¨Ubungen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Karl Sigmund SS

Übungen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Karl Sigmund
SS 2011
1. Man beweise den binomischen Lehrsatz
!
n
(x + y) =
X
n k n−k
x y
k
und folgere daraus
!
X
!
n
= 2n ,
k
X
k
(−1)
!
n
= 0,
k
X
n
k
= n2n−1 .
k
n
2. Man verifiziere nk = n−k
und nk = n−1
+ n−1
. Man interpretiere
k
k−1
diese Gleichungen als Aussagen über Teilmengen.
3. Eine Gruppe von n Personen, darunter Alice und Bob, setzt sich zufällig
an einen runden Tisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau
k Personen zwischen Alice und Bob sitzen?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4–maligem Werfen eines
Würfels (a) das Maximum der Augenzahlen 4 ist; (b) das Minimum
≤ 4 ist?
5. (Banach’s Streichholzproblem). Banach hatte stets in beiden Rocktaschen eine Schachtel mit Zündhölzern. Er bediente sich mit der
Wahrscheinlichkeit 12 links oder rechts. Wenn er eine Schachtel leer
fand, ersetzte er beide Schachteln durch volle, mit je n Zündhölzern.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Durchgang genau k
Streichhölzer übrig bleiben?
6. (Das Paradox von de Méré) Mit drei Würfeln erhält man eher die Augensumme 9 als die Augensumme 10, obwohl beide Summen auf gleich
viele Weisen als Summe dreier Zahlen geschrieben werden können.
7. (Noch ein Paradox von De Méré) Bei viermaligem Werfen eines Würfels
ist die W., mindestens einen Sechser zu erhalten, grösser als 21 ; bei
vierundzwanzigmaligem Werfen von 2 Würfeln ist die W., mindestens
eine Doppelsechs zu erhalten, kleiner als 21 (Erstaunlich, denn die W.
eines Sechsers ist 6 mal so groß wie die W. einer Doppelsechs, und
24 = 6 × 4).
1
8. In einer Urne sind 2 rote, 3 schwarze Kugeln. Zwei Spieler ziehen abwechselnd je eine Kugel, ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spieler zuerst eine rote Kugel zieht?
9. Es kann vorkommen, dass in einer Gruppe von 365 Leuten keine zwei
den gleichen Geburtstag haben. Bei 366 Leuten ist das nicht möglich
(wenn wir von Schaltjahren absehen). Dann sind also mit Sicherheit
zwei Personen mit gleichem Geburtstag darunter. Wie groß muss die
Gruppe sein, dass es mit 99-prozentiger W. mindestens zwei Personen
mit demselben Geburtstag gibt? Oder mit W. 1/2? (Schätzen Sie
zuerst, und lassen Sie sich überraschen).
10.
Pn
k=0
2
n
k
=
2n
n
.
11. Die Ereignisse A und B ⊆ Ω sind genau dann unabhängig, wenn A und
Ω \ B unabhängig sind.
12. Wenn die Ereignisse A, B und C (vollständig) unabhängig sind, sind
sowohl A ∩ B als auch A ∪ B von C unabhängig.
13. Eine Urne enthält die Buchstaben A, N, A, N, A, A. Man wähle der
Reihe nach 4 Buchstaben (a) ohne Zurücklegen; (b) mit Zurücklegen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, so das Wort ANNA zu bilden?
14. Zwei Spieler wetten: wer als erster sechs Runden von Kopf oder Adler
gewinnt, erhält den Preis. Sie werden unterbrochen beim Spielstand
von 5 : 3. Wie sollten sie den Preis gerecht aufteilen (im Verhältnis
5 : 3? Im Verhältnis 2 : 1? Im Verhältnis 7 : 1?)
15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei N –maligem Würfeln k1 mal
1, . . . k6 mal 6 zu erhalten (k1 + . . . + k6 = N )?
