9.- Bayesianische Spiele

Spieltheorie I — VWL Studium der Universität Wien
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9.- Bayesianische Spiele
30. [Adam und Eva] Adam hat eine Verabredung mit Eva, die er nicht gut kennt. Sie kann entweder Typ 1
(sie hat ihn gern) oder 2 (sie hat ihn nicht gern) sein. Adam glaubt, sie sei Typ 1 mit Wahrscheinlichkeit
p. Er hat zwei mögliche Aktionen: entweder Blumen mitbringen (B) oder nicht (NB). Sie hat auch zwei
mögliche Aktionen: zur Verabredung gehen (V) oder nicht (NV). Die Auszahlungen sind wie folgt (Adam=
Reihenspieler, Eva= Spaltenspielerin).
Sie ist Typ 1.
V
NV
B
10,10
-5,-3
NB
8,8
-1,-3
Sie ist Typ 2.
V
NV
B
7,-2
-5,0
NB
5,-3
-1,0
(a) Betrachten Sie die Situation als Bayesianisches Spiel. Was sind die Typen ti ∈ Ti , die Aktionen
ai ∈ Ai , die Strategien si ∈ Si , die Beliefs pi , und die Auszahlungsfunktionen ui ?
(b) Wie definiert man formal ein Bayes-Nash Gleichgewicht dieses Spiels?
(c) Finden Sie ein Bayes-Nash Gleichgewicht dieses Spiels, wenn Adam Optimist ist (p = 0.8) und wenn
er Pessimist ist (p = 0.3).
31. [Bayesianische Falke und Taube] Betrachten Sie wieder das Spiel “Falke und Taube” aus Bs. 13, wo
zwei Spieler sich über eine Ressource im Wert von V konfrontieren. Der Kampfschaden sei gleich C = 4.
Nehmen Sie jetzt an, der Wert von V ist zufällig bestimmt: entweder V = 2 (mit Wahrscheinlichkeit 1/2)
oder V = 6. D.h., wir betrachten zwei mögliche Auszahlungstabellen:
Tabelle 1 (V = 2).
F
T
F
-1,-1
2,0
T
0,2
1,1
Tabelle 2 (V = 6).
F
T
F
1,1
6,0
T
0,6
3,3
Spieler 1 weiss (nachdem es zufällig bestimmt ist), ob V = 2 oder V = 6. Spieler 2 weiss es aber nicht (er
kennt nur die Wahrscheinlichkeiten).
(a) Betrachten Sie diese Situation als Bayesianisches Spiel. Was sind die Typen ti ∈ Ti , die Aktionen
ai ∈ Ai , die Strategien si ∈ Si , die Beliefs pi und die Auszahlungsfunktionen?
(b) Schreiben Sie die extensive Form dieses Spiels als ein Spiel unvollkommener Information auf. Passen
Sie besonders auf die Informationsmengen auf. Wo genau taucht die Harsanyi-Doktrin in diesem
Beispiel auf?
(c) Wie definiert man formal ein Bayes-Nash Gleichgewicht dieses Spiels?
(d) Finden Sie alle Bayes-Nash Gleichgewichte (in reinen Strategien) dieses Spiels.
32. [Cournot Oligopol 4] Die Marktnachfrage nach einem Gut ist durch folgende inverse Nachfragefunktion
beschrieben: P (y) = a − y, wobei y die insgesamt angebotene Menge darstellt, und P (y) den Marktpreis.
Zwei Unternehmen i = 1, 2 besitzen Kostenfunktionen Ci (yi ) = ci · yi , wobei yi die Outputmenge von
Unternehmen i ist, somit y = y1 + y2 .
Die marginalen Kosten der Firma 1, c1 , sind bekannt. Die marginalen Kosten von Firma 2, c2 , sind aber
der Firma 1 nicht bekannt. Firma 1 schätzt, c2 = cH mit Wahrscheinlichkeit 0 < θ < 1 und c2 = cL mit
Wahrscheinlichkeit 1 − θ, wobei cL < cH gilt.
(a) Betrachten Sie die Situation als Bayesianisches Spiel. Was sind die Typen ti ∈ Ti , die Aktionen
ai ∈ Ai , die Strategien si ∈ Si , die Beliefs pi , und die Auszahlungsfunktionen ui ?
(b) Wie definiert man formal ein Bayes-Nash Gleichgewicht dieses Spiels?
(c) Finden Sie ein Bayes-Nash Gleichgewicht dieses Spiels.
(d) Vergleichen Sie mit Beispiel 11.
Spieltheorie I — VWL Studium der Universität Wien
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33. Es soll ein einmaliges und unteilbares Gut in Form einer Auktion mit 2 Bietern i = 1, 2 verkauft werden.
Mit vi ≥ 0 wird der wahre Wert (“Private Value”) des Gutes für Bieter i bezeichnet. Das ist der Preis, bei
dem Bieter i genau zwischen Kauf und Nichtkauf des Gutes indifferent wäre. Die vi können nur zwei Werte
annehmen, vi = 1 oder vi = 2 (jeder mit Wahrscheinlichkeit 12 ). Die vi sind unabhängig voneinander.
Die Bieter müssen gleichzeitig ihre Gebote bi machen. Als Gebote sind nur bi = 0, bi = 1, und bi = 2
möglich.
Der Bieter, der das höchste Gebot gemacht hat, bekommt das Gut und zahlt dafür sein Gebot bi (“firstprice, sealed-bid” Auktion). Die Auszahlung ist dann vi − bi . Der andere Bieter bekommt und zahlt
nichts (Auszahlung 0). Beim unentschiedenen Ausgang wird das Gut aufs Geratewohl an einen der Bieter
verkauft (Erwartete Auszahlung ist dann 21 (vi − bi )).
(a) Was sind die Typen ti ∈ Ti , die Aktionen ai ∈ Ai , die Strategien si ∈ Si , die Beliefs pi und die
Auszahlungsfunktionen?
(b) Wie definiert man formal ein Bayes-Nash Gleichgewicht dieses Spiels?
(c) Überprüfen Sie, ob folgende Strategien ein Bayes-Nash Gleichgewicht bilden: s∗i (1) = 0, s∗i (2) = 1,
für i = 1, 2.
(d) Überprüfen Sie, ob folgende Strategien ein Bayes-Nash Gleichgewicht bilden: s∗i (1) = 1, s∗i (2) = 2,
für i = 1, 2 (wahre Wert Revelation).