Mathe Club 6-8 - Mathematik Verein RHO eV

Mathe Club 6-8
Thomas Krakow
Rostock, den 4. Oktober 2006
Inhaltsverzeichnis
3
Inhaltsverzeichnis
4
1 Mengen und Abbildungen
1.1 Mengen
Oft möchte man Dinge zusammenfassen die eine bestimmte Eigenschaft besitzen. In der
Mathematik fasst man diese Dinge zu einer Menge zusammen. Man spricht dann von
der Menge aller Dreiecke in der Ebene oder der Menge aller durch 17 teilbaren Zahlen.
Nun muss man noch genauer sagen was eine Menge überhaupt ist. Es muss also eine
Definition gegeben werden. Dies ist leider nicht ganz einfach, da es bei vielen Versuchen
Mengen zu definieren zu Widersprüchen kommt. Wir wählen die Definition von Cantor.
Definition 1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher
Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt
werden, zu einem Ganzen.
Diese Definition führt zu Widersprüchen wie wir später sehen werden. Man kann sich
eine Menge am besten als einen Sack vorstellen der irgendwelche Dinge enthält. Ist ein
Ding, wir nennen es mal x in diesem Sack (Menge), wir nennen ihn M , enthalten, so sagt
man x ist ein Element von M und schreibt
x ∈ M.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu sagen was in einer Menge enthalten ist. Sei M
unsere Menge und sie soll die Zahlen 1, 5, 7, 9 enthalten. Man schreibt es dann folgendermaßen
M = {1; 5; 7; 9}
Die Dinge die in die Menge hineinkommen setzt man in geschweifte Klammern. Eine
Menge enthält jedes Element höchstens einmal, d.h. die Mengen {1; 2; 2} ist die selbe
wie {1; 2}. Es kann auch vorkommen, dass in der Menge M gar kein Element enthalten
ist (zu vergleichen mit einem leeren Sack), man sagt dann, dass die Menge leer ist und
schreibt
M = ∅.
Es ist auch möglich, dass Mengen andere Mengen enthalten, z.B. ist
M = {{1; 2; 3}; {a; b}; {♣; ♠; ♥; ♦}} selbst wieder eine Menge. Bei der folgenden Menge
ist aber Vorsicht geboten, M = {∅} ist die Menge die die leere Menge enthält und M ist
dabei selbst nicht leer. Wir müssen noch definieren wann zwei Mengen gleich sind.
Definition 2 Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind.
5
1 Mengen und Abbildungen
Es ist beispielsweise
{1; 2; 3} = {1; 1; 2; 2; 3};
{a; b; 1} = {1; b; a};
{a; 1} =
6 {aa; 1}.
1.2 Teilmengen, Vereinigungen, Durchschnitte von Mengen
Wir wissen nun was Mengen sind. Bisher können wir mit den Mengen aber noch nicht so
richtig arbeiten. Wir müssen aus Mengen irgendwie neue Mengen gewinnen. Um später
die Arbeit zu erleichtern führen wir neue Symbole ein. Oft benutzen wir das Wort ”und”
wir schreiben in Zukunft dafür kurz ∧, für ”oder” schreiben wir ∨ und für ”daraus folgt”
schreiben wir ⇒. Wir können nun Teilmengen von Mengen definieren.
Definition 3 (Teilmenge) Eine Menge A ist eine Teilmenge einer Menge B falls,
x∈A⇒x∈B
gilt. Man schreibt dann auch A ⊂ B oder auch A ⊆ B.
Die Schreibweise x ∈ A ⇒ x ∈ B bedeutet wörtlich übersetzt: wenn x in A ist so folgt
daraus auch, dass x in B ist. Eine Menge A ist also genau dann Teilmenge einer Menge
B, wenn jedes Element welches aus in A ist auch in B ist. Es ist {1; 2; 3} ⊂ {1; 2; 3; 4}
aber {1; 2; 3} 6⊂ {2; 3; 4}
Es gilt immer
∅⊂M
für jede Menge M .
Mit den neu eingeführten Symbolen können wir nun auch Mengen anders definieren. Wir
können einmal die Elemente einer Menge aufzählen wie bei A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Wir
können aber auch die Elemente einer Menge durch ihre Eigenschaften beschreiben. Die
Menge M = {x : 1 ≤ x ≤ 10} ist die Menge aller Zahlen zwischen 1 und 10. Der Teil
x : in der Mengenklammer bedeutet ” alle x mit der Eigenschaft . . . ” . Anstatt einen
