Elementare Zahlentheorie – ¨Ubungsblatt 5 - KIT

Universität Karlsruhe
Mathematisches Institut II
Hans Peter Rehm
Fabian Januszewski
24.05.2006
Elementare Zahlentheorie – Übungsblatt 5
Aufgabe 1
(4 Punkte)
Zeigen Sie:
(a) Sind k, n ∈ N+ und ist n abundant, so ist auch kn abundant.
(b) Sind p, q ungerade Primzahlen und r, s ∈ N, so ist pr q s defizient.
(c) Sind für gegebenes n > 1 die Zahlen u = 3 · 2n−1 − 1, v = 3 · 2n − 1, w = 9 · 22n−1 − 1
Primzahlen, so gilt σ(a) = σ(b) = a + b mit a := 2n · u · v, b := 2n · w, wobei σ die
Teilersummenfunktion bezeichne.
Aufgabe 2
(3 Punkte)
Es seien R ein faktorieller Ring und a, b, c, d ∈ R . Zeigen oder widerlegen Sie folgende
Aussagen:
(a) ggT(a, b) = ggT(a, c) =⇒ ggT(a2 , b2 ) = ggT(a2 , c2 ).
(b) ggT(a, b) = ggT(a, c) =⇒ ggT(ad, bd) = ggT(ad, cd).
(c) ggT(a, b) = ggT(a, c) =⇒ ggT(a + b, b) = ggT(a + b, c).
Aufgabe 3
(3 Punkte)
Es seien K ein Körper und f (X) ∈ K[X] ein Polynom. Zeigen Sie, daß für jedes a ∈ K
gilt:
f (X) ≡ f (a) (mod (X − a)).
Aufgabe 4
(6 Punkte)
Es sei R ein euklidischer Ring und es seien a, b, m ∈ R gegeben mit m 6= 0 . Wann ist
die Gleichung
ax ≡ b (mod m)
mit x ∈ R lösbar und was ist die Lösungsmenge?
Aufgabe 5
(4 Punkte)
Bestimmen Sie für folgende Kongruenzen jeweils eine Lösung x ∈ N :
(a) 8x ≡ 7 (mod 43),
(b) 3x ≡ 11 (mod 23),
x8 ≡ 17 (mod 43),
5x7 ≡ 2 (mod 23),
8x ≡ 4 (mod 43).
7 · 11x ≡ 15 (mod 23).
Abgabe bis spätestens Mittwoch, den 31. Mai 2006, um 15:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen bei Zimmer 308 im Mathebau oder vor Beginn der Übung direkt dort.