8 Zusammenhang einiger Diskreten

Bei großen n (mit k = 0 ; 1 ; 2 ; … ; n ) scheint die Berechnung der Formel für die Binomialn
⋅ p k ⋅ q n − k recht schwierig zu werden. Dafür können gewisse
Verteilung f ( k ) =
k
Nährungsmethoden benutzt werden, so dass die Binomialverteilung durch die Gaußsche
Normalverteilung ersetzt werden kann.
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable. Die Binomialverteilung lässt sich für große n und
p-Werte die sich deutlich von 0 und 1 unterscheiden in guter Näherung durch die Dichtefunktion
der Gaußschen Normalverteilung beschreiben:
f (x
)=
1
2π σ
2
exp −
Dabei sind σ ² = n p q die Varianz und
1
x − µ
2
σ
2
= n p der Erwartungswert der Verteilung.
Bemerkungen:
Die Näherung ist zulässig, wenn die Bedingung:
n p q > 9 erfüllt ist.
Für Werte von p , die sich nicht sehr von ½ unterscheiden, ist die Näherung auch zulässig,
wenn die Bedingungen: n p ≥ 5 UND n q ≥ 5 erfüllt sind.
Approximation der Binomial verteilung durch die Gaußsche Normal vert eilung
n = 5 , p = 0,3
n = 10 , p = 0,3
n = 15 , p = 0,3
n = 20 , p = 0,3
1
Beispiel 1
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 15 und p = 0,4 . Berechnen Sie mit Hilfe der
Binomial- sowie der Näherung durch die Gauss-Verteilung die Wahrscheinlichkeit für,
a) P ( X = 4 )
b) P ( 7 X 9 )
Lösung:
Binomial-Verteilung:
15
f(k) =
f (k
)=
0,4
k
15
⋅ 0 , 4 k ⋅ 0 , 6 15 − k
k
K
0,6
15 – K
a)
P ( X k = 4 ) = f ( 4 ) = 0 , 126
b)
0 1
9
P (7 ≤ X k ≤ 9 ) =
2
3
4
5
6
7
9 10 11 12
8
k
f (k )
k=7
= f (7) + f (8) + f (9)
= 0 , 356
Approximation durch die Gaußsche-Normal-Verteilung:
= n p = 15 ⋅ 0,4 = 6
1
f(x) =
f(x)
exp
2
3,6
(x– 6)²
2 ⋅ 3,6
σ ² = n p q = 15 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 3,6
f (x
) =
1
2π 3,6
exp
−
1
x − 6
2
3,6
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
x
Mit Hilfe der Gaußschen Normalverteilung und Integration:
a)
4,5
P ( X k = 4 ) ≈ P ( 3 ,5 ≤ X ≤ 4 ,5 ) =
3,5
b)
P (7 ≤ X
k
1
2π 3,6
exp
−
1
x − 6
2
3,6
2
dx = 0 , 121
≤ 9 ) ≈ P ( 6 , 5 ≤ X ≤ 9 , 5 ) = 0 , 365
2
Mit Hilfe der Standard-Normalverteilung:
b)
6,5 − 6
z1 =
= 0 , 26
1, 897
;
z2
9 ,5 − 6
=
1, 897
= 1, 85
Gauß-Normal-Verteilung
f(x) =
f(x)
Standard-Normal-Verteilung
1
(x– 6)²
exp
2
(z)
2 ⋅ 3,6
3,6
1
(z)=
exp
2
z²
2
X –
Z =
0 1
2
3
4
5
6
7
P (7 ≤ X k ≤ 9 )
≈
9 10 11 12
8
x
P ( 6 ,5 ≤ X ≤ 9 ,5
0
)
0,26
1,85
P ( 0 , 26 ≤ Z ≤ 1, 85
=
1 , 85
1
=
exp
2π
0 , 26
−
1
2
z
)
z
2
dz
Der Wert des Integrals kann ausrechnet werden oder man erhält ihn durch Verwendung der
Tabelle für die Werte der Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung.
