7. Dezember 2006 ¨Ubungen zu Information, Codierung

7. Dezember 2006
Übungen zu Information, Codierung, Komplexität (WS 2006/07)
17. (a) Es sei y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Fnq ein fest gewählter Vektor und c ∈ Fq ein
fest gewähltes Element. Wieviele Vektoren x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Fnq
gibt es mit x · yT = c ?
(b) Nun seien n, k, d positive ganze Zahlen mit k ≤ n−d+1. Betrachten Sie
die Menge aller systematischen Kontrollmatrizen für [n, k]-Codes
über
Fq , d.h. die Menge der (n − k) × n-Matrizen der Form H = A | I ,
wobei A eine beliebige (n − k) × k-Matrix und I die (n − k) × (n − k)Einheitsmatrix ist. Es gibt also q (n−k)k solcher Matrizen. Auf dieser
Menge wird die Gleichverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung genommen.
Zeigen Sie, dass für jeden Vektor 0 6= y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Fnq die Kontrollgleichung H · yT = 0 mit Wahrscheinlichkeit q k−n erfüllt ist, sofern
nicht y1 = y2 = · · · = yk = 0 gilt. Was gilt in diesem Ausnahmefall?
(c) Im gleichen Szenario: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die
Kontrollmatrix H d − 1 linear-abhängige Spalten enthält, also die Minimaldistanz des von H kontrollierten Codes < d ist, durch
ρ=
q k−n
[Vq (n, d − 1) − Vq (n − k, d − 1)]
q−1
nach oben abgeschätzt werden kann.
18. Zeigen Sie: ein linearer [n, k]-Code C ⊆ Fnq ist genau dann ein MDS-Code
(d.h. d = n − k + 1), wenn der zu ihm duale Code C ⊥ ein MDS-Code ist.
19. Ein weiterer interessanter Parameter für Codes C ⊂ Fnq ist ihr Überdeckungsradius: das ist die kleinste positive Zahl ρ derart, dass jeder Vektor y ∈ Fn
einen Abstand ≤ ρ zu einem Codevector c ∈ C hat:
"
#
[
ρ = min Bn ⊆
(y + Sq (n, r))
r>0
y∈C
Offensichtlich muss dann ]C · Vq (n, ρ) ≥ q n gelten.
(a) Was ist der Überdeckungsradius der Hamming-Codes?
(b) Zeigen Sie, dass für einen linearen [n, k]-Code C ⊆ Fnq stets ρ ≤ n − k
gilt.
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(c) Zeigen Sie, dass für einen linearen [n, k]-Code C ⊆ Fnq der Radius ρ das
maximale Gewicht eines coset leaders von C ist.
(d) Zeigen Sie, dass für einen linearen [n, k]-Code C ⊆ Fnq mit (n − k) × kKontrollmatrix H der Radius ρ die kleinste positive Zahl r ist, so dass
als Linearkombination von maximal r Spalten
sich jeder Vektor aus Fn−k
q
von H darstellen lässt.
(e) Zeigen Sie, dass für jeden MDS-Code der Überdeckungsradius kleiner
als die Minimaldistanz ist.
(f) Zeigen Sie, dass für einen [n, k, d]-GRS-Code der Überdeckungsradius
d − 1 ist.
20. Konstruieren Sie einen normalisierten [9, 6]-RS-Code über F26 , indem Sie sich
in F26 ein Element α der Ordnung 9 verschaffen (mit Maples Hilfe, natürlich).
Bestimmen Sie die Wurzeln, das Generatorpolynom, eine Kontrollmatrix und
eine Generatormatrix dieses Codes – alles mit Hilfe von α ausgedrückt.
21. Sie möchten einen normalisierten [17, 15]-RS-Code über einem Körper F2m
konstruieren, indem Sie ein Element α der Ordnung 17 in F2m bestimmen.
Welches ist das kleinstmögliche m, für das diese Konstruktion möglich ist?
Bestimmen Sie ein solches α und berechnen Sie das Generatorpolynom für
den Code.
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