Logik und Beweisbarkeit - Fakultät für Mathematik und Informatik

Logik und Beweisbarkeit
Folien zur Vorlesung im Sommersemester 2016
Teil 1
Martin Mundhenk
Univ. Jena, Institut für Informatik
12. April 2016
Vorlesung Logik und Beweisbarkeit
(Sommer 2016)
1. Aussagenlogik
2. Prädikatenlogik und Arithmetik
3. Berechenbarkeitstheorie
4. Unvollständigkeitssätze für die Arithmetik
Einleitung: Über Sinn und Form
Symbolisches Addieren
Al-Chwarizmi (etwa 783–850)
Problem: Was ist
MMMDCCCXCIX plus CMLIV ??
0.0.3
Einleitung: Über Sinn und Form
Symbolisches Addieren
Al-Chwarizmi (etwa 783–850)
Problem: Was ist
MMMDCCCXCIX plus CMLIV ??
Abhilfe:
• Dezimaldarstellung
= eine Sprache für Zahlen
• erlaubt symbolisches Addieren
7 8 2 2 4
+ 1 3 8 1 2
9 2 0 3 6
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
1
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9
9
1 9
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9 6
9 7
1 9 3
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9 6 1
9 7 1
1 9 3 2
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9 6 1 2
9 7 1 4
1 9 3 2 7
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9 6 1 2 5
9 7 1 4 5
1 9 3 2 7 0
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9 6 1 2 5 6
9 7 1 4 5 3
1 9 3 2 7 0 9
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Additionen kann man puzzeln
• Grundwahrheiten (Axiome) . . .
1
1
2
6
3
9
• Regeln . . .
6
7
3
5
5
0
1
1
3
sind wie Puzzlestücke.
2
4
7
6
7
4
9
9
9
+
+
1
korrektes Zusammenlegen zu einer schönen Form. . .
Beispiel:
+
9 6 1 2 5 6 1
9 7 1 4 5 3 1
1 9 3 2 7 0 9 2
Jede korrekte Addition lässt sich puzzeln!
0.0.4
Symbolische Logik und Mathematik
Frege (1848-1925)
[Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)]
Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
∀x∃y (x < y ∧ ∀a, b(a · b = y → (a = 1 ∨ b = 1)))
Beweis: Seien p1 , . . . , pn alle Primzahlen ≤ x.
Dann besitzt q = p1 · p2 · . . . · pn + 1 kein pi als
Primfaktor. Da jede nat. Zahl ≥ 2 Produkt von
Primfaktoren ist, gibt es also eine Primzahl y , die
nicht zu p1 , . . . , pn gehört. Folglich gibt es
unendlich viele Primzahlen.
Freges These: Es gibt Axiome und Regeln, mit denen man jeden Satz
der Arithmetik formal beweisen kann.
Mathematik kann man puzzeln!
Symbolische Logik und Mathematik
Frege (1848-1925)
[Grundgesetze der Arithmetik (1893, 1902)]
Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
∀x∃y (x < y ∧ ∀a, b(a · b = y → (a = 1 ∨ b = 1)))
Beweis: Seien p1 , . . . , pn alle Primzahlen ≤ x.
Dann besitzt q = p1 · p2 · . . . · pn + 1 kein pi als
Primfaktor. Da jede nat. Zahl ≥ 2 Produkt von
Primfaktoren ist, gibt es also eine Primzahl y , die
nicht zu p1 , . . . , pn gehört. Folglich gibt es
unendlich viele Primzahlen.
Freges These: Es gibt Axiome und Regeln, mit denen man jeden Satz
der Arithmetik formal beweisen kann.
Mathematik kann man puzzeln!
Symbolische Logik und Mathematik
Frege (1848-1925), Russell (1872-1970), Whitehead (1861-1947)
[Principia Mathematica (1910-1913. . . )]
Symbolische Logik und Mathematik
Frege (1848-1925), Russell (1872-1970), Whitehead (1861-1947)
[Principia Mathematica (1910-1913. . . )]
Hilberts Programm (1920)
Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 1:
finde einen streng formalisierten Kalkül mit
einfachen unmittelbar einleuchtenden Axiomen,
der die Mathematik und Logik auf eine
gemeinsame, nachweisbar konsistente Basis stellt
—
d.h. finde die Puzzlestücke für das Mathe-Puzzle
und beweise, dass das stimmt.
0.0.6
Gödels Unvollständigkeitssatz (1931)
Gödel (1906-1978)
Hilberts Aufgabe 1
hat keine Lösung!
(Es gibt kein Mathe-Puzzle. . . )
0.0.7
Hilberts Programm (1920)
Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 1:
finde einen streng formalisierten Kalkül
(Axiome & Regeln) mit einfachen unmittelbar
einleuchtenden Axiomen, mit dem man
jede wahre mathematische Aussage
beweisen kann.
0.0.8
Hilberts Programm (1920)
Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 1:
finde ein Verfahren, mit dem man
jede wahre mathematische Aussage
beweisen kann.
0.0.8
Hilberts Entscheidungsproblem (1927)
Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 2:
finde ein Verfahren, mit dem man
logische Formel
für jede wahre mathematische Aussage
beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.
0.0.8
Hilberts Entscheidungsproblem (1927)
Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 2:
finde ein Verfahren, mit dem man
logische Formel
für jede wahre mathematische Aussage
beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.
1. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle
wahren logischen Formeln puzzeln kann.
2. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle
falschen logischen Formeln puzzeln kann.
0.0.8
Gödels Vollständigkeitssatz (1929)
Gödel (1906-1978)
Aufgabe 2:
finde ein Verfahren, mit dem man
logische Formel
für jede wahre mathematische Aussage
beweisen kann, ob sie wahr oder falsch ist.
1. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle
wahren logischen Formeln puzzeln kann. X
(Vollständigkeitssatz, Gödel 1929)
2. Finde Puzzlestücke, aus denen man alle
falschen logischen Formeln puzzeln kann.
0.0.8
Turings Unvollständigkeitssatz (1936)
Turing (1912-1954)
Hilberts Aufgabe 2.2
hat keine Lösung!
(Es gibt kein Puzzle
für die falschen logischen Formeln.)
On computable numbers . . . (1936)
Turing (1912-1954)
• computing machines (Turing-Maschinen)
• was geht: berechenbare Zahlen
•
TMen sind programmierbar
• was geht nicht: das Halteproblem lösen
• wie man Unlösbarkeit zeigen kann:
Reduktion vom Halteproblem zum
Entscheidungsproblem
• wie’s auch geht: äquivalente Maschinerie
Sprache für Algorithmen
Theorie der Berechenbarkeit
Inhalt der Vorlesung
1. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik
I
I
Aussagenlogik (2-3 Wochen)
Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit
Prädikatenlogik und Σ1 -Arithmetik (4 Wochen)
Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit
2. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik
I
I
Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit
Klassifizierung der Arithmetik (3 Wochen)
(3 Wochen)
Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken?
