Lineare Algebra und Geometrie WS16/17

Lineare Algebra und Geometrie WS16/17
Blatt 1 für die Woche vom 2016-10-17
Prof. Dr. Stefan Schmidt, Dr. Sven Reichard
October 14, 2016
Aufgaben für die Übung
Aufgabe 1.1. Vervollständigen Sie die Wahrheitswerttabelle für die folgenden
Aussagen (q, r, s beliebig):
• q∨r
• r∧s
• (q ∨ r) ∧ s
• q ∨ (r ∧ s)
• ¬q
• ¬(¬q)
• ¬(r ∧ s)
• (¬r) ∧ (¬s)
Entnehmen Sie der Tabelle, dass die Aussagen q und ¬(¬q) äquivalent sind,
die Aussagen ¬(r ∧ s) und (¬r) ∧ (¬s) dagegen nicht.
Aufgabe 1.2. Es bezeichne p die Aussage “Ich bekomme eine Eins in Mathe”
und q die Aussage “Ich esse ein Eis”. Weiter bezeichnen wir mit Buchstaben
folgende Aussagen:
r: Wenn ich eine Eins in Mathe bekomme, dann esse ich ein Eis.
s: Ich esse ein Eis genau dann, wenn ich in Mathe eine Eins bekomme.
t: Wenn ich kein Eis esse, habe ich keine Eins in Mathe bekommen.
u: Wenn ich keine Eins in Mathe bekommen habe, dann esse ich kein Eis.
Schreiben Sie die Aussagen r, s, t, u mit Hilfe der Abkürzungen p und q sowie
den Symbolen =⇒, ⇐⇒ und ¬ auf.
Beweisen Sie mit Hilfe der Wahrheitswerttabelle, dass r und t das Gleiche
bedeuten, und dass r und u nicht stets gleichbedeutend sind.
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Aufgabe 1.3. Wir kürzen die Aussage “Lehrer L ist Klassenlehrer des Schülers
S” durch L|S ab, und die Aussage “Schüler S geht in die Klasse K” durch
S ∈ K. Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Symbole ∃, ∀ und
der obigen Abkürzungen auf.
r: Jede Klasse hat mindestens einen Klassenlehrer.
s: Jeder Lehrer ist Klassenlehrer von mindestens einer Klasse.
t: Es gibt mindestens eine Klasse, für die jeder Lehrer Klassenlehrer ist.
u: Mindestens ein Lehrer ist Klassenlehrer für alle Klassen.
Bilden Sie die Negationen der Aussagen und normalisieren Sie sie.
Aufgabe 1.4. “Weiß zieht und setzt im zweiten Zug Matt.” Wie kann man
diese Aussage über Schach logisch ausdrücken? Wie wäre die Negation dieser
Aussage?
Hausaufgaben zum Abgeben
Abgabe zu Beginn der Vorlesung am 24. Oktober.
Aufgabe 1.5. Seien p, q, r Aussagen. Weisen Sie nach, dass die Aussagen
p ⇒ q, (¬p) ∨ q und (¬q) ⇒ (¬p) äquivalent sind.
Aufgabe 1.6. Weisen Sie nach, dass das Distributivgesetz
(p ∧ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
für beliebige Aussagen p, q, r gilt.
Aufgaben zum weiteren Üben
Aufgabe 1.7. Entscheiden Sie über die Wahrheitswerte folgender Aussagen:
p: Für jede reelle Zahl a gibt es eine natürliche Zahl n, die größer als a ist.
q: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl n, so dass jede relle Zahl kleiner als
n ist.
r: Es exisitieren zwei reelle Zahlen x und y, so dass x2 + y 2 = 1.
s: Für je zwei relle Zahlen x und y gilt x2 + y 2 > 0.
Schreiben Sie die obigen Aussagen mit Hilfe von Quantoren ∀, ∃ und der Implikation ⇒ auf. Schreiben Sie die Negation der Aussagen auf und geben Sie
deren Wahrheitswerte an.
Aufgabe 1.8. Ist folgende Aussage stets wahr?
“Auf der Party gibt es eine Person, so dass wenn diese einen Hut trägt, alle
einen Hut tragen.”
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