Doppelpunkt kann man auch einen senkrechten Strich ”|” schreiben, das würde dann
folgendermaßen aussehen: M = {x|1 ≤ x ≤ 10}.
Definition 4 (Potenzmenge) Sei M eine Menge, die Potenzmenge P(M ) ist die Menge
P(M ) = {A : A ⊂ M }.
Die Potenzmenge ist also die Menge aller Teilmengen einer Menge. Beispielsweise sei
M = {a; b; c}, dann ist P(M ) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}} Für die
Potenzmenge einer Menge findet man auch häufig die Bezeichnung 2M .
6
1.2 Teilmengen, Vereinigungen, Durchschnitte von Mengen
Definition 5 (Vereinigung) Seien A und B Mengen, dann ist
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
die Vereinigung der beiden Mengen.
Die Vereinigung zweier Mengen A, B ist also die Menge aller Elemente die in A oder
in B enthalten sind. Es ist Beispielsweise {1; 2; 3; 4} ∪ {3; 4; 5; 6} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Definition 6 (Durchschnitt) Seien A und B Mengen, dann ist
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
der Durchschnitt der beiden Mengen.
Der Durchschnitt zweier Mengen A, B ist also die Menge der Elemente die sowohl in
A als auch in B enthalten sind. Es ist Beispielsweise {1; 2; 3; 4} ∩ {3; 4; 5; 6} = {3; 4}.
Definition 7 (Differenz) Seien A und B Mengen, dann ist
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}
die Differenz der beiden Mengen.
Man bildet die Differenz A \ B also indem man aus A alle Elemente raus nimmt die
in B enthalten sind. Beispielsweise ist {1; 2; 3; 4} \ {3; 4; 5; 6} = {1; 2}.
Beispiele:
• {x : x ist Primzahl } ∩ {x : x ist gerade } = {2}
• {x : x ist Primzahl ⇒ x + 2 ist Primzahl } ∩ {x : 0 ≤ x ≤ 10} = {3; 5}
• {x : 10 ≤ x ≤ 20} \ {x : x ≥ 15} = {x : 10 ≤ x < 15}
• A⊂B ⇒A∪B =B∧A∩B =A∧A\B =∅
• {x : 5|x ∧ 6|x} = {x : 30|x}
• Sei Ma = {x : a|x}, dann ist Ma ∩ Mb = {x : a|x ∧ b|x} = {x : kgV (a, b)|x} =
MkgV (a,b)
7
1 Mengen und Abbildungen
1.3 Klassifizierung der Zahlen
Bei späteren arbeiten mit Mengen wird es unumgänglich zu sagen welche Zahlen man
meint. Es kann vorkommen, dass man nur Zahlen der Form 1; 2; √
3; . . . in einer Menge
zulassen möchte oder auch Zahlen der Form 1.123; 3.364564356; 2 zulassen möchte.
Wir müssen deshalb die verschiedenen Zahlenarten unterteilen.
Definition 8 Die Menge
N = {0; 1; 2; 3; . . .}
heißt die Menge der natürlichen Zahlen. Sie wird mit N bezeichnet.
Die Menge
Z = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .}
heißt die Menge der ganzen Zahlen. Sie wird mit Z bezeichnet.
Offensichtlich ist N ⊂ Z. Nun können wir beispielsweise für die Menge M = {1; 2; 3; 4; 5}
auch schreiben M = {x : x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤ 5}. Die Mengen N und Z sind offensichtlich
unendlich 1 Nun müssen wir noch die ”Kommazahlen” klassifizieren.
Definition 9 Die Menge
Q={
x
: x ∈ Z ∧ y ∈ N \ {0}}
y
heißt die Menge der rationalen Zahlen. Sie wird mit Q bezeichnet.
Die Menge
R = {x : x ∈ Z ∨ x ist eine Kommazahl}
heißt die Menge der reellen Zahlen. Sie wird mit R bezeichnet.
Die rationalen Zahlen sind also die ganzen Zahlen zusammen mit allen Zahlen die als
Bruch geschrieben werden können. Der Rest ist sind die reellen Zahlen. Warum unterscheidet man aber rationale Zahlen und reelle Zahlen? Es kann doch auch sein, dass
Q = R ist. Es kann aber ganz leicht
eine Zahl angegeben werden die reell aber nicht
√
rational ist. Eine
√ solche Zahl ist 2. Wir wollen diese Aussage√noch begründen. Angenommen es sei 2 ∈ Q, dann existieren x ∈ Z, y ∈ N \ {0} mit 2 = xy , wobei der Bruch
schon gekürzt ist. Es müsste dann
2=
x2
⇒ 2y 2 = x2 ⇒ 2|x ⇒ x = 2z ∧ z ∈ Z ⇒ 2y 2 = 4z 2 ⇒ y 2 = 2z 2 ⇒ 2|y ⇒ 2|x ∧ 2|y
y2