16. Aus einem Schrank, der zehn Paar Schuhe enthält, werden 4 Schuhe
zufällig herausgezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Paar dabei ist?
17. N Ehepaare gehen auf einen Ball. Jeder Dame wird ein zufällig ausgewählter Herr anvertraut. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens eine Dame mit ihrem Ehemann tanzt?
18. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Münzwürfen genau 3
mal hintereinander ”Kopf” kommt.
2
19. Die Zahlen 1 bis 18 sind auf die 18 Seitenflächen von 3 Würfeln verteilt,
und zwar 18, 10, 9, 8, 7, 5 auf den roten, 17, 16, 15, 4, 3, 2 auf den blauen
und die anderen auf den grünen. Berechnen Sie die Erwartungswerte
der Augenzahlen der drei Würfel. Alice und Bob wählen je einen
Würfel, und werfen: wer die höhere Augenzahl hat, gewinnt. Bob
lässt Alice immer den Vortritt bei der Wahl des Würfels. Ist er darum
schon ein Kavalier?
20. Man zeige: V ar(aX) = a2 V arX und V ar(X + b) = V arX für reelle
a, b. Es gilt V arX ≥ 0. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn
X konstant ist (genauer: wenn es ein reelles c gibt s.d. P ({ω : X(ω) =
c}) = 1).
21. Wenn die ZV. X und Y Varianz besitzen, dann auch X +Y , und es gilt:
V ar(X + Y ) = V arX + V arY genau dann, wenn X und Y unkorreliert
sind.
22. Man zeige: ist X eine ZV mit Werten in
N so gilt
∞
X
E(X) =
P (X ≥ n)
n=1
und
E(X 2 ) =
∞
X
(2n − 1)P (X ≥ n).
n=1
23. Sei X die Augenzahl eines Würfels. Man schätze mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff P (|X − 27 | ≥ ) ab, für = 0.1, 0.7, 1.4, 2.6
und bestimme die wahren Werte.
24. Sei Xn gleichverteilt auf {−n, ..., 0, 1, ..., n}. Man vergleiche P (|Xn | ≥
n
n
) und P (|Xn | ≥ 10
) für grosse n mit den Abschätzungen, die man aus
2
der Tschebyscheff-Ungleichung erhält.
25. (Polyas Urne) In einer Urne befinden sich eine rote und eine schwarze
Kugel. Man zieht zufällig eine Kugel, legt sie zurück und eine weitere Kugel derselben Farbe dazu. Das wiederholt man, so dass die
Gesamtzahl der Kugeln zunimmt. Sei X die Anzahl der roten Kugeln,
wenn die Gesamtzahl n+1 ist. Zeigen Sie: X nimmt die Werte 1, 2, ..., n
mit W. 1/n an.
3
26. Eine Methode erlaubt, mit 96 Prozent Sicherheit Aids festzustellen.
Bei Gesunden verläuft der Test mit 94 Prozent Sicherheit negativ. Die
Wahrscheinlichkeit, Aids zu haben, ist etwa 1/145. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, Aids zu haben, wenn der Test positiv ist?
27. Man berechne Mittelwert und Varianz für die Poisson–Verteilung P (λ).
28. Man berechne Mittelwert und Varianz für die geometrische Verteilung
P (X = k) = pq k (für k = 0, 1, 2, ...).
29. Sei X eine z.V. mit Werten k = 0, 1, 2, . . . und F ihre erzeugende
Funktion. Man zeige: V arX = F 00 (1) + F 0 (1) − [F 0 (1)]2 (wobei der
linke Ausdruck genau dann existiert, wenn der rechte existiert, und
F 0 (1) als linksseitiger Grenzwert interpretiert wird). Berechnen Sie so
die Varianz der Pascal-Verteilung.
30. Seien die W. für die Kinderzahlen 0, 1, ..., 5 einer Familie durch 0.3; 0.2;
0.2; 0.15; 0.1 und 0.05 gegeben (die W. höherer Kinderzahlen sei 0).
Wie gross ist, wenn das Geschlechtsverhältnis bei der Geburt 1 1 ist,
die W., dass ein zufällig gewählter Junge mindestens eine Schwester
hat?
