SGA 08 – Mathematik I – Serie 1

Fachbereich Wasserwirtschaft
Prof. Dr. rer. nat. habil. Andreas Felgenhauer
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SGA 08 – Mathematik I – Serie 1
H2FMpSs
A Wiederholungsaufgaben
1) Ermitteln Sie die Lösungen folgender Gleichungen:
a)
c)
e)
(x + 3)(x2 − 2x − 8) = 0
4
b)
2
e
5x + 4 −
√
3x − 2 = 2
2
x + 36 = 13x
2x
√
d) (lnx) + lnx = 2
x
− 3e + 2 = 0
f)
x3 − 5x2 − x + 14 = 0
2) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen:
a) y = |x| + 2
b) y = |2x + 1|
d) y = |(x − 2)(x + 4)|
3)
e) y = |x| + |x − 2|
e)y = 1 + | sin 2x|
f ) y = |ln(x − 2)| !
Lösen Sie folgende Gleichungen
a)
d)
g)
j)
sin x = 0.5
sin x = 1
tan x2 = 1
4 cos x = 3 sin x
b) cos x = 0.3
e) cos x = −1
h) sin 2x = −0.5
c) tan x = 1.2
f) 2 sin x = −2
i) sin2 x + sin x = 0
B Komplexe Zahlen I
4) Bestimmen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichungen
a)
x2 + 4x − 5 = 0
b)
c)
x2 + 4x + 5 = 0
x2 + 4ix + 5 = 0
5) Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1 = 1 + i,
z2 = 2 − i,
z3 = i
und
z4 = −3 + 4i .
Berechnen Sie alle Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten je zweier dieser vier
Zahlen.
6) Berechnen Sie
z1 =
1 − 4i
,
7+i
z2 =
−1 + 2i
1 + 3i
und z3 =
2 − 3i
4i
7) Berechnen Sie
z1
=
z2
=
z3
=
(1 + i)(2 + i)(3 + i)(4 + i)
1 − u + 2u2
für u = 0.2 − 0.7i
2 − 3u + u2
1
1
1
1
+
+
+
−2 + i 1 + 2i 2 + i −1 + 2i
1
8) Berechnen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahlen u, indem Sie den Ansatz (a+bi)2 = u
ausmultiplizieren (d.h. a2 + 2abi − b2 = u) und die reellen Zahlen a und b so bestimmen, daß
die Gleichheit gilt. Wählen Sie für u
a)
9)
u = i,
b)
u = −5 − 12i,
c)
u = 3 − 4i
Bestimmen Sie in der Gaussschen Zahlenebene alle Zahlen mit Re z 2 ≥ 0.
10) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dar und skizzieren Sie
die Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene
z2 = 1.2 − 0.5i,
z1 = 2 + 3i,
z4 = −3 − 4i,
z5 = −2
und
z3 = 5i,
z6 = −1.234 + 5.678i .
11) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem für die komplexen Zahlen u und v
(2 − i)u
u
+
iv
+ (1 + i)v
2
=
=
2+i
2