Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Nun wird gezählt ! Eine Party ........................................................ Mengen und Ähnliches........................................ Die Anzahl der Teilmengen .................................. Die ungefähre Anzahl von Teilmengen .................... Sequenzen ....................................................... Permutationen ................................................... Die Anzahl geordneter Teilmengen ........................ Die Anzahl der Teilmengen einer vorgegebenen Größe.............................................................. Kombinatorische Werkzeuge Induktion .......................................................... Vergleichen und Abschätzen von Zahlen ................. Das Inklusion-Exklusionsprinzip ............................ Das Taubenschlagprinzip .................................... Das Zwillingsparadoxon und der gute alte Logarithmus ..................................................... 3 7 13 19 20 22 24 25 35 41 43 46 48 3.8 Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck Der Binomialsatz ............................................... Geschenke verteilen ........................................... Anagramme ...................................................... Geld verteilen.................................................... Das Pascalsche Dreieck ...................................... Identitäten im Pascalschen Dreieck........................ Ein Blick aus der Vogelperspektive auf das Pascalsche Dreieck ..................................................... Ein Adlerblick: Genaue Details .............................. 69 73 4 4.1 4.2 4.3 Fibonacci Zahlen Fibonaccis Aufgabe ............................................ Eine Menge Identitäten ....................................... Eine Formel für die Fibonacci Zahlen ..................... 83 86 90 5 5.1 5.2 5.3 Kombinatorische Wahrscheinlichkeit Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten ..................... 99 Unabhängige Wiederholung eines Experiments........ 101 Das Gesetz der großen Zahlen ............................. 103 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 57 58 61 62 64 65 VIII Inhaltsverzeichnis 5.4 Das Gesetz der kleinen Zahlen und das Gesetz der sehr großen Zahlen ............................................ 106 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 Ganze Zahlen, Teiler und Primzahlen Teilbarkeit ganzer Zahlen ..................................... Primzahlen und ihre Geschichte............................ Primfaktorzerlegung ........................................... Über die Menge der Primzahlen ............................ Fermats „kleiner“ Satz ........................................ Der euklidische Algorithmus ................................ Kongruenzen .................................................... Seltsame Zahlen................................................ Zahlentheorie und Kombinatorik ............................ Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist? ......... 7 7.1 7.2 7.3 Graphen Gerade und ungerade Grade ................................ 157 Wege, Kreise und Zusammenhang ........................ 163 Euler-Touren und Hamiltonsche Kreise ................... 167 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Bäume Wie man Bäume definiert .................................... Wie man Bäume wachsen lässt ............................ Wie zählt man Bäume? ....................................... Wie man Bäume abspeichert................................ Die Anzahl nicht-indizierter Bäume ........................ 9 9.1 9.2 Bestimmung des Optimums Bestimmung des besten Baumes .......................... 199 Das Problem des Handlungsreisenden ................... 203 10 10.1 10.2 10.3 10.4 Matchings in Graphen Ein Tanzproblem ................................................ Ein weiteres Matchingproblem .............................. Der wichtigste Satz ............................................ Wie man ein perfektes Matching bestimmt............... 11 11.1 11.2 11.3 Kombinatorik in der Geometrie Schnitte von Diagonalen ...................................... 229 Zählen von Gebieten .......................................... 231 Konvexe Polygone .............................................. 234 111 112 114 117 122 125 131 134 142 145 177 179 182 184 190 211 213 215 218 Inhaltsverzeichnis IX 12 12.1 12.2 12.3 Die Eulersche Formel Ein Planet wird angegriffen .................................. 241 Planare Graphen ............................................... 244 Die Eulersche Polyederformel ............................... 246 13 13.1 13.2 13.3 13.4 Färbung von Landkarten und Graphen Färbung von Gebieten mit zwei Farben ................... Färbung von Graphen mit zwei Farben ................... Färbung von Graphen mit vielen Farben ................. Färbung von Landkarten und der Vierfarbensatz....... 251 253 256 259 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 Endliche Geometrien, Codes, Lateinische Quadrate und andere hübsche Geschöpfe Kleine exotische Welten ...................................... Endliche affine and projektive Ebenen .................... Blockpläne ....................................................... Steiner Systeme ................................................ Lateinische Quadrate.......................................... Codes ............................................................. 271 278 282 286 291 296 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 Ein Hauch von Komplexität und Kryptographie Eine Klasse aus Connecticut an König Arthurs Hof ... Klassische Kryptographie .................................... Wie man den letzten Schachzug sichern kann ......... Wie man ein Passwort prüft – ohne es zu kennen ..... Wie man diese Primzahlen findet .......................... Public Key Kryptographie ..................................... 305 308 311 313 314 314 16 Lösungen der Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