was natürlich nicht funktioniert, da xy schon ein gekürzter Bruch ist.
Die Menge R \ Q ist die Menge der irrationalen Zahlen. Die oben angegebene Definition
der reellen Zahlen ist mathematisch nicht korrekt, da der Begriff der Kommazahl in der
Mathematik nicht existiert. Die exakte Definition der reellen Zahlen ist sehr kompliziert.
1
8
Ein Ergebnis aus der Mengenlehre sagt sogar das merkwürdige Resultat, dass die Menge N genauso
groß ist wie die Menge Z.
1.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (PIE)
Man macht es mit sogenannten Dedkindschen Schnitten.
Es gilt die folgende Beziehung
N⊂Z⊂Q⊂R
Im folgenden sind noch einige spezielle Teilmengen dieser Zahlen hervorgehoben.
• Z+ = {x : x ∈ Z ∧ x > 0} die Menge der positiven ganzen Zahlen
• Q+ = {x : x ∈ Q ∧ x > 0} die Menge der positiven rationalen Zahlen
• R+ = {x : x ∈ R ∧ x > 0} die Menge der positiven reellen Zahlen
• Z− = {x : x ∈ Z ∧ x < 0} die Menge der negativen ganzen Zahlen (analog Q und
R)
Es sei noch bemerkt, dass die Zahl 0 weder positiv noch negativ ist.
1.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (PIE)
Das Prinzip von Inklusion und Exklusion ist ein Verfahren für die Bestimmung der Anzahl
der Elemente einer Menge. Für die Anzahl der Elemente führen wir noch die folgende
Definition ein.
Definition 10 Sei M eine Menge, dann bezeichnet man mit |M | die Anzahl der Elemente in M . Man sagt auch die Mächtigkeit der Menge M ist |M |.
Beispiel:
• Sei M = {1; 5; 7; 10; 11}, die Mächtigkeit der Menge M ist dann |M | = 5.
• M = {x : x ∈ N ∧ x < 100} ⇒ |M | = 100
• M = {x : x ist Primzahl ∧x < 10} ⇒ |M | = 4
• Sei M = {x : x ∈ N ∧ x < 10} und M6 = {A : A ⊂ M ∧ |A| = 3} ⇒ |M | = 120
Ein Grundproblem der Kombinatorik ist es die Mächtigkeiten von bestimmten Mengen
zu bestimmen. Es sei mal ein Beispiel angegeben.
Aufgabe: Auf einem Kreuzfahrtschiff sind 100 Personen. 83 Personen sprechen Englisch und 45 Personen sprechen Französisch. 10 Personen sprechen weder Englisch noch
Französisch. Wie viele Personen sprechen Englisch und Französisch?
Um das Problem anzugehen muss man es ersteinmal mathematisch formulieren. Es
sei M die Menge aller Personen auf dem Schiff, E die Menge der Personen die Englisch
9
1 Mengen und Abbildungen
sprechen, F die Menge der Personen die Französisch sprechen und G die Menge der
Personen die weder Englisch noch Französisch sprechen. Aus der Aufgabe ist bekannt,
dass |M | = 100, |E| = 83, |F | = 45, |G| = 10. Gesucht ist die Mächtigkeit der Menge
der Personen die Englisch und Französisch sprechen, also die Mächtigkeit der Menge
E ∩ F . Jetzt stellt sich nur die Frage wie man auf die Mächtigkeit von E ∩ F kommt. Wir
müssen also irgendwelche Beziehungen finden zwischen den Mächtigkeiten der Mengen
finden. Man kann sich Mengen in einem so genannten Venn-Diagramm veranschaulichen.
Die drei Kreise sollen die Mengen E, F, G darstellen, die dunkelgrau gekennzeichneten
Flächen sind jeweils die Mengen E ∩ F, E ∩ G, F ∩ G und die schwarze Fläche stellt
die Menge E ∩ F ∩ G dar. Nun fällt es uns auch leicht erste Beziehungen zu erkennen.
Beispielsweise ist E ∪ F = (E \ F ) ∪ (E ∩ F ) ∪ (F \ E). Wir wollen nun die Mächtigkeit
der Menge E ∩ F bestimmen. Wir wissen, dass M = E ∪ F ∪ G ist, aber es ist |M | 6=
|E|+|F |+|G| wir haben noch zuviel mitgezählt, nämlich die Mengen E ∩F, E ∩G, F ∩G,
die Menge E ∩ F ∩ G haben wir sogar zweimal mitgezählt. Wir müssen diese Mengen also
wieder abziehen, also haben wir schon mal |E|+|F |+|G|−|E ∩F |−|E ∩G|−|F ∩G|. Dies
ist aber auch noch nicht M , die Menge E ∩F ∩G wurde nämlich dreimal hinzugenommen,
aber auch dreimal wieder weg genommen, also müssen wir es noch einmal dazu tun und
