Abitur 2009 - Merkur Verlag Rinteln

Stochastik
Abitur 2009
Stochastik
Beilage
eA (erhöhtes Anforderungsniveau)
gA (grundlegendes Anforderungsniveau)
1 ISBN 978-3-8120-0108-3 und ISBN 978-3-8120-0223-3
Stochastik
Aufgabe 2 (eA)
Rauchen ist das größte vermeidbare Gesundheitsrisiko unserer Zeit, über 110 000 auf das
Rauchen zurückzuführende Todesfälle sind pro Jahr in Deutschland zu verzeichnen. Umso
wichtiger ist es, bereits Jugendliche vom Tabakkonsum fernzuhalten.
Der Drogen- und Suchtbericht im Jahr 2004 der Drogenbeauftragten der Bundesregierung,
Frau Marion Caspers-Merk, kommt zu dem Ergebnis, dass ca. ein Drittel aller Schüler,
die eine 9. oder 10. Klasse besuchen, täglich Zigaretten rauchen. Befragt wurden mehr
als 11 000 Schülerinnen und Schüler an verschiedenen Schulformen.
a) Mit welchem mathematischen Modell lässt sich eine Stichprobe von 100 Schülern
beschreiben?
b)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Schülern
höchstens 20 rauchen bzw. mindestens 27 rauchen.
c) Wie viele Schülerinnen und Schüler müsste man wenigstens befragen, um mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,99 mindestens einen Raucher zu finden?
d)Bei der Prävention nehmen laut der Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung
(BZgA) die Sportvereine eine wichtige Rolle ein. Als Beispiel sei die Kampagne
„Kinder stark machen“ genannt, die bereits seit den 90er Jahren läuft.
In einer aktuellen Umfrage an einer Schule ist erfasst worden, wie viele Schülerinnen
und Schüler der 9. und 10. Klasse regelmäßig rauchen und Mitglied in Sportvereinen
sind. 43 Raucher gaben an, Mitglied in einem Sportverein zu sein, 65 Raucher hin gegen zählen zu den Nichtmitgliedern. Bei den Nichtrauchern waren 77 Schüler im
Sportverein und wiederum 65 nicht. Zeigen Sie, dass die Ereignisse „Mitgliedschaft im
Sportverein“ und „Raucher“ nicht unabhängig sind.
e) Die BZgA ergreift verschiedene Maßnahmen zur Suchtprävention.
Die von der BZgA beauftragte Werbeagentur behauptet, dass die präventiven Kampa gnen bereits Erfolg hatten. Die BZgA möchte dies überprüfen und lässt dazu 1200
zufällig ausgewählte Schüler/innen befragen (α = 0,05). Erläutern Sie, warum sich ein
einseitiger Hypothesentest anbietet und geben Sie eine ausführlich begründete Entschei dungshilfe: Bis zu welcher Anzahl von Rauchern kann die Raucherprävention als gelun gen angesehen werden?
Welche Fehler können bei der Interpretation der Daten unterlaufen?
f) Bei einer aktuellen Befragung geben 400 von 1500 Schülern der Klassen 9 und 10 an,
regelmäßig zu rauchen. Lässt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 % sagen,
dass sich der Anteil der Raucher verringert hat? (Teile aus Abitur, Hessen.)
2 Stochastik
Lösung Aufgabe 2 (eA)
a) Eine Stichprobe von 100 Schülern kann als Bernoulli-Experiment angesehen werden,
da nur die Ergebnisse „Schüler raucht“ und „Schüler raucht nicht“ interessieren.
Nach Aufgabe raucht jeder Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von p = ​ __13 ​.
Die Auswahl der Schüler muss zufällig erfolgen.