Literatur:
van Dalen: Logic and Structure
(Springer Verlag, 2008)
Cutland: Computability
(Cambridge University Press, 1992)
Smith: An introduction to Gödel’s theorems (Cambridge University Press, 2013)
0.0.11
Inhalt der Vorlesung
1. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik
I
I
Aussagenlogik (2-3 Wochen)
Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit
Prädikatenlogik und Σ1 -Arithmetik (4 Wochen)
Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit
2. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik
I
I
Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit
Klassifizierung der Arithmetik (3 Wochen)
(3 Wochen)
Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken?
Literatur:
van Dalen: Logic and Structure
(Springer Verlag, 2008)
Cutland: Computability
(Cambridge University Press, 1992)
Smith: An introduction to Gödel’s theorems (Cambridge University Press, 2013)
0.0.11
Inhalt der Vorlesung
1. Vollständigkeitssatz für einen Teil der Arithmetik
I
I
Aussagenlogik (2-3 Wochen)
Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit
Prädikatenlogik und Σ1 -Arithmetik (4 Wochen)
Natürliches Schließen & dessen Vollständigkeit
2. Unvollständigkeitssatz der Arithmetik
I
I
Berechenbarkeit, (Semi-)Entscheidbarkeit
Klassifizierung der Arithmetik (3 Wochen)
(3 Wochen)
Umfassende Frage: was kann man mit welcher Sprache ausdrücken?
Literatur:
van Dalen: Logic and Structure
(Springer Verlag, 2008)
Cutland: Computability
(Cambridge University Press, 1992)
Smith: An introduction to Gödel’s theorems (Cambridge University Press, 2013)
0.0.11
Formalien zur Vorlesung/Übung
• Vorlesung/Übung dienstags 16–18 Uhr, donnerstags 14–16 Uhr
• Sprechstunde freitags 10–12 Uhr und nach Vereinbarung
• Zulassungsvoraussetzung zur Prüfung:
erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgabe
• mündliche Prüfung in der vorlesungsfreien Zeit
(Termin wird noch bekanntgegeben)
0.0.12
1 Aussagenlogik
1. Aussagenlogik
Grundbegriffe
Natürliches Schließen
(Literatur:
Schöning: Logik für Informatiker
van Dalen: Logic and Structure
)
1.0.1
1.1 Grundbegriffe der Aussagenlogik
1. Aussagenlogik
Grundbegriffe
Sprache (Formeln)
Semantik (Belegungen und die Erfüllungsrelation)
Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Äquivalenz und adäquate Formelmengen
Semantische Folgerung
Natürliches Schließen
1.1.1 Syntax: Formeln
Definition 1.1 (Aussagenlogische Formeln)
Eine atomare Formel (kurz: Atom) hat die Form Ai für i = 0, 1, 2, . . .
(Aussagenlogische) Formeln sind induktiv definiert wie folgt.
1. Die Konstanten ⊥ (falsum) und > (verum) und alle Atome
sind Formeln.
2. Für alle Formeln α ist ¬α (Negation von α) ebenfalls eine Formel.
Für alle Formeln α und β sind
(α ∧ β) (Konjunktion von α und β, logisches Und ),
(α ∨ β) (Disjunktion von α und β, logisches Oder ) und
(α → β) (Implikation von α und β, logische Folgerung )
ebenfalls Formeln.
(3. Es gibt keine anderen Formeln.)
1.1.2
1.1.2 Semantik: Belegung und Erfüllungsrelation
Definition 1.2 (Belegung)
Eine Belegung B ist eine Menge B ⊆ {A0 , A1 , A2 , . . .} von Atomen.
Definition 1.3 (Semantik der Aussagenlogik)
Sei B eine Belegung, α und β seien Formeln.
Die Relation zwischen Belegungen und Formeln ist wie folgt definiert.
B
>
B
Ai gdw. Ai ∈ B, für atomare Formeln Ai
B
und
B 6
¬α gdw. B 6
⊥
α
B
(α ∧ β) gdw. B
α und B
β
B
(α ∨ β) gdw. B
α oder B
β
(α → β) gdw. B 6
α oder B
β
B
1.1.3 Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Die Relation
Für B
”
”
“ heißt Erfüllungsrelation“.
”
α“ sagt man B erfüllt α“.
”
Für Formelmengen Γ bedeutet B Γ ( B erfüllt Γ“),
”
dass B ϕ für alle ϕ ∈ Γ gilt.
Definition 1.4 (erfüllbare bzw. gültige Formeln)
1. Eine Formel heißt erfüllbar,
wenn es eine Belegung gibt, die sie erfüllt.
Anderenfalls heißt die Formel unerfüllbar (oder Kontradiktion).
2. Eine Formel heißt gültig,
wenn sie von jeder Belegung erfüllt wird.
Gültige Formeln nennt man auch Tautologien.
Schreibweise für Formel α ist gültig“:
α.
1.1.4
1.1.4 Äquivalenz und Adäquatheit
Abkürzende Schreibweise: wir schreiben auch A, B, C , . . . für A0 , A1 , A2 , . . . .
Die Formeln (A ∧ B) und ¬(¬A ∨ ¬B) werden von den gleichen
Belegungen erfüllt.
• Die Belegung {A, B} erfüllt beide Formeln.
• Die Belegungen ∅, {A} und {B} erfüllen beide Formeln nicht.
• Jede andere Belegung entspricht für die Atome A und B einer der
obigen Belegungen.
Definition 1.5 (Äquivalenz von Formeln)
Formeln α und β heißen äquivalent (α ≡ β),
falls für jede Belegung B gilt: B α genau dann, wenn B
β.
Lemma 1.6 (grundlegende Äquivalenzen)
Für alle Formeln α, β und γ gelten die folgenden Äquivalenzen.
Idempotenz:
(α ∧ α) ≡ α
(α ∨ α) ≡ α
Kommutativität:
(α ∧ β) ≡ (β ∧ α)
(α ∨ β) ≡ (β ∨ α)
Absorption:
(α ∧ (α ∨ β)) ≡ α
(α ∨ (α ∧ β)) ≡ α
Doppelnegation:
¬¬α ≡ α
deMorgan’s Regeln:
¬(α ∧ β) ≡ (¬α ∨ ¬β)
¬(α ∨ β) ≡ (¬α ∧ ¬β)
Tautologieregeln:
(α ∧ >) ≡ α
(α ∨ >) ≡ >
Kontradiktionsregeln:
(α ∧ ⊥) ≡ ⊥
(α ∨ ⊥) ≡ α
Negation von Konstanten:
¬⊥ ≡ >
Gesetz des ausgeschlossenen Dritten:
(α ∨ ¬α) ≡ >
¬> ≡ ⊥
(α ∧ ¬α) ≡ ⊥
Implikation:
(α → β) ≡ (¬α ∨ β)
Assoziativität von ∧ bzw. ∨:
((α ∧ β) ∧ γ) ≡ (α ∧ (β ∧ γ))
((α ∨ β) ∨ γ) ≡ (α ∨ (β ∨ γ))
Distributivität von ∧ und ∨:
(α ∧ (β ∨ γ)) ≡ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ))
(α ∨ (β ∧ γ)) ≡ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ))
Vereinfachende Schreibweisen:
überflüssige“ Klammern können weggelassen werden.
”
n
V
Wir schreiben auch ( αi ) statt (. . . ((α1 ∧ α2 ) ∧ α3 ) ∧ . . . ∧ αn )
und (
n
W
i=1
i=1
αi ) statt (. . . ((α1 ∨ α2 ) ∨ α3 ) ∨ . . . ∨ αn ).
Satz 1.7 (Ersetzungstheorem)
Wenn man in einer Formel ϕ eine Teilformel α durch eine zu α
äquivalente Formel ersetzt, so erhält man eine zu ϕ äquivalente Formel.
Formaler ausgedrückt:
Sei ϕ eine Formel mit der Teilformel α,
und β sei äquivalent zu α.
Sei ϕ0 eine Formel, die aus ϕ entsteht,
wenn ein Vorkommen der Teilformel α durch β ersetzt wird.
Dann sind ϕ und ϕ0 äquivalent.
Beispiel:
ϕ
α
β
ϕ0
=
=
=
=
(B → (A ∧ (A ∨ B)))
(A ∧ (A ∨ B))
A
(B → A)
1.1.8
Äquivalentes Umformen
Die semantische Äquivalenz von Formeln lässt sich jetzt
syntaktisch durch äquivalentes Umformen verifizieren
(da ≡ eine Äquivalenzrelation ist).
Beispiel 1: (A → B) ≡ (¬B → ¬A)
(A → B) ≡
≡
≡
≡
(¬A ∨ B)
(¬A ∨ ¬¬B)
(¬¬B ∨ ¬A)
(¬B → ¬A)
(Implikation)
(Doppelnegation)
(Kommutativität)
(Implikation)
1.1.9
Äquivalentes Umformen
Beispiel 2: ((A ∧ B) → C ) ≡ (A → (B → C ))
((A ∧ B) → C )
≡ (¬(A ∧ B) ∨ C )
≡ ((¬A ∨ ¬B) ∨ C )
≡ (¬A ∨ (¬B ∨ C ))
≡ (¬A ∨ (B → C ))
≡ (A → (B → C ))
(Implikation)
(deMorgan)
(Assoziativität)
(Implikation)
(Implikation)
Allgemeiner gilt:
n
^
i=1
Ai → B ≡ (A1 → (A2 → (· · · → (An → B) · · · )))
Äquivalentes Umformen
Beispiel 3: (⊥ → ⊥) ≡ >
(⊥ → ⊥)
≡ (¬⊥ ∨ ⊥) (Implikation)
≡ (> ∨ ⊥)
(Negation von Konstanten)
≡ >
(Kontradiktionsregel)
Beispiel 4: ¬α ≡ (α → ⊥) für jede Formel α
¬α
≡ (¬α ∨ ⊥) (Kontradiktionsregel)
≡ (α → ⊥) (Implikation)
Definition 1.8 (adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen)
Eine Menge M ⊆ {⊥, >, ¬, ∧, ∨, →, . . .} von Verknüpfungszeichen
heißt adäquat, falls es für jede Formel eine äquivalente Formel gibt, die
nur aus Atomen sowie Verknüpfungszeichen aus M besteht.
Da ((¬α) → β) ≡ (α ∨ β),
kann man alle Formeln äquivalent durch Formeln ohne ∨ ausdrücken.
Also ist {⊥, >, ¬, ∧, →} adäquat.
Lemma 1.9 ({⊥, →} ist adäquat)
Für jede aussagenlogische Formel ϕ gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 ,
die nur aus Atomen, ⊥ und → besteht.
Der Beweis soll mittels Induktion über den Formelaufbau von ϕ geführt werden.
Was ist zu zeigen?
Induktionsanfang:
Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die ⊥, > oder ein Atom ist,
gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 , die nur aus Atomen, ⊥ und → besteht.
Induktionsschritt:
Für alle aussagenlogischen Formeln α und β gilt:
wenn α und β äquivalente Formeln besitzen, die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen,
dann gibt es auch für ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β) und (α → β) äquivalente Formeln,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Der Induktionsschritt wird in zwei Teile aufgeteilt:
Induktionsvoraussetzung:
α und β seien beliebige Formeln mit äquivalenten Formeln α0 ≡ α bzw. β 0 ≡ β,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Induktionsschluss – für α und β aus der Induktionsvoraussetzung ist zu zeigen:
¬α, (α ∧ β), (α ∨ β) und (α → β) besitzen äquivalente Formeln,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
1.1.13
Beweis: mittels Induktion über den Formelaufbau der Formel ϕ.
Induktionsanfang (IA):
Zu zeigen ist:
Für jede aussagenlogische Formel ϕ, die ⊥, > oder ein Atom ist,
gibt es eine äquivalente Formel ϕ0 , die nur aus Atomen, ⊥ und → besteht.
Fall 1: ϕ = ⊥. Dann ist ϕ0 = ⊥ äquivalent zu ϕ,
und ϕ0 besteht nur aus Atomen, ⊥ und →.
Fall 2: ϕ = >. Dann ist ϕ0 = (⊥ → ⊥) äquivalent zu ϕ,
und ϕ0 besteht nur aus Atomen, ⊥ und →.
Fall 3: ϕ = Ai . Dann ist ϕ0 = Ai äquivalent zu ϕ,
und ϕ0 besteht nur aus Atomen, ⊥ und →.
Induktionsvoraussetzung (IV):
α und β besitzen äquivalente Formeln α0 bzw. β 0 ,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Induktionsschluss (IS)
Zu zeigen ist: ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β) und (α → β) besitzen äquivalente Formeln,
die nur aus Atomen, ⊥ und → bestehen.
Fall 1: ϕ = ¬α.
Es gilt:
¬α
≡ ¬ α0
(IV und Satz 1.7)
0
≡ (α → ⊥)
(Beispiel 4)
Also ist ϕ0 = (α0 → ⊥) äquivalent zu ϕ,
und in ϕ0 kommen laut IV nur Atome, ⊥ und → vor.
Fall 2: ϕ = (α ∧ β).