erhalten
|M | = |E ∪ F ∪ G| = |E| + |F | + |G| − |E ∩ F | − |E ∩ G| − |F ∩ G| + |E ∩ F ∩ G|
Aus der Aufgabenstellung ergeben sich nun die folgenden Werte. |E ∪F ∪G| = 100, |E| =
83, |F | = 45, |G| = 10, |E ∩ G| = |F ∩ G| = |E ∩ F ∩ G| = 0 und somit erhalten wir
100 = 83 + 45 + 10 − |E ∩ F |,
also ist |E ∩ F | = 38. Es sprechen somit 38 Personen auf dem Kreuzfahrtschiff Englisch
und Französisch.
10
1.5 Abbildungen
Aufgabe: Wieviele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch zwei oder durch drei teilbar?
Lösung: Sei M = {x : x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤ 100} und Mk = {x : x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤
100 ∧ k|x}. Gesucht ist also |M2 ∪ M3 |. Durch auswerten des Venn-Diagramms erhalten
100
wir |M2 ∪ M3 | = |M2 | + |M3 | − |M2 ∩ M3 |. Es ist |M2 | = 100
2 = 50 und |M3 | = 3 = 33.
Nun müssen wir noch |M2 ∩ M3 | bestimmen. Es ist M1 ∩ M2 = {x : x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤
100∧2|x∧3|x} = {x : x ∈ N∧1 ≤ x ≤ 100∧6|x} = M6 , also |M2 ∩M3 | = |M6 | = 100
6 = 16.
Es gibt somit |M1 ∪ M2 | = 50 + 33 − 16 = 67 Zahlen zwischen 1 und 100 die durch zwei
und durch drei teilbar sind.
Aufgabe: Zu einer Weihnachtsfeier sind vier Personen eingeladen, wobei jede Person
ein Geschenk mitgebracht hat. Die vier Geschenke werden durchgemischt und danach an
die vier Personen wieder ausgegeben, so dass jeder genau ein Geschenk bekommt. Wie
viele Möglichkeiten gibt es, dass keiner sein eigenes Geschenk bekommt?
1.5 Abbildungen
Abbildungen hat man oft schon unterbewusst benutzt. Beispielsweise wenn man ein
Rechteck gegeben hat, so kann man deren Umfang oder deren Flächeninhalt berechnet.
Die Idee einer Abbildung besteht nun darin jedem Element einer Menge A ein Element
einer Menge B zuzuordnen. In unserem Fall ordnen wir der Menge aller Rechtecke A
den Umfang zu, also ein Element aus der Menge R zu. Man kann auch der Menge der
ganzen Zahlen Z wieder ein Element der ganzen Zahlen Z zuordnen, indem man jeder
Zahl ihr doppeltes zuordnet. Man kann dann so einer Abbildung auch einen Namen geben und schreibt dann f : A → B. Das f ist der Name der Abbildung, die Menge A ist
der Definitionsbereich und die Menge B ist der Wertebereich. Die Abbildung f ordnet
jedem Element des Definitionsbereiches eindeutig ein Element des Wertebereiches zu. Die
können wir noch mal als Definition schreiben.
Definition 11 Eine Abbildung f : A → B ist eine eindeutige Zuordnung bei der jedem
Element des Definitionsbereiches A ein Element des Wertebereiches B zugeordnet wird.
Sei f : A → B eine Abbildung und ein Element a ∈ A wird dem Element b ∈ B
zugeordnet, dann schreibt man f (a) = b (sprich f von a ist gleich b).
Beispiele:
• Es werde jeder natürlichen Zahl ihren Nachfolger zugeordnet und diese Abbildung
soll n heißen. Es ist dann n : N → N mit n(k) = k + 1.
• Es sei f : N → N eine Abbildung mit f (n) = n2 . Die Abbildung f ordnet jeder
natürlichen Zahl ihr Quadrat zu.
11
1 Mengen und Abbildungen
• Sei f : {1; 2} → {3; 4; 5} mit f (1) = 3, f (1) = 4, f (2) = 5, dann ist f keine
Abbildung, da der 1 nicht eindeutig ein Element des Wertebereiches zugeordnet
wird.
• f : N → N mit f (k) = Anzahl der Teiler von k ist eine Abbildung. Es ist beispielsweise f (12) = 6, da die 12 genau 6 Teiler hat, nämlich 1, 2, 3, 4, 6, 12.
√
√
• f : N → N mit f (k) = k ist keine Abbildung, da z.B. 2 6∈ N ist.
√
• f : N → R+ mit f (k) = k ist eine Abbildung.
√
• f : N → R mit f (k) = k ist keine Abbildung, da z.B. f (4) = 2, aber auch
f (4) = −2 ist.
• f : N → P(N) mit f (k) = {n : n ∈ N ∧ n|k} ist eine Abbildung. Es wird jeder
