Inhaltsverzei chni s
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Inhaltsverzei chni s Vorwort 01 Grundbegriffe der Aussagen- und Prädikatenlogik 21 1.1 Axiome 21 1.2 Aussagen 23 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 Negationen Aussageformen Oder-Aussagen Und-Aussagen. die De Morganschen Gesetze Implikationen Der indirekte Beweis Existenzaussagen Allaussagen Verneinungen von Existenz-und Allaussagen Analyse von Suchkriterien in der Informatik, die Distributivgesetze Übungsaufgaben 23 24 25 27 30 33 33 34 35 36 40 02 Grundbegriffe der Mengenlehre 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Grundlegende Definitionen Teilmenge, Durchschnitt, Vereinigung und Differenzmenge Einige Eigenschaften der Operatoren n und u Kreuzprodukte und Relationen Abbildungen Die Potenzmenge Übungsaufgaben 03 Natürliche Zahlen 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Bibliografische Informationen http://d-nb.info/98177010X 43 Die Peano-Axiome und die vollständige Induktion Die Fakultät und der Binomialkoeffizient Permutationen und Gewinnchancen im Lotto Teiler, ggT und kgV und der Euklidische Algorithmus Primzahlen Übungsaufgaben 43 44 48 49 52 55 56 59 59 61 69 72 81 88 digitalisiert durch 04 Andere Schreibweisen für die natürlichen zahlen 4.1 4.2 43 Zunächst ein Beispiel Die allgemeine Theorie Ein Algorithmus zur Berechnung der Zahlendarstellungen Übungsaufgaben 05 Ganze Zahlen und Rationale zahlen Gruppen, Ringe und Körper 5.1 5.2 5.3 5.4 Die ganzen Zahlen und die algebraische Struktur einer Gruppe Die ganzen Zahlen und die algebraische Struktur eines Rings Die rationalen Zahlen und die algebraische Struktur eines Körpers Wie »groß« sind die Mengen Z und Q? Übungsaufgaben 06 Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 o; Aquivalenzrelationen Restklassen Die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen Relationale Datenbanken oder: Relationen von Relationen Übungsaufgaben 91 91 92 94 100 103 104 107 108 113 116 119 119 123 125 134 142 145 Endl iche Gruppen und Endliche Körper 147 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 147 149 151 155 156 164 (Z^, +) ist eine endliche, kommutative Gruppe (Z^, +,.) ist nur manchmal ein endlicher kommutativer Körper Beispiele, ein Programm und Gleichungen Hashing PrüfzifTem Übungsaufgaben 0 8 Zahlentheorie und Kryptographie 8.1 8.2 8.3 8.4 Der »kleine Fermat« Die Eulersche Phi-Funktion Eulers Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes Ein Beispiel för eine Verschlüsselung mit einem öffentlichen Schlüssel Übungsaufgaben 167 167 172 178 180 186 Inhaltsverzeichnis 09 Die reellen zahlen 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Irrationale Wurzeln Was sind irrationale Zahlen? Ein erster Versuch einer Antwort Warum reelle Zahlen? Eine erste Antwort Warum reelle Zahlen? Eine zweite Antwort Zwei Arten von reellen Zahlen Auch die reellen Zahlen sind aus den natürlichen Zahlen konstruierbar Übungsau fgaben 10 Die komplexen zahlen 10.1 10.2 10.3 10.4 Quadratische Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen Die Einfuhrung von i garantiert die genrelle Lösbarkeit von Quadratischen Gleichungen Der algebraisch abgeschlossene Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Übungsaufgaben 11 Boolesche Algebra 11.1 11.2 Boolesche Funktionen und digitale logische Gatter Die Minterm- und Maxterm-Darstellungen beliebiger Boolescher Funktionen Übungsaufgaben 17 189 190 191 193 198 202 208 213 215 216 221 226 241 251 253 253 258 278 12 Boolesche Gesetze, Dualitäten und Diagramme 283 12.1 12.2 Das Boolesche Dualitätsprinzip und 23 wichtige Gesetze Karnaugh-Veitch Diagramme Übungsaufgaben 13 Leonhard Euler und die 7 Brücken von Königsberg 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Das Sieben-Brücken-Problem von Königsberg Eulers allgemeine Lösung Wie man einen »blinden« Computer sehend macht Die eigentliche Programmierung Euler-Wege Euler-Wege in gerichteten Graphen Übungsaufgaben 283 288 312 317 317 318 333 340 345 349 353 Inhaltsverzeichnis 14 Bäume 359 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 359 368 372 377 382 387 Aufspannende Bäume Charakteristika von Bäumen Gewichtete einfache Graphen Minimale aufspannende Bäume und der Algorithmus von Prim Die