Klausur: Lösungen

Wintersemester 2007/08
Zählen und Zahlbereiche
Klausur: Lösungen
Aufgabe 1
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ N ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
(KA) Für alle m, n, p ∈ N mit m + p = n + p ist m = n.
(KM) Für alle m, n, p ∈ N mit pm = pn ist m = n.
Seien a, b, c ∈ N mit
(a + b)c = (a + c)b .
Man zeige nur unter Verwendung von den Regeln (M2), (D), (KA) und
(KM), dass c = b.
Hinweis: Man zeige zunächst, dass ca = ba.
Lösung
Es gilt
(M2)
(D)
(M2)
(a + b)c = c(a + b) = ca + cb = ca + bc
und
(M2)
(D)
(a + c)b = b(a + c) = ba + bc
und folglich ist
ca + bc = (a + b)c = (a + c)b = ba + bc .
Damit ist nach (KA) ca = ba und also gilt auch
(M2)
(M2)
ac = ca = ba = ab .
Daraus ergibt sich nach (KM), dass c = b.
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Aufgabe 2
Die Addition und die Differenz in Z unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle p, q, r ∈ Z ist (p + q) + r = p + (q + r).
(d1) Für alle p, q ∈ Z gilt p = q + (p − q).
(d2) Sind p, q, r ∈ Z mit p = q + r, so ist r = p − q.
(d3) Für alle p, q ∈ Z gilt p = (p − q) + q.
(d4) Sind p, q, r ∈ Z mit p = r + q, so ist r = p − q.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
((a − b) + (b − c)) + (c − d) = (c − d) + (a − c)
für alle a, b, c, d ∈ Z. Hier darf man nicht benutzen, dass p − q = p + −q.
Hinweis: Man behandle die linke und die rechte Seite der Gleichung getrennt.
Lösung
Es gilt
(A1)
(((a − b) + (b − c)) + (c − d)) + d =
(d3)
=
(A1)
=
(d3)
=
((a − b) + (b − c)) + ((c − d) + d)
((a − b) + (b − c)) + c
(a − b) + ((b − c) + c)
(d3)
(a − b) + b = a
und folglich ist nach (d4) ((a − b) + (b − c)) + (c − d) = a − d . Ferner gilt
(A1)
(d1)
(d1)
d + ((c − d) + (a − c)) = (d + (c − d)) + (a − c) = c + (a − c) = a
und damit ist nach (d2) (c − d) + (a − c) = a − d . Daraus ergibt sich, dass
((a − b) + (b − c)) + (c − d) = a − d = (c − d) + (a − c) .
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Aufgabe 3
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche m/n
und p/q heißen äquivalent, und wir schreiben dann m/n ≈ p/q, wenn mq = pn.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Seien m/n und p/q Brüche; die Summe (m/n) + (p/q) von m/n und p/q wird
definiert durch
(m/n) + (p/q) = (mq + pn)/(nq) .
Lemma 1 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt (a/b) + (c/d) ≈ (m/n) + (p/q).
Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Die Summe r + s von r und s wird definiert durch:
r + s = [(m/n) + (p/q)] .
Nach Lemma 1 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 1 (a/b) + (c/d) ≈ (m/n) + (p/q) und daraus ergibt sich nach
(Q2), dass [(a/b) + (c/d)] = [(m/n) + (p/q)]. Die Definition von r + s hängt also
nicht davon ab, welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Seien m/n und p/q Brüche; das Produkt (m/n) · (p/q) von m/n und p/q wird
definiert durch
(m/n) · (p/q) = (mp)/(nq) .
Lemma 2 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt (a/b) · (c/d) ≈ (m/n) · (p/q).
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Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Das Produkt rs von r und s wird definiert durch:
rs = [(m/n) · (p/q)] .
Nach Lemma 2 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 2 (a/b) · (c/d) ≈ (m/n) · (p/q) und daraus ergibt sich nach (Q2),
dass [(a/b) · (c/d)] = [(m/n) · (p/q)]. Die Definition von rs hängt also nicht davon
ab, welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Aussage
(d1) Für alle Brüche m/n, p/q gilt
(m/n + 1/1) · (p/q) ≈ (m/n) · (p/q) + p/q
über die Addition und Multiplikation von Brüchen zusammen mit der Information
aus dem Vorspann benutzen.
