Aufgaben des Zusatztutoriums

ANWENDUNGEN DER MATHEMATIK
Aufgaben des Zusatztutoriums
Die folgenden Aufgaben entsprechen in etwa den Aufgabenformaten, die ihr bereits in der Probeklausur kennengelernt habt. Es handelt sich hierbei um eine Auswahl von Mirko Getzin, welche inoffiziell
ist und keinerlei Rückschlüsse auf die tatsächliche Klausur zulässt. Die Aufgabenauswahl ist nicht
mit Rücksprache mit dem Dozenten erfolgt.
Zur Bearbeitung der insgesamt 7 Aufgaben habt ihr 80 Minuten Zeit. Vermutlich wird diese Zeit
nicht für die Bearbeitung aller Aufgaben reichen. Danach besprechen wir die Aufgaben im Plenum.
Parallel zur Aufgabenbearbeitung könnt ihr jederzeit Fragen zu den Vorlesungsinhalten o. Ä. stellen.
Hinweis: Während der Bearbeitungszeit bitte ich euch, möglichst leise untereinander zu kommunizieren, da einige Teilnehmenden die Aufgaben unter Klausurbedingungen alleine rechnen möchten.
Die enthaltenen Aufgaben umfassen nicht alle Vorlesungsinhalte, weshalb eine Vorbereitung alleinig
mit diesen Aufgaben nicht hinreichend für eine gute Klausurvorbereitung sein kann.
Viel Erfolg!
Bei der Bearbeitung der Aufgaben habe ich mir folgende Fragen gestellt:
1
Aufgabe 1 (Statistik).
Gegeben sei die geordnete Stichprobe
3, 6, 7, 7, 14, 14, 14, 16, 19.
a) Berechne das arithmetische Mittel und die Varianz der Stichprobe.
b) Bestimme den Median und das obere und das untere Quartil der Stichprobe.
c) Bestimme den Modalwert (falls vorhanden) und die Spannweite der Stichprobe.
d) Nimm begründet Stellung zu der folgenden Aussage:
”
Das geometrische Mittel ist kleiner als das arithmetische Mittel bei dieser Stichprobe“.
Aufgabe 2 (Zufallsexperimente modellieren).
Wir werfen in einem zweistufigen Glücksspiel ein Oktaeder (mit Augenzahlen 1 bis 8) und einen
fairen Würfel (mit Augenzahlen 1 bis 6).
a) Formuliere ein geeignetes Zufallsexperiment (Ω, p), welches das Glücksspiel modelliert.
b) Formuliere einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P), welcher das Glücksspiel modelliert.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme beider geworfenen Körper 4 ergibt. Formuliere hierzu ein geeignetes Ereignis.
d) Entscheide begründet, ob die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Augensumme 10 weniger,
gleich oder mehr wahrscheinlich ist, als das Eintreten für die Augensumme 4.
Aufgabe 3 (Eigenschaften Zufallsvariablen).
Es seien X und Y Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Verteilung gemäß folgender Tabelle:
P(X = x, Y = y) y = -3 y = 7
x=0
0,05
0,1
x=2
0,3
0,4
x=5
0,1
0,05
a) Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und Y .
b) Prüfe, ob X und Y stochastisch unabhängig sind.
c) Berechne die Erwartungswerte von X, Y , Z1 = 2X + 3Y und Z2 = XY .
d) Berechne die Varianzen von X, Y und Z1 = 2X + 3Y .
Hinweis: Es darf ohne Beweis genutzt werden, dass E(X 2 ) = 6, 55 und E(Y 2 ) = 31 gilt.
2
Aufgabe 4 (Bedingte Wahrscheinlichkeiten).
Ein Logistikunternehmen hat den Auftrag erhalten, Bauteile aus den Zwischenlagern L1 , L2 und
L3 zum Endlager E zu transportieren. Es ist anzunehmen, dass im Durchschnitt alle Zwischenlager
gleich häufig vom Startpunkt aus angesteuert werden. Von den Zwischenlagern aus kann es passieren,
dass die Transporte nicht zum Endlager E führen, sondern in andere Endlager. So ist die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen des Endlagers 80%, wenn das Zwischenlager L1 zuvor angesteuert wurde
und jeweils 50%, wenn zuvor die Zwischenlager L2 oder L3 angesteuert wurden.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Transport beim Endlager E endet.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Transporter vom Zwischenlager L1 kam, wenn dieser
das Endlager E sicher erreicht.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Transporter vom Zwischenlager L2 oder L3 kam,
wenn dieser das Endlager E sicher erreicht.
Aufgabe 5 (Binomialverteilte Zufallsvariablen).
Zur Behandlung einer seltenen Krankheit erhalten 10 erkrankte Patienten ein Medikament, das erfahrungsgemäß zu 25% Wahrscheinlichkeit die Krankheit heilt. Es sei X die Zufallsvariable, welche
die Anzahl der geheilten Patienten beschreibt. Die Annahme, X sei binomialverteilt, ist aufgrund
der gegebenen Situation gerechtfertigt.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 10 Patienten durch das Medikament geheilt
wird.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Patienten durch das Medikament geheilt
werden.
c) Bestimme die Anzahl an Patienten, die erwartungsgemäß nach der Verabreichung der Medikamente
geheilt werden. Bestimme auch die Varianz von X.
d) Man verabreiche den Patienten die Medikamente nun in einer zuvor festgelegten Reihenfolge. Der
Patient an welcher Position ist erwartungsgemäß der erste Patient, der durch das Medikament geheilt
wird? Ist eine solche Prognose sinnvoll?
Hinweis: Man betrachte hierzu eine geometrisch verteilte Zufallsvariable T .
Aufgabe 6 (Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten).
Es sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = 5 und V(X) = 1. Gib eine nicht-triviale, untere Schranke
für die Wahrscheinlichkeit an, dass X Werte im Intervall I = (2; 7) annimmt.
Aufgabe 7 (Folgen, Reihen und Grenzwerte).
Entscheide begründet, ob die folgenden Reihen und Folgen konvergent oder divergent sind. Berechne
falls möglich den Grenzwert.
1 + n + n4
a) an =
2n5 + 1
4n3 − 1
b) bn = (−1) 2
n + 2n3 + 3
n
k
∞ X
3
c)
−
5
k=1
3