natürlichen Zahlen die Menge ihrer Teiler zugeordnet. Beispielsweise ist f (12) =
{1; 2; 3; 4; 6; 12} oder f (0) = N \ {0}.
In der Mathematik geht man manchmal nicht exakt mit dem Begriff der Abbildung
um. Betrachtet man beispielsweise die Abbildung f : R → R mit f (x) = x1 , so ist dies
keine Abbildung, da f (0) = 01 nicht definiert ist. Der 0 wird also kein Element des Wertebereiches zugeordnet. Man sagt die Abbildung f ist an der Stelle 0 nicht definiert. Solche
Abbildungen (die eigentlich keine sind) wollen wir auch zulassen.
Wir wollen nun eine weitere wichtige Mengenoperation einführen, das Kreuzprodukt
von Mengen.
Definition 12 Seien A und B Mengen, dann ist das Kreuzprodukt A × B der Mengen
die Menge
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Das Kreuzprodukt A × B von zwei Mengen ist also die Menge aller Paare (a, b), wobei die erste Komponente aus der Menge A kommt und die zweite Komponente aus
der Menge B kommt. Sei beispielsweise A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 4}, dann ist
A×B = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}. Zwei Paare (Elemente
eines Kreuzproduktes von Mengen) sind genau dann gleich, wenn sie in ihren Komponenten übereinstimmen. Es ist also (a, b) = (c, d) wenn a = c und b = d. Die Paare (1, 2)
und (2, 1) sind nicht gleich. Bei diesen Paaren kommt es auf die Ordnung an, deshalb
nennt man diese Paare oft auch geordnete Paare. Mit Hilfe dieser Operation können wir
auch Mengen ganz anders beschreiben. Es sei R die Menge aller Rechtecke mit den Seiten a und b. Wir wissen, dass ein Rechteck durch die Seitenlängen a und b eindeutig
festgelegt ist, also kann man die Menge R auch schreiben als R+ × R+ . Diese Menge besteht aus allen Paaren deren Komponenten positive reelle Zahlen sind. Wir wollen jetzt
die Abbildung beschreiben die jedem Rechteck sein Flächeninhalt zuordnet. Wir nennen
diese Abbildung A gemäß der Bezeichnung für Flächeninhalte. Der Flächeninhalt eines
Rechteckes mit den Seiten a und b ist gerade das Produkt a · b. Die Abbildung lautet also
A : R+ × R+ → R+
12
(a, b) = a · b
1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum Rn
Es ist also A(a, b) = a · b.
Wir können unsere Definition des Kreuzprodukt zweier Mengen auch auf mehr als zwei
Mengen ausdehnen.
Definition 13 Seien A1 , . . . , Ak Mengen, dann ist A1 ×, . . . , Ak die Menge
A1 × . . . × Ak = {(a1 , . . . , ak ) : a1 ∈ A1 ∧ . . . ∧ ak ∈ Ak }
Das Kreuzprodukt von k Mengen ist also eine Menge aus k-Tupeln. Wegen der Schreibweise führen wir noch eine Definition an.
Definition 14 Sei A eine Menge, dann schreibt man
A
. . × A} = Ak .
| × .{z
k-mal
Die Menge R3 besteht beispielsweise aus allen Tripeln (a, b, c), wobei a, b und c reelle
Zahlen sind.
1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum Rn
In diesem Abschnitt wollen wir einige Strukturen des Rn und die damit verbundenen
geometrischen Deutungen darstellen. Die Menge Rn ist das n-fache Kreuzprodukt der
Menge der reellen Zahlen R mit sich selbst. Sie besteht also aus n-Tupeln (a1 , . . . , an )
von reellen Zahlen. Es ist zum Beispiel
(1, 1.3, 5, 3.7) ∈ R4 ;
(1, 1, 1, −14.7, 3) ∈ R5
(1.1)
Definition 15 Ein Element der Menge Rn nennt man einen n-dimensionalen euklidischen Vektor. Man kennzeichnet einen solchen Vektor üblicherweise durch einen Pfeil
über den Buchstaben ~v oder durch einen Unterstrich v.
Wir ziehen die Kennzeichnung durch einen Pfeil über den Buchstaben vor. Der Übersicht halber schreiben wir die Komponenten eines Vektors nicht nebeneinander sondern
übereinander. Die Vektoren aus 1.1 bekommen dann die Gestalt