1 ​-verteilt
b)X: Anzahl der Raucher; X ist ​B​ 
100; __
​ 3 ​
P(X ≤ 20) = 0,0024
P(X ≥ 26) = 1 – P(X ≤ 25) = 1 – 0,0715 = 0,9285
c) Bestimmung über das Gegenereignis:
P(X ≥ 1) ≥ 0,99 n
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – ​(​ __23 ​)​ ​
Bedingung für n:
n
1 – ​(__
​ 23 ​)​ ​ ≥ 0,99
n
ln(0,01)
  11,36
​ =
(​ ​ __23 ​)​ ​≤ 0,01 <=> n ≥ ​ ______
2   
__
Logarithmieren ergibt:
ln(​ 3 ​)
Mindestens 12 Schüler sind zu befragen.
d)R: Raucher; S: Mitglied im Sportverein
Vierfeldertafel
S
R 43
__
​   77
R​
120
__
S​
​ 
108
___
R
​ 250  ​
65 108
65 142
130 250
__
142
​ ___
250  ​
​  
R​
43
___
​ 108  ​ 
S
65
___
​ 108  ​ 
​S​ 
77
___
S
65
​S​ 
​ 142  ​ 
​ ___
142  ​ 
__
__
Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die angegebenen Häufigkeiten, die sich in
einer Vierfeldertafel darstellen lassen.
Sind die Ergebnisse „Rauchen“ und „Mitglied“ unabhängig,
so gilt: P(R ∩ S) = P(R) · P(S)
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
108
43
108
120
___
___
___
P(R ∩ S) = ​ ___
250  ​· ​ 108  ​ = 0,172; P(R) = ​ 250  ​= 0,432; P(S) = ​ 250  ​ = 0,48
P(R) · P(S) = 0,432 · 0,48 = 0,20736 ≠ 0,172
Die beiden Merkmale „Raucher“ und „Mitglied im Sportverein“ sind nicht unabhängig,
da die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten voneinander abweichen.
3 Stochastik
Lösung Aufgabe 2 (eA)
e) Es eignet sich ein einseitiger Hypothesentest, da die Vermutung p < ​ __13 ​lautet.
Die Nullhypothese wird man ablehnen, wenn die Prüfgröße sehr kleine Werte annimmt.
​H​ 0​: p = ​ __13 ​
Die Anzahl der Raucher ist unverändert.
​H​ 1​: p < ​ 3 ​
Die Anzahl der Raucher ist gesunken
1
__
​ ​ 0​gilt,
Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die BZgA die Hypothese ​H​ 1​annimmt, obwohl H
also irrtümlich einen Erfolg feiert, obwohl die Anzahl der Raucher nicht gesunken ist.
Beim Fehler 2. Art wird ​H​ 0​angenommen, obwohl die Anzahl der Raucher gesunken ist.
Die BZgA bringt sich damit um ihren Erfolg.
​ ​ 
Falls ​H
​ 0​wahr ist, ergibt sich die Zufallsvariable als B
__________
1 ​-verteilt
1200; ​ __3 ​
√
= 16,33 > 3;
σ = ​ 1200 · ​ __13 ​ · ​ __23 ​ ​  
die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung approximiert werden.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5 % betragen.
α = P(weniger als g Raucher) = P(x < g) = 0,05
α = Ф(– z) = 1 – Ф(z) = 0,05 => Ф(z) = 0,95 Aus der Tafel: z = 1,645
x–μ
 
​ folgt
durch Einsetzen: x = 373,1
Aus z = ​ ____
σ   
Werden bis zu 373 Raucher gezählt, so sollte man sich für die Alternativhypothese
entscheiden. Bei einer größeren Anzahl von Rauchern kann man der Raucherprävention
nur wenig Erfolg bescheinigen.
f) Berechnung des Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 95,5%
Ansatz für die Wahrscheinlichkeit p:
4
Mit n = 1500, dem Schätzwert ​h​ n​ = ​ __
15  ​
und c = 2 (für γ = 95,5%) erhält man
2
p(1 – p)
4
2 ______
​ 
(​ ​ __
15  ​ – p)​ ​ = ​2​ ​​  1500   
Lösung der quadratischen Gleichung:​p​ 1​ = 0,2445; ​p​ 2​ = 0,2901
95,5%-Konfidenzintervall: [0,2445; 0,2901]
Der Wert p​ ​ alt​ = ​ __13 ​ist nicht enthalten; die Zahl der Raucher hat sich verringert.