31. Im Macholand bringen die Ehepaare so lange Kinder zur Welt, bis sie
einen Sohn haben: dann hören sie auf. Welches Geschlechtsverhältnis
herrscht in diesem Land (a) wenn die W. dass das Kind männlich ist
50% beträgt; (b) wenn die W. p ist?
32. X1 und X2 seien unabhängige, derselben geometrischen Verteilung gehorchende
Z.V. Man zeige (und interpretiere):
P (X1 = k|X1 + X2 = n) =
1
.
n+1
33. X sei B(n, p)-verteilt. Man zeige, dass die W., dass X gerade ist, durch
1
(1 − (q − p)n ) gegeben ist Wenn X dagegen P (λ)-verteilt ist, ergibt
2
sich die W. 12 (1 + e−2λ ).
34. Wenn N und N1 → ∞, so dass NN1 → p, dann strebt die hypergeometrische Verteilung Hyp(n; N, N1 ) gegen die Binominalverteilung
B(n, p).
35. Aus an → a folgt N1 N
n=1 an → a. Man gebe eine Folge an von 0 und
1 P
1 an, so dass N an nicht konvergiert.
P
4
item Jedes von drei Kästchen K1 , K2 , K3 besitzt zwei Laden. Die
Laden von K1 enthalten je einen 500 Euro Schein, die von K2 einen
500 und einen 200 Euro Schein, und die von K3 je einen 10 Euro Schein.
Jemand wählt zufällig ein Kästchen, macht eine Lade auf und findet
einen 500 Euro Schein. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch
die zweite Lade einen 500 Euro Schein enthält?
36. In einer Fabrik wird ein Werkstück an zwei Maschinen gefertigt. Die
Fabrikate von Maschine 1 haben einen Ausschussanteil von 5%, die
von Maschine 2 einen von 10%. Die Werkstücke beider Maschinen
werden im Verhältnis 3:2 gemischt und aus der Mischung wird ein Stück
gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausschussstück
gezogen wird? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene
Stück von Maschine 1 stammt, wenn es ein Ausschussstück ist?
37. In einer Urne befinden sich 10 Kugeln. Davon sind A weiss und der
Rest schwarz. Es werden nun gleichzeitig 2 Kugeln gezogen. Für welche
Werte von A ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ”Die Kugeln sind
von der gleichen Farbe” grösser als die des Ereignisses ”Die Kugeln sind
von verschiedener Farbe”?
38. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 30-jähriger noch mindestens weitere
t Jahre überlebt sei 1 − t/100 (t = 1, . . . 100). Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass von 3 Personen im Alter von 30, 32, 35 Jahren
nach 2 Jahren (a) höchstens zwei, (b) mindestens eine (c) keine am
Leben ist?
39. Eine Glühbirne kommt mit den Wahrscheinlichkeiten p1 = 0.25, p2 =
0.5 und p3 = 0.25 aus Fabriken F1 , F2 bzw. F3 . Mit Wahrscheinlichkeit
r1 = 0.1, r2 = 0.2 und r3 = 0.4 funktionieren die Glühbirnen aus F1 ,
F2 , bzw. F3 1 Jahr. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
zufällig ausgewählte Glühbirne ein Jahr überlebt?
40. Wenn die ZV. X die Normalverteilung N (0, 1) besitzt, dann besitzt
√
2
), den Erwartungswert
Y := σX+µ die W.Dichte ( 2πσ)−1 exp(− (x−µ)
2σ 2
2
µ und die Varianz σ .
41. Eine ZV., die E(λ)-verteilt ist, besitzt Erwartungswert λ−1 und Varianz
λ−2 .
42. X und Y seinen zwei ZV, die beide auf [0, 1] gleichverteilt sind, dh. die
W.Dichte 1[0,1] besitzen. Man berechne die W.Dichte von X + Y .
5
43. Man beweise die Ungleichung von Tschebyscheff und das schwache
Gesetz der grossen Zahlen für allgemeine ZV.