 
1
1
 1 
1.3


 ;  1 


5
−14.7
3.7
3
Wir führen auf der Menge Rn nun eine Addition ein und zwar soll für ~v , w
~ ∈ Rn die
Summe
    

v1
w1
v1 + w1
    

..
~v + w
~ =  ...  +  ...  = 

.
vn
wn
vn + wn
13
1 Mengen und Abbildungen
sein. Die Vektoren werden also Komponentenweise addiert. Sei nun a ∈ R, dann führen
wir die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar2 folgendermaßen ein

 

v1
a · v1
  

a · ~v = a ·  ...  =  ... 
vn
a · vn
Die Multiplikation wird also Komponentenweise durchgeführt.
Beispiel:

 
5
1
 3   15 

  
 = −10
−2
5·

  
 4   20 
0
0


    
−61
−7
1
5 +  2  =  7  ;
23
21
2
Hat man zwei Vektoren unterschiedlicher Dimension, so ist die Addition nicht definiert.
Man kann also einen zweidimensionalen Vektor nicht mit einen dreidimensionalen Vektor
addieren.
Wir wollen den Rn nun geometrisch Interpretieren. Wir nehmen dazu ein Element aus
dem R2 . Sei also a ∈ R2 mit a = (1, 2). Um dieses Element geometrisch eine Bedeutung zu geben benötigen wir noch ein Hilfsmittel, ein kartesisches Koordinatensystem.
Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei im rechten Winkel aufeinander stehende
Geraden. Die beiden Geraden sind dabei gleichmäßig unterteilt. Der Schnittpunkt dieser
beiden Geraden wird als Koordinatenursprung ausgezeichnet und wird mit O bezeichnet.
Wir setzen den Koordinatenursprung gleich dem Element (0, 0) aus dem R2 . Das Element
(1, 2) wird nun folgendermaßen in das Koordinatensystem eingezeichnet.
2
Man nennt die reellen Zahlen im Zusammenhang mit Vektoren auch Skalare
14
1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum Rn
Auf der waagerechten Achse, der sogenannten Abzisse wird die erste Komponente abgetragen. Um den anderen Wert abzutragen bewegt man sich parallel zur senkrechten
Achse, der sogenannten Ordinate, zwei Einheiten nach oben und kommt an einer Stelle
im Koordinatensystem an. Dieser Punkt identifizieren wir mit unserem Element (1, 2).
Aufgrund dieser geometrischen Bedeutung nennt man die Elemente aus dem Rn auch
Punkte. Meint man den Vektor (1, 2), so meint man geometrisch die Richtung vom Koordinatenursprung zum Punkt (1, 2), dies wird durch ein Pfeil kenntlich gemacht. Der
Vektor zeigt also auf einen Punkt im Koordinatensystem, deshalb bezeichnet man ihn
auch als Ortsvektor des Punktes (1, 2). Da ein Vektor eindeutig durch seine Richtung und
durch seine Länge eindeutig gekennzeichnet ist, sind Vektoren von der Lage im Raum
unabhängig. Die Vektoren in der folgenden Abbildung sind also alle die selben.
15
1 Mengen und Abbildungen
Diese Vektoren haben alle die selbe Richtung und sind alle gleich lang. Die Länge eines
Vektors nennt man auch seinen Betrag. Man kann Vektoren also beliebig verschieben.
Wir wollen nun zur Interpretation des Produktes eines Vektors mit einem Skalar kommen.
Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar, so ändert sich nicht die Richtung des
Vektors, sondern nur seine Länge. Multipliziert man einen Vektor mit zwei so wird er
doppelt so lang. Multipliziert man einen Vektor mit 12 , so wird er halb so lang. Ist das
Skalar nun eine negative Zahl, so kehrt sich die Richtung um und der Vektor wird um