Programmierung des Algorithmus von Prim Übungsaufgaben 15 Kürzeste Wege und der Algorithmus von Dijkstra 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 Drei Algorithmen für aufspannende Bäume im Vergleich Ein Beispiel Der Algorithmus kann mehr: Wurzelbäume machen es möglich Nur ein Beweis gibt uns Sicherheit Die Programmierung von Dijkstras Algorithmus Übungsaufgaben 16 Binärbäume und rekursive Strukturen 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 17 Paarungsprobleme und i h r e u n g a r i s c h e n Lösungen 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 18 Definitionen und Beispiele Ein Klassenentwurf für einen Binärbaum Drei Algorithmen zum Navigieren in einem Binärbaum Ein Parserbaum für mathematische Formeln Die Programmierung unserer Parse-Algorithmen Übungsaufgaben Defintionen und ein Beispiel Der Ungarische Algorithmus Ein Beispiel - zwei Matchings Nun wieder etwas Theorie Die Programmierung des Ungarischen Algorithmus Übungsaufgaben 395 395 396 402 411 414 419 421 421 427 432 435 450 456 463 463 474 478 482 487 493 L a u f z e i t e n und K o m p l e x i t ä t e n , p und NP 497 18.1 Der Logarithmus, Polynome und die Exponentialfunktion 18.2 Die Symbole von Paul Bachmann und Edmund Landau, gute und schlechte Algorithmen 18.3 Ein kurzer Überblick über unsere bisherigen Algorithmen 18.4 P (easy tofind)und NP (easy to check) 18.5 Eine Eine-Million-Dollar-Frage: P = NP? Übungsaufgaben 497 500 504 506 508 510 Inhaltsverzeichnis 19 Beschreibende Statistik 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 Der Feldversuch zum Salk-Impfstoff Häufigkeiten, Histogramme und Empirische Verteilungsfunktionen Kennzahlen: Lageparameter und geometrische Mittel Kennzahlen: Streuungsparameter Eine erste Darstellung der Verteilung einer Messreihe: die Boxplots Der Vergleich mehrerer numerischer Merkmale Die lineare Regression mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate Mehrere qualitative Merkmale bzw. mehrere Rangmerkmale: Kontingenztafeln Die Unabhängigkeit mehrerer qualitativer Merkmale bzw. mehrerer Rangmerkmale Übungsaufgaben 20 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 20.1 20.2 20.3 Grundlegende Begriffe Endliche Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Modelle undrichtigesZählen Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit und mehrstufige Experimente Übungsaufgaben 21 Diskrete zufallsvariable 21.1 21.2 21.3 Zufallsvariablen Endliche und diskrete Zufallsvariablen Diskrete Verteilungen Übungsaufgaben 22 Stetige Zufallsvariable 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 Was Sie wissen sollten Stetige Zufallsvariable Die Standard-Normalverteilung Die allgemeine Normalverteilung Der zentrale Grenzwertsatz Übungsaufgaben 2 3 Schätzungen 23.1 23.2 Stichproben und die Grundregeln statistischen Arbeitens Schätzungen von Wahrscheinlichkeiten 19 513 513 515 526 536 540 541 546 553 558 567 575 576 582 597 605 6ii 611 614 623 634 639 639 642 645 656 664 665 669 669 672 20 Inhaltsverzeichnis 23.3 Konfidenzintervalle als Bereiche des Vertrauens 23.4 Kleine Konfidenzintervalle für Binomialverteilungen Trau keinem unter 30 23.5 Die Größe von Stichproben Übungsaufgaben 24 Tests, Tests, Tests 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 AI Ein erstes Beispiel: die tea testing Lady Grundlegende Bemerkungen und Definitionen Parametertests für Wahrscheinlichkeiten von wiederholten Bernoulli-Experimenten Parametertests - Mittelwerte von normal verteilten Werten Der Chi-Quadrat: Vorbereitungen Die Chi-Quadrat-Testgröße Der Chi-Quadrat-Test und Irrtumswahrscheinlichkeiten Übungsaufgaben Anhang - was Sie schon immer über Analysis wissen wollten ALI AI.2 AI.3 A1.4 AI.5 AI .6 AI.7 AI.8 AI.9 A1.10 AI. 11 Grenzwerte von Funktionen Stetige Funktionen Ableitungen Die Bedeutung der Ableitung Umkehrfunktionen Integrale und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Uneigentliche Integrale Die Trigonometrischen Funktionen Logarithmus und Exponentialfunktion Integrationsregem und Integrationstechniken Gute Nacht, Freunde A2 Anhang - Einige Werte der Standardnormal Verteilung Literatur- und Linkverzeichnis Index 675 681 687 689 691 691 694 698 704 709 714 720 726 729 729 733 736 740 748 751 756 758 767 776 778 787 789 791
