Zahlentheorie

Zahlentheorie
Serie 2
Abgabe bis 11. April 12 Uhr an Tobias Berner (Y27K52)
4. Berechne mit Hilfe des euklidischen Algorithmus jeweils
(a) ggT(435, 672) und
(b) ggt(693, 252, 1001).
Bestimme zusätzlich
(c) ganze Zahlen u, v so dass 435 · u + 672 · v = ggT(435, 672) und
(d) ganze Zahlen u, v, w so dass 693 · u + 252 · v + 1001 · w = ggt(693, 252, 1001).
[4]
5. Behauptung: Ist [b0 , b1 , . . .] ein unendlicher Kettenbruch, so konvergieren die NäherungsAn
brüche B
gegen eine reelle (irrationale) Zahl α.
n
Beweise dazu die folgenden Aussagen:
(a) Für alle n gilt:
An−1 An
(−1)n
−
=
Bn−1 Bn
Bn Bn−1
(b) Für alle n gilt:
An−2 An
(−1)n−1 bn
−
=
Bn−2 Bn
Bn Bn−2
(c) Zeige, dass aus (a) & (b) die Behauptung folgt.
[4]
6. (a) Berechne den Kettenbruch von
√
127.
(b) Berechne von Hand einen möglichst guten Näherungsbruch für
(je [2] Bonuspunkte für die drei besten Näherungsbrüche)
√
31.
[4]
7. Berechne den exakten Wert des periodischen Kettenbruches
[1, 3, 1, 5, 1, 7] .
[3]
8. Bei den DIN-A-Papierformaten haben die Seitenlängen ein Verhältnis von 1 :
Die Seitenlängen vom A4-Format sind 210 mm und 297 mm lang.
√
2.
Stelle eine Beziehung
her zwischen den Massen des A4-Formats und einem Näherungs√
bruch von 2.
[3]
9. Ford-Kreise. Auf dem letzten Aufgabenblatt wurde die Farey-Folgen Fn definiert
als die geordnete Folge von Brüchen 0 ≤ ab ≤ 1 mit Nenner b ≤ n.
Wir wollen uns diese Brüche nun noch etwas genauer ansehen:
Sei eine Farey Folge Fn gegeben. Wir definieren zu jedem Bruch ab in Fn den FordKreis K( ab ) als den Kreis mit Mittelpunkt ( ab , 2b12 ) und Radius 2b12 .
(a) Zeichne für F3 die entsprechenden Ford-Kreise auf.
(b) Zeige: Sind zwei Ford-Kreise K( ab ) und K( dc ) gegeben und haben ab und dc die
Eigenschaft (`), dann berühren sich die zwei Kreise in genau einem Punkt.
(c) Bonusaufgabe [3] : Sind K( ab ) und K( dc ) zwei sich berührende Ford-Kreise, dann
gibt es immer einen grössten Kreis K, der sowohl die beiden Kreise wie auch
die x-Achse berührt.
Berechne den Mittelpunkt und den Radius dieses Kreises. Was fällt auf?
.
a
b
x
y
c
d
(d) Zeige, dass sich Ford-Kreise nur dann berühren, wenn die dazugehörigen Brüche
die Eigenschaft (`) haben.
(e) In Aufgabe 3.(d) wurde folgende Aussage gemacht:
Sind ab und dc aufeinanderfolgende Brüche einer Faray-Folge Fn , so
, c aufeinanderfolgende Brüche einer Faray-Folge Fm .
sind ab , a+c
b+d d
Begründe diese Aussage mit Hilfe von Ford-Kreisen.
[7]