Klausur: Lösungen

Wintersemester 2005/06
Zählen und Zahlbereiche
Klausur: Lösungen
Aufgabe 1
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle `, m, n ∈ N gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(D) Für alle `, m, n ∈ N ist `(m + n) = `m + `n.
Seien p, q, r, s ∈ N. Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(p + q)(r + s) = rq + (rp + (sq + sp)) .
Hinweis: Man zeige zunächst unter Verwendung von (D) und (M2), dass
(p + q)(r + s) = (rp + rq) + (sp + sq) .
Man zeige dann unter Verwendung von (A1) und (A2), dass
(rp + rq) + (sp + sq) = rq + (rp + (sq + sp)) .
Lösung
Es gilt
(p + q)(r + s)
(D)
= (p + q)r + (p + q)s
(M2)
(D)
= r(p + q) + s(p + q) = (rp + rq) + (sp + sq)
und ferner gilt
(A2)
(A1)
(rp + rq) + (sp + sq) = (rq + rp) + (sq + sp) = rq + (rp + (sq + sp)) .
Daraus ergibt sich, dass
(p + q)(r + s) = rq + (rp + (sq + sp)) .
Klausur 2005/06: Lösungen
2
Aufgabe 2
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die folgenden Aussagen über die
ganzen Zahlen benutzen:
Die Addition in Z unterliegt den folgenden Regeln:
(A1) Für alle `, m, n ∈ Z gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ Z gilt m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ Z ist 0 + m = m.
(A4) Zu jedem m ∈ Z gibt es eine eindeutige Zahl −m ∈ Z mit −m + m = 0.
(T) Für jedes m ∈ Z mit m 6= 0 ist (mindestens) eines von m und −m in N.
Seien m, n ∈ Z; dann wird die Zahl m + −n mit m − n bezeichnet.
Lemma 1 Seien m, n ∈ Z; dann ist m − n die eindeutige Zahl k ∈ Z mit
m = n + k: Es gilt also m = n + (m − n) und ist k ∈ Z eine Zahl mit m = n + k,
so ist k = m − n.
Seien m, n, p ∈ Z. Man zeige:
(1) Es gilt n + ((m − n) + (p − m)) = p.
(2) Es gilt p − n = (m − n) + (p − m).
(3) Es gilt p − n = (p − m) + (m − n).
(4) Es gilt m − n = (p − n) − (p − m).
Hinweis: In den Teilen (1), (2) und (4) soll man Lemma 1 anwenden, im Teil (1)
sogar zweimal.
Lösung
(1) Nach (A1) gilt n + ((m − n) + (p − m)) = (n + (m − n)) + (p − m), nach
Lemma 1 gilt n + (m − n) = m und damit (n + (m − n)) + (p − m) = m + (p − m)
und wieder nach Lemma 1 gilt m + (p − m) = p. Daraus ergibt sich, das
n + ((m − n) + (p − m)) = (n + (m − n)) + (p − m) = m + (p − m) = p .
(2) Setze k = (m − n) + (p − m); nach (1) gilt n + k = p und folglich gilt nach
Lemma 1, dass k = p − n, d.h. es gilt p − n = (m − n) + (p − m).
(3) Nach (A2) gilt (m − n) + (p − m) = (p − m) + (m − n) und damit ist nach
(2) p − n = (p − m) + (m − n).
(4) Setze k = m − n; nach (3) gilt p − n = (p − m) + k und daher gilt nach
Lemma 1, dass k = (p − n) − (p − m), d.h. es gilt m − n = (p − n) − (p − m).
Klausur 2005/06: Lösungen
3
Aufgabe 3
Beim Lösen dieser Aufgabe kann man annehmen (wie man das stets in der Schule
getan hat), dass bei der Summe von n Zahlen keine Klammern nötig sind, da die
Summe nicht von der Reihenfolge der einzelnen Additionen abhängt. Für diese
Aufgabe darf man also Regeln wie (A1) und (A2) vergessen.
Man zeige durch vollständige Induktion: Für alle n ∈ N gilt
n
X
k(k + 1) =
k=1
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Lösung
Für jedes n ∈ N sei P(n) die Aussage, dass
n
X
k(k + 1) =
k=1
() Es gilt P(1), da
P1
k=1
n(n + 1)(n + 2)
.
3
k(k + 1) = 1(1 + 1) = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2)/3.
(?) Sei n ein Element von N, für das P(n) gilt. Dann ist
n+1
X
k(k + 1) =
k=1
n
X
k(k + 1) + (n + 1)(n + 2)
k=1
n(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1)(n + 2)
3
n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)
=
3
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
=
3
(n + 1)((n + 1) + 1)((n + 1) + 2)
,
=
3
=
d.h. P(n + 1) gilt. Dies zeigt, dass P(n + 1) für jedes n ∈ N gilt, für das P(n) gilt.
Daraus folgt nach dem Prinzip der vollständigen Induktion, dass P(n) für jedes
n ∈ N gilt. Es gilt also
n
X
k=1
für jedes n ∈ N.
k(k + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
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4
Aufgabe 4
Seien m, n ∈ Z mit m 6= 0 und n 6= 0 (und damit sind m/n und n/m beide
Brüche). Setze r = [m/n] und s = [n/m]. Man zeige, dass rs = 1.
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Regeln
(M1) Für alle `, m, n ∈ Z gilt (`m)n = `(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ Z gilt mn = nm.
(M3) Für jedes m ∈ Z ist 1m = m.
für die Multiplikation in Z zusammen mit der folgenden Information benutzen:
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche m/n
und p/q heißen äquivalent, und wir schreiben dann m/n ≈ p/q, wenn mq = pn.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Seien m/n und p/q Brüche; das Produkt (m/n)(p/q) von m/n und p/q wird
definiert durch
(m/n)(p/q) = (mp)/(nq) .
Lemma 2 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q).
Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Das Produkt rs von r und s wird definiert durch:
rs = [(m/n)(p/q)] .
Nach Lemma 2 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 2 (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q) und daraus ergibt sich nach (Q2),
dass [(a/b)(c/d)] = [(m/n)(p/q)]. Die Definition von rs hängt also nicht davon
ab, welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Klausur 2005/06: Lösungen
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Lösung
Per Definition ist rs = [(m/n)(n/m)] und (m/n)(n/m) = (mn)/(nm). Nun ist
(M2)
(M3)
(M2)
(M3)
(mn) · 1 = 1 · (mn) = mn = nm = 1 · (nm)
und damit ist (mn)/(nm) ≈ 1/1. Nach (Q2) ist also [(mn)/(nm)] = [1/1] und
nach (Q5) ist [1/1] = 1. Daraus ergibt sich, dass
rs = [(m/n)(n/m)] = [(mn)/(nm)] = [1/1] = 1 .