IV. BUCH: RAUM MIT

IV. BUCH: RAUM MIT
n-DIMENSIONEN
5b. Die
EULERSCHE POLYEDERFORMEL
38-89+48 =6
Titelbild: Gilt bei diesem „Kronenwürfel“ die Eulerformel?
Eulerformel für Vielflächner ist
E–K+F=2
Setzt man auf ein Oberflächenpolygon Körper auf, die aber nicht die ganze
Vielecksfläche
abdecken,
dann
gilt
bei
dem
so
entstandenen
nichtkonvexen Körper die Eulersche Polyederformel allerdings nicht mehr.
Zum Beispiel wenn man mittig auf die Oberfläche eines Würfels (Quaders)
einen kleineren Würfel aufsetzt, oder aber, - was dasselbe Ergebnis liefert
-, in diesen hinein setzt (aushöhlend), dann hat man 2x8 Ecken, sowie
2x12=24 Kanten und aber 2x6 -1 Flächen (also eine weniger als bei der
Addition für zwei Würfel):
16-24+11 = 3
Denn dabei werden immer eigentliche Kanten (sprich Eckverbindungen)
ignoriert, weil sie eben in einer Oberflächenebene zu liegen kommen und
somit nicht wirklich „kantig“ sind (beim aufgesetzten Würfel kämen eben
noch vier Diagonalkanten hinzu und drei weitere Flächen, was dann 1628+14=2 ergibt).
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.
Einen kleinerer Würfel auf den Quader am Rand gesetzt:
16-23+11=4
Setzt man den Würfel gar `passend´ in eine Ecke,
dann verschwindet diese eine der 16 Ecken
und man hat nur noch 21 Kanten und 9 Flächen,
wobei die alternierende Summe wieder drei ergibt.
Den linken und mittigen Körper kann man ineinander umklappen,
und „Euler“ gilt trotzdem, obwohl die Anzahlen sich dabei änderten.
Rechts wurde auf ein sechseckiges Prisma eine Dreieckskuppel aufgesetzt,
und darauf kommt ein Dreiecksprisma, und die Eulerformel ist gültig.
Jedoch
kann
man
ja
den
Tetraeder
gedanklich
direkt
auf
die
Sechsecksfläche runterdrücken, so dass er eben auf dem sechseckigen
Prisma aufsitzt, aber nun nicht mehr flächendeckend. Bei gleicher
Eckenzahl verschwinden dann einige Kanten in der Ebene, und auch einige
Flächen werden nicht mehr mitgerechnet, aber die Polyederformel ist dann
nicht mehr gültig!
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10-17+9=2
16-20-14=0
18-27+11=2
Abb. Eu5: Eulers Polyederformel gilt nicht immer!
Dreifachkanten (oben Mitte)
und die unteren drei genügen Eulers Formeln nicht!
Bei
einer
nicht
die
ganze
Vielecksfläche
abdeckenden
aber
durchdringenden Aushöhlung entsteht ein durchlöcherter Körper1, (wie bei
einem zylindrisch ausgehöhlten Prisma, bei dem zwei „Kreiskanten“
hinzukommen, aber nur eine zusätzliche Zylindermantelfläche; Kreise
1
Man spricht von einem größeren topologischen Geschlecht als Null, wobei die Anzahl
der Löcher das Geschlecht angibt. Für diese Körper sollte eigentlich die alternierende
Summe Null sein: Für jedes Loch zwei weniger: Brezeln mit 3 Löchern haben also die
Summe -4!
Den Begriff ”Geschlecht“ prägte Alfgred Clebsch, der, nach vergeblichen Bemühungen die
Riemannschen Ideen zu verstehen, einen eigenen Aufbau der Abelschen Funktionen gab
und 1863, mit der Aufsehen erregenden Arbeit ӆber die Anwendung der Abelschen
Integrale in der Geometrie“ beginnend, die Verbindung zur Theorie der algebraischen
Kurven herstellte. Vgl. IV.13 Fußnate zu algebraischen Geometrien.
Statt vom Geschlecht spricht man vom Euler-Charakter
E-K+F = χ, die beim Torus Null
ist. Diese Euler-Charakteristik χ = 2(1-p) (topologisch = Kugel mit p Henkeln) ist stets
eine gerade Zahl, nämlich das Doppelte der Anzahl von Überdeckungen des Gaußschen
Normalenbildes N:
Für kompakte Flächen F gilt χ(F) = 2/V ∫ K dF = 2 ∫ N dS /∫ dS
( V Kugelvolumen Dim 2n)
χ(B, V) diejenige Zahl, die angibt, wie oft S: Rand B - Sphäre durch das
Bild des Grenzbereichs (=Randes) von B überdeckt wird, wobei V ein Vektorfeld in der
Umgebung des kompakten regulären Bereichs von B ist. Daher kann χ auch als
Umlaufszahl des Vektorfeldes V längs der Randkurve von B aufgefasst werden.
