Zweite Klausur: Lösungen

Wintersemester 2005/06
Zählen und Zahlbereiche
Zweite Klausur: Lösungen
Aufgabe 1
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle `, m, n ∈ N gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(D) Für alle `, m, n ∈ N ist `(m + n) = `m + `n.
Seien p, q, r, s ∈ N. Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(p + q)(r + s) = ((pr + qr) + sq) + sp .
Lösung
Es gilt
(p + q)(r + s)
(D)
=
(M2)
=
(M2)
=
(A1)
=
(p + q)r + (p + q)s
(D)
r(p + q) + s(p + q) = (rp + rq) + (sp + sq)
(A2)
(pr + qr) + (sp + sq) = (pr + qr) + (sq + sp)
((pr + qr) + sq) + sp .
Zweite Klausur 2005/06: Lösungen
2
Aufgabe 2
Seien m, n, p, q ∈ Z. Man zeige:
(1) Es gilt (p + q) + ((m − p) + (n − q)) = m + n.
(2) Es gilt (m + n) − (p + q) = (m − p) + (n − q).
Hinweis zu (1): Nach Lemma 1 unten gilt m = p + (m − p) und n = q + (n − q).
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die folgenden Aussagen über die
ganzen Zahlen benutzen:
Die Addition in Z unterliegt den folgenden Regeln:
(A1) Für alle `, m, n ∈ Z gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ Z gilt m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ Z ist 0 + m = m.
(A4) Zu jedem m ∈ Z gibt es eine eindeutige Zahl −m ∈ Z mit −m + m = 0.
Seien m, n ∈ Z; dann wird die Zahl m + −n mit m − n bezeichnet.
Lemma 1 Seien m, n ∈ Z; dann ist m − n die eindeutige Zahl k ∈ Z mit
m = n + k: Es gilt also m = n + (m − n) und ist k ∈ Z eine Zahl mit m = n + k,
so ist k = m − n.
Lösung
(1) Nach Lemma 1 ist p + (m − p) = m und q + (n − q) = n und folglich ist
(A1)
(p + q) + ((m − p) + (n − q)) =
(A1)
=
(A2)
=
(A1)
=
=
(A1)
=
((p + q) + (m − p)) + (n − q)
(p + (q + (m − p))) + (n − q)
(p + ((m − p) + q)) + (n − q)
((p + (m − p)) + q) + (n − q)
(m + q) + (n − q)
m + (q + (n − q)) = m + n .
(2) Nach (1) ist m + n = (p + q) + ((m − p) + (n − q)) und daraus ergibt sich
nach Lemma 1, dass (m + n) − (p + q) = (m − p) + (n − q).
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3
Aufgabe 3
Beim Lösen dieser Aufgabe kann man annehmen (wie man das stets in der Schule
getan hat), dass bei der Summe von n Zahlen keine Klammern nötig sind, da die
Summe nicht von der Reihenfolge der einzelnen Additionen abhängt. Für diese
Aufgabe darf man also Regeln wie (A1) und (A2) vergessen.
Man zeige durch vollständige Induktion: Für alle n ∈ N gilt
n
X
(3k 2 − 3k + 1) = n3 .
k=1
Lösung
Für jedes n ∈ N sei P(n) die Aussage, dass
n
X
(3k 2 − 3k + 1) = n3 .
k=1
() Es gilt P(1), da
P1
k=1 (3k
2
− 3k + 1) = (3 − 3 + 1) = 1 = 13 .
(?) Sei n ein Element von N, für das P(n) gilt. Dann ist
n+1
X
2
(3k − 3k + 1) =
k=1
n
X
(3k 2 − 3k + 1) + 3(n + 1)2 − 3(n + 1) + 1
k=1
= n3 + 3(n + 1)2 − 3(n + 1) + 1
= n3 + 3n2 + 6n + 3 − 3n − 3 + 1
= n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n + 1)3 ,
d.h. P(n + 1) gilt. Dies zeigt, dass P(n + 1) für jedes n ∈ N gilt, für das P(n) gilt.
Daraus folgt nach dem Prinzip der vollständigen Induktion, dass P(n) für jedes
n ∈ N gilt. Es gilt also
n
X
(3k 2 − 3k + 1) = n3
k=1
für jedes n ∈ N.
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4
Aufgabe 4
Seien m, n ∈ Z mit n 6= 0 (und damit sind m/n und m/(−n) beide Brüche,
da −n 6= 0, falls n 6= 0). Setze r = [m/n] und s = [m/(−n)]. Man zeige, dass
r + s = 0.
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Regeln
(A1) Für alle `, m, n ∈ Z gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ Z gilt m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ Z ist 0 + m = m.
(A4) Zu jedem m ∈ Z gibt es eine eindeutige Zahl −m ∈ Z mit −m + m = 0.
(D) Für alle `, m, n ∈ Z ist `(m + n) = `m + `n.
für die Addition und Multiplikation in Z zusammen mit der folgenden Information
benutzen:
Lemma 2 Für alle n ∈ Z ist 0 · n = 0.
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche m/n
und p/q heißen äquivalent, und wir schreiben dann m/n ≈ p/q, wenn mq = pn.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Seien m/n und p/q Brüche; die Summe m/n + p/q von m/n und p/q wird durch
m/n + p/q = (mq + pn)/(nq)
definiert.
Lemma 3 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt a/b + c/d ≈ m/n + p/q.
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5
Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Die Summe r + s von r und s wird definiert durch:
r + s = [m/n + p/q] .
Nach Lemma 3 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 3 a/b + c/d ≈ m/n + p/q und daraus ergibt sich nach (Q2), dass
[a/b + c/d] = [m/n + p/q]. Die Definition von r + s hängt also nicht davon ab,
welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Lösung
Es gilt r + s = [m/n + m/(−n)] und m/n + m/(−n) = (m(−n) + mn)/(n(−n)).
Da nach Lemma 2 0 · m = 0, ist nun
(D)
(A4)
(A2)
m(−n) + mn = m(−n + n) = m · 0 = 0 · m = 0
und damit ist m/n + m/(−n) = 0/(n(−n)). Aber nach Lemma 2 ist
0 · 1 = 0 = 0 · (n(−n))
und folglich is 0/(n(−n)) ≈ 0/1. Nach (Q2) ist also [0/(n(−n))] = [0/1] und nach
(Q5) ist [0/1] = 0. Daraus ergibt sich, dass
r + s = [m/n + m/(−n)] = [0/(n(−n))] = [0/1] = 0 .