Probeprüfung: MAT 121 Analysis I

Universität Zürich
Prof. V. Schroeder
HS 2012
Probeprüfung: MAT 121 Analysis I
• Zeit: 180 Minuten.
• Lege während der Prüfung deine Legi vor dich auf das Pult.
• An den Platz mitzunehmen sind nur Schreibutensilien, erlaubte Hilfsmittel und
gegebenenfalls eine kleine Zwischenverpflegung. Deponiere deine Taschen, Jacken
etc. am Rande des Hörsaales.
• Erlaubte Hilfsmittel: zwei beidseitig beschriebene A4-Blätter. Taschenrechner, Mobiltelephon und andere Hilfsmittel sind nicht zugelassen.
• Die Prüfung besteht aus 6 Aufgaben und insgesamt 9 Blättern - einem Deckblatt,
6 Aufgabenblättern sowie 2 leere Blätter am Ende. Überprüfe zunächst ob alle
Blätter vorhanden sind. Jedes Blatt ist mit Name und Matrikelnummer zu
beschriften. Alle 9 Blätter müssen am Ende der Prüfung in korrekter Reihenfolge abgegeben werden.
• Für jede Aufgabe ist auf den Prüfungsblättern (vorne und hinten) und auf den
letzten beiden Seiten separat Platz vorhanden. Sollte zusätzliches Schreibpapier
benötigt werden, melde dich bei der Klausurleitung. Verwende in diesem Fall für
jede Aufgabe ein neues Blatt Papier und beschrifte dieses mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer.
• Nur vollständig begründete und hergeleitete Resultate werden gewertet. Für die
Note 6 ist es nicht erforderlich, alle Aufgaben richtig zu lösen.
• Verwende weder Bleistifte noch rotfarbige Stifte.
Viel Erfolg!
Die Analysis I Gruppe wünscht euch frohe Weihnachten 2012!
Name:
Matrikelnummer:
1
2
3
4
5
6
Summe
4P.
4 P.
4 P.
4 P.
4 P.
4 P.
24 P.
1
Note
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch? Die Antworten sind zu begründen.
(i) Eine beschränkte Folge von reellen Zahlen hat höchstens endlich viele Häufungspunkte.
R
(ii) Jede differenzierbare Funktion f : [−1, 1) → besitzt ein Minimum.
P
(iii) Sei ∞
Reihe mit mit an ≥ 0 für jedes n ≥ 1. Dann konvern=1 an eine konvergente
P∞
giert auch die Reihe n=1 bn , falls 1/2an ≤ bn ≤ 2an für jedes n ≥ 1.
Rb
(iv) Sei f : [a, b] → + stetig. Dann existiert ein x ∈ [a, b] mit f (x) ≥ a f (t)dt.
R
2
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 2 a) Untersuche das Konvergenzverhalten (absolute Konvergenz, Konvergenz,
Divergenz) der folgenden Reihen.
P∞ n4
(i)
n=1 7n
(ii)
√
(−1)n+1 7n
√
√
n=1 √n( 2n+1)( 2n−1)
P∞
b) Für welche a ≥ 0 konvergiert
P∞
n=1 a
log(n)
3
?
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 3 Untersuche die Funktionenfolgen (fn )n∈N und (gn )n∈N , gegeben durch
fn : [0, 1] →
R,
x 7→
1
,
1 + nx
gn : [0, 1] →
auf punktweise und gleichmässige Konvergenz.
4
R,
x 7→
x
,
1 + nx
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 4 Betrachte die Funktion
f:
R → R,
x 7→
x2 − 1
.
x2 + 1
(i) Bestimme das Supremum und das Infimum von f , sowie (sofern diese existieren)
die Maxima und Minima von f .
(ii) Bestimme das Taylorpolynom vom Grad 3 von f im Punkt a = 0.
5
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 5 Betrachte die Funktion
f : (1 − e, ∞) →
R,
x 7→ ex+sin(x) log(x + e).
(i) Zeige, dass f stetig differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.
(ii) Zeige, dass f injektiv ist und bestimme die Bildmenge von f .
(iii) Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion von f im Punkt y = 1.
6
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 6 (a) Berechne die bestimmten Integrale.
Re
Rπ
2
(i)
1 t log(t) dt (ii)
π/4 (cos t) dt
(b) Berechne Stammfunktionen der Funktionen.
(iii)
log(t2 − 1)
1
(iv)
2
t2 e− 2 t
7
Name:
Matrikelnummer:
8
Name:
Matrikelnummer:
9