9.Übungsblatt

Proseminar Numerische Mathematik I, SS 04
9. Übungsblatt, auszuarbeiten bis 25. Mai 2004
1. Die zweite Ableitung einer Funktion f an der Stelle x soll durch die Ableitung eines quadratischen Interpolationspolynoms mit äquidistanten und zu x symmetrischen Stützstellen approximiert werden.
1. Wie lautet der entstehende dividierte Differenzenquotient f [x − h, x, x + h]?
2. Zeigen Sie für f ∈ C 4 [a, b] :
f [x − h, x, x + h] =
f 00 (x)
+ O(h2 ).
2!
2. Seien Hi3 , i = 0, . . . , 3, die kubischen Hermite-Basispolynome zu den Stützstellen t 0 , t1 , d.h. es
gelte
d
d
H03 (t0 ) = 0, H03 (t1 ) = 0, dt
H03 (t1 ) = 0,
H03 (t0 ) = 1, dt
H13 (t0 ) = 0,
H23 (t0 ) = 0,
H33 (t0 ) = 0,
{Hi3 }3i=0
{Hi3 }3i=0
d
3
dt H1 (t0 )
d
3
dt H2 (t0 )
d
3
dt H3 (t0 )
= 1, H13 (t1 ) = 0,
= 0, H23 (t1 ) = 1,
= 0, H33 (t1 ) = 0,
d
3
dt H1 (t1 )
d
3
dt H2 (t1 )
d
3
dt H3 (t1 )
= 0,
= 0,
= 1.
bildet neben B =
eine Basis von P3 . Geben Sie für t0 = 0, t1 = 1 die
und die Matrix des Basiswechsels von {H i3 }3i=0 auf B an.
{1, t, t2 , t3 }
3. Mit Hilfe von der letzten Aufgabe, interpolieren Sie f (x) = sin( π2 x) durch ein Polynom p so,
daß
p(k) (0) = f (k) (0),
k = 0, 1.
p(k) (1) = f (k) (1),
Mit Hilfe von der Fehlerabschätzung
n
|f (x) − p(x)| ≤
Y
1
|x − xi |
max |f (n+1) (ξ)|
(n + 1)! 0≤ξ≤1
i=0
mit x0 = 0, x1 = 0, x2 = 1 und x3 = 1 (d.h. die Knoten haben Vielfachheit 2), geben Sie eine
Abschätzung für den Interpolationsfehler im Intervall [0, 1] an.
4. Nehmen Sie an, dass Zahlen eine binäre Darstellung in Ihrem Computer haben:
x=±
p
X
k=0
ak 2−k × 2e ,
ak ∈ {0, 1}.
Betrachten Sie den folgenden MATLAB Code:
function [u,p] = unit
x = 1.0;
u = 1.0;
while (x+u ~= x) u = u/2.0; end;
u = 2.0*u;
p = log2(d);
Es folgt davon, dass 1 + 2−p 6= 1 und 1 + 2−(p+1) = 1 gelten. Ähnlich für x = 2n gelten
x + 2n−p 6= x und x + 2n−(p+1) = x. Nun seien:
f (x) = tanh[a(x − x0 )],
x0 = 25 + 24−p .
Nehmen Sie an, dass die Lösung x0 der Nullstellengleichung f (x) = 0 durch eine konvergierende
Iteration xk+1 = φ(xk ) gesucht wird.
1. Bestimmen Sie die Werte x1 und x2 , die sich in der Computerdarstellung am nächsten zu
x0 befinden, damit x0 ∈ (x1 , x2 ) gilt.
2. Bestimmen Sie die kleinsten α, ε und δ, so dass die Abbruchkriterien
|xk+1 − xk | ≤ α,
|xk+1 − xk | ≤ ε|xk+1 |,
funktionieren können.
2
|f (xk+1 )| ≤ δ