Bei Wahrscheinlichkeiten von p​ ​ 1​ = 0,24 bis ​p​ 2​ = 0,29 ist eine Raucherwahrscheinlich-
keit von ​ __13 ​nicht mehr verträglich, so dass unter diesen Vorgaben von einer Abnahme
des Raucheranteils ausgegangen werden kann.
4 Stochastik
Aufgabe 2 (gA)
Seite 1/2
Rauchen ist das größte vermeidbare Gesundheitsrisiko unserer Zeit, über 110 000 auf das
Rauchen zurückzuführende Todesfälle sind pro Jahr in Deutschland zu verzeichnen. Umso
wichtiger ist es, bereits Jugendliche vom Tabakkonsum fernzuhalten.
Der Drogen- und Suchtbericht im Jahr 2004 der Drogenbeauftragten der Bundesregierung,
Frau Marion Caspers-Merk, kommt zu dem Ergebnis, dass ca. 35 % aller Schüler, die eine
9. oder 10. Klasse besuchen, täglich Zigaretten rauchen. Befragt wurden mehr als 11 000
Schülerinnen und Schüler an verschiedenen Schulformen.
a) Es werden 120 Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 9/10 einer Schule
befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
• höchstens 33 rauchen,
• mindestens 50 rauchen. Begründen Sie Ihren mathematischen Ansatz.
b)Wie viele Schülerinnen und Schüler müsste man wenigstens befragen, damit die
Wahrscheinlichkeit mindestens einen Raucher zu finden, größer als 99 % ist?
c) Bei der Prävention nehmen laut der Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung
(BZgA) die Sportvereine eine wichtige Rolle ein. Als Beispiel sei die Kampagne
„Kinder stark machen“ genannt, die bereits seit den 90er Jahren läuft.
In einer aktuellen Umfrage an einer Schule ist erfasst worden, wie viele Schülerinnen
und Schüler der 9. und 10. Klasse regelmäßig rauchen und Mitglied in Sportvereinen
sind. 43 Raucher gaben an, Mitglied in einem Sportverein zu sein, 65 Raucher hin gegen zählen zu den Nichtmitgliedern. Bei den Nichtrauchern waren 77 Schüler im
Sportverein und wiederum 65 nicht.
Zeigen Sie, dass die Ereignisse „Mitgliedschaft im Sportverein“ und „Raucher“
nicht unabhängig sind.
d)Die BZgA ergreift verschiedene Maßnahmen zur Suchtprävention.
Die von der BZgA beauftragte Werbeagentur behauptet, dass die präventiven Kampa gnen bereits Erfolg hatten. Die BZgA möchte dies überprüfen, sie vertritt die Hypothese,
dass der Anteil der Raucher unverändert ist. Sie befragt 65 zufällig ausgewählte Schüler innen und Schüler und will ihre eigene Hypothese verwerfen, wenn höchstens
18 Raucher angetroffen werden.
5 Stochastik
Aufgabe 2 (gA)
Seite 2/2
d)Erklären Sie, warum hier einseitig getestet wird und welche Fehler bei der Interpretation
der Daten unterlaufen können.
Beurteilen Sie die Entscheidungsregel und verändern Sie den Test so, dass der
Fehler 1. Art unter 5 % liegt und berechnen Sie für diesen Fall den Fehler 2. Art,
wenn der Anteil der Raucher tatsächlich auf 20 % gesunken ist.
e) Bei einer aktuellen Befragung geben 400 von 1500 Schülern der Klassen 9 und 10 an,
regelmäßig zu rauchen. Lässt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5 % sagen,
dass sich der Anteil der Raucher verringert hat?
(Teile aus Abitur, Hessen.)
