Blatt 12

Übungen zu Gruppen, Ringe, Moduln
Bonn, WS 2009/10
Prof. Dr. Catharina Stroppel
Dr. Olaf Schnürer
Blatt 12
Abgabe: 22. Januar 2010, vor der Vorlesung
Aufgabe 1
Seien M und N freie Moduln von endlichem Rang über einem Hauptidealring
R und f : M → N eine R-lineare Abbildung. Zeigen Sie: Dann gibt es Basen
x1 , x2 , . . . , xm von M und y1 , y2 , . . . , yn von N , eine ganze Zahl r ≤ min(m, n)
und a1 , a2 , . . . , ar ∈ R mit a1 | a2 | · · · | ar , alle ai ungleich Null, so dass
(
ai yi für 1 ≤ i ≤ r
f (xi ) =
0
für r < i ≤ m.
Sei R = Z, M = Zm , N = Zn . Fassen Sie f als Matrix mit ganzzahligen Einträgen auf. Was bedeutet die obige Aussage dann (in Termen von Matrizen)?
Hinweis (für den ersten Teil): Wenden Sie den Elementarteilersatz auf das
Bild von f an und zeigen Sie, dass die k.e.S. 0 → Ker f → M → Im f → 0
spaltet.
Aufgabe 2
Zeigen Sie die folgenden drei Aussagen:
(a) Ist M ein Modul über einem Integritätsbereich, so ist M/T (M ) torsionsfrei: T (M/T (M )) = 0.
(b) Ist M ein endlich erzeugbarer Modul über einem Hauptidealring, so
gibt es einen freien Untermodul M 0 ⊂ M mit M = T (M ) ⊕ M 0 .
(c) Für endlich erzeugbare Moduln über Hauptidealringen gilt frei=torsionsfrei.
Aufgabe 3
Sei R ein Hauptidealring und p ∈ R ein Primelement. Überlegen Sie sich, dass
R/(p) ein Körper ist, und dass für jeden R-Modul M der Quotient M/pM
ein Vektorraum über R/(p) wird. Zeigen Sie:
(a) Es gilt dimR/(p) (pn R/pn+1 R) = 1 für alle n ∈ N.
1
(b) Ist M = R/(pr ) mit r ∈ N, so gilt
(
1 für n < r,
dimR/(p) (pn M/pn+1 M ) =
0 für n ≥ r.
(c) Ist M = R/(q r ) mit q ∈ R Primelement, so dass es keine Einheit s ∈ R
gibt mit p = sq, und r ∈ N, so gilt dimR/(p) (pn M/pn+1 M ) = 0 für alle
n ∈ N.
In der Vorlesung wurde für einen endlich erzeugbaren R-Modul M ein Isomorphismus
n(p,r)
MM
r
n(0)
∼
R/(p )
M =R
⊕
p∈P r>0
bewiesen (dabei ist P ein vollständiges Repräsentantensystem der Primelemente in R bis auf Einheiten). Folgern Sie, dass die nicht-negativen ganzen
Zahlen n(0) und n(p, r) eindeutig durch M bestimmt sind.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass n(0) der Rang des freien R-Moduls M/T (M )
ist; beweisen Sie dann die Eindeutigkeit der n(p, r) mit Hilfe der obigen Aussagen.
Aufgabe 4
Sei R ein Integritätsbereich und seine I1 , I2 Ideale in R. Zeigen Sie:
(a) Falls R = I1 + I2 , so gibt es einen Isomorphismus von R-Moduln
I1 ⊕ I2 ∼
= (I1 ∩ I2 ) ⊕ R,
und alle vier Summanden I1 , I2 , I1 ∩ I2 und R sind unzerlegbar.
Hinweis: Folgern Sie den Isomorphismus aus einer k.e.S. der Gestalt
0 → I1 ∩ I2 → I1 ⊕ I2 → R → 0.
√
√
√
(b) Zeigen Sie im √
Fall R = Z[ −5] = Z[i 5] und I1 = (3, 1 + 2i 5),
I2 = (3, 1 − 2i 5), dass R = I1 + I2 , dass aber weder R ∼
= I1 noch
∼
R = I2 als R-Moduln.
√
Hinweis: Verwenden Sie die Betragsquadratfunktion R → Z, a+bi 5 7→
a2 + 5b2 .
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