1 , 85
=
− ∞
=
1
2π
exp
Φ ( 1, 85
−
)
1
2
0 , 26
z
2
dz −
− ∞
−
1
2π
exp
Φ ( 0 , 26
)
−
1
2
z
=
2
dz
0 , 3652
Aufgabe 1
Lösen Sie Teilaufgabe a) aus dem vorigen Beispiel mit Hilfe der Standard-Normalverteilung
3
Aufgabe 2
Berechnen Sie für das vorige Beispiel P ( X > 7 ) mit Hilfe der Approximation der Binomial- durch
die Normal-Verteilung
Beim Übergang von der Binomial- zur Normal-Verteilung wird die diskrete Zufallsvariable X
durch eine stetige angenähert. Bei dieser Näherung werden die Balken des Stabdiagramms
durch Rechtecke des Histogramms und anschließend durch die Fläche unter der Gaußschen
Glockenkurve ersetzt. Die Werte der diskreten Zufallsvariable X geben jeweils die Mitten der
Grundseiten der Rechtecke an. Da die Breite jedes Rechtecks gleich 1 ist, müssen bei der
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten x-Wert, die Intervallgrenzen um jeweils
0,5 nach außen hin verschoben.
Stetigkeitskorrektur bei der Aproximation der Binomialverteilung durch die
Normalverteilung
Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Binomial-Verteilungen bei der Näherung
durch die Normal-Verteilung, müssen die Intervallgrenzen einer Stetigkeitskorrektur
unterzogen werden.
Seien X = xk = a und X = xk = b Werte der diskreten Zufallsvariable einer Binomial-Verteilung,
X
b ) folgende Näherungsformel:
so gilt für die Wahrscheinlichkeit P ( a
Binomial-
Gaußsche-Normal-
P (a ≤ X k ≤ b ) ≈ P ( a − 0 ,5 ≤ X ≤ b + 0 ,5 ) =
=
P ( z1 ≤ Z ≤ z 2
)
=
F ( b + 0 ,5 ) −
Φ(z2
)
−
F ( a − 0 ,5 )
Φ ( z1
)
Standard-Normal-Verteilung
Dabei sind:
z1 =
( a − 0 ,5 ) − µ
σ
und z 2 =
( b + 0 ,5 ) − µ
σ
σ ² = n p q die Varianz und
= n p der Erwartungswert der Verteilung.
F ( x ) die Verteilungsfunktion der Gauß-Normal-Verteilung.
Φ ( z ) die Verteilungsfunktion der Standard-Normal-Verteilung.
4
Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der diskreten
Ereignisse in einem festen Zeitintervall an. Die Exponential-Verteilung dagegen gibt die
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Dauer bis zum nächsten Poisson-Ereigniss an.
Bei einem Poisson-Prozess gibt die konstante Rate α die durchschnittliche Anzahl von
Erfolgen in der Zeiteinheit an. Wir betrachten nun einen Posisson-Prozess mit der
Zufallsvariable X. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dem Zeitintervall t kein Erfolg X = 0
geschieht, ist gegeben durch:
P ( X = 0) = f (0) =
(α ⋅ t ) 0
0!
⋅e
− α ⋅ t
= e
− α ⋅ t
Definieren wir nun T als die Zufallsvariable für die Zeit bis zum ersten Erfolg, so gilt:
P(T
t ) = F(t )
P(T > t ) =
1 – P(T
t ) = 1 – F(t )
Da es keinen Erfolg in der Zeit von 0 bis t gibt, folgt:
1 − P (T ≤ t
) = P(X = 0) = e
− α ⋅ t
Setzt man dieses Ergebnis in die vorige Gleichung ein, so erhält man die Verteilungsfunktion der
Exponential-Verteilung.
F (t
)= 1 − e
− α ⋅ t
5