6 Stochastik
Lösung Aufgabe 2 (gA)
a) X: Anzahl der Raucher; X ist ​B​ 120; 0,35​-verteilt
P(X ≤ 33) = 0,0499
P(X ≥ 50) = 1 – P(X ≤ 49) = 0,0768
Eine Stichprobe von 120 Schülern kann als Bernoulli-Experiment angesehen werden,
da nur die Ergebnisse „Schüler raucht“ und „Schüler raucht nicht“ interessieren.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Raucher. Nach Aufgabenstellung raucht
jeder Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,35. Die Auswahl der Schüler muss
zufällig erfolgen.
b)Bestimmung über das Gegenereignis:
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – ​0,65​n​
Bedingung für n:
1 – ​0,65​n​ > 0,99
ln(0,01)
​ = 10,69
​0,65​n​ < 0,01 <=> n > ​ ______
ln(0,65)  
Logarithmieren ergibt:
Mindestens 11 Schüler sind zu befragen.
c) R: Raucher; S: Mitgleid im Sportverein
Vierfeldertafel
S
R 43
__
​   77
R​
120
__
S​
​ 
65 108
65 142
130 250
108
___
R
​ 250  ​
__
​  
R​
142
​ ___
250  ​
43
___
​ 108  ​ 
S
65
___
​ 108  ​ 
​S​ 
77
___
S
65
​S​ 
​ 142  ​ 
​ ___
142  ​ 
__
__
Sind die Ergebnisse „Rauchen“ und „Mitglied“ unabhängig,
so gilt: P(R ∩ S) = P(R) · P(S)
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
108
43
108
120
___
___
___
P(R ∩ S) = ​ ___
250  ​· ​ 108  ​ = 0,172; P(R) = ​ 250  ​= 0,432; P(S) = ​ 250  ​ = 0,48
P(R) · P(S) = 0,432 · 0,48 = 0,20736 ≠ 0,172
Die beiden Merkmale „Raucher“ und „Mitgleid im Sportverein“ sind nicht unabhängig,
da die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten voneinander abweichen.
7 Stochastik
Lösung Aufgabe 2 (gA)
d)Es eignet sich ein einseitiger Hypothesentest, da die Vermutung p < 0,35 lautet.
Die Nullhypothese wird man ablehnen, wenn die Prüfgröße sehr kleine Werte annimmt.
​H​ 0​: p = 0,35 Die Anzahl der Raucher ist unverändert.
​H​ 1​: p < 0,35 Die Anzahl der Raucher ist gesunken
​ ​ 0​gilt,
Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die BZgA die Hypothese ​H​ 1​annimmt, obwohl H
also irrtümlich einen Erfolg feiert, obwohl die Anzahl der Raucher nicht gesunken ist.
Beim Fehler 2. Art wird ​H​ 0​angenommen, obwohl die Anzahl der Raucher
gesunken ist. Die BZgA bringt sich damit um ihren Erfolg.
Falls ​H​ 0​wahr ist: X ist ​B​ 65; 0,35​-verteilt
Fehler 1. Art: P(X ≤ 18) = 0,1338
Die Irrtumswahrscheinlichkeit erscheint sehr hoch. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler
1. Artzu begehen beträgt mehr als 13%.
Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner 5%: P(X ≤ 16) = 0,0492 < 0,05
Werden höchstens 16 Raucher gezählt, sollte H
​ ​ 0​verworfen werden.
Fehler 2. Art für diesen Fall:
Falls H
​ ​ 1​wahr ist: X ist ​B​ 65; 0,2​-verteilt
P(X > 16) = 1 – P(X ≤ 16) = 0,1396
e) Berechnung des Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 95,5%
Ansatz für die Wahrscheinlichkeit p:
4
Mit n = 1500, dem Schätzwert ​h​ n​ = ​ __
15  ​ 
und c = 2 (für γ = 95,5%) erhält man
2
p(1 – p)
4
2 ______
​ 
(​ ​ __
15  ​  – p)​ ​ = ​2​ ​​  1500   
Lösung der quadratischen Gleichung:​p​ 1​ = 0,2445; ​p​ 2​ = 0,2901
95,5%-Konfidenzintervall: [0,2445; 0,2901]
Der Wert p​ ​ alt​ = 0,35 ist nicht enthalten; die Zahl der Raucher hat sich verringert.
Bei Wahrscheinlichkeiten von p​ ​ 1​ = 0,24 bis ​p​ 2​ = 0,29 ist eine Raucherwahrscheinlich keit von 0,35 nicht mehr verträglich, so dass unter diesen Vorgaben von einer Abnahme
des Raucheranteils ausgegangen werden kann.
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