den Betrag des Skalars verlängert oder verkürzt.
16
1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum Rn
Hat man zwei zweidimensionale Vektoren ~v und w
~ gegeben, so erhält man die Summe
dieser Vektoren folgendermaßen: Man verschiebt den Vektor ~v , so dass sein Anfangspunkt
am Ende des Vektors w
~ ist. Die Summe ~v + w
~ ist der Ortsvektor auf dem der verschobene
Vektor w
~ zeigt.
17
1 Mengen und Abbildungen
Mit diesen operationen können wir auch besondere Punkte bestimmen. Seien A und
B zwei Punkte in der Ebene. Die Punkte A und B sind die Endpunkte einer Strecke
die wir mit AB bezeichnen. Will man einen Vektor haben der mit der Richtung und der
~−B
~ oder
Länge der Strecke übereinstimmt, so bildet man entweder die die Differenz A
~
~
B − A der Ortsvektoren der Punkte A und B. Die beiden Vektoren unterscheiden sich nur
in der um das Vorzeichen. Unterscheidet sich ein Vektor von einem anderen durch sein
Vorzeichen, so sagt man sie sind entgegengesetz orientiert. Will man den Mittelpunkt
~ und B,
~ also
der Strecke bestimmen, so nimmt man den Mittelwert der Ortsvektoren A
~
~
A+B
2 . Die Abbildung verdeutlicht die Rechnung.
18
1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum Rn
Aufgabe: Es seien die Punkte A = (2, 5) und B = (6, 3) gegeben. Man berechne den
Mittelpunkt der Strecke AB.
2
6
~
und A =
5
3
Die Ortsvektoren der Punkte A und B und M der Mittelpunkt der Strecke AB. Es ist
dann
~ ~
1 8
2
6
4
~ = A+B = 1
M
+
=
=
5
3
4
2
2
2 8
~=
Lösung: Es seien A
Der Mittelpunkt M der Strecke AB hat also die Koordinaten (4, 4).
Wir hatten oben gesagt, dass ein Vektor eindeutig durch seine Richtung und seine
Länge bestimmt ist. Wir können einen Vektor aber auch eindeutig durch seine Koordinatendarstellung angeben. Wir wollen nun eine Formel angeben wie man aus der Koordinatendarstellung eines vektors seine Länge berechnen kann.
Satz 1 Es sei ~v ein Vektor, dann heisst die Zahl
||~v || =
q
v12 + v22 + . . . + vn2
die Länge des Vektors.
19
1 Mengen und Abbildungen
2
Wir können nun also die Länge eines Vektors berechnen. Sei ~v =
, dann ist die
5
√
√
Länge von ~v , die Zahl ||~v || = 22 + 52 = 29 ≈ 5.385164807.
Aufgabe: Durch die Punkte A = (−2, 3) und B = (1, 5) ist eine Strecke AB gegeben.
Man berechne die Länge der Strecke AB.
~ B.
~
Lösung: Der Vektor der mit der Länge der Strecke übereinstimmt ist der Vektor A−
Die Länge der Strecke AB ist daher
p
√
~ − B||
~ = (−2 − 1)2 + (3 − 5)2 = 13 ≈ 3.605551275.
||A
Aufgabe: Durch die Punkte A = (1, 5),B = (−3, 7) und C = (1, 3) ist ein Dreieck
gegeben, man berechne den Umfang des Dreiecks.
Wir wollen noch angeben wann zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Wir führen
noch ein Produkt von Vektoren ein.
Definition 16 (Skalarprodukt) Seien ~u, ~v ∈ Rn zwei Vektoren, dann nennt man die
Zahl
~u • ~v = u1 · v1 + . . . un · vn
das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Wir haben das Skalarprodukt für den folgenden wichtigen Satz definiert.
Satz 2 Seien ~u, ~v ∈ Rn mit ~u, ~v 6= ~03 , zwei Vektoren. ~uund ~v stehen genau dann senkrecht
aufeinander, falls
~u • ~v = 0.
Nach diesem Satz stehen beispielsweise die Vektoren
 
