Brüche, Polynome, Terme - TU Bergakademie Freiberg

KAPITEL 1
Brüche, Polynome, Terme
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.1
Zahlen . . . . . . . . . .
Lineare Gleichung . . . .
Quadratische Gleichung
Polynomdivision . . . . .
Kegelschnitte . . . . . .
Binomischer Satz . . . .
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1
3
6
12
15
22
Zahlen
Definition 1.1.1 (Natürliche Zahlen)
Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen
Zahlen
N = {1, 2, 3, ...}.
1
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
2
In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen:
N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, ...}.
Definition 1.1.2 (Ganze Zahlen)
Die Menge der ganzen Zahlen ist
Z = {... , −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.
Definition 1.1.3 (Rationale Zahlen)
Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen bilden die rationalen
Zahlen
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ N .
n
Rationale Zahlen sind endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen.
Beispiel 1.1.4
Beispiele
1
= 0, 5;
2
633
= 25, 32;
25
1
= 0, 3333 ... = 0, 3;
3
14
= 0, 3181818 ... = 0, 318;
44
73
= 4, 05.
18
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
3
Definition 1.1.5 (Reelle Zahlen)
Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalen
Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen R.
Beispiel 1.1.6
Beispiele
16
;
37
√
0, 12123;
2 = 1, 14142 ... ;
0, 17314;
0.17314 =
π
17
314
+
100 100 · 999
Bemerkung 1.1.7 (Irrationale Zahlen)
Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen.
√
2 ist eine irrationale Zahl.
1.2
Lineare Gleichung
Die lineare Gleichung lautet
a, b ∈ R,
ax = b,
a 6= 0.
Lösung: x = ba .
Warum darf man nicht durch Null dividieren ?
Bei Brüchen bedeutet Dividieren, dass mit dem Kehrwert multipliziert
wird, also z.B.
4
1
= 4· ,
7
7
3
1
= 3·(− ),
−2
2
π
13
= π·
1
,
13
e
π
1
= e· ,
π
−3
56
= (−3)·
1
.
56
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
4
Insbesondere gilt für jede reelle Zahl a ∈ R, a 6= 0,
a·
1 1
= · a = 1.
a a
Deshalb sollte die Beziehung
0·
1
=1
0
gelten, dass ist aber völliger Unsinn, da im Bereich der reellen Zahlen
ein Produkt immer Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist!
Versuchen wir es also anders. Dazu betrachten wir die Zahlenfolge an =
1
, n = 1, 2, ... . Offensichtlich konvergiert n1 → 0 für n → ∞ und wie
n
man leicht sieht ist n · n1 = 1 für alle n ∈ N, n 6= 0. Dies suggeriert, dass
1
= ∞ sein müsste. Nun konvergiert aber auch bn = − n1 , n = 1, 2, ... für
0
n∞ gegen Null und es gilt − n1 · (−n) = 1, daraus ergibt sich nun analog,
dass 10 = limn→∞ (−n) = −∞ sein müsste!
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
5
Da diese Definitionen von 10 auf verschiedene Werte führen, kann man
1
so (auch) nicht definieren!
0
R
Merkregel 1.2.1
Die Division durch Null ist nicht definiert!
Bemerkung 1.2.2
Die Sonderrolle von Null und der „Ersatzzahl“ Unendlich zeigt sich auch
im unbestimmten Verhalten von Produkten und Quotienten sowie Potenzen, die nicht immer die gleichen Werte liefern und deshalb als un-
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
6
bestimmte Ausdrücke bezeichnet werden wie z.B. 0 · ∞ oder auch
bzw. ∞
∞.
0
0
1.3
Quadratische Gleichung
Die Nullstellen des Polynoms 2. Grades ergeben sich als die Lösungen
der quadratischen Gleichung
ax 2 + bx + c = 0,
a, b, c ∈ R,
a 6= 0.
