2 Bruchrechnung - Universität Koblenz · Landau

2 Bruchrechnung
2 Bruchrechnung
Aufgabe 2.1.
a
b
(a) Erklären Sie, was man unter einem Bruch
(mit a ∈ Z, b ∈ N) versteht.
(b) Stellen Sie die folgenden Brüche graphisch dar:
1
5
2
3
,
10
15
,
6
6
,
,
7
4
,
16
3
(c) Wie kann eine ganze Zahl durch einen Bruch dargestellt werden?
Aufgabe 2.2.
(a) Wann stellen zwei Brüche
a
b
c
d
und
dieselbe Bruchzahl dar? (Formulieren und
begründen Sie eine allgemeine Regel.)
(b) Ein Bruch
a
b
heißt vollständig gekürzt, falls die von ihm dargestellte Bruch-
zahl nicht mit einem kleineren Nenner als b dargestellt werden kann.
Wann ist ein Bruch
a
b
vollständig gekürzt? (Formulieren und begründen Sie eine
allgemeine Regel.)
(c) Stellen Sie die folgenden Zahlen durch Brüche mit (möglichst kleinen) Nennern
dar:
44
99
−60
45
,
−19
41
,
4000
805
,
,
28
7
(d) Stellen Sie die folgenden Zahlen durch Brüche mit einem (möglichst kleinen)
gemeinsamen Nenner dar:
1
5
−5
6
70
50
11
18
1
7
−11
9
−80
100
125
60
und
und
und
und
2
3
6
21
11
10
1
9
und
und
und
und
3
4
8
28
7
2
25
42
und
und
und
und
4
5
10
35
23
55
15
100
Aufgabe 2.3.
(a) Wann gilt
a
b
<
c
?
d
Wann gilt
a
b
>
c
?
d
(für a, b, c, d ∈ N) Formulieren und be-
gründen Sie allgemeine Regeln.
(b) Sortieren Sie die folgenden Bruchzahlen der Größe nach:
4
3
,
3
4
,
3
5
,
7
6
,
9
8
,
11
11
,
9
12
,
12
20
,
31
28
,
44
49
(Berechnen Sie dazu NICHT die Dezimalbruchdarstellung der Zahlen.)
8
,
131
174
Aufgabe 2.4.
(a) Erklären Sie, was
+
a
b
c
d
a
b
und
−
(mit a, c ∈ Z, b, d ∈ N) ergeben.
c
d
(b) Berechnen Sie:
1
2
1
2
−4
3
7
8
11
6
+
+ 2
3
+
−8
−
1
2
−
1
3
1
5
1
4
−11
6
−
+
−
−
13
8
99
7
1
2
−12
8
−96
17
7
2
−400
20
2
3
4
5
−3
4
1
3
−
+
−
−
6
5
7
3
−7
2
1
6
+
−
−
Aufgabe 2.5.
(a) Erklären Sie, was
⋅
a
b
c
d
und
a
b
∶
(mit a, c ∈ Z, b, d ∈ N) ergeben.
c
d
(b) Berechnen Sie:
⋅
4
3
3
2
3
8
7
9
9
6
1
5
1
7
16
5
5
18
∶
⋅
∶
⋅ 3
12 ∶
12
∶
2
12
1
3
7
3
⋅
⋅
∶
(−6)
⋅
1
7
∶
4
3
7
11
36
6
1
4
14
5
−5
2
2
3
∶
1
6
25
11
1
3
3
5
⋅
∶
∶
Aufgabe 2.6.
Für welche x, y ∈ R sind die folgenden Brüche definiert?
1
x−5
x2 −4
7
,
x+5
x+8
,
x(x−6)
x2 +1
,
x(x−6)
x2 −1
,
x4 ⋅(x+2)5
x(x+1)(x+2)
,
,
7xy
x−y
,
x2 +y 2 +2
x2 −y 2
Aufgabe 2.7.
Kürzen Sie die folgenden Brüche so weit wie möglich.
6z
−z
27u2 vw3
45uv 2 w
x2 −2xz
2zy−xy
x2 +2x+1
x+1
x4 −16
(4x2 −16)(2x−8)
25a2
5a
25a2 b3 c
35a3 bc
z 2 +z
z 2 +1
a2 −4a+3
a2 −a−6
u2 −9v 2
u2 −6uv+9v 2
a2 b2
a3 b
2x2
4x+1
u2 −vu
5u4 v
6y 4 −12y 3 +6y 2
9y 6 −9y 5
xy−4x+8y−32
xy−4y+8x−32
12xyz
8y 2 z
14y 6 −4y 2
6y 3 +y
21abc+77b2 c
18a+66b
z 3 −1
z 2 −1
4x2 −10xy+4y 2
8x3 −2xy 2
Aufgabe 2.8.
Stellen Sie durch einen Bruch dar und vereinfachen Sie:
x+y
6
+
x−y
6
6r−5s
3
−
r−6s
5
b−
a+b
2
1
x
−
1
y
x
y
⋅
y
x
3
x−y
−
5
x+y
x
y
∶
y
x
−2a+1
a
+
2b−3
b
+
b
u
+c
2x −
x+y
3
9u−5v
3
−
2u−5v
4
1
a
(x−y)2
5
+
(x+y)2
3
1
x−1
+
y
6
x
u2
−
2a+1
a2
−
+
1
x−2
a2 +1
a3
+
2
x+3
−6z
y2
a3 b
c2
⋅
⋅
y
z3
b
a3 c2
14ab
15uv
∶
7au
10bv
4x
y+z
∶
x2
z
a
10
⋅
6b2
−c
⋅
−5c2
9b
a/b
c/d
a
b
∶
∶
c
b
a+ a
3
a
∶ ( ac ∶ cb )
a
b
48 ∶
8
a
a
c
32xy
3
⋅
∶ ( 2a
⋅
b
u2
v
⋅
v2
u
∶
(xy)2
27
1
1
1− x
v
)
(u
v −u
( u−v
)
u+v
2a
)
c
( x5 − y7 ) ⋅ ( x2 + y3 )
1
uv
( n3 − n3 ) ∶ ( n1 + 3n)
9
2 Bruchrechnung
Aufgabe 2.9. (etwas schwieriger)
Finden Sie Zahlen A, B, C ∈ R, so dass die folgenden Gleichungen (für alle x ∈ R,
für die die Brüche definiert sind) stimmen.
1
x2 −1
=
1
x2 +5x
A
x−1
=
+
A
x+5
B
x+1
+
3x+14
x2 −4
B
x
=
−4x+6
x2 −3x+2
A
x−2
=
+
A
x−1
B
x+2
+
5x+7
2x2 +5x+2
B
x−2
1
x3 +3x2 +2x
=
=
A
2x+1
A
x
+
+
B
x+1
B
x+2
+
C
x+2
Aufgabe 2.10.
(a) Wie hängt die Frage, ob man eine reelle Zahl durch einen Bruch darstellen
kann, mit ihrer Dezimalbruchentwicklung zusammen?
Welche Zahlen haben eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung?
(b) Bestimmen Sie die Dezimalbruchentwicklung der folgenden Brüche:
3
8
19
6
,
,
990
231
,
7
22
,
27
66
,
1994
15
,
51
14
(c) Stellen Sie die folgenden Zahlen mit einem (vollständig gekürzten) Bruch dar:
2.4028
10
,
2.4
,
2.402
,
2.4028
,
0.9
,
0.544
,
0.012
,
6.225713981