) so weit schon berechneten Gliedern
überder Faktor von »^'^+^ auf der rechten Seite von n ent-
ein;
hält in
^5
die
unbekannte Zahl
i}],
während
diese Zahl
auf
der rechten Seite Ton (L) nicht vorkommt;
dadurch ergibt
sich eine Bestimmung dieser Zahl bis auf Vielfache der Zahl
ti^-^K
Seite
Ist
»> 5,
so enthält der Faktor
auf der rechten
Ton (N) aach das Glied:
Wenn
/.um Faktor
aber
von
n
«5
ist,
so
^ibt dies Glied
einen Beitrag
der durch die Kongruenz
^(J)
ücLou
352
Sitzung der maUu-phys. Klasae
bestimmt
7.
Dexember
1907.
und deshalb keine nachträgliche Korrektur erlahren
ist,
Im
vom
=
n
5 ist also die Kongruenz (N) mit den
Kongruenzen (C) oder (L) nur Terträglich, wenn
den Faktor
n enthält; es folgt also für »
5: r,
0 mod. n, q. e. d.
kann.
Falle
=
Bei
dem
letzten Schlosse hatten
=
wir unsere obige allge-
meine Regel etwas vereinfacht, indem wir die Kongruenzen (L>
und (X) direkt miteinander
explizite zu bilden,
ohne
verglichen,
also auf
ohne
ihre
Bildung der Differenz
zurückzugehen; in ähnlicher Weise wird
man
Dilierenz
(.^,
— x,)^
allgemein ver-
fahren können.
Verbesserungen.
Seite 322.
,
323.
Für den zu Beginn Ton § 8 ausgesprochenen Satze
gl. die Anmerkung auf Seite 339.
Z. 10 Y. 0.: Lies
, äquivalent''
statt .gleich'.
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