Mit Division durch a, a 6= 0, ergibt sich die Standardform der quadratischen Gleichung:
x2 +
b
c
0
x+ =
⇐⇒ x 2 + px + q = 0.
a
a a
Bemerkung 1.3.1
Die quadratische Gleichung x 2 − 2x − 2 = 0 ist in Standardform, die
Gleichung −x 2 + 2x + 2 = 0 ist dagegen nicht in Standardform.
Binomische Formeln
Lemma 1.3.1
Binomische Formeln Die binomischen Formeln lauten:
1. binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
2. binomische Formel
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
3. binomische Formel
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Beweis: Ausmultiplizieren.
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
7
Quadratisches Ergänzen
Die 1. bzw. 2. binomische Formeln stellen vollständige Quadrate dar.
Das Ziel des quadratischen ergänzend ist ein vollständiges Quadrat zu
erzeugen. Wir vergleichen x 2 + px + q mit (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , dazu
setzen wir x = a und p2 = b und erhalten
x+
p 2
p 2
p
= x2 + 2 x +
2
2
2
Für die quadratische Gleichung ergibt sich damit
p 2 p 2
p
−
+ q = 0,
x 2 + px + q = x2 + 2 x +
2
2
2
2
2
p
p
⇐⇒ x +
−
+q =0
2
2
p 2
p 2
⇐⇒ x +
=
−q
2
2
Da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht negativ ist, gibt es für
2
2
den Fall p2 − q < 0 keine reelle Lösung. Für p2 − q = 0 gibt es
genau eine reelle Lösung x = − p2 und für
reelle Lösungen x1/2 − p2 = ±
Damit ergibt sich
q
p 2
2
p 2
2
− q > 0 gibt es zwei
q p 2
− q ⇐⇒ x1/2 = p2 ±
− q.
2
Satz 1.3.2
Lösung der quadratische Gleichung Die quadratische Gleichung
x 2 + px + q = 0
mit p, q ∈ R hat im Bereich der reellen Zahlen
• für
p 2
2
− q < 0 keine Lösung,
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
p 2
2
− q = 0 genau eine Lösung: x = − p2 ,
q
2
• für p2 − q > 0 zwei Lösungen: x1/2 = − p2 ±
• für
8
p 2
2
− q.
Kennt man die Nullstellen der quadratischen Gleichung, so kann
man das Polynom in Linearfaktoren zerlegen:
x 2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ).
Dies ist äquivalent zum Satz von Vieta, denn es gilt
(x − x1 )(x − x2 ) = x 2 − x1 x − x2 x + x1 x2 = x 2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 .
Ist dagegen x1 = x2 = x0 so gilt
(x − x0 )2 = x 2 − 2x0 x + x02 .
Satz 1.3.3 (Satz von Vieta)
Für die Lösungen der quadratischen Gleichung
x 2 + px + q = 0
gilt
1. Gibt es zwei Lösungen x1 6= x2 , so gilt p = −(x1 + x2 ) und
q = x1 x2 .
2. Gibt es nur eine Lösung x0 , so gilt p = −2x0 und q = x02 .
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
9
Mit Hilfe der Lösungen der quadratischen Gleichung lassen sich
auch Lösungen von Gleichungen höherer Ordnung erhalten:
Bemerkung 1.3.4
Es gibt verschiedene Möglichkeiten wie man Gleichungen höherer Ordnung auf eine quadratische Gleichung zurückführen
kann.
1. Ausklammern x 2+a + px 1+a + qx a = x a (x 2 + px + q), z.B.
x 5 + 2x 4 − 2x 3 = x 3 (x 2 + 2x − 2).
2. Substitution t = x b : t 2 + pt + q = x 2b + px b + q, z.B. die
biquadratische Gleichung t = x 2 :
x 4 + px 2 + q = t 2 + pt + q = 0.