Man zeige: Für alle r, s ∈ Q gilt
(r + 1)s = rs + s .
Lösung
Seien r, s ∈ Q; nach (Q3) gibt es Brüche m/n und p/q mit r = [m/n] und
s = [p/q]. Ferner ist nach (Q4) und (Q5) 1 = [1/1]. Nach der Definition von der
Addition in Q ist
r + 1 = [m/n + 1/1]
und da r + 1 = [m/n + 1/1] und s = [p/q] ist nach der Definition von der
Multiplikation
(r + 1)s = [(m/n + 1/1) · (p/q)] .
Genauso ist rs = [(m/n) · (p/q)], und da rs = [(m/n) · (p/q)] und s = [p/q], ist
dann
rs + s = [(m/n) · (p/q) + p/q] .
Nach (d1) ist aber (m/n + 1/1) · (p/q) ≈ (m/n) · (p/q) + p/q und folglich ist nach
(Q2) [(m/n + 1/1) · (p/q)] = [(m/n) · (p/q) + p/q]. Also ist
(r + 1)s = [(m/n + 1/1) · (p/q)] = [(m/n) · (p/q) + p/q] = rs + s .
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Aufgabe 4
In dieser Aufgabe darf man lediglich Folgendes über die natürlichen Zahlen verwenden:
(P0) Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 1 und zu jedem
n ∈ N gibt es einen Nachfolger s(n).
(P1) Für alle n ∈ N ist 1 6= s(n). (Die Eins ist kein Nachfolger.)
(P2) Für alle m, n ∈ N mit m 6= n ist s(m) 6= s(n). (Verschiedene Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.)
(P3) Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion:
Für jedes n ∈ N sei P(n) eine Aussage. Nehme an:
(⋄) Es gilt P(1).
(⋆) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(s(n)).
Dann gilt P(n) für jedes n ∈ N.
Natürliche Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n
bezeichnet. Die Addition unterliegt den folgenden Regeln:
(a0) Für alle m ∈ N gilt m + 1 = s(m).
(a1) Für alle m, n ∈ N gilt m + s(n) = s(m + n).
Man zeige: Es gilt s(m) + n = m + (1 + n) für alle m, n ∈ N.
Hinweis: (1) Für jedes n ∈ N betrachte man die Aussage P(n): Für alle m ∈ N
gilt s(m) + n = m + (1 + n).
(2) Es gilt m + (1 + 1) = s(s(m)) für alle m ∈ N, da
(a0)
(a1)
(a0)
m + (1 + 1) = m + s(1) = s(m + 1) = s(s(m)) .
(3) Man zeige zunächst: Für alle m, n ∈ N gilt m + (1 + s(n)) = s(m + (1 + n)).
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Lösung
Für jedes n ∈ N sei P(n) die Aussage: Es gilt s(m) + n = m + (1 + n) für alle
m ∈ N.
(⋄) Für alle m ∈ N gilt
(a0)
(a1)
(a0)
(a0)
m + (1 + 1) = m + s(1) = s(m + 1) = s(s(m)) = s(m) + 1 ,
d.h. s(m) + 1 = m + (1 + 1) für alle m ∈ N, und damit gilt P(1).
(⋆) Sei n ein Element von N, für das P(n) gilt; also ist s(m) + n = m + (1 + n)
für alle m ∈ N. Dann gilt
(a1)
(P(n))
s(m) + s(n) = s(s(m) + n) = s(m + (1 + n))
(a1)
(a1)
= m + s(1 + n) = m + (1 + s(n))
für jedes m ∈ N, und dies zeigt, dass P(s(n)) gilt.
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt nun P(n) für alle n ∈ N. Es
gilt also s(m) + n = m + (1 + n) für alle m ∈ N für jedes n ∈ N, und damit gilt
s(m) + n = m + (1 + n) für alle m, n ∈ N.