Starre Körper

Einführung in die Physik I
Mechanik der starren Körper
O. von der Lühe und U. Landgraf
Starrer Körper
•
•
•
•
•
•
•
Bislang wurden nur Massen als
Punktmassen idealisiert
behandelt, eine ausgedehnte
Verteilung der Masse spielte eine
unwesentliche Rolle
Definition eines starren Körpers:
Anordnung von i Punktmassen mi
r
An den Orten ri
i=1…N
Abstände sind zueinander
konstant
Übergang zu kontinuierlichen,
ausgedehnten Körpern
Mechanik der starren Körper
mi
r
ri
2
1
Freiheitsgrade
• Freiheitsgrade: Zahl der
Parameter, die benötigt
werden, um die Lage des
Körpers eindeutig festzulegen
• Positionen der N Punktmassen
(3N Koordinatenwerte) minus
der Zahl der Bedingungen für
die konstanten Abstände
• Im allgemeinen sind sechs
Angaben ausreichend:
Einzelne Punktmasse
3
Zwei Punktmassen
5
Drei und mehr
Punktmassen
6
– Position des Schwerpunkts
– Rotation um die
Schwerpunktslage
Mechanik der starren Körper
3
Kinematik des starren Körpers
• Für die Schwerpunktsbewegung
eines starren Körpers gelten die
kinematischen Gesetze für
Punktmassen
• Neu sind Drehungen des starren
Körpers um eine gegebene Achse
• „Infinitesimale“ Drehung:
r
dϕ
r
dr
r
r
r r
r
dr = dϕ × r
• Winkelgeschwindigkeit:
r
r
dr r r
dϕ r r r
= v (r ) =
×r = ω×r
dt
dt
r
ω
r
v
r
r
Siehe auch: Kinematik 1 Folie 19
Mechanik der starren Körper
4
2
Dynamik des starren Körpers
r
• Rotationsenergie – eine
Rotationsbewegung enthält die
Summe der kinetischen Energien
der einzelnen Massenpunkte
Erot =
=
ω
r⊥
1
∑ 2 m ⋅ (v(r ))
N
i =1
2
i
⊥ ,i
1 2 N
ω ∑ mi ⋅ (r⊥ ,i )2
2
i =1
r
v (r⊥ )
• Senkrechter Abstand r⊥ einesr
Massenpunkts von der Achse ω
r r
wird durch das Kreuzprodukt ω × r
vermittelt
r
ω
r⊥
Mechanik der starren Körper
5
Dynamik des starren Körpers
r
• Integralform der Rotationsenergie:
ω
– Massendichte ρ
– „infinitesimales Volumenelement“ dV
– Infinitesimales Massenelement ρ dV
Erot =
1 2 2
ω r⊥ ⋅ ρ ⋅ dV
2 V∫
r⊥
ρ ⋅ dV
• Die Dichte ρ kann ortsabhängig sein
• Der Ausdruck mit dem Integral ist
eine Eigenschaft des Körpers und
der Lage der Rotationsachse
Mechanik der starren Körper
6
3
Dynamik des starren Körpers
• Analogie zur kinetischen Energie:
bei der Rotationsenergie spielt
der Ausdruck mit dem Integral
bezüglich der Rotationsachse die
Rolle der Masse bei der
kinetischen Energie
Erot =
1 2 2
ω r⊥ ⋅ ρ ⋅ dV
2 V∫
1 2
v ⋅m
2
1
= v 2 ∫ ρ ⋅ dV
2 V
Ekin =
J = ∫ r⊥2 ⋅ ρ ⋅ dV
• Trägheitsmoment J
V
• Ein Massenelement trägt umso
mehr zum Trägheitsmoment bei,
je weiter es von der Achse
entfernt ist
Mechanik der starren Körper
7
Dynamik des starren Körpers
• Beispiel für Trägheitsmoment:
Stab mit konstanter Dichte und der
Länge L
• Rotationsachse durch das
Stabende:
L
J = ∫ r⊥2 ⋅ ρ ⋅ dV = ρ ⋅ A∫ x 2 ⋅ dx =
0
V
L
A
x
1
1
ρ ⋅ A ⋅ L3 = ML2
3
3
L
A
• Rotationsachse durch die
Stabmitte:
L 2
1 3
1
J = 2 ρA ∫ x ⋅ dx = 2 ρA ⋅
L =
ML2
⋅
3
8
12
0
x
2
Mechanik der starren Körper
8
4
Dynamik des starren Körpers
• Satz von Steiner:
• „Das Trägheitsmoment eines
Körpers bezüglich einer beliebigen
Drehachse setzt sich zusammen
aus dem Trägheitsmoment
bezüglich einer dazu parallelen
Achse durch den Schwerpunkt und
dem Trägheitsmoment der
Gesamtmasse“
a
S
J = JS + M ⋅ a2
• Beispiel Stab:
2
J Ende
1
3
1
⎛L⎞
ML2 + ML2 = ML2
= J Mitte + M ⋅ ⎜ ⎟ =
12
12
3
⎝2⎠
Mechanik der starren Körper
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Dynamik des starren Körpers
• Drehmoment T:
Analogon zur Kraft bei der Translation
r
T
• Erhöht oder erniedrigt die
Rotationsenergie
r
• Eine Kraft F greift an einem Punkt
ausgehend vom Drehpunkt an
r
F
r
r,
• Das Drehmoment ist ein Vektor, der
sowohl auf dem Ortsvektor des
Angriffspunkts als auch auf dem
Kraftvektor senkrecht steht
Mechanik der starren Körper
r
r
r r r
T = r ×F
10
5
Dynamik des starren Körpers
• Drehimpuls L:
Analogon zum linearen Impuls
• Für einen ausgedehnten Körper
ergibt sich der Drehimpuls aus
der Summe der Drehimpulse
seiner Bestandteile
• Der Drehimpuls wird bestimmt
relativ zu einer Drehachse
r
ω
r⊥
r
v (r⊥ )
r
L=
∑m ⋅r ×v
i
i =1
=
i
i
r r
r
N
∑ m ⋅ r × (ω × r )
i
i =1
• Für einen Körper, der um eine
Symmetrieachse rotiert, gilt
r r
N
i
i
r r N
L = ω ∑ mi ⋅ r⊥2,i
i =1
Mechanik der starren Körper
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Dynamik des starren Körpers
• Ein kräftefreier Körper kann ohne Einwirkung von außen seinen Rotationszustand nicht verändern (Reaktionsprinzip!)
z
y
• Ein kräftefreier Körper rotiert um eine Achse
durch seinen Schwerpunkt
• Man kann die Trägheitsmomente eines
Körpers bezüglich dreier Rotationsachsen
durch den Schwerpunkt bestimmen. Die
Komponenten lassen sich in Form eines
Tensors anordnen (Trägheitstensor)
• Der Drehimpuls ist in der Regel nicht
parallel zur Drehachse
Mechanik der starren Körper
r
L
r
ω
x
⎛ J xx
⎜
J = ⎜ J yx
⎜J
⎝ zx
J xy
J yy
J zy
J xz ⎞
⎟
J yx ⎟
J zz ⎟⎠
r
r
L = Jω
12
6
Trägheitstensor
• Rechenvorschrift, allgemeines
Koordinatensystem (rechts)
• Wählt man ein geeignetes, and den
Symmetrieachsen des Körpers
ausgerichtetes Koordinatensystem
(„Hauptachsensystem“), dann
verschwinden die Nichtdiagonalterme
J xx =
∑ m (y
2
i
+ zi2
)
J yy =
∑ m (x
2
i
+ zi2
)
J zz =
∑ m (x
2
i
+ yi2
)
N
i =1
i
N
i =1
i
N
i =1
i
N
J xy = J yx = − ∑ mi xi yi
i =1
⎛ J xx
⎜
J=⎜ 0
⎜ 0
⎝
0
J yy
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
J zz ⎟⎠
N
J xz = J zx = − ∑ mi xi zi
i =1
N
J yz = J zy = − ∑ mi yi zi
i =1
Mechanik der starren Körper
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Dynamik des starren Körpers
• Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße
• Nur äußere Drehmomente können den Drehimpuls eines
Körpers ändern
• Innere Kräfte können den Drehimpuls nicht ändern
• Ohne äußere Kräfte bleiben Betrag und Richtung des
Drehimpuls erhalten
• Bewegungsgleichung der Rotation
Mechanik der starren Körper
r
dL r& r
= L =T
dt
14
7
Gerthsen
Physik
Mechanik der starren Körper
15
Gleichgewicht und Bewegung