3. Mischform Ausklammern und Substitution, z.B. mit t = x 3
x 7 − 3x 5 + 2x 3 = x 3 (x 4 − 3x 2 + 2) = x 3 (t 2 − 3t + 2).
Scheitelpunktsform
Geometrisch stellt das Polynom 2. Grades
p2 (x) = ax 2 + bx + c,
a, b, c ∈ R,
a 6= 0,
eine Parabel dar. Geometrisch kann man die Parabel durch den Scheitelpunkt (xs , ys ) und den Koeffizienten a bestimmen. Wir leiten die Schei-
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
10
telpunktsform her.
b
c
y = ax + bx + c = a x + x +
a
a
2
y =a
b
x+
2a
2
2
−
b
y =a x+
2a
b
2a
2
2
+
c
a
Quadratisches Ergänzen
!
b2
−
+ c ⇐⇒ y −
4a
b2
c−
4a
b
=a x+
2a
Das ist die Scheitelpunktsform y − ys = a(x − xs )2
Satz 1.3.5 (Scheitelpunktsform)
Eine Parabel y = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R,
Scheitelpunktsform
a 6= 0, hat die
y − ys = a(x − xs )2
2
b
b
mit dem Scheitelpunkt (xs , ys ), wobei xs = − 2a
und ys = c − 4a
.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn a > 0 und nach unten
geöffnet, wenn a < 0 gilt.
2
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
11
Beispiel 1.3.6
Parabel
f (x) = (x − 1)2 − 4
= x 2 − 2x + 1 − 4
= x 2 − 2x − 3
Quadratische Gleichung
(x − 1)2 − 4 = x 2 − 2x − 3 = 0
Scheitelpunktsform
y + 4 = y − (−4) = (x − 1)2
Beispiel 1.3.7
Parabel
f (x) = −(x − 1)2 + 4
= −x 2 + 2x − 1 + 4
= −x 2 + 2x + 3
Quadratische Gleichung
−(x − 1)2 + 4 = −(x 2 − 2x − 3) = 0
Scheitelpunktsform
y − 4 = −(x − 1)2
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
1.4
12
Polynomdivision
Durch „Erraten“ von Nullstellen kann man Polynome höheren Grades
auf Polynome vom Grad 2 zurückführen. Dies geschieht durch Polynomdivision. Grundlage ist der folgende Satz, den wir nicht beweisen:
Satz 1.4.1
Besitzt das Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede
ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds.
Beispiel 1.4.2
Das Polynom x 3 − 5x 2 + 5x − 1 besitzt ganzzahlige Koeffizienten. Das
Absolutglied besitzt die ganzzahligen Teiler 1 und −1. Durch Einsetzen
ergibt sich, dass x0 = 1 eine Nullstelle ist, dagegen ist −1 keine Nullstelle.
Satz 1.4.3 (Polynomdivision)
Sind f (x) und g(x) Polynome mit g(x) 6= 0, dann gibt es eindeutig
bestimmte Polynome q(x) und r (x), so dass
f (x) = q(x)g(x) + r (x)
bzw.
f (x)
r (x)
= q(x) +
.
g(x)
g(x)
Entweder ist r (x) = 0, dann ist f (x) durch g(x) teilbar, oder der
Grad von r (x) ist kleiner als der Grad von g(x).
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
13
Beispiel 1.4.4
Dividiere 127 342 durch 11.
127 342
: 11
= 11 576
−11
17
−11
63
−55
84
−77
72
−66
6
D.h. 127 342 dividiert durch 11 ergibt 11 576 und den Rest 6, 127 342
ist nicht durch 11 teilbar. Analog funktioniert die Poynomdivision.
Beispiel 1.4.5
Ist a3 − b3 durch a − b für a − b 6= 0 teilbar?
(a3 − b3 )
: (a
− b)
= a2 + ab + b2
−(a3 − a2 b)
a2 b − b 3
−(a2 b − ab2 )
ab2 − b3
−(ab2 − b3 )
0
Ja, es ist (a − b ) : (a − b) = a2 + ab + b2 .
3
3
Beispiel 1.4.6
Ist 35a2 + 24ab − 15ac + 4b2 − 6bc durch 5a + 2b für 5a + 2b 6= 0 teilbar?
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
(35a2 + 24ab
−15ac
+4b2
−6bc)
14
: (5a
+2b) = 7a + 2b − 3c.
2
−(35a + 14ab)
10ab − 15ac
−(10ab + 4b2 )
−4b2 − 15ac + 4b2 − 6bc
|
{z
}
= −15ac − 6bc
−(−15ac − 6bc)
0
Ja, es ist (35a + 24ab − 15ac + 4b − 6bc) : (5a + 2b) = 7a + 2b − 3c.
2
2
Beispiel 1.4.7
Ist 2x 2 + 8xy + 6y 2 durch x 2 + 4xy + 4y 2 teilbar?
(2x 2 + 8xy + 6y 2 )
: (x 2 + 4xy + 4y 2 ) = 2
−(2x 2 + 8xy + 8y 2 )
−2y 2
Nein, da bei der Division der Rest −2y 2 übrigbleibt, es gilt:
(2x 2 +8xy +6y 2 ) : (x 2 +4xy +4y 2 ) =
2y 2
2x 2 + 8xy + 6y 2
=
2
−
.
x 2 + 4xy + 4y 2
x 2 + 4xy + 4y 2
Beispiel 1.4.8
Wir werden nun die Nullstellen von x 3 − 5x 2 + 5x − 1 bestimmen. In
Beispiel 1.4.2 haben wir festgestellt, dass x0 = 1 eine Nullstelle ist. Wir
dividieren jetzt den Linearfaktor x − x0 = x − 1 ab:
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
(x 3 − 5x 2 + 5x − 1)
: (x
−1)
15
= x 2 − 4x + 1
−(x 3 − x 2 )
−4x 2 + 5x
−(−4x 2 + 4x)
x −1
−(x − 1)
0
Die beiden weiteren Nullstelllen ergeben sich jetzt als Lösungen der
quadratischen Gleichung x 2 − 4x + 1 = 0 gemäß der p-q-Formel zu
r
x1/2 = 2 ±
1.5
√
16
− 1 = 2 ± 3.
4
Kegelschnitte
Kegelschnitte entstehen dadurch, dass ein Kegel mit einer Ebene geschnitten wird:
Eine Art von Kegelschnitt, nämlich die Parabeln, haben wir schon be-
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
16
trachtet. Jetzt wollen wir noch Kreise, Ellipsen und Hyperbeln besprechen.
Kreise
Definition 1.5.1 (Kreis)
Eine Kreis ist durch seinen Mittelpunkt M = (x0 , y0 ) und den Radius
r > 0 gegeben. Der Kreis ist die Menge aller Punkte (x, y), die vom
Mittelpunkt (x0 , y0 ) den Abstand r haben.
Aus den Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck folgt:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 .
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
17
Ellipsen
Definition 1.5.2 (Ellipse)
Eine Ellipse ist durch ihre Brennpunkte F1 und F2 und die Länge
der großen Halbachse a > 0 gegeben. Die Ellipse ist die Menge
aller Punkte P = (x, y ) für die, die Summe der Abstände zu den
Brennpunkten gerade 2a ist, also
|PF1 | + |PF2 | = 2a.
Zur Herleitung der Formel für die Ellipse nehmen wir an, dass die Brennpunkte symmetrisch zur y-Achse auf der x-Achse liegen, also F1 =
(−c, 0) und F2 = (c, 0) und für die lange Hauptachse gilt a > c > 0.
