MAT 184, Mathematik für die Chemie

Institut für Mathematik
Prof. Dr. V. Schroeder
Thomas Preu
18.9.2007
Übung zur Vorlesung
MAT 184, Mathematik für die Chemie
HS 2007 - Blatt 01
Abgabe spätestens Dienstag, 25.9.2007, 10.00 Uhr, Gang Y27J101, Postfach Thomas Preu
1
Schreiben Sie folgende Mengen in mathematischen Zeichen auf:
(a) Die Lösungsmengen A und A0 der Gleichung x3 − 3x + 1 = 0 in der Unbestimmten x einmal
aus den reellen Zahlen und einmal aus den ganzen Zahlen.
(b) Die Menge B aller reellen Zahlen, an denen die Funktion sin : R → R einen Wert aus der Menge
{−2, −1, 0, 1, 2} annimmt.
(c) Die Menge C, die geanu die leere Menge, sowie folgende reelle Zahlen e, π, 0 und 1 beinhaltet.
(d) Die Menge D, die die rationalen Zahlen bis auf die 0, sowie die Menge aus Teilaufgabe b) enthält.
(e) Gilt 0 ∈ D? (Mit Begründung!)
2
(5 Punkte)
Im Folgenden haben diese Aussagen diese Interpretationen:
A = Es regnet.“ B = Die Wolken können des Wasser nicht mehr behalten.“ C = Die Straße wird
”
”
”
naß.“
(a) Schreiben Sie die Aussage mit mathematischen Symbolen auf, die diese Interpretation hat:
Wenn die Wolken das Wasser nicht mehr halten können, so regnet es“.
”
(b) Schreiben Sie die Aussage mit mathematischen Symbolen auf, die diese Interpretation hat: Es
”
regnet und die Straße wird naß“.
(2 Punkte)
3
(a) Das Prädikat“ t : Z × Z → Bool angewandt auf zwei ganze Zahlen sei genau dann wahr, falls
”
das erste Argument ein Teiler des zweiten Arguments ist, d.h. wenn das zweite Argument ein
ganzzahliges Vielfaches des ersten Argumentes ist, d.h. wenn man das zweite Argument ohne
”
Rest“ durch das erste teilen kann.
Formalisieren Sie damit die Aussage, dass y ∈ Z eine gerade ganze Zahl ist.
(b) Formalisieren Sie mit dem Prädikat t die Tatsache, dass eine natürliche Zahl x Primzahl ist.
(c) Sei f : R → R eine reelle Funktion. Formulieren Sie diese Aussage in einem deutschen Satz:
∀x ∈ R : ∀ R 3 > 0 : ∃ R 3 δ > 0 : ∀y ∈ R : (|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < )
(4 Punkte)
4
Es gelten folgende Aussagen:
Jeder Drache ist glücklich, wenn alle seine Kinder fliegen können.
Jeder Drache, der grün ist, kann fliegen.
Wenn mindestens ein Elternteil eines Drachen grün ist, ist der Drache ebenfalls grün.
(a) Formalisieren Sie obige drei Aussagen unter Benutzung der Menge D der Drachen und der
Prädikate Ki(x, y) : D × D → Bool (Drache x ist Kind von Drachen y), F l(x) : D → Bool
(Drache x kann fliegen), Gl(x) : D → Bool (Drache x ist glücklich) und Gr(x) : D → Bool
(Drache x ist grün).
(b) Schließen Sie informell, dass alle grünen Drachen glücklich sind.
(4 Punkte)
5
Zusatzaufgabe:
(a) Schreiben Sie die Menge E, welche alle Elemente von Elemeten folgender Menge F enthält, in
matheamtischen Symbolen (Betrachten Sie Zahlen dabei als Dinge, die keine Elemente enthalten1 !):
F := ({{0, 1, 2}, 3, 4, {5, 6}} ∪ {{R}}) \ {{0, 1}, {−1, −2, −e2 }}
(b) Es sei eine Primzahl p vorgegeben. Es bedeute Zp die p-adischen Ganzzahlen, die Funktion
vp : Zp → Q heißt p-adischer Betrag, e bezeichne die p-adische Eins, $ : Zp × Zp → Zp das
p-adische Produkt, das in Infixschreibweise geschrieben wird (also: $(a, b) = a$b). Schreiben Sie
folgende Aussage formal:
Für jede p-adische Ganzzahl, zu der es eine andere p-adische Ganzzahl gibt, so dass deren
Produkt die p-adische Eins ergibt, gilt zwingend, dass ihr p-adischer Betrag die rationale Zahl
1 ist.
(c) Formalisieren Sie unter Zuhilfenahme des Prädikates t von Aufgabe 3 und der ggt-Funktion
ggt : Z × Z → Z, sowie des Prädikates <: Z × Z → Bool folgenden Sachverhalt:
Ist der größte gemeinsame Teiler zweier nichtverschwindender ganzer Zahlen x, y verschieden
von der Eins, so gibt es eine kleinste Primzahl, die den größten gemeinsamen Teiler teilt.
(6 Punkte)
1 Dies ist nicht unbedingt richtig. Denn eine“ Art Zahlen“ richtig“ zu definieren, ist sie als spezielle, ausgezeichnete
”
”
”
Mengen zu definieren. Falls Sie dieser Kommentar verwirrt, ignorieren Sie ihn.