•
Ein starrer Körper ist im
Gleichgewicht, wenn die Summe
der auf ihn einwirkenden Kräfte
und Drehmomente verschwindet
r
F =0
r
T =0
– Schwerpunktsbewegung konstant
– Drehbewegung konstant
•
r
r1
Hebelgesetz:
– Die Kräfte an den Enden
verhalten sich umgekehrt zu den
Längen der Hebelarme
r r
r r
r1 × F1 = − r2 × F2
r1
F
= 2
r2
F1
Mechanik der starren Körper
r
r2
r
F1
r
F2
r r
F1 + F2
16
8
Schwerpunkt
•
•
Ein starrer Körper ändert seine
Drehbewegung nicht, wenn alle
Drehmomente bezüglich des
Schwerpunkts sich aufheben
Der Schwerpunkt ergibt sich aus
der räumlichen Verteilung der
Masse
r
n
r
rS =
∑m ⋅r
i =1
n
i
∑m
i =1
r
rS =
i
=
n
r
∑m ⋅r
i =1
i
i
i
r
r r
∫ r ⋅ ρ (r )dr
V
1
M
r r =
∫ ρ (r )dr
r r
1 r
r ⋅ ρ (r )dr
M V∫
V
•
Ein starrer Körper im Gravitationsfeld muss im Schwerpunkt
unterstützt werden, damit die vom
Feld ausgeübten Drehmomente
ausgeglichen sind
Mechanik der starren Körper
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Gleichgewichte
• Stabiles Gleichgewicht:
– Kehrt nach einer kleinen
Auslenkung in die Ruhelage
zurück
• Labiles Gleichgewicht:
– Jede noch so kleine
Auslenkung wird vergößert
• Indifferentes Gleichgewicht:
– Jede Auslenkung führt in ein
neues Gleichgewicht
Mechanik der starren Körper
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9
Gleichmäßig beschleunigte Rotation
• Walze rollt auf schiefer Ebene (ohne zu gleiten)
r r r
• Drehmoment
T = r ×F
T = r ⋅ sin α ⋅ M ⋅ g
r ·sin α
r
• Trägheitsmoment der Walze
– Auflagelinie ist Drehachse
– Steinerscher Satz
F = M·g
J = JS + M ⋅ r2
• Bewegungsgleichung
r r&
r
T = L = Jω&
(
α
)
M ⋅ g ⋅ r ⋅ sin α = J S + Mr 2 ⋅ ω&
• Bewegung des Schwerpunkts
aS = r ⋅ ω& = r
M ⋅ g ⋅ r ⋅ sin α
JS + M ⋅ r2
Mechanik der starren Körper
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Gleichmäßig beschleunigte Rotation
• Trägheitsmomente:
1
Mr 2
2
• Vollzylinder
JS =
• Hohlzylinder (dünnwandig)
J S = Mr 2
• Kugel
JS =
Mechanik der starren Körper
2
Mr 2
5
20
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Drehschwingungen und Pendel
• Schwingung eines homogenen Stabs
• Drehmoment und
Bewegungsgleichung
T = − M ⋅ g ⋅ a ⋅ sin ϕ
≈ − M ⋅ g ⋅ a ⋅ϕ
= J ⋅ ω& = J ⋅ ϕ&&
a
ϕ
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ sin (ϖt )
• Lösung
ϖ =
M ⋅ g ⋅a
=
J
• Vergleich mit Fadenpendel
(„reduzierte Länge“)
S
-M·g
M ⋅ g ⋅a
JS + M ⋅ a2
M ⋅ g ⋅a
J S + M ⋅ a2
ϖ =
g
=
lred
lred =
JS + M ⋅ a2
M ⋅a
Mechanik der starren Körper
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Kreisel
• Rotationssymmetrischer Körper
• „Figurenachse“ durch den
Schwerpunkt
S
• Kräftefreier Kreisel:
– Unterstützt im Schwerpunkt
– Drehachse gleich Figurenachse
• Allgemein:
– Drehachse nicht Figurenachse
– Nutationsbewegung
– Äußere Kräfte Präzessionsbewegung
Mechanik der starren Körper
S
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Gerthsen
Physik
Mechanik der starren Körper
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12