44. Berechnen Sie den Median der Exponentialverteilung E(λ) (Interpretation: Halbwertszeit)
45. Eine monotone Funktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen.
46. Der Durchschnitt von beliebig vielen σ-Algebren ist eine σ-Algebra. Zu
jeder Familie von Teilmengen von Ω existiert eine kleinste σ-Algebra,
die diese Familie enthält.
47. 10 Kandidatinnen nehmen an einer Quizshow teil. Von ihnen sind 3
ausgezeichnet, 4 gut, 2 mittelmässig, und 1 schlecht vorbereitet. Es gibt
insgesamt 20 Fragen. Eine ausgezeichnete Kandidatin kann alle, eine
gut vorbereitete 16, eine mittelmässige 10, und eine schlecht vorbereitete Kandidatin 5 der 20 Fragen beantworten. Eine willkürlich ausgewählte Kandidatin kann drei der ihr gestellten Fragen beantworten.
Bestimmen Sie der Wahrscheinlichkeiten, dass diese Kandidatin (a)
ausgezeichnet oder (b) schlecht vorbereitet ist!
48. Herr Schwarz, Herr Grau und Herr Weiss beschliessen, einen Streit
durch ein Pistolentriell zu beenden, bei dem am Ende nur einer überleben
wird. Herr Schwarz ist der schlechteste Schütze, er trifft sein Ziel durchschnittlich nur einmal in drei Versuchen. Herr Grau schiesst besser,
bei drei Versuchen trifft er zweimal. Herr Weiss trifft immer. Um das
Triell fairer zu gestalten, darf Herr Schwarz als erster schiessen, danach
Herr Grau (wenn er noch lebt), dann Herr Weiss (wenn er noch lebt).
Schliesslich beginnt das ganze von vorne, bis nur noch einer am Leben
ist. Auf wen sollte Herr Schwarz bei erstenmal hinzielen?
49. Wenn X eine zufällige Veränderliche ist, deren zweiter Moment existiert, so gilt für alle reellen a die Ungleichung E((X − a)2 ) ≥ V arX,
mit Gleichheit genau dann, wenn a = EX.
50. Zeigen Sie, dass durch f (x) := (π(1 + x2 ))−1 eine Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt wird (die der Cauchy-Verteilung). Existieren Varianz
und Erwartungswert?
51. Wenn für die zufällige Veränderliche X gilt X ≥ 0 und EX = 0, so
folgt P (X = 0) = 1. (Hinweis: betrachten Sie Bn = {X > 1/n}).
Wenn V arX = 0, so folgt P (X = EX) = 1. Weiters gilt die Dreiecksungleichung | EX |≤ E | X |.
6
52. Gegeben sei die reelle Funktion f (x) = c(x − 4)2 (für 1 < x < 4)
und f (x) = 0 sonst. Bestimmen Sie die Konstante c so, dass f (x)
eine Dichtefunktion wird, und skizzieren Sie die Dichtefunktion f (x)!
Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F (x). Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit P (X > 2.5). Berechnen Sie E(X),σ(X).
53. Seien X und Y zwei unabhängige,√N (0, 1)-verteilte Zufallsvariablen.
Man berechne die Verteilung von X 2 + Y 2 . Um welche Verteilung
handelt es sich hierbei?
54. Sei X eine diskrete Zufallsgre mit Werten 0, 1, 2, ..., G ihre erzeugende
Funktion, Y := aX + b (mit natürliche n Zahlen a, b). Berechnen Sie
die erzeugende Funktion von Y .
55. Seien X1 , . . . Xn unabhngige, geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit
P
Parameter p und Z := nk=1 = Xk . Man zeige mit Hilfe von erzeugenden Funktionen, dass Z negativ binomialverteilt ist.
56. An einer Wahl zwischen Kandidaten A und B nehmen 1000000 Wähler
teil. Davon stimmen 2000 Wähler geschlossen für A, die übrigen 998000
sind unentschlossen und entscheiden ndurch Werfen einer fairen Münze.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Sieges für A?