Es gilt: (α ∧ β) ≡
≡
≡
≡
≡
≡
(α0 ∧ β 0 )
(¬¬ α0 ∧ ¬¬ β 0 )
¬(¬ α0 ∨ ¬ β 0 )
((¬ α0 ∨ ¬ β 0 ) → ⊥)
((α0 → ¬ β 0 ) → ⊥)
((α0 → (β 0 → ⊥)) → ⊥)
(IV und Satz 1.7)
(Doppelnegation und Satz 1.7)
(deMorgan’s Regel)
(Beispiel 4)
(Implikation und Satz 1.7)
(Beispiel 4 und Satz 1.7)
Also ist ϕ0 = ((α0 → (β 0 → ⊥)) → ⊥) äquivalent zu ϕ,
und in ϕ0 kommen gemäß IV nur Atome, ⊥ und → vor.
Fall 3: ϕ = (α ∨ β).
Es gilt:
(α ∨ β)
≡ (α0 ∨ β 0 )
(IV und Satz 1.7)
≡ (¬¬ α0 ∨ β 0 )
(Doppelnegation und Satz 1.7)
≡ (¬ α0 → β 0 )
(Implikation)
≡ ((α0 → ⊥) → β 0 )
(Beispiel 4 und Satz 1.7)
Dann ist ϕ0 = ((α0 → ⊥) → β 0 ) äquivalent zu ϕ,
und in ϕ0 kommen gemäß IV nur Atome, ⊥ und → vor.
Fall 4: ϕ = (α → β).
Dann ist ϕ0 = (α0 → β 0 ) äquivalent zu ϕ (IV und Satz 1.7),
und in ϕ0 kommen gemäß IV nur Atome, ⊥ und → vor.
X
Satz 1.10 (Adäquate Mengen von Verknüpfungszeichen)
Die folgenden Mengen von Verknüpfungszeichen sind adäquat.
1. {⊥, →}
2. {¬, ∧}
3. {¬, ∨}
4. {¬, →}
1.1.17
1.1.5 Semantische Folgerung
Definition 1.11 (Semantische Folgerung)
Formel ϕ ist eine Folgerung aus der Formelmenge Γ (Γ
wenn jede Belegung, die Γ erfüllt, ebenfalls ϕ erfüllt.
(D.h.: . . . wenn für jede Belegung B gilt: wenn B
ϕ),
Γ, dann B
ϕ.)
Schreibweisen:
• Mengenklammern und Vereinigungszeichen lässt man gerne weg:
z.B. schreibt man α1 , . . . , αn
ϕ oder Γ, α ϕ.
• Statt ∅ ϕ schreibt man
ϕ.
Lemma 1.12 (
verallgemeinert
Sei ϕ eine Formel. Dann gilt:
)
ϕ genau dann, wenn
ϕ.
Folgerung und Gültigkeit
Lemma 1.13 (Zusammenhang zwischen
Die folgenden Aussagen sind äquivalent
und →)
für alle n ∈ N und i = 1, 2, . . . , n + 1.
1. α1 , . . . , αn
ϕ
2. α1 , . . . , αi−1
(αi → (αi+1 → . . . (αn → ϕ) . . .))
3. α1 , . . . , αi−1
(
n
V
αj ) → ϕ
j=i
Insbesondere gelten also folgende Äquivalenzen zu 1.–3. :
•
•
(α1 → (α2 → . . . (αn → ϕ) . . .))
n
V
(( αi ) → ϕ)
i=1
1.2 Natürliches Schließen
in der Aussagenlogik
1. Aussagenlogik
Grundbegriffe
Natürliches Schließen
Schlussregeln für → (informell)
Schlussregeln für ⊥ (informell)
Formale Definition des Natürlichen Schließens
Korrektheit und Vollständigkeit des Natürlichen Schließens
Anhang: Natürliches Schließen für weitere Verknüpfungszeichen
Das Natürliche Schließen dient dem Herleiten von Formeln mittels
Axiomen und Schlussregeln.
Wir werden zeigen, dass man genau die gültigen Formeln herleiten kann
(Satz 1.29).
Wir betrachten nur Formeln aus Atomen, ⊥ und →.
Nach Satz 1.10 reicht das aus.
Wir benutzen ¬α jetzt als abkürzende Schreibweise für α → ⊥.
(Literatur:
van Dalen: Logic and Structure)
1.2.2
1.2.1 Schlussregeln für →
Informelle Einführung
Die Implikations-Elimination:
α
α→β
(→ E )
β
Die Implikations-Introduktion ohne und mit Auflösung einer Hypothese:
[α]
..
β
.
(→ I )
α→β
β
(→ I )
α→β
Eine Herleitung wird als Baum dargestellt,
der mit Hypothesen beginnt (Blätter)
und an dessen Wurzel die hergeleitete Formel steht.
Statt Kanten werden waagerechte Striche
für Anwendungen von Schlussregeln gezeichnet.
1.2.3
Herleitung von A → (B → A)
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
(→ I )
α→β
1.2.4
Herleitung von A → (B → A)
A
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
(→ I )
α→β
1.2.4
Herleitung von A → (B → A)
A
B →A
(→ I )
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
(→ I )
α→β
1.2.4
Herleitung von A → (B → A)
[A]1
B →A
(→ I )
A → (B → A)
(→ I )1
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
(→ I )
α→β
1.2.4
Herleitung von A → (B → A)
[A]1
B →A
α
(→ I )
A → (B → A)
(→ I )1
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
α→β
(→ I )
Herleitung von A → (B → A)
[A]1
B →A
α
(→ I )
A → (B → A)
β→α
(→ I )1
(→ I )
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
α→β
(→ I )
Herleitung von A → (B → A)
[A]1
B →A
[α]1
(→ I )
A → (B → A)
β→α
(→ I )1
(→ I )
(→ I )1
α → (β → α)
Damit sind Herleitungen für alle Formeln der Form α → (β → α) angegeben.
[α]
..
.
