Kinetik des starren Körpers

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Technische Mechanik II
Kinetik des starren Körpers
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau
Hochschule Bochum
WS 2009/2010
Kinetik des starren Körpers
Übersicht
1. Kinematik des Massenpunktes
2. Kinematik des starren Körpers
3. Kinetik des Massenpunktes
4. Kinetik des starren Körpers
◦ Bewegungsgleichungen
- Schwerpunktsatz
- Drehimpulssatz
- Trägheitstensor
◦ Arbeit und Energie
◦ Analogie zwischen Translation und Rotation
5. Besondere Bewegungsvorgänge
Prof. Dr. U. Zwiers
BTM2
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 1/13
Modell des Mehrteilchensystems
Starrer Körper → System aus N Teilchen
mi
konstante Masse des i-ten Teilchens
r0
Ortsvektor des Schwerpunktes im Inertialsystem
ri
Ortsvektor des i-ten Teilchens im Inertialsystem
si
Vektor vom Schwerpunkt zum i-ten Teilchen (|si | = const)
Masse des Gesamtsystems:
m=
N
X
mi
i=1
N
Position des Schwerpunkts:
r0 =
1 X
mi r i
m
i=1
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3/19
Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 2/13
Modell des Mehrteilchensystems (Forts.)
mi
mi r̈ i = F i +
N
X
F~i
F ij
F~ij
F~ji
mj
0
~ri
j=1
~r0
z
F ij = −F ji
y
x
Schwerpunktsatz
Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm
N
X
angriffen:
Fi
mr̈ 0 =
i=1
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4/19
Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 3/13
Modell des Mehrteilchensystems (Forts.)
mi
r i = r 0 + si
N
X
mi si = 0
~si
0
~ri
i=1
⇒
N
X
~r0
z
mi ṡi = 0
i=1
x
y
Die kinetische Energie eines N -Teilchensystems ist die Summe aus
der kinetischen Energie der Schwerpunktbewegung und der
kinetischen Energie der Relativbewegung der Teilchen um den
N
N
X
Schwerpunkt:
mi 2 m 2 X mi 2
vi = v0 +
ṡ
2
2
2 i
i=1
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i=1
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 4/13
Modell des Mehrteilchensystems (Forts.)
Drehimpuls
Physikalische Größe zur Beschreibung der Richtung und
Geschwindigkeit der Bewegung eines Massenpunktes um einen
Referenzpunkt:
L0 = r × m v
Drehimpulssatz für den einzelnen Massenpunkt
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses entspricht dem Moment
der an einem Massenpunkt angreifenden Kräfte bezüglich desselben
Referenzpunktes:
dL0
=M =r×F
dt
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 5/13
Modell des Mehrteilchensystems (Forts.)
Drehimpulssatz für Mehrteilchensysteme
Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines Mehrteilchensystems entspricht dem Moment der von außen einwirkenden Kräfte bezüglich desselben Referenzpunktes:
dL0ges
= M0
dt
N
X
r i × mi r̈ i =
i=1
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N
X
ri × F i
i=1
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 6/13
Starrer Körper im Raum
~vP
0 → Körperschwerpunkt
r P = r 0 + sP
~rP
0
z
~r0
m
L0 =
~v0
~sP
v P = v 0 + ω × sP
Z
0
s × ṡ dm
L =
Z
ω
~
P
s × (ω × s) dm
x
m
y
Drehimpuls des starren Körpers
Z 0
2
T
L =
s ω − (s ω)s dm = Θ0 ω
m
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 7/13
Trägheitstensor
 R

Θ0 = 

R
R
(y 2 + z 2 ) dm
− xy dm
− xz dm
R
R 2
R

− yx dm
(x + z 2 ) dm
− yz dm 
R
R
R 2
− zx dm
− zy dm
(x + y 2 ) dm
Massenträgheitssmomente: Θxx , Θyy , Θzz
(Maß für die Drehträgheit eines Körpers)
Deviationsmomente:
Θxy = Θyx , Θxz = Θzx , Θyz = Θzy
(Maß für das Bestreben eines Körpers, seine Drehachse zu verändern)
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 8/13
Trägheitstensor (Forts.)
Trägheitsmatrix bzgl. der Hauptträgheitsachsen


Θ1 0
0
Haupträgheitsmomente:


Θ =  0 Θ2 0 
Θ1 , Θ2 , Θ3
0
0 Θ3
Eigenschaften von Hauptträgheitsachsen
◮
In den Hauptträgheitsachsen ist eines der Trägheitsmomente Θi , i = 1, 2, 3, maximal bzw. minimal gegenüber
allen anderen Koordinatenrichtungen.
◮
In den Hauptträgheitsachsen verschwinden die Deviationsmomente Θxy = Θyx , Θxz = Θzx , Θyz = Θzy .
◮
Die Hauptträgheitsachsen ei , i = 1, 2, 3, sind normal
zueinander.
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Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 9/13
Trägheitstensor (Forts.)
Regeln zum Auffinden von Hauptträgheitsachsen
◮
Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, so ist diese eine
Hauptträgheitsachse.
◮
Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, so ist jede dazu
senkrechte Achse eine Hauptträgheitsachse.
◮
Besitzt ein Körper zwei zueinander orthogonale Symmetrieebenen, so ist die Schnittgerade der beiden Symmetriebenen
eine Hauptträgheitsachse. Dazu orthogonale Achsen in jeweils
eine der beiden Symmetrieebenen sind ebenfalls
Hauptträgheitsachsen.
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11/19
Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 10/13
Trägheitstensor (Forts.)
Parallelverschiebung der Koordinatenachsen
Satz von Steiner
0
2
2
ΘA
xx = Θxx + m y0A + z0A
0
2
2
ΘA
yy = Θyy + m x0A + z0A
0
2
2
ΘA
zz = Θzz + m x0A + y0A
0
ΘA
xy = Θxy − m x0A y0A
0
ΘA
xz = Θxz − m x0A z0A
0
ΘA
yz = Θyz − m y0A z0A
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12/19
Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 11/13
Trägheitstensor (Forts.)
Verdrehung der Koordinatenachsen
Verdrehung um die z-Achse
Θ′xx = Θ0xx cos2 φ + 2Θ0xy sin φ cos φ + Θ0yy sin2 φ
Θ′yy = Θ0xx sin2 φ − 2Θ0xy sin φ cos φ + Θ0yy cos2 φ
Θ′zz = Θ0zz
Θ′xy = −Θ0xx cos φ sin φ + Θ0xy cos2 φ − sin2 φ + Θ0yy cos φ sin φ
Θ′xz = Θ0xz cos φ + Θ0yz sin φ
Θ′yz = Θ0yz cos φ − Θ0xz sin φ
Verdrehung um die x- bzw. y-Achse erfolgt auf analoge Weise
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13/19
Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 12/13
Starrer Körper in der Ebene
Massenträgheitsmoment: Θ0 =
Z
s2 dm
m
Satz von Steiner
ΘA = Θ0 + ma2
a Abstand zwischen dem Schwerpunkt 0 und dem Bezugspunkt A
Drehimpuls:
L = Θ ϕ̇
Drehimpulssatz für die ebene Bewegung
Θ ϕ̈ = M
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14/19
Kinetik des starren Körpers
Bewegungsgleichungen 13/13
Starrer Körper in der Ebene (Forts.)
Trägheitsradius
Entfernung eines als Punktmasse gedachten Ersatzkörpers von der
Drehachse A, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat
wie ein originales, ausgedehntes Bauteil
mit der Gesamtmasse m:
r
A
Θ
k=
m
Reduzierte Masse
Masse eines im vorgegebenen Abstand r von der Drehachse A
angebrachten punkt- oder ringförmigen Ersatzkörpers, der das
gleiche axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat wie das originale
Bauteil:
ΘA
mred = 2
r
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15/19
Kinetik des starren Körpers
Arbeit und Energie 1/3
Modell des Mehrteilchensystems
Arbeitssatz für Mehrteilchensysteme
Die Summe der Arbeiten aller äußeren und aller inneren Kräfte
entspricht der Änderung der gesamten kinetischen Energie des
Systems:
a
i
W01 = W01
+ W01
= T1 − T 0
Arbeit der äußeren Kräfte:
a
W01
ri1
N Z
X
=
FT
i dr i
i=1 r
i0
Arbeit der inneren Kräfte:
i
W01

T
ri1
N Z
N
X
X

=
F ij  dr i
i=1 r
i0
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j=1
16/19
Kinetik des starren Körpers
Arbeit und Energie 2/3
Modell des Mehrteilchensystems (Forts.)
Starre Bindung:
N
X
FT
ij dr i = 0
j=1
i
⇒ W01
=0
Arbeitssatz für Systeme mit starren Bindungen
Die Summe der Arbeiten der äußeren Kräfte entspricht der
Änderung der gesamten kinetischen Energie des Systems:
a
W01 = W01
= T1 − T0
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17/19
Kinetik des starren Körpers
Arbeit und Energie 3/3
Starrer Körper im Raum
~vP
0 → Körperschwerpunkt
ω
~
P
~v0
~sP
r P = r 0 + sP
~rP
0
v P = v 0 + ω × sP
z
1
T =
2
Z
~r0
v 2 dm
m
y
x
Kinetische Energie des starren Körpers
1
1
T = Ttrans + Trot = mv02 + ω T Θ0 ω
2
2
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18/19
Kinetik des starren Körpers
Analogie zwischen Translation und Rotation
Gegenüberstellung
Translation
Rotation um raumfeste Achse
s
Weg
ϕ
Winkel
v = ṡ
Geschwindigkeit
ω = ϕ̇
Winkelgeschwindigkeit
a = v̇ = s̈
Beschleunigung
α = ω̇ = ϕ̈ Winkelbeschleunigung
m
Masse
Θ
Massenträgheitsmoment
F
Kraft
M
Moment
p = mv
Impuls
L = Θω
Drehimpuls
ma = F
Kräftebilanz
Θω = M
Momentenbilanz
T =
W =
1
mv 2
2
R
Kinetische Energie
F ds Arbeit
P = Fv
Leistung
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T =
W =
1
Θω 2
2
R
M dϕ
P = Mω
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