57. Bei einer Werbeaktion erhalten die ersten 1000 Einsender einer bestellung eine Damen- bzw Herrenarmbanduhr als Geschenk. Angenommen,
beide Geschlechter fühlen sich gleichermassen angesprochen. Wieviele
Damen- und Herrenarmbanduhren soll das Kaufhaus vorrätig haben,
dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98 Prozent alle 1000
Einsender eine passende Uhr erhalten? Verwenden Sie (a) Tschebyscheff
und (b) Normalapproximation.
58. Seien X und Xn ZV mit Werten auf den nichtnegativen Zahlen mit
Wahrscheinlichkeitsverteilung w(k) bzw wn (k) = P (Xn = k) und erzeugender Funktion F (s) bzw Fn (s). Beweisen Sie, dass Fn (s) → F (s) für
alles s ∈ [0, 1] genau dann wenn wn (k) → w(k) für k = 0, 1, 2, ....
(Stetigkeitssatz für erzeugende Funktionen).
59. Konstruieren Sie eine Folge von ZV Xn so dass Xn → 0 fast sicher,
aber EXn → +∞.
60. Im Abstand a über einer Geraden befindet sich eine Glühbirne, die die
gleichmässig in alle Richtungen strahlt, die die Gerade treffen. X sei
der Schnittpunkt des Lichtstahls mit der Geraden. Zeigen Sie, dass X
7
die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) = a/π(a2 + x2 ) besitzt. (Das ist die
Cauchy-Verteilung zum Parameter a).
61. Das Intervall [0, 2] werde in zwei Teile zerlegt, indem in [0, 1] zufällig
(gemäss Gleichverteilung in [0, 1]) ein Punkt markiert wird. Sei X das
Längenverhältnis der kürzeren Teilstrecke l1 zur längeren Teilstrecke l2 .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von X.
62. Seien X, Y unabhängige, zum Parameter α > 0 exponential verteilte
ZV. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von X/(X + Y ).
63. Xk seinen unabhängige ZV, die 1 mit W. p und 0 mit W. 1 − p annehmen. Sei Aln das Ereignis {Xn = Xn+1 = ... = Xn+l−1 = 1}. Zeigen
Sie, dass mit W. 1 in der Folge Xk unendlich viele Einser-Serien beliebiger Länge vorkommen.
64. Eine Urne enthält eine rote und zwei schwarze Kugeln. Es werden
3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen, und es sei Xk = 0, wenn die
k-te Kugel rot ist, sonst Xk = 1. Man beschreibe die gemeinsame
Verteilung von (X1 , X2 , X3 ). Man beschreibe die zu (X2 , X3 ) gehörige
Randverteilung. Man bestimme die Verteilung von X1 + X2 + X3 .
65. X1 , ..., Xn seien unabhängige ZV mit positiven Werten, die identisch
verteilt sind. Zeigen Sie, dass E(X1 /(X1 + ... + Xn )) = 1/n gilt. (Und
zeigen Sie zuerst: der Erwartungswert des Quotienten X/Y ist im allgemeinen nicht der Quotient der Erwartungswerte, selbst wenn X und
Y unabhängig sind).
66. Seien X und Y zV mit Varianzen σX und σY . Für welche reellen Zahlen
a und b ist E((Y − aX − b)2 ) minimal, und wie gross ist das Minimum?
67. Es wird so lange gewürfelt, bis jede der Zahlen 1, ..., 6 mindestens einmal gekommen ist. Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl
der benötigten Würfe.
68. Es gibt Leitungen zwischen den Orten 2 und 3 und von jedem dieser
Orte zu den Orten 1 und 4. Jede dieser Leitungen wird unabhängig
von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit p gestört. Mit welcher W.
kann man eine Nachricht von 1 nach 4 übermitteln?
69. Man berechne die stationären Verteilungen für
8