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
β
α→β
(→ I )
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
α
α→β
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
α→β
α
(→ E )
β
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
α→β
α
(→ E )
α → (β → γ)
α
β
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
α→β
α
(→ E )
α → (β → γ)
α
β→γ
β
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
(→ E )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
α→β
α
α → (β → γ)
α
(→ E )
β→γ
β
(→ E )
(→ E )
γ
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
α→β
[α]1
α → (β → γ)
[α]1
(→ E )
β→γ
β
(→ E )
(→ E )
γ
α→γ
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
(→ I )1
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
[α]1
[α → β]2
α → (β → γ)
[α]1
(→ E )
β→γ
β
(→ E )
(→ E )
γ
α→γ
(→ I )1
(α → β) → (α → γ)
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
(→ I )2
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleit. von (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
[α]1
[α → β]2
[α → (β → γ)]3
[α]1
(→ E )
β→γ
β
(→ E )
(→ E )
γ
α→γ
(→ I )1
(α → β) → (α → γ)
(→ I )2
(→ I )3
(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
Die Implikations-Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.5
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
Herleitung von α → ¬¬α
Die Regeln:
β
α→β
(→ I )
(erste Hälfte)
d.h. α → ((α → ⊥) → ⊥)
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.6
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
Herleitung von α → ¬¬α
d.h. α → ((α → ⊥) → ⊥)
¬α
α
Die Regeln:
β
α→β
(→ I )
(erste Hälfte)
α
α→⊥
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.6
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
Herleitung von α → ¬¬α
¬α
α
⊥
Die Regeln:
β
α→β
(→ I )
(erste Hälfte)
d.h. α → ((α → ⊥) → ⊥)
α
(→ E )
α→⊥
⊥
(→ E )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.6
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
Herleitung von α → ¬¬α
α
[¬α]1
⊥
¬¬α
β
α→β
d.h. α → ((α → ⊥) → ⊥)
α
(→ E )
(→ I )
[α → ⊥]1
⊥
(→ I )1
Die Regeln:
(erste Hälfte)
(α → ⊥) → ⊥
(→ E )
(→ I )1
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.6
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
Herleitung von α → ¬¬α
[α]2
[¬α]1
⊥
¬¬α
Die Regeln:
β
α→β
d.h. α → ((α → ⊥) → ⊥)
[α]2 [α → ⊥]1
(→ E )
⊥
(→ I )1
α → ¬¬α
(→ I )
(erste Hälfte)
(α → ⊥) → ⊥
(→ I )2
(→ E )
(→ I )1
α → ((α → ⊥) → ⊥)
(→ I )2
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
(→ E )
β
1.2.6
1.2.2 Schlussregeln für ⊥
Informelle Einführung
Ex falso quod libet
⊥
(⊥)
α
Reductio ad absurdum
[¬α]
..
.
⊥
(RAA)
α
1.2.7
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
(zweite Hälfte)
Herleitung von ¬¬α → α:
Die Regeln:
β
α→β
(→ I )
[α]
..
.
β
α→β
[¬α]
..
.
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(RAA)
α
1.2.8
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
(zweite Hälfte)
Herleitung von ¬¬α → α:
¬¬α
¬α
Die Regeln:
β
α→β
(→ I )
(α → ⊥) → ⊥
[α]
..
.
β
α→β
α→⊥
[¬α]
..
.
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(RAA)
α
1.2.8
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
(zweite Hälfte)
Herleitung von ¬¬α → α:
¬¬α
¬α
⊥
Die Regeln:
β
α→β
(→ I )
(α → ⊥) → ⊥
(→ E )
⊥
[α]
..
.
β
α→β
α→⊥
(→ E )
[¬α]
..
.
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(RAA)
α
1.2.8
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
(zweite Hälfte)
Herleitung von ¬¬α → α:
¬¬α
[¬α]1
⊥
α
α→β
(→ I )
[α → ⊥]1
⊥
(RAA)1
Die Regeln:
β
(α → ⊥) → ⊥
(→ E )
α
[α]
..
.
β
α→β
(→ E )
(RAA)1
[¬α]
..
.
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(RAA)
α
1.2.8
Herleitung des Doppelnegationsgesetzes
(zweite Hälfte)
Herleitung von ¬¬α → α:
[¬¬α]2 [¬α]1
⊥
α
Die Regeln:
α→β
⊥
(RAA)1
¬¬α → α
β
[(α → ⊥) → ⊥]2 [α → ⊥]1
(→ E )
(→ I )
α
(→ I )2
β
α→β
(RAA)1
((α → ⊥) → ⊥) → α
[α]
..
.
(→ E )
(→ I )2
[¬α]
..
.
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(RAA)
α
1.2.8
Herleitung von ¬α → (α → β)
Die Regeln:
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
α
(⊥)
Herleitung von ¬α → (α → β)
¬α
Die Regeln:
α
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(⊥)
α
1.2.9
Herleitung von ¬α → (α → β)
¬α
α
⊥
Die Regeln:
(→ E )
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(⊥)
α
1.2.9
Herleitung von ¬α → (α → β)
¬α
α
⊥
(→ E )
(⊥)
β
Die Regeln:
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(⊥)
α
1.2.9
Herleitung von ¬α → (α → β)
¬α
[α]1
⊥
(⊥)
β
α→β
Die Regeln:
(→ E )
(→ I )1
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(⊥)
α
1.2.9
Herleitung von ¬α → (α → β)
[¬α]2
[α]1
⊥
(⊥)
β
α→β
(→ I )1
¬α → (α → β)
Die Regeln:
(→ E )
(→ I )2
[α]
..
.
β
α→β
(→ I )
α
α→β
β
(→ E )
⊥
(⊥)
α
1.2.9
1.2.3 Natürliches Schließen – formal
“Formaler gesehen” geht es beim Natürlichen Schließen nicht um das
Herleiten von Formeln, sondern um das Herleiten von Sequenten.
Definition 1.14 (Sequent)
Ein Sequent ist ein Paar Γ I ϕ,
wobei Γ eine endliche Formelmenge und ϕ eine Formel ist.
Statt Γ ∪ {α} I ϕ schreiben wir vereinfachend Γ, α I ϕ etc.
Wir können nun die Regeln des Natürlichen Schließens als Regeln für
Sequenten aufschreiben – dadurch wird das bisher etwas schwammige
“Auflösen von Hypothesen” klar definiert.
1.2.10
Definition 1.15 (Herleitung mittels Natürlichem Schließen)
1. Die Elemente des Natürlichen Schließens sind Sequenten aus
Formeln aus Atomen, ⊥ und →.
2. Die Axiome des Natürlichen Schließens sind Sequenten α I α für
alle Formeln α.
3. Die Schlussregeln des Natürlichen Schließens sind für
Formelmengen Γ, ∆ und Formeln α, β:
(“Γ, ∆” steht für Γ ∪ ∆)
Γ, β I α
ΓIβ→α
Γ, ¬β I ⊥
ΓIβ
(→ I )
ΓIα ∆Iα→β
(→ E )
Γ, ∆ I β
(RAA)
ΓIα
(Hyp)
Γ, β I α
(Bem.: “Alte” Regeln ohne Hypothesenauflösung werden unter Verwendung von (Hyp) dargestellt.)
4. Eine Herleitung eines Sequenten Γ I α mittels Natürlichem
Schließen ist eine Folge Γ1 I α1 , Γ2 I α2 , . . . , Γ` I α` von
Sequenten, so dass Γ = Γ` und α = α` und deren Elemente
folgende Eigenschaften haben
(für i = 1, 2, . . . , `):
I
I
Γi I αi ist ein Axiom, oder
es gibt Γa I αa und ggf. Γb I αb mit a, b < i, aus denen Γi I αi
in einem Schritt mit einer Schlussregel hergeleitet werden kann.