Ansonsten ist
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haben allerdings unendlich viele Ecken und „Kanten“, so dass Eulers
Formel gelten könnte), der erstaunlicherweise auch die Polyederformel
erfüllt. Das Beispiel eines quadratisch ausgehöhlten Lochwürfels ergibt 1624+10=2. Zählt man aber alle Eckverbindungen als Kanten und die
dadurch entstehenden zusätzlichen Pseudoflächen, dann ist (in Wahrheit)
E-K+F=0. Man kann ja den aushöhlenden Quader beidseitig etwas
verkleinern oder auch etwas über die Würfelquadrate hinaus stehen lassen
(eine verlängerte quadratische Dipyramide von den Spitzen her quadrisch
ausgehöhlt), um dann 16-32+16=0 zu erhalten.
Auf einer geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht p, was
einer Kugel mit p Henkeln (Löchern) entspricht, gilt2
E – K + F = 2(1-p) = χ
χ das griechische x sprich „Chi“ ist die Eulercharakteristik
2
- S. 138ff im II Band der DG, Theorie der Flächenkrümmung, Sammlung Göschen
von Karl Strubecker, Walter de Gruyter 1969, Band 1180/1180a,
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Polytopenformel für n-dimensionale Körper
Die Eulersche Polyederformel E – K + F = 2 für räumliche (n = 3)
konvexe3 Polyeder verallgemeinerte4 Schläfli5 auf eine Formel für analoge
konvexe Körper höher-dimensionaler Räume, die einen Unterschied
macht, ob der Raum eine gerade oder eine ungerade Anzahl von
Dimensionen besitzt. Dies konnte Poincare6 dann noch vor 1900
beweisen: Für gerade n ist die alternierende Summe der Anzahlen
von
Begrenzungsobjekten
stets
0
und
für
ungerade
Raumdimensionen gleich 2.
Im Vierdimensionalen gilt:
E–K+F-Z=0
Ecken – Kanten + Begrenzungsflächen - Begrenzungskörper (Zellen)
ist gleich Null:
Beispielsweise hat das vierdimensionale Simplex (Pentatop) 5 Ecken, 10 Kanten
und 10 Dreiecksgrenzflächen sowie 5 begrenzende Tetraeder: 5-10+10-5 = 0
3
Konvex heißt, die Verbindung zweier beliebiger Punkte des Gebildes muss vollständig
zum Gebilde dazu gehören. Die Eulersche Polyederformel gilt z.B. nicht für Sternkörper
(Er gilt zwar für die meisten, aber nicht für alle, denn z.B. erfüllen ihn zwei der vier
regelmäßigen Sternkörper nicht!)
4
Eine andere Verallgemeinerung für zusammenhängende planare Graphen, bei der die
Gebiete die Flächen ersetzen, wobei bei der Gebietszahl das äußere Gebiet mitgezählt
Knotenzahl + Gebietszahl − Kantenzahl = 2
wird, wäre
.-> http://library.kiwix.org:4217/A/Eulersche%20Polyederformel.html
5
Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli (1814-1895)
6
Henri Poincare (1854-1912) lieferte wesentliche Beiträge zur Topologie. Mit Felix Klein
stand er im Wettstreit über die Theorie automorpher Funktionen, d. h. von solchen, die
bei linearen Transformationen wieder auf sich selbst abgebildet werden.
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Der vierdimensionale Würfel hat
16 Ecken und
16x4 :2 = 32 Kanten (siehe Abb.54)
6x8 :2 = 24 Begrenzungsquadrate und
8 Begrenzungswürfel
16
– 32
+
24 – 8 = 0
Die alternierende Summe verschwindet!
Unregelmäßiger Dodekaeder {5, 3}links und
rechts Hyperdodekaeder (120-Zell) {5, 3, 3}
in 2D-Projektion: Die 720 begrenzende Pentagone
Für den zum Hyperwürfel dualen Hyperoktaeder gilt
8
– 24
+
32 – 16 = 0
Die Begrenzung des Hyperdodekaeders besteht aus 600 Ecken, 1200 Kanten,
720 regelmäßigen Fünfecken und aus 2x60 = 120 Dodekaedern (Zellen).
Es ist
600 – 1200 + 720 - 120 = 0
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Auffallend ist, dass auch 120 – 700 + 1200 - 600 = 0 ergibt. Es handelt sich um
den Hyperikosaeder, dem Dualkörper des Hyperdodekaeders. Denn analog zur
Dualität des Rechtecks und der Raute sind auch der Würfel und der Oktaeder
bzw. der Dodekaeder und der Ikosaeder ebenso dual zueinander, wie der
Hyperdodekaeder zum Hyperikosaeder. Dazu mehr im folgenden Kapitel.
Nun könnte ja der 1906 geborene Unentscheidbarkeitsfanatiker Kurt
Gödel7 (wenn er noch leben würde), der die gesamte Grundlage der
Ich halte auch gar nichts von der von Georg Cantor (1845-1918) eingeführten
transfiniten Mathematik. Leopold Kronecker (1823-1891) hat vollkommen recht,
wenn er die transfinite Methode des Beweisens ablehnt: Man muß in jedem konkreten
Fall in endlich vielen Schritten prüfen können, ob der in der Defintion festgelegte oder in
dem Satz behauptete Sachverhalt zutrifft oder nicht! .