1 0 0

P =  0 12 21 

1
1
0 2 2
und
P =
 1
 2
 0
1
3
1
4
1
4

1 0 
.
1
3
(1)
(2)
1
3
70. Betrachten Sie das Wright-Fisher Modell einer Markov Kette mit den
Zuständen 0,1,...,N. Sei ρi := lim P (Xn = N |X0 = i) die sogenannte
Fixierungswahrscheinlichkeit (Existenz? Interpretation?). Beweisen
Sie, dass ρi = Ni für i = 0, 1, ..., N . (Hinweis: Der Vektor ρ =
(ρ0 , ..., ρN ) ist ein rechter (!) EV zum Eigenwert 1.)
71. Beweisen Sie, dass bei obigem Beispiel gilt E(Xn ) = E(Xn+1 ).
72. Berechnen Sie V arXn für obiges Modell.
Hinweis: un := E(Xn2 ) erfüllt die Rekurrenzrelation
un+1 = E(X0 + (1 −
1
)un .)
N
73. Die Spieler Alice und Bob spielen Kopf oder Adler, bis einer kein
Geld mehr hat. (Gesamtbetrag N Euro.) (Beispiel (B) in der Vorlesung). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alice siegt, falls sie
ursprünglich i Euros hatte?
74. Wenn die Zustände i und j einer Markov–Kette kommunizieren und i
Periode d hat, dann hat auch j Periode d.
75. Das Polyasche Urnenmodell. Eine Urne enthält s schwarze und r rote
Kugeln. Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese zurückgelegt, und c
Kugeln der gleichen Farbe dazugeführt. Man zeige: die Wahrscheinlichkeit, bei n–maligem Ziehen n1 schwarze und n2 rote Kugeln zu
erhalten (n1 + n2 = n) ist
s(s + c)(s + 2c) . . . (s + n1 c − c)r(r + c) . . . (r + n2 c − c)
(s + r)(s + r + c)(s + r + 2c) . . . (s + r + nc − c)
hängt also nicht von der Reihenfolge der Farben ab.
76. Für obiges Urnenmodell sei Xn = 0, wenn die n–te Kugel rot, Xn = 1
wenn sie schwarz ist. Man überprüfe, dass Xn keine Markov–Kette ist.
(Hinweis: P (X3 = 1 | X2 = 1) 6= P (X3 = 1 | X2 = 1, X1 = 1).)
9
77. Beweisen Sie das Ballot Theorem. N Personen wählen zwischen zwei
KandidatInnen A und B. Angenommen, Kandidat B gewinnt mit
einem Stimmenüberhang x. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
bei der Stimmauszählung immer in Führung lag, gerade Nx . (Hinweis:
Vollständige Induktion, oder das Spiegelungsprinzip).
78. Die Markovkette mit den Zuständen 1, ..., 7 besitze folgende Übergangsmatrix:

P =












0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
4
1
3
0
1
2
0 25 0
1 0 0
0 12 0
2
0 0
3
0 0 0
0 34 0
1
6
0

0 53 

0 0 


1
0
.
2

0 13 

0 1 

0 0

(3)
Zeichnen Sie den Übergangsgraphen (Pfeile, die den möglichen Übergängen
entsprechen). Welche Zustände sind rekurrent, transient, periodisch?
Berechnen Sie die stationären Verteilungen.
79. Wenn X die N (0, 1)-Verteilung besitzt, dann gilt E(X 3 ) = 0 (klar)
und E(X 4 ) = 3, und daher V ar(X 2 ) = 2. (Hinweis: um E(X 4 ) zu
x2
berechnen, muss man x4 e− 2 berechnen. Jetzt partielle Integration,
x2
mit x3 und xe− 2 ). Bald wird man verwenden können, dass V arX = 1
gilt.)
80. Die Gamma-Funktion wird durch Γ(a) := 0+∞ ta−1 e−t dt gegeben. Beλa a−1 −λy
weisen Sie, dass für a, λ > 0 durch g(y) := Γ(a)
y e
für y > 0 (und
g(y) = 0 sonst) eine W-Dichte gegeben wird. ZV mit dieser Dichte sind
γ(a, λ)-verteilt.)
R
81. Beweisen Sie: Γ(a + 1) = aΓ(a) (für a > 0) und Γ(n + 1) = n! für
n ∈ N.
82. RBeweisen Sie die Formel Γ(a)Γ(b) = Γ(a + b)B(a, b), wobei B(a, b) =
1 a−1
(1 − s)b−1 dt definiert ist. (Hinweis: Man transformiere s = uv,
0 s
t = v(1 − u).)
√
83. Zeigen Sie, dass Γ( 12 ) = π gilt. (Hinweis: B( 12 , 12 ) = π folgt durch
Substitution s = 1−u
.)
2
10
84. Der Korrelationskoeffizient ρ(X, X) der zwei ZV X und Y wird definiert
durch ρ(X, Y ) := Cov(X, Y )[V arX]−1/2 [V ary]−1/2 (falls existiert). Zeigen
Sie für a, b, c, d ∈ R und ac 6= 0 dass ρ(X, Y ) = ρ(aX + b, cY + d) gilt.
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