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
18
Dann gilt
p
(x +
c)2
|PF1 | + |Pf2 | = 2a ergibt
p
+ y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a
p
(x + c)2 + y 2 = 2a −
p
(x − c)2 + y 2
(x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a
p
| Quadrieren
(x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
1
4a2 + (x − c)2 + y 2 − (x + c)2 − y 2
4a
p
1
c
2
2
(x − c) + y =
(4a2 − 4cx) = a − x | Quadrieren
4a
a
2
c
c
(x − c)2 + y 2 = a2 − 2a x + 2 x 2
a
a
2
c
c2
x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = a2 − 2cx+ 2 x 2 ⇐⇒ x 2 1 − 2 + y 2 = a2 − c 2
a
a
p
x2
a2 − c 2
a2
(x − c)2 + y 2 =
+ y 2 = a2 − c 2 ⇐⇒
y2
x2
+ 2
= 1.
2
a
a − c2
Man beachte, dass a2 − c 2 > 0 ist, da a > c > 0 gilt.
Aus der Skizze wird ersichtlich, dass aus r1 = r1 = a und der Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck folgtb2 = a2 − c 2 , b > 0, dabei ist b die
Länge der kleinen Halbachse und erhält man die Standardform
x2 y2
+
= 1.
a2 b 2
Ist der Mittelpunkt nicht der Ursprung sondern der Punkt (x0 , y0 ), dann
gilt
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1.
a2
b2
Beide Formeln gelten nur für achsenparallele Ellipsen, man kann die
Ellipse nämlich zusätzlich auch noch drehen. Auf derartige Formeln gehen wir nicht ein.
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
19
Hyperbeln
Definition 1.5.3 (Hyperbel)
Eine Hyperbel ist durch ihre Brennpunkte F1 und F2 und die Halbachse a gegeben. Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte P =
(x, y) für die, der Betrag der Differenz der Abstände zu den Brennpunkten gerade 2a ist, also
||PF1 | − |PF2 || = 2a.
Zur Herleitung der Formel für die Hyperbel nehmen wir an, dass die
Brennpunkte symmetrisch zur y-Achse liegen, also F1 = (−c, 0) und
F2 = (c, 0) und für die Hauptachse gilt c > a > 0. Dann folgt
||PF1 | − |Pf2 || = 2a ergibt
p
p
2
| (x + c) + y 2 − (x − c)2 + y 2 | = 2a
p
p
(x + c)2 + y 2 = 2a +
(x − c)2 + y 2
(x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4a
p
| Quadrieren
(x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
1
4a2 + (x − c)2 + y 2 − (x + c)2 − y 2
4a
p
1
c
2
2
(x − c) + y =
(4cx − 4a2 ) = x − a | Quadrieren
4a
a
2
c
c
(x − c)2 + y 2 = a2 − 2a x + 2 x 2
a
a
2
c2
c
x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = a2 − 2cx+ 2 x 2 ⇐⇒ x 2 1 − 2 + y 2 = a2 − c 2
a
a
p
x2
a2 − c 2
a2
(x − c)2 + y 2 = −
+ y 2 = a2 − c 2 ⇐⇒
x2
y2
− 2
= 1.
2
a
c − a2
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
20
Mit b2 = c 2 − a2 > 0, weil c > a > 0, folgt
x2
y2
− 2 = 1.
2
a
b
Ist der Mittelpunkt nicht der Ursprung sondern der Punkt (x0 , y0 ), dann
gilt.
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= 1.
a2
b2
Wo findet man b bei der Hyperbel? Diese zur Hyperbel gehörige Größe
findet man bei den Asymptoten. Die Asymptoten sind die Geraden an
die sich die Hyperbel annähert, wenn x gegen ±∞ strebt. Lösen wir
2
2
z.B. die Hyperbelgleichung xa2 − yb2 = 1 für y > 0 nach y auf, so ergibt
sich
bp 2
b
y =
x − a2 ∼ x
a
a
für große x. Die Asymptoten der Hyperbel mit dem Mittelpunkt (x0 , y0 )sind
deshalb die Geraden:
y =
b
b
x + y0 − x0
a
a
und
y =−
b
b
+ y0 + x0 .
a
a
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
21
Beispiel 1.5.4
Die Gleichung
x2 x
47
+ − 2y 2 − 4y =
4
4
16
stellt eine Hyperbel dar. Sie besitzt den Mittelpunkt (− 21 , −1) und die
√
Achsen a = 2, b =
2
.
