Reelle Zahlen
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Oliver Deiser Reelle Zahlen Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen YJ Springer Inhalt Vorwort 7 Einführung 11 : Die Themen des Buches 14 " Vokabular ' i '-z > 17 Mengen und Elemente Logische Konventionen und Sprechweisen Zahlen Relationen Funktionen Eine Tabelle 17 18 19 20 21 22 s i. i~ i E f. •_' J f f !'j l | Erster Abschnitt: Das klassische Kontinuum 23 1.1 Irrationale Zahlen Kommensurable Größen Der Algorithmus von Euklid Kettenbrüche Das regelmäßige Pentagramm Irrationalität der Quadratwurzel Überlieferung und Bedeutung der Inkommensurabilität Andere irrationale Zahlen Rationale Approximationen Algebraische und transzendente Zahlen 25 25 28 30 36 39 40 45 47 51 i Intermezzo: Zur Geschichte der Analysis 61 t. 1.2 Mächtigkeiten 72 f. I I; . ['-;. f< i. -,. Mächtigkeiten Bestimmung einiger Mächtigkeiten Eine symbolische Arithmetik mit Mächtigkeiten Das Kontinuumsproblem Historischer Überblick 72 75 79 82 85 Inhalt 1.3 Charakterisierungen und Konstruktionen Die Ordnung der rationalen Zahlen Vollständigkeit und Lücken Die Ordnung der reellen Zahlen Eine algebraische Charakterisierung b-adische und andere Entwicklungen Zwei klassische Konstruktionen der reellen Zahlen Eine moderne Konstruktion Zu den Konstruktionen Zur Geschichte des Kontinuumsbegriffs Das komplexe Ergebnis und seine Kritik Cantors Darstellung von 1872 im Original 90 91 92 94 96 103 106 112 128 129 139 144 1.4 Euklidische Isometrien Das Erlanger Programm Permutationen und Isometrien Isometrien und lineare Abbildungen Isometrien in einer Dimension Isometrien in zwei Dimensionen Isometrien in drei Dimensionen Zur Geschichte der Untersuchung Euklidischer Isometrien . . . Besonderheiten der Isometriegruppen 3>l und J>2 Besonderheiten der Rotationsgruppe SO3 153 156 157 160 166 167 170 174 175 176 1.5 Inhalte und Maße Das Maßproblem Maße auf a-Algebren Eine Konstruktion des Lebesgue-Maßes Mengen mit positivem Lebesgue-Maß und Intervalle Das Lebesgue-Maß für höhere Dimensionen Das geometrische Lebesgue-Integral Die analytische Definition des Lebesgue-Integrals Integrationssätze Riemann-Integral und Peano-Jordan-Inhalt Vorläufer und Nachfolger des Peano-Jordan-Inhalts Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals 185 186 194 197 202 204 207 211 219 222 229 230 1.6 Die Grenzen des Messens Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes Volle bewegungsinvariante Inhalte Paradoxe Zerlegungen Die Paradoxa von Hausdorffund Banach-Tarski Mittelbare Gruppen 238 238 244 261 268 274 Inhalt Zweiter A b s c h n i t t : Die Folgenräume 283 2.1 Einführung in den Baireraum Endliche Folgen und Folgenräume Die natürliche Topologie auf den Folgenräumen Offene und abgeschlossene Mengen im Baireraum Kodierung offener Mengen Repräsentation abgeschlossener Mengen durch Bäume Die kanonische Ordnung auf dem Baireraum Stetige Funktionen auf dem Baireraum Einfache Homöomorphien Kompaktheit Baireraum, Cantorraum und Kontinuum im Vergleich . . . . . . . 2.2 2.3 285 288 290 292 293 294 300 301 3 02 303 305 Topologische Untersuchungen Polnische Räume Perfekte polnische Räume Zerlegungen nulldimensionaler polnischer Räume Zerlegungen beliebiger polnischer Räume Stetige bijektive Bilder von K Eine konkrete stetige Bijektion von X auf '•& Ortung durch den Hilbert-Würfel Peano-Kurven Invarianz der Dimension für das Kontinuum Ein topologischer Dimensionsbegriff 311 311 314 316 323 327 331 333 337 338 349 Regularitätseigenschaften Häufungen Die Scheeffer-Eigenschaft Die Baire-Eigenschaft Das Lebesgue-Maß auf dem Cantor- und Baireraum Universell meßbare Mengen Magere Mengen und Nullmengen Marczewski-meßbare Mengen 351 351 358 360 367 370 371 372 I n t e r m e z z o : W o h l o r d n u n g e n u n d Ordinalzahlen Wohlordnungen Induktion und Rekursion über Wohlordnungen Abzählbare Ordinalzahlen und CD, Iterierte Ableitungen Ein Kompaktheitsbeweis mit coj Die konstruktiblen reellen Zahlen Beweis des Zornschen Lemmas mit transfiniter Rekursion . . . . 5 377 378 381 382 386 388 389 392 2.4 Irreguläre M e n g e n Verletzung der Scheeffer-Eigenschaft und Bernstein-Mengen . . 394 Vitali-Mengen 398 394 Inhalt Irreguläre Mengen und die Kontinuumshypothese Wahlordnungen von polnischen Räumen 2.5 Unendliche Zweipersonenspiele Unendliche Spiele Strategien Gewinnstrategien und Determiniertheit Spezielle Aspekte Einfache Spiele mit ermittelbarem Gewinner Nichtdeterminierte Mengen Determiniertheit der offenen und abgeschlossenen Mengen . . . Regularitätsspiele Determiniertheit von Punktklassen 2.6 401 406 409 413 414 418 419 422 423 425 43 3 441 B o r e l m e n g e n und projektive M e n g e n Die Borel-Hierarchie Borel-Mengen als stetige Bilder des Baireraumes Borel-Determiniertheit Stetige Reduzierbarkeit Die Susiin-Operation und analytische Mengen Charakterisierungen und Eigenschaften analytischer Mengen. . Regularitätseigenschaften analytischer Mengen Projektive Mengen Entfaltete Regularitätsspiele Determiniertheit und Regularität der projektiven Mengen . . . . Zur geschichtlichen Entwicklung 444 444 455 456 464 468 471 478 482 488 489 494 Anhänge AI Die axiomatische Grundlage A2 Natürliche, ganze und rationale Zahlen A3 Algebraische Strukturen Gruppen Körper und Ringe Vektorräume 505 507 510 513 513 515 515 A 4 Topologische und metrische Räume Topologische Räume Metrische Räume Die Standardtopologie des Kontinuums 517 517 521 525 A5 Lebensdaten 527 A6 Notationen A7 Personen A8 Index 529 532 534
