¨Ubungen zur Vorlesung ” Stochastik für Studierende der Informatik“

Übungen zur Vorlesung
Stochastik für Studierende der Informatik“
”
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvSS2015/VorStochInfo/
Sommersemester 2015, Blatt 8
Abgabetermin: 22.06.2015, zu Beginn der Vorlesung
(Bitte geben Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an)
Bitte nur maximal zu zweit abgeben!
Aufgabe 29
(4 Punkte)
Sie spielen mit einem wohlhabenden Freund folgendes Glücksspiel über mehrere
Runden. Sie beginnen mit dem Startkapital von 1 Euro. Wenn vor der n-ten Runde
Ihr Kapital Xn−1 beträgt, dann erhalten Sie in der n-ten Runde nach dem Wurf
einer fairen Münze 32 Xn−1 hinzu, falls Kopf“ erscheint; andernfalls verlieren Sie
”
1
X .
2 n−1
(a) Berechnen Sie E[Xn ] für n ∈ N und zeigen Sie: E[Xn ] → ∞ für n → ∞.
(b) Zeigen Sie, dass für alle ε > 0 gilt: P[Xn > ε] → 0 für n → ∞.
Hinweis zu (b): Für n ∈ N ist Xn = Y1 · · · Yn , wobei
5/3, falls in der i-ten Runde Kopf“ fällt.
”
Yi :=
1/2, falls in der i-ten Runde Zahl“ fällt.
”
Wenden Sie das schwache Gesetz der Großen Zahlen auf Zi := log(Yi ) an.
Aufgabe 30
(4 Punkte)
Plotten sie die Dichten der folgenden Verteilungen jeweils in ein gemeinsames Schaubild:
i) Exp(0.5), Exp(1) und Exp(4)
ii) Geo(0.05), Geo(0.1) und Geo(0.3)
iii) N (0,2), N (2,2) und N (-1,5)
iv) Poi(1), Poi(5) und Poi(10)
Wie wirken sich die Veränderungen der Parameter auf die Verteilungen (hinsichtlich
Erwartungswert und Streuung) aus?
Geben Sie auch Ihren Quellcode an.
Aufgabe 31
(4 Punkte)
Eine faire Münze wird 10000 mal geworfen. Bestimmen Sie mit Hilfe der TschebychevUngleichung und mit dem Satz von de Moivre-Laplace eine (möglichst kleine) Zahl
m, so dass die Anzahl von Wappen mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 2/3 zwischen 5000 − m und 5000 + m liegt.
Aufgabe 32
(4 Punkte)
Die Zahl der Jungengeburten verhalte sich zur Zahl der Mädchengeburten wie 18 :
17.
(a) Berechnen Sie für den Fall von 14000 Geburten mit Hilfe des Satzes von de
Moivre-Laplace näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 7037 und höchstens 7363 Jungen sind.
(b) Wie groß muss die Zahl der Geburten mindestens sein, damit der Anteil der
Mädchen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens 15/35
und höchstens 19/35 ist?