Auch ist es unsinnig, mit einem noch größeren Begriff als dem Unendlichen zu operieren,
das ja sowieso aktual-wirklich nicht existieren kann, sondern nur virtuell oder potentiellgedanklich. Anschaulich kann man zwar mal lax sagen, die Ebene hat „mehr“ Punkte als
eine Gerade, da ja unendlich viel Geraden in der Eben liegen, aber mehr als unendlich
viel können es eben auch nicht sein (Davon abgesehen kann eine Gerade eigentlich gar
nicht aus nur Punkten bestehen, denn auch „überabzählbar“ unendlich viele Punkte
ergeben keine Länge!).
Die abzählbare Mächtigkeit ℵ0, die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen N ist angeblich
eine andere, als diejenige der Menge aller Teilmengen von N, die sog. Potenzmenge 2N,
die von überabzählbarer Mächtigkeit ℵ sei: Es gibt so viele einelementige Teilmengen wie
N, „doppelt unendlich“ so viele zweielementige Teilmengen oder Zahlenpaare, noch mehr
Tripel, Quadrupel usw. Die Frage, ob es eine Mächtigkeit gibt, die zwischen der
„abzählbaren“ der natürlichen Zahlen (Aleph 0) und derjenigen der sog. überabzählbaren
reellen Zahlen (Aleph 1) liegt, - also ℵ½ -, wird damit hinfällig. Die Cantorsche
Kontinuums-Hypothese, nach welcher ℵ½ nicht existiert, geistert noch heute in vielen
Mathematiker-Köpfen herum. Behauptet man aber, - wie ich -, dass auch ℵ1 nicht
existiert, dann wird man zum Ketzer und muss aufpassen, dass man nicht gesteinigt
bzw. als Mathematiker nicht geächtet wird (die Rollläden gehen runter, und das Gespräch
wird sofort beendet!). Auftretende Widersprüche werden ignoriert oder wegdefiniert, wie
bei der Menge aller Mengen: Da die Potenzmenge einer Menge (bei Mengen mit n
Elementen hat diese Menge von Untermengen 2n Elemente!) immer eine größere
Mächtigkeit besitzen soll als diese, wäre ihre Mächtigkeit kleiner als diejenige der Menge
ℵ
ihrer Teilmengen, was ein klassischer Widerspruch ist! Man schreibt 2 0 = ℵ1 analog zu
20=1, symbolisch für 2∞ > ∞, woraus zwangsläufig folgt, dass es keinen Papst (größte
Mächtigkeit [etwa der Menge aller Mengen]) unter den Kardinälen (Mächtigkeiten) gibt!
Ein weiteres Phänomen sind die zuerst von Giuseppe Peano (1858-1932) angegebenen
flächenfüllenden Kurven (Peano-Kurven oder Hilbert-Kurven): Eine angeblich stetige
Abbildung des Einheitsintervalls auf ein Quadrat oder einen Würfel, bei denen die
Dimension aber keine Invariante ist (die Dimension des Bildes muss gleich dem des
Originals sein, für Kurven müsste sie 1 sein, wegen ihrer EINDIMENSIONALITÄT). Und
die es gar nicht geben dürfte, da stetige Funktionen Kompakta auf Kompakta
abbilden. Peano-Kurven bilden aber das kompakte (= beschränkte + nicht offene)
Intervall [0, 1] auf das Einheitsquadrat stetig ab!
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Mathematik - durch die behauptete Nichtaxiomatisierbarkeit dieser - ins
Wanken brachte, als ein Unentscheidbarkeitsbeispiel angeben, dass man
prinzipiell niemals beweisen oder widerlegen könnte, ob der
Polyedersatz im unendlichdimensionalen Raum gilt, bzw. ob die
alternierende Summe der Anzahlen von n-dim. begrenzenden
Randgebilden eines unendlichdimensionalen Polytops Null oder
Zwei ist (ganz abgesehen davon, dass dieses Gebilde eines unendlichdimensionalen Polyeders sich von einem Punkt nicht unterscheidet, es sei
denn man betrachtet den unendlichdimensionalen Einheitswürfel, der ein
Konstrukt der Volumeneinheit zur Inhaltsbestimmung ist).
Die Abbildung sei stetig, aber nicht bijektiv, da sie zwar surjektiv aber nicht injektiv sei,
steht im dtv Atlas zur Mathematik, Deutscher Taschenbuch-Verlag, 4. Auflage Mai 1980
auf Seite 234.
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Jedenfalls kann man vermuten, dass die alternierende Summe
im folgenden Sinne wohl 1 wäre:
Um nicht von der Geradheit oder Ungeradheit der Raumdimensionen unterscheiden zu
müssen, nimmt man beim Polyedersatz
E0– K1+ F2 – Z3 + - ...
± Kn= 1
noch den n-dimensionalen Gesamtkörper Kn hinzu, der ja nur einmalig vorkommt,
wobei dann also stets noch eine Eins addiert bzw. subtrahiert wird,
und man erhält dann:
Diese alternierende Summe ist für alle Dimensionen stets genau Eins
(zumindest in allen endlichen Fällen der Dimension n)!
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