76.2 Transformationssatz
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© R. Plato Kapitel 76 Transformationssatz auf Seite 142 für O1 D f .r; '; ı/ j r > 0; 0 < ' < 2; 2 <ı< 2 145 geliefert. Hierzu wird eine Zerlegung von D 0 in Teilrechtecke g; Dij0 WD Œ xi 3 O2 D R nf .0; 0; z/ j z 2 R g: Kugelkoordinaten eignen sich zur Parametrisierung von Kugeln mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Diese sind von der Form 1 ; xi Œ yj 1 ; yj ; i D 1; 2; : : : ; n; j D 1; 2; : : : ; m; vorgenommen, wobei die Gitterpunkte äquidistant gewählt seien: xi D a C i x; B D f .x; y; z/ j x 2 C y 2 C z 2 R2 g: yj D b C jy; i D 1; 2; : : : ; n; j D 1; 2; : : : ; m: mit Zahlen n; m 2 N und Mit der Transformation T aus (76.1) gilt die Identität 0 T .B / D B; Dij WD T .Dij0 /; B 0 D Œ 0; 1 Œ 0; 2 Œ 2 ; 2 ˚ D .r; '; ı/ j 0 r R; 0 ' 2; 2 ı 2 : D0 f .T .E u//j det T 0 .E u/j d uE : (76.6) Hierbei ist D DT eine Menge mit T .D / D D . 0 0 Beweis. Der Beweis wird hier nicht geführt; siehe aber die nachfolgende Bemerkung. Bemerkung. Im Folgenden wird eine heuristische Herleitung der Identität (76.6) für den Fall eines achsenparallelen zweidimensionalen Rechtecks 0 d c m : T ......................................... ................. ........... ........... ......... . ........ ......... ....... ....... ............................................. .................... ... . . . . . ........ .............................................................................................. . . . . . . . . . .............................................................................. ...................................... .............. ....... .. .. .. ...... ............ .................. . .. . . .................................................................................................... ..... .......... ...................................................................................................... ........... ......... . . . .......................................................................................................................................................................... .... . . .... . ... .. .............. .... ......................................................................................... .... ....................... ....... .................... .................... ...... ........................ ... .. .... ......................................... ........................................................ ......................................... ..... .... ................................................................................................. . . .. . . .. ............ ....................... ............. .. .. .. . .. .......................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................ .. ... .. .. .. ................. ......................... ................... .. .. .. .. ... .. ... ................. ........... . .. ............ ................. .. .. .. ................................................................................................. ... ......................... ....... ................ .................... ............... ....... .......................... ... .......................................................................................................................................................................... ............ ..... ..... ........... ............................. ........... ..... ................ ............................................................................................ ..... ...... ............ ................... .................... ............ ...... ..... ...... ....... ................. .. .......... ... ................. ....... ..... ................................................................................................. ....... ............. ............................................ ............. ........ ................................................................................. .......... ................... .................... ........... ............ ..................................................................................................... ' D 2 Satz 76.5 (Transformationssatz für mehrdimensionale Integrale). Mit den Bezeichnungen aus Definition 76.1 auf Seite 142 gilt für jeden zulässigen Integrationsbereich D R d und jede stetige Funktion f W D ! R die Identität R y D Die Situation ist in Abbildung 94 am Beispiel zweidimensionaler elliptischer Koordinaten dargestellt. Es wird nun der Transformationssatz zur Berechnung von Integralen vorgestellt. Diese Integrationsregel stellt – wie bereits zu Beginn dieses Abschnitts erwähnt – ein Analogon zur Substitionsregel für Integrale von Funktionen einer Veränderlichen dar. Anders als im eindimensionalen Fall geht es hier jedoch darum, den Integrationsbereich durch Transformation zu vereinfachen. f .E v / d vE D ; vEi;j WD T .xi ; yj /; i D 1; 2; : : : ; n; j D 1; 2; : : : ; m: M 76.2 Transformationssatz D a n Wir betrachten dann wobei R b x D D D Œ a; b Œ c; d D f .x; y/ j a x b; c y d g 'D0 rD0 r D7 Abb. 94: Zerlegung eines Bereiches bezüglich zweier Koordinatensysteme am Beispiel zweidimensionaler elliptischer Koordinaten Nun gilt für i 2 f 1; 2; : : : ; n g und j 2 f 1; 2; : : : ; m g fest Folgendes: es ist die Fläche .Dij / klein und stimmt damit näherungsweise mit dem von den beiden Vektoren T .xi 1 ; yj / T .xi ; yj / und T .xi ; yj 1 / T .xi ; yj / aufgespannten Parallelogramm überein; für diese beiden Vektoren gilt näherungsweise T .xi D 1 xT .xi ; yj / 0 T .xi ; yj 0 1/ T 0 .xi ; yj / T .xi ; yj / 1 ; yj / D x T .xi ; yj / D yT 0 .xi ; yj / 0 1 D y x 0 @T1 @x .xi ; yj / @T2 @x .xi ; yj / T 0 .xi ; yj / 0 y DW uE ; @T1 @y .xi ; yj / @T2 @y .xi ; yj / DW vE:
