Funktionen und Zahlenfolgen

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Arbeitsblatt 0
Wirtschaftsingenieure
Funktionen und Zahlenfolgen
Abbildungen:
• Mengen: Definition und wichtige Mengen, s. Arbeitsblatt 2
• Was ist eine Abbildung?
Eine Abbildung, bzw. Funktion f ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der folgenden drei Größen
(1) A = D(f ): Menge, Definitionsbereich von f
(2) B: Menge
(3) f (a) = b: Bildungsvorschrift, die jedem Element a ∈ A eindeutig ein Element b ∈ B zuordnet
• Schreibweisen:
f : A → B, d.h. f bildet von A nach B ab (D(f ) = A)
f : D(f ) ⊆ C → B, d.h. f bildet aus C nach B ab
Folgen
• Definition:
Eine Abbildung a : N0 → R heißt reelle Zahlenfolge (bzw. unendliche Folge reeller Zahlen).
Kurzschreibweisen: an = a(n) bezeichnet das n-te Glied der Folge; die Folge wird mit (an ) bezeichnet
• Beispiele:
explizit definierte Folgen (an )
an = c + nd (n ≥ 0, d 6= 0) heißt arithmetische Folge; (an ) = (c, c + d, c + 2d, . . .)
an = axn
(n ≥ 0, a 6= 0, x 6= 0, 1) heißt geometrische Folge; (an ) = (a, ax, ax2 , . . .)
rekursiv definierte Folgen (an )
½
¾
a0
= 2
Anfangsglied
; (an ) = (2, 23 , 17
1
1
12 = 1.4146 . . .)
an+1 = 2 an + an , n ≥ 0
Rekursionsformel
½
¾
a0 = 0, a1 = 1
Anfangsglieder
; Fibonacci-Folge: (an ) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
an+2 = an+1 + an n ≥ 0
Rekursionsformel
Partialsummen:
• Definition: Sei (ak ) = (a0 , a1 , . . .) eine reelle Zahlenfolge
n
P
sn =
ak = a0 + a1 + . . . + an heißt dann Partialsumme über (ak ).
k=0
• die Partialsumme der geometrischen Folge: (für a = 1)
n
P
n+1
sn =
xk = 1 + x + x2 + . . . + xn = x x−1−1 (x 6= 1)
k=0
• Rechenbeispiele:
(a)
n
P
2k = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n =
k=0
(b) 9 + 0.9 + 0.09 + .... + 9 · 0.1n = 9 ·
2n+1 −1
2−1
n
P
= 2n+1 − 1
0.1k = 9 ·
k=0
0.1n+1 −1
0.1−1
= −10(0.1n+1 − 1) = 10 − 0.1n
(c) 1.38 + 1.39 + . . . + 1.387 = 1.38 (1 + 1.3 + . . . + 1.379 ) = 1.38 ·
79
P
1.3k = 1.38 ·
k=0
(d)
37
P
k=0
1.52k = 1 + 1.52 + 1.54 + . . . + 1.574 =
37
P
(1.52 )k =
k=0
2 38
(1.5 ) −1
1.52 −1
=
1.576 −1
1.25
1.380 −1
0.3