 
1
0
~u = 0 und ~v = 1
0
0
senkrecht aufeinander.
Aufgabe: Man prüfe, ob die Vektoren ~u = (1, 2) und ~v = (4, −2) senkrecht aufeinander stehen. Man prüfe dies auch zeichnerisch.
3~
0 = (0, 0, . . . , 0)
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1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum Rn
Aufgabe:Man beweise, dass in einem Quadrat die Diagonalen senkrecht aufeinander
stehen.
Lösung: O.B.d.A. habe das Quadrat ABCD die Seitenlänge 1. Wir setzen den Punkt
A in den Koordinatenursprung, also A = (0, 0). Die Seiten AD und AB legen wir parallel
zu den Koordinatenachsen, also B = (1, 0) und D = (0, 1). Den Punkt C erhalten man
dann durch Vektoraddition der Ortsvektoren von B und D. Es ist somit
1
0
1
~
~
B+D =
+
=
0
1
1
Der Punkt C hat also die Koordinaten C = (1, 1). Wir müssen jetzt überprüfen, ob die
Strecken AC und BD senkrecht aufeinander
stehen. Die Vektoren
denen die Strecken
−1
~−C
~ =
~ −D
~ = 1 . Es ist
AC und BD entsprechen sind A
und B
−1
−1
−1
1
•
= (−1) · 1 + (−1) · (−1) = −1 + 1 = 0.
−1
−1
Nach Satz 2 stehen die Vektoren senkrecht aufeinander und somit auch die Diagonalen.
Aufgabe:Man untersuche, ob die Raumdiagonalen in einem Würfel senkrecht aufeinander stehen.
Hinweis: Man darf annehmen, dass sich die Raumdiagonalen schneiden.
Aufgabe:Man untersuche, ob die Diagonalen in einem Rechteck senkrecht aufeinander
stehen.
Aufgabe:Man untersuche, ob in dem Parallelogramm ABCD die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. A = (1, 1); B = (6, 1); C = (9, 5); D = (4, 5)
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