(Statt Herleitung verwendet man gerne auch Beweis.)
5. Γ Nat α bedeutet, dass es eine Herleitung eines Sequenten Γ0 I α
für ein Γ0 ⊆ Γ mittels Natürlichem Schließen gibt.
Eine Formel α ist ein Theorem des Natürlichen Schließens
(Schreibweise: Nat α), wenn es eine Herleitung von I α mittels
Natürlichem Schließen gibt.
1.2.12
Nat
α → (β → α)
(1)
α I
(2) α, β I
(3)
α I
(4)
I
α
α
(Hyp)(1)
β→α
(→ I )(2)
α → (β → α) (→ I )(3)
1.2.13
Nat
α → ¬¬α
(1)
α I
(2)
¬α I
(3) α, ¬α I
(4)
α I
(5)
I
α
¬α
⊥
(→ E )(1), (2)
¬¬α
(→ I )(3)
α → ¬¬α (→ I )(4)
1.2.14
Nat
¬¬α → α
(1)
¬α I
(2)
¬¬α I
(3) ¬α, ¬¬α I
(4)
¬¬α I
(5)
I
¬α
¬¬α
⊥
(→ E )(1), (2)
α
(RAA)(3)
¬¬α → α (→ I )(4)
1.2.15
Nat
(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
(1)
α I α
(2)
α→β I α→β
(3)
α, α → β I β
(4)
α → (β → γ) I α → (β → γ)
(5)
α, α → (β → γ) I β → γ
(6) α, α → (β → γ), α → β I γ
(7)
α → (β → γ), α → β I α → γ
(8)
α → (β → γ) I (α → β) → (α → γ)
(9) I (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
(→ E )(1), (2)
(→ E )(1), (4)
(→ E )(3), (5)
(→ I )(6)
(→ I )(7)
(→ I )(8)
Nat
¬α → (α → β)
(1)
α I
(2)
¬α I
(3)
α, ¬α I
(4) α, ¬α, ¬β I
(5)
α, ¬α I
(6)
¬α I
(7)
I
α
¬α
⊥
⊥
β
α→β
¬α → (α → β)
(→ E )(1), (2)
(Hyp)(3)
(RAA)(4)
(→ I )(5)
(→ I )(6)
1.2.17
Nat
α → (¬β → ¬(α → β))
(1)
α
(2)
¬β
(3)
α→β
(4)
α, α → β
(5) α, ¬β, α → β
(6)
α, ¬β
(7)
α
(8)
I
I
I
I
I
I
I
I
α
¬β
α→β
β
⊥
¬(α → β)
¬β → ¬(α → β)
α → (¬β → ¬(α → β))
(→ E )(1), (3)
(→ E )(2), (4)
(→ I )(5)
(→ I )(6)
(→ I )(7)
1.2.18
Was wir später nochmal benutzen werden
Satz 1.16
Für alle Formeln α und β gilt
1.
Nat
¬α → (α → β)
2.
Nat
α → (¬β → ¬(α → β))
3.
¬(α → β)
Nat
α
4.
¬(α → β)
Nat
¬β
1.2.19
¬(α → β)
[¬α]2
Nat
[α]1
⊥
β
α→β
α
(→ E )
(⊥)
(→ I )1
¬(α → β)
⊥
α
(→ E )
(RAA)2
1.2.20
¬(α → β)
Nat
¬(α → β)
¬β
[β]1
α→β
⊥
¬β
(→ I )
(→ E )
(→ I )1
1.2.21
1.2.4 Korrektheit und Vollständigkeit von
Nat
Das Natürliche Schließen unterteilt die Menge aller Formeln
in herleitbare Formeln und nicht-herleitbare Formeln.
• Sind alle herleitbaren Formeln gültig? (Korrektheit von
Nat
• Sind alle gültigen Formeln herleitbar? (Vollständigkeit von
)
Nat
)
Ziel ist der Beweis eines Vollständigkeitssatzes (Satz 1.29):
Die herleitbaren Formeln sind genau die gültigen Formeln.
Wenn man einen Beweis-Kalkül als “Maschine” betrachtet, die unendlich
laufend alle herleitbaren Formeln ausgibt, dann bedeutet
• Korrektheit: es werden nur gültige Formeln ausgegeben, und
• Vollständigkeit: jede gültige Formel wird irgendwann ausgegeben.
Korrektheit von
Nat
Da man beim Natürlichen Schließen mit Sequenten arbeitet,
ist es einfacher, etwas Allgemeineres zu beweisen.
Lemma 1.17 (Verallgemeinerte Korrektheit von
Nat
)
Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Dann gilt:
wenn Γ Nat α, dann Γ α.
1.2.23
Verallgemeinerte Korrektheit von
Nat
:
Beweis
Wir zeigen die Behauptung
mittels Induktion über die Länge der Herleitung von α aus Γ.
Induktionsanfang: Γ Nat α mit einer Herleitung der Länge 1.
Dann besteht die Herleitung nur aus dem Sequenten α I α
(also Γ ⊇ {α}), und offensichtlich gilt Γ α für Γ ⊇ {α}.
Induktionsvoraussetzung:
wenn Γ Nat α mit einer Herleitung der Länge ≤ n,
dann gilt Γ α.
Induktionsschluss:
zu zeigen: wenn Γ Nat α mit einer Herleitung der Länge n + 1,
dann gilt Γ α.
1.2.24
Sei Γ Nat α mit einer Herleitung von Γ0 I α der Länge n + 1 für ein
Γ0 ⊆ Γ. Wir unterscheiden, welche Regel im letzten Herleitungsschritt
angewendet wird.
Fall 1: im letzten Herleitungsschritt wird das Axiom α I α benutzt.
α.
Offensichtlich gilt α α und damit Γ0
Fall 2: im letzten Herleitungsschritt wird (→ I ) verwendet.
Dann ergibt der letzte Herleitungsschritt Γ0 I β → ϕ (d.h. α = β → ϕ),
und die Herleitung enthält einen Sequenten Γ0 , β I ϕ,
der mit ≤ n Schritten hergeleitet wird.
0
Wir zeigen nun Γ
β → ϕ,
d.h. für jede Belegung B gilt: wenn B Γ0 , dann B β → ϕ.
Sei B eine Belegung mit B Γ0 .
Fall 2.1: B 6 β: dann folgt B β → ϕ (Semantik von →).
Fall 2.2: B β: gemäß IV gilt Γ0 , β
ϕ und damit B ϕ.
Gemäß Semantik von → folgt ebenfalls B
Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ0
β → ϕ.
β → ϕ.
1.2.25
Fall 3: im letzten Herleitungsschritt wird (→ E ) verwendet.
Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ0 I α
und die Herleitung enthält Sequenten ∆ I β und ∆0 I β → α mit
Γ0 = ∆ ∪ ∆0 , die beide mit ≤ n Schritten hergeleitet werden.
Wir zeigen nun Γ0
α,
d.h. für jede Belegung B gilt: wenn B Γ0 , dann B α.
Sei B eine Belegung mit B Γ0 .
Da ∆, ∆0 ⊆ Γ0 , folgt B ∆ und B ∆0 .
Mit der IV folgt B β und B β → α.
Folglich gilt B α.
Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ0
α.
1.2.26
Fall 4: im letzten Herleitungsschritt wird (Hyp) verwendet.
Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ0 I α, und die Herleitung enthält
einen Sequenten Γ0 − {β} I α, der mit ≤ n Schritten hergeleitet wird.
Sei B eine Belegung mit B Γ0 .
Dann folgt B Γ0 − {β}, und mit der IV folgt B α.
Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ0
α.
Fall 5: im letzten Herleitungsschritt wird (RAA) verwendet.
Der letzte Herleitungsschritt ergibt Γ0 I α, und die Herleitung enthält
einen Sequenten Γ0 , ¬α I ⊥, der mit ≤ n Schritten hergeleitet wird.
Sei B eine Belegung mit B Γ0 .
Da B 6 ⊥, folgt B 6 ¬α aus der IV und damit B α.
Da B beliebig gewählt wurde, folgt Γ0
α.
Also folgt in allen Fällen Γ0
α. Da Γ0 ⊆ Γ, folgt schließlich Γ
α. X
1.2.27
Das Korrektheitslemma für
Nat
Für Γ = ∅ folgt mit Lemma 1.12
Folgerung 1.18 (Korrektheit von
Sei α eine Formel.
Wenn
Nat
Nat
)
α, dann
α.
D.h. jede mittels Natürlichem Schließen herleitbare Formel ist gültig.
Da alle herleitbaren Formeln gültig sind,
benutzt man statt herleitbar auch gerne den Begriff beweisbar.
1.2.28
Vollständigkeit von
Nat
• Wir wollen zeigen:
wenn α (“α ist gültig”), dann
Nat
α (“α ist beweisbar”).
• Wir zeigen wieder allgemeiner: wenn Γ
α, dann Γ
Nat
α.
• Das teilen wir in mehrere Schritte auf:
Γ
α ⇒ Γ ∪ {¬α} ist unerfüllbar
(1.26)
⇒
Γ ∪ {¬α}
⇒ Γ
Nat
Nat
⊥
α
1.2.29
Definition 1.19 (konsistente Menge)
Eine Formelmenge Γ heißt konsistent, falls Γ Nat
6 ⊥.
Lemma 1.20
1. ∅ ist konsistent.
2. Wenn Γ nicht konsistent ist, dann gilt Γ
Nat
α für alle Formeln α.
3. Wenn Γ nicht konsistent ist, dann ist Γ unerfüllbar.
Beweis:
1. Da 6
⊥, folgt
2. Aus Γ
Nat
3. Aus Γ
6
Nat
⊥ folgt Γ
⊥ (Korrektheitslemma 1.17).
Nat
α mit (⊥) für jedes α.
⊥ folgt Γ ⊥ (Korrektheitslemma 1.17).
Da B 6 ⊥, gilt also: B 6 Γ (für alle B).
Nat
X
1.2.30
Definition 1.21 (maximal konsistente Menge)
Eine konsistente Formelmenge Γ heißt maximal konsistent,
wenn keine echte Obermenge von Γ konsistent ist.
Lemma 1.22 (konsistente Mengen können maximiert werden)
Jede konsistente Menge besitzt eine maximal konsistente Obermenge.
Beweis:
Sei Γ eine konsistente Formelmenge,
und φ1 , φ2 , φ3 , . . . sei eine Aufzählung aller Formeln.
Definiere Γ0 , Γ1 , . . . und Γ∗ wie folgt.
(
Γi ∪ {φi+1 }, falls Γ ∪ {φi+1 } Nat
6 ⊥
Γ0 := Γ
und Γi+1 :=
Γi ,
sonst
[
Γ∗ :=
Γi
i≥0
1.2.31
Offensichtlich gilt Γ∗ ⊇ Γ.
Wir zeigen in zwei Schritten, dass Γ∗ maximal konsistent ist.
1.) Γ∗ ist konsistent.
Wir zeigen: für alle α mit Γ∗
Nat
α gilt α 6= ⊥.
Sei α eine Formel mit Γ∗ Nat α.
Dann gibt es eine endliche Teilmenge H ⊆ Γ∗ ,
so dass H I α, und damit H Nat α.
Falls H = ∅, folgt α 6= ⊥ aus dem Korrektheitslemma (1.18).
Falls H 6= ∅, dann ist H = {φi1 , φi2 , . . . , φim }.
Sei b der größte Index aller Elemente von H,
also H ⊆ Γb und Γb = Γb−1 ∪ {φb }.
Aus H Nat α folgt Γb−1 ∪ {φb } Nat α.
Da φb ∈ Γb , folgt Γb−1 ∪ {φb } Nat
6 ⊥ und damit α 6= ⊥.
Also folgt Γ∗ Nat
6 ⊥, d.h. Γ∗ ist konsistent.
1.2.32
2.) Γ∗ ist maximal konsistent.
Wir zeigen: für alle ∆ ) Γ∗ gilt: ∆ ist nicht konsistent.
Sei ∆ ) Γ∗ .
Dann gibt es ein φr ∈ ∆ − Γ∗ .
Es gilt Γr −1 ∪ {φr }
Nat
⊥.
Da ∆ ⊇ Γr −1 ∪ {φr } folgt ∆
Nat
⊥.
Also ist ∆ nicht konsistent.
Also besitzt Γ∗ keine echte Obermenge, die konsistent ist.
Da Γ∗ konsistent ist, ist es auch maximal konsistent.
Also ist Γ∗ eine maximal konsistente Obermenge von Γ.
X
1.2.33
Lemma 1.23 (maxkons Mengen sind abgeschlossen unter
Nat
)
Sei Γ eine maximal konsistente Formelmenge und α eine Formel.
Dann gilt: wenn Γ Nat α, dann α ∈ Γ.
Beweis:
Sei Γ maximal konsistent und Γ Nat α.
Sei ϕ eine Formel mit Γ ∪ {α} Nat ϕ.
Mit (→ I ) folgt Γ Nat α → ϕ,
und mit (→ E ) erhalten wir Γ Nat ϕ.
Da Γ konsistent ist, ist ϕ 6= ⊥.
Folglich gilt Γ ∪ {α} Nat
6 ⊥.
Da Γ maximal konsistent ist, folgt α ∈ Γ.
X
1.2.34
Lemma 1.24 (maxkons Mengen “simulieren” →)
Sei Γ eine maximal konsistente Formelmenge, α und β seien Formeln.
