Stochastik

Fiedler/Winter
Wintersemester 2016/2017
Stochastik
Übungsblatt 1
Ereignisse und Wahrscheinlichkeit
Abgabe
Montag, den 24.10.2016 um 10:00 Uhr im Übungskasten im WSC-Foyer
Hinweis Bitte die Abgaben tackern und mit Namen, Matrikelnummern und Nummer der
Übungsgruppe deutlich beschriften!
Aufgabe 1
Wir werfen einen normalen Würfel (mit den Zahlen 1 bis 6) dreimal nacheinander.
a) Gib einen geeigneten Ergebnisraum Ω an, mit dem das Ergebnis des Experiments beschrieben werden kann und bestimme die Mächtigkeit #Ω (Anzahl der Elemente) von Ω.
b) Gib die Ereignisse General“ (drei gleiche Zahlen, aber keine Einsen) und Schock“ (min”
”
destens zwei Einsen kommen vor) an, und bestimme jeweils ihre Mächtigkeit.
c) Wie viele Elemente enthält das Ereignis jeder Wurf hat ein (echt) höheres Ergebnis als der
”
vorhergehende“?
Aufgabe 2 Seien n, k ∈ N und A1 , ..., An Ereignisse in einem Ergebnisraum Ω. Beschreibe die
folgenden Ereignisse mengentheoretisch:
a) Jedes der Ereignisse A1 , ..., An tritt ein.
b) Mindestens eines der Ereignisse tritt ein.
c) Keines der Ereignisse tritt ein.
d) Entweder A1 oder A2 tritt ein, aber nicht beide.
e) Genau k der Ereignisse treten ein.
f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein.
Aufgabe 3 Mit einem fairen Würfel (mit den Zahlen 1 bis 6) wird n-mal gewürfelt (n ∈ N).
Für k ∈ {1, ..., n} sei Ak das Ereignis beim k-ten Wurf wird eine 5 gewürfelt“.
”
a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für das Experiment an.
b) Gib das Ereignis Ak explizit an. Bestimme außerdem die Mächtigkeit und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ak .
c) Drücke das Ereignis 5 wird gar nicht gewürfelt“ durch die Ereignisse Ak aus und berechne
”
seine Wahrscheinlichkeit.
d) Drücke das Ereignis 5 wird mindestens einmal gewürfelt“ durch die Ereignisse Ak aus und
”
berechne seine Wahrscheinlichkeit.
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Aufgabe 4 Die Treppe im Foyer des WSC, die bis zur Zwischentür zum Treppenhaus führt,
hat 9 Stufen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese Treppe zu erklimmen, wenn
man in jedem Schritt entweder 1 oder 2 Stufen auf einmal nimmt?
Zusatzaufgabe [4 Punkte]
Seien E1 , E2 , E3 die Eigenschaften durch 7 teilbar“, größer als
”
”
3000“, und Quadratzahl“. Bestimme mit Hilfe von R die Anzahl der natürlichen Zahlen von 1
”
bis 10000, die genau zwei dieser Eigenschaften erfüllen und gib deinen Quellcode an.
Tipp: Aufgabe 2 e) könnte hilfreich sein. Die Operation a %% b liefert den Rest von a bei der
Division durch b. Das funktioniert auch, wenn a keine ganze Zahl ist. Die Operation !c macht
aus einem c ∈ {TRUE, FALSE} jeweils das Gegenteil.