Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Nun wird gezählt !
Eine Party ........................................................
Mengen und Ähnliches........................................
Die Anzahl der Teilmengen ..................................
Die ungefähre Anzahl von Teilmengen ....................
Sequenzen .......................................................
Permutationen ...................................................
Die Anzahl geordneter Teilmengen ........................
Die Anzahl der Teilmengen einer vorgegebenen
Größe..............................................................
Kombinatorische Werkzeuge
Induktion ..........................................................
Vergleichen und Abschätzen von Zahlen .................
Das Inklusion-Exklusionsprinzip ............................
Das Taubenschlagprinzip ....................................
Das Zwillingsparadoxon und der gute alte
Logarithmus .....................................................
3
7
13
19
20
22
24
25
35
41
43
46
48
3.8
Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck
Der Binomialsatz ...............................................
Geschenke verteilen ...........................................
Anagramme ......................................................
Geld verteilen....................................................
Das Pascalsche Dreieck ......................................
Identitäten im Pascalschen Dreieck........................
Ein Blick aus der Vogelperspektive auf das Pascalsche Dreieck .....................................................
Ein Adlerblick: Genaue Details ..............................
69
73
4
4.1
4.2
4.3
Fibonacci Zahlen
Fibonaccis Aufgabe ............................................
Eine Menge Identitäten .......................................
Eine Formel für die Fibonacci Zahlen .....................
83
86
90
5
5.1
5.2
5.3
Kombinatorische Wahrscheinlichkeit
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten ..................... 99
Unabhängige Wiederholung eines Experiments........ 101
Das Gesetz der großen Zahlen ............................. 103
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
57
58
61
62
64
65
VIII
Inhaltsverzeichnis
5.4
Das Gesetz der kleinen Zahlen und das Gesetz der
sehr großen Zahlen ............................................ 106
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Ganze Zahlen, Teiler und Primzahlen
Teilbarkeit ganzer Zahlen .....................................
Primzahlen und ihre Geschichte............................
Primfaktorzerlegung ...........................................
Über die Menge der Primzahlen ............................
Fermats „kleiner“ Satz ........................................
Der euklidische Algorithmus ................................
Kongruenzen ....................................................
Seltsame Zahlen................................................
Zahlentheorie und Kombinatorik ............................
Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist? .........
7
7.1
7.2
7.3
Graphen
Gerade und ungerade Grade ................................ 157
Wege, Kreise und Zusammenhang ........................ 163
Euler-Touren und Hamiltonsche Kreise ................... 167
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Bäume
Wie man Bäume definiert ....................................
Wie man Bäume wachsen lässt ............................
Wie zählt man Bäume? .......................................
Wie man Bäume abspeichert................................
Die Anzahl nicht-indizierter Bäume ........................
9
9.1
9.2
Bestimmung des Optimums
Bestimmung des besten Baumes .......................... 199
Das Problem des Handlungsreisenden ................... 203
10
10.1
10.2
10.3
10.4
Matchings in Graphen
Ein Tanzproblem ................................................
Ein weiteres Matchingproblem ..............................
Der wichtigste Satz ............................................
Wie man ein perfektes Matching bestimmt...............
11
11.1
11.2
11.3
Kombinatorik in der Geometrie
Schnitte von Diagonalen ...................................... 229
Zählen von Gebieten .......................................... 231
Konvexe Polygone .............................................. 234
111
112
114
117
122
125
131
134
142
145
177
179
182
184
190
211
213
215
218
Inhaltsverzeichnis
IX
12
12.1
12.2
12.3
Die Eulersche Formel
Ein Planet wird angegriffen .................................. 241
Planare Graphen ............................................... 244
Die Eulersche Polyederformel ............................... 246
13
13.1
13.2
13.3
13.4
Färbung von Landkarten und Graphen
Färbung von Gebieten mit zwei Farben ...................
Färbung von Graphen mit zwei Farben ...................
Färbung von Graphen mit vielen Farben .................
Färbung von Landkarten und der Vierfarbensatz.......
251
253
256
259
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
Endliche Geometrien, Codes, Lateinische Quadrate
und andere hübsche Geschöpfe
Kleine exotische Welten ......................................
Endliche affine and projektive Ebenen ....................
Blockpläne .......................................................
Steiner Systeme ................................................
Lateinische Quadrate..........................................
Codes .............................................................
271
278
282
286
291
296
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
Ein Hauch von Komplexität und Kryptographie
Eine Klasse aus Connecticut an König Arthurs Hof ...
Klassische Kryptographie ....................................
Wie man den letzten Schachzug sichern kann .........
Wie man ein Passwort prüft – ohne es zu kennen .....
Wie man diese Primzahlen findet ..........................
Public Key Kryptographie .....................................
305
308
311
313
314
314
16
Lösungen der Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359