M I ¨ I /SWT - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
E. Teufel / J. Spreer
Blatt 4
WS 2008/09
M I ̈ I/SWT
Aufgabe 15 (zum Votieren) Berechne den ggT folgender Zahlenpaare
und gebe den Rechenweg mit an
a) (8944, 2312)
b) (p · 17, q · 13) wobei p und q zwei unterschiedliche Primzahlen sind,
gebe alle möglichen Fälle an.
c) (15030 , (9849 )/1048576)
Aufgabe 16 (zum Votieren)
Beweise folgende Aussagen
a) Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben (Fundamentalsatz der Arithmetik).
b) ggT(a · b, c · b) = b · ggT(a, c)
Aufgabe 17 (zum Votieren)
Zeige:
√3
10 ∈ R \ Q
Hinweis: Siehe Skript für einen analogen Beweis.
Aufgabe 18 (zum Votieren)
3 + 3i, b = 2 + i und c = √12 +
Gegeben seien die komplexen Zahlen a =
√1 i
2
a) Berechne ā, a · b, a · b̄ und c2
b) Berechne
1
b
und
a
b
in der Form z = x + yi mit x, y ∈ R
c) Berechne a, c und c2 in trigonometrischer Darstellung.
d) Zeichne alle Ergebnisse in die komplexe Zahlenebene. Wie lässt sich
die Operation z → z̄ und die Multiplikation (z, w) → z·w geometrisch
deuten?
Hinweis: Zum Deuten der Multiplikation ist es hilfreich, die trigonometrische Darstellung von c sowie von c2 zu betrachten und davon ausgehend
auf den Fall mit beliebigen Winkeln φ zu schließen.
Aufgabe 19 (schriftlich, 6 Punkte)
a) (2 Punkte) Transformiere die im 12er-System stehende Zahl (11B4)12
ins Binärsystem (g = 2), ins Oktalsystem (g = 8), ins Dezimalsystem
(g = 10) und ins Hexadezimalsystem (g = 16) (Es gilt dabei für die
Ziffern über 9: 10 → A, 11 → B, etc...).
b) (1 Punkt) Berechne die letzte Ziffer von (80325)10 im 45er-System.
c) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Dezimaldarstellung jeder rationalen
Zahl periodisch ist, und dass jede Zahl mit einer periodischen Dezimaldarstellung rational ist.
Hinweis zu c): Ein eleganter Beweis verwendet die Formel für die unendliche geometrische Reihe
∞
X
rk = (1 − r)−1
für |r| < 1,
k=0
welche durch den Grenzübergang n → ∞ folgt.
Abgabe der schriftlichen und Besprechung der mündlichen Aufgaben am
Dienstag, den 11. November in den Übungen.