Ubungen zur Vorlesung: Theoretische Physik IV

Prof. Dr. Maria-Roser Valentı́
Dr. Stephen Winter
Sommersemester 2017
Übungen zur Vorlesung:
Theoretische Physik IV – Quantenmechanik I
Blatt 6, Abgabetermin: 30.05.2017
Aufgabe 1: Magnetresonanz und Rabiformel (14 Punkte)
Betrachten Sie ein gebundenes Elektron in einem magnetischen Feld, beschrieben durch
~
B(t)
= B0 ẑ + B1 [ x̂ cos(ωt) − ŷ sin(ωt), ]
welches eine zeit-unabängige z - Komponente und zeit-abängige x - und y - Komponenten
besitzt. Die Wechselwirkung zwischen dem Spin des Elektrons und dem magnetischen
Feld wird durch folgenden Hamilton - Operator beschrieben:
eg ~
~
S
Ĥ = −~µ · B(t)
with µ
~=
2m
wobei g der gyromagnetische Faktor des Elektrons ist. Wir werden dieses Problem im
Rahmen des Schrödinger-, Heisenberg- und Dirac-Bilds untersuchen.
a) Betrachten Sie zuerst den Fall B0 > 0 und B1 = 0 im Schrödinger-Bild. Bestimmen
Sie die Zeitabängigkeit eines Zustandes:
α(t)
|χS (t)i =
β(t)
indem Sie die zeitabängige Schrödingergleichung lösen. Drücken Sie Ihre Lösung im Beeg
~
zug auf dieLarmor frequency ω0 = 2m
B0 aus. Wie lautet der Erwartungswert hS(t)i
=
√
~
hχ(t)|S|χ(t)i?
Was geschieht für die Anfangsbedingungen α(0) = β(0) = 1/ 2? (4
Punkte)
b) Betrachten Sie den Fall B0 > 0 and B1 = 0 im Heisenberg-Bild. In diesem Formalismus
ist der Zustand zeit-unabängig:
α(0)
|χH i =
β(0)
~ = eiĤt/~ S
~ e−iĤt/~ .
aber die Spin-Operatoren sind zeitabängig. Diese sind gegeben durch: S(t)
~
~
Zeigen Sie dass die Erwartungswerte hS(t)i
= hχH |S(t)|χ
H i auch im Heisenberg-Bild
gefunden werden können. (3 Punkte)
1
c) Betrachten Sie den Fall B1 6= 0. Das System sei bei t = 0 in
einem Eigenzustand
0
von Sz mit hSz i = −~/2, beschrieben durch |χ(0)i =
. Bestimmen Sie die
1
Wahrscheinlichkeit dass das System im anderen Eigenzustand von Sz zur Zeit t > 0,
gegeben durch |α(t)|2 . Erörtern Sie die Abängigkeit von der Frequenz ω. (7 Punkte)
Hinweis 1: Aufgrund der expliziten Zeitabhängigkeit des Hamiltonians ist es, wie in
der Vorlesung angesprochen, einfacher im Dirac-Bild zu arbeiten. Hinweis 2: Es gibt
nur auf eine vollständige Lösung volle Punktzahl. Sie können nicht die Rabiformel
(Gleichung 3.59) verwenden, bevor Sie diese hergeleitet haben.
Aufgabe 2: Dichtematrix: Reine und gemischte Zustände (6 Punkte)
Betrachten Sie ein System welches im Zustandsraum |Ψ1 i = (1, 0, 0), |Ψ2 i = (0, 1, 0) und
|Ψ3 i = (0, 0, 1) definiert ist.
a) Bestimmen Sie die Dichtematrix:
ρ̂ =
3
X
pi |Ψi ihΨi |;
3
X
0 ≤ pi ≤ 1,
i=1
pi = 1
i=1
für einen gemischten (statistischen) Quantenzustand, für den das Verältnis der Wahrscheinlichkeiten pi das System in den Zuständen |Ψ1 i, |Ψ2 i und |Ψ3 i zu finden 1 : 2 : 3
ist. (1 Punkt)
b) Betrachten Sie den Operator Â gegeben durch:


3 −1 0
Â =  −1 3 0 
0
0 6
Berechnen Sie den Erwartungswert hÂi = T r(Âρ̂) für den gemischten Zustand aus Teil
a). (1 Punkt)
c) Bestimmen Sie die Dichtematrix für einen reinen Quantenzustand gegeben durch:
|Φi =
3
X
√
pi |Ψi i
,
3 X
3
X
√
ρ̂ = |ΦihΦ| =
pi pj |Ψi ihΨj |
i=1 j=1
i=1
wobei die Wahrscheinlichekiten pi das System in den Zuständen |Ψi i zu finden dieselbe
wie in Teil a) ist. (1 Punkt)
d) Berechnen Sie den Erwartungswert hÂi für den reinen Zustand der in Teil c) definiert wurde. Bestimmen die Wahrscheinlichkeiten pi den Quantenzustand vollständig?
Erörtern Sie. (2 Punkte)
2
e) Ein Strahl aus Spin=1/2 Teilchen wird durch folgende Dichtematrix beschrieben:
ρ̂ =
1/2 1/2
1/2 1/2
Entspricht diese Matrix einem gemischten Zustand (unpolarisierter Strahl) oder einem
reinen Zustand (polarisierter Strahl)? Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse. (1 Punkt)
3