2
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
1.6
22
Binomischer Satz
Die 1. und 2. binomische Formel lassen sich zum binomischen Satz
verallgemeinern. Es gilt
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 )
= a3 + 2a2 b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = (a − b)(a − b)2 = (a − b)(a2 − 2ab + b2 )
= a3 − 2a2 b + ab2 − ba2 + 2ab2 − b3
= a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .
Für (a + b)n kann man das natürlich sukzessive berechnen. Einfacher
geht es, wenn man das Pascalsche Dreieck kennt. Unter einem Binom
versteht man eine Summe aus zwei Gliedern a + b. Der binomische
Satz gibt an, wie Potenzen eines Binoms, (a + b)n mit natürlichen Zahlen n als Exponenten, in Summen entwickelt werden können. Es gilt
=
=
=
=
=
=
1
2
(a + b)3
(a + b)4
5
(a + b)6
(a + b)
(a + b)
(a + b)
=
(a + b)0
a6
+
a
5
6a5 b
+
a4
+
5a b
4
+
a3
15a4 b2
+
4a3 b
+
a
2
+
10a b
3 2
+
3a2 b
+
a
20a3 b3
+
6a2 b2
+
2ab
+
1
+
10a b
2 3
+
3ab2
+
b
15a2 b4
+
4ab3
+
b2
+
5ab
+
b3
4
6ab5
+
b4
+
b5
b6
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
23
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
24
Die Koeffizienten der Potenzen des Binoms bilden das Pascalsche Dreieck
1
1
1
1
2
1
1
1
6
5
6
1
3
4
1
1
3
10
4
1
10
15
5
20
15
1
6
1
Satz 1.6.1 (Binomischer Satz)
Seien a, b reelle Zahlen und n ∈ N0 . Dann gilt
n
(a + b) =
n
X
n
!
k
k=0
k
a b
n−k
=
n
X
n
k
k=0
!
an−k bk
Die Koeffizienten der Binome = Binomialkoeffizienten
chen n über k) lassen sich wie folgt berechnen:
n
k
!
=
n!
k!(n − k)!
,
dabei ist n! (n Fakultät) für natürliche Zahlen n definiert als
n! = 1 · 2 · ... · (n − 1) · n.
n
k
!
(gespro-
KAPITEL 1. BRÜCHE, POLYNOME, TERME
25
Für n ≥ k ≥ 1 ist deshalb
n
!
n · (n − 1) · ... · (n − (k − 2)) · (n − (k − 1))
.
1 · 2 · ... · (k − 1) · k
=
k
n
Mit der zusätzlichen Definition 0! = 1 und
!
= 0 für n < k ist
k
alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 und k ≥ 0 definiert. Deshalb ist
n
!
k
n
0
für
!
=
!
n!
0!n!
2
= 1 und
= 0.
3
Beispiel 1.6.2
Weitere Beispiele
!
4
0
4!
=
= 1,
0!4!
!
4
3
=
!
4
1
!
4
4
= ,
1
4·3·2
= 4,
1·2·3
=
2
!
4
4
=
4·3
= 6,
1·2
4
4!
=
= 1.
4 4!0!
Damit ist
!
(x − 2)4 =
4
0
!
x4 +
4
1
!
x 3 (−2) +
4
2
!
x 2 (−2)2 +
= x 4 − 2 · 4x 3 + 4 · 6x 2 − 8 · 4x + 16.
4
3
!
x(−2)3 +
4
4
(−2)4