Dann gilt: α → β ∈ Γ genau dann, wenn α 6∈ Γ oder β ∈ Γ.
Beweis:
(⇐): Aus β ∈ Γ folgt Γ Nat β.
Mit (→ I ) folgt Γ Nat α → β und mit (1.23) folgt α → β ∈ Γ.
Aus α 6∈ Γ folgt Γ ∪ {α} Nat ⊥ und damit Γ Nat ¬α (→ I ).
Mit Nat ¬α → (α → β) (1.16) und (→ E ) folgt Γ Nat α → β,
und mit (1.23) folgt daraus α → β ∈ Γ.
(⇒): Aus α → β ∈ Γ und α ∈ Γ folgt Γ Nat α → β und Γ Nat α.
Mit (→ E ) folgt Γ Nat β und daraus mit (1.23) schließlich β ∈ Γ.
X
Folgerung 1.25
Sei Γ eine maximal konsistente Formelmenge, und α sei eine Formel.
Dann gilt entweder α ∈ Γ oder ¬α ∈ Γ.
Lemma 1.26 (konsistente Mengen sind erfüllbar)
Wenn eine Formelmenge konsistent ist, dann ist sie auch erfüllbar.
Beweis: Sei ∆ eine konsistente Formelmenge.
Dann gibt es eine maximal konsistente Menge Γ ⊇ ∆ (Lemma 1.22).
Sei BΓ die Belegung mit Ai ∈ BΓ genau dann, wenn Ai ∈ Γ (f.a. i).
(für jedes α).
Behauptung: BΓ α genau dann, wenn α ∈ Γ
Beweis der Behauptung mittels Induktion über den Formelaufbau von α:
IA: α = Ai oder α = ⊥: Beh. folgt aus der Definition von BΓ .
IV: BΓ β gdw. β ∈ Γ, und BΓ γ gdw. γ ∈ Γ.
IS: Sei α = β → γ.
(Semantik von →)
BΓ α gdw. BΓ 6 β oder BΓ γ
gdw. β 6∈ Γ oder γ ∈ Γ
(Induktionsvoraussetzung)
gdw. β → γ ∈ Γ, also α ∈ Γ (Lemma 1.24)
Mit der Behauptung folgt BΓ
Γ und BΓ
∆ – d.h. ∆ ist erfüllbar. X
Lemma 1.27 (verallgemeinerte Vollständigkeit von
Nat
)
Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel.
Aus Γ α folgt Γ Nat α.
Beweis:
Gelte Γ α.
Dann ist Γ ∪ {¬α} unerfüllbar und folglich nicht konsistent (1.26).
D.h. Γ ∪ {¬α} Nat ⊥.
Mit einer Anwendung von (RAA) erhält man daraus Γ Nat α.
X
Für Γ = ∅ folgt daraus mit Lemma 1.12
Folgerung 1.28 (Vollständigkeit von
Nat
)
Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel. Aus
α folgt
Nat
α.
1.2.37
Der Vollständigkeitssatz für
Nat
in der
Aussagenlogik
Die Korrektheit (Lemma 1.18) und die Vollständigkeit (Lemma 1.28) des
Natürlichen Schließens für die Aussagenlogik ergeben zusammen den
Vollständigkeitssatz.
Satz 1.29
Für jede aussagenlogische Formel α gilt:
α ist gültig genau dann, wenn α mit Natürlichem Schließen beweisbar ist
(d.h.
α gdw.
Nat
α).
Man kann den Satz auch (viel) einfacher beweisen.
Aber wir haben den Begriff “konsistent” kennengelernt . . .
1.2.38
1.2.5 Schlussregeln für weitere
Verknüpfungszeichen
Wir werden später auch mal Formeln mit ∧ und ∨ herleiten.
Die folgenden Regeln sind alle korrekt.
1.2.39
Schlussregeln für ∧ und ∨
Die Schlussregeln für ∧ sind recht intuitiv.
α
β
α∧β
α∧β
(∧I )
α∧β
(∧E )
α
(∧E )
β
Die für ∨ nicht sofort . . .
α
α∨β
(∨I )
β
α∨β
(∨I )
α∨β
[α] [β]
..
..
.
.
ϕ ϕ
(∨E )
ϕ
1.2.40
Nat
α ∨ ¬α
α
1.2.41
Nat
α ∨ ¬α
α
α ∨ ¬α
(∨I )
1.2.41
Nat
α ∨ ¬α
α
α ∨ ¬α
(∨I )
¬(α ∨ ¬α)
⊥
(→ E )
1.2.41
Nat
α ∨ ¬α
[α]1
α ∨ ¬α
(∨I )
¬(α ∨ ¬α)
⊥
¬α
(→ E )
(→ I )1
1.2.41
Nat
α ∨ ¬α
[α]1
α ∨ ¬α
(∨I )
¬(α ∨ ¬α)
⊥
¬α
α ∨ ¬α
(→ E )
(→ I )1
(∨I )
1.2.41
Nat
α ∨ ¬α
[α]1
α ∨ ¬α
(∨I )
¬(α ∨ ¬α)
⊥
¬α
α ∨ ¬α
(→ E )
(→ I )1
(∨I )
¬(α ∨ ¬α)
⊥
(→ E )
1.2.41
Nat
α ∨ ¬α
[α]1
α ∨ ¬α
(∨I )
[¬(α ∨ ¬α)]2
(→ E )
⊥
¬α
α ∨ ¬α
(→ I )1
(∨I )
[¬(α ∨ ¬α)]2
⊥
α ∨ ¬α
(→ E )
(RAA)2
1.2.41
Nat
((α ∧ β) ∨ γ) → (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ)
[α ∧ β]1
α
(∨I )
[(α ∧ β) ∨ γ]3 α ∨ γ
[α ∧ β]2
(∧E )
[γ]1
(∧E )
β
(∨I )
α∨γ
(∨E )1
(∨I )
[(α ∧ β) ∨ γ]3 β ∨ γ
α∨γ
[γ]2
(∨I )
β∨γ
(∨E )2
β∨γ
(∧I )
(α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ)
(→ I )3
((α ∧ β) ∨ γ) → ((α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ))
1.2.42
Die ∨-Elimination
lässt sich auch mit → und ⊥ aufschreiben
[α] [β]
..
..
.
.
¬α → β
ϕ ϕ
(∨E )
ϕ
und als Abkürzung für folgendes ansehen.
[α]1
[β]2
..
..
.
.
ϕ [¬ϕ]3
ϕ [¬ϕ]3
(→ E )
(→ E )
⊥ (→ I )
⊥ (→ I )
1
2
¬α → β
¬α (→ E )
¬β
β
(→ E )
⊥ (RAA)
3
ϕ
1.2.43